2020届河北衡水中学高三文科数学试卷及答案

2020届衡水中学高三期中考试

数学（文科）试卷

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、

选择题（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确

答案的序号填涂在答题卡上） 1.复数321

i

z i i =

+-（i 为虚数单位）的共轭复数为（ ） A ．12i - B ．12i + C ．1i - D ．1i - 2.已知集合{}0,1A =，{}

,,B z z x y x A y A ==+∈∈，则B 的子集个数为（ ） A ．8 B ．3 C ．4 D ．7

3.已知平面直角坐标系内的两个向量(1,2),(,32)a b m m ==-v v

，且平面内的任一向量c v 都

可以唯一的表示成c a b λμ=+v v v

（,λμ为实数），则m 的取值范围是（ ）

A ．(,2)-∞

B ．(2,)+∞

C ．(,)-∞+∞

D ．(,2)(2,)-∞+∞U

4.将函数(

)cos f x x x =-的图象向左平移m 个单位(0)m >，若所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是（ ） A ．

23π B ．3π C ．8π D ．56

π

5.已知等比数列{}n a 中，3462,16a a a ==，则

1012

68

a a a a --的值为（ ）

A ．2

B ．4

C ．8

D ．16

6.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．3272π-

B ．3182

π- C ．273π- D ．183π-

7.如图，偶函数()f x 的图象如字母M ，奇函数()g x 的图象如字母N ，若方程

(())0f g x =， (())0g f x =的实根个数分别为m 、n ，则m n +=（ ）

A ．12

B ．18

C ．16

D ．14 8.函数2)(1

-=-x a

x f )1,0(≠>a a 的图象恒过定点A ，若点A 在直线0

1=--ny mx 上，其中0,0>>n m ，则

n

m 2

1+的最小值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．223+

9.三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面,,1,3ABC AC BC AC BC PA ⊥===，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）

A ．5π

B 2π

C ．20π

D ．4π 10.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是（ ） A ．3024 B ．1007 C ．2015 D ．2016

11.已知函数3

2

()3f x x x x =-+的极大值为m ，极小值为n ，则 m+n=( )

A.0

B.2

C.-4

D.-2

12.某实验室至少需要某种化学药品10kg ，现在市场上出售的该药品有两种包装，一种是每袋3kg ，价格为12元；另一种是每袋2kg ，价格为10元.但由于保质期的限制，每一种包装购买的数量都不能超过5袋，则在满足需要的条件下，花费最少为（ ）元 A ．56 B ．42 C ．44 D ．54

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分） 13.与直线310+-=x y 垂直的直线的倾斜角为 14.若函数(21)1

()1a x f x x x

++=+

+为奇函数，则a =________．

15．已知2

2

:12,:210,(0)p x q x x a a -≤-+-≥>，若p ?是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 ．

16．如图，在三棱锥A BCD -中，2BC DC AB AD ====，2BD =，平面ABD ⊥平面BCD ，

O 为BD 中点，点,P Q 分别为线段,AO BC 上的动点（不含端点），且AP CQ =，则三棱

锥P QCO -体积的最大值为________．

三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 17.(本小题满分12分）如图，在ABC ?中，030B ∠=，25AC =D 是边AB 上一点． （I ）求ABC ?的面积的最大值；

（Ⅱ）若2,CD ACD =?的面积为4，ACD ∠为锐角，求BC 的长．

18．(本小题满分12分）已知数列{}n a 中，11a =，11()2

n n n a a +?=，记2n T 为{}n a 的前2n 项的和，221n n n b a a -=+，N n *∈．

（1）判断数列{}n b 是否为等比数列，并求出n b ； （2）求2n T .

19. (本小题满分12分）

如图所示，在多面体EF ABC -中，ABC ?是边长为2的等边三角形，O 为BC 的中点，

//,3EF AO EA EC EF ===．

（1）求证：AC BE ⊥； （2）若5,3BE EO ==B 到平面AFO 的距离．

20．(本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为矩形，22=AB ，

2=BC ，点P 在底面上的射影在AC 上，E ，F 分别是BC AB ,的中点.

