无穷限的广义积分

无穷限广义积分的计算(1)

指导教师：陈一虎 作者简介：陈雪静(1986-),女,陕西咸阳人，数学与应用数学专业2008级专升本1班． 无穷限广义积分的计算 陈雪静 （宝鸡文理学院 数学系,陕西 宝鸡 721013） 摘 要: 文章归纳总结了利用数学分析、复变函数、积分变换、概率论统计理论等知识计算无穷限广义积分的几种方法.在学习中运用这几种方法可开拓视野,激发学习数学的兴趣. 关键词: 广义积分;收敛;计算方法 广义积分是《高等数学》学习中的一个难点知识,广义积分的概念不仅抽象,而且计算方法灵活,不易掌握.广义积分包括两大类,一类是积分区间无穷型的广义积分,另一类是积分区间虽为有穷,但被积函数在该区间内含有有限个无穷型间断点（瑕点）的广义积分.一般的判别法是对积分区间无穷型的广义积分,先将积分限视为有限的积分区间按常义积分处理,待积分求出原函数后再考查其极限是否存在,在用此极限去判定原积分是否收敛.对于第二类广义积分,我们可将积分区间改动,使被积函数在改动后的积分区间内成为有界函数再按常义积分处理,求出原函数之后考查它在原积分区间上的极限是否收敛.但是有些被积函数的原函数不易求出或无法用初等函数表示,使得广义积分无法用常规方法计算,因此需寻求其它的计算方法.本文主要研究无穷限广义积分的计算方法,主要方法包括利用广义积分定义、参量积分、变量代换、二重积分、留数定理、级数展开、概率论知识以及拉普拉斯变换等方法. 1 无穷限广义积分的定义 定义1 设函数()f x 在区间[,)a +∞上连续,取t a >.如果极限 lim ()d t a t f x x →+∞? 存在,则称此极限为函数()f x 在无穷区间[,)a +∞上的反常积分（也称作广义积分）,

积分中值定理的推广与应用

积分中值定理的推广与应用 系别数学系 专业数学与应用数学姓名韩凤 指导教师张润玲 职称副教授 日期2011年6月

国内图书分类号： 吕梁学院本科毕业论文（设计） 积分中值定理的推广与应用 姓名韩凤 系别数学系 专业数学与应用数学 申请学位学士学位 指导教师张润玲 职称副教授 日期2011年6月

摘要 在微积分学中积分中值定理与微分中值定理一样有着重要的地位.微积分的许多问题和不等式的证明都以它为依据,积分中值定理在证明有关中值问题时具有极其重要的作用.它是《数学分析》、《高等数学》课程中定积分部分的基本定理之一.众所周知积分中值定理包括积分第一中值定理与积分第二中值定理,而在数学分析课本上已有过这两个定理的详细证明,但这两个定理的推广与应用尚未提及.因此,在教学过程中,学在运用这一知识点解决有关的数学问题比较困难,常常不知如何下手,本文主要讲述的是积分第一中值定理的各种形式的推广以及通过以下几方面的列举例题,加以归纳总结,并充分体现积分中值定理在学习解题练习中的应用. 关键词：积分中值定理；推广；应用

ABSTRACT The integral median value theorem and differential median value theorem has the same important position in the questions and the proof of the inequality are all based on the integral theorem,the integral median theorem has played an important role in solving the problems about is one of the basic theorems in the definite integral part of“the mathematical analysis”and“the higher mathematics”.Well-known that the integral median theorem include the first median theorem for integrals and the second median theorem for integrals and the textbooks of the mathematical analysis have the detailed proof about the two theorems,but the popularization and application of the two theorems have not been addressed .Therefore,it is difficult when students use this knowledge to solve the related problems during the process of article mainly introduce various popularization of the first median theorem for integrals and giving some example through the following aspects,and giving some summary,strive to reflect the application of integral median value theorem in studying the way which can slove the ploblems. Keywords：Integral median value theorem; Promotion; Applications.

