平行线的证明教学设计
第七章 平行线的证明 7．1 为什么要证明
1．体会观察、猜测得到的结论不一定正确．
2．初步了解数学中推理的重要性，了解要判定一个数学结论正确与否，需要进行有根有据的推理．(重点)
阅读课本P162～163的内容，完成预习内容． (一)知识探究
实验、观察、归纳得到的结论不一定正确．因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的证明． (二)自学反馈
观察右图，左图中间的圆圈大还是右图中间的圆圈大？请你先观察，再用直尺验证一下． 解：一样大．
活动1 小组讨论
例1 有人认为，对于所有自然数n ，代数式n 2
－n ＋11的值都是质数．你怎么看待这个结论？ 同学们试着做一做：
(1)当n ＝0，1，2，3，4，5时，代数式n 2
－n ＋11的值是质数还是合数？
(2)是否说明：对于所有自然数n ，代数式n 2
－n ＋11的值都是质数呢？与同伴讨论交流．
解：(1)当n ＝0时，n 2
－n ＋11＝11；
当n ＝1时，n 2
－n ＋11＝11；
当n ＝2时，n 2－n ＋11＝13；当n ＝3时，n 2
－n ＋11＝17；
当n ＝4时，n 2－n ＋11＝23；当n ＝5时，n 2
－n ＋11＝31.
由此可知：当n ＝0，1，2，3，4，5时，代数式n 2
－n ＋11的值都是质数．
(2)由(1)我们可以得到：当n ＝0，1，2，3，4，5时，代数式n 2
－n ＋11的值都是质数．但当我们继续往后计算，
计算到n ＝11时，n 2－n ＋11＝121，此时为合数．所以“对于所有自然数n ，代数式n 2
－n ＋11的值都是质数”这种说法是错误的．
例2 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，连接DE.DE 与BC 有怎样的位置关系和数量关系？请你先猜一猜，再设法检验你的猜想．你能肯定你的结论对所有的△ABC 都成立吗？
解：通过测量猜想DE ∥BC ，DE ＝1
2BC.通过改变三角形的形状，在不同的三角形中再次得到验证，因而较为相信这个
结论的正确性；但毕竟是测量结果，测量难免有误差，因此难以令人信服，还需要寻找更为可信的证明． 活动2 跟踪训练
1．我们知道：2×2＝4，2＋2＝4.
试问：对于任意数a 与b ，是否一定有结论a ×b ＝a ＋b? 解：3×2＝6，而3＋2＝5， 因为6≠5，
所以不是任意数a 与b ，都有结论a ×b ＝a ＋b.
2．已知n 是正整数，你能肯定2n ＋4－2n
一定是30的倍数吗？为什么？
解：2n ＋4－2n ＝2n (24－1)＝15×2n
，
由n为正整数，得到2n为2的倍数，
则15×2n为30的倍数，即2n＋4－2n一定是30的倍数．
3．如图，AB∥CD，且AB＝CD，DF⊥AC于F，BE⊥AC于E，试问DF与BE的位置关系和数量关系如何？你能肯定吗？请说明理由．
解：DF∥BE，DF＝BE.
理由：由DF⊥AC，BE⊥AC，可知∠DFC＝∠BEA＝90°.故DF∥BE.因为AB∥CD，所以∠A＝∠C.又因为AB＝CD，所以△DCF≌△BAE.所以DF＝BE.
活动3 课堂小结
1．体会观察、猜测得到的结论不一定正确．
2．初步了解数学中推理的重要性．
3．初步了解要判定一个数学结论正确与否，需要进行有根有据的推理．
7．2 定义与命题
第1课时定义与命题
1．知道“定义”和“命题”，能判断给出的语句哪些是命题，能把简单的命题写成“如果……那么……”的形式，能找到命题的条件和结论．(重点)
2．会判断一个命题的真假，并且知道要判定一个命题是假命题，只需举反例．(重点)
阅读课本P165～166，完成预习内容．
(一)知识探究
1．对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义．
2．判断一件事情的句子，叫做命题．
3．一般地，每个命题都由条件和结论两部分组成，条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项．命题通常可以写成：“如果……那么……”的形式，其中“如果”引出的是条件；“那么”引出的是结论．
4．正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题．要说明一个命题是假命题，常常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例．
(二)自学反馈
1．下列语句中，属于定义的是(D)
A．两点确定一条直线
B．平行线的同位角相等
C．两点之间线段最短
D．直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离
2．下列命题中，真命题是(D)
A．若a·b＞0，则a＞0，b＞0
B．若a·b＜0，则a＜0，b＜0
C．若a·b＝0，则a＝0，且b＝0
D．若a·b＝0，则a＝0，或b＝0
3．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式．
(1)对顶角相等；
(2)同位角相等．
解：(1)如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
(2)如果两个角是同位角，那么这两个角相等．
活动1 小组讨论
例1说出下列概念的定义：
(1)方程；
解：含有未知数的等式叫方程．
(2)角平分线；
解：从角的顶点出发，把这个角分成相等的角的射线，叫作角平分线．
(3)一元一次方程；
解：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的方程叫一元一次方程．
例2 判断下列语句哪些是命题？哪些不是？
(1)画一个角等于已知角；(2)两直线平行，同位角相等；(3)同位角相等，两条直线平行吗？(4)鸟是动物；(5)若x －5＝0，求x的值．
解：(2)(4)是命题；(1)(3)(5)不是命题．
例3 指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……”的形式．
(1)两直线平行，同位角相等；
解：条件是“两直线平行”，结论是“同位角相等”．
可以改写成“如果两直线平行，那么同位角相等”．
(2)垂直于同一直线的两条直线平行；
解：条件是“垂直于同一直线的两条直线”，结论是“这两条直线平行”．
可以改写成“如果两条直线垂直于同一直线，那么这两条直线平行”
(3)对顶角相等．
解：条件是“两个角是对顶角”，结论是“两个角相等”．
可以改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”．
例4 判断下列命题的真假，举出反例．
①大于锐角的角是钝角；
②如果一个实数有算术平方根，那么它的算术平方根是整数；
③如果AC＝BC，那么点C是线段AB的中点．
解：①②③假命题．
①的反例：90°的角大于锐角，但不是钝角．
②的反例：5有算术平方根，但算术平方根不是整数．
③的反例：如果AC＝BC，而点A，B，C三点不在同一直线上，那么点C就不是AB的中点．活动2 跟踪训练
1．下列语句中，是命题的是(D)
A．在同一平面内的两条直线不平行就相交
B．邻补角的角平分线互相垂直
C．过直线l外一点P，作直线a∥l
D．在同一平面内，若a∥b，a与c相交，则b与c也相交
2．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式．
(1)能被2整除的数必能被4整除；
(2)异号两数相加得零．
解：(1)如果一个数能被2整除，那么这个数一定能被4整除．
(2)如果两个数异号，那么这两个数相加得零．
3．下列命题是真命题吗？若不是，请举出反例．
(1)只有锐角才有余角；
(2)若x2＝4，则x＝2；
(3)a2＋1≥1；
(4)若|a|＝－a，则a<0.
解：(1)真命题．
(2)假命题，如：x＝－2.
(3)真命题．
(4)假命题，如：a＝0.
活动3 课堂小结
本课时主要学习了哪些知识与方法？有何收获和感悟？还有哪些疑惑？
第2课时定理与证明
1．理解公理和定理的意义，并能对公理与定理加以区别．
2．理解证明命题的思路、书写的格式，使学生对几何的重要内容之一——推理论证，有初步的认识，从而培养思维的条理性和逻辑性．(重点)
阅读课本P168～170，完成预习内容．
(一)知识探究
公理：它是公认的真命题，作为证明的出发点和依据．
证明：演绎推理的过程称为证明．
定理：经过证明的真命题称为定理．
(1)公理
公认的真命题称为公理．
①公理是不需推理论证的真命题；
②公理可以作为推理论证定理及其他命题真假的依据．
常用的几个公理：
①两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；
②两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．
③两边及其夹角对应相等的两个三角形全等；
④两角及其夹边对应相等的两个三角形全等；
⑤三边对应相等的两个三角形全等；
⑥全等三角形的对应边相等、对应角相等．
其他公理：等式和不等式的有关性质，等量代换都可以看作公理．
(2)定理
有些命题的正确性是通过推理的方法证实的，这样的真命题叫做定理．
①定理是经过推理论证的真命题，但真命题不一定都是定理．
②定理可以作为推理论证其他命题的依据．
(3)证明
推理的过程叫证明．推理必须做到步步有据，条条有理．
(二)自学反馈
下列说法正确的是(B)
A．真命题都可以作为定理
B．公理不需要证明
C．定理必须要证明
D．证明只能根据定义、公理进行
掌握真命题、公理、定理之间的联系与区别．
活动1 小组讨论
例已知，如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角．求证：∠AOC＝∠BOD.
