无穷限广义积分的数值计算[文献综述]
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文献综述
信息与计算科学
无穷限广义积分的数值计算
一．前言部分
定积分的数值近似称为数值求积.[1]
它起源于古代用铺贴小方块近似计算不规则图形或曲边形的面积．在近似积分中，主要从定义积分的黎曼和出发，用被积函数在积分区间上有限个点上值的加权和来近似计算积分．
我们一般使用牛顿-科茨求积公式，梯形公式及其复合公式，辛普森公式及其复合公式，Gauss 求积公式，切比雪夫求积法，三次样条函数求积法，自适应积分法等方法来进行数值求积．
在讨论积分时有两个最基本的限制：积分区间的有穷性和被积函数的有界性．但在很多实际问题中往往需要突破这些限制，考虑无穷区间上的“积分”．
根据函数的变化率，利用定积分我们可以计算函数在指定区间上的增量，利用变限定积分可以把握函数变化区间上增量的变化，为了把握函数在无穷区间上增量的变化，我们还需要引进并讨论无穷限积分[2]
．
比如现在人类要发射人造地球卫星或发射完成星际航行的飞行器，就要摆脱地球强大的引力，那如何离开地球呢?
地球上的物体要脱离地球引力成为环绕太阳运动的人造行星，需要的最小速度是第二宇宙速度．第二宇宙速度为11．2公里/秒，是第一宇宙速度的2倍．地面物体获得这样的速度即能沿一条抛物线轨道脱离地球．
我们可以运用无穷限广义积分解决第二宇宙速度问题．
在黎曼积分的定义中，被积函数和积分区间都是有界的．若被积函数或积分区间无界，则称为广义积分．对无界区间，如[)∞，a ，如果对任何有限的b ，f 在区间[]b a ,上可积，并且下列极限存在且为有限数，则广义积分的定义为
()()?
?∞
∞→=a
lim b
a
b dx x f dx x f ．
对无界的积分区间，可以使用有限区间上的标准求积程序计算广义积分，具体方法如下：
?用有限的积分区间代替无限的积分区间．选择积分范围时要注意所截掉的部分应是极
小的，另外应对这一部分在整个积分中所占的份额作出估计．同时这个有限区间也不应太大，以免在利用自适应求积程序时，陷入无休止的积分函数调用之中．
?通过适当的变换将无界区间变成有界区间．典型的变换包括，t x ln -=或者
()
t t
x -=
1．但是在变换的时候一定要注意不要引入新的奇异点或产生其它问题． 还有一种方法就是采用专门计算无界区间积分的求积公式，比如说高斯-拉盖尔
（Gauss-laguerre ）或者高斯-艾尔米特求积公式．
一般采用变量替换，无穷区间的截断，无穷区间上的高斯求积公式，极限过程等方法去解决无穷限广义积分的数值计算．
二．主题部分
2．1数值积分的一般方法
许多定积分都无法用解析方法求出．对于那些并不知道函数()f x 的表达式只能通过实验得到()f x 在一系列点上的值的积分问题也只能用数值方法．[3]
2．1．1梯形法则
[4]
把以曲线()f x 为曲边的曲边梯形分解成小曲边梯形以后，估计小曲边梯形面积的一个方法是用左矩形或右矩形面积代替小曲边梯形面积；但是这时误差会比较大．事实上，这种方法相当于用一系列的水平线逼近曲线()f x ．我们可以把这些水平线看成是函数的零次插值多项式．
一个更好的方法就是用一条折线逼近曲线()f x ；事实上，我们让小矩形的上边连续倾斜直到最好地拟合曲线．得到相应的求积公式是
()()()2b
a
b a
f x dx f a f b -≈
+???
??
, ()2.1.1 对所有1f ∈∏（即次数最多是1次的全体多项式）公式精确成立．此外，它的误差项是
()()3
1''12
b a f ξ-
-, 其中(),a b ξ∈．通过多项式逼近中的误差()()()()()1''x f x p x f x a x b ξ-=--积分，再利用积分中值定理，可以确定梯形法则的误差项． 2．1．2复合梯形法则
如果划分区间[],a b 为：
01n a x x x b =<
那么在每个子区间上可应用梯形法则．这时结点未必是等距的．这样，我们得到复合梯形法则
()()()()()1
111
1
12i
i n
n
b
x i i i i a
x i i f x dx f x dx x x f x f x ---==-=≈-+????∑∑??
.()2.1.2 对等间距()h b a n =-及结点i x a ih =+，复合梯形法则具有形式
()()0
''n
b
a
i f x dx h f a ih =≈+∑?， ()2.1.3
其中求和符号上的两撇表示求和式中的第一项和最后一项都被减半.复合梯形法则的误差项是
()()21
''12
b a h f ξ-
-, 其中(),a b ξ∈．对于每个子区间上的误差项求和并利用以下事实：在[],a b 内存在一点ξ使得()()()1
''1''n
i
i f n f ξξ==∑，其中()1
,i i i x
x ξ-∈以及()1n b a h =-，即平均值，这样便得
到总误差项． 2．1．3辛普森法则[5]
对任意区间[],a b 的类似计算可得到熟悉的辛普森法则：
()()()462b
a
b a a b f x dx f a f f b -?+???
≈
++ ???????
?
. ()2.1.4 从它的推导过程可知，对于所有次数2≤的多项式辛普森法则是精确成立的．出乎意料的是， 对于所有次数3≤的多项式它也精确成立．
与辛普森法则联系在一起的误差项是： ()()
()541290
b a f ξ--????, 其中(),a b ξ∈． 2．1．4 Gauss 公式[6]
设有计算
()()b
a
I f f x dx =
? ()2.1.5
的求积公式
()()0
n
n k
k
k I f A f x ==
∑， ()2.1.6
其中求积节点()0,1,k x k n =，求积系数()0,1,k A k n =.
如果其代数精度为()21n +，则称为求积公式为Gauss-Legendre 公式（简称Gauss 公式），称相应的求积节点为Gauss 点．
由代数精度的定义知，式()2.1.6为Gauss 公式的充分必要条件是求积节点{}0n
k k x =和求
积系数{}0n
k k A =满足下列方程组：
022
021210
1n b k a k n b k k a k n
b k k a
k n
b
n n k k a
k A dx x A xdx
x A x dx x A x dx
===++=?
=??
?
