平面向量与三角函数相结合问题分析
平面向量与三角恒等变换
相结合问题分析
平面向量与三角恒等变换都是人教版高中数学必修四中的内容，这些内容在整个高中数学知识体系中占有重要地位，也是一个高考考察的热点问题。其中平面向量是重要的数学概念和工具,它的有关知识能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题。三角函数是重要的基本初等函数，它的定义和性质有着十分鲜明的特征和规律性。它们都与与代数、几何有着密切的联系。在此我仅对平面向量与三角函数结合性问题做简要分析。
准备知识：向量加、减、数乘运算及两向量间共线、垂直，数量积、夹角关系等知识点。 三角函数中同角三角函数关系，两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角与半角的正弦、余弦、正切公式。
平面向量与三角恒等变换相结合问题如下：
一：结合平面向量运算律考察三角函数的化简求值。
利用向量的运算律得到一个与三角函数有关的式子然后利用三角函数公式进行三角恒等变换进行化简求值。
例1：已知向量
a ),cos x x =
，()=b ，若//a b ，求sin cos x x 值。
解：由//a b ，
x x = （利用向量平行公式）
∴tan 2x = （利用同角三角函数关系sin tan cos x x x
=） sin cos x x sin cos 1x x =22sin cos sin cos x x x x =+2tan 1tan x x
== （此处用到两个技巧：①利用同角三角函数关系将1转化为22sin
cos x x + ②分子分母同时除以2cos x 将正弦、余弦转化为正切问题）
将tan 2x =带入得到：sin cos x x 25
=。
二：结合平面向量数量积与三角函数性质求特殊角
利用平面向量夹角公式等问题求解三角函数中某角的值或范围。
例2：已知向量()sin ,1x =a ，()2sin x x =b ，若2⊥a b ，且角x
的终边不在坐标轴上，求夹角x 。 解：由2⊥a b ，∴2∙a b 0=， （两向量垂直，则它们的数量积为0）
∴()()2sin ,12sin 0x x x ∙=
∴()()
2sin ,22sin 0x x x ∙= （利用数乘向量）
∴24sin 0x x += 即 (s i n 2s i n 30
x x +
= （注：此处以sin x 为自变量，当成一个整体，提取公因式）
∴sin 0x =或sin 2x =- 由角x 终边不在坐标轴上∴sin 2
x =- ∴423x k ππ=+或523
x k π=+()k z ∈ （考察知识点：向量的数乘运算，向量数量积，向量垂直公式，三角函数特殊值，三角函数周期性等问题）
三：利用平面向量，结合三角函数性质求新函数周期，最值，单调性
例3：设函数()f x =∙a b ，其中向量()2c o s ,c o s x x =a ，()sin ,2cos x x =b ，x R ∈。①求函数()f x 周期。②求函数()f x 最大值及此时x 值的集合。③求函数
()f x 的单调增区间。
解：()f x =∙a b 22sin cos 2cos x x x =+ sin2cos21x x =++ （利用二倍角正弦、余弦公式）
sin 2cos2122x x ⎫=++⎪⎭
（形如函数sin cos y a x b x =+
()sin y A wx ϕ=+的形式，再进行一系列求解）
sin 2cos cos2sin 144x x ππ⎫=++⎪⎭
214x π⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭ （利用两角和的正弦公式进行转化） ①周期2T w
π=22ππ== ②当sin 214x π⎛⎫+= ⎪⎝
⎭时，(
)max 1f x =+此时2242x k πππ+=+ ∴|,8x x k k z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭
③当22,2422x k k πππππ⎡⎤+∈-++⎢⎥⎣⎦
时，函数()f x 单调递增。 ∴222242
k x k πππππ-+≤+≤+ ∴388k x k ππππ-+≤≤+ 即单调增区间为3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，()k z ∈ （②③两个问题中需将24x π+
当成一个整体θ，具有整体代换思想，再利用正弦函数最基本的性质求解）
向量与三角函数结合是高中数学知识的一个交汇点，也是高考的一个考点，其目的在于考查学生对三角函数基本关系式的变形能力、运算能力、推理能力，同时也有利于考查学生对平面向量的综合运算能力。熟练掌握这方面问题，对学生的高考去得好成绩有着极其重要的作用。
平面向量与三角函数相结合问题分析
平面向量与三角恒等变换 相结合问题分析 平面向量与三角恒等变换都是人教版高中数学必修四中的内容，这些内容在整个高中数学知识体系中占有重要地位，也是一个高考考察的热点问题。其中平面向量是重要的数学概念和工具,它的有关知识能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题。三角函数是重要的基本初等函数，它的定义和性质有着十分鲜明的特征和规律性。它们都与与代数、几何有着密切的联系。在此我仅对平面向量与三角函数结合性问题做简要分析。 准备知识：向量加、减、数乘运算及两向量间共线、垂直，数量积、夹角关系等知识点。 三角函数中同角三角函数关系，两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角与半角的正弦、余弦、正切公式。 平面向量与三角恒等变换相结合问题如下： 一：结合平面向量运算律考察三角函数的化简求值。 利用向量的运算律得到一个与三角函数有关的式子然后利用三角函数公式进行三角恒等变换进行化简求值。 例1：已知向量 a ),cos x x = ，()=b ，若//a b ，求sin cos x x 值。 解：由//a b ， x x = （利用向量平行公式） ∴tan 2x = （利用同角三角函数关系sin tan cos x x x =） sin cos x x sin cos 1x x =22sin cos sin cos x x x x =+2tan 1tan x x == （此处用到两个技巧：①利用同角三角函数关系将1转化为22sin cos x x + ②分子分母同时除以2cos x 将正弦、余弦转化为正切问题） 将tan 2x =带入得到：sin cos x x 25 =。
