哥德巴赫猜想读后感
哥德巴赫猜想读后感
哥德巴赫猜想读后感
前几天，看了青年批评家李云雷的“重读《哥德巴赫猜想》”的文章。也许文章经由岁月的沉淀，以彼时彼地来看这篇当时曾轰动一时的作品，会更客观和理性，也会更能看出它成功的原因。
作者从徐迟的这篇讲演文学所产生的巨大的轰动效应，而到90年代他所写的《来自高能粒子的信息》的反应平平。这种反差的现象，作者不是简朴从艺术的角度或者科学的角度去分析。而是把它放在当时的社会环境和人文环境中来分析。
《哥德巴赫猜想》写作时，是人民文学主动邀请的，这是为1978年“全国科学大会“召开所做的一种思惟和舆论预备。可以说是时代所需，那时恰是知识分子的转型期，从文化大革命对知识分子的摧残到逐渐的恢复。《哥德巴赫猜想》写出了知识分子的心声，所以才会引起反响。
徐迟之前曾是以诗歌而引起关注的，之后转向讲演文学。但诗人的富于激情的语言结合科学的客观性，而成就了文学与科学的完美结合。完美的艺术，知识分子对知识的渴求，国家对知识的正视。大环境和小环境的需要，恰是它成功的原因。
而90年代徐迟的讲演文学，却反响平平。不是由于他
的艺术水平的欠缺。而是当今的环境，在市场环境，消费主义，享乐观念的坏境下，金钱成了衡量一切的尺度。文学，科学，知识的边沿化。人们价值观念的缺失。这种种的社会环境所致的啊。
人类社会往往会从一个极端而走向另一个极端。盲目的向前发展，而没看到事物的两面性。由极真个追求精神需要到极真个物质追求，在追求精神建设的时候忽略了经济的发展，在发展经济的时候忽略了精神的建设，直至泛起了很多题目的时候才有所警醒。所以只好由缺失而警醒而改变。这种被动的去改变，发展。有时候是逛逛退退再退退逛逛的反复过程之中。
客观而理性的分析，让我受益匪浅。也悟出了很多人生，社会的道理。
哥德巴赫猜想读后感星期五，我跟同学借了《学党史唱赞歌树美德》，读了里面的故事，叫《哥德巴赫猜想的证明》。
有一次，陈景润发现自己的头发长了，到理发店去理发，他的号码是38号，他心想：还早着呢，先到图书馆去查查上午不会做的题目，再来也不迟。谁知，他刚走一会儿，就轮到他理发了，理发店叔叔大叫：“38号，谁是38号？”可他在图书馆，那里听得到理发店叔叔的叫喊。天色渐渐暗下来，图书馆的下班铃响了，管理员说：“下班了，大家回去
吧！”大家都走了，可陈景润在一个劲儿看书呢，没听到铃声。管理员以为大家都回去了，就把大门关了起来。
陈景润向窗外看了看，说：“天气真怪，刚才还大晴天的，怎么一会儿就要下雨了？”说着便把灯打开了，又看了一会儿书，就准备回宿舍了，可门却打不开，最后，他打电话给管理员开门。
我觉得陈景润很认真、很投入，连下班的铃都没听见。他还不肯浪费时间，一点点的理发时间都不肯浪费。书是他最好的朋友，这才使他当上了数学家，使他发现了哥德巴赫猜想的秘密。
哥德巴赫猜想
§5 哥德巴赫猜想 陈景润(1933—1996)，中国数学家、中国科学院院士.1933年5月22日生于福建福州，1996年3月19日卒于北京.1953年毕业于厦门大学数学系.1957年进入中国科学院数学研究所并在华罗庚教授指导下从事数论方面的研究．历任中国科学院数学研究所研究员、学术委员会委员，兼贵阳民族学院、河南大学、青岛大学、华中工学院、福建师范大学等校教授，国家科委数学学科组成员，《数学季刊》主编等职．主要从事解析数论方面的研究，并在哥德巴赫猜想研究方面取得国际领先的成果．这一成果国际上誉为陈氏定理，被广泛引用．与王元、潘承洞共同获得1978年国家自然科学奖一等奖．其后对上述定理又作了改进，并于1979年初完成论文《算术级数中的最小素数》，将最小素数从原有的80推进到16，受到国际数学界好评．对组合数学与现代经济管理、科学实验、尖端技术、人类生活密切关系等问题也作了研究．发表研究论文70余篇，并有《数学趣味谈》《组合数学》等著作． 1．哥德巴赫原是一位__________国教师，1725～1742年间在__________科学院工作，为该院院士.1742年，哥德巴赫在和他的好朋友、大数学家__________的几次通信中提出了关于正整数和__________之间关系的两个推测：(A)每一个不小于6的偶数都是两个__________的和，即n ＝p 1＋p 2；(B)每一个不小于9的奇数都是3个__________的和，即n ＝p 1＋p 2＋p 3. 这就是著名的哥德巴赫猜想． 2．哥德巴赫猜想第一次重大的突破是20世纪20年代获得的．哈代、李特尔伍德(J.E.Littlewood)建立了__________．使用这种圆法，在假定一条未经证明的著名猜想——__________猜想成立的前提之下，他们证明了两个命题： 命题1 每个充分大的奇数n 都是3个____________之和，即 n ＝p 1＋p 2＋p 3. 命题2 几乎所有偶数都是两个________之和． 这个命题意味着，假设M(x )表示不超过x 而又不能表示为两个奇素数之和的偶数，那么 ()lim x M x x ＝0. 俄国数学家________(I.M.Vinogradov)技高一筹，他使得哥德巴赫猜想的重要结果有了全面突破.1937年，他基本证明了猜想(B)： 每一个充分大的奇数n 都可以表示为三个素数之和： n ＝p 1＋p 2＋p 3. 3．1920年，挪威数学家________证明了每个大偶数均可以分解为两个自然数之和，其中，每一个自然数的素因子个数不超过9，简记为命题(9＋9)． 到了30年代，数学家们已经证明了命题(6＋6)． 