专题七：平面向量常考题型的解题技巧
平面向量专题讲解
向量是数学中的重要概念，以向量为工具可以把几何问题（平面、空间）转化为简单的向量运算，变抽象的逻辑推理为具体的向量运算，实现形与数的结合.
题型一：考查与向量概念有关的问题
⑴向量不同于数量，数量是只有大小的量（称标量），而向量既有大小又有方向；数量可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小.记号“a ＞b ”错了，而|a |＞|b |才有意义.
⑵有些向量与起点有关，有些向量与起点无关.由于一切向量有其共性（力和方向），故我们只研究与起点无关的向量（既自由向量）.当遇到与起点有关向量时，可平移向量.
⑶平行向量（既共线向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量，既向量平行是向量相等的必要条件.
⑷单位向量是模为1的向量，其坐标表示为（,）,其中x 、y 满足 +2x 2y ＝1（可用（cos θ,sin θ）（0≤θ≤2π）表示）. ⑸零向量0的长度为0，是有方向的，并且方向是任意的，实数0仅仅是一个无方向的实数.
⑹有向线段是向量的一种表示方法，并不是说向量就是有向线段.
题型二：与向量运算有关的问题
⑴向量与向量相加，其和仍是一个向量（对应坐标相加）. ①当两个向量和不共线时，+的方向与、都不相同，且|+|＜||＋|b |；
②当两个向量和共线且同向时，+、、的方向都相同，且=+||||||+； ③当向量和反向时，若||＞||，+与 方向相同 ，
且|+|=||-||；
若|a |＜|b |时,b a +与b 方向相同，且|a ＋b |=|b |-|a |.
⑵向量与向量相减，其差仍是一个向量.向量减法的实质是加法的逆运算.
⑶围成一周首尾相接的向量（有向线段表示）的和为零向量. 如，+AB +BC 0=CA ,（在△ABC 中）
+++=.(□ABCD 中)
⑷判定两向量共线的注意事项 如果两个非零向量，，使=λb （λ∈R ），那么∥； 反之，如∥，且≠0，那么=λ. 这里在“反之”中，没有指出是非零向量，其原因为=0时，与λ的方向规定为平行.
⑸数量积的8个重要性质
①两向量的夹角为0≤θ≤π.由于向量数量积的几何意义是一个向量的长度乘以另一向量在其上的射影值，其射影值可正、可负、可以为零，故向量的数量积是一个实数. ②设、都是非零向量，是单位向量，θ是与的夹角，则
③?⊥)1|.(cos ||==?=?e a θ0=?（∵θ=90°，)0cos =θ ④在实数运算中ab =0a ?=0或b=0.而在向量运算中b a ?=0a ?=0或b =0是错误的，故0=a 或0=b 是b a ?=0的充分而不必要条件. ⑤当a 与b 同向时b a ?=||||b a ?(θ=0,cos θ=1); 当a 与b 反向时，b a ?=-||||b a ?(θ=π,cos θ=-1)，即a ∥b 的另一个充要条件是||||b a ?=?. 特殊情况有2=?=2
|a .
或|a ==22y x +. 如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(1x ,1y ),(2x ,2y ),则||a =221221)()(y y x x -+- ⑥|||||b a ?≤?。（因1cos ≤θ）
⑦数量积不适合乘法结合律. 如).()(c b a c b a ??≠??（因为c b a ??)(与c 共线，而)(c b a ??与a 共线）
⑧数量积的消去律不成立. 若a 、、c 是非零向量且c b c a ?=?并不能得到b a =这是因为向量不能作除数，即c 是无意义的.