（I ）证明：⊥DE 平面PAC ；

（II ）在PC 边上是否存在点M ，使得∥FM 平面PDE ？若存在，求出PC

PM

的值；若不存在，请说明理由.

21.（本小题满分12分） 设函数ax x

x

x f -=

ln )(. （1）若函数)(x f 在),1(+∞上为减函数，求实数a 的最小值；

（2）若存在[

]

2

21,,e e x x ∈，使a x f x f +'≤)()(21成立，求实数a 的取值范围.

请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．请在答题卡上将所做的题号后面的方框涂黑. 22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，已知直线l :??

?+-=+=t

y t

x 21（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴

正半轴为极坐标建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2

sin 2cos ρθθ=,直线l 和曲

线C 的交点为,A B ．

（Ⅰ）求直线l 和曲线C 的普通方程； （Ⅱ）求||||PB PA +．

23．已知函数()f x x =，()4g x x m =--+ （Ⅰ）解关于x 的不等式()20g f x m +->????；

（Ⅱ）若函数()f x 的图像恒在函数()g x 图像的上方，求实数m 的取值范围．

高三期中考试文科数学参考答案

1-5.BADAB 6-10.BADA B 11. D 12. C

13.

3

π 14.-1 15.(0,2]

17. （1）因为在ABC ?中，0

30,B AC D ∠==是边AB 上一点，

所以由余弦定理得：

(

22222AC 20AB BC 2AB BCcos ABC AB BC BC 2AB BC

==+-?∠=+?≥?

所以(202

AB BC

?≤=

所以(

ABC

1

S AB BCsinB52

2

=?≤

V

所以ABC

?

的面积的最大值为5(2+

（2）设ACDθ

∠=，在ACD

?中，

因为2,

CD ACD

=?的面积为4，ACD

∠为锐角，

所以

ABC

11

S AC CDsin2sin4

22

=?θ=?θ=

V

所以sinθθ

==，

由余弦定理，得，222

AD AC CD2AC CD cos204816

=+-?θ=+-=

所以4

AD=，

由正弦定理，得

sin sin

AD CD

A

θ

=，所以

42

sin sin A

θ

=

，所以sin A=，

此时

sin sin

BC AC

A B

=，所以

sin

4

sin

AC A

BC

B

==．所以BC的长为4

18.（1）Q

1

1

()

2

n

n n

a a

+

?=，1

12

1

()

2

n

n n

a a+

++

∴?=，

2

1

2

n

n

a

a

+

∴=，即

2

1

2

n n

a a

+

= 2分221

n n n

b a a

-

=+

Q，

∴

221

12221

221221

11

1

22

2

n n

n n n

n n n n n

a a

b a a

b a a a a

-

+++

--

+

+

===

++

所以{}

n

b是公比为

1

2

的等比数列. 5分1

1

a=

Q，

12

1

2

a a?=，

2

1

2

a

∴=

112

3

2

b a a

?=+=

1

313

()

222

n

n n

b-

∴=?= 6分

（2）由（1）可知

2

1

2

n n

a a

+

=，所以

135

,,,

a a a L是以

1

1

a=为首项，以

1

2

为公比的等比

数列；246, , , a a a L 是以212a =

为首项，以1

2

为公比的等比数列 10分 21321242()()n n n T a a a a a a -∴=+++++++L L

111

1()[1()]

322231121122

n n n --=+=--- 12分 19.

（1）取AC 的中点H ，连接,EH BH ，因为EA EC =，所以EH AC ⊥， 因为ABC ?为等边三角形，所以,BA BC BH AC =⊥， 因为BH EH H =I ，所以AC ⊥平面BEH ， 因为BE ?平面BEH ，所以AC BE ⊥

（2）

因为在EAC ?中，3,2EA EC AC ===，

所以312EH =-=

因为ABC ?为等边三角形，所以3BH =

因为5BE =222

EH HB BE +=，所以EH HB ⊥，

因为AC HB H =I ，所以EH ⊥平面ABC ，

又因为

343ABC S ?=

=16323E BCA V -==， 因为EF//AO ，所以6

3F BCA E BCA V V --==

,

因为3EO =

，四边形AOFE 为平行四边形，3EA EF ==

所以

1

120,

2

AOF

AOF S

?

