2021届湖南省五市十校高三上学期第二次大联考数学试题(解析版)

2021届湖南省五市十校高三上学期第二次大联考数学试题

一、单选题 1．设复数12i

z i i

-=+，则||z =（ ）

A ．0

B ．1

C

D ．2

【答案】C

【分析】化简已知复数有1z i =-，根据复数模的几何含义求||z 即可. 【详解】12(1)21i

z i i i i i

-=+=-++=-

∴||z =

故选：C

2．已知sin 0θ>，cos()0θπ->，则θ是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 【答案】B

【分析】根据三角函数的符号，可直接确定角所在的象限.

【详解】由cos()0θπ->得cos()cos()cos 0θππθθ-=-=->，则cos 0θ<， 又sin 0θ>，所以θ是第二象限角. 故选：B.

3．设等差数列{}n a 的公差为d ，若2n a

n b =，则“0d <”是“{}n b 为递减数列”的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】利用指数函数的单调性、数列增减性的定义以及等差数列的定义判断即可. 【详解】充分性：若0d <，则10n n a a d +-=<，即1n n a a +<，122n n a a +∴<，即1n n b b +<， 所以，数列{}n b 为递减数列，充分性成立；

必要性：若{}n b 为递减数列，则1n n b b +<，即122n n a a +<，1n n a a +∴<，则

10n n a a d +-=<，

必要性成立.

因此，“0d <”是“{}n b 为递减数列”的充要条件. 故选：C.

【点睛】本题考查充要条件的判断，同时也考查了数列单调性定义的应用，考查推理能力，属于中等题.

4．陈镜开(1935~2010)，新中国举重运动员，1956年在上海举行的“中苏举重友谊赛”中，他以133公斤的成绩，打破美国运动员C .温奇保特的56公斤级挺举世界纪录，这是中国运动员创造的第一个世界纪录1956~1964年期间，在上海?北京?莫斯科?莱比锡等国内外的重大举重比赛中，陈镜开先后9次打破最轻量级和次轻量级挺举世界纪录，举重比赛挺举项目中，运动员对所要重量有3次试举次数，只要一次试举成功即为完成本次所要重量的比赛，才有资格进入下轮所要更大重量的比赛，结合平时训练数据，某运动员挺举130公斤成功的概率为0.6(每次试举之间互不影响)，则在挺举比赛中，他有资格进入下轮比赛的概率是（ ） A ．0.784 B ．0.84 C ．0.904 D ．0.936

【答案】D

【分析】根据题意，设“该运动员进入下轮比赛”为事件A ，则其对立事件A 为“该运动员没有进入下轮比赛”，由相互独立事件概率计算公式可得()

p A ，进而由对立事件的概率性质计算可得答案.

【详解】解：设“该运动员进入下轮比赛”为事件A ， 其对立事件A 为“该运动员没有进入下轮比赛”， 事件A 即该运动员3次试举都失败， 则()

()3

10.60.064p A =-=，

则()()

110.0640.936p A p A =-=-=. 故选：D.

5．已知直线:10l x y +-=，圆2

2

:(1)(2)8C x y -+-=，则圆C 上到直线l 的距离

的点共有（ ） A ．1 B ．2个 C ．3 D ．4

【答案】C

【分析】根据圆心到直线:10

l x y

+-=的距离2

d=，结合半径22

r=求解.

【详解】如图所示：

由圆22

:(1)(2)8

C x y

-+-=，得圆心()

1,2

C，半径22

r=

又圆心到直线:10

l x y

+-=的距离为

121

2

2

d

+-

==

因为半径为22

r=

所以圆C上到直线l2的点共有3个，

故选：C

6．原油作为“工业血液”?“黑色黄金”，其价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经济.小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降，现小李有两种加油方案：第一种方案是每次加油40升，第二种方案是每次加油200元，则下列说法正确的是（）

A．第一种方案更划算

B．第二种方案更划算

C．两种方案一样

D．无法确定

【答案】B

【分析】分别求出两种方案的平均油价，结合基本不等式作出比较即可得出结论. 【详解】设小李这两次加油的油价分别为x元/升?y元/升，则：

方案一：两次加油平均价格为

4040

802

x y x y

xy

++

=

方案二：两次加油平均价格为

4002

200200

xy

xy

x y

x y

=≤

+

+

故无论油价如何起伏，方案二比方案一更划算. 故选：B .

