根轨迹的概念
根轨迹的概念特征方程<见传递函数）的根随某个参数由零变到无穷大时在复数平面上形成的轨迹，称为根轨迹。我们先看下面的例子。设单位反馈系统的开环传递函数为：
当开环放大系数K从零到无穷大变化时，系统的特征根在s平面上
怎样分布？
解系统有两个开环极点
系统的闭环传递函数为
系统的特征方程为
特征方程的根
可见特征根在s平面的位置与K有关。
K=0时，,与开环极点的位置相同。
0 渐增大，和也从开环极点的位置开始逐渐接近。K=1/4时，==-0.5，两个闭环极点重合。K>1/4时，和都成为共轭复数。b5E2RGbCAP 具有相同的负实部，且为常数，而虚部则随K的增加其绝对值也 增加。图3.28给出了系统的特征根在K从零变化到无穷大时，相应位置的变化情况。这种放大系数K从零到无穷大变化时，特征方程的根在s平面上相应变化的轨迹，称为根轨迹。根轨迹完整地反映了特征根随参数变化的情况。根据图3.28的根轨迹图，我们可以知道，在K<1/4时，系统的单位阶跃响应中含有两个指数项函数。在K=1/4时，两个指数项函数合二为一。在K1/4时，根轨迹进入复平面，说明系统的单位阶跃响应由单调变化转变为振荡。从图还可以看出，不论K怎样变化，系统始终是稳定的。因为全部根轨迹都分布在s平面左半边。p1EanqFDPw 图3.28 特征根随K的变化情况 根轨迹的基本条件控制系统的特征方程为 (3.145> 式中为系统前向通道传递函数，H(s>为系统反馈通道传递函数。上式可改写为 (3.146> 将系统的开环传递函数写成零极点形式 (3.147> 式中K称为根轨迹放大系数或根轨迹增益。称为开环零点， 称为开环极点。将<3.147）式代入<3.146）式得DXDiTa9E3d (3.148> 式<3.148）是一个复数方程，可以用复数的幅值和幅角分别表示为 (3.149> , (3.150> 式中是矢量与实轴正方向的夹角，是矢量与实轴正方向的夹角。我们称式<3.149）为根轨迹的幅值条件，式<3.150）为根轨迹的幅角条件。凡在根轨迹上的点都是系统特征方程的根，都必须同时满足根轨迹的幅值条件和幅角条件。这两个条件统称为根轨迹的基本条件。RTCrpUDGiT 根轨迹的绘制规则根轨迹法是分析控制系统的一种图解方法，正确地绘制出根轨迹图是进行根轨迹分析的基础。根轨迹图的绘制，并不要求求解特征方 程，而是根据根轨迹的基本条件，导出一些简单实用的法则，画出根轨迹图形。绘制根轨迹的规则有：1.根轨迹的分支n阶系统的特征方程是关于s的n次代数方程，方程有n个解，所以系统的根轨迹有n条。也就是说，根轨迹有n条分支。 2.根轨迹的起点与终点将式< 3.148）写成5PCzVD7HxA (3.151> 当K=0时，上式右边为无穷大，左边只有当s趋于时才会是无穷大。根轨迹的起点是K=0时的根轨迹，所以说根轨迹起始于开环极点。K趋于无穷大时的根轨迹，称为根轨迹的终点。从式<3.151）可以看出，时，方程右边为零，而方程左边只有在时才会为零。所以可以说根轨迹终止于开环零点。控制系统中，若n>m，m条根轨迹终止于开环零点，还有 3.根轨迹的渐近线终止于无穷远处的 (3.152> 渐近线与实轴的交点为 (3.153> 式<3.153）可以表述为 <所有开环极点之和-所有开环零点之和）/n-m 4.根轨迹的对称性特征方程的根不是实数就是共轭复数，所以根轨迹对称于实轴。在绘制根轨迹时，只需绘出上半平面的部分，根据对称性，下半平面的部分很容易绘制出来。LDAYtRyKfE 5.实轴上的根轨迹实轴上的开环零点和开环极点把整个实轴划分为若干线段。这些线段是不是根轨迹的一部分，可以根据幅角条件来判断。只有其右边开环零极点总数为奇数的线段，才能满足根轨迹的幅角条件。所以说，实轴上的根轨迹是那些右边开环零极点个数为奇数的线段。 6.根轨迹的分离点与会合点两支根轨迹从开环极点出发后相遇又分开的点称为根轨迹的分离点。两支根轨迹相遇后又分开各自趋向终点的点称为根轨迹的会合点。在分离点或会合点上，特征方程必有重根。分离点或会合点可用下面的方法求取。系统的特征方程为Zzz6ZB2Ltk 即 上式可简化为 式中A(s>和B(s>是不含可变参数K的表达式。解方程 (3.154> 即可求出分离点或会合点。但方程<3.154）的解不一定都是分离点或会合点。经检验，这些点若在根轨迹上，则为分离点或会合点。若不在根轨迹上，此时对应的K一般为负值，则不是分离点或会合点。绝大多数分离点或会合点都分布在实轴上。实轴以外的分离点或会合点则以共轭复数形式成对出现。 7.根轨迹的出射角与入射角系统存在复数开环零点和开环极点时，必须知道根轨迹从开环复数极点出射的方向或进入到开环零点的方向。出射角<入射角）是根轨迹在开环复数零极点上切线的方向角，可以根据根轨迹的幅角条件求出。根据式<3.150）可得dvzfvkwMI1 (3.155> (3.156> 上两式中为出射角，为入射角，和是所有开环零极点<不包 括所求的零极点）指向所求开环复数极点或开环复数零点的矢量与实轴正方向的夹角。 8.根轨迹与虚轴的交点s平面的虚轴是控制系统稳定与不稳定的分界线。根轨迹通过虚 轴，系统的稳定性就会发生变化。所以，确定根轨迹与虚轴的交点非常重要。根轨迹在虚轴上，则s=j,将其代入特征方程rqyn14ZNXI 再令特征方程的实部和虚部都为零，可以得到两个方程：实部方程和虚部方程。求解这两个方程，可得到根轨迹与虚轴的交点和对应的K值。利用上述8条绘制根轨迹的规则，可以较方便地做出系统的根轨迹图。下面，通过一些实例，进一步了解根轨迹的作图规则。