二：结合平面向量数量积与三角函数性质求特殊角 利用平面向量夹角公式等问题求解三角函数中某角的值或范围。 例2：已知向量()sin ,1x =a ，()2sin x x =b ，若2⊥a b ，且角x 的终边不在坐标轴上，求夹角x 。 解：由2⊥a b ，∴2∙a b 0=， （两向量垂直，则它们的数量积为0） ∴()()2sin ,12sin 0x x x ∙= ∴()() 2sin ,22sin 0x x x ∙= （利用数乘向量） ∴24sin 0x x += 即 (s i n 2s i n 30 x x + = （注：此处以sin x 为自变量，当成一个整体，提取公因式） ∴sin 0x =或sin 2x =- 由角x 终边不在坐标轴上∴sin 2 x =- ∴423x k ππ=+或523 x k π=+()k z ∈ （考察知识点：向量的数乘运算，向量数量积，向量垂直公式，三角函数特殊值，三角函数周期性等问题） 三：利用平面向量，结合三角函数性质求新函数周期，最值，单调性 例3：设函数()f x =∙a b ，其中向量()2c o s ,c o s x x =a ，()sin ,2cos x x =b ，x R ∈。①求函数()f x 周期。②求函数()f x 最大值及此时x 值的集合。③求函数 ()f x 的单调增区间。 解：()f x =∙a b 22sin cos 2cos x x x =+ sin2cos21x x =++ （利用二倍角正弦、余弦公式） sin 2cos2122x x ⎫=++⎪⎭
平面向量与三角函数的关系
平面向量与三角函数的关系在数学中，平面向量和三角函数是两个重要的概念，它们之间存在着紧密的关联。平面向量主要用来表示空间中的方向和大小，而三角函数则描述了角度和长度之间的关系。本文将探讨平面向量与三角函数之间的关系，并介绍其在数学和物理中的应用。 一、平面向量的表示与性质 平面向量可以用有序的数对表示，其中第一个数表示向量在x轴上的分量，第二个数表示向量在y轴上的分量。例如，向量a可以表示为(a1, a2)，其中a1为x轴分量，a2为y轴分量。平面向量有以下性质： 1. 向量的模：向量的模表示向量的大小，可以通过勾股定理计算得到。对于向量a(a1, a2)，它的模可以表示为|a| = √(a1² + a2²)。 2. 向量的方向角：向量的方向角表示向量与x轴正方向的夹角。根据三角函数的定义，可以得到向量的方向角θ = arctan(a2 / a1)。 3. 向量的单位向量：单位向量是模为1的向量，可以表示为a/|a|。单位向量的方向与原向量相同，但大小为1。 二、三角函数的定义与性质 三角函数包括正弦函数(sin)、余弦函数(cos)和正切函数(tan)等。它们的定义如下： 1. 正弦函数：在直角三角形中，正弦函数表示对边与斜边的比值。正弦函数的定义域为实数集，值域在[-1, 1]之间。
2. 余弦函数：在直角三角形中，余弦函数表示邻边与斜边的比值。余弦函数的定义域为实数集，值域在[-1, 1]之间。 3. 正切函数：在直角三角形中，正切函数表示对边与邻边的比值。正切函数的定义域为实数集，值域为全体实数。 三、平面向量与三角函数之间存在着一种重要的关系，即向量的模可以与其方向角的三角函数相关联。具体而言，对于向量a(a1, a2)，有以下关系： 1. a的模与sinθ的关系：|a| = √(a1² + a2²) = √[(|a1|^2 + |a2|^2) * (sin²θ + cos²θ)] = √(sin²θ + cos²θ) * √(|a1|^2 + |a2|^2) = √(|a1|^2 + |a2|^2) 2. a的模与cosθ的关系：|a| = √(a1² + a2²) = √[(|a1|^2 + |a2|^2) * (sin²θ + cos²θ)] = √(sin²θ + cos²θ) * √(|a1|^2 + |a2|^2) = √(|a1|^2 + |a2|^2) 3. a的模与tanθ的关系：|a| = √(a1² + a2²) = √[(|a1|^2 + |a2|^2) * (sin²θ + cos²θ)] = √(sin²θ + cos²θ) * √(|a1|^2 + |a2|^2) = √(|a1|^2 + |a2|^2)由上述关系可知，向量的模与其方向角的三角函数之间存在着简洁的关系，通过利用这些关系，我们可以在计算中更加方便地处理向量的模和角度。 四、平面向量与三角函数的应用 平面向量与三角函数的关系在数学和物理中都有广泛的应用。其中一些应用包括：
2021届高考数学解答题核心素养题型3 三角函数与平面向量综合问题(答题指导解析版)