1．（2008安徽理）在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若(2,4)AB =，(1,3)AC =,则BD =（）
A ． （－2，－4）
B ．（－3，－5）
C ．（3，5）
D ．（2，4）
2．(2008湖北文、理)设a =(1,-2),b =(-3,4),c =(3,2),则(a +2b )·c =（）
A.(-15,12)
B.0
C.-3
D.-11
4．(2008辽宁理)已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足20AC CB +=，则OC =（）
A ．2OA O
B - B ．2OA OB -+
C ．
2133OA OB - D ．1233
OA OB -+ 5．(2008全国Ⅰ卷文、理)在ABC △中，AB =c ，AC =b ．若点D 满足2BD DC =，则AD =（）
A ．2133+b c
B ．5233-c b
C ．2133-b c
D ．1233+b c 6．（2008浙江理））已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足0)()(=-?-c b c a ,则c 的最大值是（）
（A ）1 （B ）2 （C ）2 （D ）2
2 7．（2008北京理）已知向量a 与b 的夹角为120，且4==a b ，那么(2)+b a b 的值为 ．
8. (2008江苏) a ，b 的夹角为120?，1a =，3b = 则5a b -= 7 ．
,是不共线的两个向量,
9.已知,2,,2k -=+=+=
若D B A ,,三点共线,求k 值.
思路：由于D B A ,,三点共线,因此必存在实数λ,使BD AB λ=,因而可根据已知条件和向量相等的条件得到关于k ,λ的方程,从而求k .
解:略∴k =-1.
注意：用向量共线的充要条件有时可以很容易解决几何中的三点共线问题.
题型二：与平面向量基本定理及平移有关的问题
⑴平面向量基本定理是平面向量坐标表示的基础，它表明同一平面内的任一向量都可表示为其他两个不共线向量的线性组合.
⑵平面向量基本定理可联系物理学中力的分解模型进行理解。
⑶点的平移公式：（对应坐标相加）
点),(y x P 按给定平移向量),,(k h a =平移后得新点),(y x p '''的坐标公式为
?
??+='+=';,k y y h x x 反之，由新点求旧点公式变为
?
??-'=-'=;,k y y h x x 由新旧两点求平移向量公式为
???-'=-'=.
,y y k x x h ⑷图象（图形）平移：（对应坐标相减） 给定平移向量=(),k h ，由旧解析式求新解析式，用公式
???-'=-'=k
y y h x x , 代入旧解析式中，整理得到；
由新解析式求旧解析式，用公式
???+='+='k
y y h x x ,
代入新式，整理得到。
应用以上公式要注意公式中平移前的坐标),(y x 、平移后的坐标),(y x ''、平移向量坐标),(k h 都在同一坐标系中。
确定平移向量一般可采用如下两种思路： 思路一：配凑法：按题目要求进行配凑，如将3)63sin(2+-=π
x y 化简，即可配凑为：
),18(3sin 23π-=-x y 则公式为??
???-=-=318''y y x x π此时平移向量为).3,18(--π 思路二：待定系数法：按要求代入公式，再根据题目要求求出.,k h
【例1】
一．选择题
1.已知向量a 和b 反向，则下列等式成立的是（ ）. A.|| -||=|-| B.||||b a b a -=+
=+b |-| D.||||||+=+
2.已知向量),,(y x =，其中}{}{,,8,6,4,2,,5,4,2,1∈∈y x 则满足条件的不共线的向量共有（ ）.
A.16个
B.13个
C.12个
D.9个
3.函数x y 2sin =的图象按向量a 平移后，所得函数的解析式是,12cos +=x y 则a 等于（ ）.
A.??
? ??1,4π B.??? ??-1,4π C.??? ??-1,2π D.??