例17 控制系统的开环传递函数为EmxvxOtOco 试绘制K从零到无穷大变化时系统的根轨迹。解<1）系统为三阶系统，根轨迹共有3条分支。 <2）根轨迹的起点为0，-2，-4，图3.29中用表示开环极点。根轨迹无开环零点，三支根轨迹均终止于无穷远处。 <3）终止于无穷远处的根轨迹的三条渐近线与实轴正方向的夹角和与实轴的交点为SixE2yXPq5 <4）根轨迹在实轴上的部分是，两个线段。 <5）分离点。特征方程 求得： 不在根轨迹上，不是分离点。分离点为s=-0.85。 <6）系统无复数零极点，因而无出射角、入射角问题。 <7）根轨迹与虚轴的交点6ewMyirQFL 得 实部方程 虚部方程 解得 图3.29是该系统的根轨迹图。 图3.29 例17的根轨迹例18 控制系统的开环传递函数为： 试绘制系统的根轨迹。解<1）系统为四阶系统，根轨迹共有4条分支。 <2）根轨迹的起点：0，-3，-1j1。 根轨迹终点：-2，有3条根轨迹终止于无穷远处。 <3）渐近线与实轴的交角和交点kavU42VRUs <4）根轨迹在实轴上的部分是0到-2，-3到负无穷大。 <5）分离点：无根轨迹分离与会合。 <6）出射角：开环极点-1j为共轭复数极点。开环零点分布入图3.30所示。y6v3ALoS89 图3.30 开环零极点的分布 将图3.30各角的值代入式<3.155）， 根据根轨迹的对称性，复数开环极点-1-j的出射角为。 图 3.31 例18的根轨迹 <7）与虚轴交点，将S=j代入特征方程。特征方程为 代入S=j并整理后得实部方程 虚部方程 解此方程组，得 图3.31是系统的根轨迹图。 图3.32 控制系统的根轨迹 图3.33 附加零点的作用 根轨迹法分析系统性能根轨迹法是一种图解方法。运用根轨迹法能够分析系统的稳定性和动态特性、稳定特性。根轨迹法在对高阶系统的分析中，可以根据闭环零极点的位置，较方便地确定参数变化对系统动态过程的影响，利用闭环主导极点的概念对系统进行近似分析计算。因此是一种很实用的工程方法。下面，我们通过一些实例说明根轨迹法在系统分析中的应用。例设某控制系统的开环传递函数为M2ub6vSTnP 分析该系统的稳定性并利用根轨迹法校正系统的稳定性。解按照根轨迹的绘制规则，系统的根轨迹图如图3.32所示。由图可见，系统的两支根轨迹位于s平面右半边，无论K怎样变化，系统始终是不稳定的。若在系统中附加一个开环零点，该开环零点是位于0到-10之间的一个负实数，则系统的根轨迹就变成图3.33所示的形状。显然，无论K怎样变化，系统始终是稳定的。图3.32和图3.33说明，在适当位置上引入附加零点，可以使控制系统的性能得到有效改善。图3.33还表明，在s平面原点有两个开环极点，系统是型系统，对单位阶跃和单位斜坡输入函数响应的稳 态误差为零。系统的单位阶跃响应，是衰减振荡过程。例20 单位反馈控制系统的传递函数为0YujCfmUCw 求使系统稳定的范围。解：本例给出的传递函数是典型环节形式，将其改写为零极点形式： 式中K称为开环放大系统，称为根轨迹放大系数 二者相差一个比例常数，比例常数是由时间常数和零极点的数值决定的。可以证明，二阶开环系统在其开环极点左边有一个开环零点时，其根轨迹有一部分是圆，圆心为开环零点，半径为开环零点到分离点的距离。分离点<会合点）eUts8ZQVRd 系统根轨迹如图 3.34所示。根轨迹与虚轴的交点，通过s=j代入特征方程，可求得 由可计算出系统的开环放大系数 所以，当开环放大系数K的范围为 系统是稳定的。 图3.34 系统根轨迹图 申明： 所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用 途。 根轨迹的概念特征方程<见传递函数）的根随某个参数由零变到无穷大时在复数平面上形成的轨迹，称为根轨迹。我们先看下面的例子。设单位反馈系统的开环传递函数为： 当开环放大系数K从零到无穷大变化时，系统的特征根在s平面上 怎样分布？ 解系统有两个开环极点 系统的闭环传递函数为 系统的特征方程为 特征方程的根 可见特征根在s平面的位置与K有关。 K=0时，,与开环极点的位置相同。 0 渐增大，和也从开环极点的位置开始逐渐接近。K=1/4时，==-0.5，两个闭环极点重合。K>1/4时，和都成为共轭复数。b5E2RGbCAP 具有相同的负实部，且为常数，而虚部则随K的增加其绝对值也 增加。图3.28给出了系统的特征根在K从零变化到无穷大时，相应位置的变化情况。这种放大系数K从零到无穷大变化时，特征方程的根在s平面上相应变化的轨迹，称为根轨迹。根轨迹完整地反映了特征根随参数变化的情况。根据图3.28的根轨迹图，我们可以知道，在K<1/4时，系统的单位阶跃响应中含有两个指数项函数。在K=1/4时，两个指数项函数合二为一。在K1/4时，根轨迹进入复平面，说明系统的单位阶跃响应由单调变化转变为振荡。从图还可以看出，不论K怎样变化，系统始终是稳定的。因为全部根轨迹都分布在s平面左半边。p1EanqFDPw 图3.28 特征根随K的变化情况 根轨迹的基本条件控制系统的特征方程为 (3.145> 式中为系统前向通道传递函数，H(s>为系统反馈通道传递函数。上式可改写为 (3.146> 将系统的开环传递函数写成零极点形式 (3.147> 井眼轨道参数的插值计算 由于实钻井眼轨道的测点与钻柱单元体的划分可能并不一致，因此钻柱单元体边界点对应的井眼轨道参数必须靠插值计算获得。插值结果的准确与否，对钻柱单元体的受力计算有着直接的影响。