导数复习经典例题分类(含答案)

导数解答题题型分类之拓展篇（一）

编制:王平审阅：朱成 2014-05-31

题型一：最常见的关于函数的单调区间；极值；最值；不等式恒成立；

经验1：此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：

第一步：令0)('=x f 得到几个根；第二步：列表如下；第三步：由表可知；

经验2：不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种：第一

种：变更主元（即关于某字母的一次函数）；题型特征（已知谁的范围就把谁作为主元）；第二种：分离变量求最值（请同学们参考例5）；第三种：关于二次函数的不等式恒成立；第四种：构造函数求最值；题型特征（)()(x g x f >恒成立

0)()()(>-=?x g x f x h 恒成立）

；参考例4；

例1.已知函数321()23

f x x bx x a =-++，2x =是)(x f 的一个极值点．

（Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若当[1, 3]x ∈时，22()3

f x a ->恒成立，求a 的取值范围．

例2.设2

2(),1

x f x x =

+()52(0)g x ax a a =+->。（1）求()f x 在[0,1]x ∈上的值域；

（2）若对于任意1[0,1]x ∈，总存在0[0,1]x ∈,使得01()()g x f x =成立,求a 的取值范围。

例3.已知函数32()f x x ax =+图象上一点(1,)P b 的切线斜率为3-，

6()(1)3(0)2

t g x x x t x t -=+

-++>

（Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）当[1,4]x ∈-时，求()f x 的值域；（Ⅲ）当[1,4]x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围。

例4.已知定义在R 上的函数32()2f x ax ax b =-+）（0>a 在区间[]2,1-上的最大值是5，最小值是－11.

（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若]1,1[-∈t 时，0(≤+'tx x f ）恒成立，求实数x 的取值范围.

例 5.已知函数23)(a

x x f =图象上斜率为3的两条切线间的距离为510

2，函数

33)()(22

+-=a

bx x f x g ．

（1）若函数)(x g 在1=x 处有极值，求)(x g 的解析式；

（2）若函数)(x g 在区间]1,1[-上为增函数，且)(42x g mb b ≥+-在区间]1,1[-上都成立，

求实数m 的取值范围．

题型二：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围及函数与x 轴即方程根的个数问题；

经验1：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围的常用方法有三种：第一种：转化为恒成立问题即0)(0)(''≤≥x f x f 或在给定区间上恒成立，然后转为不等式恒成立问题；用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（看是否在0的同侧），如果是同侧则不必分类讨论；若在0的两侧，则必须分类讨论，要注意两边同处以一个负数时不等号的方向要改变！有时分离变量解不出来，则必须用另外的方法；第二种：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；参考08年高考题；

第三种方法：利用二次方程根的分布，着重考虑端点函数值与0的关系和对称轴相对区间的位置；可参考第二次市统考试卷；

特别说明：做题时一定要看清楚“在（a,b ）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b ）”，要弄清楚两句话的区别；

经验2：函数与x 轴即方程根的个数问题解题步骤

第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系；

第三步：解不等式（组）即可；例6．已知函数232)1(3

1)(x k x x f +-

=，kx x g -=3

)(，且)(x f 在区间),2(+∞上为增函数．

（1）求实数k 的取值范围；（2）若函数)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，求实

数k 的取值范围．

例7.已知函数.313)(23a

x ax x f -+-= （I ）讨论函数)(x f 的单调性。

（II ）若函数)(x f y =在A 、B 两点处取得极值，且线段AB 与x 轴有公共点，求

实数a 的取值范围。

例8．已知函数f(x)＝x 3－ax 2－4x ＋4a ，其中a 为实数．

(Ⅰ)求导数f '(x)；(Ⅱ)若f '(－1)＝0，求f(x)在[－2，2]上的最大值和最小值；

(Ⅲ)若f(x)在(－∞，－2]和[2，＋∞)上都是递增的，求a 的取值范围

例9.已知：函数c bx ax x x f ++-=23)(

（I ）若函数)(x f 的图像上存在点P ，使点P 处的切线与x 轴平行，求实数b a , 的关系式；

（II ）若函数)(x f 在1-=x 和3=x 时取得极值且图像与x 轴有且只有3个交点，求实数c 的取值范围.

例10．设()y f x =为三次函数，且图像关于原点对称，当12

x =时，()f x 的极小值为

1-．

（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）证明：当),1(∞+∈x 时，函数()f x 图像上任意两点的连线的斜率恒大于0．

例11．在函数)0()(3≠+=a bx ax x f 图像在点（1，f （1））处的切线与直线.

076=++y x 平行，导函数)('x f 的最小值为－12。（1）求a 、b 的值；（2）讨论方程m x f =)(解的情况（相同根算一根）。

导数解答题题型分类之拓展篇（二）

编制:王平审阅：朱成 2014-06-01

例12．已知定义在R 上的函数),,()(3R c b a c bx ax x f ∈++=，当1-=x 时，)(x f 取得极大值3，1)0(=f . （Ⅰ）求)(x f 的解析式；（Ⅱ）已知实数t 能使函数f (x)(t,t 3)+在区间上既能取到极大值，又能取到极小值，记所有的实数t 组成的集合为M.请判断函数()

()()f x g x x M x

=∈的零点个数.

例13.已知函数)(,42)1(3)(223x f k x k kx x f 若+-+-=的单调减区间为（0，4）（I ）求k 的值；

（II ）若对任意的)(52],1,1[2t f a x x x t =++-∈的方程关于总有实数解，求实数a 的取

例14.已知函数b a R x x bx ax x f ,,()(23∈-+=是常数)，且当1=x 和2=x 时，函数)(x f 取得极值.

（Ⅰ）求函数)(x f 的解析式；（Ⅱ）若曲线)(x f y =与)02(3)(≤≤---=x m x x g 有两个不同的交点，求实数m 的取值范围.