专题03 三角函数与平面向量综合问题 （答题指导） 【题型解读】 ??题型一：三角函数的图象和性质 1．注意对基本三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的图象与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解． 2．解决三角函数图象与性质综合问题的步骤 (1)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式． (2)构造f (x )＝a 2 ＋b 2 ? ?? ?? a a 2＋ b 2 ·sin x ＋b a 2＋b 2·cos x . (3)和角公式逆用，得f (x )＝a 2＋b 2 sin(x ＋φ)(其中φ为辅助角)． (4)利用f (x )＝a 2 ＋b 2 sin(x ＋φ)研究三角函数的性质． (5)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范． 【例1】 (2017·山东卷)设函数f (x )＝sin ? ????ωx －π6＋sin ? ????ωx －π2，其中0＜ω＜3.已知f ? ????π6＝0. (1)求ω； (2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π 4 个 单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在??????－π4 ，3π4上的最小值． 【答案】见解析 【解析】(1)因为f (x )＝sin ? ????ωx －π6＋sin ? ????ωx －π2，所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin
平面向量与三角函数的关系
平面向量与三角函数的关系 在数学中，平面向量和三角函数是两个重要的概念，并且它们之间 存在着一定的关系。本文将介绍平面向量与三角函数的相关性质和应用。 一、向量在直角坐标系中的表示 在直角坐标系中，一个向量可以由其在横轴上的分量和在纵轴上的 分量来表示。假设有一个平面向量a，其水平分量为a₁，垂直分量为 a₂，则可以用有序数对(a₁, a₂)表示向量a。其中，a₁沿着横轴的正方向表示，a₂沿着纵轴的正方向表示。 二、向量的模和角度表示 向量的模表示向量的长度，也叫作向量的大小。设向量a的模为|a|，则有|a| = √(a₁² + a₂²)。其中，a₁和a₂分别为向量a在横轴和纵轴上的分量。 另外，向量还可以用角度来表示。假设有一个向量a，与横轴之间 的夹角为θ，则有tanθ = a₂/a₁，即θ = arctan(a₂/a₁)。其中，arctan表 示反正切函数。 三、平面向量的加法和减法 平面向量的加法和减法可以类比数的加法和减法。设有两个向量a 和b，分别表示为(a₁, a₂)和(b₁, b₂)。
向量的加法可以表示为a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)。也就是将两个 向量的分量对应相加。 向量的减法可以表示为a - b = (a₁ - b₁, a₂ - b₂)。也就是将两个向 量的分量对应相减。 四、向量与三角函数的关系 1. 向量的模和三角函数 在直角坐标系中，一个向量的模可以表示为|a| = √(a₁² + a₂²)。根据直角三角形的性质，我们可以知道，a₁/|a| = cosθ，a₂/|a| = sinθ。其中，θ表示向量a与横轴之间的夹角。 2. 向量的加法与三角函数 设有两个向量a和b，分别表示为(a₁, a₂)和(b₁, b₂)。根据向量的 加法性质，a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)。 根据向量的模和三角函数的关系，可以得到|a + b| = √((a₁ + b₁)² + (a₂ + b₂)²) = √(a₁² + a₂² + b₁² + b₂² + 2(a₁b₁ + a₂b₂))。 进一步化简，可以得到|a + b|² = |a|² + |b|² + 2|a||b|cosθ。 根据三角恒等式2cosθsinφ = sin(θ + φ) + sin(θ - φ)，可以得到 2|a||b|cosθ = |a||b|(sin(θ + φ) + sin(θ - φ))。其中，φ表示向量a和b之间 的夹角。 综上所述，向量的加法可以表示为|a + b| = √(|a|² + |b|² + 2|a||b|cosθ)。也就是说，向量的模可以通过向量的加法和夹角的三角函数来计算。
学案1：高考专题突破二 高考中的三角函数与平面向量问题
高考专题突破二 高考中的三角函数与平面向量问题 考点一·平面向量 一、基础知识要记牢 在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量． 二、经典例题领悟好 例1 向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )， 则λ μ ＝________. 方法技巧 平面向量的线性运算包括向量的加法、向量的减法及实数与向量的积，在解决这类问题时，经常出现的错误有： 1.忽视向量的起点与终点，导致加法与减法混淆； 2.错用数乘公式. 对此，要注意两点： 1.运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合； 2.运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件. 三、预测押题不能少 1．(1)已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB 同方向的单位向量为( ) A.⎝⎛⎭⎫35，－4 5 B.⎝⎛⎭⎫45，－3 5 C.⎝⎛⎭ ⎫－35，45 D.⎝⎛⎭ ⎫－45，35 (2)如图，在△ABC 中，设AB ＝a ，AC ＝b ，AP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点恰为P ，则AP 等于( ) A.12a ＋1 2 b