=????=?????=??∑?∑?∑?∑
?. ()2.1.7 Gauss 积分不但具有高精度，而且是稳定的，其原因是由于它的求积系数具有非负性．
Gauss 公式
()()0
n
b
k
k
a
k f x dx A f x =≈∑?的求积系数()0,1,
k
A k n =全是正的．
高斯求积公式,[7]
它不但具有最高的代数精度，而且收敛性和稳定性都有保证．因此是高精度的求积公式，高斯公式的主要缺点是节点和系数无规律，所以不便编程实现，在实际应用中，可以把低阶高斯公式进行复化． 2．2 无穷积分的敛散性判别[8]
无穷积分的基本问题就是敛散性的判别问题，是求解无穷积分近似值的一个先决条件．由定义知道，无穷积分
()a
f x dx +∞
?
收敛与否，取决于函数()()u
a
F u f x dx
=?在u →+∞时是否存在极限．因此可由函数极限的柯西准则导出无穷积分的柯西准则．
无穷积分()a
f x dx +∞
?
收敛的充要条件是：任给0ε>，存在G a ≥，只要1u 、
2u G >，便有
()()()2
1
2
1
u u u a
a
u f x dx f x dx f x dx ε-=
??
．
()2.2.1 我们知道，[9]
无穷限反常积分和数项级数两者之间有很多结论是相似的．在数项级数里面，当数项级数收敛时，其通项是收敛于零的．那么在无穷限反常积分里是不是也有相似的结论呢．
首先我们看看无穷限反常积分在收敛时的几何意义：
()a
f x dx +∞
?收敛时的几何意义：若()f x 是[),a +∞上的非负连续函数，则
()a
f x dx +∞?
是介于曲线()y f x =，直线x a =以及x 轴之间那一块向右无限延伸的阴影区
域的面积J ．从而可知：()a
f x dx +∞
?
实际上是表示曲线()y f x =与坐标轴所围成的面积的
代数和．而当
()a
f x dx +∞
?
收敛时，是否()f x 在无穷远处的极限一定为零时，图形的面积
才可以计算呢?如果回答否定，那么在哪些情况下，被积函数在无穷远处的极限才等于零呢?经过对若干例子的研究，我们得出结论：上述第一个问题的回答是否定的，并且有这样的事实：
()a
f x dx +∞
?
收敛时()f x 在无穷远处的极限并不一定为零．
被积函数在无穷远处极限为零的充分条件： 当
()a
f x dx +∞
?
收敛时，在无穷远处的极限为零．以下就是经过对()f x 作某些限制而
得出的几个结论，而这些结论就是对引言中的问题的回答．
定理1． 若()a f x dx +∞
?收敛且()lim x f x →+∞
存在，则有()lim 0x f x →+∞
=；
定理2． 若()a f x dx +∞
?收敛且()f x 单调，则()lim 0x f x →+∞
=；
定理3． 若()a f x dx +∞
?收敛且()f x 一致连续，则有()lim 0x f x →+∞
=；
定理4． 若
()a
f x dx +∞
?
收敛且导函数()f x 有界，()lim 0x f x →+∞
=．
2．3无穷区间上的积分的计算方法
考虑无穷区间上的积分 ()()a
I f f x dx ∞
=?, ()2.3.1
其中a 为有限值或-∞．
常用的无穷区间上的积分的求解方法:[10]
2．3．1变量替换
对于式()2.3.1，作变量替换x
t e -=，可将区间[)0,+∞变为区间()0,1．因此有
()()()1
10
001
ln g t f x dx f t dt dt t t
∞
=-=?
??. ()2.3.2
这样就把无穷区间上的一个积分化成为了有限区间上的积分．若
()
g t t
在0t =的邻域内有界，那么式()2.3.2的右边是一个正常积分，反之，积分是一个反常积分，上述变换只是把一种困难装换成另一个困难．
变量替换还有很多不同类型． 例 计算积分
221
11sin dx x x
∞
?
． 解 令1
y x
=
，那么有
12
221
011sin sin dx y dy x x
∞
=?
?， 对2
sin y 泰勒级数展开，有
12221
0111111sin sin 342132075600
dx y dy x x ∞
==-+-+?
?
0.310268≈．
2．3．2无穷区间的截断
将被积函数的“尾巴”略去，可使无穷区间化为一个有限区间，此方法要求事先用某种简单的解析方法估算出尾部的量值．选取R a >，使
()0
f x dx ε∞
其中ε为允许误差，那么无穷区间上的积分()2.3.3可以用
()R
a
f x dx ?来近似．
例 计算
2
x e dx ∞
-?
．
解：当x R ≥时有2
x Rx ≥，所以有估计式
2
2
1x Rx R R
R
e
dx e dx e R
∞
∞
---≤=
?
?． 对于4R =，则2
8110R e R
--≈．因此对于允许误差为710-来说，只要计算240x e dx -?就
可以了．
2．3．3无穷区间上的高斯求积公式
无穷区间上的积分．高斯-拉盖尔求积公式和高斯-艾尔米特求积公式是最广泛实用的．下面作些补充．
将插值型求积公式
()()()()()()00,
,n
b
k k a k n b
i k a i k i i k x f x dx A f x x x A x dx x x ρρ==≠?≈??
?-?=∏?-?
∑?? ()2.3.4 中的[],a b 换为半无穷区间[)0,+∞，权函数()x
x e ρ-=，并取节点()0,1,
,k x k n =为
1n +次拉盖尔多项式()()1111
n x
n x
n n d L x e x e dx ++-++=的零点，称这样的高斯求积公式为高斯-拉盖尔求积公式，其表示形式为
()()0
,n
x
k k k e f x dx A f x +∞
-=≈∑?
()2.3.5
系数k A 为
()()12
2
'
1!n k k k n A x L x ++????=????
()0,1,2,,k n =，
()2.3.6 截断误差为
[]()()()()2
221!22!
n n R f f n ζ++????=+， ()0,ζ∈+∞. ()2.3.7 高斯-艾尔米特求积公式是全无穷区间上的高斯型求积公式
()()2
n
x k k k e
f x dx A f x +∞
--∞
=≈∑?， ()2.3.8
其中节点()0,1,,k x k n =为(),-∞+∞上带权()x x e ρ-=正交的1n +次艾尔米特多项式
()()
()
2
2
11
11
1n n x x n n d H x e e dx
++-++=-的零点，系数k A 为 (
)()22
'
1
21n k n k n A H
x +++=
????
