含参数不等式解法练习题
高二数学（含参数不等式解法）
一、选择题
1、如果不等式x 2 – log m x < 0在 x ∈( 0，
12
)上恒成立，则实数m 的取值范围是 A 、116≤m < 1 B 、0 < m ≤116 C 、0 < m < 14 D 、m ≥116
2、已知a > 0，b > 0，不等式 – a < 1x
< b 的解集是 A 、( - 1a ，0)∪(0，1b ) B 、( - 1b ，1a
) C 、( - 1b ，0)∪(0，1a ) D 、( - ∞，1a )∪(1b ，+ ∞) 3、设集合M = {x | > a 且a 2 – 12a + 20 < 0}，N = {x | x < 10}，则M ∩N 是
A 、{x | a < x < 10}
B 、{x | x > a}
C 、{x | 2 < x < 10}
D 、N 4、若函数 f(x) = 228x x --的定义域为M ，g(x) = 11||
x a --的定义域为N ， 则使M ∩N = ?的实数a 的取值范围是
A 、( - 1,3)
B 、(- 3，1)
C 、［- 1，3］
D 、［- 3，1］ 5、若关于x 的方程x 2 + ( a – 3)x + a = 0的两根均为正数，则实数a 的取值范围是
A 、0 < a ≤3
B 、a ≥9
C 、a ≥9或a ≤ 1
D 、0 < a ≤
1
6、已知函数f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d 的图象如右图，则
A 、b ∈( - ∞，0)
B 、b ∈( 0，1)
C 、b ∈( 1，2)
D 、b ∈(2，+ ∞) 7、不等式ax 2 + bx + 2 > 0的解集是( -
11,23) ，则a – b 等于 A 、- 4 B 、14 C 、- 10 D 、10
8、命题甲：ax 2 + 2ax + 1 > 0的解集是R ，命题乙：0 < a < 1，则命题甲是乙成立的
A 、充分非必要条件
B 、必要非充分条件
C 、充要条件
D 、既非充分又非必要条件
9、若|x – a| < h ，| y – a| < h ，则下列不等式一定成立的是
A 、| x – y| < h
B 、| x – y | < 2h
C 、| x – y| > h
D 、| x – y | > 2h
10、命题p ： 若a 、b ∈R ，则| a | + | b | >1是 | a + b| > 1的充分而不必要条件。
命题q ：函数y =
|1|2x --的定义域是( - ∞，- 1]∪［3， + ∞)，则 A 、“p 或q ”为假 B 、“p 且b ”为真 C 、p 真q 假 D 、p 假q 真
11、如果方程x 2 + (m –1 )x + m 2 – 2 = 0的两个实根一个小于- 1，另一个大于1那么实数m 的取值范围是
A 、（- 2，2）
B 、( - 2，0)
C 、( - 2，1)
D 、( 0，1)
12、设偶函数f(x) = log a | x – b| 在( - ∞，0)上递增，则f(a + 1)与f( b + 2) 的大小关系是
A 、f(a + 1) < f(b + 2)
B 、f(a + 1) > f(b + 2)
C 、f(a + 1) < f(b + 2)
D 、与a 的取值有关 二、填空题
13、设非等边三角形的最小角为θ，且cos θ = 12
x x --，则的取值范围是 ________ 14、若关于x 的不等式 | x + 2| + | x – 1 | < a 的解集为?，则a 的取值范围是 _____________
15、使不等式22
21ax x x x ---+ < 3对任意实数x 恒成立的a 的取值区间为(m ，n)，则m + n 的值为 _______________
16、已知关于x 的不等式()()x a x b x c ---≥0的解为 – 1 ≤ x ≤ 2或 x ≥3，则不等式()()x c x a x b ---≤ 0的解集是 _____________
三、解答题17、若a ≠±1，解关于x 的不等式
(1)(1)
x a x x --+≤ 0. 18、解关于x 的不等式a(ax – 1) > ax - 1 19、定义在( - 1，1)上的奇函数f(x) 是其定义域上的减函数，若f( 1 – a) + f( 1 – a 2) < 0，求实数a 的取值范围。 直线部分练习题
一、选择题
1、过点M(0，1)和N(1，m 2)(m ∈R)的直线的倾斜角为α的取值范围是
A 、［- 1，+ ∞)
B 、arctan( m 2 – 1)
C 、［ -
4π，π) D 、［0，2π)∪［34π，π) 2、设α是直线l 的倾斜角，若sin α =
12，则α的为 A 、6π B 、3π C 、6π或 56π D 、k π+6
π
3、如图，直线 l 1、l 2、l 3 的倾斜角分别为α1、α2、α3，则
A 、k 1 < k 2 < k 3
B 、k 1 < k 3 < k 2
C 、k 3 < k 2 < k 1
D 、k 3 < k 1 < k 2
4、直线 l 的一个方向向量为( - 3，3)，则直线l 的倾斜
角为 A 、30 o B 、150 o C 、60 o D 、120o
5、下列命题：①直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为 tan α；②直线的斜率为k ，则此直线的倾斜角为arctank ；③任一直线都有倾斜角，但不一定都有斜率；④直线的斜率为tan θ，则直线的倾斜角为θ，其中正确的是
A 、①
B 、②和③
C 、③