? ??1,2π 4.已知若),5,3(),2,(-==λ和夹角为钝角,则λ的取值范围是（ ）
A.λ＞310
B.λ≥310 λ＜310 λ≤3
10 5.已知向量=()sin 2,cos 2αα，=),sin 3,cos 3(ββ与的夹角为60°，则直线021sin cos =+-ααy x 与圆2
1)sin ()cos (22=++-ββy x 的位置关系是（ ）. A. 相切 B.相交 C.相离 D.随α、β的值而定
6.已知ABC ?中,点D 在BC 边上,且,,2s r +=?=则s r +的值是（ ）. A.32 B.3
4 C.3- D.0 7.已知A 、B 、C 三点共线，且A 、B 、C 三点的纵坐标分别为2、5、10，则A 点分BC 所得的比是( ). A.83 B.38 C.83- D.3
8- 8.同时垂直于()()3,5,4,1,2,2==的单位向量是( ) A.)32,32,31
(- B.()32,32,31-- C.(32,31,31-)D.(32,32,31-)或(3
2,32,31--) 9.若)1,sin 2,cos 2(),1,sin 3,cos 3(θθααB A ,则||的取值范围是( )
A.[0,5]
B.[1,5]
C.(1,5)
D.[1,25]
平面向量题型全归纳,平面向量知识点和题型总结
第五章 平面向量 题型57 平面向量的概念及线性运算 ? 知识点摘要： 1. 向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量，一般用c b a ,,来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如AB （其中A 为起点，B 为终点）。 2. 向量的大小：又叫向量的模，也就是向量的长度，记作||a 或||AB 。 3. 零向量：长度为0的向量，记作0，其方向是不确定的。我们规定零向量与任何向量a 共线（平行），即a ∥0。 4. 单位向量：模长为1个单位的向量叫做单位向量。当≠||a 0时，很明显| |a a ± 是与向量a 共线（平行）的单位向量。 5. 相等向量：大小相等，方向相同的向量，记为b a =。 6. 相反向量：大小相等，方向相反的向量，向量a 的相反向量记为a -。 7. 共线向量（平行向量）：方向相同或方向相反的向量，叫做平行向量，也叫做共线向量，因为任何平行向量经过平移后，总可以移到同一条直线上。 一、向量的线性运算 1. 向量的加法： 1.1. 求两个向量和的运算叫做向量的加法。已知向量b a ,，在平面内任取一点A ，作b BC a AB ==,，则向量AC 叫做向量a 和b 的和（或和向量），即AC BC AB b a =+=+。 1.2. 向量加法的几何意义：向量的加法符合三角形法则和平行四边形法则，如图： 1.3. 若向量b a ,不共线，加法的三角形法则和平行四边形法则都适用；当向量b a ,共线时，只能用三角形法则。 1.4. 三角形法则可推广至若干个向量的和，如图：
2. 向量的减法： 2.1. 向量a 与b 的相反向量之和叫做向量a 与b 的差或差向量，即)(b a b a -+=-。 2.2. 向量减法的几何意义：向量的减法符合三角形法则，同起点，指向被减数，如图： 3. 向量的数乘运算： 3.1. 实数λ与向量a 的积是一个向量，记为a λ，其长度与方向规定如下： ①||||||a a λλ= ②当0＞λ时，a λ与a 的方向相同；当0＜λ时，a λ与a 的方向相反；当0=λ时，0=a λ，方向不确定。 3.2. 向量数乘运算的运算律:设μλ，为实数，则 ①a a a μλμλ+=+)(； ②a a )()(λμμλ=； ③b a b a λλλ+=+)(。 二、重要定理和性质 1. 共线向量基本定理：如果)(R b a ∈=λλ，则b a ∥；反之，如果b a ∥且0≠b 时，一定存在唯一实数λ，使b a λ=。 2. 三点共线定理：平面内三点A,B,C 共线的充要条件是，存在实数μλ，，使μλ+=,其中 1=+μλ，O 为平面内任一点。即A,B,C 三点共线?OC OB OA μλ+=（1=+μλ） ? 典型例题精讲精练： 57.1平面向量相关概念 1. 给出下列命题：①若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ―→＝DC ―→ 是四 边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；其中正确命题的序号是________．[答案] ①② 2. 给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；③λ， μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中错误的命题的个数为( )D A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