证明：∵直线AB与直线CD相交于点O，
∴∠AOB和∠COD都是平角(平角的定义)．
∴∠AOC和∠BOD都是∠AOD的补角(补角的定义)．
∴∠AOC＝∠BOD(同角的补角相等)．
活动2 跟踪训练
1．请你完成定理“等角的补角相等”．
解：已知：∠1＝∠2，∠3是∠1的余角，∠4是∠2的余角．
求证：∠3＝∠4.
证明：∵∠3是∠1的余角，∠4是∠2的余角，
∴∠3＝90°－∠1，∠4＝90°－∠2.
又∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4.
2．请你完成定理“三角形的任意两边之和大于第三边”．
解：已知：△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c.
求证：a＋b＞c，a＋c＞b，b＋c＞a.
证明：假设a＋b≤c，a＋c≤b，b＋c≤a，
则有a＋b＋a＋c＋b＋c≤a＋b＋c，
整理可得a＋b＋c≤0，显然与已知矛盾，
假设不成立，
∴三角形的任意两边之和大于第三边．
活动3 课堂小结
培养思维的条理性和逻辑性．
7．3 平行线的判定
1．会用“同位角相等，两直线平行”证明“内错角相等，两直线平行”及“同旁内角互补，两直线平行”的正确性．
2．学会用平行线的三个判定定理解决问题．(重点)
3．经历证明的基本步骤，熟悉几何题的正确的书写格式．(难点)
阅读课本P172～173，完成预习内容．
(一)知识探究
1．归纳：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简述为：内错角相等，两直线平行．
2．阅读课本P172内错角相等，两直线平行的这个定理的证明过程，完成下面的填空：
在内错角相等，两直线平行的这个定理的证明过程中关键是用到了：“①对顶角相等；②同位角相等，两直线平行”这两个知识．
3．归纳：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简述为：同旁内角互补，两直线平行．
4．阅读课本P172“同旁内角互补，两直线平行”定理的证明过程，完成下面的填空：
在同旁内角互补，两直线平行的这个定理的证明过程中关键是用到了：“①平角的定义；②等式的性质；③同位角相等，两直线平行”这三个知识．
(二)自学反馈
1．请运用内错角相等，两直线平行这个定理完成以下证明：
已知：如图，∠1＝∠2，且BD平分∠ABC.求证：AB∥CD.
证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠2.
∵∠1＝∠2，
∴∠ABD＝∠1.
∴AB∥CD.
2．请运用同旁内角互补，两直线平行这个定理完成以下证明：
已知：如图，AD是一条直线，∠1＝65°，∠2＝115°.求证：BE∥CF.
证明：方法一：∵∠1＋∠DBE＝180°，∠1＝65°，
∴∠DBF＝115°.
又∵∠2＝115°，
∴∠2＝∠DBE.
∴BE∥CF.
方法二：∵∠1＋∠DBE＝180°，∠2＋∠BCE＝180°，∠1＝65°，∠2＝115°，
∴∠DBE＋∠BCF＝180°.
∴BE∥CF.
同位角相等、内错角相等、同旁内角互补是判断两直线平行的基本方法．
活动1 小组讨论
例1 工人师傅想知道砌好的墙壁的上下边缘AB和CD是否平行，于是找来一根笔直的木棍，如图所示将其放在墙面上，那么，他通过测量∠EGB和∠GFD的度数，就知道墙壁的上下边缘是否平行了．请问：∠EGB和∠GFD满足怎样的条件时，墙壁的上下边缘才会平行？你的依据是什么？
解析：判定两条直线是否平行，常根据两条直线被第三条直线所截而构成的角来判断．题中∠EGB和∠GFD是直线AB和直线CD(墙的上下边缘)被直线EF所截时形成的同位角，根据“同位角相等，两直线平行”，可知只有∠EGB 和∠GFD相等时，墙壁的上下边缘才会平行．
解：∠EGB和∠GFD相等时，墙壁的上下边缘才会平行．其依据是同位角相等，两直线平行．
例2 如图，小明利用两块相同的三角板，分别在三角板的边缘画直线AB和CD，这是根据内错角相等，两直线平行．
解析：由题图可看出，直线AB和CD被直线BC所截，此时两块相同的三角板的两个最小角的位置关系正好是内错角，所以这是根据内错角相等，来判定两直线平行的．
例3 如图，一个零件ABCD需要AB边与CD边平行，现只有一个量角器，测得拐角∠ABC＝120°，∠BCD＝60°，这个零
件合格吗？合格(填“合格”或“不合格”)．
解析：∵∠ABC＋∠BCD＝180°，∴AB∥CD.
活动2 跟踪训练
1．如图，直线a，b与直线c相交，形成∠1，∠2，…，∠8共八个角，请你填上你认为适当的一个条件：答案不唯一，如：∠1＝∠5或∠4＝∠5或∠3＋∠5＝180°，使a∥b.
2．已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D在线段BA的延长线上，射线AE平分∠DAC.求证：AE∥BC.
证明：∵∠DAC＝∠B＋∠C，∠B＝∠C，
∴∠DAC＝2∠B.
又∵AE平分∠DAC，
∴∠DAC＝2∠DAE.
∴∠DAE＝∠B.
∴AE∥BC.
3．已知：如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠D，∠B＝∠C，试判断AD与BC的位置关系，并说明理由．
解：AD与BC的位置关系是平行．
理由：∵四边形ABCD的内角和是360°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°.
∵∠A＝∠D，∠B＝∠C，
∴∠A＋∠B＝180°.
∴AD∥BC.
活动3 课堂小结
学会用平行线的三个判定定理解决问题．
7．4 平行线的性质
1．认识平行线的三条性质定理，能熟练运用这三条定理进行几何证明．(重点)
2．进一步理解和总结证明的步骤、格式、方法．
3．了解判定定理和性质定理在条件和结构上的区别，体会正逆的思维过程．
阅读课本P175～177，完成预习内容．
(一)知识探究
1．定理：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等．简述为：两直线平行，同位角相等．
2．定理：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等．简述为：两直线平行，内错角相等．
3．定理：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补．简述为：两直线平行，同旁内角互补．4．定理：平行于同一条直线的两条直线平行．
(二)自学反馈
1．某商品的商标可以抽象为如图所示的三条线段，其中AB∥CD，∠EAB＝45°，则∠FDC的度数是(B) A．30°B．45°C．60°D．75°
2．如图所示，直线AB，CD相交于点E，DF∥AB，若∠AEC＝100°，则∠D等于(B)
A．70°B．80°
C．90°D．100°
3．如图，AB∥CD，CE平分∠ACD，若∠1＝25°，则∠2的度数是50°．
活动1 小组讨论
例已知：如图，b∥a，c∥a，∠1，∠2，∠3是直线a，b，c被直线d截出的同位角．
求证：b∥c.
证明：∵b∥a(已知)，
∴∠2＝∠1(两直线平行，同位角相等)．
∵c∥a(已知)，
∴∠3＝∠1(两直线平行，同位角相等)．
∴∠2＝∠3(等量代换)．
∴b∥c(同位角相等，两直线平行)．
活动2 跟踪训练
1．已知AB ∥DE ，∠B ＝60°，且CM 平分∠DCB ，CM ⊥CN ，垂足为C ，求∠NCE 的度数．
解：∵AB ∥DE ，∠B ＝60°， ∴∠BCD ＝120°. ∵CM 平分∠DCB ， ∴∠DCM ＝1
2
∠DCB ＝60°.
∵CM ⊥CN ， ∴∠MCN ＝90°.
∴∠DCM ＋∠NCE ＝90°.
∴∠NCE ＝90°－∠DCM ＝30°.
2．如图，已知∠1＝∠2，∠C ＝∠D ，求证：∠A ＝∠F.
