正弦、余弦定理习题精选精讲
正、余弦定理的五大命题热点
知识点:
1、正弦定理:在C ?A B 中,a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边,R 为C ?A B 的外接圆的半径,则有
2s i n s i n s i n a b c R C
=
=
=A
B
.
2、正弦定理的变形公式:
①2sin a R =A ,2sin b R =B ,2sin c R C =; ②sin 2a R
A =,sin 2b R
B =
,sin 2c C R =
;
③::sin :sin :sin a b c C =A B ; ④sin sin sin sin sin sin a b c
a
b c
C
C
++=
=
=
A +
B +A B
.
3、三角形面积公式:111
sin sin sin 222
C
S bc ab C ac ?A B =A ==B . 4、余弦定理:在C ?A B 中,有2222cos a b c bc =+-A ,2222cos b a c ac =+-B ,2222cos c a b ab C =+-.
5、余弦定理的推论:2
2
2
cos 2b c a
bc
+-A =,222
cos 2a c b
ac
+-B =
,222
cos 2a b c
C ab
+-=
.
6、设a 、b 、c 是C ?A B 的角A 、B 、C 的对边,则:①若222a b c +=,则90C = ;②若222a b c +>,则90C < ;③若222a b c +<,则90C > .
正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具,其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。主要有以下五大命题热点:
一、求解斜三角形中的基本元素
指已知两边一角(或二角一边或三边),求其它三个元素问题,进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题.
1、ABC ?中,3
π
=A ,BC =3,则ABC ?的周长为( )
A .33sin 34+???
?
?
+
πB B .36sin 34+??? ??+πB C .33sin 6+??? ??+πB D .36sin 6+??? ?
?
+πB 2、 在ΔABC 中,已知6
6cos ,3
64==B AB ,AC 边上的中线BD =5,求sin A 的值.
3、在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c ,若∠C=120°,a ,则 A.a >b B.a <b C. a =b D.a 与b 的大小关系不能确定
4、在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别是a,b,c ,若2
2
a b -=
,sin C B =,则A=
(A )0
30 (B )0
60 (C )0120 (D )0
150 5、在A B C ?中,a=15,b=10,A=60°,则cos B =
A -3
B 3
C 3
3
6、在△ABC 中,若b = 1,
23
C π∠=
,则a = 。
7、 在△ABC 中,已知B=45°,D 是BC 边上的一点, AD=10,AC=14,DC=6,求AB 的长.
8、在锐角A B C ?中,1,2,BC B A ==则
cos A C
A
的值等于 ,A C 的取值范围为 . 9、△ABC 中,,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,sin sin tan cos cos A B C A B
+=
+,sin()cos B A C -=.
(1)求,A C ; (2
)若3ABC S ?=+
求,a c .
二、判断三角形的形状:给出三角形中的三角关系式,判断此三角形的形状. 1、在ABC ?中,已知C B A sin cos sin 2=,那么ABC ?一定是( ) A .直角三角形 B .等腰三角形 C .等腰直角三角形 D .正三角形 2、18.若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =,则△ABC (A )一定是锐角三角形. (B )一定是直角三角形.
(C )一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形. 三、 解决与面积有关问题:主要是利用正、余弦定理,并结合三角形的面积公式来解题. 1、在A B C ?中,若120A ∠= ,5A B =,7B C =,则A B C ?的面积S =_________四、求值问题
1、在ABC ?中,C B A ∠∠∠、、所对的边长分别为c b a 、、, 设c b a 、、满足条件222a bc c b =-+和
321+
=b c ,求A ∠和B tan 的值. 2、在锐角三角形ABC ,A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,6cos b a C a b
+=,则
tan tan tan tan C C A
B
+=_________。
3、 在△ABC 中,a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边,且2sin (2)sin (2)sin .a A a c B c b C =+++ (Ⅰ)求A 的大小;
(Ⅱ)求sin sin B C +的最大值.
五、正余弦定理解三角形的实际应用
利用正余弦定理解斜三角形,在实际应用中有着广泛的应用,如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识,例析如下: (一.)测量问题
1、如图1所示,为了测河的宽度,在一岸边选定A 、B 两点,望对岸标记物C ,测得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120cm ,求河的宽度。
(二.)遇险问题
2、某舰艇测得灯塔在它的东15°北的方向,此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进,30分钟后又测得灯塔在它的东30°北。若此灯塔周围10海里内有暗礁,问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险?
西
北 南
东 A B
C
30° 15°
图2
图1 A
B
C
D
(三.)追击问题
3、 如图3,甲船在A 处,乙船在A 处的南偏东45°方向,距A 有9n mile 并以20n mile/h 的速度沿南偏西15°方向航行,若甲船以28n mile/h 的速度航行,应沿什么方向,用多少h 能尽快追上乙船?
五、交汇问题
是指正余弦定理与其它知识的交汇,如与不等式、数列、立体几何(特别是求角与距离)、解析几何、实际问题等知识交汇.
1、△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知a ,b ,c 成等比数列,.43cos =
B
(Ⅰ)求cot A +cot C 的值; (Ⅱ)设3
2
B A B
C ?= ,求a +c 的值.
易错题解析
例题1 在不等边△ABC 中,a 为最大边,如果a b c 222<+,求A 的取值范围。 错解:∵a b c b c a 2222220<++->,∴。则
cos A b c a
bc
=+->2
2
2
20,由于cosA 在(0°,180°)上为减函数且cos 90090°,∴°= 又∵A 为△ABC 的内角,∴0°<A <90°。 辨析:错因是审题不细,已知条件弱用。题设是a 为最大边,而错解中只把a 看做是三角形的普通一条边,造成解 题错误。 正解:由上面的解法,可得A <90°。 又∵a 为最大边,∴A >60°。因此得A 的取值范围是(60°,90°)。 例题2 在△ABC 中,若 a b A B 22 = tan tan ,试判断△ABC 的形状。 错解:由正弦定理,得 sin sin tan tan 2 2 A B A B = 即 sin sin sin cos cos sin sin sin 2 2 00A B A A B B A B = >>· ,∵, ∴,即sin cos sin cos sin sin A A B B A B ==22。 ∴2A =2B ,即A =B 。故△ABC 是等腰三角形。 辨析:由sin sin 22A B =,得2A =2B 。这是三角变换中常见的错误,原因是不熟悉三角函数的性质,三角变换生疏。 正解:同上得sin sin 22A B =,∴2A =22k B π+ 或222A k B k Z =+-∈ππ()。 ∵000<<<<==A b k A B ππ,,∴,则或A B =-π 2 。 故△ABC 为等腰三角形或直角三角形。 例题3 在△ABC 中,A =60°,b =1,S ABC △=3,求 a b c A B C ++++sin sin sin 的值。 错解:∵A =60°,b =1,S ABC △= 3,又S A B C △= 12 bc A sin , 图3 ° ∴312 = c sin 60°,解得c =4。 由余弦定理,得a b c bc A =+-= +-2 2 2116860cos cos °=13 又由正弦定理,得sin sin C B = = 639 3239 ,。 ∴ a b c A B C ++++= +++ + sin sin sin 1314323239 639 。 辨析:如此复杂的算式,计算困难。其原因是公式不熟、方法不当造成的。 正解:由已知可得c a == 413,。由正弦定理,得 213602393 R a A === sin sin ° 。∴ a b c A B C R ++++== sin sin sin 22393 。 例题4 在△ABC 中,c =+62,C =30°,求a +b 的最大值。 错解:∵C =30°,∴A +B =150°,B =150°-A 。 