7．如图，在半径为2的扇形AOB 中，34

AOB π

∠=

，P 是弧AB 上的一个三等分点，,M N 分别是线段OA ，OB 上的动点，则PM PN ?的最大值为（ ）

A 2

B ．2

C ．4

D ．2

【答案】C

【分析】根据向量的线性运算得,PM PO OM PN PO ON =+=+，再利用向量数量

积公式整理得2

4(2)2

PM PN OM ON ?=-?+，当||0=OM 时，PM PN ?取最大值4.

【详解】解析：34AOB π

∠=

，P 是弧AB 上的一个三等分点，故2

POB π∠=，4

POA π

∠=

，

2

()()PM PN PO OM PO ON PO PO ON PO OM OM ON

?=+?+=+?+?+?332402||cos

||||cos 4||(2||)4442

OM OM ON OM ON ππ=++?+=-?+≤ 故当||0=OM 时，PM PN ?取最大值4.

【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 8．函数1()2cos 12

f x x x π??

=+ ?-??

在区间[2,4]-上的所有零点的和为（ ） A ．4 B ．6

C ．4π

D ．6π

【答案】A

【分析】函数()f x 的零点就是函数11y x =

-与函数2cos 2

y x π

??

=-

???

图象交点的横坐标，只需画出函数11y x =

-和函数2cos 2

y x π

??

=- ???

在同一坐标系中的图象，根据图象的对称性确定交点的横坐标之和.

【详解】令()0f x =，得

12cos()12

x x π

=--， 函数()f x 的零点就是函数1

1

y x =-与函数2cos()2y x π=-图象交点的横坐标.

又函数1

1

y x =-的图象关于点(1,0)对称，函数2cos()2y x π=-的周期为4，其图象也

关于点(1,0)对称，画出两函数图象如图所示：

由图象可知两函数图象在[2,4]-上共有4个交点，这4个点两两关于点(1,0)对称，故其横坐标的和为4. 故选：A

【点睛】求解函数零点的和的一般方法有：

（1）直接法：令()0f x =，求解函数()f x 的所有零点的值，然后确定所有零点的和； （2）数形结合：令()0f x =，然后将方程灵活变形，转化为函数()()g x h x =的模型，画出()g x 和()h x 的图象，根据量函数图象的单调性、奇偶性、对称性及周期性等，确定交点的个数及交点的横坐标关系，然后求和即可.

二、多选题

9．某校对120名考生的数学竞赛成绩进行统计，分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ）

A ．0.008=a

B ．该校学生数学竞赛成绩落在[)60,70内的考生人数为24

C ．该校学生数学竞赛成绩的中位数大于80

D ．估计该校学生数学竞赛成绩的平均数落在[)70,80内 【答案】BD

【分析】根据频率分布直方图性质可判断A 的正误；根据频率分布直方图，求得[)60,70的概率，即可求得该组人数，即可判断B 的正误；根据频率分布直方图中位数的求法，可判断C 的正误；根据频率分布直方图中平均数的求法，求得平均数，可判断D 的正误，即可得答案.

【详解】对于A ，由频率分布直方图性质得：()0.020.0350.025101a a ++++?=，解得0.01a =，故A 错误；

对于B ，由频率分布直方图得成绩落在[)60,70的概率为0.2，人数为0.212024?=，故B 正确；

对于C ，由频率分布直方图得：[)50,70的频率为()0.010.02100.3+?=，[)70,80的频率为0.035100.35?=，所以成绩的中位数位于[)70,80内，故C 错误； 对于D ，估计成绩的平均数为：

550.0110650.0210750.03510850.02510950.011075.5

x =??+??+??+??+??=所以成绩的平均数落在[)70,80内，故D 正确. 故选：BD.