著名数学家______在中国最早研究了哥德巴赫猜想． 早在1938年，他就证明了“几乎所有偶数都是两个素数之和”． 1957年，著名数学家________证明了命题(3＋2)． 在布朗的定理中，两个数都不能肯定为素数，如果能肯定其中一个数是素数，这样的命题可以记为：命题(1＋c )． 1948年，瑞尼(A.Renyi)证明了下面的定理． 瑞尼定理 存在一个正常数c ，使每一个充分大的偶数都可以分解为两个自然数的和，其中一个自然数为素数，另一个自然数的素因数个数不超过c . 自1948年以来，这种方式的证明不断有所进展． 1962年，我国著名数学家________证明了(1＋5)； 1963年，________与巴尔巴恩分别独立地证明了(1＋4)； 1965年，维诺格拉多夫、布赫夕塔布和________(E.Bombieri)都证明了(1＋3)； 1966年，我国著名数学家________证明了(1＋2)． 答案： 1．德 圣彼得堡 欧拉 素数 奇素数 奇素数
哥德巴赫猜想 阅读答案
成名之后的陈景润，最大的愿望就是登上哥德巴赫猜想的峰巅，摘取(1＋1)的璀璨明珠，闵嗣鹤先生不幸去世，陈景润痛哭不已，他为失去一个真正了解他的数学家而悲伤，私下里他曾告诉好友，闵先生去世了，今后谁来审他攻克(1＋1)的论文稿呢？忧伤至极时分，他曾经悲痛地说，我不做(1＋1)了。纯朴的陈景润担心知音断绝，世界上再也没有人能真正了解他，理解他，没有人能看得懂他的科研论文。人世间的冷遇、歧视、逆境所带来的种种压力，可以诱杀创造的生命，然而，对于那些心气不凡的人，也可能激起更大勇气，去搏取未来和明天。外国学者所称道的逆境是一所难得的学校，原因便在于此。颂歌、鲜花、掌声、顺境同样会带来盲目的自满，诱发廖荣，让那些奋斗者陶醉其中，而忘却了自己的神圣责任和使命。被胜利的欢歌所淹没的英雄已是屡见不鲜了。我们一次次地在鲜花和赞美中寻觅陈景润的足迹。事业、家庭皆十分完美的陈景润，并没有重蹈许多英雄的悲剧，他仍是一如既往地背着行囊，艰辛跋涉在通往哥德巴赫猜想顶峰的道路上。陈景润把做好攻克哥德巴赫猜想(1＋1)的外围工作，形象地比喻为是搭梯子。搭梯子何其容易？只有搭好人生的梯子，才有可能搭好科研攻关的梯子。他是不屈的。1985年，陈景润已开始病重，开始，他在中日友好医院住院治疗。他从小就多病，各种疾病像影子似地尾随着他，或许，是病久了，司空见惯，也就不当一回事了，他哪像住院，随身带去了书、各种资料，病房成了工作室，日日夜夜，仍在不停地计算、推理，时常工作到第二天凌晨四五点钟。令许多医生护士惊讶的是，几乎是打了个通宵的陈景润，第二天早晨，精神仍是很好。有时，他担心医生来查房，便故伎重演打开手电，躲在被窝里看书。他以燃烧自己生命之火的代价，希冀能搭起一座通往风光绮丽的峰巅的梯子。他会想起杜甫咏诸葛亮那悲壮的诗句么？出师未捷身先死，长使英雄泪满襟。在陈景润生命的辞典中，他几乎没有提到过让一般人感到恐怖的死亡二字。他经受的苦难太多，亦已经领略过死神的威胁，反而把这一切看淡了。他是一棵咬定青山不放松的竹子，任风雨飘摇，任严霜厉雪，我自岿然如故。他那非凡的韧性和把生命力量弘扬到极致境界的精神，为人们树立了一面最灿烂的生命之旗！在搭梯子的漫长岁月里，陈景润做过多少题目，真是算不清了。过去，他的草稿纸是用麻袋装的，后来，一摞摞地置放在书房里，有不少还放在办公室中。他已去世一年多了，至今，你走进数学所，在昔日同事的案头上，或者，在办公室的柜子里，陈景润的草稿纸随时可能找到。字迹如镌如镂，恰似就在昨日留下的，印记着这位数学巨人深深浅浅的脚印，也印记着无法让人释怀的记忆和淡淡的遗憾。陈景润生命的最后几年，依然在不懈地做着搭梯子的工作。他的最后一篇论文，是和王天泽先生合作的《关于哥德巴赫闯题》，梦魂牵绕数十年，数学皇冠的夺目异彩，一直烛照着他生命的全部航程。陈景润病重期间，眼睛睁不开，需要按摩达一个多小时，才能睁开一点点，懂事的欢欢从小就给陈景润按摩，竟然练就了一手让专业医生都感到惊奇的按摩本领。然而，他的头脑始终是清醒的，他躺在病榻上，和他的研究生一起，仍在不懈地探索着攀登之路。耗尽了生命的全部光华，遍寻数学的群山峻岭，陈景润虽然没有找到这条通往哥德巴赫猜想(1＋1)峰巅的神秘小径，也没有搭起那架等立云天直达九霄的梯子，但他的人生轨迹所焕发的崇高精神，却编织出一道足以让后来者继续攀登的阶梯。人生的梯子，应当像陈景润那样走，才能走进光辉的明天。(《哥德巴赫猜想》有删节)1.下列对传记的分析和概括，不正确的两项是( )(5分) A．作者认为，是人世间的冷遇、歧视、逆境所带来的种种压力，诱杀了陈景润创造的生命。B．陈景润的家庭和事业都很美满，他没有重演许多英雄的悲剧，背着行囊一如既往地问数学峰巅艰难攀登。C．陈景润的一生始终做着搭梯子的工作，因为他的人生梯子搭得好，所以科学攻关的梯子搭得很稳固。D．我们现在仍能看到的陈景润办公室里的草稿纸上的字迹，所留下的淡淡的遗憾是陈景润没有在有生之年摘取数学(1＋1)的桂冠。E．作者认为，人生的路应该像陈景润那样走，而科学研究的路就不能像他那样走，因为他没有搭建起直达九霄的梯子。2.陈景润搭梯子的不屈精神表现在哪里？它的意义是什么？请简要说明。(6
哥德巴赫猜想的证明思路