第二积分中值定理

第二积分中值定理 若函数()f x 在区间[,]a b 上连续，而()p x 是区间[,]a b 上的单调有界函数，则有点()c a c b ≤≤，使 ()()d () ()d () ()d b c b a a c p x f x x p a f x x p b f x x + - =+? ? ? 其中()lim ()x a p a p x + +→=【右极限】，()lim ()x b p b p x --→=【左极限】。特别，若()0p a +=，则 ()()d () ()d b b a c p x f x x p b f x x - =? ? ()a c b ≤≤ 证明前的说明：()p x 是单调有界函数，所以它是可积的，而()()p x f x 作为可积函数的乘积也是可积的。其次，在下面的证明中， ①不妨认为()0p a +=，否则，令()()()q x p x p a +=-，则()0q a +=，于是由 ()()d () ()d b b a c q x f x x q b f x x - =? ? 即 [()()]()d [()()]()d b b a c p x p a f x x p b p a f x x + - + -=-?? ，可得一般情形 ()()d () ()d () ()d b c b a a c p x f x x p a f x x p b f x x + - =+? ? ? ②不妨认为()p x 是单调增加函数，因为若()p x 是单调减小函数，就用[()]p x -替换()p x 。 证 首先划分区间[,]a b ，即 01211i i n n a x x x x x x x b --=<<< <<<<<= 而在每一个小区间1[,]i i x x -上，都存在点1(,)i i i x x ξ-∈，使 1 1()d ()()i i x i i i x f x x f x x ξ--=-? 【第一积分中值定理】 于是，1 1() ()d ()()()i i x i i i i i x p f x x p f x x ξξξ--=-? ，求和得 1 11 1 ()()d ()()()i i n n x i i i i i x i i p f x x p f x x ξξξ--=== -∑∑? （※） 现在，将左端做变换，即 1 11 1 ()()d ()()d ()d i i i i n n x b b i i x x x i i p f x x p f x x f x x --==?? =-??????∑∑ ? ?? ξξ 1 11 2 () ()d ()()()d i n b b i i a x i p f x x p p f x x ξξξ--=??=+ -??∑? ? 因为()p x 是单调增加函数且()()0p x p a +≥=，所以11()0,()()0i i p p p ξξξ-≥-≥；再用m 和

无穷限广义积分的数值计算[文献综述]

文献综述 信息与计算科学 无穷限广义积分的数值计算 一．前言部分 定积分的数值近似称为数值求积.[1] 它起源于古代用铺贴小方块近似计算不规则图形或曲边形的面积．在近似积分中，主要从定义积分的黎曼和出发，用被积函数在积分区间上有限个点上值的加权和来近似计算积分． 我们一般使用牛顿-科茨求积公式，梯形公式及其复合公式，辛普森公式及其复合公式，Gauss 求积公式，切比雪夫求积法，三次样条函数求积法，自适应积分法等方法来进行数值求积． 在讨论积分时有两个最基本的限制：积分区间的有穷性和被积函数的有界性．但在很多实际问题中往往需要突破这些限制，考虑无穷区间上的“积分”． 根据函数的变化率，利用定积分我们可以计算函数在指定区间上的增量，利用变限定积分可以把握函数变化区间上增量的变化，为了把握函数在无穷区间上增量的变化，我们还需要引进并讨论无穷限积分[2] ． 比如现在人类要发射人造地球卫星或发射完成星际航行的飞行器，就要摆脱地球强大的引力，那如何离开地球呢? 地球上的物体要脱离地球引力成为环绕太阳运动的人造行星，需要的最小速度是第二宇宙速度．第二宇宙速度为11．2公里/秒，是第一宇宙速度的2倍．地面物体获得这样的速度即能沿一条抛物线轨道脱离地球． 我们可以运用无穷限广义积分解决第二宇宙速度问题． 在黎曼积分的定义中，被积函数和积分区间都是有界的．若被积函数或积分区间无界，则称为广义积分．对无界区间，如[)∞，a ，如果对任何有限的b ，f 在区间[]b a ,上可积，并且下列极限存在且为有限数，则广义积分的定义为 ()()? ?∞ ∞→=a lim b a b dx x f dx x f ． 对无界的积分区间，可以使用有限区间上的标准求积程序计算广义积分，具体方法如下：