由正弦定理,得 a A b A sin sin() sin = -= + 15062 30°° ∴a A =+ 262()sin , b A =+-262150()sin()° 又∵sin sin()A A ≤-≤11501,°∴a b +≤+++ =+ 262262462()()()。 故a b +的最大值为462()+ 。 辨析:错因是未弄清A 与150°-A 之间的关系。这里A 与150°-A 是相互制约的,不是相互独立的两个量,sinA 与sin(150°-A)不能同时取最大值1,因此所得的结果也是错误的。 正解:∵C =30°,∴A +B =150°,B =150°-A 。 由正弦定理,得 a A b A sin sin() sin = -= + 15062 30°° 因此a b A A +=++-262150()[sin sin()]° sin 75cos(75)cos(75)4 (8cos(75)8A A A =-=-=+-≤+°°°° ∴a +b 的最大值为843+。 例题5 在△ABC 中,已知a =2,b =22,C =15°,求A 。 错解:由余弦定理,得c a b ab 222 215=+-cos °482284 =+-=-××∴c =-62。 又由正弦定理,得sin sin A a C c = = 12 而0000018030150A A A <<=,∴=或。 辨析:由题意b a >,∴B A >。因此A =150°是不可能的。错因是没有认真审题,未利用隐含条件。在解题时, 要善于应用题中的条件,特别是隐含条件,全面细致地分析问题,避免错误发生。 正解:同上c A b a = - = >6212 ,,∵sin , 000 018030B A A A ><<=∴,且,∴。 例题6 在△ABC 中,αβcos cos A b =,判断△ABC 的形状。 错解:在△ABC 中,∵a A b B cos cos =,由正弦定理 得22R A A R B B sin cos sin cos = ∴sin sin 222222180A B A B A B ==+=,∴且° ∴A =B 且A +B =90° 故△ABC 为等腰直角三角形。 辨析:对三角公式不熟,不理解逻辑连结词“或”、“且”的意义,导致结论错误。 正解:在△ABC 中,∵a A b B cos cos =,由正弦定理, 得2222R A A R B B A B sin cos sin cos sin sin ==,∴。∴2A =2B 或2A +2B =180°,∴A =B 或A +B =90°。 故△ABC 为等腰三角形或直角三角形。 例题7 若a ,b ,c 是三角形的三边长,证明长为a b c ,, 的三条线段能构成锐角三角形。 错解:不妨设0<≤≤a b c ,只要考虑最大边的对角θ为锐角即可。 cos ()()() θ= +-= +-a b c a b a b c ab 2 2 2 22。 由于a ,b ,c 是三角形的三边长,根据三角形三边关系,有a b c +>,即cos θ>0。 ∴长为a b c ,, 的三条线段能构成锐角三角形。 辨析:三条线段构成锐角三角形,要满足两个条件:①三条边满足三角形边长关系;②最长线段的对角是锐角。显 然错解只验证了第二个条件,而缺少第一个条件。 正解:由错解可得cos θ>0 又∵a b c a b c a b c a b c + - = + - ++ + + ()() 2 0= = + > 即长为a b c ,,的三条线段能构成锐角三角形。 典型题 1、若A B C ?的内角A 满足2sin 23 A = ,则sin cos A A += A.3 B .3 -.53 D .53 - 解:由sin2A =2sinAcosA >0,可知A 这锐角,所以sinA +cosA >0, 又2 5(sin cos )1sin 23 A A A +=+= ,故选A 2、如果111A B C ?的三个内角的余弦值分别等于222A B C ?的三个内角的正弦值,则 A .111A B C ?和222A B C ?都是锐角三角形 B .111A B C ?和222A B C ?都是钝角三角形 C .111A B C ?是钝角三角形,222A B C ?是锐角三角形 D .111A B C ?是锐角三角形,222A B C ?是钝角三角形 解:111A B C ?的三个内角的余弦值均大于0,则111A B C ?是锐角三角形,若222A B C ?是锐角三角形,由 211211211sin cos sin()2sin cos sin()2sin cos sin()2A A A B B B C C C πππ?==-???==-???==-??,得2 1 212 1 2 22A A B B C C πππ? =-?? ? = -??? =-?? ,那么,2222A B C π++=,所以222A B C ?是钝角三角形。故选D 。 3、A B C 的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量(,)p a c b =+ ,(,)q b a c a =-- ,若//p q ,则角C 的大小为 (A) 6 π (B) 3 π (C) 2 π (D) 23 π 【解析】222//()()()p q a c c a b b a b a c ab ?+-=-?+-= ,利用余弦定理可得2cos 1C =,即 1c o s 2 3 C C π = ?= ,故选择答案B 。 【点评】本题考查了两向量平行的坐标形式的重要条件及余弦定理和三角函数,同时着重考查了同学们的运算能力。 4、已知等腰A B C △的腰为底的2倍,则顶角A 的正切值是( ) A. 2 B. 8 7 解: 依题意,结合图形可得tan 2 15 A = ,故2 22tan 2 tan 7 1tan 2 15 A A A ?= ==-,选D 5、A B C ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若a 、b 、c 成等比数列,且2c a =,则cos B = A . 14 B . 34 C . 4 D . 3 解:A B C ?中,a 、b 、c 成等比数列,且2c a =,则b =2a ,2 2 2 cos 2a c b B ac +-== 222 2 42344 a a a a +-= , 选B. 6、在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,A = 3 π ,a =3,b =1,则c = (A) 1 (B )2 (C )3—1 (D )3 解:由正弦定理得sinB = 12 ,又a >b ,所以A >B ,故B =30?,所以C =90?,故c =2,选B 7、设,,a b c 分别是A B C ?的三个内角,,A B C 所对的边,则()2 a b b c =+是2A B =的 (A )充要条件 (B )充分而不必要条件 (C )必要而充分条件 (D )既不充分又不必要条件 解析:设,,a b c 分别是A B C ?的三个内角,,A B C 所对的边,若()2 a b b c =+, 则2 sin sin (sin sin )A B B C =+,则 1cos 21cos 2sin sin 2 2 a B B C --= +, ∴ 1(cos 2cos 2)sin sin 2 B A B C -=,sin()sin()sin sin B A A B B C +-=, 又sin()sin A B C +=,∴ sin()sin A B B -=,∴ A B B -=,2A B =, 若△ABC 中,2A B =,由上可知,每一步都可以逆推回去,得到()2 a b b c =+, 所以()2 a b b c =+是2A B =的充要条件,选A. 8、在A B C ?中,若sin :sin :sin 5:7:8A B C =,则B ∠的大小是___________. 解: sin :sin :sin 5:7:8A B C =?a :b :c =5:7:8设a =5k ,b =7k ,c =8k , 由余弦定理可解得B ∠的大小为 3 π . 9、在?ABC 中,已知4 33=a ,b =4,A =30°,则sinB = .2 解:由正弦定理易得结论sinB = 2 。 10、在△ABC 中,已知BC =12,A =60°,B =45°,则AC = 【思路点拨】本题主要考查解三角形的基本知识 【正确解答】由正弦定理得, sin 45 sin 60 A C B C = 解得AC = 【解后反思】解三角形:已知两角及任一边运用正弦定理,已知两边及其夹角运用余弦定理 11、已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列,且AB =1,BC =4,则边BC 上的中线AD 的长为 . 解析: 由A B C ?的三个内角A 、B 、C 成等差数列可得A+C=2B 而A+B+C=π可得3 B π ∠= AD 为边BC 上的中线可知BD=2, 由余弦定理定理可得AD = 。 本题主要考察等差中项和余弦定理,涉及三角形的内角和定理,难度中等。 12、在△ABC 中,已知5,8==AC BC ,三角形面积为12,则=C 2cos . 解:由三角形面积公式,得 1sin 20sin 122 B C C A C C ??==,即3sin 5 C = . 于是2 7cos 212sin 25 C C =-=从而应填 725 . 13、如图3,D 是直角△ABC 斜边BC 上一点,AB=AD,记∠CAD=α,∠ABC=β. (1)证明 sin cos 20αβ+=;(2)若 DC,求β的值. 解:(1).如图3,(2)2,sin sin(2)cos 22 2 2 π π π απββαββ= --=- ∴=- =- , 即sin cos 20αβ+=. (2).在A B C ?中,由正弦定理得 ,sin sin sin() sin sin D C A C D C βαα πβα β = ? = ∴=- 由(1)得sin cos 2αβ=- ,2 sin 22sin ),βββ∴==- 即2 sin 0.sin sin 2 3 ββββ-- == =- 解得. α β A 图3 0,s i n ,. 2 2 3 π π βββ<< ∴=?= 14、在锐角A B C △中,角A B C ,,所对的边分别为a b c ,, ,已知sin 3 A =, (1)求2 2 tan sin 2 2 B C A ++的值; (2)若2a = ,ABC S = △b 的值. 