B.13a ＋23b C.27a ＋47b D.47a ＋27 b 考点二·平面向量的数量积 一、基础知识要记牢 (1)两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两个向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值确定． (2)求非零向量a ，b 的夹角一般利用公式cos 〈a ，b 〉＝a·b |a ||b | 先求出夹角的余弦值， 然后求夹角． (3)向量a 在向量b 方向上的投影为a·b |b |＝|a |cos θ. 二、经典例题领悟好 例2 (1)已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB 在CD 方向上的投影为( ) A.322 B.3152 C ．－322 D ．－315 2 (2)在平行四边形ABCD 中， AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC ·BE ＝1, 则AB 的长为________． 方法技巧 求平面向量的数量积的方法有两个： (1)定义法：a ·b ＝|a ||b |·cos θ，其中θ为向量a ，b 的夹角； (2)坐标法：当a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)时，a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 三、预测押题不能少 2．(1)已知向量a ，b ，满足|a |＝3，|b |＝23，且a ⊥(a ＋b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π2 B.2π3 C.3π4 D.5π6 (2)已知点G 为△ABC 的重心，∠A ＝120°，AB ·AC ＝－2，则|AG |的最小值是( ) A.33 B. 22
三角函数专题与平面向量的解题技巧
专题 三角函数专题 【命题趋向】该专题的内容包括三角函数的图象与性质、平面向量、简单的三角恒等变换、解三角形．高考在该部分的选择和填空题，一般有两个试题。一个试题是，如果在解答题部分没有涉及到正、余弦定理的考查，会有一个与正余弦定理有关的题目，如果在解答题中涉及到了正、余弦定理，可能是一个和解答题相互补充的三角函数图象、性质、恒等变换的题目；一个试题是以考查平面向量为主的试题，这个试题的主要命题方向是（1）以平面向量基本定理、共线向量定理为主，（2）以数量积的运算为主；三角函数解答题的主要命题方向有三个：（1）以三角函数的图象和性质为主体的解答题，往往和平面向量相结合；（2）以三角形中的三角恒等变换为主题，综合考查三角函数的性质等；（3）以实际应用题的形式考查正余弦定理、三角函数知识的实际应用． 【考点透析】该专题的主要考点是：三角函数的概念和性质（单调性，周期性，奇偶性，最值），三角函数的图象，三角恒等变换（主要是求值），三角函数模型的应用，正余弦定理及其应用，平面向量的基本问题及其应用． 【例题解析】 题型1 三角函数的最值：最值是三角函数最为重要的内容之一，其主要方法是利用正余弦函数的有界性，通过三角换元或者是其它的三角恒等变换转化问题． 例 1 若x 是三角形的最小内角，则函数sin cos sin cos y x x x x =++的最大值是（ ） A ．1- B C ．1 2 - D ． 1 2 +分析：三角形的最小内角是不大于3 π的，而()2 sin cos 12sin cos x x x x +=+，换元解决． 解析：由03 x π <≤ ，令sin cos sin(), 4 t x x x π =++ 而7 4 4 12 x π π π<+ ≤ ，得 1t <≤． 又2 12sin cos t x x =+，得21 sin cos 2 t x x -=， 得22 11(1)122 t y t t -=+=+-，有2111022y -+<≤=．选择答案D ． 点评：涉及到sin cos x x ±与sin cos x x 的问题时，通常用换元解决． 解法二：1sin cos sin cos sin 242y x x x x x x π⎛ ⎫=++= ++ ⎪⎝ ⎭， 当4 x π= 时，max 1 2 y = ，选D 。 例2．已知函数2 ()2sin cos 2cos f x a x x b x =+．，且(0)8,()126 f f π ==． （1）求实数a ，b 的值；（2）求函数)(x f 的最大值及取得最大值时x 的值．
平面向量与三角函数的关系
平面向量与三角函数的关系平面向量是数学中一个重要的概念，而三角函数则是数学中不可或缺的工具。本文将探讨平面向量与三角函数之间的关系，揭示它们在数学和物理问题中的应用。 一、平面向量的定义与表示方法 平面向量是指具有大小和方向的量，通常用箭头表示。一个平面向量可以由两个有序实数构成，分别表示向量在水平方向和垂直方向的分量。常用的表示方法有坐标表示法和向量代数表示法。 二、平面向量的加减运算 平面向量的加法和减法运算可以理解为将向量按照箭头首尾相接的方式进行连接或相减。具体计算时，将向量的坐标分量相加或相减即可。 三、平面向量的数量积 平面向量的数量积又称为点积或内积，用符号"·"表示。数量积的结果是一个实数，表示两个向量的夹角的余弦值与向量的模的乘积。数量积的计算公式为：A·B = |A||B|cosθ，其中A和B分别为平面向量，θ为它们的夹角。 四、平面向量的叉积 平面向量的叉积又称为向量积或外积，用符号"×"表示。叉积的结果是一个向量，垂直于原来两个向量所在的平面，并满足右手定则。
叉积的计算公式为：A×B = |A||B|sinθn，其中A和B分别为平面向量，θ为它们的夹角，n为垂直于二维平面的单位向量。 五、三角函数的定义与性质 三角函数是以三角形的边长比值来定义的。常见的三角函数有正弦 函数、余弦函数和正切函数等。它们的定义与性质如下： 1. 正弦函数：sinθ = 对边/斜边； 2. 余弦函数：cosθ = 邻边/斜边； 3. 正切函数：tanθ = 对边/邻边； 4. 三角函数的周期性和奇偶性等性质。 六、平面向量与三角函数的关系 平面向量与三角函数之间存在着密切的关系。具体来说，平面向量 A的模可以表示为：|A| = √(x² + y²)，其中(x, y)为向量的坐标分量。而 三角函数中的正弦函数和余弦函数也是以二维平面上的点的坐标为基 础来定义的。因此，平面向量与三角函数之间存在如下关系： 1. 平面向量的模可以与三角函数中的正弦函数和余弦函数建立联系； 2. 平面向量的数量积与三角函数中的余弦函数有关； 3. 平面向量的叉积与三角函数中的正弦函数有关。 七、平面向量与三角函数的应用