， ()2.3.9
截断误差为
[](
)()()()221
1222!
n n n R f f n ζ+++=
+，
(),ζ∈-∞+∞. ()2.3.10 在实际应用中有时希望一个或几个节点预先固定，然后确定其他节点和系数以使求积公式具有尽可能高的代数精度，这种固定部分节点的高斯型求积公式理论上总是可以按代数精度的等价定义
[11]
．
2．3．4极限过程
()()0
lim r f x dx f x dx ∞
∞
→∞=?
?,
提供了极限过程．令010r r <<<
是趋向于∞的数列．记
()()()()0
1
2
1
r r r r r f x dx f x dx f x dx f x dx ∞
=+++
?
???,
右端每个积分都是正常积分，当
()1
n n
r r f x dx ε+
时，计算终止．
2．4无穷限广义积分的新方法
最近提出了一种基于进化策略算法的广义积分计算新方法，
[12-15]
该方法根据被积
函数的变量区间任意选取分割点，作为进化策略的初始的群体，通过进化策略算法来优化这些分割点，最终可得到一些最优的分割点，然后再求和，再根据和函数定义适
应度函数，在给定的终止条件下，可获得精度较高的积分值．最后，以广义积分(无穷限广义积分)为例，仿真结果表明，该算法相比传统的一些方法，具有计算精度高，自适应性强等特点．
三、总结部分
定积分的积分区间是有限的，但在实际问题中，往往需要突破这个限制，把积分区间从有限的推广到无限区间，形成了无穷限广义积分，因此，无穷限广义积分的基本性质、计算方法与定积分相类似[16]．在工程计算中也会遇到广义积分的数值计算问题，尤其是在近代物理等领域中会经常遇到广义积分(无穷限广义积分)的数值计算问题，不同的理论和方法的难易程度不同，我们应该注意观察总结，举一反三、巧妙地应用这些方法．同时也应该积极探索更新更有效的理论和方法去解决这些问题．
四、参考文献
[1]Michael T．Health．Scientific Computing: An Introductory Survey[M]．第2版影印版．北京 :清华大学出版社,2001．10:297-311．
[2]李国莹,姜诗章,杨平,王国清．应用数学基础[M]．第2版．上海:复旦大学出版社,2003．2:97-97．
[3]Leader J．J．Numerical Analysis and Scientific Computation[M]．影印版．北京:清华大学出版社,2008．5:314-314．
[4]Curtis F．Gerald Partrick O．Wheatley著,吕淑娟译．应用数值分析[M]．第7版．北京:机械工业出版社,2006．9:22-223．
[5]David Kincaid,Ward Cheneny著,王国荣,俞耀明,徐兆亮译．数值分析[M]．第3版．北京:机械工业出版社,2005．9:385-386．
[6]孙志忠,袁慰平,闻震初．数值分析[M]．第2版．南京:东南大学出版社,2002．1:203-211．
[7]李桂成．计算方法[M]．北京:电子工业出版社,2005．10:186-186．
[8]华东师范大学数学系．数学分析上册[M]．第3版．北京:高等教育出版社,2001．6:264-270．
[9]戴培亮．无穷限积分的被积函数在无穷远处的极限[J]．常熟理工学院学报．2006．11,20(6) :1-4．
[10]《代应用数学手册》编委会．现代应用数学手册-计算与数值分析卷[M]．北京:清华大学出版
社,2005．1:227-230．
[11]封建湖,车刚明,聂玉峰．数值分析原理[M]．北京:科学出版社,2001．9:118-118．
[12]郭德龙,周永权．基于进化策略的广义积分计算方法研究[J]．计算机工程与设
计． 2008．10,29(19):5026-5028．
[13]张艳红．一种工程实用的数值积分方法[J]．工程力学报．2005．6,22(3):39-45．
[14]陈泽文,朱玉灿．高阶奇异积分的小波逼近及数值计算[J]．数学物理学报．2002．6,22(2):281-288．
[15]张新育,杨松华．矩形域上非正常积分的一种数值算法[J]．郑州工业大学报． 1999．3,12(4):101-102．
[16]李承家,胡晓敏．数学分析导教．导学．导考[M]．第3版．陕西:西北工业大学出版社,2003．6:234-234．
无穷限广义积分的计算(1)
指导教师：陈一虎 作者简介：陈雪静(1986-),女,陕西咸阳人，数学与应用数学专业2008级专升本1班． 无穷限广义积分的计算 陈雪静 （宝鸡文理学院 数学系,陕西 宝鸡 721013） 摘 要: 文章归纳总结了利用数学分析、复变函数、积分变换、概率论统计理论等知识计算无穷限广义积分的几种方法.在学习中运用这几种方法可开拓视野,激发学习数学的兴趣. 关键词: 广义积分;收敛;计算方法 广义积分是《高等数学》学习中的一个难点知识,广义积分的概念不仅抽象,而且计算方法灵活,不易掌握.广义积分包括两大类,一类是积分区间无穷型的广义积分,另一类是积分区间虽为有穷,但被积函数在该区间内含有有限个无穷型间断点（瑕点）的广义积分.一般的判别法是对积分区间无穷型的广义积分,先将积分限视为有限的积分区间按常义积分处理,待积分求出原函数后再考查其极限是否存在,在用此极限去判定原积分是否收敛.对于第二类广义积分,我们可将积分区间改动,使被积函数在改动后的积分区间内成为有界函数再按常义积分处理,求出原函数之后考查它在原积分区间上的极限是否收敛.但是有些被积函数的原函数不易求出或无法用初等函数表示,使得广义积分无法用常规方法计算,因此需寻求其它的计算方法.本文主要研究无穷限广义积分的计算方法,主要方法包括利用广义积分定义、参量积分、变量代换、二重积分、留数定理、级数展开、概率论知识以及拉普拉斯变换等方法. 1 无穷限广义积分的定义 定义1 设函数()f x 在区间[,)a +∞上连续,取t a >.如果极限 lim ()d t a t f x x →+∞? 存在,则称此极限为函数()f x 在无穷区间[,)a +∞上的反常积分（也称作广义积分）,
二重积分的计算方法(1)
1 利用直角坐标系计算 1.1 积分区域为X 型或Y 型区域时二重积分的计算 对于一些简单区域上的二重积分，可以直接化成二次积分来解决．在直角坐标系下，被积分函数 (,)f x y 在积分区域D 上连续时，若 D 为x 型区域（如图1），即{}12(,)()(),D x y x x x a x b ??=≤≤≤≤，其中12(),()x x ??在[,]a b 上连续，则有 21() () (,)(,)b x a x D f x y d dx f x y dy ??σ=??? ? ； （1） 若D 为y 型区域（如图2），即{}12(,)()(),D x y y y y c y d ψψ=≤≤≤≤，其中12(),()y y ψψ在[,]c d 上连续，则有 21() () (,)(,)d y c y D f x y d dy f x y dx ψψσ=?? ?? ．[1] （2） 例1 计算2 2 D y dxdy x ?? ，其中D 是由2x =，y x =，及1xy =所围成． 分析 积分区域如图3所示，为x 型区域()1D=,12,x y x y x x ?? ≤≤≤≤????．确定了积分区域然后可以 利用公式（1）进行求解． 解 积分区域为x 型区域 ()1D=,12,x y x y x x ?? ≤≤≤≤???? 则 22 2 1221x x D y y dxdy dx dy x x =???? 32 121 3x x y dx x ??= ???? y y=x xy=1 D2 D1 x O 2 1 1 2 图3 图1