D 、②和④
6、已知三点A(a ，2)，B(5，1)，C(- 4，2a)在同一条直线上，则a 的值是
A 、2
B 、72
C 、2或72
D 、- 2 或72
7、下列命题中正确的是
A 、经过任意两个不同的点P 1( x 1，y 1)、P 2(x 2，y
2)的直线都可以用方程112121
y y x x y y x x --=--表示 B 、经过任意两个不同的点P 1( x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y – y 1)( x 2 – x 1) = (x – x 1) ( y 2 – y 1) C 、不过原点的直线都可以用方程x y a b
+ = 1表示 D 、经过定点A(0，b)的直线都可以用方程 y = kx + b 表示
8、两条直线
nx – my – mn = 0与 mx – ny – mn = 0 ( m ≠0，n ≠0)的图形可能是下图中的
9、经过点A( - 2，2)，并且和两坐标轴围成三角形面积是1 的直线方程是
A 、x + 2y – 2 = 0 或 x + 2y + 2 = 0
B 、2x + y + 2 = 0或 x + 2y + 2 = 0
C 、2x + y – 2 = - 或x + 2y + 2 = 0
D 、x + 2y – 2 = 0或2x + y + 2 = 0
10、设A(- 2，3)、B( 3，2)，若直线 ax + y + 2 = 0与线段AB 有交点，则a 的取值范围是
A 、( - ∞，- 52]∪［43，+ ∞)
B 、［- 43，52
］
C 、［- 52，43］
D 、( - ∞，- 43]∪［52
，+ ∞) 11、 已知l 1和l 2的斜率是方程x 2 -4 x +1 = 0的两个根，则l 1与l 2的夹角是 A 、45o B 、60 o C 、30 o
D 、15 o 12、若直线l 1在x 、y 轴上的截距分别为3和1，直线l 2的方程为 y = ax + 1，直线l 1到l 2 的角为45o ，则a 的值为
A 、12
B 、13
C 、- 2
D 、- 2或12
13、入射光经一在直线 l 1 ： 2x – y – 3 = 0上，经过x 轴的射到直线y 轴上，再经过 y 轴反射到直线 l 3上，则l 3的直线方程是
A 、x – 2y + 3 = 0
B 、2x – y + 3 = 0
C 、2x + y – 3 = 0
D 、2x – y + 6 = 0 14、若0 ≤θ≤
2 ，当点(1，cos θ)到直线 x ·sin θ + y ·cos θ – 1 = 0的距离是 14时，这条直线的斜率是
A 、1
B 、- 1
C 、32
D 、- 33
15、曲线f(x ，y) = 0关于直线 x – y – 2 = 0对称的曲线方程是
A 、f(y + 2，x) = 0
B 、f(x – 2，y) = 0
C 、f(y + 2，x – 2) = 0
D 、f( y – 2，x + 2) = 0
16、给出平面区域如图所示，若使目标 函数 z = ax + y ( a > 0)
取得最大值
的最优解有无穷多个，则a 的值为
A 、14
B 、35
C 、4
D 、53
17、已知集合M = {(x ，y) | y ≤x}，P = {(x ，y) | x + y ≤ 2}，
s = {(x ，y) | y ≥ 0}，若T = M ∩P ∩S ，点E(x ，y)∈T ，则x + 3y 的最大值是
A 、0
B 、2
C 、3
D 、4
二、填空题
18、若方程(2m – 1)x + (2m 2 + m – 1)y + m = 0 表示 一条直线，则m 的取值范围是 ______________
19、倾斜角为135o ，在x 轴上的截距为 – 8 的直线方程是 __________；倾斜角为π – arctan
34，且过点(- 2，1)的直线方程是 _________________
20、过点(0，2)，倾斜角为直线 y = - 43
x + 2的倾斜角的一半的直线方程为 ___________
21、过原点作直线l 的垂线，垂足为(2，3)，则直线l 的方程是 _____________
22、若直线 y = | x | 与 y = kx + 1 有两个交点，则k 的取值范围是 _____________
三、解答题
23、求过定点P(2，3)，且在两坐标轴上截距相等的直线方程。
24、一直线l 经过这(- 4，3)，分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，且使 | AP|：| PB | = 5：3，求直线l 的方程。
25、f 求点A(2，2)关于直线 l ：2x – 4y + 9 = 0 的对称点的坐标。
26、△ABC 的两条高线所在直线方程为 2x – 3y + 1 = 0和 x + y = 0，且点A 坐标为
(1，2)，求BC 所在直线方程。
27、已知一条直线P(1，2)且与直线x + y + 6 = 0夹角为
4 ，求这条直线方程
28、设一直线l 经过点A(- 1，1)，它被两条直线 l 2：x + 2y – 1 = 0，l 2： x + 2y – 3 = 0所截的线段的中点在直线 l 3：x – y – 1 = 0上，求l 的方程。
29、等腰三角形一腰所在直线 l 1 的方程是 x – 2y – 2 = 0，底边所在直线l 2 的方程是 x + y – 1 = 0，点( - 2，
0)在另一腰上，求这条腰所在直线l3的方程。
各种不等式解法练习试题