【高考数学大题精做】专题04 三角函数与平面向量结合问题(含答案详解)
【高考数学大题精做】 第一篇 三角函数与解三角形 专题04 三角函数与平面向量结合问题 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，已知点()2,0A 和单位圆上的两点()10 B ,，34,55 C ⎛⎫ - ⎪⎝⎭ ，点P 是 劣弧»BC 上一点，BOC α∠=，BOP β∠=． （1）若OC OP ⊥，求()()sin sin παβ-+-的值； （2）设()f t OA tOP =+u u u v u u u v ，当()f t 的最小值为1时，求OP OC ⋅u u u v u u u v 的值． 【思路引导】 （1）根据任意角三角函数定义可求得sin ,cos αα，利用2 π βα=-可求得sin cos βα=-，结合诱导公式可化简求出结果； （2）利用向量坐标表示可得到()2cos ,sin OA tOP t t ββ+=+u u u v u u u v ，可求得2 24cos 4OA tOP t t β+=++u u u v u u u v ， 根据二次函数性质可求得2 2min 44cos OA tOP β+=-u u u v u u u v ，从而利用()f t 的最小值构造方程可求得2cos β，
根据角的范围可求得sin β和cos β，进而根据数量积的坐标运算可求得结果. 【典例2】【江苏省启东中学2020届高三上学期期初考试数学试题】 在平面直角坐标系xOy 中，设向量()cos sin a αα =r ，，()sin cos b ββ =-r ，，() 12c =-r ． （1）若a b c +=r r r ，求sin ()αβ-的值； （2）设5π 6α=，0πβ<<，且()//a b c +r r r ，求β的值． 【思路引导】 （1）利用向量的数量积转化求解两角差的三角函数即可； （2）通过向量平行，转化求解角的大小即可．
三角函数与平面向量高考试题分析
平面向量高考试题分析 一、平面向量在教材中的地位： 1. 掌握向量的基本概念，基本运算，相关公式，注意定比分点坐标公式和平移 公式。 2. 掌握正余弦定理在解三角形中的运用。 3. 三角函数与平面向量、平面几何、解析几何等知识点的综合运用是高考得重 点与热点，尤其是三角函数与向量的综合。这就要求熟练掌握三角变换公式； 掌握三角初等函数的性质，并能用它研究复合函数的性质；掌握三角函数最 值、值域及与之有关问题的解法。 二、平面向量 1.向量的基本概念和运算 数乘向量：a λr 向量平行：1221b a x y x y λ=⇒=r r 向量数量积：1212cos a b a b x x y y θ==+r r r r g 向量垂直：112200a b a b x y x y ⊥⇒=⇔+=r r r r g 向量模：a ==u u r 2.解斜三角形 三角形面积公式：11()22111sin sin sin 222S ha r a b c S ac B ab C bc A = =++=== 正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C === 余弦定理：2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 三、平面向量高考试题类型 主要考察平面向量的相关概念和运算法则以及基本技能，如向量的平行、 垂直、向量夹角等。 单独考察多以填空题和选择题形式出现。 平面向量与三角、几何、解析几何相关的交叉内容，多以解答题形式考查。
1.平面向量基本知识考查： 例1.(5,6),(,5),a b x a b x =-=r r r r 若与平行，则为（ ） 由向量坐标运算可得两非零向量有1221a b x y x y ⇒=r r P ，所以256 x =- ,,2,3i j x y ABC AB i j AC i k j k =+=+r r u u u r r r u u u r r r 例2.在平面直角坐标系中，分别是与轴正方向同向的单位向量。在直角三角形中，若，则的可能值个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 (2,1),(3,),(1,1)AB AC k BC k ===-u u u r u u u r u u u r （1） 若角A 为直角，则606AB AC k k =+=⇒=-u u u r u u u r g （2） 若角B 为直角，则2101AB BC k k =+-=⇒=-u u u r u u u r g （3） 若角C 为直角，则230BC AC k k k =-+=⇒u u u r u u u r g 无解 所以可能值有2个 点评：平面向量的基本概念，基本运算及相关公式，只要掌握其相关知识，不 难解决此类问题。 2.平面向量在解析几何中的应用 22(4,0)(4,0)sin sin 1259sin ABC A C B x y A C B ∆-++==例 3.在平面直角坐标系中，已知的顶点和，顶点在椭圆 上，则（ ）。 设三角形的三边为,,a b c ，因为B 在椭圆上，由椭圆定义知108 a c b +=⎧⎨=⎩ 又由正弦定理 2sin sin sin a b c R A B C ===，则sin sin 5sin 4 A C a c B b ++== 24,,0F y x A B C FA FB FC FA FB FC =++=++=u u u r u u u r u u u r r u u u r u u u r u u u r 例4.设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若，则（ ） 若0FA FB FC ++=u u u r u u u r u u u r r ，则F 为三角形重心，A,B,C 三点的横（纵）坐标的和为F 点横（纵）坐标的3倍。 F 为焦点，由抛物线的定义有111336A B C F FA FB FC x x x x ++=+++++=+=u u u r u u u r u u u r