积分中值定理中的极限

积分中值定理中n ξ的极限 杨勇洪 （楚雄师范学院数学系2005级2班） 指导老师 郎开禄 摘要：本文讨论了改进后的积分中值定理中n ξ的极限,获得几个有意义的结果. 关键词：积分；中值定理；极限 The limit of n ξ in integral theorem of mean Yan zilan Abstract ：In this paper, we discussed the limit of n ξ in the improvement integral theorem of mean ， several meaningful results are obtained. Key words ：Integral ；Theorem of mean ；limit 导师评语： 在文[1] ([1].郎开禄.积分中值定理注记[J ].楚雄师范学院学报，2008，23（6）：7-15.)中讨论了改进后的广义积分中值定理中n ξ的极限，并获得了两个基本结果,并讨论了其应用.在文[2] ([2].裘兆泰，王承国，章仰文编.数学分析学习指导[M ].2004：223-226，272.)中讨论了积分中值定理中n ξ的极限,获得了几个基本结果. 受文[1]- [2]的启发，在文[1]- [2]的基础上，杨勇洪同学的毕业论文《积分中值定理 中n ξ的极限》进一步研究改进后的广义积分中值定理中n ξ的极限,获得了的三个结论(定理 8至定理10),并讨论了其应用. 杨勇洪同学的毕业论文《积分中值定理中n ξ的极限》选题具有理论与实际意义,通过深入研究,该论文获得了关于积分中值定理中n ξ的极限的三个结论,并讨论其应用.该论文完成有 一定的技巧性和难度,其结果在理论与实际上都有重要意义.论文语言流畅,打印行文规范 ,是一篇创新型的毕业论文.该同学在作论文过程中，悟性好，爱钻研，能吃苦，独立性强.

推广的积分中值定理及其应用

推广的积分中值定理及其应用 摘要:定积分是微积分的重要组成部分,而积分中值定理是定积分的重要性质之一,所以积分中值定理在微积分中占了很重要的地位,本文系统的叙述了推广的积分中值定理包括:ξ必可以在开区间中取得,导函数的积分中值定理等多个方面,我们所学知识中积分中值定理与微分中值定理的中间点的存在区间是不统一的,但推广后的积分中值定理能够与微分中值定理的存在区间从形式上统一起来,使与其相关的理论得以联系和应用.同时,在本篇论文中以实例的形式列举了推广的积分中值定理在确定零点分布、证明积分不等式、求极限等方面的应用,显然,推广的积分中值定理的优点就在于此,它可以解决原积分中值定理无法解决的问题,这表明了积分中值定理在推广后更具有应用性. 关键词:积分中值定理;导函数;微分中值定理 Promotion of Integral Mean Value Theorem and Its Application Abstract:Definite integral is an important component of calculus, the mean value theorem is one of the important properties of the definite integral, so integral mean value theorem in calculus plays a very important position .This paper describes the system to promote the integral mean value theorem, including: ξwill be achieved in the open interval ,of the derivatives and other integral mean value theorem, we have the knowledge of the differential mean value theorem and the Intermediate Value Theorem Existence interval is not uniform, but after the promotion of integral mean value theorem and the Mean Value Theorem to the presence of range from the formal unity, so that contact can be associated with the theory and application. Meanwhile, in this paper an example to cite a form of integral mean value theorem in determining the zeros to prove inequality, such as the application of limit, obviously, to promote the advantages of integral mean value theorem in this, it Can solve the original integral mean value theorem can not solve the problem, suggesting that the integral mean value theorem in the promotion of a more applied after. Keywords: Integral mean value theorem, derivative, mean value theorem

积分常用公式

积分常用公式 一．基本不定积分公式： 1．C x dx +=? 2．111++= ? αα αx dx x 1(-≠α) 3．C x dx x +=?ln 1 4．C a a dx a x x +=?ln )1,0(≠>a a 5．C e dx e x x +=? 6．C x xdx +-=? cos sin 7．C x xdx +=? sin cos 8．C x dx x xdx +== ?? tan cos 1sec 22 9．C x dx x xdx +-==??cot sin 1csc 22 10．C x xdx x +=??sec tan sec 11．C x xdx x +-=?? csc cot csc 12． C x dx x +=-? arcsin 112 （或12 arccos 11C x dx x +-=-? ） 13． C x dx x +=+?arctan 112 （或12cot 11 C x arc dx x +-=+?） 14．C x xdx +=?cosh sinh 15．C x xdx +=? sinh cosh 二．常用不定积分公式和积分方法： 1．C x xdx +-=?cos ln tan 2．C x xdx +=? sin ln cot 3． C a x a x a dx +=+?arctan 122 4．C a x a x a a x dx ++-=-?ln 2122 5．C x x xdx ++=?tan sec ln sec 6．C x x xdx +-=? cot csc ln csc 7． C a x x a dx +=-? arcsin 2 2 8．C a x x a x dx +±+=±?222 2ln 9． C a x a x a x dx x a ++-=-?arcsin 2222 22 2 10． C a x x a a x x dx a x +±+ ±±= ±? 222 2 2 2 2 ln 2 2 11．第一类换元积分法（凑微分法）：