y x O A B 一元二次不等式一、知识导学1. 一元一次不等式与一次函数的关系 对于不等式ax>b, (1)当a>0时，解为___________； (2)当a ＜0时，解为____________ (3)当a ＝0，b ≥0时___________；当a ＝0，b ＜0时，解为_______________． ①作出21y x =+的图像，观察21x +＞0，21x +=0，21x +＜0的解与图像的关系 21x +＞0的解集表示当x 取何值时，21y x =+的图像______________________ 21x +＜0的解集表示当x 取何值时，21y x =+的图像______________________ 21x +=0表示__________________. 总结： （1）y>0时，x?的取值范围就是______________的图像所对应的x 的取值范围． （2）y<0时，x 的取值范围就是_______________的图像所对应的x 的取值范围． （3）y=0时，x 的值就是图像与_______________交点的横坐标． （4）当y>a 或yy ；当x 时，2-≤y 。 3．如图，直线l 是一次函数b kx y +=的图象，观察图象，可知： （1）=b ；=k 。（2）当2>y 时，x 。 ②已知直线y 1=ax+b 和y 2=mx+n 的图象如图所示，根据图象填空． ⑴ 当x_ _时，y 1＞y 2；当x___ _时，y 1=y 2；当x___ ___时，y 1＜y 2. ⑵ 方程组y=ax+b y =mx+n ??? 的解为___________它表示 . 利用函数图象解一元一次不等式： （1）6345+>-x x ； （2）9632-<+x x 。 练习：如图，直线y kx b =+经过(21) A ，，(12) B --，两点，则不 等式 1 22 x kx b >+>-的解集为 . 2. 一元二次不等式 作出下列二次函数的图像，观察图像填空 函数 图像 y=0 y>0 y ≥0 y<0 y ≤0 y O 1 23123-1-1
含参数的一元一次不等式组的解集
《含参数的一元一次不等式组的解集》教学设计 万福中心学校余达恒 教材分析：本章内容是苏科版八年级数学（下）第七章，是在学习了《一元一次方程》和《一次函数》后的基础上安排的内容，是为今后学习高中的《集合》及《一元二次不等式》，《二元一次不等式》打下基础。上节课学习了《一元一次不等式组》，知道了一元一次不等式组的有关概念及求一元一次不等式组的解集的方法，并会用数轴直观的得到一元一次不等式组的解集，它是解决本节课内容《含参数的一元一次不等式组的解集》的基础和关键，通过本节课知识的学习，学生能对初中数学中的分类讨论、数形结合的思想方法有进一步的认识，养成独立思考的习惯，也能加强与同学的合作交流意识与创新意识，为今后生活和学习中更好运用数学作准备。 教学目标： （1）知识目标：使学生加深对一元一次不等式组和它的解集的概念的理解，掌握一元一次不等式组的解法，会应用数轴确定含参数的一元一次不等式组的参数范围。 （2）能力目标：培养探究、独立思考的学习习惯，感受数形结合的作用，逐步熟悉和掌握数形结合的思想方法，提高分析问题和解决问题的能力。 （3）德育目标：加强同学之间的合作交流与探讨，体验数学发现带来的乐趣。 学习重点： （1）加深对一元一次不等式组的概念与解集的理解。 （2）通过含参数不等式的分析与讨论，让学生理解掌握分类讨论和数形结合的数学思想。学习难点： （1）一元一次不等式组中字母参数的讨论。 （2）运用数轴分析不等式组中参数的范围。 教学难教学难点突破办法： （1）借助数轴，数型结合，让学生直观理解不等式组中几个不等式解集的公共部分。（2）和学生一起探讨解决问题的一般方法：先运用口诀定大小，再考虑特殊情况定等号。
一元二次不等式及其解法知识梳理及典型练习题(含答案)
一元二次不等式及其解法 1.一元一次不等式解法 任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0)的形式. 当a＞0时，解集为；当a＜0时，解集为. 2.一元二次不等式及其解法 (1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________不等式. (2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________. (3)一元二次不等式的解： (1)化分式不等式为标准型.方法：移项，通分，右边化为0，左边化为 f（x） g（x） 的形式. (2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如： f（x） g（x） ＞0?f(x)g(x)＞0； f（x） g（x） ＜0 ?f(x)g(x)＜0； f（x） g（x） ≥0 ? ?? ? ??f（x）g（x）≥0， g（x）≠0； f（x） g（x） ≤0 ? ?? ? ??f（x）g（x）≤0， g（x）≠0. (2014·课标Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x＜2}，则A∩B＝( ) A.[－2，－1] B.[－1，2) C.[－1，1] D.[1，2)
解：∵A ＝{x |x ≥3或x ≤－1}，B ＝{x |－2≤x ＜2}，∴A ∩B ＝{x |－2≤x ≤－1}＝[－2，－1].故选A . 设f (x )＝x 2 ＋bx ＋1且f (－1)＝f (3)，则f (x )>0的解集为( ) A.{x |x ∈R } B.{x |x ≠1，x ∈R } C.{x |x ≥1} D.{x |x ≤1} 解：f (－1)＝1－b ＋1＝2－b ，f (3)＝9＋3b ＋1＝10＋3b ， 由f (－1)＝f (3)，得2－b ＝10＋3b ， 解出b ＝－2，代入原函数，f (x )>0即x 2 －2x ＋1>0，x 的取值围是x ≠1.故选B. 已知－12<1 x <2，则x 的取值围是( ) A.－2