向量与三角交汇的全面解析 (2)
向量与三角交汇的全面解析 广东 谭渊 当今数学命题注重知识的整体性和综合性，重视知识的交汇性．向量是高中新增内容， 具有代数与几何形式的双重身份．它是新旧知识的一个重要的交汇点，是联系这些知识的桥梁．因此，向量与三角的交汇是当今数学命题的必然趋势，下面举例说明． 一、向量与三角函数性质的交汇 例1 已知向量a 33cos sin 22x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，b cos sin 22x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，且π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，，求： （1）a b ·及a b +； （2）若()f x 2λ=-+a b a b ·的最小值是32 -，求λ的值． 解析：（1）·a b 33cos cos sin sin cos22222 =-=x x x x x ··； a b += π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，，cos 0x ∴>，∴a b +2cos x =． （2）()cos 24cos f x x x λ=-，即22()2(cos )12f x x λλ=---， π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，，0cos 1x ∴≤≤． ① 当0λ<时，当且仅当cos 0x =时，()f x 取得最小值1-，这与已知矛盾． ② 当01λ≤≤时，当且仅当cos x λ=时，()f x 取得最小值212λ--， 由已知23122λ--=-，解得12 λ=． ③ 当1λ>时，当且仅当cos 1x =时，()f x 取得最小值14λ-， 由已知得3142λ-=-，解得58 λ=，这与1λ>相矛盾． 综上所述，12 λ= 即为所求． 点评：本题是以平面向量的知识为平台，考查了三角函数的有关运算，运用了分类讨论的思想方法． 二、向量与三角函数求值、运算的交汇 例2 设a (1cos ,sin )αα=+，b (1cos ,sin )ββ=-，c (1,0)=，(0π)(π2π)αβ∈∈，，，， a 与c 的夹角为1θ，b 与c 的夹角为2θ，且12π6θθ-=，求sin 4 αβ-的值． 解析：2cos 2a α == ， 2sin 2b β=，1c =， 又2 1cos 2cos 2a c αα=+=·，21cos 2sin 2b c ββ=-=·， 1cos cos 2a c a c αθ∴= =·，2cos sin 2b c b c βθ==·． π022α ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，，12 αθ∴=． 又(π2π)β∈，，ππ22β⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭ ，，即ππ0222β<-<，
2020高考数学解答题核心素养题型《专题04 三角函数与平面向量综合问题》(专项训练)(解析版)
专题04 三角函数与平面向量综合问题 1．(2017·北京卷)在△ABC 中，∠A ＝60°，c ＝3 7a . (1)求sin C 的值； (2)若a ＝7，求△ABC 的面积． 【答案】见解析 【解析】(1)在△ABC 中，因为∠A ＝60°，c ＝37a ，所以由正弦定理得sin C ＝c sin A a ＝37×32＝33 14. (2)因为a ＝7，所以c ＝37×7＝3.由余弦定理得72＝b 2＋32 －2b ×3×12，解得b ＝8，所以△ABC 的面积S ＝ 12 bc sin A ＝1 2×8×3× 3 2 ＝6 3. 2．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，－π2<φ<π2，x ∈R 的部分图象如图所示． (1)求函数y ＝f (x )的解析式； (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤－π2，π2时，求f (x )的取值范围． 【答案】见解析 【解析】(1)由图象知A ＝2，又T 4＝5π6－π3＝π2，ω>0，所以T ＝2π＝2π ω ，解得ω＝1，所以f (x )＝2sin(x ＋φ)．将点⎝ ⎛⎭ ⎪⎫π3，2代入得π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，即φ＝π6＋2k π(k ∈Z )，又－π2<φ<π2，所以φ＝π6.所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6. (2)x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，则x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，即f (x )∈[－3，2]． 3．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，0＜φ＜2π3的最小正周期为π. (1)求当f (x )为偶函数时φ的值； (2)若f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π 6，32，求f (x )的单调递增区间． 【答案】见解析 【解析】因为f (x )的最小正周期为π，则T ＝2π ω ＝π，所以ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)．