平面向量常见题型与解题方法归纳学生版
平面向量常见题型与解题方法归纳 （1） 常见题型分类 题型一：向量的有关概念与运算 例1：已知a是以点A(3,－1)为起点，且与向量b = (－3,4)平行的单位向量，则向量a的终点坐标是. 例2：已知| a |=1,| b |=1，a与b的夹角为60°, x =2a－b，y=3b－a,则x与y的夹角的余弦是多少 题型二：向量共线与垂直条件的考查 r r r r 例1（1）,a b r r为非零向量。“a b⊥r r”是“函数()()() f x xa b xb a =+?-
为一次函数”的 A 充分而不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 （2）已知O ，N ，P 在ABC ?所在平面内，且 ,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且PA PB PB PC PC PA ?=?=?，则点O ，N ，P 依次是ABC ?的 A.重心 外心 垂心 B.重心 外心 内心 C.外心 重心 垂心 D.外心 重心 内心 例2．已知平面向量a ＝(3，－1)，b ＝(21, 2 3).(1) 若存在实数k 和t ，便得x ＝a ＋(t 2－3)b , y ＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ，试求函数的关系式k ＝f(t)；(2) 根据(1)的结论，确定k ＝f(t)的单调区间. 例3： 已知平面向量a ?＝(3，－1)，b ?＝(2 1，23)，若存在不为零的实数k 和角α，使向量c ?＝a ?＋(sin α －3)b ?, d ?＝－k a ?＋(sin α)b ?,且c ?⊥d ?，试求实数k 的
取值范围. 例4：已知向量)1,2(),2,1(-==b a ，若正数k 和t 使得向量 b t a k y b t a x 1)1(2 +-=++=与垂直，求k 的最小值. 题型三：向量的坐标运算与三角函数的考查 向量与三角函数结合，题目新颖而又精巧，既符合在知识的“交汇处”构题，又加强了对双基的考查. 例7．设函数f (x )＝a · b ，其中向量a ＝(2cos x , 1), b ＝(cos x ,3sin2x ), x ∈R.（1）若f(x )＝1－3且x ∈[－
高三高考平面向量题型总结
平面向量 一、平面向量得基本概念: １、向量:既有大小又有方向得量叫做________、我们这里得向量就是自由向量，即不改变大小与方向可以平行移动. 向量可以用____＿＿＿＿_来表示、向量得符号表示_＿＿_____＿＿＿＿__＿＿__＿_、 2、向量得长度：向量得大小也就是向量得长度(或_____），记作_＿____＿__、 3、零向量：长度为0得向量叫做零向量,记作____＿＿＿＿、 4、单位向量：___＿___________＿___＿_＿＿__＿、 5、平行向量与共线向量:如果向量得基线平行或重合，则向量平行或共线；两个非零向量方向相同或相反、记作_______＿规定:___________＿＿＿_____、 注意:理解好共线（平行)向量。 6.相等向量：＿____＿____＿________＿＿＿_、 例:下列说法正确得就是__＿__ ①有向线段就就是向量，向量就就是有向线段; ②则;③ ④若，则A ，Ｂ，C ，D 四点就是平行四边形得四个顶点； ⑤所有得单位向量都相等； 二、向量得线性运算: （一）向量得加法： 1、向量得加法得运算法则：＿_＿＿___＿____、__＿______与______＿____、 (1）向量求与得三角形法则:适用于任何两个向量得加法,不共线向量或共线向量；模长之间得不等式关系_____________＿＿____＿___;“首就是首,尾就是尾，首尾相连” 例１、已知AB=８，AC ＝5，则BC 得取值范围_＿____＿___ 例2、化简下列向量 （1） （2) (2)平行四边形法则:适用不共线得两个向量，当两个向量就是同一始点时,用平行四边形法则; 就是以,为邻边得平行四边形得一条对角线，如图： 例1、(０9 山东)设P 就是三角形A ＢC 所在平面内一点，,则 A. B 、 C 、 Ｄ、 例2、（13四川）在平行四边形ＡBCD 中,对角线AC 与B Ｄ交于点Ｏ， ,则、 （３）多边形法则 2、向量得加法运算律:交换律与结合律 （二）向量得减法: 减法就是加法得逆运算,Ａ、 （终点向量减始点向量) 在平行四边形中,已知以、为邻边得平行四边形中,分别为平行四边形得两条对角线，当时，此时平行四边形就是矩形。 例1、已知，且,则＝＿＿_＿__ 例2、设点M 就是B Ｃ得中点,点A 在线段BC 外,B Ｃ=1６,,则 向量得加减运算： 例1、(0８辽宁）已知、就是平面内得三个点，直线上有一点,满足CB → ＋2AC → =0，则OC → =______ A 、2OA → —OB → B 、-OA → +2OB → C 、 OA →-OB → D 、 —OA → ＋OB → 例２、(15课标全国I ）设D 就是三角形ABC 所在平面内一点,，则_＿＿__＿