2 51 133x dx x ?? =- ???? 22 1 412761264 x x ??=+= ??? 1.2 积分区域非X 型或Y 型区域二重积分的计算 当被积函数的原函数比较容易求出，但积分区域并不是简单的x 型或y 型区域，不能直接使用公式（1）或者（2）进行计算，这是可以将复杂的积 分区域划分为若干x 型或y 型区域，然后利用公式 1 2 3 (,)(,)(,)(,)D D D D f x y d f x y d f x y d f x y d σσσσ=++???????? （3） 进行计算， 例2 计算二重积分D d σ??，其中D 为直线2,2y x x y ==及3x y +=所围成的区域． 分析：积分区域D 如图5所示，区域D 既不是x 型区域也不是 y 型区域，但是将可D 划分为 ()(){} 12,01,22,13,23x D x y x y x D x y x y y x ??=≤≤≤≤?? ??=≤≤≤≤-均为x 型区 域，进而通过公式 （3）和（1）可进行计算． 解 D 划分为 ()1,01,22x D x y x y x ??=≤≤≤≤???? ， (){}2,13,23D x y x y y x =≤≤≤≤- 则 12 D D D d d d σσσ=+??????12230122x x x x dx dy dx dy -=+???? 120112322x x dx x dx ???? =-+-- ? ??????? 12 22013333442x x x ??? ?=+-=??????? ? 1.3 被积函数较为复杂时二重积分的计算 二重积分化为二次定积分后的计算可以按定积分的求解进行，但是当被积函数较为复杂，虽然能定出积分限，但被积函数的原函数不易求出或根本求不出，这时可根据被积函数划分积分区域，然后 y 图 4
《高等数学B1》课程教学大纲
《高等数学B1》课程教学大纲 一、课程基本信息 二、课程教学目标 《高等数学B1》（微积分）国家教委在高校财经类专业中设置的核心课程之一。通过本课程的学习，可使学生比较系统地获得函数、微积分等方面的概念、基本理论和基本运算技能，为学习后续课程奠定必要的数学基础；使学生获得从事经济管理技术教育或研究所必需的微积分知识；学会运用变量数学的方法分析研究经济现象中的数量关系；逐步培养学生抽象思维和逻辑推理的能力、空间想象能力和运算能力；树立辩证唯物主义观点和创新意识。 1．学好基础知识。理解和掌握课程中的基本概念和基本理论，知道它的思想方法、意义和用途，以及它与其它概念、规律之间的联系。 2．掌握基本技能。能够根据法则、公式正确地进行运算。能够根据问题的情景，寻求和设计合理简捷的运算途径。 3．培养思维能力与想象能力。能够对研究的对象进行观察、比较、抽象和概括。能运用课程中的概念、定理及性质进行合乎逻辑的推理。能对计算结果进行合乎实际的分析、归纳和类比。
4．提高解决实际问题的能力。对于简单应用问题会列出定解问题求解,能够将本课程与相关课程有机地联系起来，提出并解决相关学科中与本课程有关的问题。能够自觉地用所学知识去观察生活，建立简单的数学模型，提出和解决生活中有关的数学问题。 三、教学学时分配 《高等数学B1》课程理论教学学时分配表 ＊理论学时包括讨论、习题课等学时。 四、教学内容和教学要求 第一章函数（8学时） （一）教学要求 1．理解函数的概念，掌握函数的表示法。了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。会建立简单应用问题中的函数关系。 2．了解反函数及隐函数的概念，理解复合函数和分段函数的概念。掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。 3．掌握常用的经济函数关系式。
无穷限广义积分的数值计算[文献综述]
文献综述 信息与计算科学 无穷限广义积分的数值计算 一．前言部分 定积分的数值近似称为数值求积.[1] 它起源于古代用铺贴小方块近似计算不规则图形或曲边形的面积．在近似积分中，主要从定义积分的黎曼和出发，用被积函数在积分区间上有限个点上值的加权和来近似计算积分． 我们一般使用牛顿-科茨求积公式，梯形公式及其复合公式，辛普森公式及其复合公式，Gauss 求积公式，切比雪夫求积法，三次样条函数求积法，自适应积分法等方法来进行数值求积． 在讨论积分时有两个最基本的限制：积分区间的有穷性和被积函数的有界性．但在很多实际问题中往往需要突破这些限制，考虑无穷区间上的“积分”． 根据函数的变化率，利用定积分我们可以计算函数在指定区间上的增量，利用变限定积分可以把握函数变化区间上增量的变化，为了把握函数在无穷区间上增量的变化，我们还需要引进并讨论无穷限积分[2] ． 比如现在人类要发射人造地球卫星或发射完成星际航行的飞行器，就要摆脱地球强大的引力，那如何离开地球呢? 地球上的物体要脱离地球引力成为环绕太阳运动的人造行星，需要的最小速度是第二宇宙速度．第二宇宙速度为11．2公里/秒，是第一宇宙速度的2倍．地面物体获得这样的速度即能沿一条抛物线轨道脱离地球． 我们可以运用无穷限广义积分解决第二宇宙速度问题． 在黎曼积分的定义中，被积函数和积分区间都是有界的．若被积函数或积分区间无界，则称为广义积分．对无界区间，如[)∞，a ，如果对任何有限的b ，f 在区间[]b a ,上可积，并且下列极限存在且为有限数，则广义积分的定义为 ()()? ?∞ ∞→=a lim b a b dx x f dx x f ． 对无界的积分区间，可以使用有限区间上的标准求积程序计算广义积分，具体方法如下：
§11 用Mathematica进行广义积分运算