解:(1)因为锐角△ABC 中,A +B +C =π ,sin 3 A = ,所以cosA =13 ,则 2 2 2 22B C sin B C A A 2tan sin sin B C 2 2 2cos 2 1cos B C 11cos A 17 1cos A 1cos B C 21cosA 33 +++= ++-(+)+= +(-)=+= +(+)- (2 )ABC ABC 11S S bc sin A bc 2 23 ? 因为又= = bc =3。 将a =2,cosA =13 ,c = 3b 代入余弦定理:222a b c 2bc cos A =+-中得42b 6b 90-+= 解得b =15、如图,已知△ABC 是边长为1的正三角形,M 、N 分别是边AB 、AC 上的点,线段 MN 经过△ABC 的中心G ,设∠MGA =α(23 3 ππ α≤≤) (1) 试将△AGM、△AGN 的面积(分别记为S 1与S 2)表示为α的函数 (2)求y = 2 2 1 2 11S S + 的最大值与最小值 解:(1)因为G 是边长为1的正三角形ABC 的中心, 所以 AG = 2323 ? ,∠MAG = 6 π , 由正弦定理 G M G A sin sin 6 6 π π πα= (-- ) 得G M 6sin 6 α= (+ ) 则S 1= 12 GM ?GA ?sin α= sin 12sin 6 απ α(+ ) ,同理可求得S 2= sin 12sin 6 α π α(- ) (2) y = 2 2 1 2 11S S + = 2 2 2 144 sin sin sin 6 6 π π ααα 〔(+ )+(-)〕=72(3+cot 2 α), 因为 23 3 π πα≤≤ ,所以当α= 3 π 或α=23 π时,y 取得最大值y max =240 当α= 2 π 时,y 取得最小值y min =216 A B C 16、A B C ?的三个内角为A B C 、、,求当A 为何值时,cos 2cos 2 B C A ++ 取得最大值,并求出这个最大值。 解: 由A+B+C=π, 得 B+C 2 = π2 -A 2 , 所以有cos B+C 2 =sin A 2 . cosA+2cos B+C 2 =cosA+2sin A 2 =1-2sin 2A 2 + 2sin A 2 =-2(sin A 2 - 12)2+ 32 当sin A 2 = 12 , 即A=π3 时, cosA+2cos B+C 2取得最大值为3 2 17 、在45,cos 5 ABC B AC C ?∠=?= = 中,,求 (1)?B C = (2)若点D AB 是的中点,求中线CD 的长度。 解:(1 )由cos sin 5 5 C C = = sin sin(18045)sin )2 10 A C C C =--= += 由正弦定理知sin sin 102 AC BC A B = ?= =(2 )sin 2sin 5 2 AC AB C B = ?= =,112 BD AB = = 由余弦定理知C D = = 18、已知,,A B C 是三角形A B C ?三内角, 向量(()1,,cos ,sin m n A A =-= ,且1m n ?= (Ⅰ)求角A ; (Ⅱ)若 2 2 1sin 23cos sin B B B +=--,求tan B 解:本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式,考察应用、分析和计算能力。 (Ⅰ)∵1m n ?= ∴(()1,cos ,sin 1A A -?= cos 1A A -= 12sin cos 122A A ???= ? ??? , 1sin 62A π??-= ??? ∵50,66 6 A A π π ππ<<- <- < ∴6 6 A π π - = ∴3 A π = (Ⅱ)由题知 2 2 12sin cos 3cos sin B B B B +=--,整理得2 2 sin sin cos 2cos 0B B B B --= ∴cos 0B ≠ ∴2 tan tan 20B B --= ∴tan 2B =或tan 1B =- 而tan 1B =-使22 cos sin 0B B -=,舍去 ∴tan 2 B = ∴()tan tan C A B π=-+????()tan A B =-+tan tan 1tan tan A B A B +=- -=- 811 += 19、如图,在ABC ?中,2A C =,1B C =,4 3cos =C . (1)求A B 的值; (2)求()C A +2sin 的值. 本小题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式、正弦定理、余弦定理等基础知识,考察基本运算能力及分析解 决问题的能力.满分12分. (Ⅰ)解: 由余弦定理, 2222..cos AB AC BC AC BC C =+-341221 2.4=+-??? = 那么,AB = (Ⅱ)解:由3cos 4 C =,且0,C π<< 得sin 4 C == 由正弦定理, ,sin sin A B B C C A = 解得sin sin 8 BC C A AB = = 所以,cos 8 A = 。由倍角公式sin 2sin 2cos 16 A A A =?= , 且2 9cos 212sin 16 A A =-= , 故( )sin 2sin 2cos cos 2sin 8 A C A C A C +=+= . 20、在ABC ?中,,75,45,30 === C A AB 则BC =( ) A.33- B. 2 C.2 D.33+ 【答案】:A 【分析】 :00 45,75,AB A C = == 由正弦定理得: ,sin sin sin 45 sin 75 4 a c BC AB A C = ? = = 3BC ∴=- 21、在A B C △中,若1tan 3 A = ,150C = ,1B C =,则A B = 解析:在A B C △中,若1t a n 3 A = ,150C = ,∴ A 为锐角 ,s i n A = ,1B C =,则根据正弦定理 A B = s i n s i n B C C A ? 2 . 22、在A B C △中,角A B C ,,所对的边分别为a b c ,,,若1a =,b ,c =,则B = . 【答案】 5π6 【解析】由正弦定理得cos, 2 B==-,所以 5π . 6 B= 23、在A B C ?中,角A、B、C所对的边分别为a b c 、、 ,若1, 3 a c C π ===,则A= . 【解析】由正弦定理得 2 1 3 2 3 sin sin sin sin = = = ? = c C a A C c A a ,所以A= π 6 24、在△ABC中,AB=1,B C=2,B=60°,则AC=。【答案】:3 【分析】 :由余弦定理得:222 12212cos60 3. AC AC =+-???=∴= 24、2002年在北京召开的国际数学家大会,会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦 图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).如果小正方形的面积为1, 大正方形的面积为25,直角三角形中较小的锐角为θ,那么cos2θ的值等于. 解析:图中小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,∴每一个直角三角形的面积是6,设直角三角形的两条直角边长分别为a, b,则 2225 1 6 2 a b ab ?+= ? ? = ? ? , ∴两条直角边的长分别为3,4, 设直角三角形中较小的锐角为θ,cosθ= 5 4 ,cos2θ=2cos2θ-1= 7 25 。 25、在A B C △中, 1 tan 4 A=, 3 tan 5 B=. (Ⅰ)求角C的大小;(Ⅱ)若A B C △ ,求最小边的边长. 本小题主要考查两角和差公式,用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力,满分12分.解:(Ⅰ)π() C A B =-+ , 13 45 tan tan()1 13 1 45 C A B + ∴=-+=-=- -? . 又0π C << , 3 π 4 C ∴=. (Ⅱ) 3 4 C=π ,A B ∴ 边最大,即AB=. 又tan tan0 A B A B π ?? <∈ ? 2 ?? ,,,,∴角A最小,B C边为最小边. 由 22 sin1 tan cos4 sin cos1 A A A A A ? == ? ? ?+= ? , , 且 π 2 A ?? ∈ ? ?? ,, 得sin 17 A= sin sin A B B C C A = 得: sin sin A B C A B C == 所以,最小边BC= 26、已知A B C △顶点的直角坐标分别为(34) A,,(00) B,,(0) C c,. (1)若5c =,求sin A ∠的值; (2)若A ∠是钝角,求c 的取值范围. 解析: (1)(3,4)AB =-- ,(3,4)AC c =-- ,若c=5, 则(2,4)AC =- , ∴cos cos , A AC A B ∠= <>== ,∴sin ∠A 5 ; 2)若∠A 为钝角,则391600 c c -++?≠?解得253 c >,∴c 的取值范围是25(,) 3+∞; 28、已知A B C △的面积为3,且满足06AB AC ≤?≤ ,设AB 和A C 的夹角为θ. (I )求θ的取值范围;(II )求函数2()2sin 24f π θθθ?? =+- ??? 的最大值与最小值. 本小题主要考查平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本知识,考查推理和运算能力. 解:(Ⅰ)设A B C △中角A B C ,,的对边分别为a b c ,,, 则由 1 sin 32bc θ=,0cos 6bc θ≤≤,可得0cot 1θ≤≤,ππ42θ?? ∈ ??? ?,∴. (Ⅱ)2π()2sin 24f θθθ?? =+- ??? π1cos 222θθ?? ??