哥德巴赫猜想的证明方法 引言 数论之位数运算，一个新的的概念，一个新的方向，一个新的课题。希望广大数学爱好者能参加到这个课题的研究中，从中发现更多的理论，解决更多的问题。 目录 一、哥德巴赫猜想的证明思路 1、哥德巴赫猜想证明引入的一些符号代表含义 2、素数定理代数表达式 3、哥德巴赫猜想的证明 第一章哥德巴赫猜想的证明思路 通过证明一任意大偶数可拆分2素数之和的数量呈增长趋势来证明哥德巴赫猜想成立 一、哥德巴赫猜想证明引入的一些符号代表含义 1、n，（n≥1;n∈自然数） 2、Pn≈π（x）任意正整数n包含的素数数量 3、Pn1，（0，m）区间内素数数量 4、Pn2，（m，2m）区间内素数数量 5、Pm，任意正整数n包含的素数类型数量 5、（γ，γ=-0.0674243197727122）素数分布系数 6、（λ，λ=0.615885*********）素数类型中素数与伪素数等差比例
系数。 7、logn，以n为底的对数 8、H，小于等于n的所有素数类型的组合数量 9、H1，小于等于n的素数类型组合数量 10、Hn，取值为n时可拆分素数对数量 11、HAL，偶数类型1 12、HBL，偶数类型2 13、HCL，偶数类型3 14、HDL，偶数类型4 15、（m,2m 2m=n）相对区间 16、Hnx=Pn2*(Pn2*2+1)*H1/H,相对区间内两素数组合下限 17、HALx，偶数类型1组合下限 18、HBLx，偶数类型2组合下限 19、HCLx，偶数类型3组合下限 20、HDLx，偶数类型4组合下限 21、Hns=Pn1*(Pn1*2+1)*H1/H,相对区间内两素数组合上限 22、HALs，偶数类型1组合上限 23、HBLs，偶数类型2组合上限 24、HCLs，偶数类型3组合上限 25、HDLs，偶数类型4组合上限 二、素数定理代数表达式 1、Pn=π（x）≈(0.8n/3)/{γ+λ*（logn-2）+1}
验证哥德巴赫猜想
例7-3 验证“哥德巴赫猜想” ?“哥德巴赫猜想”是数论中的一个著名难题，200多年来无数数学家为其呕心沥血，却始终无人能够证明或伪证这个猜想。 ? ?“哥德巴赫猜想”表述为：任何一个大于等于4的偶数均可以表示为两个素数之和。 ? ?1742年法国数学爱好者哥德巴赫在给著名数学家欧拉的信中提出“哥德巴赫猜想”问题。 问题的分解 求解第一步提出问题： 验证哥德巴赫猜想 ?第二步设一上限数M，验证从4到M的所有偶数是否能被分解为两个素数之和。 1. 定义一个变量X，初值为4。 2. 每次令其加2，并验证X能否被分解为两个素数之和，直到 X不小于M为止。
验证哥德巴赫猜想（续一） 第三步如何验证X是否能被分解为两个素数之和。 1.从P=2开始； 2.判别X—P是否仍为素数： 3.若是，打印该偶数的分解式。 4.否则，换更大的素数，再继续执行2.。
如此循环，直到用于检测的素数大X/2且X 与其之差仍不是素数，则打印“哥德巴赫猜想”不成立。 验证哥德巴赫猜想（续二） 第四步生成下一个素数。 （1）当前素数P加1 （2）判别P是否是素数； （3）若是素数，返回P；
（4）否则，P加1，继续执行（ 2）。 验证哥德巴赫猜想（续三） ?经过四步分解精化，将“验证哥德巴赫猜想”这个命题已经分解为计算机可以求解的数学模型了。 ? ?剩下的问题就是编程求解了。如何编程是程序设计课程要解决的问题。 哥德巴赫猜想算法分析
1) 用“筛选”法生成素数表PrimeList[M]。先在素数表中产生０到Ｍ-1的所有自然数，然后将已确定的所有素数的倍数置０(求模取余为０）。 2,3,5,7,11,13,17,19,21,23,29,31... 2) 这样一来，素数表中有许多0，为找下一个素数，要跳过这些0。 3) 分解0到M-1之间的所有偶数； ①循环(x “哥德巴赫猜想”讲义（3） 第三讲 “哥德巴赫猜想”历史上的研究方法及其进展（二） 主讲王若仲 第2讲中我们介绍了“哥德巴赫猜想”历史上的研究方法及其进展途径一，这一讲我们介绍“哥德巴赫猜想”历史上的研究方法及其进展的其他途径。 途径二：例外集合，即寻找使得哥德巴赫猜想不成立的那些偶数。 在数轴上取定大整数x，再从x往前看，寻找使得哥德巴赫猜想不成立的那些偶数，即例外偶数。x之前所有例外偶数的个数记为E(x)。我们希望，无论x多大，x之前只有一个例外偶数，那就是2，即只有2使得猜想是错的。这样一来，哥德巴赫猜想就等价于E(x)永远等于1。当然，直到现在还不能证明E(x)=1；但是能够证明E(x)远比x小。在x前面的偶数个数大概是x/2；如果当x趋于无穷大时，E(x)与x的比值趋于零，那就说明这些例外偶数密度是零，即哥德巴赫猜想对于几乎所有的偶数成立。这就是例外集合的思路。 从1920年开始，哈代和利特尔伍德合作陆续发表了七篇总标题 为《“整数拆分”的几个问题》的论文，系统地发展出了堆垒素数论中一个新的分析方法。这个新方法的思想在1918年哈代与印度数学家拉玛努贾合写的论文《组合分析的渐进公式》中就有表现。应用到哥德巴赫猜想上的话，圆法的思想是：对于非零整数，沿着单位圆为路径的环路积分 当且只当整数的时候，上面的积分才等于1。因此，如果考虑积分式： 其中，那么这个积分式实际上等于： 上式中第二项等于0，所以 方程“”的解的个数。所以，关于偶数的哥德巴赫猜想其实等于是说对于所有大于等于6的偶数 ，单位圆上的环路积分式。同理，关于奇数的哥德巴赫猜想等价于环路积分式： 因此，研究哥德巴赫猜想可以归结为研究积分式和中以质数为变数的三角多项式 。哈代和利特尔伍德猜测，当变量接近于分母“比 较小”的既约分数时， 的值会“比较大”，而当接近于分母“比较大”的既约分数时，的值会“比较小”。也就是说，积分的主要部分其实是单位圆上分母“比较小”的那些既约分数附近的积分，其它的部分上积分则没那么重要，可以忽略掉了。