§6 用Mathematica 进行广义积分运算 用Mathematica 广义积分的命令和求定积分的命令相同，都是： (1) Integrate[f ，{x ，下限，上限}] (2) ?dx x f b a )( 6.1 无穷区间上广义积分的运算 例6.1 讨论dx x x ln 12?∞+的敛散性。 解 }],2,{,ln 1[ :]1[Infinity x x x Integrate In += Out[1]=∞+ 所以dx x x ln 12?∞+发散。 例6.2 计算广义积分dx e x -∞+?0 解 In[2]:=Integrate[Exp[-x]，{x ，0，+Infinity}] Out[2]=1 例6.3 计算广义积分dx x x 2 212++?∞+∞-。 解 先判断广义积分?++∞-dx x x 22120和?++∞+221 20x x 是否收敛。 In[3]:=Integrate[1/(x^2+2x+2)，{x ，-Infinity ，0}] Out[3]=2 1(π+i(Log[1-i]-Log[1+i])) In[4]:=Integrate[1/(x^2+2x+2)，{x ，0，+Infinity}] Out[4]=2 1(π-i(Log[1-i]-Log[1+i])) 即上面两个广义积分收敛，故原广义积分收敛。下面计算其值： In[5]:=Integrate[1/(x^2+2x+2)，{x ，-Infinity ， +Infinity}] Out[5]=π 6.2 瑕积分的运算
例6.5 计算广义积分dx x 220)1(1-? 。 解 In[1]:= dx x 220)1(1-? Out[1]= ∞ 即广义积分发散。 例6.6 计算广义积分dx x ? --3260)4(。 解 In[6]:= dx x ?--3260)4( Out[6]=3 21/3-3(-1)1/322/3 定积分的收敛或发散有时依据被积分表达式中的某个参数而定。例如两个重要广义积分: (1)dx x a 110????<≥)1)1a a 发散（若收敛（若 (2) dx x a 11?∞+???>≤)1)1a a 收敛（若发散（若 遇到这种情况时，Integrate 命令会输出一个含条件表达式的积分结果。 例6.7 计算广义积分dx x a 110? 解 若积分时不指定参数a 的范围，则Integrate 命令会输出一个含条件表达式的积分结果;当0)Re(>a 时，积分收敛到 a +-11，否则发散。 In[1]:=e1=dx x a 11?∞ + Out[1]=?? ????+->-∞+?dx x a a If a 1,11,1][Re[ 例6.8 计算广义积分xdx e ax sin 0?∞ 解 In[2]:=e1=dx x Sin e x a ][*0?∞ Out[2]=??????+-
编写大纲高等学校专科数学规划教材Word版
《普通高等学校专科数学规划教材》编写大纲 （征求意见稿） 一、编写目的 数学课程是高职高专学生必修的重要基础课程之一，它具有综合性、逻辑性和应用性强等特点，是高职高专学生进一步学习主干课程和延伸课程的基础，也是学生提高思维能力及进一步深造的基础，因此编写出一套好的数学教材对学生的成才培养有着十分重要的积极意义。 随着教育改革的不断深入以及高校规模的急剧扩大和招生数量的迅速增加，学校的层次有了变化，学生的水平的差距也在拉大，加之不同层次的学校对学生的培养目标也不不尽相同，所以原来的一本或几本教材就能满足需要的时代早已不复存在。对于数学教材来说更是如此，教材建设滞后，存在着教材针对性差、不相适应等现象，远远不能满足需要。 正是在这种形势下，我社准备组织有关院校的专家学者，特别是工作在数学教学第一线经验丰富的骨干教师，共同编写一套适合于高职高专院校学生使用的数学教材。这套教材适用于理工、经管各专业，具体是： 1.高等数学（理工类） 2.高等数学（经管类） 3.高等数学（少学时） 4.经济数学 5.线性代数 6.概率论与数理统计 7.大学数学（多学时，包括微积分、线性代数、概率统计） 8.大学数学（少学时，包括线性代数、概率统计） 二、指导思想 本套教材以教育部《数学课程教学基本要求》为编写原则，按照一般计划学时数来编写，同时还应充分考虑高职高专院校学生的实际水平以及培养“应用型人才”这一办学方向，既要注意基本理论体系的建立，又要顾及学生运用所学知识的解题能力，不追求难以推导定理与公式的证明和难题的求解，把重点放在基本知识的叙述上，希望达到的目的是提高学生综合运用所学知识分析和解决问题的能力。 三、教学要求 我们希望学生能够通过本套数学教材的学习，获得高等数学、线性代数、概率论与数理统计方面比较系统的知识。同时，这些知识的掌握也会给后续课程的学习打下基础。
§5-4无穷区间上的广义积分
§5—4 广义积分 一、无穷区间上的广义积分 例1 如图，若求以y = 2 1 x 为曲顶、[21，A ]为底的 单曲边梯形的面积S (A )，则是一个典型的定积分问题， S (A )=?A dx x 211=2－A 1 ． 现在若要求由x = 21， y =21x 和x 轴所“界定”的区 域的“面积”S ，则因为面积累积区域是[2 1，+∞]，它已 经不是定积分问题了，也就是说，它不能再通过区间分划、局部近似、无限加细求极限的步骤来处理．但可以通过S (A )，即定积分的极限来得到S ： S =)1 2(lim )(lim 1lim 21A A S dx x A A A A -==+∞→+∞→+∞→?=2． 定义1 设函数f (x )在 [a ，+∞)内有定义，对任意A ∈[a ，+∞)，f (x )在[a ，A ]上可积(即定积分? A a dx x f )(存在)，称极限? +∞→A a A dx x f )(lim 为函数f (x )在[a ，+∞)上的无穷区间广义积 分(简称无穷积分)，记作?∞ + )(a dx x f ，即 ?∞ + )(a dx x f =?+∞→A a A dx x f )(lim ． (1) 若(1)右边的极限存在，则称无穷积分? ∞ + )(a dx x f 收敛；否则就称为发散． 例1的问题可以用无穷积分表示为S =?∞ + 211 dx x ，而且这个无穷积分是收敛的． 同样可以定义 ? ?-+∞→∞-=b A A b dx x f dx x f )(lim )( (极限号下的积分存在 ); ?∞ +∞- )(dx x f =? ?+∞→-+∞ →+B a B a A A dx x f dx x f )(lim )(lim (2) (两个极限号下的积分都存在，a ∈(－∞，+∞))． 他们也称为无穷积分，所谓收敛，表示(2)式右边的极限都存在，否则就是发散． 对无穷积分首先要判定它的敛散性，然后才能求其值．但若能求出被积函数的一个原函数，则可以通过极限，同时解决敛散问题和求值问题． 例2 计算无穷广义积分：(1)?∞+- 0 2dx xe x ；(2)?-∞-1 31dx x ；(3)?∞+∞ -+ 2 11 dx x ． 解 (1)?-A x dx xe 0 2=－21?--A x x d e 0 2)(2=－)1(21 2122 0 --=--A A x e e ， ?∞ +- 0 2 dx xe x =+∞ →A lim ?-A x dx xe 0 2 =－ 21 +∞→A lim )1(2--A e =2 1. (2)2 1 21 321 2121 1A x dx x A A + -=-=----? ， 2