例15.已知f (x)＝x 3＋bx 2＋cx ＋2．

⑴若f(x)在x ＝1时有极值－1，求b 、c 的值；

⑵若函数y ＝x 2＋x －5的图象与函数y ＝x

k 2-的图象恰有三个不同的交点，求实数k

的取值范围．

例16. 设函数ax x x x f +-=233

1)(，b x x g +=2)(，当21+=x 时，)(x f 取得极值.

（1）求a 的值，并判断)21(+f 是函数)(x f 的极大值还是极小值；

（2）当]4,3[-∈x 时，函数)(x f 与)(x g 的图象有两个公共点，求b 的取值范围.

题型三：函数的切线问题；

经验1：在点处的切线，易求；

经验2：过点作曲线的切线需四个步骤；

第一步：设切点，求斜率；第二步：写切线（一般用点斜式）；第三步：根据切点既在曲线上又在切线上得到一个三次方程；第四步：判断三次方程根的个数；

例17.已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极小值－4，使其导数'()0f x >的x 的取值范围为(1,3)，求：

（1）()f x 的解析式；

（2）若过点(1,)P m -可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围．

例18. 已知32()4f x x ax x =--（a 为常数）在2x =时取得一个极值，（1）确定实数t 的取值范围，使函数()f x 在区间[,2]t 上是单调函数；

（2）若经过点A （2，c ）（8c ≠-）可作曲线()y f x =的三条切线，求c 的取值范围．

题型四：函数导数不等式线性规划结合；

例19.设函数3211()(,)32

g x x ax bx a b R =+-∈，在其图象上一点(,)F x y 处的切线的斜率记为()f x ．

(1)若方程()f x 有两个实根分别为-2和4，求()f x 的表达式；

(2)若()g x 在区间[]1,3-上是单调递减函数，求22a b +的最小值。

例20.已知函数),(3

1)(23R b a bx ax x x f ∈-+=

（1）若)(x f y =图象上的是)3

11,1(-处的切线的斜率为)(,4x f y =-求的极大值。（2）)(x f y =在区间]2,1[-上是单调递减函数，求b a +的最小值。

例21. 已知函数23)(nx mx x f +=（m ，R n ∈，n m >且0≠m ）的图象在))2(,2(f 处的切线与x 轴平行.

(I) 试确定m 、n 的符号；

(II) 若函数)(x f y =在区间[,]n m 上有最大值为2n m -，试求m 的值.

题型五：函数导数不等式的结合

例22.已知函数()()0≠++=x b x

x x f ，其中R b a ∈,.

（Ⅰ）若曲线()x f y =在点()()2,2f P 处的切线方程为13+=x y ，求函数()x f 的解析式；（Ⅱ）讨论函数()x f 的单调性；

（Ⅲ）若对于任意的?

???∈2,21

a ，不等式()10≤x f 在??????1,41

上恒成立，求b 的取值范围.

例23.已知函数321()1(,3

R f x x ax bx x a =+-+∈，b 为实数）有极值，且在1=x 处的切线

与直线01=+-y x 平行.

（1）求实数a 的取值范围；

（2）是否存在实数a ，使得函数)(x f 的极小值为1，若存在，求出实数a 的值；

若不存在，请说明理由；

例24.已知函数d cx x ax x f ++-=234

131)(（a 、c 、d ∈R ）满足0)1(',0)0(==f f 且0

)('≥x f 在R 上恒成立。

（1）求a 、c 、d 的值；（2）若4

3)(2-+-=b bx x x h ，解不等式0)()('<+x h x f ；

例25.设函数2()()f x x x a =--（x R ∈），其中a R ∈

（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点（2，(2)f ）处的切线方程；（2）当0a ≠时，求函数()f x 的极大值和极小值；

（3）当3a >时，证明存在[1,0]k ∈-，使得不等式22(cos )(cos )f k x f k x -≥-对任意的x R ∈恒成立。

导数解答题题型分类之拓展篇答案2014-05-31

题型一例1、解：（Ⅰ）'2()22f x x bx =-+. ∵2x =是)(x f 的一个极值点，

∴2x =是方程2220x bx -+=的一个根，解得3

b =.

令'()0f x >，则2320x x -+>，解得1x <或2x >. ∴函数()y f x =的单调递增区间为(, 1)-∞，(2, +)∞. （Ⅱ）∵当(1,2)x ∈时'()0f x <，(2,3)x ∈时'()0f x >，

∴()f x 在（1，2）上单调递减，()f x 在（2，3）上单调递增. ∴(2)f 是()f x 在区

间[1，3]上的最小值，且 2(2)3

f a =+. 若当[1, 3]x ∈时，要使22

()3

f x a ->恒成立，

只需22(2)3f a >+，即222

a a +>+，解得 01a <<.

例2、解：(1)法一:(导数法)2222

4(1)224()0(1)(1)x x x x x

f x x x +-+'=

=≥++ 在[0,1]x ∈上恒成立. ∴()f x 在[0,1]上增，∴()f x 值域[0,1]。

法二:2

0,0

22(),(0,1]111

x x f x x x x x =???

==?∈+?+??, 复合函数求值域.

法三:2222(1)4(1)22()2(1)4111

x x x f x x x x x +-++=

==++-+++用对号函数求值域. (2)()f x 值域[0,1]，()52(0)g x ax a a =+->在[0,1]x ∈上的值域[52,5]a a --.

由条件,只须[0,1][52,5]a a ?--，∴5205

4512a a a -≤??≤≤?-≥?.

例3、解：（Ⅰ）/

()32f x x ax =+∴/(1)31f b a

?=-?=+?，解得3

2a b =-??=-?

