解析几何第四版吕林根课后习题答案第三章
第三章 平面与空间直线
§ 平面的方程
1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程：
（1）通过点)1,1,3(1-M 和点)0,1,1(2-M 且平行于矢量}2,0,1{-的平面（2）通过点
)1,5,1(1-M 和)2,2,3(2-M 且垂直于xoy 坐标面的平面；
（3）已知四点)3,1,5(A ，)2,6,1(B ，)4,0,5(C )6,0,4(D 。求通过直线AB 且平行于直线CD 的平面，并求通过直线AB 且与ABC ?平面垂直的平面。 解： （1）Θ }1,2,2{21--=M M ，又矢量}2,0,1{-平行于所求平面， 故所求的平面方程为： 一般方程为：07234=-+-z y x
（2）由于平面垂直于xoy 面，所以它平行于z 轴，即}1,0,0{与所求的平面平行，又}3,7,2{21-=M M ，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为： 一般方程为：0)5(2)1(7=+--y x ，即01727=--y x 。 （3）（ⅰ）设平面π通过直线AB ，且平行于直线CD ： }1,5,4{--=，}2,0,1{-= 从而π的参数方程为：
一般方程为：0745910=-++z y x 。
（ⅱ）设平面π'通过直线AB ，且垂直于ABC ?所在的平面
∴ }1,5,4{--=AB ， }1,1,1{4}4,4,4{}1,1,0{}1,5,4{==-?--=?AC AB
均与π'平行，所以π'的参数式方程为： 一般方程为：0232=--+z y x . 2.化一般方程为截距式与参数式：
042:=+-+z y x π.
解： π与三个坐标轴的交点为：)4,0,0(),0,20(),0,0,4(--， 所以，它的截距式方程为：
14
24=+-+-z y x . 又与所给平面方程平行的矢量为：}4,0,4{},0,2,4{-，
∴ 所求平面的参数式方程为：
3.证明矢量},,{Z Y X =平行与平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为：
0=++CZ BY AX .
证明： 不妨设0≠A ，
则平面0=+++D Cz By Ax 的参数式方程为： 故其方位矢量为：}1,0,{},0,1,{A
C A B --，
从而v 平行于平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为：
，}1,0,{},0,1,{A
C
A B --
共面? ?
0=++CZ BY AX . 4. 已知连接两点),12,0(),5,10,3(z B A -的线段平行于平面0147=--+z y x ，求B 点的z 坐标.
解： Θ }5,2,3{z +-= 而平行于0147=--+z y x 由题3知：0)5(427)3(=+-?+?-z 从而18=z .
5. 求下列平面的一般方程.
⑴通过点()1,1,21-M 和()1,2,32-M 且分别平行于三坐标轴的三个平面; ⑵过点()4,2,3-M 且在x 轴和y 轴上截距分别为2-和3-的平面;
⑶与平面0325=+-+z y x 垂直且分别通过三个坐标轴的三个平面; ⑷已知两点()()1,2,4,2,1,321--M -M ,求通过1M 且垂直于21,M M 的平面; ⑸原点O 在所求平面上的正射影为()6,9,2-P ;
⑹求过点()1,5,31-M 和()2,1,42M 且垂直于平面0138=-+-z y x 的平面.
解:平行于x 轴的平面方程为00
1
011
112
=--+-z y x .即01=-z .
同理可知平行于y 轴,z 轴的平面的方程分别为01,01=-+=-y x z . ⑵设该平面的截距式方程为
132=+-+-c z y x ,把点()4,2,3-M 代入得19
24-=c 故一般方程为02419812=+++z y x .
⑶若所求平面经过x 轴，则()0,0,0为平面内一个点,
{}2,1,5-和{}0,0,1为所求平面的方位矢量,
∴点法式方程为00
1
215
000
=----z y x ∴一般方程为02=+z y .
同理经过y 轴,z 轴的平面的一般方程分别为05,052=-=+y x z x . ⑷{}2121.3,1,1M M --=M M →
垂直于平面π,
∴该平面的法向量{
}3,1,1--=→
n ,平面?通过点()2,1,31-M , 因此平面π的点位式方程为()()()02313=--+--z y x . 化简得023=+--z y x . (5) {}.6,9,2-=→
op
∴ .11
6
cos ,119cos ,112cos -===
?γβ 则该平面的法式方程为:.01111
6
119112=--+z y x
既 .0121692=--+z y x
（6）平面0138=-+-z y x 的法向量为{}3,8,1-=→
n ，{}1,6,121=M M ，点从()2,1,4
写出平面的点位式方程为01
6
1
381
214
=----z y x ，则,261
6
38-=-=
A
74282426,141
131,21
113-=++?-===
==
D C B ，
则一般方程,0=+++D Cz By Ax 即：.037713=---z y x 6．将下列平面的一般方程化为法式方程。 解：.3-=D Θ
∴将已知的一般方程乘上.30
1=
λ得法式方程
.030
330530
230
=-
+
-
z y x
()∴-
=∴=.2
1.12λD Θ将已知的一般方程乘上.2
1-=λ得法式方程
.02
12121=-
+
-y x
()∴-=∴=.1.2.3λD Θ将已知的一般方程乘上.1-=λ得法式方程.02=--x
().9
1.0.4±=∴=λD Θ即9
1=λ或9
1-=λ
将已知的一般方程乘上91=
λ或.91-=λ得法式方程为09
7
9494=+-z y x 或.09
7
9494=-+-
z y x 7．求自坐标原点自以下各平面所引垂线的长和指向平面的单位法矢量的方向余弦。
解：().71.35.1=-=λD 化为法式方程为057
67372=-++z y x 原点指向平面π的单位
法矢量为,76,73,72?
??
???=u 它的方向余弦为.7
6cos ,73cos ,72cos ===γβα原点o 到平
面π的距离为.5=-=D P λ
().3
1.21.2-==λD 化为法式方程为-073
23
23
1=--+-z y x 原点指向平面π的单位
法矢量为,32,3
2,310?
?????--=n 它的方向余弦为122
cos ,cos ,cos .333
αβγ=-==-原点o
到平面π的距离7.p D λ=-= 第20页
8．已知三角形顶点()()()0,7,0,2,1,1,2,2,2.A B C --求平行于ABC V 所在的平面且与她相距为2各单位的平面方程。
解：设,.AB a AC b ==u u u r r u u u r r 点()0,7,0.A -则{}{}2,6,1,2,9,2a b ==r r 写出平面的点位式方程
726102
9
2
x y z += 设一般方程0. 3.2,6,140.Ax By Cz D A B C D +++=∴====-< 则1
. 2.7
p D λλ==-=
相距为2个单位。则当4p =时28.D =-当0p =时0.D =
∴所求平面为326280.x y z -+-=和3260.x y z -+=
9．求与原点距离为6个单位，且在三坐标轴,ox oy 与oz 上的截距之比为
::1:3:2a b c =-的平面。
解：设,3,2.0.a x b x c x abc =-==≠∴Q 设平面的截距方程为 1.x y z a b c
++= 即.bcx acy abz abc ++= 又Q 原点到此平面的距离 6.
d =
6.=
∴所求方程为7.32
y z
x -+
+= 10．平面1x y z a b c
++=分别与三个坐标轴交于点,,.A B C 求ABC V 的面积。 解 (,0,0)A a , (0,,0)B b ,(0,0,)
C c {},,0AB a b =-u u u r ,{},0,AC a c =-u u u r
.
{},,AB AC bc ca ab ?=u u u r u u u r
;AB AC ?=u u u r u u u r .