无穷限反常积分敛散性及审敛法则(教案)

无穷限反常积分敛散性及审敛法则 一、教学目标分析 在开始本节课程学习之前，学生已经对定积分有所了解，并初步掌握定积分的基本知识，本节通过介绍反常积分，加深学生对积分的了解，使同学对积分的了解更加系统化，并通过讲解让同学们减轻对积分的迷惑。让学生反常积分在一些实际问题中的应运。 二、学情/学习者特征分析 学生通过对前面课程的学习，对积分已经有了初步的了解。但对于一些特殊积分或者有关实际问题的积分还是存在着一定的迷惑。由于本节内容有点枯燥，所以要积极调动学生的兴趣，培养好课堂气氛，使学生充分掌握本节课的内容。 三、学习内容分析 1.本节的作用和地位 通过对本节的学习来解决一些不属于定积分的问题，这些问题通常是一些实际问题。例如：常会遇到积分区间为无穷区间，或者被积函数为无界函数的积分等问题。 2．本节主要内容 1. 无穷限反常积分的定义与计算方法 2. 无穷限反常积分的性质 3. 无穷限反常积分的比较审敛法则 4. 条件收敛与绝对收敛 3.重点难点分析 教学重点：无穷限反常积分计算，无穷限反常积分的比较审敛法则； 教学难点：无穷限反常积分的比较审敛法则。 4.课时要求：2课时 四、教学理念 学生在之前就已经掌握了一定的知识，通过本节对学生的教学使学生进一步了解反常积分，尤其是其在一些实际问题中的应运。 五、教学策略 在教学中主要讲清反常积分的定义及其性质，并适时举例讲解，引导学生互动，相互讨论解决问题。

六.教学环境 网络环境下的多媒体教室与课堂互动。 七、教学过程 一、无穷限反常积分的定义 定义1 设函数／定义在无穷区间[+∞,a )上，且在任何有限区间[u a ,]上可积．如果存在极限 J dx x f u a u =? +∞→)(lim 则称此极限J 为函数f 在[+∞,a )上的无穷限反常积分(简称无穷积分)，记作 dx x f J a ?+∞ =)(，并称 dx x f a ?+∞ )(收敛．如果极限J dx x f u a u =?+∞ →)(lim 不存在，亦称 dx x f a ?+∞ )(发散． 类似地，可定义f 在(b ,∞-]上的无穷积分：.)(lim )(dx x f dx x f b u u b ?? -∞ →∞ -= 对于f 在(+∞∞-,)上的无穷积分，它用前面两种无穷积分来定义： ,)()()(dx x f dx x f dx x f a a ???+∞ ∞ -∞-+∞ +=其中a 为任一实数，当且仅当右边两个无穷积分都收 敛时它才是收敛的． 注： dx x f a ? +∞ )(收敛的几何意义是：若f 在],[+∞a 上为非负连续函数，则介于曲线 )(x f y =，直线a x =以及x 轴之间那一块向右无限延伸的阴影区域有面积J ． 例1 讨论无穷积分.1) 10 2 ? +∞ +x dx ，.1)22?∞+∞-+x dx ，.)30 2 ?+∞-dx xe x 的收敛性． 例2 讨论下列无穷积分的收敛性：? +∞ 1 ) 1p x dx ， ;)(ln )22?+∞p x x dx 二、无穷积分的性质 由定义知道，无穷积分 ?+∞ a dx x f )(收敛与否， 取决于积分上限函数=)(u F ?u a dx x f )(在+∞→u 时是否存在极限．因此可由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则． 定理11.1 无穷积分 ? +∞a dx x f )(收敛的充要条件是：任给ε>0，存在G ≥a ，只要 G u u >21,，便有 ε<= -? ? ?2 1 2 1 )()()(u u u a u a dx x f dx x f dx x f ． 此外，还可根据函数极限的性质与定积分的性质，导出无穷积分的一些相应性质． 性质 1 若 dx x f a )(1? +∞ 与 dx x f a )(2? +∞ 都收敛，1k ,2k 为任意常数，则