因此，提高插值计算的精度具有重要意义。 由于测点是离散的，无法知道各测段内井眼轨道的实际形态，所以测段内某点几何参数的计算方法都是建立在一定假设的基础上的。这些计算方法多数是将测段内的井眼轨道假设为直线、折线和曲线等，早期，由于计算机能力的限制，以平均角法和平衡正切法为代表直线或折线假设，因其计算简单快速，曾经被广泛应用，但随着钻井技术的发展，弯曲的井眼轨迹增多，如果仍采用直线或折线假设，则计算精度相对较低。由于计算技术的高速发展，直线或折线假设，目前几乎淘汰，取而代之的是以圆柱螺线和空间圆弧曲线等为代表的曲线假设，大行其道。 在进行插值计算时，各插值点的坐标增量可以采用不同的计算方法，但坐标值的累加形式是相同的，即（X 为东向位移，Y 为北向位移， Z 为垂直向位移，S 为水平位移） ?????????? ??+=?+=?+=?+=?+=?+=φ φφa a αS S S Z Z Z Y Y Y X X X 1212121212 12 所以，在以下的计算方法中将只给出坐标增量的计算式。 典型轨迹模型插值 1、正切法： 正切法又称下切点法，或下点切线法。此法假定两相邻测点之间的孔段为一条直线，长度等于测距，该直线的井斜角和井斜方位角等于下测点的井斜角和井斜方位角，整个钻孔轨迹是直线与直线相连接的空间折线。 正切法井身轨迹计算图 如图1所示，1、2 是孔身轨迹上相邻的两个测点，1′、2′是 1、2 两个测点的水平投影。该测段的井斜角和井斜方位角等于下测点 2 的井斜角和井斜方位角。 对于切线法，上下两个相邻测点间各参数的计算公式如下： 2 2222 2cos sin sin sin sin cos φαφαααL Y L X L S L Z ?=??=??=??=? 式中： Z ?——测段上下测点间垂直深度的分量（增量）（以下同）； L ?——测段上下测点间沿钻孔轴线的距离（以下同）； Y ??X ——分别为测段上下测点间水平位移在 X 轴（西东方向）的分量（增量）；水平位移在 Y 轴（南北方向）的分量（增量）（以下同）； 22 φα——分别为测段下测点的井斜角和井斜方位角。 中文摘要 井眼轨迹的三维显示 摘要 本文介绍了国内外井眼轨迹三维显示技术的研究现状，归纳了常规二维定向井轨道设计原则和几种轨道类型的计算方法，以及井眼轨迹测斜计算的相关规定、计算模型假设和轨迹计算方法。从井位、井下测量和计算三个方面对井眼轨迹误差进行了讨论并简要说明了不同的井眼轨迹控制。在此基础之上，利用VB和MATLAB软件编制了井眼轨迹的三维显示软件，并简要介绍了该软件的设计流程、主要功能和难点处理，指出了软件的不足之处，展示了井眼轨迹三维绘图的所有运行界面，并附上软件说明书。最后，对井眼轨迹三维显示开发的研究方向进行了展望。 关键字井眼轨迹三维显示 MATLAB Visual Basic 轨迹计算轨道设计误差分析 重庆科技学院本科生毕业设计英文摘要 Abstract In this paper, at home and abroad well trajectory 3-D display technology of the status quo，Summarized the conventional two-dimensional directional well the track design principles and track several types of calculation method，And the well trajectory inclinometer terms of the relevant provisions, the model assumptions and trajectory calculation. From the wells, underground measurement and calculation of the three aspects of the well trajectory error was discussed and a brief description of the different well trajectory control. On this basis, using VB and MATLAB software produced a hole trajectory of the three-dimensional display software, and gave a briefing on the software design process, and difficulties in dealing with the main function, pointed out the inadequacy of the software, demonstrated the well trajectory 3-D graphics interface all the running, along with software manuals. Finally, the well trajectory 3-D display development direction of the prospect. Keyword:Well trajectory；3-D display；MATLAB ；Visual Basic；trajectory calculation ；trajectory design ；Error Analysis 卫星轨道和TLE数据 转自虚幻天空 最近由于Sino-2和北斗的关系，很多网友贴了表示卫星运行轨道的TLE数据。