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在[1,0]-上单调递增，在[0,2]上单调递减，在[2,4]上单调

递减又min max (1)4,(0)0,{()}(2)4,{()}(4)16f f f x f f x f -=-===-== ∴()f x 的值域是[4,16]-

（Ⅲ）令2()()()(1)3

[1,4]2

t h x f x g x x t x x =-=-++-∈

∴要使()()f x g x ≤恒成立，只需()0h x ≤，即2(2)26t x x x -≥-

（1）当时26

x - 解得；

（2）当2x =时 t R ∈；（3）当(2,4]x ∈时2

2x t x x

-≥

-解得8t ≥；综上所述所求t 的范围是(,1][8,)-∞-+∞ 例4、解：（Ⅰ）32'2()2,()34(34)f x ax ax b f x ax ax ax x =-+∴=-=- 令'()f x =0,得[]124

0,2,13

x x ==?-

因为0>a ，所以可得下表：

因此)0(f 必为最大值,∴50=）（f 因此5=b ， (2)165,(1)5,(1)(2)f a f a f f -=-+=-+∴>-，

即11516)2(-=+-=-a f ，∴1=a ，∴ .52(23+-=x x x f ）

（Ⅱ）∵x x x f 43)(2-='，∴0(≤+'tx x f ）等价于0432≤+-tx x x ，令x x xt t g 43)(2-+=，则问题就是0)(g ≤t 在]1,1[-∈t 上恒成立时，求实数x 的取值范围，

为此只需???≤≤-0)10

)1(（g g ，即???≤-≤-0

05322x x x x ，

解得10≤≤x ，所以所求实数x 的取值范围是[0，1]. 例5、解：∵2

23)(x a x f ?=

'，∴由3322=?x a

有a x ±=，即切点坐标为),(a a ，),(a a -- ∴切线方程为)(3a x a y -=-，或)(3a x a y +=+，整理得023=--a y x 或023=+-a y x ∴

2)1(3|22|2

-+--a a ，解得1±=a ，∴3)(x x f =，∴33)(3+-=bx x x g 。（1）∵b x x g 33)(2-='，)(x g 在1=x 处有极值，∴0)1(='g ，即03132=-?b ，解得1=b ，∴33)(3+-=x x x g

∴0≤b ，又∵)(42x g mb b ≥+-在区间]1,1[-上恒成立，∴)1(42g mb b ≥+-，即b mb b 3442-≥+-，∴3+≥b m 在]0,(-∞∈b 上恒成立，∴3≥m ∴m 的取值范围是[)+∞,3 题型二答案：

例6解：（1）由题意x k x x f )1()(2+-=' ∵)(x f 在区间),2(+∞上为增函数，

∴0)1()(2>+-='x k x x f 在区间),2(+∞上恒成立

即x k <+1恒成立，又2>x ，∴21≤+k ，故1≤k ∴k 的取值范围为1≤k

（2）设31

2)1(3)()()(23-++-

=-=kx x k x x g x f x h ， )1)(()1()(2--=++-='x k x k x k x x h

令0)(='x h 得k x =或1=x 由（1）知1≤k ，

①当1=k 时，0)1()(2≥-='x x h ，)(x h 在R 上递增，显然不合题意…②当1

)(x h '随x 的变化情况如下表：

由于

<-k ，欲使)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，即方程0)(=x h 有三个不同的实根，故需0312623>-+-k k ，即0)22)(1(2

<---k k k ∴?

??>--<02212k k k ，解得

31-

综上，所求k 的取值范围为31-

例7、解：（1）,63)(2x ax x f -='a

x x x f 2

00)(21=

=='或得，当a>0时，

),2

(,)2,0(,)0,(+∞-∞a

a 递减递增递增；

当a<时，),0(,)0,2(,)2,(+∞-∞递减递减a

a 递减。（2）当a>0时

此时，极大值为.314)2(,31)0(2

a a a

f a

f -+-=-=极小值为…………7分

当a<0时

此时，极大值为.3

1)0(,314)2(2

a f a a a f -=-+-

=极小值为因为线段AB 与x 轴有公共

点所以,0)

1)(4)(3(0)2()0(3

≤+--≤?a

a a a a f f 即解得]4,3[)0,1[?-∈a 例8、解：（Ⅰ）423)(2--='ax x x f

（Ⅱ）由43)(.2421)(,21

0)1(223--='+--=∴==-'x x x f x x x x f a f 得，由0)(='x f 得3

4=x 或

x =1-又4509(),(1),(2)0,(2)0,327

2f f f f =--=-==()f x ∴在[-2，2]上最大值29，最小值27

（Ⅲ）423)(2

--='ax x

x f ，由题意知(2)0,480,(2)0,840,2 2.f a f a a ?

?'-≥+≥???

'≥?-≥?-≤≤????

例9、解：（I ）设切点P ),( y x ∴0|23)(2=+-='= x x b ax x x f , ∴0232

=+-b ax x ,因为存

在极值点，所以01242≥-=?b a ，即b a 32≥。（II ）因为1-=x ，3=x 是方程023)(2=+-='b ax x x f 的根，

所以9,3-==b a ，∴c x x x x f +--=93)(23。

∴)3)(1(3963)(2

-+=--='x x x x x f ,∴1,3,0)(-<>>'x x x f ；∴31,0)(<<-<'x x f ∴)(x f 在1-=x 处取得极大值，

在3=x 处取得极小值. 函数图像与x 轴有3个交点，∴0

)3(0

)1(<>-??

?f f ，

∴)27,5(-∈c

例10解：（Ⅰ）设32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠ 其图像关于原点对称，即()()f x f x -=-

得 3232ax bx cx d ax bx cx d -+-+=----∴0 0b d ==，则有 3()f x ax cx =+ 由

2()3f x ax c '=+ ，依题意得 102f ??'= ???∴043=+c a ① ，11

1128

2f a c ??=+=- ???② 由

①②得 4,3a c ==- 故所求的解析式为：3()43f x x x =-.（Ⅱ）由2()1230f x x '=->解

得：1

2x >或1

2x <- ，),2

1(),1(∞+?∞+ ∴),1(∞+∈x 时，函数()f x 单调递增；设

()()1122,,,x y x y 是),1(∞+∈x 时，函数()f x 图像上任意两点，且21x x >，则有21y y >∴过

这两点的直线的斜率21

0y y k x x -=

>-. 例11、解：（1）

)

'3(.

0,12,123)('2>-=∴-+=a b b ax x f 且的最小值为又直线

,63)1(',6076-=+=-=++b a f y x 因此的斜率为)'6(.