微分与积分中值定理及其应用

第二讲 微分与积分中值定理及其应用 1 微积分中值定理 0 微分中值定理 .......................................................................................... 0 积分中值定理 .......................................................................................... 2 2 微积分中值定理的应用 . (3) 证明方程根（零点）的存在性 ............................................................... 3 进行估值运算 .......................................................................................... 7 证明函数的单调性................................................................................... 7 求极限 ...................................................................................................... 8 证明不等式 . (9) 引言 Rolle 定理，Lagrange 中值定理，Cauchy 中值定理统称为微分中值定理。微分中 值定理是数学分析中最为重要的内容之一，它是利用导数来研究函数在区间上整体性质的基础，是联系闭区间上实函数与其导函数的桥梁与纽带，具有重要的理论价值与使用价值。 1 微积分中值定理 微分中值定理 罗尔(Rolle)定理: 若函数f 满足如下条件 (ⅰ)f 在闭区间[a,b]上连续； (ⅱ)f 在开区间（a,b ）内可导； (ⅲ))()(b f a f =, 则在（a,b ）内至少存在一点ξ，使得 0)(='ξf ． 朗格朗日(Lagrange)中值定理: 设函数f 满足如下条件： (ⅰ)f 在闭区间[a,b]上连续； (ⅱ)f 在开区间（a,b ）上可导； 则在（a,b ）内至少存在一点ξ，使得 a b a f b f f --= ') ()()(ξ．

对积分中值定理的一点思考

对于积分中值定理的一点思考 摘要 积分中值定理是高等数学中重要的一部分，中值定理是人们认识高等数学世界、解决数 学问题的重要武器，本文在数学分析教材中第一积分中值定理的条件下，证明了介值点ξ必可在开区间 ),(b a 内取得，并且给出几分中值定理及其推广的一些应用. 关键词 积分中值定理 积分中值定理应用 积分中值定理的推广 第一积分中值定理 极限 一 引言 推广的积分第一中值定理： 若函数f(x)与g(x)在闭区间[a, b]上连续，且g(x)在[a, b]上不变号，则在[a, b]上至少存在一点ξ使得 ??=b a b a x d x g f x d x g x f )()()()()()(ξ （1） 推广的积分中值定理可改进如下： 定理1：若函数f(x)与g(x)在闭区间[a, b]上连续，且g(x)在[a, b]上不变号，则在) ,(b a 上至少存在一点ξ使得??=b a b a x d x g f x d x g x f )()()()()()(ξ。 对其证明如下： 因为)(x f 在],[b a 上连续，故)(x f 在],[b a 上存在最大值和最小值，不妨分别设为M 和m,即M x f m ≤≤)(，则必存在x x x x b a 2 1 2 1 ],,[,<∈，使m f x =)(1 ，M f x =)(2 ， 又因为 )(x g 在],[b a 上不变号，不妨设0)(≥x g ,则?≥b a dx x g 0)(， 且有)()()()(x Mg x g x f x mg ≤≤，又)(x f 和)(x g 都在],[b a 可积，则)()(x g x f 在] ,[b a 也可积，从而有 ???≤≤ b a b a b a dx x g M dx x g x f dx x g m )()()()( （2）