∴S ABC V
11．设从坐标原点到平面的距离为。求证
1.p p =∴= 从而有
2222
1111.p a b c =++ § 平面与点的相关位置
1.计算下列点和平面间的离差和距离： （1）)3,4,2(-M ， :π 0322=++-z y x ； （2）)3,2,1(-M ， :π 0435=++-z y x . 解： 将π的方程法式化，得：
01323132=--+-z y x ，
故离差为：3
1
1332431)2()32()(-=-?-?+-?-=M δ，
M 到π的距离.3
1
)(==M d δ
（2）类似（1），可求得
0354353356355)(=-++-
=M δ，
M 到π的距离.0)(==M d δ
2.求下列各点的坐标：
（1）在y 轴上且到平面02222=--+z y 的距离等于4个单位的点； （2）在z 轴上且到点)0,2,1(-M 与到平面09623=-+-z y x 距离相等的点； （3）在x 轴上且到平面01151612=++-z y x 和0122=--+z y x 距离相等的点。
解：（1）设要求的点为)0,,0(0y M 则由题意
∴ 610=-y ?50-=y 或7.
即所求的点为（0，-5，0）及（0，7，0）。 （2）设所求的点为),0,0(0z 则由题意知： 由此，20-=z 或-82/13。 故，要求的点为)2,0,0(-及)13
82
,0,0(-
。 （3）设所求的点为)0,0,(0x ，由题意知： 由此解得：20=x 或11/43。
所求点即（2，0，0）及（11/43，0，0）。
3.已知四面体的四个顶点为)4,1,1(),5,11,2(),3,5,3(),4,6,0(---C B A S ，计算从顶点S 向底面ABC 所引的高。 解：地面ABC 的方程为： 所以，高33
5
426=+?--=
h 。
4.求中心在)2,5,3(-C 且与平面01132=+--z y x 相切的球面方程。 解：球面的半径为C 到平面π：01132=+--z y x 的距离，它为：
14214
2814
11
6532==+++?=
R ，
所以，要求的球面的方程为：
56)2()5()3(222=++++-z y x .
即：0184106222=-++-++z y x z y x .
5．求通过x 轴其与点()5,4,13M 相距8个单位的平面方程。
解：设通过x 轴的平面为0.By Cz +=它与点()5,4,13M 相距8个单位，从而
228.481041050.B BC C =∴--=因此()()1235430.B C B C -+=
从而得12350B C -=或430.B C +=于是有:35:12B C =或():3:4.B C =-
∴所求平面为35120y z +=或340.y z -=
6. 求与下列各对平面距离相等的点的轨迹. ⑴053407263=--=--+y x z y x 和; ⑵062901429=++-=-+-z y x z y x 和. 解: ⑴ ()072637
1
:1=--+z y x π 令()()5345
1726371--=--+y x z y x
化简整理可得:0105113=+-z y x 与07010943=--+z y x . ⑵对应项系数相同,可求42
6
14221'-=+-=+=D D D ,从而直接写出所求的方程:0429=-+-z y x .
9 判别点M （2 -1 1）和N （1 2 -3）在由下列相交平面所构成的同一个二面角内，还是在相邻二面角内，或是在对顶的二面角内？ （1）1:3230x y z π-+-=与2:240x y z π--+= （2）1:2510x y z -+-=与2:32610x y z π-+-=
解：（1）将M （2 -1 1），N （1 2 -3）代入1π，得： 61230
32630
++-???---??
则M ，N 在1π的异侧 再代入2π，得：221470
143440
+-+=???-++=??
∴MN 在2π的同侧 ∴MN 在相邻二面角内
（2）将M （2 -1 1）N （1 2 -3）代入1π，得：415190
2215180++-=???---=-??
则MN 在1π的异侧。 再代入2π，得：6621130
34181200
++-=>??
---=-
则MN 在2π的异侧
∴ MN 在对顶的二面角内
10 试求由平面1π：2230x y z -+-=与2π：32610x y z +--=所成的二面角的角平分方程，在此二面角内有点（1， 2， -3）
解：设p （x y z ）为二面角的角平分面上的点，点p 到12ππ的距离相等
=
5332190(1)
234240(2)x y z x y z +--=??
---=?
把点p 代入到12ππ上，10δ< 20δ> 在（1）上取点（
18
5
0 0）代入12ππ，''1200δδ>>。 在（2）上取点（0 0 -6）代入12ππ，""1200δδ<>
∴（2）为所求，∴解平面的方程为：34240x y z ---=
两平面的相关位置
1.判别下列各对直线的相关位置： （1）0142=+-+z y x 与032
4
=--+z y x ； （2）0522=---z y x 与013=--+z y x ； （3）05426=--+z y x 与02
9639=--+z y x 。
解：（1）Θ )1(:2
1
:41)4(:2:1-=-， ∴ （1）中的两平面平行（不重合）； （2）Θ )1(:3:1)2(:)1(:2-≠--， ∴ （2）中两平面相交；
（3）Θ )6(:3:9)4(:2:6-=-， ∴ （3）中两平面平行（不重合）。 2.分别在下列条件下确定n m l ,,的值：
（1）使08)3()1()3(=+-+++-z n y m x l 和016)3()9()3(=--+-++z l y n x m 表示同一平面；
（2）使0532=-++z my x 与0266=+--z y lx 表示二平行平面； （3）使013=+-+z y lx 与027=-+z y x 表示二互相垂直的平面。 解：（1）欲使所给的二方程表示同一平面，则： 即：
从而：9
7
=l ，913=
m ，9
37=n 。 （2）欲使所给的二方程表示二平行平面，则： 所以：4-=l ，3=m 。
（3）欲使所给的二方程表示二垂直平面，则： 所以： 7
1-=l 。
3.求下列两平行平面间的距离：
（1）0218419=++-z y x ，0428419=++-z y x ； （2）07263=--+z y x ，014263=+-+z y x 。 解：（1）将所给的方程化为： 所以两平面间的距离为：2-1=1。
（2）同（1）可求得两平行平面间的距离为1+2=3。 4.求下列各组平面所成的角： （1）011=-+y x ，083=+x ；
（2）012632=-+-z y x ，0722=-++z y x 。
解：（1）设1π：011=-+y x ，2π：083=+x
∴ 4
),(21π
ππ=
∠或
4
3π
。 （2）设1π：012632=-+-z y x ，2π：0722=-++z y x
218cos ),(1
21-=∠ππ或21
8
cos ),(121--=∠πππ。 5. 求下列平面的方程:
(1) 通过点()1,0,01M 和()0,0,32M 且与坐标面xOy 成060角的平面; (2) 过z 轴且与平面0752=--+z y x 成060角的平面. 解 ⑴ 设所求平面的方程为.11
3=++z b y x 又xoy 面的方程为z=0,所以2
11131101
03160cos 22
2
=
+??
? ??+??? ??+?+?=
b b ο 解得20
3±
=b ,∴所求平面的方程为126
33
=+±
+
z y
x , 即03326=-+±z y x
⑵设所求平面的方程为0=+By Ax ;则2
15
14260cos 22=+++±+=
B A B
A ο 3
,038322B
A B AB A =
∴=-+或B A 3-= ∴所求平面的方程为03=+y x 或03=-y x .
§ 空间直线的方程
1.求下列各直线的方程：
（1）通过点)1,0,3(-A 和点)1,5,2(-B 的直线； （2）通过点),,(0000z y x M 且平行于两相交平面i π：
)2,1(=i 的直线；
（3）通过点)3,51(-M 且与z y x ,,三轴分别成???120,45,60的直线； （4）通过点)2,0,1(-M 且与两直线
11111-+==-z y x 和0
1
111+=
--=z y x 垂直的直线； （5）通过点)5,3,2(--M 且与平面02536=+--z y x 垂直的直线。 解：（1）由本节（—6）式，得所求的直线方程为： 即：
01553-=-=+z y x ，亦即0
1
113-=
-=+z y x 。 （2）欲求直线的方向矢量为： 所以，直线方程为：
2
2
110
2
2
1102
2
110B A B A z z A C A C y y C B C B x x -=-=-。
（3）欲求的直线的方向矢量为：{}?
??