含参不等式
含参不等式知识互联网 题型一：不等式（组）的基本解法
x （ x （ b （ 无解（大大小小无解了） 典题精练 【例1】 ⑴解不等式 31 423 x x x +--+≤. ⑵解不等式组12(1)532122 x x x --?? ?-<+??≤，并在数轴上表示出解集 ⑶求不等式组2(2)43 251x x x x --??--? ≤＜的整数解 ⑷解不等式组32215x x -<-<
⑸解不等式组253473 x x -?? （2012年朝阳一模） 题型二：含参数的不等式（组） 思路导航 对于含参不等式，未知数的系数含有字母需要分类讨论：如不等式ax b <， 例题精讲 【引例】⑴关于x 的一次不等式组x a x b >???? ⑵13kx +> ⑶132kx x +>- ⑷36mx nx +<--
⑸() 212m x +< ⑹()25n x --< 【例3】 ⑴不等式 ()1 23 x m m ->-的解集与2x >的解集相同，则m 的值是 ． ⑵关于x 的不等式2x a -≤-1的解集如图所示，则a 的值为 . ⑶ 关于x 的不等式5ax >的解集为5 2 x <-，则参数a 的值 . ⑷ ①若不等式组3 x x a >??>? 的解集是x a >，则a 的取值范围是 . ②若不等式组3 x x a >??? ≥的解集是x a ≥，则a 的取值范围是 . A ．3a ≤ B ．3a = C ．3a > D ．3a ≥ （北京二中期中考试） ⑸已知关于x 的不等式组2 32x a x a +??-?≥≤无解，则a 的取值范围是 ． ⑹已知关于x 的不等式组>0 53x a x -??-? ≥无解，则a 的取值范围是 ． 【例4】 ⑴ 已知关于x 的不等式组0 521≥x a x -??->? 只有四个整数解，则实数a 的取值范围是 ． ⑵ 如果关于x 的不等式50x m -≤的正整数解只有4个，那么m 的取值范围是（ ） A ．2025m <≤ B ．2025m <≤ C ．25m < D ．20m ≥ （北京五中期中考试）
含参不等式的解法
含参数的一元二次不等式的解法 含参数的一元二次不等式的解法与具体的一元二次不等式的解法在本质上是一致的，这类不等式可从分析两个根的大小及二次系数的正负入手去解答，但遗憾的是这类问题始终成为绝大多数学生学习的难点，此现象出现的根本原因是不清楚该如何对参数进行讨论，而参数的讨论实际上就是参数的分类，而参数该如何进行分类？下面我们通过几个例子体会一下。 一． 二次项系数为常数 例1、解关于x 的不等式：0)1(2 >--+m x m x 解：原不等式可化为：（x-1）（x+m ）>0 (两根是1和-m ，谁大？) （1）当1<-m 即m<-1时,解得：x<1或x>-m （2）当1=-m 即m=-1时,不等式化为：0122 >+-x x ∴x ≠1 （3）当1>-m 即m>-1时,解得：x<-m 或x>1 综上，不等式的解集为： (){}m x x x m -><-<或时当1|,11 (){}1|,12≠-=x x m 时当 (){}1-|,13><->x m x x m 或时当 例2:解关于x 的不等式：.0)2(2 >+-+a x a x （不能因式分解） 解：()a a 422 --=? （方程有没有根，取决于谁？） ()()R a a a 时，解集为即当32432404212 +<<-<--=? ()()3 2432404222 +=-==--=? a a a a 或时当
（i ）13324-≠ -=x a 时，解得：当 （ii ）13-324-≠+=x a 时，解得： 当 ()()时 或即当32432404232 +>-<>--=? a a a a 两根为()2 42)2(2 1 a a a x --+ -= ，()2 42)2(2 2 a a a x --- -= . ()()2 42)2(2 42)2(2 2 a a a x a a a x --+ -> --- -< 或此时解得： 综上，不等式的解集为： （1）当3 2 4324+<<-a 时，解 R ； （2）当324-=a 时，解集为(13,-∞-)?( +∞ -,13)； （3）当324+=a 时，解集为(13,--∞-)?(+∞ -- ,13)； （4）当3 24-a 时， 解集为(2 48)2(, 2 +---∞-a a a )?( +∞ +-+ -,2 4 8)2(2 a a a )； 二．二次项系数含参数 例3、解关于x 的不等式：.01)1(2 <++-x a ax 解：若0 =a ，原不等式.101>?<+-?x x 若0--?或.1>x 若0 >a ，原不等式.0)1)(1(<-- ? x a x )(* 其解的情况应由a 1与1的大小关系决定，故 （1）当1=a 时，式)(*的解集为φ ； （2）当1>a 时，式)(*11< 一元一次不等式解法练习题 一、选择题： 1、下列不等式中，是一元一次不等式的是（）A ； B ； C ； D ；2、下列各式中，是一元一次不等式的是（） A、5+4＞8 B、2x－1 C、2x≤5 D、－3x≥03、下列各式中，是一元一次不等式的是（）(A)2x 四、解不等式组，并在数轴上表示它的解集 1、2、 3、 4、－5＜6－2x＜3． 5、 6、 7、8、 9、10 11、 12、五．变式练习：1不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是( )．