这里想对卫星轨道参数和TLE的格式做一个简单介绍。虽然实际上没有人直接读TLE数据，而都是借助软件来获得卫星轨道和位置信息，但是希望这些介绍可以对于理解卫星轨道的概念有所帮助。由于匆匆写成，可能有一些错误，如果看到还请指出。 前面关于轨道一部分写得较早，后来发现和杂志上关于我国反卫的一篇文章里的相应部分类似。估计都参考类似的资料，这个东西本身也是成熟的理论了。 首先来看一下卫星轨道。太空中的卫星在地球引力等各种力的作用下做周期运动，一阶近似就是一个开普勒椭圆轨道。由于其他力的存在(比如地球的形状，大气阻力，其他星球的引力等等)，实际的轨道和理想的开普勒轨道有偏离，这个在航天里称为“轨道摄动”。这里我们暂时不看摄动，就先说说理想开普勒轨道时的情况。 为了唯一的确定一个卫星的运行轨道，我们需要6个参数，参见下面的示意图： 1. 轨道半长轴，是椭圆长轴的一半。对于圆，也就是半径 2. 轨道偏心率，也就是椭圆两焦点的距离和长轴比值。对于圆，它就是0. 这两个要素决定了轨道的形状 3. 轨道倾角，这个是轨道平面和地球赤道平面的夹角。对于位于赤道上空的同步静止卫星来说，倾角就是0。 4. 升交点赤经：卫星从南半球运行到北半球时穿过赤道的那一点叫升交点。这个点和春分点对于地心的张角称为升交点赤经。 这两个量决定了卫星轨道平面在空间的位置。 5. 近地点幅角：这是近地点和升交点对地心的张角。 前面虽然决定了轨道平面在空间的位置，但是轨道本身在轨道平面里还可以转动。而这个值则确定了轨道在轨道平面里的位置。 6. 过近地点时刻，这个的意义很显然了。卫星位置随时间的变化需要一个初值。 有一点要指出的是，上面的6个参数并不是唯一的一组可以描述卫星轨道情况的参数，完全也可以选取其他参数，比如轨道周期。但是由于完备的描述也只需要6个参数，所以他们之间存在着固定的换算关系。比如轨道周期就可以由半长轴唯一来确定(这在下面讲TLE的时候也会涉及到)，反之亦然。上面选取的这组是比较自然的一组。 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 下面讲讲TLE(Two-Line Element)两行数据。以北斗最近的数据为例 BEIDOU 2A 1 30323U 07003A 07067.68277059 .00069181 13771-5 44016- 2 0 587 2 3032 3 025.0330 358.9828 7594216 197.8808 102.7839 01.92847527 650 真正的数据实际上是下面2行，但是上面有一行关于空间物体其他情况的一些信息(空间物体可以是卫星，可以是末级火箭，可以是碎片。这里简单起见，就叫卫星)。头一个是卫星名称。注意这个是会变的，而且不一定准确。卫星发射后的头几个TLE数据里，往往只叫Object A, B, C... 慢慢的会搞清楚哪个是卫星，哪个是末级火箭，哪个是分离时的碎片，并且给予相应的名称。但是如果这个是其他国家的保密卫星，则这个卫星名字就纯粹是美国的猜测了，比如我们的这个北斗。有些情况下，名称这一行里还包含了一些数字，关于卫星的尺度，亮度等等。 TLE第一行数据 1 30323U 07003A 07067.68277059 .00069181 13771-5 44016- 2 0 587 30323U 30323是北美防空司令部(NORAD)给出的卫星编号。U代表不保密。我们看到的都是U，否则我们就不会看到这组TLE了 07003A 国际编号，07表示2007年(2位数字表示年份在50年以后会出问题，因为1957年人类发射了第一个轨道物体)，003表示是这一年的第3次发射。A则表示是这次发射里编号为A的物体，其他还有B，C，D等等。国际编号就是2007-003A. 07067.68277059 这个表示这组轨道数据的时间点。07还是2007年，067表示第67天，也就是3月8日。 68277059表示这一天里的时刻，大约是16时22分左右。 百度文库-让每个人平等地提升自我 卫星轨道和TLE数据 转自虚幻天空 最近由于Sino-2和北斗的关系，很多网友贴了表示卫星运行轨道的TLE数据。这里想对卫星轨道参数和 TLE的格式做一个简单介绍。虽然实际上没有人直接读TLE数据，而都是借助软件来获得卫星轨道和位置信息，但是希望这些介绍可以对于理解卫星轨道的概念有所帮助。由于匆匆写成，可能有一些错误，如果看到还请指出。/ 前面关于轨道一部分写得较早，后来发现和杂志上关于我国反卫的一篇文章里的相应部分类似。估计都参考类似的资料，这个东西本身也是成熟的理论了。 首先来看一下卫星轨道。太空中的卫星在地球引力等各种力的作用下做周期运动，一阶近似就是一个开普勒椭圆轨道。由于其他力的存在（比如地球的形状，大气阻力，其他星球的引力等等），实际的轨道和理想的开普勒轨道有偏离，这个在航天里称为轨道摄动”。这里我们暂时不看摄动，就先说说理想开普勒轨道 时的情况。 为了唯一的确定一个卫星的运行轨道，我们需要6个参数，参见下面的示意图： a 1. 轨道半长轴，是椭圆长轴的一半。对于圆，也就是半径 2. 轨道偏心率，也就是椭圆两焦点的距离和长轴比值。对于圆，它就是 0. 这两个要素决定了轨道的形状 3. 轨道倾角，这个是轨道平面和地球赤道平面的夹角。对于位于赤道上空的同步静止卫星来说，倾角就是 0。 4. 升交点赤经：卫星从南半球运行到北半球时穿过赤道的那一点叫升交点。