证明：∵∠1＝∠2， ∴BD ∥CE.
∴∠C ＋∠CBD ＝180°. ∵∠C ＝∠D ，
∴∠D ＋∠CBD ＝180°. ∴AC ∥DF. ∴∠A ＝∠F.
活动3 课堂小结
熟练运用平行线的三条性质定理进行几何证明．
7．5 三角形内角和定理
第1课时 三角形内角和定理的证明
1．会证明三角形的内角和定理．
2．会运用三角形内角和定理解题．(重点)
阅读课本P178～179，完成预习内容． (一)知识探究
三角形内角和定理：三角形内角和等于180°． (二)自学反馈
阅读课本P178，课本中给了我们证明三角形内角和定理的方法，下面给出另外几种方法： 证法1：如图1，过点A 作EF ∥BC ，则∠1＝∠B ，∠2＝∠C ． ∵∠1＋∠BAC ＋∠2＝180°， ∴∠B ＋∠BAC ＋∠C ＝180°．
图1 图2 图3
证法2：如图2，在BC 边上任取一点D ，过D 作DE ∥AB 交AC 于E ，作DF ∥AC 交AB 于F. ∵DE ∥AB ，
∴∠1＝∠B ，∠2＝∠4． ∵DF ∥AC ，
∴∠3＝∠C ，∠A ＝∠4． ∴∠2＝∠A.
又∵∠1＋∠2＋∠3＝180°， ∴∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°．
证法3：如图3，过点A 作AD ∥BC. ∵AD ∥BC ，
∴∠1＝∠C ，∠DAB ＋∠B ＝180°.
∴∠BAC ＋∠B ＋∠C ＝∠BAC ＋∠B ＋∠1＝∠BAD ＋∠B ＝180°.
活动1 小组讨论
例 如图，在△ABC 中，∠B ＝38°，∠C ＝62°.AD 是△ABC 的角平分线．求∠ADB 的度数．
解：在△ABC 中，
∠B ＋∠C ＋∠BAC ＝180°(三角形内角和定理)． ∵∠B ＝38°，∠C ＝62°(已知)，
∴∠BAC ＝180°－38°－62°＝80°(等式的性质)． ∵AD 平分∠BAC(已知)．
∴∠BAD ＝∠CAD ＝12∠BAC ＝1
2×80°＝40°(角平分线的定义)．
在△ADB 中，
∠B ＋∠BAD ＋∠ADB ＝180°(三角形内角和定理)． ∵∠B ＝38°(已知)，∠BAD ＝40°(已证)，
∴∠ADB ＝180°－38°－40°＝102°(等式的性质)．
活动2 跟踪训练
1．在一个三角形中，下列说法错误的是(D)
A．可以有一个锐角和一个钝角
B．可以有两个锐角
C．可以有一个锐角和一个直角
D．可以有两个钝角
2．已知一个三角形三个内角度数的比是1∶5∶6，则其最大内角的度数为(C)
A．60°B．75° C．90° D．120°
3．如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，∠A＝50°，∠C＝70°，那么∠ADE的度数是60°．4．如图，已知△ABC中，∠B＝65°，∠C＝45°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．
解：在△ABC中，
∵∠B＝65°，∠C＝45°，∠BAC＝180°－∠B－∠C＝70°，AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE＝∠CAE＝35°.
又∵AD是BC边上的高，∴∠ADB＝90°.
∵在△ABD中∠BAD＝90°－∠B＝25°，
∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝10°.
活动3 课堂小结
会运用三角形内角和定理计算三角形中的角度．
第2课时 三角形的外角
1．探究三角形外角定理及其证明．(重点) 2．学会运用三角形外角的定理解题．(难点)
阅读课本P181～182，完成预习内容． (一)知识探究
问题：请在下图中找出△ABC 的所有外角，一个三角形有几个外角？
思考：以上问题中，三角形的一个外角与三角形的内角有什么关系呢？ 定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 推论：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
(二)自学反馈
求出图中的x 的值．
解：由图知x ＋80＝x ＋x ＋20. 解得x ＝60.
活动1 小组讨论
例1 已知：如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C ，AD 平分外角∠EAC. 求证：AD ∥BC.
分析：要证明AD ∥BC ，只需证明“同位角相等”或“内错角相等”或“同旁内角互补”．
证明：∵∠EAC ＝∠B ＋∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和)，∠B ＝∠C(已知)， ∴∠C ＝1
2∠EAC(等式的性质)．
∵AD 平分∠EAC(已知)， ∴∠DAC ＝
1
2
∠EAC(角平分线的定义)． ∴∠DAC ＝∠C(等量代换)．
∴AD ∥BC(内错角相等，两直线平行)．
例2 已知：如图P 是△ABC 内一点，连接PB ，PC. 求证：∠BPC ＞∠A.
证明：延长BP ，交AC 于点D.
∵∠BPC 是△PDC 的一个外角(外角的定义)，
∴∠BPC＞∠PDC(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)．
∵∠PDC是△ABD的一个外角(外角的定义)，
∴∠PDC＞∠A(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)．
∴∠BPC＞∠A.
活动2 跟踪训练
1．如图，在△ABC中，点D在CB的延长线上，∠A＝70°，∠ABD＝120°，则∠C等于(B )
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
2．若三角形的一个外角等于和它相邻的内角，则这个三角形是(B)
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．都有可能
3．如图，∠1，∠2，∠3的大小关系为(D)
A．∠2＞∠1＞∠3 B．∠1＞∠3＞∠2
C．∠3＞∠2＞∠1 D．∠1＞∠2＞∠3
4．如图，在△ABC中，∠A＝63°，直线MN∥BC，且分别与AB，AC相交于点D，E，若∠AEN＝133°，则∠B的度数为70°．
活动3 课堂小结
1．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
2．三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
《平行线的证明》专题专练
第七章平行线的证明专题专练 专题一定义与命题 一、知识要点 1.定义：对术语和名称的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义.如“两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离的定义. 2.命题：判断一件事情的句子叫做命题，每个命题都是由条件和结论两部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项推断出的事项.命题一般写成“如果……，那么……”的形式，“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论. 3.真命题、假命题与反例 真命题：正确的命题称为真命题. 假命题：不正确的命题称为假命题. 反例：要说明一个命题是假命题，通常可以举出一二例子，使之具有命题的条件，而不具有命题的结论，这个例子称为反例. 4.公理、定理、证明 公理：人们公认的真命题称为公理. 定理：经过证明了的真命题称为定理. 证明：推理的过程称为证明. 二、考点分析：该考点主要涉及命题的概念和命题的结构形式、判断命题的真假等. 多以选择题的形式出现，以判断真假命题类型题为主要考点. 三、复习策略：应结合具体实例来理解命题的定义，体会寻找命题的题设和结论的常用方法----将命题改写成“如果……，那么……”的形式，能举反例说明一个命题是假命题，能利用推理的方法证明一个命题是真命题等. 四、典例分析