因此，可以将整个单位圆分成两个部分：一部分是单位圆上分母“比较小”的那些既约分数附近包括的一些区间，哈代和利特尔伍德称其为“优弧”（major arc 与平面几何中的“优弧”不同），其余的部分 则称为“劣弧”（minor arc）。将整个积分 分成优弧上的积分 与劣弧上积分 之和，然后证明相比 起可以忽略，而，这就是圆法的主要思想[4]。哈代和利特尔伍德在1923年的论文中证明了，如果存在正数 ，使得所有的狄利 克雷L 函数的全体零点都在半平面 上，那么充分大的奇数 一定满 哥德巴赫猜想分析教案 世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年，哥德巴赫在教学中发现， 每个不小于6的偶数都是两个素数(只能被和它本身整除的数)之和。如6=3+3，12=5+7等等。 公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出 了以下的想法: (a)任何一个>=6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。 (b)任何一个>=9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。 这就是着名的哥德巴赫猜想。欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是 正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。从费马提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力 想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具体的验证工作，例 如:6=3+3,8=3+5,10=5+5=3+7,12=5+7,14=7+7=3+11,16=5+11,18=5+13,....等等。有人对 33×108以内且大过6之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但验格的数学证明尚待数学家的努力。 从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200年过去了，没 有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了20世 纪20年代，才有人开始向它靠近。1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明， 得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为(99)。这种缩小包围圈的办法很管用， 科学家们于是从(9十9)开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个 数里都是一个质数为止，这样就证明了“哥德巴赫”。 目前最佳的结果是中国数学家陈景润於1966年证明的，称为陈氏定理 (Chen‘sTheorem)“任何充份大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而後者仅仅是两 个质数的乘积。”通常都简称这个结果为大偶数可表示为“1+2”的形式。 1920年，挪威的布朗(Brun)证明了“9+9”。 1924年，德国的拉特马赫(Rademacher)证明了“7+7”。 1932年，英国的埃斯特曼(Estermann)证明了“6+6”。 1937年，意大利的蕾西(Ricei)先後证明了“5+7”,“4+9”,“3+15”和“2+366”。1938年，苏联的布赫夕太勃(Byxwrao)证明了“5+5”。 1940年，苏联的布赫夕太勃(Byxwrao)证明了“4+4”。 哥德巴赫猜想读后感 哥德巴赫猜想读后感 前几天，看了青年批评家李云雷的“重读《哥德巴赫猜想》”的文章。也许文章经由岁月的沉淀，以彼时彼地来看这篇当时曾轰动一时的作品，会更客观和理性，也会更能看出它成功的原因。 作者从徐迟的这篇讲演文学所产生的巨大的轰动效应，而到90年代他所写的《来自高能粒子的信息》的反应平平。这种反差的现象，作者不是简朴从艺术的角度或者科学的角度去分析。而是把它放在当时的社会环境和人文环境中来分析。 《哥德巴赫猜想》写作时，是人民文学主动邀请的，这是为1978年“全国科学大会“召开所做的一种思惟和舆论预备。可以说是时代所需，那时恰是知识分子的转型期，从文化大革命对知识分子的摧残到逐渐的恢复。《哥德巴赫猜想》写出了知识分子的心声，所以才会引起反响。 徐迟之前曾是以诗歌而引起关注的，之后转向讲演文学。但诗人的富于激情的语言结合科学的客观性，而成就了文学与科学的完美结合。完美的艺术，知识分子对知识的渴求，国家对知识的正视。大环境和小环境的需要，恰是它成功的原因。 而90年代徐迟的讲演文学，却反响平平。不是由于他 的艺术水平的欠缺。而是当今的环境，在市场环境，消费主义，享乐观念的坏境下，金钱成了衡量一切的尺度。文学，科学，知识的边沿化。人们价值观念的缺失。这种种的社会环境所致的啊。 人类社会往往会从一个极端而走向另一个极端。盲目的向前发展，而没看到事物的两面性。由极真个追求精神需要到极真个物质追求，在追求精神建设的时候忽略了经济的发展，在发展经济的时候忽略了精神的建设，直至泛起了很多题目的时候才有所警醒。