这个点和春分点对于地心的张 角称为升交点赤经。 这两个量决定了卫星轨道平面在空间的位置。 5. 近地点幅角：这是近地点和升交点对地心的张角。 前面虽然决定了轨道平面在空间的位置，但是轨道本身在轨道平面里还可以转动。而这个值则确定了轨道 在轨道平面里的位置。 6. 过近地点时刻，这个的意义很显然了。卫星位置随时间的变化需要一个初值。 有一点要指岀的是，上面的6个参数并不是唯一的一组可以描述卫星轨道情况的参数，完全也可以选取其他参数，比如轨道周期。但是由于完备的描述也只需要6个参数，所以他们之间存在着固定的换算关系。 比如轨道周期就可以由半长轴唯一来确定（这在下面讲TLE的时候也会涉及到），反之亦然。上面选取的这 组是比较自然的一组。 下面讲讲TLE（Two-Line Element）两行数据。以北斗最近的数据为例 BEIDOU 2A 1 30323U 07003A 07067. .00069181 13771-5 44016- 2 0 587 2 3032 3 7594216 01. 650 真正的数据实际上是下面2行，但是上面有一行关于空间物体其他情况的一些信息（空间物体可以是卫星，可以是末级火箭，可以是碎片。这里简单起见，就叫卫星）。头一个是卫星名称。注意这个是会变的，而且 不一定准确。卫星发射后的头几个TLE数据里，往往只叫Object A, B, C...慢慢的会搞清楚哪个是卫星， 哪个是末级火箭，哪个是分离时的碎片，并且给予相应的名称。但是如果这个是其他国家的保密卫星，则这个卫星名字就纯粹是美国的猜测了，比如我们的这个北斗。有些情况下，名称这一行里还包含了一些数字，关于卫星的尺度，亮度等等。 TLE第一行数据 1 30323U 07003A 07067. .00069181 13771-5 44016- 2 0 587 30323U 30323是北美防空司令部（NORAD）给出的卫星编号。U代表不保密。我们看到的都是U，否则我 们就不会看到这组TLE 了 07003A国际编号，07表示2007年（2位数字表示年份在50年以后会出问题，因为1957年人类发射了第一个轨道物体），003表示是这一年的第3次发射。A则表示是这次发射里编号为A的物体，其他还有B，C，D等等。国际编号就是2007-003A. 07067.这个表示这组轨道数据的时间点。07还是2007年，067表示第67天，也就是3月8日。 表示这一天里的时刻，大约是16时22分左右。 .000069181平均运动的对时间一阶导数除2。注意这个并不是瞬时角速度 第四章 根轨迹法 4-1 根轨迹的基本概念 一． 根轨迹概念： 闭环系统的动态性能与闭环极点在s 平面上的位置密切相关,系统的闭环极点也就是特征方程式的根. 当系统的某一个或某些参量变化时,特征方程的根在s 平面上运动的轨迹称为根轨迹. 根轨迹法: 直接由开环传递函数求取闭环特征根的方法. 例： 设控制系统如图4-1所示 ()() 15.0+= s s K s G ()() 2220 +=+= s s K s s K , 开环极点： 01=p , 22-=p ()()()0 20 2K s s K s R s C s ++== Φ；式中K K 20= 此系统的特征方程式可写为：()02,1121102K s K s s s -±-=?=++=? 讨论： 200210-===s s K ，时， 111210-=-==s s K ，时， j s j s K --=+-==112210，时， ∞--=∞+-=∞=j s j s K 11210，时， 令k 为0 ∞.可以用解析的方法求出闭环极点的全部数值，将这些数值 图4-1 控制系统的结构图 R (s ) C (s ) K s(0.5s+1) 标住在S 平面上，并连成光滑的粗实线，如图4-2所示。图上，粗实线就称为系统的根轨迹。 分析: 1.0K 变化时,根轨迹均位于左半s 平面,系统恒稳定. 2.根轨迹有两条,两个起点2,021-==s s 3.100< . 第五章井眼轨道设计与轨迹控制 1．井眼轨迹的基本参数有哪些？为什么将它们称为基本参数？08 答： 井眼轨迹基本参数包括：井深、井斜角、井斜方位角。这三个参数足够表明井眼中一个测点的具体位置，所以将他们称为基本参数。 2．方位与方向的区别何在？请举例说明。井斜方位角有哪两种表示方法？二者之间如何换算？ 答： 方位都在某个水平面上，而方向则是在三维空间内（当然也可能在水平面上）。 方位角表示方法：真方位角、象限角。 方位线位置真方位角与象限角关系 真方位角＝象限角第一象限 真方位角＝180°第二象限－象限角 真方位角＝180°＋象限角第三象限 －象限角360°真方位角＝第四象限 水平投影长度与水平位移有何区别？视平移与水平位移有何区别．?3 答：水平投影长度是指井眼轨迹上某点至井口的长度在水平面上的投影，即井深在水平面上的投影长度。水平位移是指轨迹上某点至井口所在铅垂线的距离，或指轨迹上某点至井口的距离在水平面上的投影。在实钻井眼轨迹上，二者有明显区别，水平长度一般为曲线段，而水平位移为直线段。视平移是水平位移在设计方位上的投影长度。 4．狗腿角、狗腿度、狗腿严重度三者的概念有何不同？答：狗腿角是指测段上、下二测点处的井眼方向线之间的夹角（注意是在空间的夹角）。狗腿严重度是指井眼曲率，是井眼轨迹曲线的曲率。 ．5 垂直投影图与垂直剖面图有何区别？答：垂直投影图相当于机械制造图中的侧视图，即将井眼轨迹投影到铅垂平面上；垂直剖面图是经过井眼轨迹上的每一点做铅垂线所组成的曲面，将此曲面展开就是垂直剖面图。 