???-=???21,22,
2
1
120cos ,45cos ,60cos ， 故直线方程为：
13
2
511--=+=-z y x 。 （４）欲求直线的方向矢量为：{
}{}{}2,1,10,1,11,1,1---=-?-， 所以，直线方程为：
2
2
111+=
=-z y x 。 （５）欲求的直线的方向矢量为：{}5,3,6--， 所以直线方程为：
5
5
3362-+=
--=-z y x 。 ２.求以下各点的坐标： （１）在直线
3
8
1821-=-=-z y x 上与原点相距２５个单位的点； （２）关于直线??
?=+-+=+--0
3220
124z y x z y x 与点)1,0,2(-P 对称的点。
解：（１）设所求的点为),,(z y x M ，则： 又222225=++z y x
即：222225)38()8()21(=+++++t t t ， 解得：4=t 或7
62-
所以要求的点的坐标为：)7
130
,76,7117(),20,12,9(---
。 （２）已知直线的方向矢量为：{
}{}{}3,6,62,1,24,1,1-=-?--，或为{}1,2,2-， ∴过P 垂直与已知直线的平面为：0)1(2)2(2=++--z y x ，
即0322=-+-z y x ，
该平面与已知直线的交点为)3,1,1(，所以若令),,(z y x P '为P 的对称点，则：
221x +=
，201y +=，2
13z
+-= ∴
7,2,0===z y x ，
即)7,2,0(P '。
３.求下列各平面的方程：
（１）通过点)1,0,2(-p ，且又通过直线3
2
121-=
-=+z y x 的平面； （２）通过直线1
1
5312-+=
-+=-z y x 且与直线 平行的平面； （３）通过直线
2
2
3221-=
-+=-z y x 且与平面0523=--+z y x 垂直的平面； （４）通过直线??
?=-+-=+-+0
1420
9385z y x z y x 向三坐标面所引的三个射影平面。
解：（１）因为所求的平面过点)1,0,2(-p 和)2,0,1(-'p ，且它平行于矢量{}3,1,2-，所以要求的平面方程为： 即015=-++z y x 。
（２）已知直线的方向矢量为{}{}{}5,3,11,2,11,1,2-=-?-， ∴平面方程为：
即015211=-++z y x
（３）要求平面的法矢量为{}{}{}13,8,11,2,32,3,2-=-?-，
∴平面的方程为：0)2(13)2(8)1(=--+--z y x ，
即09138=+--z y x 。 （4）由已知方程?
?
?=-+-=+-+01420
9385z y x z y x
分别消去x ，y ，z 得到：
0231136=+-z y ，079=+-z x ，06411=+-y x
此即为三个射影平面的方程。
4.化下列直线的一般方程为射影式方程与标准方程，并求出直线的方向余弦： （1）??
?=---=+-+0323012z y x z y x （2）???=+--=-+0
6420
6z y x z x
（3）?
??==-+20
x z y x
解：（1）直线的方向数为：
)5(:1:)3(1
31
2:3221:
211
1--=------
∴射影式方程为： ??
??
?-+
-=--+--=59515253z y z x ， 即??
?
??-
-=+=59515253z y z x ，
标准方程为：z y x =-+=-5
1
595352， 方向余弦为：35353553cos ±=±=α，351
5
3551
cos μ=-
±=β，
35
55
351cos ±
=±
=γ。
（2）已知直线的方向数为：
)4(:3:44
201:2111
:
1410-=----，
射影式方程为：??
???--+
-=--+-=418434244
4z y z x ， 即??
???+-=+-=29
436z y z x 标准方程为：z y x =--
=
--4
329
1
6， 方向余弦为：414
4411cos μ=-±=α，4134
4143
cos μ=-
±=β， 41
44
411cos ±
=±
=γ。
（3）已知直线的方向数为：
1:1:0)1(:)1(:00
11
1:1011:0011=--=--， ∴射影式方程为： ???-==2
2
z y x ，
标准式方程为：
z y x =+=-1
2
02， 方向余弦为：0cos =α，2
1cos ±=β，2
1cos ±
=γ。
5. 一线与三坐标轴间的角分别为,,αβγ.证明222sin sin sin 2.αβγ++= 证 ∵222cos cos cos 1αβγ++=, ∴2221sin 1sin 1sin 1αβγ-+-+-=,即
222sin sin sin 2.αβγ++=
§ 直线与平面的相关位置
1.判别下列直线与平面的相关位置：
（1）
37423z
y x =-+=--与3224=--z y x ； （2）7
23z
y x =-=与8723=+-z y x ；
（3）?
??=---=-+-0120
5235z y x z y x 与07734=-+-z y x ；
（4）??
?
??-=+-==4992t z t y t x 与010743=-+-z y x 。
解：（1）Θ0)2(3)2()7(4)2(=-?+-?-+?-， 而017302)4(234≠=-?--?-?，， 所以，直线与平面平行。 （2）Θ0717)2(233≠?+-?-? 所以，直线与平面相交，且因为7
7
2233
=--=
， ∴ 直线与平面垂直。
（3）直线的方向矢量为：{}{}{}1,9,51,1,22,3,5=--?-，
Θ 0179354=?+?-?，
而点)0,5,2(--M 在直线上，又07)5(3)2(4=--?--?， 所以，直线在平面上。
（4）直线的方向矢量为{}9,2,1-，
∴直线与平面相交。
2.试验证直线l ：2
1111-=-=-z y x 与平面π：032=--+z y x 相交，并求出它的交点和交角。
解： Θ 032111)1(2≠-=?-?+-?
∴ 直线与平面相交。
又直线的坐标式参数方程为： ??
?
??+=+=-=t z t y t x 211
设交点处对应的参数为0t ，
∴10-=t ，
从而交点为（1，0，-1）。
又设直线l 与平面π的交角为θ，则：
2
1
6
62
111)1(2sin =??-?+-?=
θ， ∴ 6
πθ=
。
3.确定m l ,的值，使： （1）直线
1
3241z
y x =+=-与平面0153=+-+z y lx 平行； （2）直线??
?
??-=--=+=135422t z t y t x 与平面076=-++z my lx 垂直。
解：（1）欲使所给直线与平面平行，则须： 即1=l 。
（2）欲使所给直线与平面垂直，则须： 所以：8,4-==m l 。
4.决定直线???=++=++00222
111z C y B x A z C y B x A 和平面0)()()(212121=+++++z C C y B B x A A 的相
互位置。
解：在直线上任取),,(1111z y x M ，有：
这表明1M 在平面上，所以已给的直线处在已给的平面上。
5.设直线与三坐标平面的交角分别为.,,υμλ证明.2cos cos cos 222=++υμλ 证明 设直线与X,Y,Z 轴的交角分别为.,,γβα而直线与yoz,zox,xoy 面的交角依次为.,,γμλ那么,υπ
γμπ
βλπ
α-=
-=
-=
2
,2
,2
.而.1cos cos cos 222=++γβα
∴.12
cos 2
cos 2
cos 222=??
? ??-+??
? ??-+??
? ??-υπ
μπ
λπ
从而有.2cos cos cos 222=++υμλ 6.求下列球面的方程
(1)与平面x+2y+3=0相切于点()3,1,1-M 且半径r=3的球面;
(2) 与两平行平面6x-3y-2z-35=0和6x-3y-2z+63=0都相切且于其中之一相切于点()1,1,5--M 的球面.
解: ⑴??
?
?
??
???+-=+=+=t z t y t x 32332
1311为过切点M 且垂直与已知平面的直线,
显见3
2,32,31是这条直线的方向余弦. 取3=t ,则得3,2==y x ; 取3-=t ,则得5,1,0-=-==z y x .
故所求球面有两个:()()()9132222=++-+-z y x ,与()()951222=++++z y x . ⑵t z t y t x 21,31,65--=--=+=为过点M 且垂直于两平面的直线,将其代入第二个平面方程,得2-=t ,反代回参数方程,得3,5,7==-=z y x .设球之中心为
C ,半径为r ,则()()()()49112115,1,2,12
2
2
2=--+--++=-r C .故所求球面方程
为()()()49121222=-+-++z y x .