所以只好由缺失而警醒而改变。这种被动的去改变，发展。有时候是逛逛退退再退退逛逛的反复过程之中。 客观而理性的分析，让我受益匪浅。也悟出了很多人生，社会的道理。 哥德巴赫猜想读后感星期五，我跟同学借了《学党史唱赞歌树美德》，读了里面的故事，叫《哥德巴赫猜想的证明》。 有一次，陈景润发现自己的头发长了，到理发店去理发，他的号码是38号，他心想：还早着呢，先到图书馆去查查上午不会做的题目，再来也不迟。谁知，他刚走一会儿，就轮到他理发了，理发店叔叔大叫：“38号，谁是38号？”可他在图书馆，那里听得到理发店叔叔的叫喊。天色渐渐暗下来，图书馆的下班铃响了，管理员说：“下班了，大家回去 关于哥德巴赫猜想问题的讨论及证明 mscdy2007@https://www.360docs.net/doc/2511582170.html, 一、余的分布 对任一自然数列1,2,3,4,……n即为以自然数n为模的余的全集。其中1,2,3,4,……n-1为模n的真余，当数列项为n时，余为0，当余为0时，为n的整余。 其中模n的真余分布值为(n-1)/n，而模n的整余分布值为1/n。 二、自然数a,b对模n的关系 设a>=b；r(a, n)为a模n的余值，r(b, n)为r(b, n)的余值，有下述关系： A 如果r(a,n)为整余，如果r(b,n)为整余，称a,b为同整余（r(a,n) = 0，r(b,n) = 0）； B1 如果r(a,n)为整余，如果r(b,n)为真余，称a,b为异余（r(a,n) = 0，r(b,n) != 0）； B2 如果r(a,n)为真余，如果r(b,n)为整余，称a,b为异余（r(a,n) != 0，r(b,n) = 0）； C 如果r(a,n)为真余，如果r(b,n)为真余，存在下述关系： C1 如r(a,n) = r(b,n)，称a,b为同余； C2 如r(a,n) = n - r(b,n)，称a,b为补余； C3 如r(a,n) != r(b,n)并r(a,n) + r(b,n) != n，称互为质余。 D 当n为双数时，并r(a,n) = n/2时，r(b,n)为同余时亦为补余。 三、两数和差的关系 当a,b关系为同整余时，r(a–b,n) = 0，r(a+b,n) = 0；即其和、差均能被n整除。 当a,b关系为异余时，r(a–b,n) != 0，r(a+b,n) != 0；即其和、差均不能被n整除。 当a,b关系为同余时，r(a–b,n) = 0，r(a+b,n) != 0；即其和不能被n整除、差能被n整除。当a,b关系为补余时，r(a–b,n) != 0，r(a+b,n) = 0；即其和能被n整除、差能不被n整除。当a,b关系为质余时，r(a–b,n) != 0，r(a+b,n) != 0；即其和、差均不能被n整除。 当a,b关系为D时，r(a–b,n) = 0，r(a+b,n) = 0；即其和、差均能被n整除。 四、质数余的讨论及两数互为异余或互为质余时分布值的讨论 关于质数，令i为自然数列1,2,3,4,……n中之一，当0 著名报告文学 哥德巴赫猜想 徐迟 “……为革命钻研技术，分明是又红又专，被他们攻击为白专道路”。 ——一九七八年两报一刊元旦社论《光明的中国》 一 命P x（1，2）为适合下列条件的素数p的个数：x-p=p1或x-p=p2p3其中p1，p2，P3都是素数。[这是不好懂的；读不懂时可以跳过这几行。用X表一充分大的偶数。 对于任意给定的偶数h及充分大的X，用X h（1，2）表示满足下面条件的素数p 的个数：p≤x,p+h=p1或h+p=p2p3其中p1,p2,p3都是素数。本文的目的在于证明并改进作者在文献[ 10] 内所提及的全部结果，现在详述如下。 二 以上引自一篇解析数论的论文。这一段引自它的“（一）引言”，提出了这道题。它后面是“（二）几个引理”，充满了各种公式和计算。最后是“（三）结果”，证明了一条定理。这篇论文，极不好懂。即使是著名数学家，如果不是专门研究这一个数学的分枝的，也不一定能读懂。但是这篇论文已经得到了国际数学界的公认，誉满天下。它所证明的那条定理，现在世界各国一致地把它命名为“陈氏定理”，因为它的作者姓陈，名景润。他现在是中国科学院数学研究所的研究员。 陈景润是福建人，生于一九三三年。当他降生到这个现实人间时，他的家庭和社会生活并没有对他呈现出玫瑰花朵一般的艳丽色彩。他父亲是邮政局职员，老是跑来跑去的。当年如果参加了国民党，就可以飞黄腾达，但是他父亲不肯参加。有的同事说他真是不识时务。他母亲是一个善良的操劳过甚的妇女，一共生了十二个孩子。只活了六个、其中陈景润排行老三。上有哥哥和姐姐；下有弟弟和妹妹。孩子生得多了，就不是双亲所疼爱的儿女了。他们越来越成为父母的累赘——多余的孩子，多余的人。从生下的那一天起，他就像一个被宣布为不受欢迎的人似的，来到了这人世间。 他甚至没有享受过多少童年的快乐。母亲劳苦终日，顾不上爱他。当他记事的时候，酷烈的战争爆发。日本鬼子打进福建省。他还这么小，就提心吊胆过生活。父亲到三元县的三明市一个邮政分局当局长。小小邮局，设在山区一座古寺庙里。这地方曾经是一个革命根据地。但那时候，茂郁山林已成为悲惨世界。所有男子汉都被国民党匪军疯狂屠杀，无一幸存者。连老年的男人也一个都不剩了。剩下的只有妇女。她们的生活特别凄凉。花纱布价钱又太贵了；穿不起衣服，大姑娘都还裸着上体。福州被敌人占领后，逃难进山来的人多起来。这里飞机不来轰炸，山区渐渐有点儿兴旺。