6．？实际资料中如果超过了怎么办？180 为什么要规定一个测段内方位角变化的绝对值不得超过答： 测斜计算，对一个测段来说，要计算那些参数？对一个测点来说，需要计算哪些参数？测段计算与测7．点计算有什么关系？答：坐标增量和井眼曲率；测斜时，对一个测段来说，需要计算的参数有五个：垂增、平增、N坐标增量、E 坐标、视平移）对一个测点来说，需要计算的参数有七个：五个直角坐标值（垂深、水平长度、E坐标、N 和两个极坐标（水平位移、平移方位角）。. . 卫星轨道 本节中将简单说明人造卫星轨道的特性。为方便起见，假设卫星轨道是圆形的，这样也可得到许多有用的信息。 以地心为中心可画出一个半径无穷大的圆球，这个球面称为天球（celestial sphere）。天空中的太阳、月亮以及星星和地心的联机会和天球相交于一点，因此天体的运动可用它们在天球上的轨迹来表示（图1）。地球赤道面和天球的交线称为天球赤道。地球实际上是绕日运行的，但以固定在地球上的坐标系来看，太阳会绕地球运行，这就是太阳的视运动（apparent motion）。太阳在天球上的轨迹称为黄道，黄道面和赤道面的交线称为二分线，二分线和天球的交点称为二分点，即 图1 天球及太阳的视运动。 图2 地心赤道面坐标系。 春分点和秋分点。黄道面和赤道面的夹角约为23o27′。黄道面上有 两点距赤道面最远，位于北半球的称为夏至点，位于南半球的称为冬至点。当太阳在夏至点时，它直射北回归线；当太阳在冬至点时，它直射南回归线。 地心赤道面坐标系 以地心为原点可以建立一个坐标系，X 和Y 轴在赤道面上，X 轴指向春分点，Z 轴为地球自转轴，指向北极。这个坐标系不随地球自转而转动，称为地心赤道面坐标系，如图2 所示。由于岁差（precession）的缘故，春分点会往西移动，故地心赤道面坐标也不是惯性坐标系。不过由于卫星绕地运动的周期远小于岁差的周期，因此讨论卫星轨道时，可将地心赤道面坐标系当做惯性坐标，在实用上可令X 轴指向某一年（如1950 年）的春分方向。 近地点坐标系 描述卫星在轨道面上运动最方便的坐标系是近地点坐标系xω , yω ,zω ，如图3 所示。这个坐标系原点在地心（即焦点）上，xω和yω 轴在轨道面上，xω轴指向近地点，将xω轴沿卫星运动方向转动90°就得到 图3 卫星的椭圆轨道，υ为真近点角。 yω 轴，zω轴则和xω , yω轴形成右手坐标系。因为卫星在轨道面上运动，故其zω坐标等于零。 经典轨道要素 要完全描述卫星在轨道上的运动，除了初始时间外，需要6 个参数，这些称为经典轨道要素（classical orbital elements）。这些是椭圆轨道的半长轴a , 偏心率（eccentricity）e,真近点角（true anomaly）υ ,升交点赤经（right ascension of ascending node）Ω,轨道倾角（orbitalinclination）i以及近地点辐角（argument of perigee）ω。最后三个角度称为经典定向角。半长轴a和偏心率e可以完全决定椭圆形的大小；真近点角υ可决定卫星在椭圆轨道上的位置，一般说来通常都用平近点角（mean anomaly）代替真近点角。至于经典定位角Ω , i , 第五章井眼轨道设计与轨迹控制 1．井眼轨迹的基本参数有哪些？为什么将它们称为基本参数？08 答： 井眼轨迹基本参数包括：井深、井斜角、井斜方位角。这三个参数足够表明井眼中一个测点的具体位置，所以将他们称为基本参数。 2．方位与方向的区别何在？请举例说明。井斜方位角有哪两种表示方法？二者之间如何换算？ 答： 方位都在某个水平面上，而方向则是在三维空间内（当然也可能在水平面上）。 方位角表示方法：真方位角、象限角。 3．水平投影长度与水平位移有何区别？视平移与水平位移有何区别? 答： 水平投影长度是指井眼轨迹上某点至井口的长度在水平面上的投影，即井深在水平面上的投影长度。水平位移是指轨迹上某点至井口所在铅垂线的距离，或指轨迹上某点至井口的距离在水平面上的投影。在实钻井眼轨迹上，二者有明显区别，水平长度一般为曲线段，而水平位移为直线段。 视平移是水平位移在设计方位上的投影长度。 4．狗腿角、狗腿度、狗腿严重度三者的概念有何不同？ 答： 狗腿角是指测段上、下二测点处的井眼方向线之间的夹角（注意是在空间的夹角）。狗腿严重度是指井眼曲率，是井眼轨迹曲线的曲率。 5．垂直投影图与垂直剖面图有何区别？ 答： 垂直投影图相当于机械制造图中的侧视图，即将井眼轨迹投影到铅垂平面上；垂直剖面图是经过井眼轨迹上的每一点做铅垂线所组成的曲面，将此曲面展开就是垂直剖面图。 6．为什么要规定一个测段内方位角变化的绝对值不得超过180 ？实际资料中如果超过了怎么办？ 答： 7．测斜计算，对一个测段来说，要计算那些参数？对一个测点来说，需要计算哪些参数？测段计算与测点计算有什么关系？ 答： 测斜时，对一个测段来说，需要计算的参数有五个：垂增、平增、N坐标增量、E坐标增量和井眼曲率；对一个测点来说，需要计算的参数有七个：五个直角坐标值（垂深、水平长度、N坐标、E坐标、视平移）和两个极坐标（水平位移、平移方位角）。 井眼轨迹计算新方法 王礼学陈卫东贾昭清吴华 （四川石油管理局川东钻探公司） 摘要：在钻井和地质工作中常用的井眼轨迹计算方法有5种，算法复杂程度和精度各不相同。其原理一类为将相邻两井斜测点视为一直线，算法较简单；另一类则是将相邻两井斜测点视为一平面曲线，算法稍复杂。一般地，基于平面曲线的算法其精度优于基于直线的算法。