(A) m≤2 (B)m≥2(C)m≤1 (D)m≥ 12、若m、n为有理数，解关于x的不等式(－m2－1)x＞n．3、适当选择a的取值范围，使1、7＜x＜a的整数解：（1）x 只有一个整数解；（2）x一个整数解也没有． 4、当时，求关于x的不等式的解集． 5、已知A＝2x2＋3x＋2，B＝2x2－4x－5，试比较A与B的大小． 6、已知a是自然数，关于x的不等式组的解集是x＞2，求a的值． 7、关于x的不等式组的整数解共有5个，求a的取值范围． 8、 k取哪些整数时，关于x的方程5x＋4＝16k－x的解大于2且小于10? 20XX年高中测试 高 中 试 题 试 卷 科目： 年级： 考点： 监考老师： 日 期： 第7章 第1节 一、选择题 1．(文)(20XX·深圳市深圳中学)不等式(x －1)x ＋2≥0的解集是( ) A ．{x|x>1} B ．{x|x≥1} C ．{x|x≥1且x ＝－2} D ．{x|x≥1或x ＝－2} [答案] D [解析] 不等式化为????? x －1≥0x ＋2≥0或x ＋2＝0， ∴x≥1或x ＝－2，故选D. (理)(20XX·天津文，7)设集合A ＝{x|x －a|＜1，x ∈R}，B ＝{x|1＜x ＜5，x ∈R}，若A∩B ＝?，则实数a 的取值范围是( ) A ．{a|0≤a≤6} B ．{a|≤2，或a≥4} C ．{a|a≤0，或a≥6} D ．{a|2≤a≤4} [答案] C [解析] |x －a|<1?a －1 函数，函数y ＝f ′(x)的图象如图所示．若实数a 满足f(2a ＋1)<1，则a 的取值范围是( ) x －2 0 4 f(x) 1 －1 1 A.????0，32 B.??? ?－12，32 C.????12，72D.??? ?－32，32 [答案] D [解析] 由f ′(x)的图象知，f(x)在[－2,0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，又由表知若f(2a ＋ 1)<1，则－2<2a ＋1<4，∴－32 含参数不等式及绝对值不等式的解法 例1解关于x 的不等式：2(1)0x x a a ---> 0)(3 22<++-a x a a x 01)1(2<++-x a ax 02)12(2>++-x a ax 22+≥+ a x ax 11 +>-a x x 11<-x ax ()()02 21>----x a x a 0)2(≥--x x a x 01 2≥--x ax x a x x <- 0)2)(1(1≥----x x k kx 例2: 关于x 的不等式01)1(2 <-+-+a x a ax 对于R x ∈恒成立，求a 的取值范围。 例3：若不等式210x ax ≥＋＋对于一切1(0,)2 x ∈成立，则a 的取值范围. 例4：若对于任意a (]1,1-∈，函数()()a x a x x f 2442-+-+=的值恒大于0，求x 的 取值范围。 例5：已知19≤≤-a ,关于x 的不等式: 0452 <+-x ax 恒成立，求x 的范围。 例 6： 对于∈x （0，3）上的一切实数x,不等式()122-<-x m x 恒成立，求实数m 的 取值范围。 例7：2212<--+x x 1332+<-x x 321+<+x x x x 332≥- 例8、 若不等式a x x >-+-34，对一切实数x 恒成立，求a 的取值范围 若不等式a x x >---34，对一切实数x 恒成立，求a 的取值范围 若不等式a x x <---34有解，求a 的取值范围 若不等式a x x <---34的解集为空集，求a 的取值范围 若不等式a x x <---34解集为R ，求a 的取值范围 含参数一元一次不等式（组）的解法 1、若关于x 的不等式2)1(≥-x a ，可化为a x -≤12，则a 的取值范围是多少？ 2 、关于x 的方程x kx 21=-的解为正实数，则k 的取值范围是？ 3、关于x 的方程x+2m-3=3x+7的解为不大于2的非负数，则m 的整数值是多少？ 4、关于x 的不等式2x －a ≤－1的解集如图所示，则a 的取值是多少？ 5、己知不等式 )2(211)5(21+≥--ax x 的解集是2 1≥x ，试求a 的值？ 6、关于x 的不等式2x －a ≤0的正整数解恰好是1、2、3、4，则m 的取值是多少？ 7、已知关于x ，y 的方程组?? ?-=++=+134,123p y x p y x 的解满足x ＞y ，求p 的取值范围． 8、已知a 是自然数，关于x 的不等式组?? ?>-≥-02,43x a x 的解集是x ＞2，求a 的值． 对应练习1、不等式组???+>+<+1 ,159m x x x 的解集是x ＞2，则m 的取值范围是 ． 对应练习2、若不等式组? ??>≤ 对应练习：若关于x 的不等式组???????+<+->+a x x x x 3 22,3215只有4个整数解，求a 的取值范围． 10、k 取哪些整数时，关于x 的方程5x ＋4＝16k －x 的根大于2且小于10? 二、 应用题 1.爆破施工时，导火索燃烧的速度是0.8cm/s ，人跑开的速度是5m/s ，为了使点火的战士在施工时能跑到100m 以外的安全地区，导火索至少需要多长？ 2、某次数学竞赛活动，共有16道选择题，评分办法是：答对一题给6分，答错一题倒扣2分，不答题不得分也不扣分．某同学有一道题未答，那么这个学生至少答对多少题，成绩才能在60分以上？ 不等式的练习题 一、填空题 1、不等式2654x x +<的解集是 . 2 不等式-4≤x 2-3x ＜18的整数解为 . 3、如果不等式21 16.