§5-4无穷区间上的广义积分

§5—4 广义积分 一、无穷区间上的广义积分 例1 如图，若求以y = 2 1 x 为曲顶、[21，A ]为底的 单曲边梯形的面积S (A )，则是一个典型的定积分问题， S (A )=?A dx x 211=2－A 1 ． 现在若要求由x = 21， y =21x 和x 轴所“界定”的区 域的“面积”S ，则因为面积累积区域是[2 1，+∞]，它已 经不是定积分问题了，也就是说，它不能再通过区间分划、局部近似、无限加细求极限的步骤来处理．但可以通过S (A )，即定积分的极限来得到S ： S =)1 2(lim )(lim 1lim 21A A S dx x A A A A -==+∞→+∞→+∞→?=2． 定义1 设函数f (x )在 [a ，+∞)内有定义，对任意A ∈[a ，+∞)，f (x )在[a ，A ]上可积(即定积分? A a dx x f )(存在)，称极限? +∞→A a A dx x f )(lim 为函数f (x )在[a ，+∞)上的无穷区间广义积 分(简称无穷积分)，记作?∞ + )(a dx x f ，即 ?∞ + )(a dx x f =?+∞→A a A dx x f )(lim ． (1) 若(1)右边的极限存在，则称无穷积分? ∞ + )(a dx x f 收敛；否则就称为发散． 例1的问题可以用无穷积分表示为S =?∞ + 211 dx x ，而且这个无穷积分是收敛的． 同样可以定义 ? ?-+∞→∞-=b A A b dx x f dx x f )(lim )( (极限号下的积分存在 ); ?∞ +∞- )(dx x f =? ?+∞→-+∞ →+B a B a A A dx x f dx x f )(lim )(lim (2) (两个极限号下的积分都存在，a ∈(－∞，+∞))． 他们也称为无穷积分，所谓收敛，表示(2)式右边的极限都存在，否则就是发散． 对无穷积分首先要判定它的敛散性，然后才能求其值．但若能求出被积函数的一个原函数，则可以通过极限，同时解决敛散问题和求值问题． 例2 计算无穷广义积分：(1)?∞+- 0 2dx xe x ；(2)?-∞-1 31dx x ；(3)?∞+∞ -+ 2 11 dx x ． 解 (1)?-A x dx xe 0 2=－21?--A x x d e 0 2)(2=－)1(21 2122 0 --=--A A x e e ， ?∞ +- 0 2 dx xe x =+∞ →A lim ?-A x dx xe 0 2 =－ 21 +∞→A lim )1(2--A e =2 1. (2)2 1 21 321 2121 1A x dx x A A + -=-=----? ， 2

反常积分的敛散性判定方法

XX财经大学本科学年论文反常积分敛散性的判定方法 作者陈志强 学院统计与数学学院 专业数学与应用数学 年级2012级 学号122094102 指导教师魏运 导师职称教授 最终成绩75分

目录 摘要 (1) 关键词 (1) 引言----------------------------------------------------------------------------------------2 一、预备知识 (2) 1.无穷限反常积分 (2) 2.瑕积分 (3) 3.反常积分的性质 (3) 二、反常积分的收敛判别法 (4) 1无穷积分的收敛判别 (4) (1).定义判别法 (4) (2).比较判别法 (4) (3).柯西判别法 (5) (4)阿贝尔判别法 (6) (5).狄利克雷判别法 (7) 2瑕积分的收敛判别.................................................. . (8) (1).定义判别法 (8) (2).定理判别法 (9) (3).比较判别法 (9) (4).柯西判别法 (9)

(5).阿贝尔判别法 (10) (6).狄利克雷判别法 (10)

参考文献 (11)

摘要 在很多实际问题中，要突破积分区间的有穷性和被积函数的有界性，由此得到了定积分的两种形式的推广：无穷限反常积分和瑕积分。我们将这两种积分统称为反常积分。因为反常积分涉及到一个收敛问题，所以反常积分的敛散性判定就显得非常重要了。本文将对反常积分的敛散性判定进行归纳总结，并给出了相关定理的证明，举例说明其应用，这样将有助于我们灵活的运用各种等价定理判断反常积分的敛散性。 关键词：反常积分瑕积分极限敛散性

积分中值定理(开区间)证明的几种方法

积分中值定理（开区间）的几种证明方法 定理：设f 在[,]a b 上连续，则(,)a b ξ?∈，使得 ()()()b a f x dx f b a ξ=-?。 [证一]：由积分第一中值定理（P217）， [,]a b ξ?∈， 使得 ()()()b a f x dx f b a ξ=-?。 于是 [()()]0.b a f x f dx ξ-=? 由于函数()()()F x f x f ξ=-在[,]a b 上连续，易证（可反证）： (这还是书上例2的结论) (,)a b η?∈，使得()()()0F f f ηηξ=-=，即()()f f ηξ=。 [证二]：令()()x a F x f t dt =?，则()F x 在[,]a b 上满足拉格朗日中值定理的条件，故 (,)a b ξ?∈，使得()()()()F b F a F b a ξ'-=-，即结论成立。 （注：书上在后面讲的微积分基本定理） [证三]：反证：假设不(,)a b ξ?∈，使得 ()()()b a f x dx f b a ξ=-?，由积分第一中值定理， 知ξ只能为a 或b ，不妨设为b ，即 1(,),()()()b a x a b f x f b f x dx b a ?∈≠=-?。 由于f 连续，故(,),x a b ?∈ ()()f x f b >（或()()f x f b <）， （这一点是不是用介值定理来说明） 这样 （上限x 改为b ）()()()().x b a a f x dx f b dx f b b a >=-?? （这个严格不等号不太显然要用书上例2结论来说明） 矛盾。 [证四]：设f 在[,]a b 上的最大值为M ，最小值为m 。若m M =，则f c ≡，ξ可任取。 若m M <，则1[,]x a b ?∈，有1()0M f x ->，故 [()]0b a M f x dx ->?，即 ()().b a f x d x M b a <-?