空间直线的相关位置
1.直线方程???=+++=+++00
2222
1111D z C y B x A D z C y B x A 的系数满足什么条件才能使：
（1）直线与x 轴相交； （2）直线与x 轴平行； （3）直线与x 轴重合。 解：（1）所给直线与x 轴相交? ? 0x 使
0101=+D x A 且0202=+D x A
?
02
2
11=D A D A 且 1A ，2A 不全为零。
（2）Θx 轴与平面01111=+++D z C y B x A 平行 又x 轴与平面02222=+++D z C y B x A 平行，所以 即021==A A ，但直线不与x 轴重合，
∴ 21,D D 不全为零。
（3）参照（2）有021==A A ，且021==D D 。 2.确定λ值使下列两直线相交： （1）???=-++=-+-0
1540
623z y x z y x λ与z 轴；
（2）
λ
1
2111-=
+=-z y x 与z y x ===+11。 解：（1）若所给直线相交，则有（类似题1）： 从而 5=λ。
（2）若所给二直线相交，则 从而：4
5
=λ。
3.判别下列各对直线的相互位置，如果是相交的或平行的直线求出它们所在的平面；如果是异面直线，求出它们之间的距离。
（1）???=-+=+-0623022y x z y x 与?
??=-+=--+01420
112z x z y x ；
（2）
131833-=--=-z y x 与4
6
2733-=
+=-+z y x ； （3）??
?
??--=+==2
12t z t y t
x 与5217441-+=
-=-z y x 。 解：（1）将所给的直线方程化为标准式，为：
Θ（-2）：3：4=2：（-3）：（-4） ∴二直线平行。
又点)0,4
3,23(与点（7，2，0）在二直线上，
∴矢量??????=????
??
--0,45,2110,432,237平行于二直线所确定的平面，该平面的法矢量
为：
{}{}19,22,50,45,2114,3,2--=?
??
????-，
从而平面方程为：0)0(19)2(22)7(5=-+---z y x ， 即 0919225=++-z y x 。
（2）因为02704
2
3
113
6
37833≠-=---++=?，
∴二直线是异面的。
二直线的距离：{}{}
3032703
1562704,2,31,1,34
231133
1562
2
2
==++=
-?----=
d 。
（3）因为05
741210
3
1=--=?，
但是：1：2：（-1）≠4：7：（-5）
所以，两直线相交，二直线所决定的平面的法矢量为{}{}{}1,1,35,7,412,1--=-?-，
解析几何第四版吕林根课后习题答案第五章
解析几何第四版吕林根课后习题答案第五章
第五章 二次曲线一般的理论 §5.1二次曲线与直线的相关位置 1. 写出下列二次曲线的矩阵A 以及1 (,)F x y ， 2 (,)F x y 及3 (,)F x y . （1） 2222 1x y a b +=；（2） 22 22 1x y a b -=；（3）2 2y px =；（4） 223520; x y x -++= （5）2 226740 x xy y x y -+-+-=.解：（1） 221 0010 000 1a A b ?? ? ? ?= ? ?- ? ?? ?； 121(,)F x y x a = 221(,)F x y y b =3(,)1F x y =-；（2） 221 0010 0001a A b ?? ? ? ?=- ? ?- ? ?? ? ； 121(,)F x y x a = 221(,)F x y y b =-；3 (,)1F x y =-.（3） 0001000p A p -?? ?= ? ?-?? ； 1(,)F x y p =-；2 (,)F x y y =；3 (,)F x y px =-；（4） 510 20 305022A ?? ? ?=- ? ? ? ??； 15(,)2F x y x =+ ；2 (,)3F x y y =-；3 5(,)22 F x y x =+；（5）
222420 x xy ky x y ++--=交于两个共轭虚交点.解：详解 略.（1）4k <-；（2）1k =或3k =（3）1k =或5k =；（4） 4924 k >. §5.2二次曲线的渐进方向、中心、渐进线 1. 求下列二次曲线的渐进方向并指出曲线属于 何种类型的（1） 22230 x xy y x y ++++=；（2） 22342250 x xy y x y ++--+=；（3）24230xy x y --+=. 解：（1）由2 2(,)20 X Y X XY Y φ=++=得渐进方向为:1:1 X Y =-或1:1-且属于抛物型的； （2）由2 2(,)3420 X Y X XY Y φ=++=得渐进方向为:(22):3 X Y i =-且属于椭圆型的； （3） 由(,)20X Y XY φ==得渐进方向为:1:0X Y =或0:1且属于双曲型的. 2. 判断下列曲线是中心曲线，无心曲线还是线心曲线. （1）2 2224630 x xy y x y -+--+=；（2）2 2442210 x xy y x y -++--=； （3）2 281230 y x y ++-=；（4）2 296620 x xy y x y -+-+=.解：（1） 因为2 1110 12I -= =≠-，所以它为中心曲线； （2）因 为2 120 24 I -= =-且121 241-=≠--，所以它为无心曲线； （3）因为2 00002I = =且004 026 =≠，所以它为无心曲线； （4）因为2 930 3 1 I -==-且933312--==-，所以它为线心曲线；
解析几何专题含答案
椭圆专题练习 1.【2017浙江，2】椭圆22 194 x y +=的离心率是 A B C ．23 D ．5 9 2.【2017课标3，理10】已知椭圆C ：22 221x y a b +=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为 A ．3 B ．3 C ．3 D ．13 3.【2016高考浙江理数】已知椭圆C 1：+y 2=1(m >1)与双曲线C 2：–y 2=1(n >0)的焦点重合，e 1， e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（） A ．m >n 且e 1e 2>1 B ．m >n 且e 1e 2<1 C ．m
解析几何第四版吕林根课后习题答案第三章(同名3095)
第三章 平面与空间直线 § 3.1平面的方程 1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程： （1）通过点)1,1,3(1-M 和点)0,1,1(2-M 且平行于矢量}2,0,1{-的平面（2）通过点 )1,5,1(1-M 和)2,2,3(2-M 且垂直于xoy 坐标面的平面； （3）已知四点)3,1,5(A ，)2,6,1(B ，)4,0,5(C )6,0,4(D 。求通过直线AB 且平行于直线CD 的平面，并求通过直线AB 且与ABC ?平面垂直的平面。 解： （1）Θ }1,2,2{21--=M M ，又矢量}2,0,1{-平行于所求平面， 故所求的平面方程为： ?? ? ??++-=-=--=v u z u y v u x 212123 一般方程为：07234=-+-z y x （2）由于平面垂直于xoy 面，所以它平行于z 轴，即}1,0,0{与所求的平面平行，又 }3,7,2{21-=M M ，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为： ?? ? ??+-=+-=+=v u z u y u x 317521 一般方程为：0)5(2)1(7=+--y x ，即01727=--y x 。 （3）（ⅰ）设平面π通过直线AB ，且平行于直线CD ： }1,5,4{--=，}2,0,1{-= 从而π的参数方程为： ?? ? ??+-=+=--=v u z u y v u x 235145 一般方程为：0745910=-++z y x 。 （ⅱ）设平面π'通过直线AB ，且垂直于ABC ?所在的平面 ∴ }1,5,4{--=， }1,1,1{4}4,4,4{}1,1,0{}1,5,4{==-?--=?