12,2-==∴b a

（2）由（1）知)2)(2(6126)(',122)(23-+=-=∴-=x x x x f x x x f ，列表如下：

所以，函数f （x ）的单调增区间是)2,(--∞和),2(+∞

)

'12(.

,2828;,28,28;,28,28.

28)2(2)(,

28)2(2)(,18)3(,28)2(,10)1(方程有三根时当方程有二根时或当方程有一根时或当上的极小值是在上的极大值是在<<--==-<>∴-===--==-==-m m m m m f x x f f x x f f f f

例12、解：（1）由1)0(=f 得c=1

?=+--=-=+=-+=3

1)1(0

3)1(,3)('2

b a f b a f b ax x f ，得3,1-==b a ∴

13)(3+-=x x x f

（2）)1)(1(3)('+-=x x x f 得1-=x ，1=x 时取得极值.由)3,(1+∈-t t ，)3,(1+∈t t 得

.12-<<-t ∴)1,2(--=M .31)()(2-+==x

x x x f x g ，2'1

2)(x x x g -=，∴当M x ∈时，

0)('

x x

x f x g ∈=,)

()(的零点有且仅有1个

例

13、解：（I ）x k kx x f )1(63)(2+-=' 又1,0)4(=∴='k f （II ）

t t t f 123)(2-='∴0)(10;0)(01<'<<>'<<-∴t f t t f t 时时。

,3)1(,5)1(-=-=-f f 5)(-≥∴t f 8258522-≥

++a a x x 8

58258-≤-≤-∴a a 解得例14、解：（Ⅰ）123)(2-+='bx ax x f ，依题意0)2()1(='='f f ，即??

=-+=-+,

01412,0123b a b a 解得43,61=

-=b a ∴x x x x f -+-=234

61)(（Ⅱ）由（Ⅰ）知，曲线)(x f y =与)02(3)(≤≤---=x m x x g 有两个不同的交点，即024

6123=---m x x x 在[]0,2-上有两个

不同的实数解。设=)(x ?m x x x ---2436123，则22

21)(2--='x x x ?，由=')(x ?0的4

=x 或1-=x ，当)1,2(--∈x 时0)(>'x ?，于是)(x ?在[]1,2--上递增；当)0,1(-∈x 时0)(<'x ?，

于是)(x ?在[]

0,1-上递减. 依题意有1213001213310)0(0)1(0)2(<≤?????

≥<-≥??????≤>-≤-m m m m ???∴实数m 的取值范围是

≤m . 例15、解：⑴f '(x)＝3x 2＋2bx ＋c ，由题知f '(1)＝0?3＋2b ＋c ＝0，f(1)＝－1?1＋b ＋c ＋2＝－1∴b＝1，c ＝－5，f(x)＝x 3＋x 2－5x ＋2，f'(x)＝3x 2＋2x －5 f(x)在[－3

5，1]为减函数，f (x)在(1，＋∞)为增函数∴b＝1，c ＝－5符合题意

⑵即方程：k x x 252-=-+恰有三个不同的实解：x 3＋x 2－5x ＋2＝k(x≠0)

即当x≠0时，f (x)的图象与直线y ＝k 恰有三个不同的交点，由⑴知f (x)在]

5,[--∞为增函数，f (x)在]1,3

5[-为减函数，f (x)在(1，＋∞)为增函数，又27

229)3

5(=-f ，f (1)

＝－1，f (2)＝2∴27

2291<<-k 且k≠2

例16、解：（1）由题意 a x x x f +-='2)(2 当21+=x 时，)(x f 取得极值， ∴所以 0)21(=+'f ()()0212212

=++-+∴a ∴即 1-=a

此时当21+x 时，0)(>'x f ，

)21(+f 是函数)(x f 的最小值。

（2）设)()(x g x f =，则 033123=---b x x x ，x x x b 33

123--=……8分

设x x x x F 33

1)(23--=，b x G =)( 32)(2--='x x x F ，令032)(2=--='x x x F 解得1-=x 或3=x 列表如下：

函数)(x F 在∴

)1,3(--和)4,3(上是

增函数，在)

3,1(-上是减函数。

当1-=x 时，)(x F 有极大值3

5)1(=-F ；当3=x 时,)(x F 有极小值9)3(-=F

函数)(x f 与)(x g 的图象有两个公共点，∴函数)(x F 与)(x G 的图象有两个公共点

35320<<-

∴b 或 9-=b {}9)3

,320(--∈∴ b 题型三答案：

例17、解：（1）由题意得：2'()323(1)(3),(0)f x ax bx c a x x a =++=--<

因此()f x 在01x =处取得极小值4-

∴4a b c ++=-①，'(1)320f a b c =++=②，'(3)2760f a b c =++=③

由①②③联立得：169a b c =-??

=??=-?

，∴32()69f x x x x =-+-

（2）设切点Q (,())t f t ，,()()()y f t f t x t -=-

232(3129)()(69)y t t x t t t t =-+--+-+- 222(3129)(3129)(69)t t x t t t t t t =-+-+-+--+ 22(3129)(26)t t x t t t =-+-+-过(1,)m - 232(3129)(1)26m t t t t =-+--+- 32()221290g t t t t m =--+-=

令22'()66126(2)0g t t t t t =--=--=，求得：1,2t t =-=，方程()0g t =有三个根。

需：(1)0(2)0g g ->?????--+-

>-?