10．已知实数,x y 满足3311log log 33x y

x y ????-<- ? ?????

，则下列结论正确的是（ ）

A ．

11x y

> B ．33x y < C ．21x y -<

D ．ln()0y x ->

【分析】构造函数31

()log ()3

x

f x x =-，判断其在()0,∞+上单调递增，可得0x y <<，

再利用单调性逐一分析选项中的不等式是否成立即可.

【详解】因为3311log log 33x y

x y ????-<- ? ?????

成立，所以,x y R +∈， 由3311log log ()()3

3

x

y

x y -<-变形得3311log ()log ()3

3

x

y

x y -<-， 令函数31()log ()3

x

f x x =-，

因为31log ,()3

x

y x y ==-都在()0,∞+递增，

所以函数31()log ()3

x f x x =-在()0,∞+上单调递增，

3311

log ()log ()33

x y x y -<-即()()f x f y <，

所以0x y <<，

因为函数1

y x =

在()0,∞+上单调递减，所以11x y

>，A 正确； 因为函数3

y x =在()0,∞+上单调递增，所以3

3

x y <，B 正确；

因为0x y -<，函数2x

y =在(),-∞+∞上单调递增，所以0221x y -<=，C 正确；

0y x ->，ln()y x -的符号可正可负，D 错.

故选：ABC.

【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是构造函数31

()log ()3

x

f x x =-，并判断其单调性，再根据单调性得到0x y <<.

11．已知函数()2cos (sin cos )f x x x x =-，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()y f x =在区间0,8π??

???

上为增函数 B ．直线38

x π

=

是函数()y f x =图像的一条对称轴 C ．函数()y f x =的图像可由函数sin 2y x =的图像向右平移8

π

个单位得到 D ．函数()y f x =的图像关于点,08π??

???

对称

【分析】先将函数变形为sin ωφf x A x B 的形式，然后利用三角函数的性质

逐一判断． 【详解】解：

()22sin cos 2cos sin 21cos 22sin 214f x x x x x x x π?

?=-=--=-- ??

?，

对于A 选项，当0,8x π??

∈ ?

??时，2,044x ππ??-∈- ???

，函数()y f x =为增函数，A 正确； 令242

x k π

π

π-

=

+，k ∈Z ，得382

k x ππ=

+，k ∈Z ，当0k =时，38x π=，所以

直线38

x π

=是函数()y f x =图象的一条对称轴，B 正确；

函数sin 2y x =的图象向右平移8

π

个单位得到函数

sin 2sin 284y x x ππ?????

?=-=- ? ????

?????图象，C 错误；

2sin 211884y f πππ??=???= ??-- ???=-?

，故函数()y f x =的图像关于,18π??

- ???对

称，D 错误， 故选：AB.

12．如图，在长方体1111ABCD A B C D -，中，11AD DD ==，3AB =，E 、F 、

G 分别是AB ，BC ，11C D 的中点，则下列说法正确的是（ ）

A ．11

B

C

D

E ⊥ B ．1//D C 平面GEF

C ．若点P 在平面ABC

D 内，且1//D P 平面GEF ，则线段1D P 2

D ．若点Q 在平面ABCD 内，且11D Q B C ⊥，则线段1D Q 长度的最小值为2 【答案】ABD

【分析】连接AC ，1D A ，1BC ，根据线面垂直的判定定理，先证明1B C ⊥面11ABC D ，即可得到11B C D E ⊥；判断A 正确；根据A 选项，可判断D 选项中点Q 的轨迹是直线