=-+- ?????? ? (1sin 2)2θθ=+-πsin 2212sin 213θθθ? ? =- +=- + ?? ? . ππ42θ?? ∈???? ,∵,ππ2π2363θ??-∈????,,π22sin 2133θ??-+ ???∴≤≤. 即当5π12 θ= 时,m ax ()3f θ=;当π4 θ= 时,m in ()2f θ=. 29、设锐角三角形ABC 的内角A B C ,,的对边分别为a b c ,,,2sin a b A =. (Ⅰ)求B 的大小; (Ⅱ)求cos sin A C +的取值范围. 解:(Ⅰ)由2sin a b A =,根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =,所以1sin 2 B = , 由A B C △为锐角三角形得π6 B = . (Ⅱ)cos sin cos sin A C A A π ??+=+π- - ?6? ?cos sin 6A A π?? =++ ??? 1 cos cos sin 2 2 A A A =+ + 3A π? ?=+ ?? ?. 由A B C △为锐角三角形知, 2 2 A B ππ->-, 2 2 6 3 B ππππ-= - = . 23 3 6 A πππ<+<,所以 1 sin 232A π? ?+< ?? ?. 2 32A π? ?< +< ??? , 所以,cos sin A C +的取值范围为322 ? ? ? ??? ,. 30、在A B C △中,已知内角A π= 3 ,边BC =.设内角B x =,周长为y . (1)求函数()y f x =的解析式和定义域; (2)求y 的最大值. 解:(1)A B C △的内角和A B C ++=π,由00A B C π= >>3 ,,得20B π<< 3 . 应用正弦定理,知sin sin 4sin sin sin BC AC B x x A ===π3 , 2sin 4sin sin BC AB C x A π??= =- ?3?? . 因为y AB BC AC =++, 所 以224sin 4sin 03y x x x π π???=+-+<< ??3???, (2 )因为14sin cos sin 2y x x x ??=+++ ? ?2?? 5x x ππ ππ???=++<+< ??6666???, 所以,当x ππ+ = 6 2 ,即x π= 3 时,y 取得最大值 32、在A B C △中,角A B C ,, 的对边分别为tan a b c C =,,,. (1)求cos C ; (2)若5 2 C B C A = ,且9a b +=,求c . 解:(1 )sin tan cos C C C =∴= 又22sin cos 1C C += 解得1cos 8C =± . tan 0C > ,C ∴是锐角. 1cos 8 C ∴= . (2)52C B C A = , 5 cos 2 ab C ∴=, 20ab ∴=. 又9a b += 22281a ab b ∴++=. 22 41a b ∴+=. 222 2cos 36c a b ab C ∴=+-=. 6c ∴=. 33、在ABC △中,a b c ,,分别是三个内角A B C ,,的对边.若4 π,2= =C a ,5 522 cos = B ,求AB C △的面 积S . 解: 由题意,得3 cos 5B B =,为锐角,5 4sin = B , 10274π3sin )πsin(sin =?? ? ??-=--=B C B A , 由正弦定理得 710=c ,∴ 111048 sin 222757S ac B ==???= . 34、在A B C △中,已知2A C =,3B C =,4cos 5 A =- . (Ⅰ)求sin B 的值; (Ⅱ)求sin 26B π? ? + ?? ? 的值. 本小题考查同角三角函数的基本关系式、两角和公式、倍角公式、正弦定理等的知识,考查基本运算能力.满分12分. (Ⅰ)解:在A B C △ 中,3sin 5A = = =, 由正弦定理, sin sin B C A C A B =.所以232sin sin 355 A C B A B C == ?=. (Ⅱ)解:因为4cos 5 A =-,所以角A 为钝角,从而角 B 为锐角,于是 cos 5 B == = 217cos 22cos 1215 25 B B =-=? -= , 2sin 22sin cos 25 5 15 B B B ==? ? = . sin 2sin 2cos cos 2sin 666B B B πππ? ?+=+ ?? ?171252252=?+ ?1750=. 35、已知A B C △ 1+ ,且sin sin A B C +=. (I )求边A B 的长; (II )若A B C △的面积为1sin 6 C ,求角C 的度数. 解:(I )由题意及正弦定理,得1AB BC AC ++= ,BC AC +=, 两式相减,得1AB =. (II )由A B C △的面积 11sin sin 2 6 B C A C C C = ,得13 B C A C = , 由余弦定理,得2 2 2 cos 2AC BC AB C AC BC +-= 2 2 ()2122 AC BC AC BC AB AC BC +--= = ,所以 60C = . 36、如图,在ABC ?中,120,2,1,B A C A B A C D ∠=?==是边B C 上一点,2,D C B D =则 AD BC = __________. 【答案】8 3 - 【分析】法一:由余弦定理得22 2 22 2 cos 22AB AC BC AB AD BD B AB AC AB BD +-+-= = ???? 可得BC = ,3 A D = , 又,AD BC 夹角大小为ADB ∠ ,22232cos 29BD AD AB ADB BD AD +-∠= =-?=-??, 所以8 cos 3 AD BC AD BC AD B =??∠=- . 法二:根据向量的加减法法则有:BC AC AB =- 112()333 AD AB BD AB AC AB AC AB =+=+-=+ , 此时 22 12122()()33333AD BC AC AB AC AB AC AC AB AB =+-=+- ·· 1818 3333 =--=-. A B D C 余弦定理 余弦定理:三角形中任意一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍。即: 2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+- 2222cos c a b ab C =+- 2.利用余弦定理解三角形: (1)已知两边和它们所夹的角: (2)已知三边: 余弦定理 1.在△ABC 中,如果BC =6,AB =4,cos B =1 3 ,那么AC 等于( )A .6 B .2 6 C .3 6 D .4 6 3.在△ABC 中,a 2=b 2+c 2+3bc ,则∠A 等于( ) A .60° B .45° C .120° D .150° 4.在△ABC 中,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ,若(a 2+c 2-b 2)tan B = 3ac , 则∠B 的值为( ) A.π6 B.π3 C.π6或5π6 D.π3或2π3 5.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为( ) A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .由增加的长度决定 6.已知锐角三角形ABC 中,|AB →|=4,|AC →|=1,△ABC 的面积为3,则AB →·AC →的值为( ) A .2 B .-2 C .4 D .-4 7.在△ABC中,b=3,c=3,B=30°,则a为( ) A. 3 B.2 3 C.3或2 3 D.2 8.已知△ABC的三个内角满足2B=A+C,且AB=1,BC=4,则边BC上的中线AD的长为________. 9.△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=(3-1)∶(3+1)∶10,求最大角的度数.10.已知a、b、c是△ABC的三边,S是△ABC的面积,若a=4,b=5,S=53,则边c 的值为________. 11.在△ABC中,a=32,cos C=1 3 ,S△ABC=43,则b=________. 12.已知△ABC的三边长分别为AB=7,BC=5,AC=6,则AB→·BC→的值为________. 13.已知△ABC的三边长分别是a、b、c,且面积S=a2+b2-c2 4 ,则角C=________. 14.(2015年广州调研)三角形的三边为连续的自然数,且最大角为钝角,则最小角的余弦值为________. 15.在△ABC中,BC=a,AC=b,a,b是方程x2-23x+2=0的两根,且2cos(A+B)=1,求AB的长. 勾股定理全章知识点总结大全 一.基础知识点: 1:勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。(即:a2+b2=c2) 要点诠释: 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的重要性质之一,其主要应用: (1)已知直角三角形的两边求第三边(在ABC ?中,90 ∠=?,则c, C b=,a=) (2)已知直角三角形的一边与另两边的关系,求直角三角形的另两边 (3)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2:勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长:a、b、c,则有关系a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释: 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时应注意:(1)首先确定最大边,不妨设最长边长为:c; (2)验证c2与a2+b2是否具有相等关系,若c2=a2+b2,则△ABC是以∠C为直角的直角三角形 (若c2>a2+b2,则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形;若c2 区别:勾股定理是直角三角形的性质定理,而其逆定理是判定定理; 联系:勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反,都与直角三角形有关。 