八年级数学——半角模型

例：如图E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且∠EAF=45°。求证：EF=BE+DF；

解析：

延长CB到G，使GB=DF，连接AG，

证△ABG≌△ADF，得∠3=∠2，AG=AF，

进而求证△AGE≌△AFE，

可得GB+BE=EF，所以DF+BE=EF

特征描述：过等腰△ABC(AB=AC)顶角顶点（设顶角为A），引两条射线且它们的夹角为A/2；这两条射线与过底角顶点的相关直线交于两点M、N，则BM,MN,NC之间必存在固定关系。这种关系仅与两条相关直线及顶角A相关.

题型识别：“等线段、共顶点、半角度”

解决方法：

①以公共顶点为中心，旋转三角形，使得相等的两线段重合；

②找出两组全等三角形，得到对应的边角相等关系。

如图，在正方形ABCD的边BC，CD上分别有点E，F，∠EAF=45°，AH⊥EF．求证：AH=AB；

分析：将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG ，根据旋转的性质可得DF =BG ，AF =AG ，∠DAF =∠BAG ，

然后求出∠EAF =∠EAG =45°，再利用“边角边”证明△AEF 和△AEG 全等，根据全等三角形对应边上的高相等可得AH =AB ．

证明：将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG ，

由旋转的性质得，DF =BG ，AF =AG ，∠DAF =∠BAG ．

∵∠F AG =∠BAG +∠BAF =∠DAF +∠BAF =∠BAD =90°，

∠EAF =45°，

∴∠EAF =∠EAG =45°．

在△AEF 和△AEG 中，

AF AG EAF EAG AE AE =??∠=??=?

∴△AEF ≌△AEG （SAS ），

∵AH 、AB 分别是△AEF 和△AEG 对应边上的高，

∴AH =AB ．

（1）如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF =45°，试判断BE 、DF 与EF 三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：___________．

（2）如图2：在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =120°，∠B =∠ADC =90°．点E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF =60°，探究图中线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系．

小王同学探究此问题的方法是，延长FD 到点C ，使DG =BE ，连结AG ，先证明△ABE ≌△ADG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得出结论，他的结论应是___________．

请你帮小王同学写出完整的证明过程．

（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=45°，试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：___________；

（2）如图2，若把（1）问中的条件变为“在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、

CD上的点，且

1

2

EAF BAD

∠=∠”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请

说明理由；

（3）在（2）问中，若将△AEF绕点A逆时针旋转，当点分别E、F运动到BC、CD延长线上时，如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明．

已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，将直角三角板中45°角的顶点放在点C处，并将三角板绕点C旋转，三角板的两边分别交AB边于D、E两点（点D在点E的左侧，并且菁优网点D不与点A重合，点E不与点B重合），设AD=m，DE=x，BE=n．

（1）判断以m、x、n为三边长组成的三角形的形状，并说明理由；

（2）当三角板旋转时，找出AD、DE、BE三条线段中始终最长的线段，并说明理由．

倡导研究性学习方式，着力教材研究，习题研究，是学生跳出题海，提高学习能力和创新能力的有效途径．下面是一案例，请同学们认真阅读、研究，完成“类比猜想”的问题．

（1）如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，说明理由．完成解题过程．

解：把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE′，点F、D、E′在一条直线上．

（2）类比猜想请，同学们研究：

如图（2），在菱形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，当∠BAD =120°，∠EAF =60°时，还有EF =BE +DF 吗？请说明理由．

如图，在等腰直角△ABC 的斜边AB 上任取两点M 、N ，使∠MCN =45°，记AM =m ，MN =n ，BN =k ．试猜想：以m 、n 、k 为边长的三角形的形状是（在下列括号中选择）__________

．（锐角三角形；钝角三角形；直角三角形；等腰三角形；等腰直角三角形；等边三角形）

已知：如图1在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点D 、E 分别为线段BC 上两动点，若∠DAE =45度．探究线段BD 、DE 、EC 三条线段之间的数量关系．

小明的思路是：把△AEC 绕点A 顺时针旋转90°，得到△ABE ′，连接E ′D ，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：

（1）猜想BD 、DE 、EC 三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；

（2）当动点E 在线段BC 上，动点D 运动在线段CB 延长线上时，如图2，其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．

问题1：如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =BC =CD ，点M ，N 分别在AD ，CD 上，若12

MBN ABC ∠=∠，

试探究线段MN ，AM ，CN 有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不用证明；

问题2：如图2，在四边形ABCD 中，AB =BC ，∠ABC +∠ADC =180°，点M ，N 分别在DA ，CD 的延长线上，若12

MBN ABC ∠=∠仍然成立，请你进一步探究线段MN ，AM ，CN 又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．