故：1116m -<<；因此所求实数m 的范围为：(11,16)-

例18、解：（1）∵函数()f x 在2x =时取得一个极值，且2()324f x x ax '=--，

(2)12440f a '∴=--=，2a ∴=

2()344(32)(2)f x x x x x '∴=--=+-．

23x ∴=-或2x =时，2()0,3f x x '=<-或2x >时，2

()0,23

f x x '>-<<时，

()0f x '<， ()f x ∴在2(,],[2,)3

-∞-+∞上都是增函数，在2[,2]3-上是减函数． ∴使

()f x 在区间[,2]t 上是单调函数的t 的取值范围是2

[,2)3

（2）由（1）知32()24f x x x x =--．设切点为00(,)P x y ，则切线的斜率

2000()344k f x x x '==--，所以切线方程为：322

000000(24)(344)()y x x x x x x x ---=---．将点

∵经过点(2,)(8)A c c ≠-可作曲线()y f x =的三条切线，∴方程320

0028880x x x c -++-=有三个不同的实根．设3200

00()2888g x x x x c =--++，则

000002()6168023

g x x x x x '=-+=?==或，0()g x 在2(,)3-∞上单调递增，在2(,2)3上单调

递减，在(2,)+∞上单调递增，故2()0,

(2)0,

g g g g ?

=>???=

极大极小得：280827c -<<-．题型四答案：

例19、解：（1）根据导数的几何意义知2()`()f x g x x ax b ==+-

0x ax b +-=的两个实根由韦达定理，2424a b -+=-??-?=-? ∴28

a b =-??=?，（2）()g x 在区间[]1,3-上是单调递减函数，所以在[]1,3-2()`()0f x g x x ax b ==+-≤，即2()0f x x ax b =+-≤在[]1,3-区间上恒成立

这只需满足(1)0(3)0f f -≤??

≤?即可，也即139a b b a +≥??-≥?而22a b +可视为平面区域1

39a b b a +≥??-≥?

内的点

到原点距离的平方由图知当2

a b =-??=?时，22a b +有最小值13；

例20、解：（1）bx ax x x f -+=233

1)( b ax x x f -+='∴2)(2由题意得

3,13113

14421311)1(4)(=-=??

???

?-=-+-=-+∴-=-='b a b a a f x f 且 x x x x f 33

1)(23

--=

∴ )3)(1()(-+='x x x f 令3,10)(21=-=='x x x f 得由此可知

)1,(--∞

－1 )3,1(-

3 ),3(+∞

)(x f '

+ 0

－ 0

高三导数压轴题题型归纳

导数压轴题题型 1. 高考命题回顾例1已知函数f(x)＝e x －ln(x ＋m)．（2013全国新课标Ⅱ卷） (1)设x ＝0是f(x)的极值点，求m ，并讨论f(x)的单调性； (2)当m≤2时，证明f(x)>0. (1)解 f (x )＝e x －ln(x ＋m )?f ′(x )＝e x －1x ＋m ?f ′(0)＝e 0－1 0＋m ＝0?m ＝1，定义域为{x |x >－1}，f ′(x )＝e x －1 x ＋m ＝ e x x ＋1－1 x ＋1 ，显然f (x )在(－1,0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增． (2)证明 g (x )＝e x －ln(x ＋2)，则g ′(x )＝e x －1 x ＋2 (x >－2)． h (x )＝g ′(x )＝e x －1x ＋2(x >－2)?h ′(x )＝e x ＋1 x ＋22>0，所以h (x )是增函数，h (x )＝0至多只有一个实数根，又g ′(－12)＝1e －13 2 <0，g ′(0)＝1－1 2>0，所以h (x )＝g ′(x )＝0的唯一实根在区间??? ?－1 2，0内，设g ′(x )＝0的根为t ，则有g ′(t )＝e t －1 t ＋2＝0????－12g ′(t )＝0，g (x )单调递增；所以g (x )min ＝g (t )＝e t －ln(t ＋2)＝1 t ＋2＋t ＝ 1＋t 2 t ＋2>0，当m ≤2时，有ln(x ＋m )≤ln(x ＋2)，所以f (x )＝e x －ln(x ＋m )≥e x －ln(x ＋2)＝g (x )≥g (x )min >0. 例2已知函数)(x f 满足2 1 2 1)0()1(')(x x f e f x f x + -=-（2012全国新课标） (1)求)(x f 的解析式及单调区间； (2)若b ax x x f ++≥ 2 2 1)(，求b a )1(+的最大值。（1）121 1()(1)(0)()(1)(0)2 x x f x f e f x x f x f e f x --'''=-+?=-+ 令1x =得：(0)1f =

高考数学导数及其应用的典型例题

第二部分导数、微分及其导数的应用知识汇总一、求导数方法 1.利用定义求导数 2.导数的四则运算法则 3.复合函数的求导法则若)(u f y =与)(x u φ=均可导，则[])(x f y φ=也可导，且dx du du dy dx dy ? = 即 [])()(x x f y φφ'?'=' 4.反函数的求导法则若)(x f y =与)(y x φ=互为反函数，且)(y φ单调、可导，则 )(1)(y x f φ'= '，即dy dx dx dy 1 = 5.隐函数求导法求由方程0),(=y x F 确定的隐函数 )(x f y =的导数dx dy 。只需将方程0),(=y x F 两边同时对x 求导（注意其中变量y 是x 的函数），然后解出 dx dy 即可。 6.对数求导法对数求导法是先取对数，然后按隐函数求导数的方法来求导数。对数求导法主要解决两类函数的求导数问题： (1)幂指数函数y=)()(x v x u ；(2)由若干个因子的乘积或商的显函数，如 y= 3 4 )3(52)2)(1(---++x x x x x ,3 ) 2)(53() 32)(1(--+-=x x x x y ,5 5 2 2 5 +-=x x y 等等。 7.由参数方程所确定函数的求导法则设由参数方程 ? ? ?==)() (t y t x ?φ ),(βα∈t 确定的函数为y=f(x)，其中)(),(t t ?φ

可导，且)(t φ'≠0，则y=f(x)可导，且 dt dx dt dy t t dx dy =''=)()(φ? 8.求高阶导数的方法二、求导数公式 1.基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 2.常见函数的高阶导数 (1) n n x n x -+-?-?-?=αα αααα)1()2()1()() ( (2) x n x e e =) () ( (3) ()()ln x n x n a a a = (4) () (sin ) sin 2n x x n π? ?=+? ??? (5) ??? ? ??+=2cos )(cos )(πn x x n (6) () 1 (1)!ln()(1) ()n n n n a x a x --+=-+ (7) 1 )() (!)1()1(++-=+n n n n b ax a n b ax