4:互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。 5:勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下: 方法一:4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ,2214()2 ab b a c ?+-=,化简可证. 方法二: 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221 422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三:1()()2S a b a b =+?+梯形,2112S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形,化简得证 6:勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即 222a b c +=中,a ,b ,c 为正整数时,称a ,b ,c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等 c b a H G F E D C B A a b c c b a E D C B A b a c b a c c a b c a b 人教版高中数学必修5正弦定理和余弦定理测试题及答案 人教版高中数学必修5正弦定理和余弦定理测试题及答案 一、选择题 1.在△ABC 中,三个内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若a =2,b =3, cos C =- 41,则c 等于( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 2.在△ABC 中,若BC =2,AC =2,B =45°,则角A 等于( ) (A)60° (B)30° (C)60°或120° (D)30°或150° 3.在△ABC 中,三个内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,已知B =30°,c = 150,b =503,那么这个三角形是( ) (A)等边三角形 (B)等腰三角形 (C)直角三角形 (D)等腰三角形或直角三角形 4.在△ABC 中,已知3 2sin ,53cos ==C B ,AC =2,那么边AB 等于( ) (A )45 (B)35 (C)920 (D)5 12 5.在△ABC 中,三个内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,如果A ∶B ∶C = 1∶2∶3,那么a ∶b ∶c 等于( ) (A)1∶2∶3 (B)1∶3∶2 (C)1∶4∶9 (D)1∶2∶3 二、填空题 6.在△ABC 中,三个内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若a =2,B = 45°,C =75°,则b =________. 7.在△ABC 中,三个内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若a =2,b =23,c =4,则A =________. 8.在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若2cos B cos C=1-cos A,则△ABC形状是________三角形. 9.在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=3,b=4,B =60°,则c=________. 10.在△ABC中,若tan A=2,B=45°,BC=5,则AC=________. 三、解答题 11.在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c, 若a=2,b=4,C=60°,试解△ABC. 12.在△ABC中,已知AB=3,BC=4,AC=13. (1)求角B的大小; (2)若D是BC的中点,求中线AD的长. 13.如图,△OAB的顶点为O(0,0),A(5,2)和B(-9,8),求角A的大小. 正弦定理练习题 1.在△ABC 中,A =45°,B =60°,a =2,则b 等于( ) A.6 B. 2 C. 3 D .2 6 2.在△ABC 中,已知a =8,B =60°,C =75°,则b 等于( ) A .4 2 B .4 3 C .4 6 D.323 3.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 所对的边,若A =105°,B =45°,b =2,则c =( ) A .1 B.12 C .2 D.14 4.在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,A =60°,a =43,b =42,则角B 为( ) A .45°或135° B .135° C .45° D .以上答案都不对 5.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c =2,b =6,B =120°,则a 等于( ) A. 6 B .2 C. 3 D. 2 6.在△ABC 中,a ∶b ∶c =1∶5∶6,则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A .1∶5∶6 B .6∶5∶1 C .6∶1∶5 D .不确定 7.在△ABC 中,若cos A cos B =b a ,则△ABC 是( ) A .等腰三角形 B .等边三角形 C .直角三角形 D .等腰三角形或直角三角形 8.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若a =1,c =3,C =π3 ,则A =________. 9.在△ABC 中,已知a =433 ,b =4,A =30°,则sin B =________. 10.在△ABC 中,已知∠A =30°,∠B =120°,b =12,则a +c =________. 11.在△ABC 中,b =43,C =30°,c =2,则此三角形有________组解. 12 . 判断满足下列条件的三角形个数 (1)b=39,c=54,? =120C 有________组解 (2)a=20,b=11,?=30B 有________组解 (3)b=26,c=15,?=30C 有________组解 (4)a=2,b=6,?=30A 有________组解 正弦定理 1.在△ABC 中,∠A =45°,∠B =60°,a =2,则b 等于( ) A.6 B. 2 C. 3 D .2 6 解析:选A.应用正弦定理得:a sin A =b sin B ,求得b =a sin B sin A = 6. 2.在△ABC 中,已知a =8,B =60°,C =75°,则b 等于( ) A .4 2 B .4 3 C .4 6 D.323 解析:选C.A =45°,由正弦定理得b =a sin B sin A =4 6. 3.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 所对的边,若A =105°,B =45°,b =2,则c =( ) 《正弦定理和余弦定理》典型例题透析 类型一:正弦定理的应用: 例1.已知在ABC ?中,10c =,45A = ,30C = ,解三角形. 思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上(如图),可以确定先用正弦定理求出边a ,然后用三角形内角和求出角B ,最后用正弦定理求出边b . 解析:sin sin a c A C = , ∴sin 10sin 45sin sin 30c A a C ?=== ∴ 180()105B A C =-+= , 又sin sin b c B C =, ∴sin 10sin10520sin 7520sin sin 304 c B b C ?====?= 总结升华: 1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题; 2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上,可以清楚地看出已知与求之间的关系,从而恰当地选择解答方式. 举一反三: 【变式1】在?ABC 中,已知032.0=A ,081.8=B ,42.9a cm =,解三角形。 【答案】根据三角形内角和定理,0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=; 根据正弦定理,0 sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ; 根据正弦定理,0 sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A 【变式2】在?ABC 中,已知075B =,0 60C =,5c =,求a 、A . 【答案】00000180()180(7560)45A B C =-+=-+=, 根据正弦定理5sin 45sin 60o o a =,∴a =【变式3】在?ABC 中,已知sin :sin :sin 1:2:3A B C =,求::a b c 【答案】根据正弦定理sin sin sin a b c A B C ==,得::sin :sin :sin 1:2:3a b c A B C ==. 例2.在60,1ABC b B c ?