解析几何第四版习题答案第四章
第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 § 4.1柱面 1、已知柱面的准线为： ? ? ?=+-+=-+++-0225 )2()3()1(222z y x z y x 且（1）母线平行于x 轴；（2）母线平行于直线c z y x ==,，试求这些柱面的方程。 解：（1）从方程 ?? ?=+-+=-+++-0 225 )2()3()1(222z y x z y x 中消去x ，得到：25)2()3()3(2 2 2 =-+++--z y y z 即：02 3 5622=----+z y yz z y 此即为要求的柱面方程。 （2）取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 且平行于直线? ??==c z y x 的直线方程为： ??? ??=-=-=? ?? ? ??=+=+=z z t y y t x x z z t y y t x x 0 00000 而0M 在准线上，所以 ?? ?=+--+=-++-+--0 2225 )2()3()1(222t z y x z t y t x 上式中消去t 后得到：026888232 22=--+--++z y x xy z y x 此即为要求的柱面方程。 2 而0M 在准线上，所以： ?? ?+=-++=-) 2(2)2(2 2t z t x t z y t x 消去t ，得到：010******* 22=--+++z x xz z y x 此即为所求的方程。 3、求过三条平行直线211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与的圆柱面方程。
解：过 又过准线上一点),,(1111z y x M ，且方向为{ }1,1,1的直线方程为： ??? ??-=-=-=? ?? ? ??+=+=+=t z z t y y t x x t z z t y y t x x 1 11111 将此式代入准线方程，并消去t 得到： 013112)(5222=-++---++z y x zx yz xy z y x 此即为所求的圆柱面的方程。 4、已知柱面的准线为{})(),(),((u z u y u x u =γ，母线的方向平行于矢量{}Z Y X ,,=，试证明柱面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为： S v u Y x +=)( 与 ?? ? ??+=+=+=Zv u z z Yv u y y Xv u x x )()()( 式中的v u ,为参数。 证明：对柱面上任一点),,(z y x M ，过M 的母线与准线交于点))(),(),((u z u y u x M '，则， v M =' 即 1、求顶点在原点，准线为01,0122 =+-=+-z y z x 的锥面方程。 解：设为锥面上任一点),,(z y x M ，过M 与O 的直线为： z Z y Y x X == 设其与准线交于),,(000Z Y X ，即存在t ，使zt Z yt Y xt X ===000,,，将它们代入准线方程，并消去参数t ，得： 0)()(222=-+--y z y z z x 即：02 22=-+z y x 此为所要求的锥面方程。 2、已知锥面的顶点为)2,1,3(--，准线为0,12 22=+-=-+z y x z y x ，试求它的方程。
解析几何第四版吕林根课后习题答案第五章
第五章 二次曲线一般的理论 §5.1二次曲线与直线的相关位置 1. 写出下列二次曲线的矩阵A 以及1(,)F x y ，2(,)F x y 及3(,)F x y . （1）22221x y a b +=；（2）22 221x y a b -=；（3）22y px =；（4）223520;x y x -++= （5）2226740x xy y x y -+-+-=.解：（1）221 0010 000 1a A b ?? ? ? ?= ? ?- ? ???；121(,)F x y x a =221 (,)F x y y b =3(,)1F x y =-；（2）2210010 000 1a A b ?? ? ? ?=- ? ?- ? ?? ? ；121(,)F x y x a =221(,)F x y y b =-；3(,)1F x y =-.（3）0001000p A p -?? ? = ? ? -?? ； 1(,)F x y p =-；2(,)F x y y =；3(,)F x y px =-；（4）51020 305022A ?? ? ?=- ? ? ? ??； 15(,)2F x y x =+；2(,)3F x y y =-；35 (,)22 F x y x =+；（5）1232 171227342 A ??-- ? ? ?=- ? ? ?-- ??? ；11(,)232F x y x y =- -；217(,)22F x y x y =-++；37(,)342 F x y x y =-+-. 2. 求二次曲线2 2 234630x xy y x y ----+=与下列直线的交点.（1）550 x y --=
解析几何第四版吕林根课后习题集规范标准答案第一章
第一章 矢量与坐标 §1.1 矢量的概念 1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？ （1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点； （2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点； （3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点； （4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点. [解]：（1）单位球面； （2）单位圆 （3）直线； （4）相距为2的两点 2. 设点O 是正六边形ABCDEF 的中心， 在矢量、OB 、 、OD 、OE 、 OF 、AB 、BC 、CD 、 DE 、 和中，哪些矢量是相等的？ [解]：如图1-1，在正六边形ABCDEF 中， 相等的矢量对是： 图1-1 .和和和和和 3. 设在平面上给了一个四边形ABCD ，点K 、L 、M 、N 分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、 ＤＡ的中点，求证：KL ＝NM . 当ABCD 是空间四边形时，这等式是否也成立？ [证明]：如图1-2，连结AC , 则在?BAC 中， 2 1 AC. KL 与方向相同；在?DAC 中， 2 1 AC . NM 与AC 方向相同，从而KL ＝NM 且KL 与NM 方向相同，所以KL ＝ NM . 4. 如图1-3，设ABCD -EFGH 是一个平行六面体，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反矢量的矢量： (1) AB 、; (2) AE 、; (3) 、; (4) AD 、GF ; (5) BE 、CH . [解]：相等的矢量对是（2）、（3）和（5）； 互为反矢量的矢量对是（1）和（4）。 §1.2 矢量的加法 1.要使下列各式成立，矢量b a ,应满足什么条件？ C
解析几何第四版吕林根 期末复习 课后习题(重点)详解
第一章 矢量与坐标 §1.3 数量乘矢量 4、 设→→→+=b a AB 5，→→→+-=b a BC 82，)(3→ →→-=b a CD ，证明：A 、B 、D 三点共线． 证明 ∵→ → → → → → → → → → =+=-++-=+=AB b a b a b a CD BC BD 5)(382 ∴→ AB 与→ BD 共线，又∵B 为公共点，从而A 、B 、D 三点共线． 6、 设L 、M 、N 分别是ΔABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，证明：三中线矢量AL , BM , CN 可 以构成一个三角形. 证明： )(21 AC AB AL += Θ )(21 BC BA BM += )(2 1 CB CA CN += 0)(2 1 =+++++=++∴CB CA BC BA AC AB CN BM AL 7.、设L 、M 、N 是△ABC 的三边的中点，O 是任意一点，证明 OB OA ++OC =OL +OM +ON . [证明] LA OL OA +=Θ MB OM OB += NC ON OC += )(NC MB LA ON OM OL OC OB OA +++++=++∴ =)(CN BM AL ON OM OL ++-++ 由上题结论知：0=++CN BM AL ON OM OL OC OB OA ++=++∴ 从而三中线矢量CN BM AL ,,构成一个三角形。 8.、如图1-5，设M 是平行四边形ABCD 的中心，O 是任意一点，证明 OA +OB +OC +OD ＝4OM . [证明]：因为OM ＝ 21 (OA +OC ), OM ＝2 1 (OB +OD ), 所以 2OM ＝2 1 (OA +OB +OC +OD ) 所以 OA +OB +OC +OD ＝4OM . 10、 用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半． 图1-5