导数经典专题整理版

导数在研究函数中的应用知识点一、导数的几何意义函数()y f x =在0x x =处导数()0f x '是曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处切线的，即_______________;相应地，曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处的切线方程是例1.(1)曲线x e x y +=sin 在点)1,0(处的切线方程为（） A.033=+-y x B.022=+-y x C.012=+-y x D.013=+-y x （2）若曲线x x y ln =上点P 处的切线平行于直线012=+-y x ，则点P 的坐标是（） A.),(e e B.)2ln 2,2( C.)0,1( D.),0(e 【变式】（1）曲线21x y xe x =++在点)1,0(处的切线方程为（） A.13+=x y B.12+=x y C.13-=x y D.12-=x y （2）若曲线x ax y ln 2-=在点),1(a 处的切线平行于x 轴，则a 的值为（） A.1 B.2 C.21 D.2 1- 知识点二、导数与函数的单调性（1）如果函数)(x f y =在定义域内的某个区间(,)a b 内，使得'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内为且该区间为函数)(x f 的单调_______区间； (2)如果函数)(x f y =在定义域内的某个区间(,)a b 内，使得'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内为，且该区间为函数)(x f 的单调_______区间.

例1.（1）函数x e x x f )3()(2-=的单调递增区间为（） A.)0,(-∞ B.),0(+∞ C.)1,3(- D.),1()3,(+∞--∞和（2）函数x x y ln 2 12-=的单调递减区间为（） A.(]1,1- B.(]1,0 C.[)+∞,1 D.),0(+∞ 例2.求下列函数的单调区间，并画出函数)(x f y =的大致图像. （1）3)(x x f = （2）x x x f 3)(3+= (3)1331)(23+--=x x x x f （4）x x x x f 33 1)(23++-= 知识点三、导数与函数的极值函数)(x f y =在定义域内的某个区间(,)a b 内,若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数)(x f '异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是（熟练掌握求函数极值的步骤以及一些注意点）例1.（1）求函数133 1)(23+--=x x x x f 的极值（2）求函数x x x f ln 2)(2-=的极值

高三数学培优补差辅导专题讲座-集合、函数与导数单元易错题分析与练习p

集合与函数、导数部分易错题分析 1．进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解. 2．你会用补集的思想解决有关问题吗？ 3．求不等式（方程）的解集，或求定义域（值域）时，你按要求写成集合的形式了吗？ [问题]:{}1|2-=x y x 、{ }1|2-=x y y 、{}1|),(2-=x y y x 的区别是什么？ 4．绝对值不等式的解法及其几何意义是什么？ 5．解一元一次不等式（组）的基本步骤是什么？ [问题]:如何解不等式：()0122>--b x a ？ 6．三个二次（哪三个二次？）的关系及应用掌握了吗？如何利用二次函数求最值？注意到对二次项系数及对称轴进行讨论了吗？ 7．简单命题与复合命题有什么区别？四种命题之间的相互关系是什么？如何判断充分与必要条件？ [问题]：请举例说明“否命题”与“命题的否定形式”的区别. 什么是映射、什么是一一映射？ [问题]：已知：A={1，2，3}，B={1，2，3}，那么可以作个A 到B 上的映射，那么可以作个 A 到 B 上的一一映射. 9．函数的表示方法有哪一些？如何判断函数的单调性、周期性、奇偶性？单调性、周期性、奇偶性在函数的图象上如何反应？什么样的函数有反函数？如何求反函数？互为反函数的图象间有什么关系？求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，你注明函数的定义域了吗？ [问题]：已知函数()[],9,1,2log 3∈+=x x x f 求函数()[]() 22x f x f y +=的单调递增区间.（你处理函数问题是是否将定义域放在首位） [问题]：已知函数()()的函数x g y x x x f =-+=,132图象与()11+=-x f y 的图象关于直线()的值对称，求11g x y =. 10、如何正确表示分数指数幂？指数、对数的运算性质是什么？ 11、你熟练地掌握了指数函数和对数函数的图象与性质吗? [问题]：已知函数()[)+∞∈=,3log x x x f a 在上，恒有()1>x f ，则实数的a 取值范围是：。 12．你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗？（定义法、导数法） 13．如何应用函数的单调性与奇偶性解题?①比较函数值的大小；②解抽象函数不等式；③求参数的范围（恒成立问题）.这几种基本应用你掌握了吗？ [问题]：写出函数)0()(>+=m x m x x f 的图象及单调区间.],[d c x ∈时,求函数的最值.这种求函数的最值的方法与利用均值不等式求函数的最值的联系是什么？ [问题]：证明“函数)(x f 的图象关于直线a x =对称”与证明“函数)(x f 与函数)(x g 的图象关于直线a x =对称”有什么不同吗？例题讲解 1、忽略φ的存在：例题1、已知A ={x|121m x m +≤≤-}，B ={x|25x -≤≤}，若A ?B ，求实数m 的取值范围．【错解】A ?B ?? ?≤-+≤-?5 1212m m ，解得：33≤≤m －【分析】忽略A =φ的情况.

高考导数压轴题型归类总结

导数压轴题型归类总结目录一、导数单调性、极值、最值的直接应用（1）二、交点与根的分布（23）三、不等式证明（31）（一）作差证明不等式（二）变形构造函数证明不等式（三）替换构造不等式证明不等式四、不等式恒成立求字母范围（51）（一）恒成立之最值的直接应用（二）恒成立之分离常数（三）恒成立之讨论字母范围五、函数与导数性质的综合运用（70）六、导数应用题（84）七、导数结合三角函数（85）书中常用结论 ⑴sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为sin 1x x <，其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1. ⑵1x e x >+ ⑶ln(1)x x >+ ⑷ln ,0x x x e x <<>.