使不等式a x x <-+-34有解的条件是 . 17.已知关于x 的方程ax 2 +bx+c ＜0的解集为｛x ｜x ＜-1或x ＞2｝.则不等式ax 2 -bx+c ＞0的解集为 . 二、解不等式： 1、302x x -≥- 2、21 13 x x ->+ 3、22 32023x x x x -+≤-- 4、221 02x x x --<- 5、()()() 3 22 1603x x x x -++≤+ 6、()2 309x x x -≤- 7、 101x x <-< 8、 . 0)25)(-4-( 2 2<++x x x x 9 、 (2 1x -)(2 68x x -+)≤0 10 、 22 41 1372 x x x x -+≥-+ 11 、 12 、x x x 211322 +>+- 第40讲 含参数的不等式 【考点解读】 解含参数的不等式的基本途径——分类讨论思想的应用；（应注意寻找讨论点，以讨论点划分区间进行讨论求解．能避免讨论的应设法避免讨论）。 【知识扫描】 含有参数的不等式可渗透到各类不等式中去，在解不等式时随时可见含参数的不等式．而这类含参数的不等式是我们教学和高考中的一个重点和难点．解含参数的不等式往往需要分类讨论求解，寻找讨论点（常见的如零点，等值点等），正确划分区间，是分类讨论解决这类问题的关键．在分类讨论过程中要做到不重，不漏． 【考计点拔】 牛刀小试： 1.设0 一元一次不等式的解法巩固练习 【巩固练习】 一、选择题 1．已知关于x 的不等式||(1)0m m x -≥是一元一次不等式，那么m 的值是 ( ) . A ．m ＝1 B ．m ＝±1 C ．m ＝-1 D ．不能确定 2．由m n >得到22ma na >，则a 应该满足的条件是（ ）. A ．a ＞0 B ．a ＜0 C ．a ≠0 D ．a 为任意实数 3．（2015?南通）关于x 的不等式x ﹣b ＞0恰有两个负整数解，则b 的取值范围是（ ） A ．﹣3＜b ＜﹣2B ．﹣3＜b≤﹣2C ．﹣3≤b≤﹣2D ．﹣3≤b＜﹣2 4．不等式475x a x ->+的解集是1x <-，则a 为（ ）. A ．-2 B ．2 C ．8 D ．5 5．如果1998a+2003b=0，那么ab 是（ ） A ．正数 B ．非正数 C ．负数 D ．非负数 6.关于x 的不等式2a x 2≥+-的解集如图所示，则a 的值是 （ ）. A ．0 B ．2 C ． -2 D ．-4 二、填空题 7．若x 为非负数，则5x 231-≤- 的解集是. 8．（2015?铜仁市）不等式5x ﹣3＜3x+5的最大整数解是． 9．比较大小：22336a b -+________22241a b -+. 10．已知-4是不等式5ax >-的解集中的一个值，则a 的范围为________. 11．若关于x 的不等式30x a -≤只有六个正整数解，则a 应满足________. 12.已知a x >的解集中的最小整数为2-，则a 的取值范围是. 三、解答题 13．若m 、n 为有理数，解关于x 的不等式(－m 2－1)x ＞n ． 14. 适当选择a 的取值范围，使1.7＜x ＜a 的整数解： （1）x 只有一个整数解； (2) x 一个整数解也没有． 15.当310)3(2k k -<-时，求关于x 的不等式k x x k ->-4) 5(的解集． 16.（2015秋?相城区期末）已知关于x 的方程4x+2m+1=2x+5的解是负数． （1）求m 的取值范围； （2）在（1）的条件下，解关于x 的不等式2（x ﹣2）＞mx+3． 【答案与解析】 一、选择题 高中数学知识专项系列讲座 含参数不等式的解法 一、含参数不等式存在解的问题 如果不等式()0f x >（或()0f x <）的解集是D ，x 的某个取值范围是E ，且D E ≠?， 则称不等式在E 内存在解（或称有解，有意义）. 例1.（1）不等式13x x a +--<的解集非空，求a 的取值范围； （2）不等式13x x a ++-<的解集为空集，求a 的取值范围. （分析：解集非空即指有解，有意义，解集为?即指无解（恒不成立），否定之后为恒成立，本题实质上是成立与恒成立问题） 解：（1）设41()13221343x f x x x x x x -<-?? =+--=--??>? ≤≤， 易求得()[4,4]f x ∈-， ()f x a <有解min ()f x a ?<， ∴4a >-为所求 （2）设22 1()134 13223x x g x x x x x x -+<-?? =++-=-??->? ≤≤， 易求得()[4,)g x ∈∞， ()g x a <无解()g x a ?≥恒成立min ()g x a ?≥ ∴4a ≤为所求 （注：①13x x +±-可理解为数轴上点x 到两定点1-和3的距离之和（或差），由几何意义，易得()f x 与()g x 的值域； ②不等式()a f x >有解（有意义或成立）min ()a f x ?>；不等式()a f x <成立（有 解或有意义）max ()a f x ?<；） 例2.关于x 的不等式组22202(25)50 x x x k x k ?-->?+++的解集(,1)(2,)A =-∞-+∞， 设不等式2 2(25)50()(25)0x k x k x k x +++-25->),2 5 (k B --=∴ 要使{|,}{2}x x A B x Z ∈∈=-如图， 易知3k -≤，∴3k -≥ 又2k ->-，得2k < ∴[3,2)k ∈-为所求 -52 含参数不等式的解法 典题探究 例1：若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围。 