例1 判断下列语句是不是命题，如果是命题，是真命题还是假命题？ （1）两点之间，线段最短；（2）作线段AB=CD；（3）你今天上数学课了吗？（4）熊猫没有翅膀；（5）对于角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形. 解析：判断一个句子是否为命题需抓住两点：（1）命题必须是一个完整的语句，且是陈述句，不是疑问句、祈使句；（2）要对事情作出判断.根据这两条可知（2）、（3）不是命题，（1）、（4）、（5）是命题，且都是真命题. 例2 写出下列命题的条件和结论. （1）如果一个三角形中有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形. （2）对顶角相等. 解析：（1）命题一般写成“如果A，那么B”的形式，A部分为条件，B部分为结论，所以（1）中的条件“一个三角形中有两条边相等”，结论为“这个三角形是等腰三角形”. （2）对于命题本身不含“如果”，“那么”词语，此时需将其改写成“如果……，那么……”的形式，再找条件和结论，便不易错，所以（2）中可改成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，故条件为“两个角是对顶角”，结论为“这两个角相等”. 专题练习一 1.把“垂线段最短”改写成“如果……，那么……”的形式是________. 2.下列语句中，不是命题的是（） A.直角都相等 B.如果ab=0，那么a=0 C.不是对顶角的两个角相等 D.连接两点A、B 3.下列命题中，是真命题是是（） A.互补的两角若相等，则此两角都是直角 B.直线是平角 C.不相交的两条直线叫平行线 D.和为180°的两个角叫邻补角 4.下列命题中，是真命题的是（）
平行线的性质教学设计
平行线的性质（一）教学设计 一、教学内容解析 《相交线与平行线》是人教版义务教育课程标准试验教科书《数学》七年级下册的第一章，是初一学生在学习了《图形认识初步》后第二次学习几何。它包括五大块内容：一是相交线；二是平行线及其判定；三是平行线的性质；四是平移。前三节主要讨论平面内两条直线的位置关系，第四节是有关平移变换的内容。本章内容都是从实际问题出发，引导学生自己多观察、多动手、勤思考，结合当地特点的一些问题，抽象出隐含在这些实际问题中的数学问题，引入本章要学习的相关内容。通过对数学问题的研究，学习有关的数学概念和方法，并利用所学知识解决更多的实际问题，体现具体——抽象——具体的过程，培养学生学习数学的兴趣，提高他们应用所学知识解决问题的能力。 本堂课是在学生学习和掌握了平行线的判定的基础上，研究平行线的性质，它既包含了相交线的内容又包含了平行线的内容。平行线的性质和判定既有联系也有区别，联系在于它们研究的对象都是平行线和角的关系，区别在于它们的题设和结论刚好交换，是一个互逆的命题，这种结构关系也为我们将来学习其它几何图形的性质和判定提供了范例，包括一些特殊三角形的性质与判定，平行四边形的性质和判定等等。因此，平行线的性质既是平行线的判定的逆用, 又是将来学习几何图形性质与判定的重要基础，在本章中具有举足轻重的地位和作用。另外，平行线的性质与现实世界中的联系也很紧密，如本节课例题“梯形残片”的问题等，通过学习可以把所学知识和实际联系起来，更好地为实现生产实际服务。 这节课以学生为主体，通过学生自己的观察、建模、操作、讨论得到平行线的性质，并加以说明和验证.锻炼学生的观察能力，动手能力和思维能力，提高学生的分析能力，增强学习数学的兴趣。 二、教学目标设置 本节课内容的数学本质是平行线性质的探究与应用。依据课程标准的要求和我所任教班级学生的实际情况，我制定了一下教学目标： （一）、知识目标：
2020年平行线的有关证明单元测试题
2020年平行线的有关证明单元测试题 时间: 120分钟满分:120分姓名: 一、选择题：（共12个小题，每小题4分，共48分） 1．下列命题中，是真命题的是（） A．两直线被第三条直线所截，截得的同位角相等 B. 两直线被第三条直线所截，截得的内错角相等 C．两直线被第三条直线所截，截得的同旁内角相等 D．垂直于同一直线的两条直线平行 2．如图1，直线AC∥BD，AO，BO分别是∠BAC、∠ABD的平分线，那么下列结论错误的是 ( ) A．∠BAO与∠CAO相等B．∠BAC与∠ABD互补 C．∠BAO与∠ABO互余D．∠ABO与∠DBO不等 3．下列条件能判断直线a∥b的是（） A．∠1=∠2 B．∠4=∠2 C. ∠3=∠4 D．∠1=∠3 4．如图3，△ABC中，AB＞AC，∠CAD为△ABC的外角，观察图中尺规作图的痕迹， 则下列结论错误的是（） A．∠DAE=∠B B．∠EAC=∠C C．AE∥BC D．∠DAE=∠EAC 5．已知a∥b，一块含30°角的直角三角板如图4所示放置，∠2=45°，则∠1等于（）A．100°B．135° C．155° D．165°
6．下列命题是真命题的是（） A．相等的角一定是同位角 B．互补的角一定是同旁内角 C．同位角一定相等 D．平行线于同一直线的两直线平行 7．如图5，直线AB∥CD，∠A=70°，∠C=40°，则∠E等于（）A．30° B．40°C．60°D．70° 8．如图6所示，已知AB∥CD，则下列结论正确的是（） A．∠A =∠D B．∠A =∠B C．∠A +∠1=180° D．∠DFA=∠D 9．下列说法中，正确的是（） A．两直线被第三条直线所截，截得的同位角相等 B．对顶角相等，两直线平行 C．两直线平行，内错角互补 D．和平行线中的一条直线垂直的直线，必垂直另一条 10．如图7，已知AB∥CD，∠A=50°，∠C=30°，则∠AEC等于（）A．20°B．50° C．80° D．100°
平行线证明题
第一篇：平行线证明题 平行线证明题 直线ab和直线cd平行 因为,∠aef=∠efd.所以ab平行于cd 内错角相等，两直线平行 em与fn平行因为em是∠aef的平分线,fn是∠efd的平分线,所以角mef=1/2角aef,角efn=1/2角efd 因为,∠aef=∠efd，所以角mef=角efn 所以em与fn平行，内错角相等，两直线平行 2 第五章相交线与平行线试卷 一、填空题： 1、平面内两条直线的位置关系可能是或。 2、“两直线平行，同位角相等”的题设是，结论是。 3、∠a和∠b是邻补角，且∠a比∠b大200，则∠a=度，∠b=度。 4、如图1，o是直线ab上的点，od是∠cob的平分线，若∠aoc=400，则 ∠bod= 0。 5、如图2，如果ab‖cd，那么∠b+∠f+∠e+∠d=0。 6、如图3，图中abcd-是一个正方体，则图中与bc所在的直线平行的直线有条。 7、如图4，直线‖，且∠1=280，∠2=500，则∠acb=0。 8、如图5，若a是直线de上一点，且bc‖de，则∠2+∠4+∠5=0。 9、在同一平面内，如果直线‖，‖，则与的位置关系是。 10、如图6，∠abc=1200，∠bcd=850，ab‖ed，则∠cde0。 二、选择题：各小题只有唯一一个正确答案，请将正确答案的代号填在题后的括号内 11、已知：如图7，∠1=600，∠2=1200，∠3=700，则∠4的度数是 a、700 b、600 c、500 d、400 12、已知：如图8，下列条件中，不能判断直线‖的是 a、∠1=∠3 b、∠2=∠3 c、∠4=∠5 d、∠2+∠4=1800 13、如图9，已知ab‖cd，hi‖fg，ef⊥cd于f，∠1=400，那么∠ehi= a、400 b、450 c、500 d、550 14、一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角 a、相等 b、相等或互补 c、互补 d、不能确定
平行线证明教学设计
第七章 平行线的证明 导学案 1、为什么要证明 一、读一读 学习目标： 1、对由观察、归纳等过程所得的结论进行思考、质疑，认识证明的必要性，培养推理意识； 2、体会检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理等。 二、试一试 自学指导： 1、大胆猜想: 如教材P162提出的问题 2、某学习小组发现，当n=0,1,2,3时，代数式n 2-n+11的值都是质数，于是得到结论：对于所有自然数n, n 2-n+11的值都是质数。你认为呢？ 由此可知：要判断一个数学结论是否正确，仅靠经验、观察或实验是不够的， 必须有根有据地进行推理。 三、练一练 A1、请在教材上完成P163随堂练习1、2；P164数学理解1 A2、当n 为正整数时，132++n n 的值一定是质数吗？ n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 … n 2-n+11 是否是质数
A3、八（1）班有39位同学，他们每人将自己的学号作为n 的取值（n=1，2，3，…39）代入式子412++n n ，结果发现式子412++n n 的值都是质数，于是 他们猜想：“对于所有的自然数，式子412++n n 的值都是质数。”你认为这个 猜想正确吗？验证一下n=40的情形。 B1、给出教材P164数学理解3问题的结论，你能用理由肯定自己的结论吗？ B2、阅读P163“读一读” 班级 小组 姓名 小组评价 教师评价 2 定义与命题（1） 一、读一读 学习目标：了解定义、命题的含义；会判断某些语句是不是命题。 二、试一试 自学指导： 1、研读教材P165-166完成下列问题： （1）什么是定义？ 定义： 。 （2）如右图某地的一个灌溉系统 如果B 处水流受到污染，那么 处水流便受到污染； 如果C 处水流受到污染，那么 处水流便受到污染； 如果D 处水流受到污染，那么 处水流便受到污染；