却又迁来了一个集中营。深夜里，常有鞭声惨痛地回荡；不时还有 浅谈“哥德巴赫猜想”证明方法 务川自治县实验学校王若仲贵州564300 摘要：对于“哥德巴赫猜想”，我们来探讨一种证明方法，要证明任一不小于6的偶数均存在有“奇素数+奇素数”的情形，如果我们把“奇素数+奇素数”这样的情形若能转换到利用奇合数的情形来加以分析，也就是任意给定一个比较大的偶数2m，通过顺筛和逆筛的办法，顺筛就是筛除掉集合{1，3，5，7，9，…，（2m-1）}中的全体奇合数；逆筛就是在集合{1，3，5，7，9，…，（2m-1）}中再筛除掉偶数2m分别减去集合{1，3，5，7，9，…，（2m-1）}中的每一个奇合数而得到的全体奇数；以及筛除掉1和（2m-1）。通过这样筛除后，如果集合中还剩下有奇数，那么剩下的奇数必为奇素数，并且必定只满足“奇素数+奇素数=2m”的情形。 关键词：哥德巴赫猜想；奇素数；奇合数；顺筛；逆筛。 德国数学家哥德巴赫在1742年提出“哥德巴赫猜想”，即任何一不小于6的偶数均可表为两个奇素数之和。历史上研究“哥德巴赫猜想”的方法及进展。 (一)比较有名的方法大致有下面四种： （1）筛法，（2）圆法，（3）密率法，（4）三角求和法。 其中：筛法是求不超过自然数Ｎ（Ｎ＞1）的所有素数的一种方法，2m=a+b，a=p1p2p3…p i，b=q1q2q3…q j，筛法的基本出发点，即加权筛法；圆法是三角和（指数和）估计方法；密率法（概率法）是函数估值法。 (二)研究的进展 途径一：殆素数，即2m= a1〃a2〃a3〃…〃a i+ b1〃b2〃b3〃…〃b j。殆素数就是素因子个数不多的正整数。现设N是偶数，虽然现在不能证明N是两个素数之和，但是可以证明它能够写成两个殆素数的和，即N=A+B，其中A和B的素因子个数都不太多，譬如说素因子个数不超过10。现在用“a+b”来表示如下命题：每个大偶数N都可表为A+B，其中A和B的素因子个数分别不超过a和b。显然，哥德巴赫猜想就可以写成“1+1”。在这一方向上的进展都是用所谓的筛法得到的。 “a+b”问题的推进 看公式，别问为什么，已经忘了，今天也只是求验证，不作证明。 设一个不小的偶数2N ，在0到2N 内的素数个数为n ，函数()x f 为不大于x 的最大那个素数，偶数2N 符合哥德巴赫猜想的组数和的密度为p ，则有p 同时满足以下2个条件 ① p ≈() ???? ??--??????? ??--???? ??--???? ??--???? ?? --121111111171115111311N f [注:其实应该是大于号的，先划个约等号再说] ② 上式中?? ? ?? --111x 中的x 分别为 [ 3,N 2] 区间内的素数，若偶数2N 能被其中任意的一个素数x 整除，则上式去掉对应x 的那一项。 那么偶数2N 符合哥德巴赫猜想的组数和的组数m 为: m=n ×p × 2 1 (素数总个数×密度×2个一组) 举个简单例子，比如说偶数2N=100则: ()()10100f f ==7 (10以内最大的素数为7) 100能被5整除，所以要去掉5对应的那项，所以 p ≈??? ??--???? ?? -- 17111311=0.4166 100以内有25个素数(可查)，即n=25 100符合哥德巴赫猜想的组数和的组数约为 m=n ×p × 21 ≈25×0.4166×0.5≈5.2 事实上100有6组哥德巴赫猜想组数和: 100= {97+3 , 89+11 , 83+17 , 71+29 , 59+41 , 53+47} 真理不怕验证，有兴趣的可以验证其它数，接下来引入素数个数公式，2N 内的素数个数n 有: n ≈()()N f N f 212111076543221-???????? [大约的] 如果我们把n 和p 计算公式代进m 的公式那么我们会得到: m=n ×p ×21 > () N f 21×2N ×21 ≥ N 221 [过程略，今天不是来证明的] 如此看来哥德巴赫猜想组数跟N 2的一半有关。 《哥德巴赫猜想》阅读练习及参考答案 成名之后的陈景润，最大的愿望就是登上哥德巴赫猜想的峰巅，摘取(1＋1)的璀璨明珠，闵嗣鹤先生不幸去世，陈景润痛哭不已，他为失去一个真正了解 他的数学家而悲伤，私下里他曾告诉好友，闵先生去世了，今后谁来审他攻克(1＋1)的稿呢？忧伤至极时分，他曾经悲痛地说，我不做(1＋1)了。纯朴的陈 景润担心知音断绝，世界上再也没有人能真正了解他，理解他，没有人能看得 懂他的科研论文。 人世间的冷遇、歧视、逆境所带来的种种压力，可以诱杀创造的生命，然而，对于那些心气不凡的人，也可能激起更大勇气，去搏取未来和明天。外国 学者所称道的逆境是一所难得的学校，原因便在于此。颂歌、鲜花、掌声、顺 境同样会带来盲目的自满，诱发廖荣，让那些奋斗者陶醉其中，而忘却了自己 的神圣责任和使命。被胜利的欢歌所淹没的英雄已是屡见不鲜了。 我们一次次地在鲜花和赞美中寻觅陈景润的足迹。事业、家庭皆十分完美 的陈景润，并没有重蹈许多英雄的悲剧，他仍是一如既往地背着行囊，艰辛跋 涉在通往哥德巴赫猜想顶峰的道路上。 陈景润把做好攻克哥德巴赫猜想(1＋1)的外围工作，形象地比喻为是搭梯子。搭梯子何其容易？只有搭好人生的梯子，才有可能搭好科研攻关的梯子。 他是不屈的。1985年，陈景润已开始病重，开始，他在中日友好医院住院 治疗。他从小就多病，各种疾病像影子似地尾随着他，或许，是病久了，司空 见惯，也就不当一回事了，他哪像住院，随身带去了书、各种资料，病房成了 工作室，日日夜夜，仍在不停地计算、推理，时常工作到第二天凌晨四五点钟。