高中数学解题方法系列：平面向量最值问题的4种方法
高中数学解题方法系列：平面向量最值问题的4种方法 平面向量中的最值问题多以考查向量的基本概念、基本运算和性质为主，解决此类问题要注意正确运用相关知识，合理转化。 一、利用函数思想方法求解 例1、给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C 在以 O 为圆心的圆弧上变动.若其中 ,则的最大值是________. 分析：寻求刻画C 点变化的变量，建立目标x y +与此变量的函数关系是解决最值问题的 常用途径。 解：设AOC θ∠=，以点O 为原点，OA 为x 轴建立直角坐标系，则(1,0)A ，13(,)2B -，(cos ,sin )C θθ。 Q 13(cos ,sin )(1,0)(,)2x y θθ∴=+-即 cos 23sin y x y θθ?-=????= cos 3sin 2sin()6x y πθθθ∴+=+=+2(0)3 πθ≤≤。 因此，当3 π θ=时，取最大值2。 例2、已知(1,7),(5,1),(2,1),OA OB OP ===u u u r u u u r u u u r 点Q 为射线OP 上的一个动点，当QA QB u u u r u u u r g 取最小值时，求.OQ u u u r 分析：因为点Q 在射线OP 上，向量OQ uuu r 与OP uuu r 同向，故可以得到关于OQ uuu r 坐标的一个 关系式，再根据QA QB u u u r u u u r g 取最小值求.OQ u u u r 解：设(2,),(0)OQ xOP x x x ==≥u u u r u u u r ，则(12,7),(52,1)QA x x QB x x =--=--u u u r u u u r OA u u u r OB uuu r 120o AB u u u v ,OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r ,x y R ∈x y +,OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r x y +图 1 1
平面向量部分常见的考试题型总结
平面向量部分常见的题型练习 类型(一)：向量的夹角问题 1?平面向量a,b，满足a =1,b =4且满足a.b = 2，则a与b的夹角为 _________ 2?已知非零向量a,b满足a = b,b丄(b—2a),则a与b的夹角为___________ 3?已知平面向量a,b满足(a -b).(2a - b) —4且*2,” 以且，则a与b的夹角为_________________ 4?设非零向量a、b、c满足| a |=| b |=| c |,a ■ b = c，则：::a, b = ____ 5?已知a =2」b| =3, a +b = J7,求a与b的夹角。 6?若非零向量a,b满足a = b ,(2a+b).b=0,则a与b的夹角为____________ 类型(二)：向量共线问题 1. 已知平面向量a =(2,3x),平面向量b =( 一2,18),若a // b，则实数x ____________ 2. 设向量a = (2,1),b = (2,3)若向量，a - b与向量c = (- 4, - 7)共线，则，- 3?已知向量a (1,1),b (2, x)若a b与4b - 2a平行，则实数x的值是( ) A. -2 B. 0 C. 1 D. 2 4已知向量OA =(k,12),0B =(4,5),OC =(-k,10),且A, B, C三点共线， 则k = ___ 5. 已知A (1,3), B (—2,—3), C (x,7)，设AB =a , BC = b 且a // b，则x 的值为() (A) 0 (B) 3 (C) 15 (D) 18 6. 已知a= (1, 2), b= (-3 —2)若k a+2b与2a-4b共线，求实数k的值； 7. 已知a —c是同一平面内的两个向量，其中 a = (1 —2)若|^ = 2. 5，且a // c，求c的坐标 —I- 8. n为何值时，向量a ( n ,1)与b = (4, n)共线且方向相同？ 9. 已知a = 3,b = (1,2),且a // b，求a的坐标。 10. 已知向量a (2, -1),b ( -1, m),c =(-1,2)，若(a b)// c，则m= ________________ 11. 已知a,b不共线，c =ka ? b,d =a -b，如果c // d，那么k= _________ ,c与d的方向关系
中考阅读理解七选五解题技巧