三角函数与平面向量问题的求解策略.docx
三角函数与平面向量问题的求解策略 类型1三角函数的图象与性质 三角函数的图象与性质是高考的热点,求解这类问题不仅要熟练掌握正弦(余弦)函数 的图象与性质，而且要灵活利用两角和(差)公式、倍角公式以及同角关系进行恒等变换, 这是进一步研究函数性质、三角函数式化简求值的基础. (2015*济南质检)已知函数/(x)=sin wx-cos cox+yl3cos 2cox —^'((t )> 0), 直线X=X1，x=x 2是丿=/(x)图象的任意两条对称轴，且\x\—x 2\的最小值为* (1) 求/(X )的表达式； (2) 将函数/(X )的图象向右平移殳个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为 原 来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g (x)的图象，若关于x 的方程g (x)+A=0,在 区间卜，劭上有且只有一个实数解，求实数％的取值范围. ［思路点拨］⑴先将/(X )的解析式化为f(x) = ^sin(f9x +(P )的形式，再根据周期求妙 (2)根据图象变换求g(x),画出图象求k 的取值范围. |规范解答］⑴f 3 =*sin 2必+ £x 】 +笃2s _¥ = *sin 2必+ ^^cos 2ax = JI 7i 2 n n 由题意知 T=2X —=—9又T=—=~ ⑵ 将f 3的图象向右平移专个单位后，得到 尸55(心一壬)的图象，再将所得图象所有点的横 坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到 尸sin (2x —司的图象•所以g3=sin (2x —冷) JI 7T 71 5 n . 、 ■一、 令 2x ——= t, T —百0乃冬二~・ g(x)+#= 0 在区间 O Z o, y 上有且只有一个实数解，即函数g &)=sin 广与尸_k 在区间 n 5 n "I 一石，上有且只有一个交点.如图所示, 【典例1】 sin 2 ex+ JT 所以 ®=2…f{x) =sin
高考数学(理)总复习讲义：三角函数与平面向量的难点问题集释
考法（一）角的最值或范围问题 n C 对应的边分别为 a , b , c , A M -, sin C + sin(B — ［解析］ 在厶 ABC 中，C = n — (A + B),所以 sin(A + B) + sin(B — A) = 2sin 2A ,即卩 2sin Bcos A = 2 .2sin Acos A , 因为 A M 扌，所以cos A M 0,所以sin B = ^2sin A ，由正弦定理, 1 2 . 2 .2 2 宀2 b + C b + c — a 2 cosA = = > 2bc 2bc 2bc b 时等号成立，所以 A € 0, . ［答案］B 考法（二）边（周长）的最值或范围问题 ［例2］ 如图，平面四边形 ABDC 中，/ CAD = / BAD = 30 ° (1)若/ ABC = 75 °, AB = 10,且 AC // BD ，求 CD 的长； ⑵若BC = 10,求 AC + AB 的取值范围. ［解］（1）由已知，易得/ ACB = 45 °在厶ABC 中，=°^0，。解得BC = 5 6. 因为 AC / BD ，所以/ ADB = / CAD = 30°,/ CBD = / ACB = 45°，在△ ABD 中，/ ADB =30°=/ BAD ，所以 DB = AB = 10.在△ BCD 中，CD = BC 2 + DB 2— 2BC DBcos 45 = 5 10 — 4 匚3. AB 2 + AC 2— 100 (2)AC + AB > BC = 10,由 cos 60 = —2AB AC , 得(AB + AC)2 — 100 = 3AB AC ,而 AB AC < A B ；A C 2 , 所 以 A B + A C ~-100 w AB +AC 2,解得 AB + AC < 20, 故AC + AB 的取值范围为（10,20］. 三角形中的最值、范围问题 三角函数与平面向量的难点问题集释 则角A 的取值范围为（ D . ［例1］ 在厶ABC 中，内角A ，B ， 2 ° = 22，当且仅当c = 22 2 2 得b = 2a ,由余弦定理得 1 2 2
高一三角函数与平面向量综合题