二重积分的计算方法
第二节 二重积分的计算法 教学目的：熟练掌握二重积分的计算方法 教学重点：利用直角坐标和极坐标计算二重积分 教学难点：化二重积分为二次积分的定限问题 教学内容： 利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定积分的计算(即二次积分)来实现的. 一、利用直角坐标计算二重积分 我们用几何观点来讨论二重积分的计算问题. 讨论中,我们假定 ； 假定积分区域可用不等式 表示, 其中, 在上连续. 据二重积分的几何意义可知,的值等于以为底,以曲面 为顶的曲顶柱体的体积. f x y d D (,)σ?? f x y (,)≥0D a x b x y x ≤≤≤≤??12()()?1()x ?2()x [,]a b f x y d D (,)σ?? D z f x y =(,)
在区间上任意取定一个点,作平行于 面的平面,这平 面截曲顶柱体所得截面是一个以区间为底,曲线为曲边的曲边梯形,其面积为 一般地,过区间上任一点且平行于面的平面截曲顶柱体所得 截面的面积为 利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为 从而有 (1) 上述积分叫做先对Y,后对X 的二次积分,即先把看作常数,只看作的函数,对计算从到的定积分,然后把所得的结果( 它是的函数 )再对从到计算定积分. 这个先对 , 后对的二次积分也常记作 [,]a b x 0yoz x x =0[(),()]??1020x x z f x y =(,)0A x f x y dy x x ()(,)()() 0010 20= ??? [,]a b x yoz A x f x y dy x x ()(,)()()= ???1 2V A x a dx f x y dy dx b x x a b ==????? ? ?????()(,)()() ?? 12dx dy y x f d y x f b a x x D ??????? ? ??????=)(2)(1),(),(??σx ),(y x f y ),(y x f )(1x ?)(2x ?x x a b y x
(整理)9广义积分习题课.
第九章 广义积分习题课 一、主要内容 1、基本概念 无穷限广义积分和无界函数广义积分敛散性的定义、绝对收敛、条件收敛。 2、敛散性判别法 Cauchy 收敛准则、比较判别法、Cauchy 判别法、Abel 判别法、Dirichlet 判别法。 3、广义积分的计算 4、广义积分与数项级数的关系 5、广义积分敛散性的判别原则和程序 包括定义在内的广义积分的各种判别法都有特定的作用对象和原则，定义既是定性的――用于判断简单的具体广义积分的敛散性，也是定量的――用于计算广义积分，其它判别法都是定性的，只能用于判断敛散性，Cauchy 判别法可以用于抽象、半抽象及简单的具体广义积分的敛散性，比较判别法和Cauchy 判别法用于不变号函数的具体广义积分和抽象广义积分判别法，Abel 判别法和Dirichlet 判别法处理的广义积分结构更复杂、更一般。 对具体广义积分敛散性判别的程序： 1、比较法。 2、Cauchy 法。 3、Abel 判别法和Dirichlet 判别法。 4、临界情况的定义法。 5、发散性判别的Cauchy 收敛准则。 注、对一个具体的广义积分敛散性的判别，比较法和Cauchy 法所起作用基本相同。 注、在判断广义积分敛散性时要求： 1、根据具体题型结构，分析特点，灵活选择方法。 2、处理问题的主要思想：简化矛盾，集中统一，重点处理。 3、重点要掌握的技巧：阶的分析方法。 二、典型例子 下述一系列例子，都是要求讨论其敛散性。注意判别法使用的顺序。 例1 判断广义积分?+∞+=0q p x x dx I 的敛散性。 分析 从结构看，主要是分析分母中两个因子的作用。 解、记?+=101q p x x dx I ，?+∞+=12q p x x dx I
广义积分教案
第三章 一元函数积分学 三、广义积分 无限区间上的积分： 设)(x f 在],[+∞a 上连续，取a b >，则称dx x f b a b )(lim ? +∞ →为)(x f 在],[+∞a 上的广义 积分，记为：dx x f a )(? +∞ dx x f b a b )(lim ? +∞ →= 若上述极限存在，则称广义积分dx x f a )(?+∞ 存在或收敛。否则称广义积分不存在或称发散。 同理可定义广义积分： dx x f b )(? ∞ -dx x f b a a )(lim ? -∞ →=和dx x f )(? +∞∞ -dx x f c )(? ∞ -= dx x f c )(? +∞ + 若)(x F 是)(x f 的一个原函数 记：?? ???=-∞=+∞-∞→+∞ →)(lim )() (lim )(x F F x F F x x 则广义积分可表示为： dx x f a )(?+∞ | )(+∞=a x F )()(a F F -+∞= dx x f b )(?∞-|)(b x F ∞-=)()(-∞-=F b F dx x f )(? +∞∞ -| )(+∞∞ -=x F )()(-∞-+∞=F F 例33－1、计算无穷积分： 解：dx e x -+∞ ? dx e x b b -+∞ →? =0lim | lim b x b e -+∞ →-=1)10()(lim 0 =--=-=-+∞ →e e b b 或直接利用公式：dx e x -+∞ ? 1)1(0| =--=-+∞ -x e 例33－2、计算广义积分： ⑴、dx xe x 2 -+∞ ? dx xe x b b 2 lim -+∞ →? =)](2 1[lim 2 2 x d xe x b b -+∞ →? - = | 2 lim 2 1b x b e -+∞ →- =2 1)(lim 2 10 2 = -- =-+∞ →e e b b ⑵、dx x x 2 1+? +∞ dx x x b b 2 1lim +=? +∞ →2 2 1)1(lim 2 1x x d b b ++= ? +∞ → |0 2 )1ln(lim 2 1b b x +=+∞ →+∞=-+= +∞ →]1ln )1[ln(lim 2 12 b b ⑶、dx x x e 3 ) (ln 1? +∞ dx x x b e b 3 ) (ln 1lim ? +∞ →=)(ln ) (ln 1lim 3 x d x b e b ? +∞ →=
第四讲：不定积分定积分与广义积分