本文将介绍一种井眼轨迹计算的新方法─积分法，其原理是一种基于空间曲线的方法，其精度将高于常用的井眼轨迹计算方法，但算法稍复杂。 主题词：井深井斜角方位角井眼轨迹计算公式 钻井工程和地质工作中井眼轨迹计算是十分频繁的工作。随着地质勘探目标的更加精细，特别是定向井对地下靶心的准确定位，对井眼轨迹的确定提出了更高的要求。井眼轨迹的确定包含两部分，一是井眼轨迹的测斜工作，二是测斜数据的处理工作。井眼轨迹计算便属后者。本文介绍的是测斜数据处理新方法。 井眼轨迹是展布在三维空间中的一条曲线，这条曲线是通过测斜数据确定的。它据包括：井深(Measure Depth)L、井斜角(Hole Angle)α、井斜方位(Hole Direction)φ，称之为井斜要素或定向要素。通过井眼轨迹计算，得出以井口位置为坐标原点的各测量点的正北、正东和垂直位移以及水平位移、位移方位等。 目前国内外井眼轨迹计算方法常用的有正切法(Tangential Method)、平均角法(Angle-Averaging)、平衡正切法(Balanced Tangential Method)、圆柱螺线法(Cylind-Spiral Method)和最小曲率法(Minimum- Curvature Method)等等。前三种方法将相邻两测点的井眼轨迹视为一直线(或折线)，后两种方法将邻两测点的井眼曲线视为一平面曲线。事实上，相邻两测点间的井眼轨迹为一空间曲线，而且不同井所对应的空间曲线不相同。我们不可能也没必要去求取每口井的实际井眼曲线，前面提到的5种常用方法都是实际井眼轨迹(空间曲线)的近似。根据实际计算和理论分析，基于平面曲线方法的圆柱螺线法和最小曲率法比基于直线方法的正切法、平均角法和平衡正切法要精确些，故在钻井工作中常用圆柱螺线法和最小曲率法来计算井眼轨迹。 本文将介绍一种井眼轨迹计算的新方法─积分法(Integral Method)，它是 简单的说：所有的地球卫星都是靠万有引力（或者可以叫做重力）充当向心力，所以，万有引力指向地心，而向心力的“心”也是地心，一句话：所有的地球卫星都是围绕地心做圆周运动的（无论是极地卫星、同步卫星还是一般卫星）。 下面有一篇文章对卫星有比较详细的论述，你看看。 人造地球卫星原理2008-06-10 下午08:24“人造卫星”就是我们人类“人工制造的卫星”。科学家用火箭把它发射到预定的轨道，使它环绕着地球或其他行星运转，以便进行探测或科学研究。围绕哪一颗行星运转的人造卫星，我们就叫它哪一颗行星的人造卫星，比如最常用于观测、通讯等方面的人造地球卫星。 地球对周围的物体有引力的作用，因而抛出的物体要落回地面。但是，抛出的初速度越大，物体就会飞得越远。牛顿在思考万有引力定律时就曾设想过，从高山上用不同的水平速度抛出物体，速度一次比一次大，落地点也就一次比一次离山脚远。如果没有空气阻力，当速度足够大时，物体就永远不会落到地面上来，它将围绕地球旋转，成为一颗绕地球运动的人造地球卫星，简称人造卫星。 人造卫星是发射数量最多，用途最广，发展最快的航天器。1957年10月4日苏联发射了世界上第一颗人造卫星。之后，美国、法国、日本也相继发射了人造卫星。中国于1970年4月24日发射了东方红1号人造卫星，截止1992年底中国共成功发射33颗不同类型的人造卫星。 人造卫星一般由专用系统和保障系统组成。专用系统是指与卫星所执行的任务直接有关的系统，也称为有效载荷。应用卫星的专用系统按卫星的各种用途包括：通信转发器，遥感器，导航设备等。科学卫星的专用系统则是各种空间物理探测、天文探测等仪器。技术试验卫星的专用系统则是各种新原理、新技术、新方案、新仪器设备和新材料的试验设备。保障系统是指保障卫星和专用系统在空间正常工作的系统，也称为服务系统。主要有结构系统、电源系统、热控制系统、姿态控制和轨道控制系统、无线电测控系统等。对于返回卫星，则还有返回着陆系统。 人造卫星的运动轨道取决于卫星的任务要求，区分为低轨道、中高轨道、地球同步轨道、地球静止轨道、太阳同步轨道，大椭圆轨道和极轨道。人造卫星绕地球飞行的速度快，低轨道和中高轨道卫星一天可绕地球飞行几圈到十几圈，不受领土、领空和地理条件限制，视野广阔。能迅速与地面进行信息交换、包括地面信息的转发，也可获取地球的大量遥感信息，一张地球资源卫星图片所遥感的面积可达几万平方千米。 第二章 卫星轨道、星座和系统概念 本书的这一部分讲述卫星轨道机制这一主题，讨论卫星与地面终端之间的一些几何关系。同时介绍几种用于建立起区域或全球卫星系统的不同卫星星座。 §2.1卫星轨道 在17世纪早期，Johannes Kepler 发现一些重要的行星运动特性，这些特性被总称为Kepler 定律。 —第一定律（1602）：行星在一个平面内运动；轨道为环绕太阳的椭圆，且太阳在该椭圆的一个焦点上； —第二定律（1605）：太阳与行星之间的线在相同的时间间隔内扫出相同的面积。 —第三定律(1618)：轨道周期T 的平方和轨道椭圆主半轴a 的立方之比值，对所有行星而言，是相等的。 这些定律适应于受引力作用的任意二体系统，因此也能够用来描述卫星环绕地球的运行。轨道力学机制的广泛处理详见教材书[BMW71，MB93，Dav85]。 2.1.1 椭圆和圆周轨道 图2.1表示了遵循Kepler 第一定律的椭圆卫星轨道的几何体制。卫星轨道呈椭圆形，其中地球位于它的一个焦点上。这个椭圆由两个参数确定：长半轴a 和短半轴b 。椭圆的形状也可以由数字离心率来描述 a apogee ——远地点 perigee ——近地点 由这一参数：焦点到椭圆中心的距离可以被表示为e ·a 。