平行线证明难题
第二章 平行线的性质和判定拔高训练 1.(1) 如图1所示,把一个长方形纸片沿ＥF 折叠后,点Ｄ,C 分别落在'D ,' C 的位置.若∠EF Ｂ ＝６5°，则'AED 等于_＿_＿______． (2) 如图2所示，ＡD ∥EF ，ＥF ∥ＢC ,且EG ∥ＡC ．那么图中与∠１相等的角(不包括∠１)的个数是_______＿__. (3）如图3所示，ＡB ∥C Ｄ，直线AB ，CD 与直线ｌ相交于点Ｅ，Ｆ,EG 平分∠ＡE Ｆ，ＦH 平分∠EFD ,则ＧE 与ＦH 的位置关系为________＿_． 2.如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，且其中一个角比另一个角的4倍少3０°，那么这两个角分别是( ) A .3０°和１５0°? ? B ．４２°和13８°? C ．都等于10° ?? ? ? D ．42°和138°或都等于10° 3．如图所示，点Ｅ在CA 延长线上，ＤE 、ＡＢ交于点F ,且∠BDE =∠AEF ,∠B =∠Ｃ, ∠EFA 比∠FDC 的余角小10°,Ｐ为线段DC 上一动点，Q 为ＰC 上一点，且满足∠FQP =∠QFP ,F Ｍ为∠ＥF Ｐ的平分线．则下列结论：①AB ∥CD ,②FQ 平分∠ＡFP ,③∠Ｂ＋∠E ＝140°，④∠Q ＥM 的角度为定值.其中正确的结论有( )个数 Ａ.１????B.2????C ．3 ?Ｄ．4 4．如图所示,AB ∥EF ，E Ｆ∥ＣＤ,E Ｇ平分∠ＢＥF ,∠B +∠BED ＋∠Ｄ=１92°, ∠Ｂ-∠D =24°,则∠GEF =＿_＿____＿_＿. 5．已知:如图所示,ＡD ⊥B Ｃ于点D ，E Ｇ⊥BC 于点G ,∠E =∠3．求证:AD 平分∠B ＡC ．
相交线与平行线全章教案
第五章相交线与平行线 5.1.1相交线 教学目标：1．理解对顶角和邻补角的概念，能在图形中辨认． 2．掌握对顶角相等的性质和它的推证过程． 3.通过在图形中辨认对顶角和邻补角，培养学生的识图能力． 重点：在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角． 难点：在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角． 教学过程 一、创设情境，引入课题 先请同学观察本章的章前图，然后引导学生观察，并回答问题． 学生活动：口答哪些道路是交错的，哪些道路是平行的． 教师导入：图中的道路是有宽度的，是有限长的，而且也不是完全直的，当我们把它们看成直线时，这些直线有些是相交线，有些是平行线．相交线、平行线都有许多重要性质，并且在生产和生活中有广泛应用．所以研究这些问题对今后的工作和学习都是有用的，也将为后面的学习做些准备．我们先研究直线相交的问题，引入本节课题． 二、探究新知，讲授新课 1．对顶角和邻补角的概念 学生活动：观察上图，同桌讨论，教师统一学生观点并板书． 【板书】∠1与∠3是直线AB、CD相交得到的，它们有一个公共顶点O，没有公共边，像这样的两个角叫做对顶角． 学生活动：让学生找一找上图中还有没有对顶角，如果有，是哪两个角？ 学生口答：∠2和∠4再也是对顶角． 紧扣对顶角定义强调以下两点： （1）辨认对顶角的要领：一看是不是两条直线相交所成的角，对顶角与相交线是唇齿相依，哪里有相交直线，哪里就有对顶角，反过来，哪里有对顶角，哪里就有相交线；二看是不是有公共顶点；三看是不是没有公共边．符合这三个条件时，才能确定这两个角是对顶角，只具备一个或两个条件都不行．（2）对顶角是成对存在的，它们互为对顶角，如∠1是∠3的对顶角，同时，∠3是∠1的对顶角，也常说∠1和∠3是对顶角． 2．对顶角的性质 提出问题：我们在图形中能准确地辨认对顶角，那么对顶角有什么性质呢？ 学生活动：学生以小组为单位展开讨论，选代表发言，井口答为什么．【板书】∵∠1与∠2互补，∠3与∠2互补（邻补角定义）， ∴∠l＝∠3（同角的补角相等）．
第七章《平行线的证明》单元测试(含答案)
第七章平行线的证明单元测试 一、单选题（共10题；共30分） 1、如图,△A BC中，∠A CB=90°, ∠A=30°，A C的中垂线交A C于E.交A B于D，则图中60° 的角共有( ) A、6个 B、5个 C、4个 D、3个 2、下列说法中正确的是( ) A、原命题是真命题,则它的逆命题不一定是真命题 B、原命题是真命题,则它的逆命题不是命题 C、每个定理都有逆定理 D、只有真命题才有逆命题 3、下列命题是假命题的是( ) A、-如果a∥b，b∥c，那么a∥c B、锐角三角形中最大的角一定大于或等于60° C、两条直线被第三条直线所截，内错角相等; D、矩形的对角线相等且互相平分 4、如图，在梯形A BCD中，A B∥CD，A D=DC=CB，若，则 A、130° B、125° C、115° D、50° 5、如图，A B∥CD，∠D=∠E=35°，则∠B的度数为（）
A、60° B、65° C、70° D、75° 6、下列条件中，能判定△A BC为直角三角形的是（） A、∠A=2∠B=3∠C B、∠A+∠B=2∠C C、∠A=∠B=30° D、∠A=∠B=∠C 7、下列四个命题，其中真命题有（） （1）有理数乘以无理数一定是无理数； （2）顺次联结等腰梯形各边中点所得的四边形是菱形； （3）在同圆中，相等的弦所对的弧也相等； （4）如果正九边形的半径为a，那么边心距为a?sin20°． A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 8、下列命题： ①等腰三角形的角平分线、中线和高重合，②等腰三角形两腰上的高相等； ③等腰三角形的最小边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等； ⑤等腰三角形都是锐角三角形． 其中正确的有（） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 9、下列命题中，真命题是（） A、周长相等的锐角三角形都全等 B、周长相等的直角三角形都全等 C、周长相等的钝角三角形都全等 D、周长相等的等腰直角三角形都全等 10、如图，将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数为（）
相交线平行线证明格式专题训练
古符离初中七年级数学专题复习 相交线平行线证明格式专题训练 1．如图， （1）∵∠A=_________（已知） ∴AC∥ED（_________） （2）∵∠2=_________（已知） ∴AC∥ED（_________） （3）∵∠A+_________=180°（已知） ∴AB∥FD（_________） （4）∵AB∥_________（已知） ∴∠2+∠AED=180°（_________） （5）∵AC∥_________（已知） ∴∠C=∠1（_________） 2．如图，已知AD∥BC，∠1=∠2，要证∠3+∠4=180°，请补充完整证明过程，并在括号内填上相应依据：∵AD∥BC（已知）， ∴∠1=∠3（_________）， ∵∠1=∠2（已知）， ∴∠2=∠3（_________）， ∴BE∥DF（_________）， ∴∠3+∠4=180°（_________）． 3．完成下面推理过程： 如图，已知∠1=∠2，∠B=∠C，可推得AB∥CD．理由如下： ∵∠1=∠2（已知）， 且∠1=∠CGD（_________）， ∴∠2=∠CGD（等量代换）． ∴CE∥BF（_________）． ∴∠_________=∠C（_________）． 又∵∠B=∠C（已知）， ∴∠_________=∠B（等量代换）． ∴AB∥CD（_________）． 4．如图，点E在直线DF上，点B在直线AC上，若∠AGB=∠EHF，∠C=∠D． 则∠A=∠F，请说明理由． 解：∵∠AGB=∠EHF_________ ∠AGB=_________（对顶角相等） ∴∠EHF=∠DGF ∴DB∥EC_________ ∴∠_________=∠DBA （两直线平行，同位角相等） 又∵∠C=∠D ∴∠DBA=∠D ∴DF∥_________（内错角相等，两直线平行） ∴∠A=∠F_________． 5．填空并完成以下证明： 已知，如图，∠1=∠ACB，∠2=∠3，求证：∠BDC+∠DGF=180°． 证明：∵∠1=∠ACB（已知） ∴DE∥BC （_________） ∴∠2=∠DCF （_________） ∵∠2=∠3（已知） ∴∠3=∠DCF （_________） ∴CD∥FG（_________）