积分中值定理的推广与应用

积分中值定理的推广与应用

系别数学系 专业数学与应用数学姓名韩凤 指导教师张润玲 职称副教授 日期2011年6月

国内图书分类号：O172.2 吕梁学院本科毕业论文（设计） 积分中值定理的推广与应用 姓名韩凤 系别数学系 专业数学与应用数学

申请学位学士学位指导教师张润玲职称副教授日期2011年6月

摘要 在微积分学中积分中值定理与微分中值定理一样有着重要的地位.微积分的许多问题和不等式的证明都以它为依据,积分中值定理在证明有关中值问题时具有极其重要的作用.它是《数学分析》、《高等数学》课程中定积分部分的基本定理之一.众所周知积分中值定理包括积分第一中值定理与积分第二中值定理,而在数学分析课本上已有过这两个定理的详细证明,但这两个定理的推广与应用尚未提及.因此,在教学过程中,学在运用这一知识点解决有关的数学问题比较困难,常常不知如何下手,本文主要讲述的是积分第一中值定理的各种形式的推广以及通过以下几方面的列举例题,加以归纳总结,并充分体现积分中值定理在学习解题练习中的应用. 关键词：积分中值定理；推广；应用

ABSTRACT The integral median value theorem and differential median value theorem has the same important position in the calculus.Many questions and the proof of the inequality are all based on the integral theorem,the integral median theorem has played an important role in solving the problems about median.It is one of the basic theorems in the definite integral part of“the mathematical analysis”and“the higher mathematics”.Well-known that the integral median theorem include the first median theorem for integrals and the second median theorem for integrals and the textbooks of the mathematical analysis have the detailed proof about the two theorems,but the popularization and application of the two theorems have not been addressed .Therefore,it is difficult when students use this knowledge to solve the related problems during the process of teaching.This article mainly introduce various popularization of the first median theorem for integrals and giving some example through the following aspects,and giving some summary,strive to reflect the application of integral median value theorem in studying the way which can slove the ploblems. Keywords：Integral median value theorem; Promotion; Applications.

(整理)定积分 笔记.

第三节定积分 一、定积分的定义 设函数在上有界，在中任意插入若干个分点 把区间分成个小区间，各小区间的长度依次为，，在各小区间上任 取一点()，作乘积并作为，记 ，如果不论对怎样的分法，也不论在小区间上点怎样的取法，只要当时，和总趋于确定的极限我们称这个极限为函数在区间上的定积记为： 二、定积分的性质 性质1： 性质2：(为常数) 性质3：假设， 性质4： 性质5：在区间上，则 性质6：设及分别是函数在区间上的最大值及最小值，则

性质7(定积分中值定理)如果函数在闭区间上连续，则在积分区间上至少存在一个点，使 积分中值公式的几何解释： 在区间上至少存在一个点，使得以区间为底边，以曲线为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为的一个矩形的面积。 三、微积分的基本公式 1．原函数存在定理：如果在上连续，则变上限积分的函数在可导，还是在上的一个原函数。 2．微积分基本公式（牛顿—莱布尼茨公式） 如果是连续函数在区间上的一个原函数，则场。 微积分基本公式表明： 一个连续函数在区间上的定积分等于它的任意一个原函数在区间上的增量。 求定积分问题转化为求原函数的问题。