令许多医生护士惊讶的是，几乎是打了个通宵的陈景润，第二天早晨，精神仍 是很好。有时，他担心医生来查房，便故伎重演打开手电，躲在被窝里看书。 他以燃烧自己生命之火的代价，希冀能搭起一座通往风光绮丽的峰巅的梯子。 他会想起杜甫咏诸葛亮那悲壮的诗句么？出师未捷身先死，长使英雄泪满襟。在陈景润生命的辞典中，他几乎没有提到过让一般人感到恐怖的死亡二字。他经受的苦难太多，亦已经领略过死神的威胁，反而把这一切看淡了。他是一 棵咬定青山不放松的竹子，任风雨飘摇，任严霜厉雪，我自岿然如故。他那非 凡的韧性和把生命力量弘扬到极致境界的精神，为人们树立了一面最灿烂的生 命之旗！ 在搭梯子的漫长岁月里，陈景润做过多少题目，真是算不清了。过去，他 的草稿纸是用麻袋装的，后来，一摞摞地置放在书房里，有不少还放在办公室中。他已去世一年多了，至今，你走进数学所，在昔日同事的案头上，或者， 在办公室的柜子里，陈景润的草稿纸随时可能找到。字迹如镌如镂，恰似就在 昨日留下的，印记着这位数学巨人深深浅浅的脚印，也印记着无法让人释怀的 记忆和淡淡的遗憾。 证明哥德巴赫猜想的简明思路与过程 1. 该课题的研究历史 上文中，哥德巴赫猜想的证明，涉及到数轴上不同属性自然数之分布规律。自然数除“1”之外，其余是位置互补的两类数：第一类是素数，也称为质数，它指那些大于1、且只能被1和自身整除的数；素数从唯一的偶素数2起始，存在无穷多个，但其分布是无章可循的。第二类是合数，它指那些两个以上素数之乘积。所以，素数只含本身一个素数因子；而合数至少含有两个素因子。由此可推知，任意合数b 的最小素因子， 。那么，不大于任意偶数a 2 所有素数之整倍数、就筛掉了不大于a 2的全部合数，就暴露出了小于a 2的素数。 哥德巴赫猜想命题，是1742年德国数学家哥德巴赫提出来的。其内容可表述为：凡是大于4的偶数必为两个奇素数之和。所以又将其简记为“1+1”，“1+1”可被形象地理解为一个只含“1”个素数因子的奇数、再加上一个只含“1”个素数因子的奇数。 该命题问世以来，其证明一直被喻为是摘取“数学皇冠上的明珠”。所以，1920年以来，全世界数学家展开了一场 “逐步逼近”、无限缩小包围圈的战役，依次证明出了“9+9”“7+7”…“1+2”。“1+2”是我国数学家陈景润于1966年证明出来的，被誉为“陈氏定理”，其结论是：充分大的偶数，可表示为一个素数和一个不超过2个奇素数乘积数之和。 但在人们庆幸该成果诞生之余，却无奈地发现终极目标“1+1”距我们并非只剩下“一步之遥”，而是还“远在天边”！因为从“9+9”到“1+2”的证明过程中，一直使用的这种“逐步逼近”的办法，似乎已走到了尽头，无法再继续下去、抵达终极目标“1+1”了！ 这种结局的积极意义是：它促使人们摆脱陈旧的定势思维、重起炉灶、另辟蹊径、建立新的数学模型、创新数学方法，使该课题峰回路转，闯出了柳暗花明的又一片新天地；但其消极影响也很严重，它挫伤了一些人的自信心，从而引发了许多悲观的、无所作为的论点。当时，某权威媒体曾刊文说：“大批中外数学家成年累月地努力尚未解决的难题，如果可以靠加加减减和微积分去解决，那么近百年的数学发展不是等于零吗？大批数学家的努力不是等于零吗？”这种棉里藏针且极为情绪化舆论压力，使得再也无人敢正视该课题的新研究成果，将其一概斥之为“胡说八道”。这就是1966年至今又过去了半个世纪！该课题仍然推不出更新的研究成果的主要原因之一！ 2.该课题研究的新思路和新证明方法 摆脱了旧有定势思维的禁锢、和逐步逼近的思想方法的束缚，思路便豁然开朗了。 如前所述，素数的分布是无章可循的；而小于 数确定的，是有章可循的。所以，用原来“逐步逼近”的方法、直接探寻无章可循的“1+1”，不如另辟蹊径、淘汰所有有章可循的非“1+1”，间接暴露出“1+1”。这就如同直接观察求索不可见之黑洞，不如根据周围可见天体的运动状态，去推测黑洞之存在位置一样。 为了暴露偶数a 2的素分割对“1+1” n 个，并用i p 表示其中任一个(1,2,3...)i n =。那么，在[0,2]a 上，只需筛掉所有i p 的整倍数，存留下来的整数就都是素数了。为了只存留能构成“1+1”的素数，可先分割、后筛选。即先将偶数a 2分割 a 2 哥德巴赫猜想 两百多年前，彼得堡科学院院士哥德巴赫曾研究过“将一个数表示成几个素数的和”的问题，他取了很多数做试验，想把它们分解成几个素数的和，结果得到一个断语：“总可将任何一个数分解成不超过三个素数之和．”但是哥德巴赫不能证明这个问题，甚至连如何证明的方法也没有，于是他写信给另一名彼得堡科学院院士、著名数学家欧拉，他在1742年6月7日的信中写道：“我想冒险发表下列假定‘大于5的任何数都是三个素数的和’．”这就是后来举世闻名的哥德巴赫猜想．同年6月30日，欧拉在给哥德巴赫的回信中说：“我认为‘每一个偶数都是两个素数之和’，虽然我还不能证明它，但我确信这个论断是完全正确的．” 这两个数学家的通信内容传播出来之后，人们就称这个猜想为哥德巴赫猜想或者哥德巴赫-欧拉猜想． 完整地说，哥德巴赫猜想是：大于1的任何数都是三个素数的和． 后来，人们把它归纳为： 命题A：每一个大于或者等于6的偶数，都可以表示为两个奇素数的和； 命题B：每一个大于或者等于9的奇数，都可以表示为三个奇素数的和．例如： 50=19+31；51=7+13+31； 52=23+29；53=3+19+31． 或50=3+47=7+43=13+37=19+31等． 