第七章平行线的证明全章教案
第七章平行线的证明 1．为什么要证明 一、学生知识状况分析 学生的技能基础：在七年级和八年级上学生学习了很多与几何相关的知识，为今天的进一步的学习作好了知识储备，同时，学生也经历了很多验证结论合理性的过程，有了初步的逻辑推理思维，合情推理能力得到了很大的提高，为今天系统的培养学生严谨的逻辑推理能力打下了良好的基础． 学生活动经验基础：在以往的几何学习中，学生已经参与了对几何图形的观察、比较、动手操作、猜测、归纳等活动，对今天本节课的分组讨论、自主探究等活动有很大的帮助． 二、教学任务分析 学生的直观能力是数学教学中要培养的一个方面，但如果学生仅有对图形的直观感受而不能进行推理、论证，有时是会产生错误的结论，本课时安排《你能肯定吗》的教学是让学生的直观感受与实际结果之间产生思维上的碰撞，从而使学生对原有的直观感觉产生怀疑，从而确立对某一事物进行合理论证的必要性。因此，本课时的教学目标是： 1.运用实验验证、举反例验证、推理论证等方法来验证某些问题的结论正确与否． 2.经历观察、验证、归纳等过程，使学生对由这些方法所得到的结论产生怀疑，以此激发学生的好奇心，从而认识证明的必要性，培养学生的推理意识． 3.了解检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理论证等． 三、教学过程分析 本节课的教学思路为：验证活动（1）——猜想并验证活动（2）——猜想并验证活动（3）——经验总结——学生练习——课堂小结——巩固练习
第一环节：验证活动（1） 活动内容： 某学习小组发现，当n=0，1，2，3时，代数式n 2-n+11的值都是质数，于 是得到结论：对于所有自然数n ， n 2-n+11的值都是质数．你认为呢？与同伴交 流． 参考答案：列表归纳为 活动目的： 对现在结论进行验证，让学生感受到知识有时具有一定的迷惑性（欺骗性）， 从而对不完全归纳的合理性产生怀疑，为下一步的学习提供必要的精神准备． 注意事项： 学生通过列表归纳，根据自己以往的经验判断，在n=10以前都一直认为 n 2-n+11是一个质数，但当n=10时，找到了一个反例，进而发现不能根据少数几 个现象轻易肯定某个数学结论的正确性． 第二环节：猜想并验证活动（2） 活动内容： 如图，假如用一根比地球的赤道长1米的铁丝将地球赤道围 起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大（把地球看成球 形）？能放进一个红枣吗？能放进一个拳头吗？ 参考答案：设赤道周长为c ，铁丝与地球赤道之间的间隙为 ： )(16.021221m c c ≈=-+π ππ 它们的间隙不仅能放进一个红枣，而且也能放进一个拳头． 活动目的： 通过理性的计算，验证了很难想像到的结论，让学生产生思维上的碰撞，进 而对自己的直观感觉产生怀疑，再次为论证的合理性提供素材．
七年级数学下册第二章相交线与平行线教案(新版)北师大版
相交线与平行线 2.3.1平行线的性质 【教学目标】 知识与技能 1.探索并掌握平行线的性质，能用平行线性质进行简单的推理和计算． 2.能区分平行线的性质和判定，平行线的性质与判定的综合运用 过程与方法 通过本节课的教学，培养学生的概括能力和“观察－猜想－证明”的探索方法，培养学生的辩证思维能力和逻辑思维能力． 情感、态度与价值观 1.通过推理论证教学，培养学生的分析问题和解决问题的能力 2.培养学生的主体意识，向学生渗透讨论的数学思想，培养学生思维的灵活性和广阔性．【教学重难点】 重点: 平行线性质的研究和发现过程；用平行线性质进行简单的推理和计算. 难点: 正确区分平行线的性质和判定 【导学过程】 【知识回顾】 我们学了哪些判定平行的方法? 【情景导入】 用直尺和三角尺画出两条平行线a∥b，再画一条截线c与直线a、b相交，标出所形成的八个角． 【新知探究】 探究一、平行线性质 1、探索活动：完成教材52页探究 2、观察思考：教材52页思考 3、归纳性质： 同位角。 两条平行线被第三条直线所截，。 。 ∵a∥b（已知） 同位角。∴∠1＝∠5（两直线平行，同位角相等） ∵a∥b（已知） 简单说成：两直线平行。∴∠3＝∠5（） ∵a∥b（已知） 。∴∠3＋∠6＝180°（） 探究二、证明性质： 1、性质1→性质2：如右图，∵a∥b（已知）
∴∠1＝∠2（） 又∵∠3＝∠1（对顶角相等）。 ∴∠2＝∠3（等量代换）。 2、性质1→性质3：如右图，∵a∥b（已知） ∴∠1＝∠2（） 又∵（）。 ∴。 探究三、例 探究四、比一比:平行线的判定与性质有什么不同? 已知得到 【知识梳理】 本节课你学到了什么？有什么收获和体会？还有什么困惑？ 1．______叫两直线平行。 2．同位角______两直线平行，两直线_____同位角相等。 3．内错角_____两直线平行，两直线_____内错角相等。 4．同内角_____两直线平行，两直线_____同内角平行。 5．平行线的性质和判定方法的关系是_______________。 【随堂练习】 1.教材20页练习1、2 2.如图:已知∠ADE=60·∠B=60·∠AED=40· 求证(1)DE∥BC (2) ∠C的度数 3 . 3.如图:已知∠1=∠2 求证∠BAD+∠D=180· 中国书法艺术说课教案 今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。
7.1——7.4《第七章平行线的证明》单元测试题
《第七章平行线的证明》周测卷 一、填空题 1、把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式 2、命题“等角的余角相等”的条件是___ _____，结论是______ _____， 它是____（真或假）命题. 3、如图所示，∠1+ ∠2=180°，若∠3=50°，则∠4= 。 4、在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点I, 若∠A=60°，则∠BIC= 。 5、如图，已知AB ∥CD ，BC ∥DE ，那么∠B +∠D =__________. 6、如图，已知AB ∥CD ，若∠ABE =130°,∠CDE =152°,则∠BED =__________. 3题图 5题图 6题图 7、如图，AD 、BE 、CF 为△ABC 的三条角平分线，则：∠1+∠2+∠3=________。 7题图 8题图 9题图 10题图 8、如图，已知∠1 = 20°，∠2 = 25°，∠A = 35°，则∠BDC 的度数为 。 9、如图，把长方形ABCD 沿EF 对折，若∠1=70°，则∠AEF 的度数等于 ° 10．如图，AB ∥CD,直线EF 分别交AB 、CD 于E 、F ，EG 平分∠BEF ，若∠1=72o，则∠2= ° ； 二、选择题 1、下列语句为命题的有（ ）A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 ①你吃过午饭了吗？ ②过点A 作直线MN ③同角的余角相等 ④红扑扑的脸蛋⑤画两条相等的线段 ⑥等于同一个角的两个角相等吗？⑦延长线段AO 到C ，使OC=OA ⑧两直线平行，内错角相等. 2、下列命题是真命题的是（ ） A 、同旁内角互补 B 、直角三角形的两锐角互余 C 、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D 、两点之间直线最短 3、命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是（ ） A 、垂直 B 、两条直线 C 、同一条直线 D 、两条直线垂直于同一条直线 4、已知△ABC 的三个内角度数比为2∶3∶4，则个三角形是（ ） A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、等腰三角形 5、下列语句错误的是（ ）A.同角的补角相等 B.同位角相等 C.平行于同一条直线的两直线平行 D.两条直线相交只有一个交点 6、下列命题中，属于定义的是( ) A.两点确定一条直线 B. 点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度 C.两直线平行，内错角相等 D. 同角或等角的余角相等
平行线的证明