第四节 定积分的积分方法与无穷区间上的广义积分 一、 定积分的积分方法 1、定积分的换元积分法 例1 求4 ?. 解一 2d 1t t t +? 1 2(1)d 1t t =- +?2(ln 1)t t C =-++ = ln 1C ++ 于是 440 ln(1=-+? = 42ln3- . 解二 设 t =，即2 (0)x t t =>. 当0x =时,0t =;当 4x = 时，2t =. 于是 42 22 002d 12(1)d 2(ln 1)2(2ln 3) 11t t t t t t t ==-=-+=-++? ? ?. 一般地，定积分换元法可叙述如下，设()f x 在[,]a b 上连续,而()x x ?=满足下列条件： （1）()x x ?=在[,]αβ上有连续导数； （2）(),()a b ?α?β==,且当 t 在[,]αβ上变化时,()x t ?=的值在[,]a b 上变化，则有换元公 式： ()d [()]()d b a f x x f t t t β α ??'=? ?. 例2 求 ln 0 x ? . 解 t =，即22 2ln(1),d d 1t x t x t t =+= +. 换积分限：当 0x = 时，0t =, 当 ln2x =时，1t =,于是

积分中值定理

第一章 积分中值定理 一、本章有一个按序排列而成的定理系列，即罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西定理和泰勒定理。由于它们都拥有一个“微分中值点ξ”，故有时也将其统称为微分中值定理，该定理系列在微分学的理论中起着极为重要的作用，故需要大家学习时要格外重视。在应用这些定理时，要特别注意“点ξ”，定理只告诉了我们//的存在性，并未指出它的确切位置（实际上，许多情况下我们并不需要知道它的确切位置，只要知道//存在就足够了），若忽视了这一点，在作题的过程中就容易出错或无法达到目的。如设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内有二阶导数，证明存在//，使得 )(4 )()()2(2)(2 ξf a b a f b a f b f ''-=++-。 分析：根据给出的条件以及要证明的表达式，我们往往联想采用如下的方法 )()2 ( 2)(a f b a f b f ++- )]()2 ([)]2()([a f b a f b a f b f -+-+-= （*） )]()([2 21ξξf f a b '-'-= )()(2 21ξξξf a b ''--= （1212,2ξξξξξ<<<<+<

广义积分教案

第三章 一元函数积分学 三、广义积分 无限区间上的积分： 设)(x f 在],[+∞a 上连续，取a b >，则称dx x f b a b )(lim ? +∞ →为)(x f 在],[+∞a 上的广义 积分，记为：dx x f a )(? +∞ dx x f b a b )(lim ? +∞ →= 若上述极限存在，则称广义积分dx x f a )(?+∞ 存在或收敛。否则称广义积分不存在或称发散。 同理可定义广义积分： dx x f b )(? ∞ -dx x f b a a )(lim ? -∞ →=和dx x f )(? +∞∞ -dx x f c )(? ∞ -= dx x f c )(? +∞ + 若)(x F 是)(x f 的一个原函数 记：?? ???=-∞=+∞-∞→+∞ →)(lim )() (lim )(x F F x F F x x 则广义积分可表示为： dx x f a )(?+∞ | )(+∞=a x F )()(a F F -+∞= dx x f b )(?∞-|)(b x F ∞-=)()(-∞-=F b F dx x f )(? +∞∞ -| )(+∞∞ -=x F )()(-∞-+∞=F F 例33－1、计算无穷积分： 解：dx e x -+∞ ? dx e x b b -+∞ →? =0lim | lim b x b e -+∞ →-=1)10()(lim 0 =--=-=-+∞ →e e b b 或直接利用公式：dx e x -+∞ ? 1)1(0| =--=-+∞ -x e 例33－2、计算广义积分： ⑴、dx xe x 2 -+∞ ? dx xe x b b 2 lim -+∞ →? =)](2 1[lim 2 2 x d xe x b b -+∞ →? - = | 2 lim 2 1b x b e -+∞ →- =2 1)(lim 2 10 2 = -- =-+∞ →e e b b ⑵、dx x x 2 1+? +∞ dx x x b b 2 1lim +=? +∞ →2 2 1)1(lim 2 1x x d b b ++= ? +∞ → |0 2 )1ln(lim 2 1b b x +=+∞ →+∞=-+= +∞ →]1ln )1[ln(lim 2 12 b b ⑶、dx x x e 3 ) (ln 1? +∞ dx x x b e b 3 ) (ln 1lim ? +∞ →=)(ln ) (ln 1lim 3 x d x b e b ? +∞ →=