例2：若不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ，求m 的范围。 例3：在?ABC 中，已知2|)(|,2cos )2 4 ( sin sin 4)(2 <-++ =m B f B B B B f 且π 恒成立，求实数m 的范围。 例4：（1）求使不等式],0[,cos sin π∈->x x x a 恒成立的实数a 的范围。 如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题： （2）求使不等式)2 ,0(4,cos sin π π ∈-->x x x a 恒成立的实数a 的范围。 演练方阵 A 档（巩固专练） 1．设函数f (x )=???? ??? ≥-<<-+-≤+)1(11 )11(22)1()1(2x x x x x x ，已知f (a )＞1，则a 的取值范围是( ) A.(－∞，－2)∪(－21 ，+∞) B.(－21，2 1) C.(－∞，－2)∪(－2 1 ，1) D.(－2，－2 1 )∪(1，+∞) 2．已知f (x )、g (x )都是奇函数，f (x )＞0的解集是(a 2 ，b )，g (x )＞0的解集是(22a ，2 b )，则f (x )·g (x ) ＞0的解集是__________. 3．已知关于x 的方程sin 2x +2cos x +a =0有解，则a 的取值范围是__________. 4． 解不等式)0( 01)1 (2 ≠<++ -a x a a x 5. 解不等式0652 2>+-a ax x ，0≠a 1 不等式的解法 一、 选择题： 1、下列语句中正确的是 （ ） A 、若b a >，b c >，则c a > B 、若b a >，则22bc ac > C 、若b a >，则c b c a ->- D 、若b a >，d c >，则bd ac > 2、不等式62<≤-x 用区间表示为 （ ） A 、]6,2[- B 、]6,2(- C 、)6,2[- D 、)6,2(- 3、不等式362≤x 的解集是 （ ） A 、}6{±≤x x B 、}66{≤≤-x x C 、}66{<<-x x D 、}6{-≤x x 4、不等式0542>+-x x 的解集是 （ ） A 、),(+∞-∞ B 、),5()1,(+∞--∞ C 、? D 、),1()5,(+∞--∞ 5、不等式032≤-x x 的解集是 （ ） A 、]0,3(- B 、)3,0[ C 、]3,3(- D 、)3,3[- 6、不等式0)2)(1)(2(<--+x x x 的解集是 （ ） A 、)2,1()2,( --∞ B 、),2()1,2(+∞- C 、)2,(--∞ D 、)2,1( 7、不等式35>+x 的解集是 （ ） A 、}88{<<-x x B 、}22{<<-x x C 、}22{>- 关于含参数（单参）的一元二次不等式的解法探究 高二数学组 盛耀建 含参数的一元二次不等式的解法与具体的一元二次不等式的解法在本质上是一致的，这类不等式可从分析两个根的大小及二次系数的正负入手去解答，但遗憾的是这类问题始终成为绝大多数学生学习的难点，此现象出现的根本原因是学生不清楚该如何对参数进行讨论，笔者认为这层“纸”捅破了，问题自然得到了很好的解决，在教学的过程中本人发现参数的讨论实际上就是参数的分类，而参数该如何进行分类有一个非常好的方法，下面我们通过三个例子找出其中的奥妙！ 一．二次项系数为常数 例1解关于x 的不等式：.0)2(2>+-+a x a x 解：0)2(2>+-+a x a x )(* ()3243240422 +≥-≤?≥--=?a a a a 或， 此时两根为()2 42)2(2 1a a a x --+ -= ，()2 42)2(2 2a a a x --- -= . （1）当324-?， )(*解集为(2 48)2(,2 +-- -∞-a a a )?( +∞+-+-,2 48)2(2 a a a )； （2）当324-=a 时，0=?，)(*解集为(13,-∞-)?(+∞-,13)； （3）当324324+<<-a 时，0a 时，0>?， )(*解集为(2 48)2(,2 +-- -∞-a a a )?( +∞+-+-,2 48)2(2 a a a ). 二．二次项系数含参数 例2解关于x 的不等式：.01)1(2 <++-x a ax 解：若0=a ，原不等式.101>?<+-?x x 若0--?或.1>x 若0>a ，原不等式.0)1)(1(<-- ?x a x )(* 热点2 方程（组）和不等式（组）的解法 （时间：100分钟分数：100分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题分，共30分，在每小题给出的四个选项中，?只有一个是符合题目要求的） 1 ．不等式 12 5 x + ≤1的解集在数轴上（图3-1）表示正确的是（） 2．在 5 , 1,1,3,2 5,1,7,11 , 2 x x x x y y y y ? = ? =-== ???? ???? =-==- ????= ?? 四对数值中，满足方程 3x-y=2的有（） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 3．与3x-6<0同解的不等式为（） A．6>3x B．x>2 C．3x≤6 D．3x>6 4．若a>b，且c为有理数，则（） A．ac>bc B．