=== 中,,求:a 和A ,C . 思路点拨: 先将已知条件表示在示意图形上(如图),可以确定先用正弦定理求出角C ,然后用三角形内角和求出角A ,最后用正弦定理求出边a . 第 课时 第十八章 勾股定理 一.基础知识点: 1:勾股定理 直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。(即:a 2 +b 2 =c 2) 要点诠释: 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的重要性质之一,其主要应用: (1)已知直角三角形的两边求第三边(在A B C ?中,90C ∠=?,则 2 2 c a b = +,22 b c a = -,22 a c b = -) (2)已知直角三角形的一边与另两边的关系,求直角三角形的另两边 (3)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2:勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下: 方法一:4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ,22 14()2 ab b a c ?+-=,化简可证. 方法二: 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为2 2 1422 S ab c ab c =? +=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三:1()()2 S a b a b = +?+梯形,2 112S 22 2 ADE ABE S S ab c ??=+=? + 梯形,化简得证 3:勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即222a b c +=中,a ,b ,c 为正整数时,称a ,b ,c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数:221,2,1n n n -+(2,n ≥n 为正整数); 2 2 21,22,221n n n n n ++++(n 为正整数)2 2 2 2 ,2,m n mn m n -+(,m n >m ,n 为正整数) 规律方法指导 1.勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。 2.勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系,可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。 c b a H G F E D C B A a b c c b a E D C B A c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b 学科数学版本人教版大开本、3+x 期数2339 年级高一编稿老师梁文莉审稿教师 【同步教育信息】 一. 本周教学内容: §5.9正弦定理、余弦定理 目标:使学生理解正弦定理、余弦定理的证明和推导过程,初步运用它们解斜三角形。并会利用计算器解决解斜三角形的计算问题。培养学生观察、分析、归纳等思维能力、运算能力、逻辑推理能力,渗透数形结合思想、分类思想、化归思想,以及从特殊到一般、类比等方法,进一步提高学生分析问题和解决问题的能力。 二. 重点、难点: 重点: 正弦定理、余弦定理的推导及运用。 难点: (1)正弦定理、余弦定理的推导过程; (2)应用正弦定理、余弦定理解斜三角形。 [学法指导] 学习本节知识时可采用向量法、等积法(面积相等)等不同方法来推导正弦定理,以加深对定理的理解和记忆,由于已知两边及其中一边的对角,不能唯一确定三角形,此时三角形可能出现两解、一解、无解三种情况,因此解此类三角形时,要注意讨论。 深刻领会向量的三角形法则及平面向量的数量积是用向量法推导余弦定理的关键。注意余弦定理的每一个等式中都包含四个不同的量,它们分别是三角形的三边和一个角,知道其中的三个量,便可求得第四个量。当有一个角为90°时,即为勾股定理。因此,勾股定理可看作是余弦定理的特例。 正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具,其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。一般地,利用公式a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(R 为ΔABC外接圆半径),可将边转化为角的三角函数关系,然后利用三角函数知识进行化简,其中往往用到三角形内角和定理A+B+C=π。 可将有关三角形中的角的余弦转化为边的关系,然后充分利用代数知识来解决问题。在三角形中,有一个角的余弦值为负值,该三角形为钝角三角形;有一个角的余弦值为零,便是直角三角形;三个角的余弦值都为正值,便是锐角三角形。 【例题分析】 新人教版八年级下册勾股定理典型例习题 一、经典例题精讲 题型一:直接考查勾股定理 例1.在ABC ?中,90C ∠=?. ⑴已知6AC =,8BC =.求AB 的长 ⑵已知17AB =,15AC =,求BC 的长分析:直接应用勾股定理 222a b c += 解:⑴2210AB AC BC =+= ⑵228BC AB AC =-= 题型二:利用勾股定理测量长度 例题1 如果梯子的底端离建筑物9米,那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米? 解析:这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。把实物模型转化为数学模型后,.已 知斜边长和一条直角边长,求另外一条直角边的长度,可以直接利用勾股定理! 根据勾股定理AC 2+BC 2=AB 2, 即AC2+92=152,所以AC 2 =144,所以AC=12. 例题2 如图(8),水池中离岸边D 点1.5米的C 处,直立长着一根芦苇,出水部分B C的长是0.5米,把芦苇拉到岸边,它的顶端B 恰好落到D 点,并求水池的深度AC. 解析:同例题1一样,先将实物模型转化为数学模型,如图 2. 由题意可知△AC D中,∠ACD=90°,在Rt △ACD 中,只知道CD =1.5,这是典型的利用勾股定理“知二求一”的类型。 标准解题步骤如下(仅供参考): 解:如图2,根据勾股定理,AC 2+CD 2=A D2 设水深AC= x 米,那么AD =A B=AC+CB =x +0.5 x2+1.52=( x +0.5)2 解之得x =2. 故水深为2米. 题型三:勾股定理和逆定理并用—— 例题3 如图3,正方形ABCD 中,E 是BC 边上的中点,F 是AB 上一点,且AB FB 4 1= 那么△DEF 是直角三角形吗?为什么? C B D A 高一数学《正弦定理、余弦定理》单元测试题(1) 班级 姓名 1.在ABC ?中,?=∠?=∠=15,30,3B A a ,则=c ( ) A .1 B. 2 C .3 2 D. 3 2.在ABC ?中,若 B b sin 2=,则∠A 等于( ) A .30°或60° B .45°或60° C .120°或60° D .30°或150° 3.在ABC ?中,?=∠==60,10,15A b a ,则B cos =( ) A .-223 B.223 C .-63 D.63 4.在ABC ?中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若B b A a sin cos =,则 B A A 2cos cos sin +=( ) A .-12 B.1 2 C .-1 D .1 5.在ABC ?中,若A b a sin 23=,则B 等于 ( ) A. 30 B. 60 C. 30或 150 D. 60或 1206.在ABC ?中,已知 45,1,2=== B c b ,则a 等于 ( ) A. 226- B. 2 2 6+ C. 12+ D. 23- 7.不解三角形,确定下列判断中正确的是 ( ) A. 30,14,7===A b a ,有两解 B. 150,25,30===A b a ,有一解 C. 45,9,6===A b a ,有两解 D. 60,10,9===A c b ,无解 8.在ABC ?中,?===30,3,1A b a ,则c =( ) A .1 B .2 C .1或2 D .无解 9.在ABC ?中,已知B a b sin 323=,C B cos cos =,则ABC ?的形状是( ) A. 直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 10.在ABC ?中, 60=A ,3=a ,则 =++++C B A c b a sin sin sin ( ) A. 338 B.3392 C.3 3 26 D. 32 11.在ABC ?中,已知3,45,60=?=∠?=∠C ABC BAC ,则AC =________; 正弦定理、余弦定理综合应用 例1.设锐角三角形ABC 的内角A B C ,,的对边分别为a b c ,,,2sin a b A =. (Ⅰ)求B 的大小;(Ⅱ)求cos sin A C +的取值范围. 解:(Ⅰ)由2sin a b A =,根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =,所以1 sin 2 B = , 由ABC △为锐角三角形得π6B = . (Ⅱ)cos sin cos sin A C A A π?? +=+π-- ?6?? cos sin 6A A π??=++ ???1cos cos 2A A A =++ 3A π? ?=+ ???. 由ABC △为锐角三角形知,22A B ππ->-,2263B ππππ-=-=. 2336 A πππ <+<, 所以1sin 23A π??+< ???. 3A π??<+< ?? ? 所以,cos sin A C +的取值范围为322?? ? ?? ?,. 例2.已知ABC △1,且sin sin A B C +=. (I )求边AB 的长; (II )若ABC △的面积为1 sin 6 C ,求角C 的度数. 