一、导数单调性、极值、最值的直接应用 1. （切线）设函数a x x f -=2)(. （1）当1=a 时，求函数)()(x xf x g =在区间]1,0[上的最小值；（2）当0>a 时，曲线)(x f y =在点)))((,(111a x x f x P >处的切线为l ，l 与x 轴交于点)0,(2x A 求证：a x x >>21. 解：(1)1=a 时，x x x g -=3)(，由013)(2=-='x x g ，解得3 3 ±=x . 所以当33= x 时，)(x g 有最小值9 32)33(-=g . (2)证明：曲线)(x f y =在点)2,(211a x x P -处的切线斜率112)(x x f k ='= 曲线)(x f y =在点P 处的切线方程为)(2)2(1121x x x a x y -=--. 令0=y ，得12 122x a x x +=，∴12 1 112 11222x x a x x a x x x -=-+=- ∵a x >1，∴ 021 21 <-x x a ，即12x x <. 又∵1122x a x ≠，∴a x a x x a x x a x x =?>+=+= 1 1111212222222 所以a x x >>21. 2. （2009天津理20，极值比较讨论）已知函数22()(23)(),x f x x ax a a e x =+-+∈R 其中a ∈R ⑴当0a =时，求曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率； ⑵当2 3 a ≠ 时，求函数()f x 的单调区间与极值. 解：本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。 ⑴.3)1(')2()(')(022e f e x x x f e x x f a x x =+===，故，时，当 .3))1(,1()(e f x f y 处的切线的斜率为在点所以曲线= ⑵[] .42)2()('22x e a a x a x x f +-++= .223 2 .220)('-≠-≠-=-==a a a a x a x x f 知，由，或，解得令

导数有关知识点总结、经典例题及解析、近年高考题带答案

导数及其应用【考纲说明】 1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。 2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。 3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。【知识梳理】一、导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时，x y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。即f （x 0）=0lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。说明：

（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y ??不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。（2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤：（1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）；（2）求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00；（3）取极限，得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。二、导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。三、几种常见函数的导数 ①0;C '= ②() 1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a ' =; ⑦ ()1ln x x '= ; ⑧()1 l g log a a o x e x '=. 四、两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： ( .)' ''v u v u ±=± 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即： .)('''uv v u uv += 若C 为常数,则' ''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu = 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方： ? ?? ??v u ‘=2' 'v uv v u -（v ≠0）。形如y=f [x (?])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y ＇|x = y ＇|u ·u ＇|x 五、导数应用 1、单调区间：一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导，

高考导数压轴题型归类总结材料

导数压轴题型归类总结目录一、导数单调性、极值、最值的直接应用（1）二、交点与根的分布（23）三、不等式证明（31）（一）作差证明不等式（二）变形构造函数证明不等式（三）替换构造不等式证明不等式四、不等式恒成立求字母围（51）（一）恒成立之最值的直接应用（二）恒成立之分离常数（三）恒成立之讨论字母围五、函数与导数性质的综合运用（70）六、导数应用题（84）七、导数结合三角函数（85）书中常用结论 ⑴sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为sin 1x x <，其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1. ⑵1x e x >+ ⑶ln(1)x x >+ ⑷ln ,0x x x e x <<>. 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 1. （切线）设函数a x x f -=2)(. （1）当1=a 时，求函数)()(x xf x g =在区间]1,0[上的最小值；（2）当0>a 时，曲线)(x f y =在点)))((,(111a x x f x P >处的切线为l ，l 与x 轴交于点)0,(2x A 求证：a x x >>21. 解：(1)1=a 时，x x x g -=3)(，由013)(2=-='x x g ，解得3 3 ±=x .

所以当33= x 时，)(x g 有最小值9 3 2)33(- =g . (2)证明：曲线)(x f y =在点)2,(211a x x P -处的切线斜率112)(x x f k ='= 曲线)(x f y =在点P 处的切线方程为)(2)2(1121x x x a x y -=--. 令0=y ，得12 122x a x x +=，∴12 1 112 1 1222x x a x x a x x x -=-+=- ∵a x >1，∴ 021 21 <-x x a ，即12x x <. 又∵1122x a x ≠，∴a x a x x a x x a x x =?>+=+= 1 1111212222222 所以a x x >>21. 2. （2009天津理20，极值比较讨论）已知函数22()(23)(),x f x x ax a a e x =+-+∈R 其中a ∈R ⑴当0a =时，求曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率； ⑵当2 3 a ≠ 时，求函数()f x 的单调区间与极值. 解：本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。 ⑴.3)1(')2()(')(022e f e x x x f e x x f a x x =+===，故，时，当 .3))1(,1()(e f x f y 处的切线的斜率为在点所以曲线= ⑵[] .42)2()('22x e a a x a x x f +-++= .223 2 .220)('-≠-≠-=-==a a a a x a x x f 知，由，或，解得令以下分两种情况讨论： ①a 若＞ 3 2 ，则a 2-＜2-a .当x 变化时，)()('x f x f ，的变化情况如下表： )(所以x f .3)2()2(2)(2a ae a f a f a x x f -=---=，且处取得极大值在函数 .)34()2()2(2)(2--=---=a e a a f a f a x x f ，且处取得极小值在函数 ②a 若＜3 2 ，则a 2-＞2-a ，当x 变化时，)()('x f x f ，的变化情况如下表：所以)(x f .)34()2()2(2)(2--=---=a e a a f a f a x x f ，且处取得极大值在函数

高二数学导数及其应用练习题及答案

（数学选修1-1）第一章导数及其应用 [提高训练C 组]及答案一、选择题 1．若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于（） A ．sin α B ．cos α C ．sin cos αα+ D ．2sin α 2．若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数'()f x 的图象是（） 3．已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是（） A ．),3[]3,(+∞--∞ B ．]3,3[- C ．),3()3,(+∞--∞ D ．)3,3(- 4．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（） A ． (0)(2)2(1)f f f +< B. (0)(2)2(1)f f f +≤ C. (0)(2)2(1)f f f +≥ D. (0)(2)2(1)f f f +> 5．若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 6．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个二、填空题 1．若函数()()2 f x x x c =-在2x =处有极大值，则常数c 的值为_________；