讲座 三角形内的三角函数问题 ○知识梳理 1.内角和定理：三角形三角和为π，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！ 任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余. ,sin()sin ,sin cos 22 A B C A B C A B C π++=-+== 锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔三内角的余弦值为正值⇔任两角和都是钝角⇔ 任意两边的平方和大于第三边的平方. A>B a>b sinA>sinB ⇔⇔，60⇔A,B,C 成等差数列B= 2.正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C ===(R 为三角形外接圆的半径). 注意：①正弦定理的一些变式： ()sin sin sin i a b c A B C ::=::； ()sin ,sin ,sin 222a b c ii A B C R R R = == ； ()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===； ②已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解. 3.余弦定理：222 2 2 2 2cos ,cos 2b c a a b c bc A A bc +-=+-=等，常选用余弦定理鉴定 三角形的形状. 4.面积公式： 222111222111sin sin sin 222sin sin sin sin sin sin 1112sin 2sin 2sin 1()2 ==========++=a b c S ah bh ch ab C bc A ca B B C C A A B a b a A B C r a b c （其中r 为三角形内切圆半径,2 a b c p ++=）. 5.射影定理： a ＝ b ·cos C ＋ c ·cos B ，b ＝a ·cos C ＋c ·cos A ，c ＝a ·cos B ＋c ·cos A ． 特别提醒：求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。
2023届高考数学二轮复习提升微专题几何篇第06讲怎样用向量法解三角函数问题含解析
第06讲 怎样用向量法解三角函数问题 一、知识与方法 本讲主要探究平面向量与三角函数以及解三角形的综合问题的命题形式与解题思路,主要体现在以下 3 个方面。 （1）题设给出向量的坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立等,得到三角函数的关系式,然后求解. （2）给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其他向量表达式,解题思路是经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性,探求值域或最值或参数的取值范围等. （3) 运用向量法解三角形主要是向量的垂直与夹角问题,一对向量垂直与向量所在直线的垂直是一致的,向量的线性运算与向量的坐标运算是求解两向量关系问题的两大途径,关于夹角问题,可以把两个向量的夹角放在三角形中,利用正余弦定理. 三角形的面积公式求解. 二、典型例题 【例1】(1) .在锐角ABC 中,若137,8,,cos ,sin ,22a b m A n A ⎛⎫⎛⎫ ====- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 且m ⊥n , 则ABC 的面积为( ). A. C. D. (2) .平面直角坐标系中,角θ满足()34 sin ,cos ,0,12525 OA θ θ=-==-,设点B 是角θ终边上一动点,则| OA OB -∣的取值范围为 【分析】 第(1)问,要求三角形的面积,只需求出B ∠的正弦值,而这就要借助已知条件两个向量的垂直关系,先求出A ∠, 进而再运用正弦定理求(B ∠或其三角函数值),最后利用三角形的内角定理,找到问题的解. 第(2)问是三角函数定义、二倍角公式与用坐标运算). 两个视角各具特色,作为填空题, 从“形”的角度处理相对简捷. 【解析】(1) 1,sin 02m n A A ⊥∴=, 又090,cos 0A A ∠<<∴≠ 则有tan A = 因此60A ∠=.
微专题五：平面向量与解三角形结合的中档题类型-解析
微专题：平面向量与解三角形结合的中档题类型 一、单选题 1．已知12,e e 为单位向量，且1222e e +≤，若非零向量a 满足12a e a e ⋅≤⋅，则( )12 2a e e a ⋅+的最大值是 （ ） A ． 4 B ． 2 C ． 2 D ． 4 【答案】D 【分析】 设()11,0e =，()2cos ,sin e αα=，由1222e e +≤，计算可得1 cos 4 α≤- ，设()cos ,sin a r r ββ=，0r >，由12a e a e ⋅≤⋅，计算可得()cos cos βαβ≤-，可推出()22πk k βα=+∈Z 时，等号成立，计 算可得 ( )()12 22cos cos a e e a βαβ⋅+=+-()3cos αβ≤-3cos β= ，结合 2 1cos cos 22cos 14αββ==-≤-，可求出cos 44β-≤≤ ，从而可求出() 12 2a e e a ⋅+的最大值. 【详解】 由题意，可设()11,0e =，()2cos ,sin e αα=，则()12212cos ,2sin e e αα+=+， 由1222e e +≤，可得()2 212cos +4sin 4αα+≤，整理得1 cos 4 α≤-， 设()cos ,sin a r r ββ=，0r >， 由12a e a e ⋅≤⋅，可得()()()()cos ,sin 1,0cos ,sin cos ,sin r r r r ββββαα⋅≤⋅， 即cos cos cos sin sin r r r ββαβα≤+，所以()cos cos βαβ≤-， 当()cos cos βαβ=-时，()2πk k βαβ=-+∈Z 或()2πk k βαβ=-++∈Z ， 即()22πk k βα=+∈Z 或()2πk k α=∈Z ， 因为1 cos 4 α≤- ，所以()2πk k α=∈Z 不符合题意， 故()cos cos βαβ=-时，()22πk k βα=+∈Z . 而 ( )()12 22cos cos cos sin sin 2cos cos a e e r r r r a ββαβαβαβ⋅+++==+-，