解:(I )由题意及正弦定理,得1AB BC AC ++=, BC AC +=, 两式相减,得1AB =. (II )由ABC △的面积11sin sin 26BC AC C C =g g ,得1 3 BC AC =g , 由余弦定理,得222cos 2AC BC AB C AC BC +-=g 22()21 22 AC BC AC BC AB AC BC +--= =g g , 所以60C =o . 例3.已知a ,b ,c 为△ABC 的三个内角A ,B ,C 的对边,向量m =(1,3-),n =(cos A ,sin A ).若m ⊥n , 且a cos B +b cos A =c sin C ,则角B = 6 π . 例4.设ABC ?的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且A =60o ,c =3b.求a c 的值; 解:由余弦定理得2222cos a b c b A =+-=2221117 ()2,3329 c c c c c +-=g g g 故3a c = 例5.在△ABC 中,三个角,,A B C 的对边边长分别为3,4,6a b c ===, 则cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为 . 61 2 例6.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若() C a A c b cos cos 3=-, 则=A cos _________________. 3 例7.(2009年广东卷文)已知ABC ?中, C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c 若a c ==75A ∠=o ,则b = 【解析】0000000 sin sin 75sin(3045)sin 30cos 45sin 45cos30A ==+=+= 新人教版八年级下册勾股定理典型例习题 一、经典例题精讲 题型一:直接考查勾股定理 例1.在ABC ?中,90C ∠=?. ⑴已知6AC =,8BC =.求AB 的长 ⑵已知17AB =,15AC =,求BC 的长分析:直接应用勾股定理 222a b c += 解:⑴2210AB AC BC =+= ⑵228BC AB AC =-= 题型二:利用勾股定理测量长度 例题1 如果梯子的底端离建筑物9米,那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少 米? 解析:这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。把实物模型转化为数学模型后,. 已知斜边长和一条直角边长,求另外一条直角边的长度,可以直接利用勾股定理! 根据勾股定理AC 2+BC 2=AB 2, 即AC 2+92=152,所以AC 2 =144,所以AC=12. 例题2 如图(8),水池中离岸边D 点1.5米的C 处,直立长着一根芦苇,出水部分B C 的长是0.5米,把芦苇拉到岸边,它的顶端B 恰好落到 D 点,并求水池的深度AC. 解析:同例题1一样,先将实物模型转化为数学模型,如 图2. 由题意可知△ACD 中,∠ACD=90°,在Rt △ACD 中,只知道CD=1.5,这是典型的利用勾 股定理“知二求一”的类型。 标准解题步骤如下(仅供参考): 解:如图2,根据勾股定理,AC 2+CD 2=AD 2 设水深AC= x 米,那么AD=AB=AC+CB=x +0.5 x 2+1.52=( x +0.5)2 解之得x =2. 故水深为2米. 题型三:勾股定理和逆定理并用—— 例题3 如图3,正方形ABCD 中,E 是BC 边上的中点,F 是AB 上一点,且AB FB 4 1= 那么△DEF 是直角三角形吗?为什么? C B D A 课时作业3应用举例 时间:45分钟满分:100分 课堂训练 1.海上有A、B两个小岛相距10海里,从A岛望C岛和B岛成60°的视角,从B岛望C岛和A岛成75°的视角,则B、C间的距离是() A.103海里B.106海里 C.52海里D.56海里 【答案】 D 【解析】如图,∠A=60°,∠B=75°, 则∠C=45°, 由正弦定理得: BC=AB·sin A sin C =10×sin60° sin45° =5 6. 2.如图所示,设A、B两点在河的两岸,一测量者在A所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离为50m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计算出A、B两点的距离为() A .502m B .503m C .252m D.2522m 【答案】 A 【解析】 因为∠ACB =45°,∠CAB =105°,所以∠ABC =30°,根 据正弦定理可知,AC sin ∠ABC =AB sin ∠ACB ,即50sin30°=AB sin45°,解得AB =502m ,选A. 3.从某电视塔的正东方向的A 处,测得塔顶仰角是60°;从电视塔的西偏南30°的B 处,测得塔顶仰角为45°,A ,B 间距离是35m ,则此电视塔的高度是________m. 【答案】 521 【解析】 如图所示,塔高为OC ,则∠OAC =60°,∠AOB =180°-30°=150°,∠CBO =45°,AB =35, 设电视塔高度为h m,则OA=3 3h,OB=h,在△AOB中由余弦定理可得AB2=OA2+OB2-2OA·OB·cos∠AOB, 即352=(3 2+h2-2×33h×h×(-32) 3h) 解得h=521. 4.如图所示,海中小岛A周围38海里内有暗礁,一船正向南航行,在B处测得小岛A在船的南偏东30°,航行30海里后,在C处测得小岛在船的南偏东45°,如果此船不改变航向,继续向南航行,有无触礁的危险? 【分析】船继续向南航行,有无触礁的危险,取决于A到直线BC的距离与38海里的大小,于是我们只要先求出AC或AB的大小,再计算出A到BC的距离,将它与38海里比较大小即可. 勾股定理全章知识点总结大全 一.基础知识点: 1:勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。(即:a2+b2= c2) 要点诠释: 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的重要性质之一,其主 要应用: (1 )已知直角三角形的两边求第三边(在ABC中, C 90,则c . a2b2, b .c2a2, a .c2b2) (2)已知直角三角形的一边与另两边的关系,求直角三角形的另两边 (3 )利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2 :勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长:a、b、c,则有关系a2+b2= c2,那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释: 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过 “数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时应注意: (1 )首先确定最大边,不妨设最长边长为: c ; (2)验证c2与a2+b2是否具有相等关系,若c2= a2+b2,则△ ABC是以/C为直角的直角三角形 (若c2>a2+b2,则△ ABC是以/C为钝角的钝角三角形;若c2 正弦定理、余弦定理 一、选择题 1.在△ABC 中,已知,30,10,25?===A c a 则B= ( ) (A )105° (B )60° (C )15° (D )105°或15° 2.在△ABC 中,已知a=6,b=4,C=120°,则sinB 的值是 ( ) (A ) 7 21 (B ) 19 57 (C ) 383 (D )19 57- 3.在△ABC 中,有a=2b ,且C=30°,则这个三角形一定是 ( ) (A )直角三角形 (B )钝角三角形 (C )锐角三角形 (D )以上都有可能 4.△ABC 中,已知b=30,c=15,C=26°,则此三角形的解的情况是 ( ) (A )一解 (B )二解 (C )无解 (D )无法确定 5.在△ABC 中,中,若2 cos sin sin 2 A C B =,则△ABC 是 ( ) (A )等边三角形 (B )等腰三角形 (C )直角三角形 (D )等腰直角三角形 6.在△ABC 中,已知13 5 cos ,53sin == B A ,则 C cos 等于 ( ) (A ) 6556 (B ) 65 16 (C ) 6516或65 56 (D ) 65 33 7.直角△ABC 的斜边AB=2,内切圆的半径为r ,则r 的最大值是 ( ) (A )2 (B )1 (C ) 2 2 (D )12- 8.若△ABC 的三边长为a ,b ,c ,且,)()(2 2 2 2 2 2 c x a c b x b x f +-++=则f (x )的图 象是 ( ) (A )在x 轴的上方 (B )在x 轴的下方 (C )与x 轴相切 (D )与x 轴交于两点 二、填空题 9.在△ABC 中,∠C=60°,c=22,周长为),321(2++则∠A= . 10.三角形中有∠A=60°,b ∶c=8∶5,这个三角形内切圆的面积为12π,则这个三角形 面积为 . 11.平行四边形ABCD 中,∠B=120°,AB=6,BC=4,则两条对角线的长分别是 . 12.在60°角内有一点P ,到两边的距离分别为1cm 和2cm ,则P 到角顶点的距离为 . 三、解答题 13.在锐角△ABC 中,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边,A <B <C ,B=60°,且满足 ).13(2 1 )2cos 1)(2cos 1(-= ++C A 求:(1)A 、B 、C 的大小; (2)c b a 2+的值. 正弦定理 教学重点:正弦定理 教学难点:正弦定理的正确理解和熟练运用,边角转化。