平行线的证明 1、平行线的判断 公理：同位角相等，两直线平行． 定理：同旁内角互补，两直线平行； 内错角相等，两直线平行． 推理：平行于同一直线的两直线平行； 垂直于同一直线的两直线平行． 2、平行线的特征 公理：两直线平行，同位角相等． 定理：两直线平行，内错角相等； 两直线平行，同旁内角互补． 典题精炼 1、定义与命题 【例1】下列语句是命题的是（） A．作直线AB的垂线 B．在线段AB上取点C C．同旁内角互补 D．垂线段最短吗？ 【变式练习1】下列语句不是命题的是（） A．相等的角不是对顶角 B．两直线平行，内错角相等C．两点之间线段最短D．过点O作线段MN的垂线【变式练习2】下列说法中，错误的是（） A．所有的定义都是命题 B．所有的定理都是命题
C．所有的公理都是命题D．所有的命题都是定理 【例2】下列命题中，属于假命题的是（） A．若a⊥c，b⊥c，则a⊥b B．若a∥b，b∥c，则a∥c C．若a⊥c，b⊥c，则a∥b D．若a⊥c，b∥a，则b⊥c 【变式练习1】“一次函数y=kx-2，当k>0时，y随x的增大而增大”是一个_______命题（填“真”或“假”）． 【变式练习2】下列命题为假命题的是（） A．三角形三个内角的和等于180° B．三角形两边之和大于第三边C．三角形两边的平方和等于第三边的平方 D．三角形的面积等于一条边的长与该边上的高的乘积的一半 【例3】命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是（）A．垂直B．两条直线 C．同一条直线 D．两条直线垂直于同一条直线 【变式练习1】把“同旁内角互补，两直线平行”写成“如果，那么”． 【变式练习2】在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，CM、FN分别是AB、DE边上的中线，再从以下三个条件①AB=DE，②AC=DF，③CM=FN中任取两个条件做为条件，另一个条件做为结论，能构成一个真命题，那么题设可以是，结论是．（只填序号） 【例4】对于命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（） A．∠1=50°，∠2=40°B．∠1=50°，∠2=50° C．∠1=∠2=45°D．∠1=40°，∠2=40°
北师大版第七章《平行线的证明》为什么要证明_教学设计
第七章平行线的证明 §7.1为什么要证明 一、教学内容分析 北师大版第七章《平行线的证明》本章内容是根据一些基本事实推出其他结论的过程，证明平行线的性质及判定的一些有关结论，证明三角形内角和定理，还将讨论三角形的内角与外角的关系．也就是进入几何严谨证明的学习，而作为本章的第一节内容《为什么证明》从内容设置上来说引入思考，而我从内容上重新做出编排由代数到几何从直观的猜测到严格的计算证明，利用教学资源配合学生活动（e-world，几何画板，电子白板，网络资源）重新整合，落实每一个教学目标． 二、学生知识状况分析 学生的技能基础：在七年级时学生学习了与几何相关的知识，为今天的进一步的学习作好了知识储备，本课程的教学对象是八年级学生，学生具备一定数学知识储备，不难掌握基础知识．学生有一定的计算、几何说明基础，形象思维能力强，逻辑思维需发展，所以在本课程中经历观察、归纳、验证等活动过程，在活动中体会观察、归纳、实验所得未必可靠，初步感受证明必要性，发展学生推理意识．同时，学生也经历了很多验证结论合理性的过程，有了初步的逻辑推理思维，合情推理能力得到了很大的提高，为今天系统的培养学生严谨的逻辑推理能力打下了良好的基础． 学生活动经验基础：在代数方面有一定的计算基础，如整式的运算。在以往的几何学习中，学生已经参与了对几何图形的观察、比较、动手操作、猜测、归纳等活动，对今天本节课的讨论、自主探究等活动有很大的帮助． 三、教学任务分析 学生的直观能力是数学教学中要培养的一个方面，但如果学生仅有对图形的直观感 受而不能进行推理、论证，有时是会产生错误的结论，本课时安排《为什么要证明》的 教学是让学生的直观感受与实际结果之间产生思维上的碰撞，从而使学生对原有的直观 感觉产生怀疑，从而确立对某一事物进行合理论证的必要性．因此，本课时的教学目标 是： 1．知识与技能：了解检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理论证等，去明确的说明一个结论的正确与否。 2．过程与方法：经历观察、验证、归纳等过程，在活动中体会到观察、实验、归纳所得到的结论未必可靠，初步感受证明的必要性，发展学生的推理意识．依托网站资
平行线的证明教学设计
第七章 平行线的证明 7．1 为什么要证明 1．体会观察、猜测得到的结论不一定正确． 2．初步了解数学中推理的重要性，了解要判定一个数学结论正确与否，需要进行有根有据的推理．(重点) 阅读课本P162～163的内容，完成预习内容． (一)知识探究 实验、观察、归纳得到的结论不一定正确．因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的证明． (二)自学反馈 观察右图，左图中间的圆圈大还是右图中间的圆圈大？请你先观察，再用直尺验证一下． 解：一样大． 活动1 小组讨论 例1 有人认为，对于所有自然数n ，代数式n 2 －n ＋11的值都是质数．你怎么看待这个结论？ 同学们试着做一做： (1)当n ＝0，1，2，3，4，5时，代数式n 2 －n ＋11的值是质数还是合数？ (2)是否说明：对于所有自然数n ，代数式n 2 －n ＋11的值都是质数呢？与同伴讨论交流． 解：(1)当n ＝0时，n 2 －n ＋11＝11； 当n ＝1时，n 2 －n ＋11＝11； 当n ＝2时，n 2－n ＋11＝13；当n ＝3时，n 2 －n ＋11＝17； 当n ＝4时，n 2－n ＋11＝23；当n ＝5时，n 2 －n ＋11＝31. 由此可知：当n ＝0，1，2，3，4，5时，代数式n 2 －n ＋11的值都是质数． (2)由(1)我们可以得到：当n ＝0，1，2，3，4，5时，代数式n 2 －n ＋11的值都是质数．但当我们继续往后计算， 计算到n ＝11时，n 2－n ＋11＝121，此时为合数．所以“对于所有自然数n ，代数式n 2 －n ＋11的值都是质数”这种说法是错误的． 例2 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，连接DE.DE 与BC 有怎样的位置关系和数量关系？请你先猜一猜，再设法检验你的猜想．你能肯定你的结论对所有的△ABC 都成立吗？ 解：通过测量猜想DE ∥BC ，DE ＝1 2BC.通过改变三角形的形状，在不同的三角形中再次得到验证，因而较为相信这个 结论的正确性；但毕竟是测量结果，测量难免有误差，因此难以令人信服，还需要寻找更为可信的证明． 活动2 跟踪训练 1．我们知道：2×2＝4，2＋2＝4. 试问：对于任意数a 与b ，是否一定有结论a ×b ＝a ＋b? 解：3×2＝6，而3＋2＝5， 因为6≠5， 所以不是任意数a 与b ，都有结论a ×b ＝a ＋b. 2．已知n 是正整数，你能肯定2n ＋4－2n 一定是30的倍数吗？为什么？ 解：2n ＋4－2n ＝2n (24－1)＝15×2n ，
初中数学 《平行线的证明》单元测试题
初中数学《平行线的证明》单元测试题 https://www.360docs.net/doc/235424687.html,work Information Technology Company.2020YEAR
2 七年级 第八章《平行线的证明》 一、 填空题 1．在△ABC 中，∠C =2（∠A +∠B ），则∠C =________. 2．如图，AB ∥CD ,直线EF 分别交AB 、CD 于E 、F ，EG 平分 ∠BEF ，若∠1=72o ，则∠2= ； 3．在△ABC 中，∠BAC ＝90o，AD ⊥BC 于D ，则∠B 与∠DAC 的大小关系是________ 4．写出“同位角相等，两直线平行”的题设为_______，结论为_______． 第2题 5．如图，已知AB ∥CD ，BC ∥DE ，那么∠B +∠D =__________. 6．如图，∠1＝27o，∠2＝95o，∠3＝38o，则∠4＝_______ 7．如图，写出两个能推出直线AB ∥CD 的条件________________________. 8．满足一个外角等于和它相邻的一个内角的△ABC 是_____________ 二、 选择题 9．下列语句是命题的是 【 】 (A)延长线段AB (B)你吃过午饭了吗 (C)直角都相等 (D)连接A ，B 两点 10．如图，已知∠1＋∠2＝180o，∠3＝75o， 那么∠4的度数是 【 】 (A)75o (B)45o (C)105o (D)135o 11．以下四个例子中,不能作为反例说明“一个角的余角大于这个角” 是假命题是 【 】 (A)设这个角是30o，它的余角是60°，但30°<60° (B)设这个角是45°，它的余角是45°，但45°＝45° (C)设这个角是60°，它的余角是30°，但30°<60° (D)设这个角是50°，它的余角是40°，但40°<50° 12．