中考英语阅读七选五试题解题技巧 《考试说明》对该题型命题目的的表述为“主要考查考生对文章的整体内容和结构以及上下文逻辑意义的理解和掌握。” 七选五其实跟传统题型完形填空有相似之处，完形填空空出的是词，而七选五空出的是句子，但是他们的考察方式都是一样的，只要考生选择的答案能够使行文连贯，符合英文的语法以及习惯表达就行，因此，这两类题型在做题方法上有共通之处。另外，从该题型给出的选项中我们可以发现一些特点：该题型选项大致可分为主旨概括句（文章整体内容）、过渡性句子（文章结构）和注释性句子（上下文逻辑意义）三类。另外两个多余的干扰项也可以通过这三个特点来排除，例如主旨概括句要么过于宽泛要么以偏概全或偏离主题，过渡性句子不能反映文章的行文结构，注释性句子与上文脱节等。根据这些，我们总结一些关于七选五的做题方法供大家参考。 1，先看选项。跟完形填空不一样，七选五的答案选项较少，并且给出的都是句子，因此，我们可以通过句子的完整性或者句子后面的标点符号来判断该句在文章中的位置。另外，通过阅读选项，有可能找出跟其他选项表达完全不同意思的句子，这样的话我们就可以直接将该选项排除。 2，再看空前空后。由于七选五空出的是整个句子，而这些句子与句子之间，必然有一种联系，因此我们可以通过选项中某个名词或动词跟空前或空后的一致性或者相关性来确定这两个句子之间有一种关联性，从而选择正确的答案。
3，注意代词或定冠词。在做这类题目的时候，一定要注意句子中出现的人称代词或者指示代词，因为我们知道，代词是指代一个名词或者一个句子的，然后通过代词在句子中所做的成分我们可以推断出它指代的句子的类型，我们要做的就是从选项中找这类句型就可以了。 4，注意一些特殊疑问词。如果选项中或空前出现特殊疑问词，一定要把这句话仔细读几遍，因为对于不同特殊疑问词的回答方式是不一样的，比如对why的回答，后面要有because等表原因的词，对when的回答，后面要有表时间的状语，对where的回答，后面要有表地点的名词，对how的回答，后面要有方式状语等。 5，注意一些连词。如一些表示转折的连词，but，however，yet，though，never the less等，另外还有一些表示并列关系的连词如and，also，as well as，neither nor，either or，not only...but also，on one hand....on the other hand等。因为这些连词可以表现句子与句子之间的关系，通过不同的连词我们可以推知句子与句子之间不同的关系。
高三高考平面向量题型总结,经典
平面向量 一、平面向量的基本概念： 1.向量：既有大小又有方向的量叫做________.我们这里的向量是自由向量，即不改变大小和方向可以平行移动。 向量可以用_________来表示.向量的符号表示____________________. 2.向量的长度：向量的大小也是向量的长度（或_____），记作_________. 3.零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作________. 4.单位向量：__________________________. 5.平行向量和共线向量：如果向量的基线平行或重合，则向量平行或共线；两个非零向量方向相同或相反.记作________规定：___________________. 注意：理解好共线（平行）向量。 6.相等向量：_______________________. 例：下列说法正确的是_____ ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②,,a == 则c a = ；③,//,//a a // ④若CD AB =，则A ，B ，C ，D 四点是平行四边形的四个顶点； ⑤所有的单位向量都相等； 二、向量的线性运算： （一）向量的加法： 1.向量的加法的运算法则：____________、_________和___________. （1）向量求和的三角形法则：适用于任何两个向量的加法，不共线向量或共线向量；模长之间的不等式关系_______________________；“首是首，尾是尾，首尾相连” 例1.已知AB=8，AC=5，则BC 的取值范围__________ 例2.化简下列向量 （1）+++ （2）)()()(+++++ （2）平行四边形法则：适用不共线的两个向量，当两个向量是同一始点时，用平行四边形法则； a + 是以a ，b 为邻边的平行四边形的一条对角线，如图： 例1.（09 ）设P 是三角形ABC 所在平面内一点，BP BA BC 2=+，则 A.0=+PB PA B.0=+PC PA C.0=+PB PC D.0=++PC PB PA 例2.（13四川）在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AO AD AB λ=+ ，则.______=λ （3）多边形法则 2.向量的加法运算律：交换律与结合律 （二）向量的减法： 减法是加法的逆运算，A.PB PA OB OA BA -=-= （终点向量减始点向量）
高中数学经典解题技巧和方法：平面向量