多解问题 1.正弦定理:在任一个三角形中,各边和它所对角的正弦比相等, 即 A a s i n = B b sin =C c sin 2. 三角形面积公式 在任意斜△ABC 当中S △ABC =A bc B ac C ab sin 2 1sin 2 1sin 2 1== 3.正弦定理的推论: A a sin = B b sin =C c sin =2R (R 为△ABC 外接圆半径) 4.正弦定理解三角形 1)已知两角和任意一边,求其它两边和一角; 2)已知两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其它的边和角。 3)已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况:(多解情况) ○ 1若A 为锐角时: ??? ?? ? ?≥<<=<)( b a ) ,( b a bsinA )( bsinA a sin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a 已知边a,b 和∠A 有两个解 仅有一个解无解 CH=bsinA≤) ( b a 锐角一解无解 b a 1、已知中,,,则角等于 ( D) A . B . C . D . 2、ΔABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若sin A=,b=sin B,则a等于 ( D ) A.3B.C. D. 1. 在ABC ?中,若sin 2sin 2A B =,则ABC ?一定是( ) 3.在Rt △ABC 中,C= 2 π ,则B A sin sin 的最大值是_______________. [解析] ∵在Rt △ABC 中,C= 2 π ,∴sin sin sin sin( )2 A B A A π =-sin cos A A = 1sin 22A = ,∵0,2A π<<∴02,A π<<∴4A π=时,B A sin sin 取得最大值12 。 4. 若ABC ?中,10 10 3B cos ,21A tan == ,则角C 的大小是__________ 解析 11 tan ,cos ,sin tan 23A B O B B B π==<<∴=∴= tan tan 3tan tan()tan()1,tan tan 14 A B C A B A B O C C A B π ππ+∴=--=-+= =-<<∴=- 7.在△ABC 中,已知2a b c =+,2 sin sin sin A B C =,试判断△ABC 的形状。 解:由正弦定理 2sin sin sin a b c R A B C ===得:sin 2a A R =,sin 2b B R =, sin 2c C R = 。 所以由2sin sin sin A B C =可得:2()222a b c R R R =?,即:2 a bc =。 又已知2a b c =+,所以224()a b c =+,所以24()bc b c =+,即2()0b c -=, 因而b c =。故由2a b c =+得:22a b b b =+=,a b =。所以a b c ==,△ABC 为等边三角形。 6.在ABC ?中, b A a B sin sin <是B A >成立的 ( C ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 1.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若c =2,b =6,B =120°,则 a 等于 ( ) A.6 B.2 C.3 D.2 答案 D 3.下列判断中正确的是 ( ) 1.1.2余弦定理教学设计 一、教学目标 认知目标:在创设的问题情境中,引导学生发现余弦定理的内容,推证余弦定理,并简单运用余弦定理解三角形; 能力目标:引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出余弦定理,培养学生的创新意识和观察与逻辑思维能力,能体会用向量作为数形结合的工具,将几何问题转化为代数问题;情感目标:面向全体学生,创造平等的教学氛围,通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价,调动学生的主动性和积极性,给学生成功的体验,培养学生学习数学兴趣和热爱科学、勇于创新的精神。 二、教学重难点 重点:探究和证明余弦定理的过程;理解掌握余弦定理的内容;初步对余弦定理进行应用。 难点:利用向量法证明余弦定理的思路;对余弦定理的熟练应用。 探究和证明余弦定理过程既是本节课的重点,也是本节课的难点。学生已经具备了勾股02220定理的知识,即当∠C=90时,有c=a+b。作为一般的情况,当∠C≠90时,三角形的三边满足什么关系呢?学生一时很难找到思路。最容易想到的思路就是构造直角三角形,尝试应用勾股定理去探究这个三角形的边角关系;用向量的数量积证明余弦定理更是学生想不到的,原因是学生很难将向量的知识与解三角形的知识相结合。因而教师在授课时可以适当的点拨、启发,鼓励学生大胆的探索。在教学中引导学生从不同的途径去探索余弦定理的证明,这样既能开拓学生的视野,加强学生对余弦定理的理解,又能培养学生形成良好的思维习惯,激发学生学习兴趣,这是本节课教学的重点,也是难点。 三、学情分析和教学内容分析 本节内容是人教B版普通高中课程标准实验教科书必修5第一章第一节余弦定理的第一课时。余弦定理是关于任意三角形边角之间的另一定理,是解决有关三角形问题与实际应用问题(如测量等)的重要定理,它将三角形的边和角有机的结合起来,实现了“边”和“角”的互化,从而使“三角”与“几何”有机的结合起来,为求与三角形有关的问题提供了理论依据,同时也为判断三角形的形状和证明三角形中的等式提供了重要的依据。教科书首先通过设问的方式,指出了“已知三角形的两边和夹角,无法用正弦定理去解三角形”,进而通过直角三角形中的勾股定理引导学生去探究一般三角形中的边角关系,然后通过构造直角三角形去完成对余弦定理的推证过程,教科书上还进一步的启发学生用向量的方法去证明余弦定理,最后通过3个例题巩固学生对余弦定理的应用。 在学习本节课之前,学生已经学习了正弦定理的内容,初步掌握了正弦定理的证明及应用,并明确了用正弦定理可以来解哪些类型的三角形。在此基础上,教师可以创设一个“已知三角形两边及夹角”来解三角形的实际例子,学生发现不能用上一节所学的知识来解决这一问题,从而引发学生的学习兴趣,引出这一节的内容。在对余弦定理教学中时,考虑到它比正弦定理形式上更加复杂,教师可以有目的的提供一些供研究的素材,并作必要的启发和引导,让学生进行思考,通过类比、联想、质疑、探究等步骤,辅以小组合作学习,建立猜想,获得命题,再想方设法去证明。在用两种不同的方法证明余弦定理时,学生可能会遇到证明思路上的困难,教师可以适当的点拨。 正弦定理和余弦定理测试题 1.若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足(a +b )2-c 2=4,且C =60°,则ab 的值为( ) A.4 3 B .8-4 3 C .1 D.2 3 2.(文)在△ABC 中,已知A =60°,b =43,为使此三角形只有一解,a 满足的条件是( ) A .0 F E D C B A 立体几何专题复习 热点一:直线与平面所成的角 例1.(2014,广二模理 18) 如图,在五面体ABCDEF 中,四边形ABCD 是边长为2的正方形, EF ∥平面ABCD , 1EF =,,90FB FC BFC ?=∠=,3AE =. (1)求证:AB ⊥平面BCF ; (2)求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值. 变式1:(2013湖北8校联考)如左图,四边形ABCD 中,E 是BC 的中点,2,1,5,DB DC BC === 2.AB AD ==将左图沿直线BD 折起,使得二面角A BD C --为60,?如右图. (1)求证:AE ⊥平面;BDC (2)求直线AC 与平面ABD 所成角的余弦值. 变式2:[2014·福建卷] 在平面四边形ABCD 中,AB =BD =CD =1,AB ⊥BD ,CD ⊥BD .将△ABD 沿BD 折起,使得平面ABD ⊥平面BCD ,如图1-5所示. (1)求证:AB ⊥CD ; (2)若M 为AD 中点,求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值. 热点二:二面角 例2.[2014·广东卷] 如图1-4,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,∠DPC=30°,AF⊥PC于点F,FE∥CD,交PD于点E. (1)证明:CF⊥平面ADF;(2)求二面角D-AF-E的余弦值. 变式3:[2014·浙江卷] 如图1-5,在四棱锥A-BCDE中,平面ABC⊥平面BCDE,∠CDE=∠BED=90°,AB=CD=2,DE=BE=1,AC= 2. (1)证明:DE⊥平面ACD;(2)求二面角B-AD-E的大小. 变式4:[2014·全国19] 如图1-1所示,三棱柱ABC-A1B1C1中,点A1在平面ABC内的射影D在AC 上,∠ACB=90°,BC=1,AC=CC1=2. (1)证明:AC1⊥A1B; (2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为3,求二面角A1 -AB -C的大小.余弦定理知识点+经典题(有答案)
勾股定理全章知识点总结大全、例题精讲中考题目
人教版高中数学必修5正弦定理和余弦定理测试题及答案教学内容
(完整版)正弦定理练习题经典
《正弦定理和余弦定理》典型例题.
勾股定理知识点总结及练习
正弦定理、余弦定理经典练习题
新人教版八年级数学下册勾股定理典型例题分析
《正弦定理、余弦定理》单元测试题
正弦定理、余弦定理综合应用典型例题
勾股定理典型题型
(完整版)正弦定理余弦定理应用实例练习含答案
勾股定理全章知识点总结大全、例题精讲中考题目
正弦定理、余弦定理单元测试及答案
正弦定理典型例题与知识点
余弦定理教学设计经典
正弦定理和余弦定理测试题
(完整版)立体几何典型例题精选(含答案)