若三角形的一个内角等于另外两个内角之差，则这个三角形是 【 】 (A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)不能确定 13．如图，△ABC 中，∠B =55°,∠C =63°,DE ∥AB , 则∠DEC 等于【 】 （A ）63° (B) 118° (C) 55° （D ）62° 14．三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是 【 】 （A ）锐角三角形 (B)钝角三角形 (C)直角三角形 （D ）无法确定 三、解答题 15．如图，AD=CD ，AC 平分∠DAB ，求证DC ∥AB . 16．如图，已知∠1＝20°，∠2＝25°，∠A =55°，求∠BDC 的度数． 17．如图，BE ，CD 相交于点A ，∠DEA 、∠BCA 的平分线相交于F . （1）探求：∠F 与∠B 、∠D 有何等量关系？ （2）当∠B ︰∠D ︰∠F =2︰4︰x 时，x 为多少？ C A B D E E C D B A 1 3 2 4 第5题 第6题 第7题 A B C D E F G 12 D A B C E C A B D 1 2 第10题
七年级平行线的证明练习题
七年级平行线的证明练习题(8) 1、已知∠1与∠2是对顶角，且∠1=30o，则∠2= 。 2、如果两个锐角的和是 ，则这两个角互为余角，如果两个角的和是 ，则这两个角互为补角。 3、若∠1=30o，则它的余角是 ，它的补角是 。 4、若∠1=50o，则它的余角是 ，它的补角是 。 5、若∠2=110o，则它的补角是 ，它的补角的余角是 。 6、若∠1与∠2互余，∠3和∠2互补，且∠3=120o，那么∠1= 。 7、在同一平面内，两条直线的位置关系有 和 两种。 8、平面内，过一点 一条直线与已知直线垂直。 9、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中， 最短。 10．如图，若直线a ，b 被直线c 所截，在所构成的八个角中指出，下列各对角之间是属于哪种特殊位置关系的角? (1)∠1与∠3是 ；(2)∠5与∠7是 _； (3)∠1与∠5是 ；(4)∠5与∠3是 ； (5)∠5与∠4是 ；(6)∠8与∠4是 ； (7)∠4与∠6是 _；(8)∠6与∠3是 ； (9)∠3与∠7是 ；(10)∠6与∠2是 _． 11、如图，∠1 =∠2=55°，∠3等于多少度？直线AB 、CD 平行吗？说明你的理由。 解：AB ∥CD. 理由：∵∠1=∠2=55° （已知） ∴∠3= = (对顶角相等） ∴∠1=∠3 （等量代换） ∴ ∥ （同位角相等，两直线平行） 12、如图，在△ABC 中，∠B=38°，∠C=62°，AD 是△ABC 的角平分线，求∠ADB 的度数。 13、如图所示。 (1) ∠1与 是同位角。 (2) ∠1与 是同旁内角。 (3) ∠1与 是内错角。 14、如图所示， （1）∵∠1=∠4 (已知) ∴ ∥ ( ) （2）∵∠2=∠4 (已知) ∴ ∥ ( ) （3）∵∠1+∠3=1800 (已知) ∴ ∥ ( ) 15、推理填空： （1）∵∠A =∠ （已知）， ∴AC∥ED （ ）； （2）∵∠2 =∠ （已知）， ∴AC∥ED （ ）； （3）∵∠A +∠ = 180°（已知）， ∴AB∥FD（ ）； （4）∵∠2 +∠ = 180°（已知）， ∴AC∥ED（ ）。
北师大版八年级数学上册 第七章 平行线的证明 单元测试题(有答案)
北师大版八年级数学上册第七章平行线的证明单元测试题 题号 一二三总分 得分 一、选择题（本大题共12小题，共36分） 1.下列语句中，是命题的为() A. 延长线段AB到C B. 垂线段最短 C. 过点O作直线a//b D. 锐角都相等吗 2.下列说法中①两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，②同一平面内的两条 不同直线，只有相交和平行两种位置关系，③有相同的顶点，且大小相等的两个角，称为对顶角，④一个角的补角一定比这个角的余角大，正确的个数有 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3.如图，直线a，b被直线c所截，下列条件不能判定直线a与 b平行的是() A. ∠1=∠3 B. ∠2+∠4=180° C. ∠1=∠4 D. ∠3=∠4 4. 6.如图，直线l1//l2，且分别与直线l交于C，D两点，把一块含30°角的三角尺按 如图所示的位置摆放，若∠1=50°，则∠2的度数为() A. 90° B. 100° C. 108° D. 110° 5.如图，直线AD//BC，若∠1=40°，∠BAC=80°，则∠2的 度数为() A. 70° B. 60° C. 50° D. 40° 6.已知a//b，一块含30°角的直角三角尺按如图所示的方式放 置，∠2=45°，则∠1的度数为() A. 100° B. 135° C. 155° D. 165° 第1页，共22页
7.如图，已知长方形ABCD沿BE折叠，点C恰好落在AD 边上的点F处，若∠ABF=50°，则∠CBE的度数为() A. 35° B. 30° C. 25° D. 20° 8.如图，直线a，b被直线c，d所截，若∠1=80°，∠2=100°， ∠3=85°，则∠4度数是() A. 80° B. 85° C. 95° D. 100° 9.一个三角形的两个内角分别为55°和65°，这个三角形的外角不可能是() A. 115° B. 120° C. 125° D. 130° 10.如图，在△ABC中，∠B=85°，∠ACB=45°，若CD//AB，则∠ACD 的度数为() A. 40° B. 45° C. 50° D. 60° 11.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=40°，AD是∠BAC的平 分线，则∠ADC的大小为() A. 25° B. 50° C. 65° D. 70° 12.两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角的平分线() A. 互相重合 B. 互相平行 C. 互相垂直 D. 无法确定 二、填空题（本大题共9小题，共27分） 13.把命题“平行于同一直线的两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式： ______． 14.如图，BD//EF，∠A=30°，∠B=40°，则 ∠E=°． 15.说明命题“若x>?4，则x2>16”是假命题的一个反例可以是_______． 16.一个三角形三个内角度数比为8：7：3，这个三角形是______ 三角形． 17.命题“相等的两个角是内错角”的逆命题是________命题．(填“真”或“假”)
八年级数学上册第七章平行线的证明4平行线的性质教案(新版)北师大版
八年级数学上册第七章平行线的证明4平行线的性质教案（新 版）北师大版 一、学生知识状况分析 学生技能基础：在学习本课之前，学生对平行线的性质已经比较熟悉，也有了初步的逻辑推理能力，特别是上一节课的学习，使学生对简单的证明步骤有了更为清楚的认识，这为今天的学习奠定了一个良好的基础． 活动经验基础：在以往的几何学习中，学生对动手操作、猜想、说理、讨论等活动形式比较熟悉，本节课主要采取学生分组交流、讨论等学习方式，学生已经具备必要的基础．二、教学任务分析 在以前的几何学习中，主要是针对几何概念、运算以及几何的初步证明（说理），在学生的头脑中还没有形成一个比较系统的几何证明体系，上一节课安排的《平行线的判定》和本节课安排的《平行线的性质》旨在让学生从简单的几何证明（平行线的判定与性质）入手，逐步形成一个更为清晰的证明思路，为此，本课时的教学目标是： 1.认识平行线的三条性质． 2.能熟练运用这三条性质证明几何题． 3.进一步理解和总结证明的步骤、格式、方法． 4.了解两定理在条件和结构上的区别，体会正逆的思维过程． 5. 进一步发展学生的合情推理能力，培养学生的逻辑思维能力． 三、教学过程分析 本节课的设计分为四个环节：情境引入——探索与应用——反馈练习——反思与 小结 第一环节：情境引入 活动内容： 一条公路两次拐弯后，和原来的方向相同，第一次拐的角 ∠B是130°，第二次拐的角∠C是多少度？ 说明：这是一个实际问题，要求出∠C的度数，需要我们研究与判定相反的问题，即已知两条直线平行，同位角、内错角、同旁内角有什么关系，也就是平行线的性质． 活动目的： 通过对一个实际问题的解决，引出平行线的性质．