解析几何第四版吕林根课后习题答案第三章
第三章 平面与空间直线 § 平面的方程 1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程： （1）通过点)1,1,3(1-M 和点)0,1,1(2-M 且平行于矢量}2,0,1{-的平面（2）通过点 )1,5,1(1-M 和)2,2,3(2-M 且垂直于xoy 坐标面的平面； （3）已知四点)3,1,5(A ，)2,6,1(B ，)4,0,5(C )6,0,4(D 。求通过直线AB 且平行于直线CD 的平面，并求通过直线AB 且与ABC ?平面垂直的平面。 解： （1）Θ }1,2,2{21--=M M ，又矢量}2,0,1{-平行于所求平面， 故所求的平面方程为： 一般方程为：07234=-+-z y x （2）由于平面垂直于xoy 面，所以它平行于z 轴，即}1,0,0{与所求的平面平行，又}3,7,2{21-=M M ，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为： 一般方程为：0)5(2)1(7=+--y x ，即01727=--y x 。 （3）（ⅰ）设平面π通过直线AB ，且平行于直线CD ： }1,5,4{--=，}2,0,1{-= 从而π的参数方程为： 一般方程为：0745910=-++z y x 。 （ⅱ）设平面π'通过直线AB ，且垂直于ABC ?所在的平面 ∴ }1,5,4{--=AB ， }1,1,1{4}4,4,4{}1,1,0{}1,5,4{==-?--=?AC AB 均与π'平行，所以π'的参数式方程为： 一般方程为：0232=--+z y x . 2.化一般方程为截距式与参数式：
042:=+-+z y x π. 解： π与三个坐标轴的交点为：)4,0,0(),0,20(),0,0,4(--， 所以，它的截距式方程为： 14 24=+-+-z y x . 又与所给平面方程平行的矢量为：}4,0,4{},0,2,4{-， ∴ 所求平面的参数式方程为： 3.证明矢量},,{Z Y X =平行与平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为： 0=++CZ BY AX . 证明： 不妨设0≠A ， 则平面0=+++D Cz By Ax 的参数式方程为： 故其方位矢量为：}1,0,{},0,1,{A C A B --， 从而v 平行于平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为： ，}1,0,{},0,1,{A C A B -- 共面? ? 0=++CZ BY AX . 4. 已知连接两点),12,0(),5,10,3(z B A -的线段平行于平面0147=--+z y x ，求B 点的z 坐标. 解： Θ }5,2,3{z +-= 而平行于0147=--+z y x 由题3知：0)5(427)3(=+-?+?-z 从而18=z . 5. 求下列平面的一般方程. ⑴通过点()1,1,21-M 和()1,2,32-M 且分别平行于三坐标轴的三个平面; ⑵过点()4,2,3-M 且在x 轴和y 轴上截距分别为2-和3-的平面;
中医谈方论药第三章答案 解析几何第四版课后答案第三章
中医谈方论药第三章答案解析几何第四版课后答案第三章中医谈方论药第三章答案第三章单元测试 1以下哪一部书是李克绍先生的学术代表作 ( ) A. 《胃肠病漫话》 B. 《伤寒论串讲》C. 《伤寒解惑论》 D. 《伤寒论语释》 2以下哪一项不属于《伤寒解惑论》中提出九种治学方法。( ) A. 关于“要理解当时医学上的名词术语” B. 关于“读于无字处和语法上的一些问题” C. 关于“内容不同的条文要有不同的阅读法” D. 关于“要理解寒温之争” 3丁元庆教授认为，《伤寒解惑论》中提出的哪一项既是标准也是方向？( ) A. 关于“要和《内经》《本草经》《金匮要略》结合起来” B. 关于“要与临床相结合” C. 关于“对传统的错误看法要敢破敢立” D. 关于“对原文要一分为二” 4以下哪段话是李克绍先生所说：( ) A. “胸中有万卷书，笔底无半点尘，始可著书;胸中无半点尘，目中无半点尘者，才许作古文疏注。” B. “能否理论联系实际，在临床医疗中能否灵活运用，这是检验学习《伤寒论》成功与否的重要标志。” C. “《伤寒论》言证候不谈病机，述病理而少及生理，出方剂而不言药理” D. “医者书不熟则理不明，理不明则识不清，临证游移，漫无定见，药证不合，难以奏效。”5以下哪段话，是湖北叶发正研究员在《伤寒学术史》中对李克绍先生的评价：( ) A. “他的论著享誉海内外，称得起现代的伤寒著名学家。” B. “高山仰止，景行行止” C. “他对《伤寒论》的研究创当代《伤寒论》注疏之新风，其见解独特、基于临床、前后呼应、逻辑严密；他活泼泼地注疏通解了活泼泼的《伤寒
论》。” D. “先生最反对学术上人云亦云，不求甚解，认为这是自欺欺人的不良学风。先生读书也看前人注解，但决不盲从。” 6以下哪一项，不是丁元庆教授对急性口僻的辨治分析：( ) A. 口僻发生在面部，表现为口眼歪斜。面部是足阳明胃经循行之地。 B. 阳明火热内盛，炙灼足阳明人迎脉，形成人迎脉积。 C. 足阳明经脉受邪，累及经筋，口目为僻。 D. 将葛根汤、葛根芩连汤、黄芪桂枝五物汤等用于急性口僻治疗。 7以下哪一项，不是丁元庆教授对颈动脉粥样硬化的辨治分析( ) A. 颈动脉粥样硬化是卒中的独立危险因素。 B. 阳明火热内盛，炙灼足阳明人迎脉，形成人迎脉积，成为火热致中的中间环节。 C. 足阳明经脉受邪，累及经筋，是发病的重要因素。 D. 提出用葛根芩连汤干预颈动脉粥样硬化及其斑块形成的研究方法。
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第一章矢量与坐标 § 1.1矢量的概念 1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？ （1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点； （2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点； （3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点； （4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点. 解： 2.设点 O 是正六边形 ABCDEF的中心， 在矢量 OA 、 OB 、 OC 、 OD 、 OE 、 OF 、 AB 、 BC 、 CD、DE 、 EF O 和 FA 中，哪些矢量是相等的？ [解 ]： 图 1-1 3.设在平面上给了一个四边形ABCD，点 K、L、 M、N 分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、 ＤＡ的中点，求证：KL ＝ NM .当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立？ [证明 ]： . 4.如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体， 在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反 矢量的矢量： (1) AB、; (2) AE、; (3) AC 、 CD CG EG ; (4)AD 、 GF ;(5)BE 、 CH . 解： 图1—3
§ 1.2矢量的加法 1.要使下列各式成立，矢量a,b 应满足什么条件？ （1）a b a b;（2）a b a b ; （3）a b a b ;（4）a b a b ; （5）a b a b . 解： § 1.3数量乘矢量 1试解下列各题． ⑴化简 (x y) (a b) (x y) (a b) ． ⑵已知 a e1 2 e2e3， b 3e12e2 2 e3，求a b ， a b 和 3 a 2 b ． ⑶ 从矢量方程组解：3 x 4 y a ，解出矢量 x ，y．2 x 3 y b 2 已知四边形ABCD 中， AB a 2 c ，CD 5 a 6 b 8 c ，对角线AC 、 BD 的中 点分别为 E 、 F ，求EF． 解： 3 设AB a 5 b ， BC 2 a 8 b ，CD3( a b) ，证明： A 、 B 、 D 三点共线．解：
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第三章 平面与空间直线 § 平面的方程 1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程： （1）通过点)1,1,3(1-M 和点)0,1,1(2-M 且平行于矢量}2,0,1{-的平面（2）通过点 )1,5,1(1-M 和)2,2,3(2-M 且垂直于xoy 坐标面的平面； （3）已知四点)3,1,5(A ，)2,6,1(B ，)4,0,5(C )6,0,4(D 。求通过直线AB 且平行于直线CD 的平面，并求通过直线AB 且与ABC ?平面垂直的平面。 解： （1） }1,2,2{21--=M M ，又矢量}2,0,1{-平行于所求平面， 故所求的平面方程为： 一般方程为：07234=-+-z y x （2）由于平面垂直于xoy 面，所以它平行于z 轴，即}1,0,0{与所求的平面平行，又 }3,7,2{21-=M M ，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为： 一般方程为：0)5(2)1(7=+--y x ，即01727=--y x 。 （3）（ⅰ）设平面π通过直线AB ，且平行于直线CD ： }1,5,4{--=，}2,0,1{-= 从而π的参数方程为： 一般方程为：0745910=-++z y x 。 （ⅱ）设平面π'通过直线AB ，且垂直于ABC ?所在的平面 ∴ }1,5,4{--=AB ， }1,1,1{4}4,4,4{}1,1,0{}1,5,4{==-?--=?AC AB 均与π'平行，所以π'的参数式方程为： 一般方程为：0232=--+z y x . 2.化一般方程为截距式与参数式：