卫星到地球中心的距离定义为半径r 。轨道的半径最小点定义为近地点p r r =。轨道的半径最大点定义为远地点a r r =。 由Kepler 第二定律可以推理出卫星在近地点附近运行快，在远地点附近运行慢。由图 2.1以及公式（2.1）我们可以建立起下面的关系式： 2 a p r r a += a p a p r r e r r -=+ (1)a r a e =+ (1)p r a e =- （2.2） 卫星与地球中心和近地点的连线所成夹角θ通常被称为“真近点角”。这一夹角能够被用来确定卫星沿椭圆轨道的半径r ： 2(1)1cos a e r e θ -=+ （2.3） 卫星与椭圆中心和近地点的连线所成夹角E 定义为“偏近点角”，其与θ的关系式可以如下表示： cos cos (cos )1cos a E e E e r e E θ-= -=- （2.4） 时刻t 与过近地点的时刻p t 之间的时间间隔和偏近点角E 的关系式可以如下表示： 2()sin p t t E e E T π-=- （2.5） 其中T 是卫星的轨道周期，2()/p t t T π-称为平近点角。用公式（2.4）和（2.5）时间可以导出为角度θ的函数()t θ。但是，由于公式（2.5）的反函数不能够解出，()t θ随时间的变换必须由数字确定。 卫星距地球表面的高度h 如下式所示 e h r R =- （2.6） 其中e R 为地球的半径。因此，在远地点的轨道高度为a a e h r R =-；在近地点的轨道高度为p p e h r R =-。事实上，地球并非一个理想的球体，而是在两极存在一定的扁率。在本书的以下章节中，我们将用6378e R =km 来表示平均赤道半径1。（两极处的地球半径为6357km ，而地球表面的平均半径为6371km 。） 圆形卫星轨道 圆形卫星轨道是椭圆轨道在离心率为0的一种特殊情形，即0e =。因此，a p a b r r r ====。此时，地球位于圆形轨道的中心，卫星高度e h r R =-为常数。而且，时间t 与真近点角遵循如下的关系式 2()t t T πθ= （2.7） 2.1.2卫星速度与轨道周期 Isaac Newton 拓展了Kepler 的研究并于1667年发现了万有引力定律。这一定律规定具有质量m 和M 的两个物体在距离为r 时，相互之间具有如下的万有引力 2 g mM F G r = （2.8） 此处，11226.673210/G Nm kg -= ，为万有引力常数。 对于环绕地球的卫星轨道而言，m 表示卫星质量，245.973310e M M kg == 为地球本身的质量。由势能和动能组成的整个机械能为恒量： 222m m m r a υμμ-=- （2.9） 根轨迹的概念 特征方程（见传递函数）的根随某个参数由零变到无穷大时在复数平面上形成的轨迹，称为根轨迹。我们先看下面的例子。 设单位反馈系统的开环传递函数为： 当开环放大系数K从零到无穷大变化时，系统的特征根在s平面上怎样分布？解系统有两个开环极点 系统的闭环传递函数为 系统的特征方程为 特征方程的根 可见特征根在s平面的位置与K有关。 K=0时，,与开环极点的位置相同。 0 K>1/4时，和都成为共轭复数。 具有相同的负实部，且为常数，而虚部则随K的增加其绝对值也增加。图3.28 给出了系统的特征根在K从零变化到无穷大时，相应位置的变化情况。 这种放大系数K从零到无穷大变化时，特征方程的根在s平面上相应变化的轨迹，称为根轨迹。根轨迹完整地反映了特征根随参数变化的情况。根据图3.28的根轨迹图，我们可以知道，在K<1/4时，系统的单位阶跃响应中含有两个指数项函数。在K=1/4时，两个指数项函数合二为一。在K1/4时，根轨迹进入复平面，说明系统的单位阶跃响应由单调变化转变为振荡。从图还可以看出，不论K怎样变化，系统始终是稳定的。因为全部根轨迹都分布在s平面左半边。 图3.28 特征根随K的变化情况 根轨迹的基本条件 控制系统的特征方程为 (3.145) 式中为系统前向通道传递函数，H(s)为系统反馈通道传递函数。上式可改写为 (3.146) 将系统的开环传递函数写成零极点形式 (3.147) 式中K称为根轨迹放大系数或根轨迹增益。称为开环零点，称为开环 极点。 将（3.147）式代入（3.146）式得 (3.148) 式（3.148）是一个复数方程，可以用复数的幅值和幅角分别表示为 (3.149) , (3.150) 式中是矢量与实轴正方向的夹角，是矢量与实轴正方向的夹角。 我们称式（3.149）为根轨迹的幅值条件，式（3.150）为根轨迹的幅角条件。凡在根轨迹上的点都是系统特征方程的根，都必须同时满足根轨迹的幅值条件和幅角条件。这两个条件统称为根轨迹的基本条件。 根轨迹的绘制规则 根轨迹法是分析控制系统的一种图解方法，正确地绘制出根轨迹图是进行根轨迹分析的基础。根轨迹图的绘制，并不要求求解特征方程，而是根据根轨迹的基本条件，导出一些简单实用的法则，画出根轨迹图形。 绘制根轨迹的规则有： 1.根轨迹的分支 n阶系统的特征方程是关于s的n次代数方程，方程有n个解，所以系统的根轨根轨迹的概念
井眼轨道参数的插值计算
井眼轨迹的三维显示
卫星轨道和TLE数据
卫星轨道和TLE数据
第四章 根轨迹方程
钻井工程井眼轨道设计与轨迹控制
卫星轨道基本概念
钻井工程：第五章 井眼轨道设计与轨迹控制
井眼轨迹计算新方法
卫星轨道种类
卫星通信第2章 卫星轨道、星座和系统概念
根轨迹的概念