1900年，著名数学家希尔伯特在巴黎国际数学家会议上提出了国际数学要研究的23个题目(后被称为希尔伯特问题)，其中哥德巴赫猜想命题A与另外两个有关问题一起，被概括成希尔伯特第8问题．这是著名的世界难题．1912年，第五届国际数学家会议上，著名数论大师兰道发言说，有四个数论上的问题是当时的科学水平不能解决的，其中一个是哥德巴赫猜想，即使把它改为较弱的命题：不论是不超过3个，还是不超过30个，只要证明存在着这样的正数C，而能使每一个大于或等于2的整数，都可以表示为不超过C个素数之和”(称为命题C)，也是当代数学家力所不能及的． 哥德巴赫猜想的最终证明 1742年6月7日,当时还是中学教师的哥德巴赫,写信给当时乔居俄国彼得堡的数学家欧拉一封信,问道:“是否任何不小于6的偶数,均可表示为两个奇素之和?”.20天后,欧拉复信写到:“任何不小于6的偶数,都是两个奇素数之和.这一猜想,虽然我还不能证明它,但是我确信无疑地认为这是完全正确的定理.”这就是一直未被世人彻底解决的著名的哥德巴赫猜想,也称为哥德巴赫----欧拉猜想. 命题简述为:(1)每个≥6的偶数都可表示为两个奇素数之和; (2)每个≥9的奇数都可表示为三个奇素数之和. 在260多年的漫长岁月里,各国数学都为证明这个猜想绞尽脑汁,但最终未能彻底证明.只是对第一部分进行了大量验证,对第二部分间接地进行了证明.现在让我们采用一种全新的方法揭示出这个猜想的 规律性,使这个定理得到最终证明. 要证明这个定理实质是解决下列问题: (1)奇素数如何表示? (2)猜想的第一部分能否由奇素数的表示法得到证明? (3)第二部分是否是第一部分的推论? 首先,让我们解决问题(1): 奇素数定理:p是一个奇素数,当且仅当, <1>p=3; <2>p=6k-1,且k≠6mn±(m-n),m,n为任意正整数; <3>p=6k+1,且k≠6mn±(m+n),m,n为任意正整数. 证明:=>若p是奇素数,则p≥3,若p=3,必要性显然;p>3时,p是素数则p/3余1或余2,即余1或-1,所以p=3p1±1,又p为奇数,从而p1 =2k,k为正整数,否则p为偶数.因而p=6k±1 当p=6k+1时,若存在正整数m,n使得k=6mn±(m+n) 则p=6[6mn±(m+n)]+1 =6m×6n±6(m+n)+1 =(6m±1)(6n±1) 从而p为合数,矛盾. 即不存在正整数m,n使得k=6mn±(m+n) 当p=6k-1时,若存在正整数m,n使得k=6mn±(m-n)则 p=6[6mn±(m-n)]-1 =6m×6n±6(m-n)-1 验证“哥德巴赫猜想在1000内成立 分析(简单算法)： ●主函数的算法：对4到1000之间的偶数进行穷举，验证每一个偶数都可以分解成两个 素数的和。(将分解过程单独写成一个函数goldbahe) ●函数goldbahe的算法：对于一个偶数even，要想分解成m+n，首先要对m从2至m/2 进行穷举，得到其中的一个数m，自然，另外一个数就是n=even-m，然后验证这一对数是否是素数，是的话，得到的m和n就是一组分解，不是继续判断下一组m和n.(这里判断素数可以另写成一个函数prime) ●函数prime的算法：对于一个数n,要判断它是否是素数，要从2至sqrt(n)进行穷举，验 证每一个数是否能整除n，如果发现能整除的数，说明n不是素数，返回0，否则，继续验证下一个数。直至循环结束返回1. (解法一:不用指针)#include 此文发表在：Advances in Theoretical and Applied Mathematics (A TAM), ISSN 0793-4554, V ol. 7, №4, 2012, pp.417-424 Proving Goldbach’s Conjecture by Two Number Axes’ Positive Half Lines which Reverse from Each Other’s Directions Zhang Tianshu Nanhai west oil corporation,China offshore Petroleum, Zhanjiang city, Guangdong province, P.R.China Email: tianshu_zhang507@https://www.360docs.net/doc/2511582170.html,; Abstract We know that every positive even number 2n(n≥3) can express in a sum which 3 plus an odd number 2k+1(k≥1) makes. And then, for any odd point 2k+1 (k≥1)at the number axis, if 2k+1 is an odd prime point, of course even number 3+(2k+1) is equal to the sum which odd prime number 2k+1 plus odd prime number 3makes; If 2k+1 is an odd composite point, then let 3“哥德巴赫猜想”讲义(3)
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证明哥德巴赫猜想的原文(英文)并附译后汉语