AB ，求出1D Q 的最小值，进而可判断D 正确；根据线面平行、面面平行的判定定理及

性质，可证明B 正确，结合B 选项，得到C 选项中，P 的轨迹是直线AC ，求出1D P 的最小值，即可判定C 错. 【详解】连接AC ，1D A ，1BC ，

在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD DD ==，

所以侧面11ADD A 与侧面11BCC B 都为正方形，AB ⊥平面11BCC B ， 因此11B C BC ⊥，1B C AB ⊥， 又1

BC AB

B ，1B

C ?面11ABC

D ，AB 面11ABC D ，

∴1B C ⊥面11ABC D ，

又

1D E ?面11ABC D ，∴11B C D E ⊥，故A 选项正确；

1B C ⊥面11ABC D ，且11D Q B C ⊥，∴点Q 的轨迹是直线AB ，

∴为使1D Q 取得最小值，只需1D Q AB ⊥，即Q 与A 重合，此时，12D A =D

选择项正确；

E 、

F 、

G 分别是AB ，BC ，

11C D 的中点，

所以//EF AC ，1//AD GE ， 又EF ?平面GEF ，GE

平面GEF ，AC ?平面1AD C ，1AD ?平面1AD C ，

∴面1//AD C 面GEF ，

又

1D C ?面1AD C ，1//D C ∴面GEF ，故B 选项正确；

若P 在平面ABCD 内，且1//D P 面GEF ，则由B 选项可知：P 的轨迹是直线AC ，

为使线段1D P 长度最小，只需1D P AC ⊥，此时在1D AC 中，1AD =

12D C =，

2AC =，

1D P AC ⊥，∴111sin 4D P AD D AC =∠==，故C 选项错

误.

故选：ABD.

【点睛】方法点睛：

证明空间中位置关系时，通常需要根据空间中线面、面面垂直或平行的判定定理及性质，进行证明即可；有时也可建立适当的空间直角坐标系，求直线的方向向量和平面的法向量，根据空间位置关系的向量表示即可证明.

三、填空题

13．若一个圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为________． 【答案】2π

【分析】由圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，可得圆锥的底面圆的直径、母线长均为2，求得底面圆半径，进而根据圆锥侧面积公式S rl π=求得结果。

【详解】因为圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，所以圆锥底面圆的半径1r =，母线长2l =，所以圆锥的侧面积为2rl ππ=。

【点睛】本题考查圆锥的轴截面、侧面积，属于基础题。考查空间想象能力、运算能力。圆锥的轴截面是以圆锥母线为腰、圆锥底面圆直径为底的等腰三角形。

14．5

232x x ??- ??

?的展开式中21x 的系数为__________.

【答案】810

【分析】由二项式定理可知5

232x x ??- ???

展开式的通项为5103152(3)r r r r

r T C x --+=??-?，

令1032r -=-，得4r =，进而确定展开式中

21

x

的系数. 【详解】5

232x x ??- ??

?展开式的通项为

2551031553

(2)()2(3)r r r r r r r r T C x C x x

---+=??-=??-?，

令1032r -=-，得4r =， 所以展开式中

21x

的系数为414

52(3)810C ??-=. 故答案为：810.

【点睛】(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．

(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．

15．已知12,F F 分别是双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的左，右焦点，P 是双曲线C 的

右支上一点，1O 是12PF F 的内心，且1211112

::1:2:3O F P

O F P

O F F S S

S

=，则C 的离心

率为__________. 【答案】3

【分析】由焦点三角形内心与各顶点构成的三角形中1211112

::1:2:3O F P

O F P

O F F S S

S

=，

令内切圆半径为r 有1211112

21121

1

1

||,||,||2

2

2

O F P

O F P

O F F S

PF r S PF r S F F r =

=

=

，且12||||2PF PF a -=，即可求离心率.