ac 高二数学（含参数不等式解法） 一、选择题 1、如果不等式x 2 – log m x < 0在 x ∈( 0， 12 )上恒成立，则实数m 的取值范围是 A 、116≤m < 1 B 、0 < m ≤116 C 、0 < m < 14 D 、m ≥116 2、已知a > 0，b > 0，不等式 – a < 1x < b 的解集是 A 、( - 1a ，0)∪(0，1b ) B 、( - 1b ，1a ) C 、( - 1b ，0)∪(0，1a ) D 、( - ∞，1a )∪(1b ，+ ∞) 3、设集合M = {x | > a 且a 2 – 12a + 20 < 0}，N = {x | x < 10}，则M ∩N 是 A 、{x | a < x < 10} B 、{x | x > a} C 、{x | 2 < x < 10} D 、N 4、若函数 f(x) = 228x x --的定义域为M ，g(x) = 11|| x a --的定义域为N ， 则使M ∩N = ?的实数a 的取值范围是 A 、( - 1,3) B 、(- 3，1) C 、［- 1，3］ D 、［- 3，1］ 5、若关于x 的方程x 2 + ( a – 3)x + a = 0的两根均为正数，则实数a 的取值范围是 A 、0 < a ≤3 B 、a ≥9 C 、a ≥9或a ≤ 1 D 、0 < a ≤ 1 6、已知函数f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d 的图象如右图，则 A 、b ∈( - ∞，0) B 、b ∈( 0，1) C 、b ∈( 1，2) D 、b ∈(2，+ ∞) 7、不等式ax 2 + bx + 2 > 0的解集是( - 11,23) ，则a – b 等于 A 、- 4 B 、14 C 、- 10 D 、10 8、命题甲：ax 2 + 2ax + 1 > 0的解集是R ，命题乙：0 < a < 1，则命题甲是乙成立的 A 、充分非必要条件 B 、必要非充分条件 C 、充要条件 D 、既非充分又非必要条件 9、若|x – a| < h ，| y – a| < h ，则下列不等式一定成立的是 A 、| x – y| < h B 、| x – y | < 2h C 、| x – y| > h D 、| x – y | > 2h 10、命题p ： 若a 、b ∈R ，则| a | + | b | >1是 | a + b| > 1的充分而不必要条件。 含参数的一元二次不等式的解法 含参一元二次不等式常用的分类方法有三种: 一、按2 x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ； 例１ 解不等式：()0122 >+++x a ax 分析：本题二次项系数含有参数,()04422 2 >+=-+=?a a a ,故只需对二次项 系数进行分类讨论。 解:∵()04422 2 >+=-+=?a a a 解得方程 ()0122 =+++x a ax 两根,24221a a a x +---=a a a x 24 222++--= ∴当0>a 时,解集为?? ????????+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或 当0=a 时,不等式为012>+x ,解集为? ?????> 21|x x 当0+-a a ax ax 分析 因为0≠a ,0>?，所以我们只要讨论二次项系数的正负。 解 ()()032)65(2 >--=+-x x a x x a ∴当0>a 时，解集为{}32|> 含参数不等式总结 一、通过讨论解带参数不等式 例1：2(1)0x x a a ---> 例2:关于x 的不等式01)1(2<-+-+a x a ax 对于R x ∈恒成立，求a 的取值范围。 二、已知解集的参数不等式 例3：已知集合 {}2540A x x x =-+|≤，{}2|220B x x ax a =-++≤，若B A ?，求实数a 的取值范围． 三、使用变量分离方法解带参数不等式 例4：若不等式210x ax ≥＋＋对于一切1 (0,)2 x ∈成立，则a 的取值范围. 例5：设()()()?? ????+-+++=n a n n x f x x x 121lg ，其中a 是实数，n 是任意给定的自然数 且n ≥2，若()x f 当(]1,∞-∈x 时有意义, 求a 的取值范围。 例6： 已知定义在R 上函数f(x)为奇函数，且在[)+∞,0上是增函数，对于任意R x ∈求实 数m 范围，使()()0cos 2432cos >-+-θθm m f f 恒成立。 思考：对于（0，3）上的一切实数x,不等式()122-<-x m x 恒成立，求实数m 的取值范 围。如何求解？ 分离参数法适用题型：（1） 参数与变量能分离；（2） 函数的最值易求出。 四、主参换位法解带参数不等式 某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度。即把变元与参数换个位置，再结合其它知识，往往会取得出奇制胜的效果。 一般情况下,如果给出参数的范围,则可以把参数看作主变量,进行研究。 例7：若对于任意a (]1,1-∈，函数()()a x a x x f 2442 -+-+=的值恒大于0，求x 的 取值范围。 分析：此题若把它看成x 的二次函数，由于a, x 都要变，则函数的最小值很难求出，思路 受阻。若视a 为主元，则给解题带来转机。 例8：已知19≤≤-a ,关于x 的不等式: 0452 <+-x ax 恒成立，求x 的范围。一元一次不等式解法练习题
{高中试卷}高三数学一轮复习：不等式性质及解法练习题3[仅供参考]
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