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三、解答题 26.（江苏18）如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆1 242 2=+y x 的顶点， 过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k （1）当直线PA 平分线段MN ，求k 的值； （2）当k=2时，求点P 到直线AB 的距离d ； （3）对任意k>0，求证：PA ⊥PB 本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，满分16分. 解：（1）由题设知，),2,0(),0,2(,2,2--= =N M b a 故所以线段MN 中点的坐标为 ) 22 ,1(- -，由于直线PA 平分线段MN ，故直线PA 过线段MN 的中点，又直线PA 过 坐标 原点，所以 .22122 =-- = k （2）直线PA 的方程2221, 42x y y x =+=代入椭圆方程得 解得 ). 34 ,32(),34,32(,32--±=A P x 因此 于是), 0,32(C 直线AC 的斜率为.032,1323234 0=--=++ y x AB 的方程为故直线
. 32 21 1| 323432|,21=+--=d 因此 （3）解法一： 将直线PA 的方程kx y = 代入 221,42x y x μ+==解得记 则)0,(),,(),,(μμμμμC k A k P 于是-- 故直线AB 的斜率为 ,20k k =++μμμ 其方程为 ,0)23(2)2(),(222222=+--+-= k x k x k x k y μμμ代入椭圆方程得 解得 223 2 2 2 (32) (32)( , ) 222k k k x x B k k k μμμμ++= =-+++或因此. 于是直线PB 的斜率 .1 ) 2(23) 2(2)23(22 2232 22 3 1k k k k k k k k k k k k -=+-++-= ++-+= μμμ 因此.,11PB PA k k ⊥-=所以 解法二： 设)0,(),,(,,0,0),,(),,(11121212211x C y x A x x x x y x B y x P --≠>>则. 设直线PB ，AB 的斜率分别为21,k k 因为C 在直线AB 上，所以 . 2 2)()(0111112k x y x x y k ==---= 从而 1 ) () (212112*********+----?--? =+=+x x y y x x y y k k k k .044)2(1222 1 222122222221222122=--=-+=+--=x x x x y x x x y y
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第三章 平面与空间直线 版权所有，侵权必究 §3.1 平面的方程 1．平面的点位式方程 在空间给定了一点M 0与两个不共线的向量a ，b 后，通过点M 0且与a ，b 平行的平面π 就惟一被确定. 向量a ，b 叫平面π 的方位向量. 任意两个与π 平行的不共线的向量都可作为平面 π 的方位向量. 取标架{}321,,;e e e O ，设点M 0的向径0r =0OM ={}000,,z y x ， 平面π 上任意一点M 的向径为r =OM = {x ，y ，z }（如图）. 点M 在平面π上的充要条件为向量M M 0与向量a ，b 共面. 由于a ，b 不共线，这个共面的条件可以写成 M M 0= u a ＋v b 而M M 0= r －r 0，所以上式可写成 r = r 0＋u a ＋v b (3.1－1) 此方程叫做平面π 的点位式向量参数方程，其中u ，v 为参数. 若令a = {1X ，1Y ，1Z }，b = {2X ，2Y ，2Z }，则由(3.1－1)可得 ?????++=++=++=v Z u Z z z v Y u Y y y v X u X x x 210210210 (3.1－2) 此方程叫做平面π 的点位式坐标参数方程，其中u ，v 为参数. (3.1－1)式两边与a ×b 作内积，消去参数u ，v 得 (r －r 0，a ，b ) = 0 (3.1－3) 此即 2 2 2 111000Z Y X Z Y X z z y y x x ---=0 (3.1－4)
这是π 的点位式普通方程. 已知平面π上三非共线点i M （i = 1，2，3）. 建立坐标系{O ；e 1, e 2, e 3}，设r i = i OM ={i x ， i y ，i z }，i = 1，2，3. 对动点M ，设r =OM ={x ，y ，z }，取21M M 和31M M 为方位向量，M 1 为定点，则平面π的向量参数方程，坐标参数方程和一般方程依次为 r = 1r ＋u(2r －1r )＋v(3r －r 1) (3.1－5) ?????-+-+=-+-+=-+-+=)()()()() ()(131211312113121z z v z z u z z y y v y y u y y x x v x x u x x (3.1－6) 1 31 31 3121212111z z y y x x z z y y x x z z y y x x ---------= 0 (3.1－7) (3.1－5)，(3.1－6)和(3.1－7)统称为平面的三点式方程. 特别地，若i M 是π 与三坐标轴的交点，即1M (a ，0，0)，2M (0，b ，0)，3M (0，0，c )，其中abc ≠0，则平面π 的方程就是 c a b a z y a x 00---=0 (3.1－8) 即 1=++c z b y a x (3.1－9) 此方程叫平面π的截距式方程，其中a ，b ，c 称为π 在三坐标轴上的截距. 2．平面的一般方程 在空间任一平面都可用其上一点M 0(x 0，y 0，z 0)和两个方位向量a = {1X ，1Y ，1Z }，b = {2X ，2Y ，2Z }确定，因而任一平面都可用方程将其方程(3.1－4)表示. 将(3.1－4)展开就可写成 Ax ＋By ＋Cz ＋D = 0 (3.1－10) 其中 A = 22 11 Z Y Z Y ，B =2 2 11X Z X Z ，C = 2 21 1 Y X Y X 由于a = {1X ，1Y ，1Z }与b = {2X ，2Y ，2Z }不共线，所以A ，B ，C 不全为零，这说明空间任一平面都可用关于a ，b ，c 的一三元一次方程来表示. 反之，任给一三元一次方程(3.1－10)，不妨设A ≠0，则(3.1－10)可改写成 02=++??? ? ? +ACz ABy A D x A
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第三章 平 面 与 空 间 直 线 § 3.1平面的方程 1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程： （1）通过点)1,1,3(1-M 和点)0,1,1(2-M 且平行于矢量}2,0,1{-的平面（2）通过点)1,5,1(1-M CD 的（3）（ⅰ）设平面通过直线AB ，且平行于直线CD ： }1,5,4{--=AB ，}2,0,1{-=CD 从而π的参数方程为： 一般方程为：0745910=-++z y x 。
（ⅱ）设平面π'通过直线AB ，且垂直于ABC ?所在的平面 ∴ }1,5,4{--=， }1,1,1{4}4,4,4{}1,1,0{}1,5,4{==-?--=? 均与π'平行，所以π'的参数式方程为： 一般方程为：0232=--+z y x . 0=. 故其方位矢量为：}1,0,{},0,1,{A C A B -- ， 从而平行于平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为： ，}1,0,{},0,1,{A C A B -- 共面?
? 0=++CZ BY AX . 4. 已知连接两点),12,0(),5,10,3(z B A -的线段平行于平面0147=--+z y x ，求B 点的z 坐标. 解： }5,2,3{z AB +-= ⑹求过点()1,5,31-M 和()2,1,42M 且垂直于平面0138=-+-z y x 的平面. 解:平行于x 轴的平面方程为 00 1 011112 =--+-z y x .即01=-z . 同理可知平行于y 轴,z 轴的平面的方程分别为01,01=-+=-y x z .