【详解】设内切圆半径为r ，则

1211112

21122112111

::||:||:||||:||:||1:2:3222

O F P O F P O F F S

S S

PF r PF r F F r PF PF F F =

==， 故21212||||33PF F F c ==，11224||||33PF F F c ==，又12||||2PF PF a -=，即2

23

c a =， 故3e =. 故答案为：3

【点睛】关键点点睛：根据内心与三角形各顶点构成的三角形面积公式并结合已知面积比得到2112||:||:||1:2:3PF PF F F =，进而求得离心率.

16．“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉.声音越大，涌起的泉水越高，已知听到的声强m 与标准声调0m (0m 约为1210-，单位：2W /m 之比

的常用对数称作声强的声强级，记作L (贝尔)，即0

lg

m

L m =，取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝，已知某处“喊0m 泉”的声音响度y (分贝)与喷出的泉水高度x (米)满足关系式2y x =，现知A 同学大喝一声激起的涌泉最高高度为50米，若A 同学大喝一声的声强大约相当于10个B 同学同时大喝一声的声强，则B 同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为__________米 【答案】45

【分析】设B 同学的声强为m ，喷出泉水高度为x ，根据0

lg

m

L m =以及某处“喊0m 泉”的声音响度y (分贝)与喷出的泉水高度x (米)满足关系式2y x =，得到0

10lg

2m

x m =，0

1010lg

250m

m =?求解. 【详解】设B 同学的声强为m ，喷出泉水高度为x ，则A 同学的声强为10m ，喷出泉水高度为50， 因为0

10lg

2m

x m =，即0lg lg 0.2m m x -=, 又因为0

1010lg

250m

m =?，即01lg lg 10m m +-=, 相减得1100.2x =-,即0.29x =, 解得45x =. 故答案为：45.

17

．在①22cos a b C =；②2224a c b S +-=，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.

在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设ABC 的面积为S ，已知_________. （1）求tan B 的值；

（2）若10,5S a ==，求b 的值.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】条件选择见解析；（1）1；（2

【分析】（1）若选择

①22cos a b C =，先利用正弦定理进行边角互化，再结合

正余弦的和差角公式化简可得cos 2

B =

，得出tan 1B =；若选择②2224a c b S +-=，利用余弦定理及面积公式可得2cos 2sin ac B ac B =，得

tan 1B =；

（2）由（1

）可知sin B ，由1sin 2

S ac B =及5a =

得，c =，再根据余弦定理求解b 的值.

【详解】解析：（1）选择条件①.

222cos a c b C -

=，

2sin 2sin cos A C

B C ∴=

2sin cos 2cos sin 2sin cos B C B C C B C ∴+

=，

得cos B =

，tan 1B ∴= 选择条件②，由余弦定理及三角形的面积公式可得：2cos 2sin ac B ac B =， 得sin tan 1cos B

B B

=

=. （2）由tan

1B =得sin B =

，∵10S =，5a =

， ∴11sin 51022S ac B c

=

=?=，解得

c =.

由余弦定理得：b =【点睛】本题考查解三角形，难度一般.解答的关键在于根据题目中边角关系，运用正弦定理进行边角互化、再根据两角和与差的正弦公式进行化简是关键. 一般地，当等式中含有a ,b ,c 的关系式，且全为二次时，可利用余弦定理进行化简；当含有内角的正弦值及边的关系，且为一次式时，可考虑采用正弦定理进行边角互化.

四、解答题

18．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，2

312a a =，4a 是24a 与32a 的等差中项.

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()111n

n n n a b a a +=

--，求数列{}n b

的前n 项和n T .

【答案】（1）2n

n a =；（2）11121

n n T +=-

-.

【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为()0q q >，根据题意可得出关于1a 、q 的方程

组，解出这两个量的值，进而可求得数列{}n a 的通项公式； （2）求得1

11

2121

n n n b +=

---，利用裂项相消法可求得n T . 【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为()0q q >，依题有10a >，0q >，

由题意可得4232

312422a a a a a =+??=?，即32

11122

111

220,0

a q a q a q a q a a q ?=+?=??>>?，解得122a q =??=?， 因此，111222n n n

n a a q --==?=；

（2）()()11211

21212121n n

n n n n b ++==-----，

因此，

122211

31

11112121211211

1121212n n n n n T b b b ++??????=++

+=-+-+

+=- ? ? ?----?-?????