2．函数x x y sin 2+=的单调增区间为。 3．设函数())(0)f x ??π=+<<，若()()f x f x '+为奇函数，则?=__________ 4．设3 2 1()252 f x x x x =- -+，当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成立，则实数m 的取值范围为。 5．对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列1n a n ?? ? ?+?? 的前n 项和的公式是三、解答题 1．求函数3(1cos 2)y x =+的导数。 2．求函数y = 3．已知函数3 2 ()f x x ax bx c =+++在2 3 x =-与1x =时都取得极值 (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间 (2)若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围。 4．已知23()log x ax b f x x ++=,(0,)x ∈+∞，是否存在实数a b 、,使)(x f 同时满足下列两个条件：（1）)(x f 在(0,1)上是减函数，在[)1,+∞上是增函数；（2）)(x f 的最小值是1，若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由. （数学选修1-1）第一章导数及其应用 [提高训练C 组] 一、选择题 1．A ' ' ()sin ,()sin f x x f αα==

高中数学导数典型例题精讲

高中数学导数典型例题精讲 Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】

导数经典例题精讲导数知识点导数是一种特殊的极限几个常用极限：（1）1 lim 0n n →∞=，lim 0n n a →∞=（||1a <）；（2）0 0lim x x x x →=，00 11lim x x x x →=. 两个重要的极限：（1）0sin lim 1x x x →=；（2）1lim 1x x e x →∞?? += ??? (e=…). 函数极限的四则运算法则：若0 lim ()x x f x a →=，0 lim ()x x g x b →=，则 (1)()()0 lim x x f x g x a b →±=±????；(2)()()0 lim x x f x g x a b →?=?????;(3)()()()0 lim 0x x f x a b g x b →=≠. 数列极限的四则运算法则：若lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞ ==，则(1)()lim n n n a b a b →∞±=±；(2)()lim n n n a b a b →∞ ?=?(3)()lim 0n n n a a b b b →∞=≠(4)()lim lim lim n n n n n c a c a c a →∞→∞→∞?=?=?( c 是常数) )(x f 在0x 处的导数（或变化率或微商） 000000()()()lim lim x x x x f x x f x y f x y x x =?→?→+?-?''===??. .瞬时速度：00()() ()lim lim t t s s t t s t s t t t υ?→?→?+?-'===??. 瞬时加速度：00()() ()lim lim t t v v t t v t a v t t t ?→?→?+?-'===??. )(x f 在),(b a 的导数：()dy df f x y dx dx ''===00()() lim lim x x y f x x f x x x ?→?→?+?-==??. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 几种常见函数的导数 (1) 0='C （C 为常数）.(2) '1()()n n x nx n Q -=∈.(3) x x cos )(sin ='.x x sin )(cos -=' (4) x x 1)(ln ='；e a x x a log 1)(log ='. (5) x x e e =')(; a a a x x ln )(='. 导数的运算法则（1）' ' ' ()u v u v ±=±.（2）' ' ' ()uv u v uv =+.（3）'' '2 ()(0)u u v uv v v v -=≠. 复合函数的求导法则设函数()u x ?=在点x 处有导数''()x u x ?=，函数)(u f y =在点x 处的对应点U 处有导数''()u y f u =，则复合函数(())y f x ?=在点x 处有导数，且'''x u x y y u =?，或写作'''(())()()x f x f u x ??=. 【例题解析】考点1 导数的概念对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念.

导数中的易错题

第20练导数中的易错题一、选择题 1．如果f ′(x )是二次函数，且f ′(x )的图象开口向上，顶点坐标为(1，3)，那么曲线y ＝f (x )上任意一点的切线的倾斜角α的取值范围是( ) A ．(0，π 3] B ．[π3，π 2) C ．(π2，2π 3 ] D ．[π 3 ，π) 2．(优质试题·福建福州三中月考)已知点A (1,2)在函数f (x )＝ax 3 的图象上，则过点A 的曲线C ： y ＝f (x )的切线方程是( ) A ．6x －y －4＝0 B ．x －4y ＋7＝0 C ．6x －y －4＝0或x －4y ＋7＝0 D ．6x －y －4＝0或3x －2y ＋1＝0 3．(优质试题·兰州诊断)在直角坐标系xOy 中，设P 是曲线C ：xy ＝1(x >0)上任意一点，l 是曲线C 在点P 处的切线，且l 交坐标轴于A ，B 两点，则以下结论正确的是( ) A ．△OAB 的面积为定值2 B ．△OAB 的面积有最小值3 C ．△OAB 的面积有最大值4 D ．△OAB 的面积的取值范围是[3,4] 4．若函数f (x )＝2x 2 －ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．[1，3 2) C ．[1,2) D ．[3 2 ，2) 5．若函数y ＝x 3 －3ax ＋a 在(1,2)内有极小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．1

C ．2 4或a <1 6．已知函数f (x )＝x 3 ＋ax 2 ＋x ＋2 (a >0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,2] B ．(0,2) C ．[3，2) D ．(3，2) 7．如果函数f (x )＝13x 3－x 满足：对于任意的x 1，x 2∈[0,2]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤a 2 恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．[－ 63，63 ] B ．[－233，23 3] C ．(－∞，－ 63]∪[6 3 ，＋∞) D ．(－∞，－233]∪[23 3 ，＋∞) 8．(优质试题·景德镇质检)已知f (x )＝ax ＋a －2 x ＋2－2a (a >0)，若f (x )≥2ln x 在[1，＋∞)上恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．(2，＋∞) D ．[2，＋∞) 二、填空题 9．若函数f (x )＝ln x ＋ax 存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是________________． 10．函数f (x )＝ax －cos x ，x ∈[π4，π3]，若?x 1，x 2∈[π4，π3]，x 1≠x 2，f ?x 2?－f ?x 1? x 2－x 1<0，则实数a 的取值范围是________． 11．若函数f (x )＝ax 3 ＋x 恰有3个单调区间，则a 的取值范围为________． 12．已知函数f (x )＝e x 1＋ax 2(a >0)，若f (x )为R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是 ________.