⑵设该平面的截距式方程为 132=+-+-c z y x ,把点()4,2,3-M 代入得19 24-=c 故一般方程为02419812=+++z y x . ⑶若所求平面经过x 轴，则()0,0,0为平面内一个点, {}2,1,5-和{}0,0,1为所求平面的方位矢量, ∴ .11 6 cos ,119cos ,112cos -=== ?γβ 则该平面的法式方程为: .01111 6 119112=--+z y x 既 .0121692=--+z y x
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第三章平 §3.1平面的方程 1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程： (1)通过点M J QI-I)和点M2(1,—1,0)且平行于矢量｛—1,0,2｝的平面(2)通过点M^l,—5,1)和 M 2 (3,2,—2)且垂直于xoy坐标面的平面; (3)已知四点A(5,1,3) , B(1,6,2) , C(5,0,4) D(4,0,6)。求通过直线AB且平行于直线CD的平面, 并求通过直线AB且与MBC平面垂直的平面。 解：(1) M1M2 =｛_2,_2,1｝，又矢量｛—1,0,2｝平行于所求平面, 故所求的平面方程为: 般方程为：4x -3y+2Z -7 =0 (2)由于平面垂直于xoy面，所以它平行于z轴，即｛0,0,1｝与所求的平面平行，又 M 1M 2 =｛2,7,-3｝，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为: 般方程为：7(x—1)—2(y+5)=0，即7x—2y-17 = 0。 (3)( i)设平面兀通过直线AB，且平行于直线CD : AB={m,5,—1}，CD ={-1,0,2} 从而兀的参数方程为: 般方程为：10x +9y + 5z-74=0。 (ii)设平面兀'通过直线AB，且垂直于MBC所在的平面 AB ={75,-1}，ABX AC ={-4,5,-1}x{0T,1} ={4,4,4} =4{1,1,1} 均与兀’平行，所以兀’的参数式方程为: 般方程为：2X+ y -3z - 2 = 0 . 2.化一般方程为截距式与参数式: 兀:X +2y-z+4 =0. 解：兀与三个坐标轴的交点为：(—4,0,0), (0—2,0), (0,0,4)， 所以，它的截距式方程为：△+丄+2 =1 又与所给平面方程平行的矢量为：｛4, —2,0｝,
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第三章平面与空间直线 § 3.1 平面的方程 1?求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程： (1)通过点M 1(3,1, 1)和点M2(1, 1,0)且平行 于矢量{ 1,0,2}的平面(2)通过点M i(1, 5,1)和M 2(3,2, 2)且垂直于xoy坐标面 的平面； (3)已知四点A(5,1,3) ，B(1,6,2)， C(5,0,4) D(4,0,6)。求通过直线AB 且平 行于直线CD的平面，并求通过 直线AB且与ABC平面垂直的平 面。 解：(1) M1M2 { 2, 2,1}，又矢量{ 1,0,2} 平行于所求平面， 故所求的平面方程为： x 3 2u v y 1 2u z 1 u 2v 一般方程为：4x 3y 2z 7 0
(2)由于平面垂直于艸面，所以它平 行于?轴，即似则与所求的平面 平行，又丽了 = {2,7.-3},平行于所 求的平面，所以要求的平面的参 数方程为： 耳二1 + 2聲 y = -5 + 7w z = \-3u + v 一般方程为：7(x-!)-2{y + 5) = 0 , 即 7JC- 2j^ - 17 = 0 o (3)( i )设平面”通过直线AB,且平 行于直线CD： AB= {-4,5^1} 9 CD = {-1A2} 从而”的参数方程为： x = 5 - 4y - v j = 1 + 5w z = 3 - w + 2v 一般方程为：10x + 9y + 5z-74 = 0 o (ii )设平面『通过直线AB,且垂直于/ 眈所在的平面 AB = {—，5厂I} , ABxAC^ {-4,5-1} x {0-1,1} = {4A4| = 4{1,IJ} 均与”，平行，所以疋的参数式方程
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第三章 常见曲面 习题3.1 1.证明：如果2220a b c d ++->，那么由方程 2222220x y z ax by cz d ++++++= 给出的曲面是一球面，求出它的球心坐标和半径。 证明：将方程配方得 222222()()()x a y b z c a b c d +++++=++-，由2220a b c d ++->，得到方 程表示球心是(,,)a b c --- 2.求过三点(3,0,0),(0,2,0),(0,0,1)的圆的方程。 解：空间中的圆可由过三点(3,0,0),(0,2,0),(0,0,1)的一个球面和一个平面的交线表示，设过该三点的球面方程为2220x y z ax by cz d ++++++=，得到 930,420,10a d b d c d ++=?? ++=??++=? 球面方程为22294(1)032 d d x y z x y d z d ++++- --++=，其中d 任意。 过该三点的平面方程是 132 x y z ++=，所以所求圆的方程可以为 2226()2(9)3(4)6(1)60, 23660 x y z d x d y d z d x y z ?++-+-+-++=? ++-=? 其中d 任意。 3.证明曲线 24224 3 24 ,1,(,)1,1t x t t t y t t t t z t t ? =?++? ? =∈-∞+∞?++??=?++? 在一球面上，并此球面方程。 证明：因为曲线满足
232 2 2 2 2 2 242424 2 224 2424 ()()()111()(1)11t t t x y z t t t t t t t t t t y t t t t ++=++++++++=++==++++ 即22211 ()24 x y z +- +=，所以曲线在一个球面上。 4.适当选取坐标系，求下列轨迹的方程 （1）到两定点距离之比等于常数的点的轨迹； （2）到两定点距离之和等于常数的点的轨迹； （3）到定平面和定点等距离的点的轨迹。 解（1）选直角坐标系使得定点坐标为(0,0,),(0,0,)a a -。设定比常数为0k >。所以动点(,,)x y z 满足2222222()(())x y z a k x y z a ++-=+++，化简有 222222222(1)(1)(1)2(1)(1)0k x k y k z a k z k a -+-+--++-=， 当1k =时，轨迹为平面0z =。 当01k <≠时，轨迹为球面2 2 2 2 22 1201k x y z a z a k +++-+=-。 （2）选直角坐标系使得定点坐标为(0,0,),(0,0,)a a -。设常数为0k >。所以动点 (,,)x y z k =，化简有 222222222444(416)40.k x k y k a z k a k ++-+-= （3）选直角坐标系使得定点坐标为(0,0,),a 定平面为z a =-。所以动点(,,)x y z 满足 z a =+，化简有224.x y az += 5.曲面S 在柱面坐标系(,,)R u v 下的方程为2 cos 2v R u =，求S 的直角坐标方程。 解：将柱面坐标与直角坐标的关系cos ,sin ,x R u y R u z v ===代入方程得到 22.x y z -= 6.曲面S 的直角坐标方程为22225x y z +-=，试求其球面坐标方程。 解：将球面坐标与直角坐标的关系cos cos ,cos sin ,sin x R y R z R θ?θ?θ===代 入方程得到2222222cos sin 25,x y z R R θθ+-=-=即2 cos 225.R θ=
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第三章 平面与空间直 线 § 3.1平面的方程 1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程： （1）通过点)1,1,3(1-M 和点)0,1,1(2-M 且平行于矢量}2,0,1{-的平面（2）通过点 )1,5,1(1-M 和)2,2,3(2-M 且垂直于xoy 坐标面的平面； （3）已知四点)3,1,5(A ，)2,6,1(B ，)4,0,5(C )6,0,4(D 。求通过直线AB 且平行于直线CD 的平面，并求通过直线AB 且与ABC ?平面垂直的平面。 解： （1） }1,2,2{21--=M M ，又矢量}2,0,1{-平行于所求平面， 故所求的平面方程为： 一般方程为：07234=-+-z y x （2）由于平面垂直于xoy 面，所以它平行于z 轴，即}1,0,0{与所求的平面平行，又 }3,7,2{21-=M M ，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为： 一般方程为：0)5(2)1(7=+--y x ，即01727=--y x 。 （3）（ⅰ）设平面π通过直线AB ，且平行于直线CD ： }1,5,4{--=，}2,0,1{-= 从而π的参数方程为： 一般方程为：0745910=-++z y x 。
（ⅱ）设平面π'通过直线AB ，且垂直于ABC ?所在的平面 ∴ }1,5,4{--=AB ， }1,1,1{4}4,4,4{}1,1,0{}1,5,4{==-?--=?AC AB 均与π'平行，所以π'的参数式方程为： 一般方程为：0232=--+z y x . 2.化一般方程为截距式与参数式： 042:=+-+z y x π. 解： π与三个坐标轴的交点为：)4,0,0(),0,20(),0,0,4(--， 所以，它的截距式方程为： 14 24=+-+-z y x . 又与所给平面方程平行的矢量为：}4,0,4{},0,2,4{-， ∴ 所求平面的参数式方程为： 3.证明矢量},,{Z Y X =平行与平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为：0=++CZ BY AX . 证明： 不妨设0≠A ， 则平面0=+++D Cz By Ax 的参数式方程为： 故其方位矢量为：}1,0,{},0,1,{A C A B -- ， 从而平行于平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为： ，}1,0,{},0,1,{A C A B -- 共面?