---.

【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；

（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；

（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法； （4）对于11n n a a +??

????

型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.

19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，

1AP AB ==，PD 与底面ABCD 所成角的正切值为

1

3

，F 是PB 的中点，E 线段BC 上的动点.

（1）证明：AF ⊥平面PBC ； （2）若二面角P DE A --的余弦值为

314

14

，求BE 的长. 【答案】（1）证明见解析；（2）1BE =.

【分析】（1）先通过题目条件证明BC ⊥平面PBC ，得到BC ⊥AF ，由1AP AB ==，F 是PB 的中点，

得到⊥AF PB ,再根据线面垂直的判定定理证明出AF ⊥平面PBC ； （2）以AD ，AB ，AP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设(03)BE x x =≤≤，则(),1,0E x ，计算平面PDE 的法向量及平面DAE 的法向量，

使平面PDE 和平面DAE 的法向量夹角余弦值的绝对值为314

14

，求解出x 的值. 【详解】（1）证明：

PA ⊥平面ABCD BC ?，平面ABCD ，

∴BC PA ⊥.

又BC AB ⊥，AB

AP A =，AB ，AP ?平面PAB ，

∴BC ⊥平面PBC ，

又AF ?平面PAB ，∴AF BC ⊥. 又1==PA AB ，F 是PB 的中点，

∴⊥AF PB ，

又

PB

BC B =，PB ，BC ?平面PBC ，

∴AF ⊥平面PBC .

（2）以AD ，AB ，AP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示.

∵PD 与底面ABCD 所成角的正切值为1

3

，1AP =，∴3AD =， 则()0,0,1P ，()0,1,0B ，()3,0,0D . 设(03)BE x x =≤≤，则(),1,0E x ，

设平面PDE 的法向量为()000,,m x y z =，由00

m PD m PE ??=?

?=?，得：(1,3,3)m x =-，

而平面ADE 的一个法向量为()0,0,1AP =，依题意得：

||314

||||

m AP m AP ?=

?， 即

2

314

10(3)x =

+-，得1x =或5x =(舍). 故1BE =.

【点睛】本题的难点在于（2）中已知二面角大小求解设BE 的长，解答时设

(03)BE x x =≤≤，可采用空间向量的方法求解，先利用空间向量求解已知面的法向量，

使法向量满足条件，然后求解出x 的值.

20．某公司有1400名员工，其中男员工900名，用分层抽样的方法随机抽取28名员工进行5G 手机购买意向调查，将计划在今年购买5G 手机的员工称为“追光族”，计划在明年及明年以后购买5G 手机的员工称为“观望者”，调查结果发现抽取的这28名员工中属于“追光族”的女员工有2人，男员工有10人.

（1）完成下面2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；

属于“追光族”

属于“观望者”

合计

（2）在抽取的属于“追光族”的员工中任选4人，记选出的4人中男员工有X 人，女员工有Y 人，求随机变量X Y ξ=-的分布列与数学期望.

附：2

2

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.

2.072

【答案】（1）列联表答案见解析，没有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；（2）分布列答案见解析，数学期望：

8

3

. 【分析】（1）根据题意写出列联表，代入公式计算出2K ，进行判断即可；

（2）机变量ξ的所有可能取值为0,2,4，分布求出对应概率，列出分布列，求出期望即可．

【详解】解：（1）由题意得：2×2列联表如下：

22

28(28810)448= 3.3212161018135

K ??-?=≈??? 3.841<，

故没有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；

（2）由（1）知在样本里属于“追光族"的员工有12人.其中男员工10人，女员工2人， 所以ξ可能的取值有0,2,4，

401024

1221014

(4)(40)=49533C C P P X Y C ξ======且，3110241224016

(2)(31)=49533C C P P X Y C ξ======且，

221024

121

(0)(22)=49511

45C C P P X Y C ξ======且， ξ∴的分布列为：

ξ∴的期望()02

41133333

E ξ=?