第四讲：不定积分定积分与广义积分 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 1.若()f x 的导函数是sinx ，则()f x 的一个原函数为 （ B ） A ．1+sinx B ．1-sinx C ．1+cosx D ．1-cosx ()sin ()sin cos (cos )sin f x x f x xdx x C x C dx x Cx C '===-+' -+=-++?? 对照答案，只有B 是符合的，此时0,1C C '== 2.设()()() 302lim x h f x h f x e f x h -→--=是的一个原函数，则 （ A ） A ．-183x e - B ．183x e - C ．-33x e - D ．93x e - ()()()()333003()()3()922lim 2lim 22()18x x x h h x f x e e f x e f x h f x f x h f x h h f x e ---→→-'==-'=----=--'=-=- 3.设()f x 在[0，4]连续，且有 ( )()22 1 2x f t dt x f -==? （ D ） A ．-4 B ．4 C ．— 14 D ．14 ( )(2 21 22(2)1 x f t dt x xf x -'' ??= ??? -=? 令2x =，得4(2)1f =，所以1(2)4 f = 注：这题给的条件是在[0，4]连续，所以不能取2x =-，因为它不在所给的范围内 4. ()()'2ln ,x f x f x e dx x -==?则 （ A ） A ． 21c x + B ．ln x c -+ C ． 2 1 c x -+ D ．ln x c +
二重积分计算中的积分限的确定
二重积分计算中积分限的确定 摘要:二重积分计算中积分限的确定对于初学者是一个重点更是一个难点.本文旨在介绍一种二重积分计算中确定积分限的简单易行的方法. 关键词:二重积分累次积分积分限积分次序 引言：高等数学学习过程中，二重积分计算是个难点。原因在于将二重积分化为累次积分时，对于积分限的确定学生难以掌握。本人结合自己的教学过程和自己的学习体会总结出一个口诀，发现在教学过程中效果不错可以很好的帮助学生解决这一难题。 1．高等数学中计算二重积分的方法 在高等数学课本中,在直角坐标系下计算二重积分的步骤为:]1[。 (1)画出积分区域 (2)确定积分区域是否为X-型或Y-型区域,如既不是X-型也不是Y-型区域,则要将 积分区域化成几个X-型和Y-型区域,并用不等式组表示每个X-型和Y-型区域. (3)用公式化二重积分为累次积分. (4)计算累次积分的值. 在教学的过程中我发现学生对于此种方法掌握的很不好,尤其是在第二步中,确定积分区域从而确定累次积分的积分限是一个薄弱环节.下面就本人在教学中的体会谈谈在这方面的一点心得. 2．教学过程中总结的方法 本人的心得可用下面的口诀概括:后积先定限,限内画条线,先交下限取,后交上限见.下面简单解释一下该口诀,然后以具体的例题加以说明.在将二重积分转化为累次积分的时候对于两个积分变量必然会有个先后顺序,这就要求对后积分的那个变量我们要根据积分区域确定其上下限(所谓确定是指根据积分区域图将其上下限定为常数).确定了这个变量的上下限以后,我们在其上下限内画一条和上下限平行的直线,该直线沿着坐标轴的正方向画过来,这样该直线如果和积分区域总是有两个交点,先交的即为另一个积分变量的积分下限,后交的即为其积分上限. 3．例题解析 例1 计算?? D xydxdy,其中D是由直线x y y x= = =,1 ,2所围成的区域. 解:作出积分区域D的图形 x 页脚内容1
最新无穷限广义积分的计算(1)
无穷限广义积分的计算 陈雪静 （宝鸡文理学院 数学系,陕西 宝鸡 721013） 摘 要: 文章归纳总结了利用数学分析、复变函数、积分变换、概率论统计理论等知识计算无穷限广义积分的几种方法.在学习中运用这几种方法可开拓视野,激发学习数学的兴趣. 关键词: 广义积分;收敛;计算方法 广义积分是《高等数学》学习中的一个难点知识,广义积分的概念不仅抽象,而且计算方法灵活,不易掌握.广义积分包括两大类,一类是积分区间无穷型的广义积分,另一类是积分区间虽为有穷,但被积函数在该区间内含有有限个无穷型间断点（瑕点）的广义积分.一般的判别法是对积分区间无穷型的广义积分,先将积分限视为有限的积分区间按常义积分处理,待积分求出原函数后再考查其极限是否存在,在用此极限去判定原积分是否收敛.对于第二类广义积分,我们可将积分区间改动,使被积函数在改动后的积分区间内成为有界函数再按常义积分处理,求出原函数之后考查它在原积分区间上的极限是否收敛.但是有些被积函数的原函数不易求出或无法用初等函数表示,使得广义积分无法用常规方法计算,因此需寻求其它的计算方法.本文主要研究无穷限广义积分的计算方法,主要方法包括利用广义积分定义、参量积分、变量代换、二重积分、留数定理、级数展开、概率论知识以及拉普拉斯变换等方法. 1 无穷限广义积分的定义 定义1 设函数()f x 在区间[,)a +∞上连续,取t a >.如果极限 lim ()d t a t f x x →+∞? 存在,则称此极限为函数()f x 在无穷区间[,)a +∞上的反常积分（也称作广义积分）,记作()d a f x x +∞ ? ,即
()d a f x x +∞ ? =lim ()d t a t f x x →+∞?; 这时也称反常积分()d a f x x +∞? 收敛;如果上述极限不存在,函数()f x 在无穷区间[,)a +∞上的反常积分()d a f x x +∞ ?就没有意义,习惯上称为反常积分()d a f x x +∞? 发 散,这时记号()d a f x x +∞? 不再表示数值了. 类似地,设函数()f x 在区间(,]b -∞上连续,取t b <. 如果极限 lim ()d b t t f x x →-∞? 存在,则称此极限为函数()f x 在无穷区间(,]b -∞上的反常积分,记作()d b f x x -∞ ? ,即 ()d b f x x -∞ ? =lim ()d b t t f x x →-∞?; 这时也称反常积分()d b f x x -∞ ?收敛;如果上述极限不存在,就称反常积分()d b f x x -∞ ? 发散. 设函数()f x 在无穷区间(,)-∞+∞内连续,如果广义积分 ()d c f x x -∞ ? 和()d c f x x +∞ ? （c 为常数） 都收敛,则称上述两个反常积分之和为函数()f x 在无穷区间(,)-∞+∞内的广义积 分,记作()f x dx +∞ -∞ ? ,即 ()d f x x +∞ -∞ ? =()d c f x x -∞ ? +()d c f x x +∞ ? =lim ()d c t t f x x →-∞?+lim ()d t c t f x x →+∞? 这时也称广义积分()d f x x +∞ -∞ ? 收敛;否则就称反常积分()d f x x +∞ -∞ ? 发散. 上述反常积分统称为积分区间为无穷区间的广义积分或无穷限广义积分. 2 无穷限广义积分的计算方法 2.1利用广义积分的定义求无穷限广义积分 由定义计算可以分两步: 1求定积分()d A a f x x ?=()F A .需要说明的是原函数()F A 均指有限形式.