∠===

设点B到平面AFO的距离为d，

由

1

2

B AFO F BCA

V V

--

==

，得

1

3

d

?=

，解得3

d=

20. （I）在矩形ABCD

中，:

AB BC=，且E是AB的中点，

∴tan∠ADE=tan

∠CAB=,

∴∠ADE=∠CAB,

∵∠CAB+∠DAC90

=o,∴∠ADE+∠DAC90

=o,即AC⊥DE.

由题可知面PAC⊥面ABCD，且交线为AC，∴DE⊥面PAC.

（II）作DC的中点G，GC的中点H，连结GB、HF.

∵DG∥EB，且DG=EB∴四边形EBGD为平行四边形，∴DE∥GB

∵F是BC的中点，H是GC的中点，∴HF∥GB，∴HF∥DE.

作H作HM∥PD交PC于M，连结FM，

∵HF∥DE,HM∥PD，∴平面HMF∥平面PDE，∴FM∥平面PDE.

由HM∥PD可知：∴3

PM DH

MC HC

==

21.（1）函数定义域为：{}1

,0≠

>x

x

x且，对函数)

(x

f求导：a

x

x

x

f-

-

=

'

2

ln

1

ln

)

(，若函数)

(x

f在)

,1(+∞上为减函数，则0

ln

1

ln

)

(

2

≤

-

-

=

'a

x

x

x

f在)

,1(+∞恒成立

所以：0

)

(

max

≤

'x

f………2分

由a x a x

x x f -+--=--=

'41)21ln 1(ln 1ln )(22

，故当21

ln 1=x ，即2e x =时，041

)(max

≤-='a x f 所以： 41≥a ，所以a 的最小值是41

………………5分

（2）若存在[

]

2

21,,e e x x ∈，使a x f x f +'≤)()(21成立，则问题等价为：

当[

]

2

21,,e e x x ∈时，a x f x f +'≤)()(max

min 由（1）知：)(x f '在[

]2

,e e x ∈的最大值为a -4

1，所以4

1)(max =

+'

a x f 所以问题转化为：4

1

)(min ≤x f ………………7分 （ⅰ）当4

1≥

a 时，由（1）知：)(x f 在[]

2

,e e 是减函数， 所以)(x f 的最小值是412)(222

≤-=ae e e f ，解得：24121e

a -≥ （ⅱ）当41<

a 时，a x x f -+--='41)21ln 1()(2在[]

2,e e 的值域是??

?

???--a a 41,

①当0≥-a ，即0≤a 时， )(x f 在[

]

2

,e e 是增函数，于是：

4

1

)()(min >

≥-==e ae e e f x f ，矛盾 ②当0<-a ，即4

10<

2

0.e e x ∈，使得0)(0='x f

且当()0,x e x ∈时，0)(<'x f ，)(x f 为减函数；当()

2

0,e x x ∈时，0)(>'x f ，)(x f 为

增函数

所以：)(x f 的最小值为4

1

ln )(0000≤-=

ax x x x f ， 即：4

1

412141ln 141ln 1200>-=->-≥

e e e x x a ，矛盾 综上有：24121e

a -≥

22．解：（1）直线l 的普通方程是：03=--y x ，曲线C 的普通方程是：x y 22=……4分

（2）将直线l 的标准参数方程是：???

????+-=+=t y t x 22222

1（t 为参数）代入曲线x y 22

=可

得

04262=+-t t ，所以26||||||||2121=+=+=+t t t t PB PA ………………10分

23.（Ⅰ）()()6,22,6--U ；（Ⅱ）4m <．

解：（Ⅰ）由()20g f x m +->????得42x -<，242,26x x ∴-<-<∴<<， 故不等式的解集为()()6,22,6--U （5分） （Ⅱ）∵函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方 ∴()()f x g x >恒成立，即4m x x <-+恒成立 ∵()444x x x x -+≥--=， ∴m 的取值范围为4m <． （10分）