+?+?=

. 【点睛】思路点睛：求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤： （1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；

（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；

（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）.

21．已知椭圆()22

22:10x y E a b a b

+=>>的右焦点为)

F

，顺次连接椭圆E 的四

的菱形. （1）求椭圆E 的标准方程； （2）

设24,33M ??

???

，O 为坐标原点，A 、B 是椭圆E 上两点，且AB 的中点在线段OM （不含端点O 、M ）上，求AOB 面积S 的取值范围.

【答案】（1）22

142

x y +=；（2）(

. 【分析】（1）根据题意可得出关于a 、b 的方程组，解出2a 、2b 的值，由此可得出椭圆E 的标准方程；

（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，利用点差法可求得直线AB 的斜率为1

4

-

，设直线AB

的方程为

1

4

y x m

=-+，与椭圆E的方程，由0

?>得出2

9

4

m<

，列出韦达定理，计算出AB以及原点O到直线AB的距离，可得出S关于m的表达式，进而可求得S的取值范围.

【详解】（1）依题意：

222

222

64

22

a b a

a b b

??

+==

?

??

-==

??

，因此，椭圆E的标准方程为

22

1

42

x y

+=；

（2）设()

11

,

A x y、()

22

,

B x y，

则AB的中点1212

,

22

x x y y

++

??

?

??

在线段OM上，且2

OM

k=，则()

1212

2

y y x x

+=+，又

22

11

22

22

1

42

1

42

x y

x y

?

+=

??

?

?+=

??

，两式相减得：

()()()()

121212120

42

x x x x y y y y

+-+-

+=，

可得1212

1212

1

2

y y y y

x x x x

-+

?=-

-+，

易知：120

x x

+≠，

12

y y

+≠，12

12

1

4

y y

x x

-

∴=-

-

，

设直线AB的方程为

1

4

y x m

=-+，

联立

22

1

4

1

42

y x m

x y

?

=-+

??

?

?+=

??

得22

9816320

x mx m

-+-=.

所以，()()

222

64491632128940

m m m

?=-??-=->，可得2

9

4

m<，

由韦达定理可得

12

8

9

m

x x

+=，

2

12

1632

9

m

x x

-

=，

又12

42

0,

293

x x m

+??

=∈ ?

??

，所以

3

2

m

<<，

AB ==

，

原点O 到直线AB 的距离为d =

112299S AB d ∴=?=?=

9=

3

02m <<，则2999888m -<-<，所以，(

9S =. 【点睛】方法点睛：解决中点弦的问题的两种方法：

（1）韦达定理法：联立直线与曲线的方程，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；

（2）点差法：设出交点坐标，利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标代入曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率关系求解.

22．已知函数()(ln 1)(1)(0)f x x ax a =-->，设曲线()y f x =在点(,())e f e 处的切线方程为()y g x =. （1）求()g x 的解析式；

（2）证明：对定义域内任意x ，都有()()f x g x ；

（3）当1a =时，关于x 的方程()f x m =有两个不等的实数根12,x x ，证明：

21111e x x m e e ?

?-<++- ?-??

.

【答案】（1）1()()()g x a x e e

=--；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【分析】（1）求导'

1()ln f x a x x

=-，求得'()f e ，()f e ，由直线的点斜式方程可得()g x 的解析式.

（2）令'

()()()()()()F x f x g x f x f e x e =-=--，求导，判断其导函数的符号，得出

函数()F x 的单调性，求得其最值，可得证；

（3）当1a =时，()(ln 1)(1)f x x x =--，由（1）（2）得()y f x =在(,0)e 处的切线