Advanced Mathematics
高等数学教学大纲 课程代码：2040109 课程名称：《高等数学》 课程类别：公共基础课 总学时总学时/学分：108 /6 适用对象：理工科、经济管理等专业本科生 第一部分： （一）课程性质 《微积分》课程是国家教委在高等学校财经类专业中设置的核心课程之一，它也是其他经济数学课程如《线性代数》、《概率统计》等的基础。高等数学在经济科学、管理科学中有着广泛的应用。更是现代经济科学研究与应用的重要工具。因此，学好《微积分》不仅对学习后继课程是必不可少的，而且对掌握现代经济管理理论并应用与实际也是很有必要的。（二）教学目的 《微积分》是财经类专业的一门基础课程，是学习现代经济科学的重要工具。通过教学，使学生掌握《微积分》基本理论，基本知识和基本方法，具有比较熟练的计算能力并为学好其他后继数学课程以及各门经济类课程打下扎实的数学基础，从而能正确地运用数学工具解决经济类专业学习中的问题。 （三）教学内容 本课程以微积分学为核心内容，主要包括函数、极限、导数与微分、积分、级数、微分方程等。一元函数和多元函数是微积分研究的对象，而极限理论则是最重要的基础。导数、微分、不定积分、常义及广义积分、级数这些基本概念均是借助于极限建立起来的。微分方程则作为微积分的延伸和应用。大纲中不带“ * ”号的内容为基本内容，有些专业如对数学知识有更高的要求，可根据实际需要选学大纲中带“ * ”号的内容。 （四）教学时数 根据学分数，《微积分》的正式教学时数（包括习题课）为144 学时（讲授一个学期）。（五）教学方式 以课堂教学为主，部分章节可根据学生的情况和实际需求采用各类实践教学活动。二、正文 第一章函数 教学要点： 1 、理解实数与实数绝对值的概念，掌握解简单绝对值不等式的方法。
归纳二重积分的计算方法
归纳二重积分的计算方法 摘 要 ：本文总结出了求二重积分的几种方法，比如用定义、公式、定理、性质求极限. 关键词 ：函数极限；计算方法；洛必达法则; 四则运算 前言 二重积分的概念和计算是多元函数微积分学的重要部分,在几何\物理\力学等方面有着重要的应用.重积分是由一元函数积分推广而来的,但与一元函数相比,计算重积分的难度除了与被积函数有关外,还与积分区域的特点有关,计算重积分的主要思想方法是化重积分为累次积分.求二重积分的方法很多且非常灵活，本文归纳了二重积分计算的一些常见方法和技巧. 1. 预备知识 1.1二重积分的定义]1[ 设(),f x y 是定义在可求面积的有界区域D 上的函数. J 是一个确定的数,若对任给的正数 ε ,总存在某个正数δ,使对于D 的任意分割T ,当它的细度T δ<时,属于T 的所有积分和 都有 ()1 ,n i i i i f J ξησ ε=?-<∑, 则称(),f x y 在D 上可积,数J 称为函数(),f x y 在D 上的二重积分,记作 (),D J f x y d σ=??, 其中(),f x y 称为二重积分的被积函数, ,x y 称为积分变量, D 称为积分区域. 1.2二重积分的若干性质 1.21若(),f x y 在区域D 上可积, k 为常数,则(),kf x y 在D 上也可积,且 (),D kf x y d σ??(),D k f x y d σ=??.
1.22 若(),f x y ,(),g x y 在D 上都可积,则()(),,f x y g x y ±在D 上也可积,且 ()()[,,]D f x y g x y d σ±??()(),,D D f x y d g x y d σσ=±????. 1.23 若(),f x y 在1D 和2D 上都可积,且1D 与2D 无公共内点,则(),f x y 在12D D 上也可积,且 ()12 ,D D f x y d σ?? ()()1 2 ,,D D f x y d f x y d σσ=±???? 1.3在矩形区域上二重积分的计算定理 设(),f x y 在矩形区域D [][],,a b c d =?上可积,且对每个[],x a b ∈,积分(),d c f x y dy ?存 在,则累次积分(),b d a c dx f x y dy ??也存在,且 (),D f x y d σ?? (),b d a c dx f x y dy =??. 同理若对每个[],y c d ∈,积分(),b a f x y dx ?存在,在上述条件上可得 (),D f x y d σ?? (),d b c a dy f x y dx =?? 2.求的二重积分的几类理论依据 二重积分类似定积分,可看成一个函数在有界区域内的积分,它计算的主要思路是把重积分化为我们学过的累次积分的计算,在这思想下如何化为更容易求的累次积分成为问题关键,下文介绍了把区域化为简单的X -型\Y -型区域及把复杂的函数通过变量变换化为简单函数的几种计算技巧,另外还列举几类特殊二重积分的简单求法. 2.1在直角坐标系下,对一般区域二重积分的计算 X -型区域: ()()(){}12 ,,D x y y x y y x a x b =≤≤≤≤ Y -型区域: ()()(){}1 2 ,,D x y x y x x y c y d = ≤≤≤≤ 定理:若(),f x y 在X -区域D 上连续,其中()1y x ,()2y x 在[],a b 上连续,则 (),D f x y d σ??()()() 21,b y x a y x dx f x y dy =?? 即二重积分可化为先对y ,后对x 的累次积分. 同理在上述条件下,若区域为Y -型,有
广义积分的收敛判别法
第二节 广义积分的收敛判别法 上一节我们讨论了广义积分的计算, 在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo 方法求其近似值. 对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件 — 积分收敛，否则其结果毫无意义。 因此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的． 定理9.1（Cauchy 收敛原理）f (x )在[a , +∞ ）上的广义积分? +∞a dx x f )(收敛的充分必要条件是：0>?ε, 存在A>0, 使得b , b '>A 时，恒有 ε?ε , 0>?δ, 只要0<δηη<