高中数学经典解题技巧：平面向量【编者按】平面向量是高中数学考试的必考内容，而且是这几年考试解答题的必选，无论是期中、期末还是会考、高考，都是高中数学的必考内容之一。因此，马博士教育网数学频道编辑部特意针对这部分的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法，希望能够帮助到高中的同学们，让同学们有更多、更好、更快的方法解决数学问题。好了，下面就请同学们跟我们一起来探讨下平面向量的经典解题技巧。 首先，解答平面向量这方面的问题时，先要搞清楚以下几个方面的基本概念性问题，同学们应该先把基本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解决问题：1．平面向量的实际背景及基本概念 （1）了解向量的实际背景。 （2）理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义。 （3）理解向量的几何意义。 2．向量的线性运算 （1）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义。 （2）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义。 （3）了解向量线性运算的性质及其几何意义。 3．平面向量的基本定理及坐标表示 （1）了解平面向量的基本定理及其意义。 （2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。 （3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算。 （4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件。 4．平面向量的数量积 （1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义。 （2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系。 （3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。 （4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直 关系。 5. 向量的应用 （1）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。 （2）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。
七选五解题技巧总结
七选五解题技巧总结 “七选五”这样的题型已被全国多个省市的的高考英语试卷采用。考试者将会得到一篇缺了五句话的英语文章，并要求学生根据文章的结构、逻辑、上下文的内容选出相应的五句话填入空白处将文章补充完整。主要目的在于“考查考生对文章的整体内容和结构以及上下文逻辑意义的理解和掌握。”（出自《考试说明》）做题时需要明白整篇文章的主旨，文章整体的思路和每一段的用意以及作者写作的意图。花些时间理清段落之间和句子之间的逻辑关系也有助于帮助学生把握文章的整体结构和思路。如果这些理不顺的话，就很难把文章读下去。从文章的整体性来考虑，五个选项即是独立的也是有关联的。尤其是那些总结性的，或者承上启下性的句子，选错了还会影响到你对下一个空格的判断。两个干扰选项也增加类这类题型的总体难度。如此难题也不是没有办法破，各位考生只要跟着小编整理的解题步骤并熟练运用一些解题策略，这部分拿满分也是很有希望的。 解题步骤 1）在阅读过程中，重要要关注文章的首段与末段。尤其是文章的这两段的末尾句，因为“开门见山”与“末尾点题”的写作方式是最为常见的，首段的末句一般是全文的主题所在，说明本文将探讨哪些内容，并简要指出文章的写作思路，有时甚至会以提纲的形式进行呈现。首段的末句对于快速掌握文章的主题具有重要意义，如果它是文章的主题句，就可以使读者迅速明确文章情节将如何展开，并对文章的写作主题有了整体的了解。如果末句不是主题句，则需要继续寻找。这时，可以考虑文章的写作方式是否为“结尾总结”式，如两者均可排除，则需在文章中其他段落寻找主题句，但要注意首段与末段的提示作用。 2）做题的时候边读边做。各个问题附近的句子都需要重点阅读，圈画一些线索粗，再从选项中寻找相关的特征词用来判断正确答案。带入排除法也是一种很好的方法。另外，如果发现有一题拿不准的，先跳过，先做容易的能做出的题，直到读完整篇文章。至此，文章的要点和主旨、各个段落之间的逻辑关系应该基本就能清楚了。然后再回过去做之前不确定的题目。 3）做完后，通读全文。将所选项放入空白处，通读一遍，看看是否与上下文构成语义及逻辑上的直接关系，是否符合该处语境。能否承接前后的写作线索。使文章无论内容还是衔接上都能做到通顺。若代入选项后，发现文章写作线索中断或是
2019年高三数学《向量》题型归纳(含解析)
江苏省2019年高三数学《向量》题型归纳（含解析） 题型一：平面向量的共线定理 （1）平面内有一个ABC ?和一点O ，线段OA OB OC 、、的中点分别为E F G BC CA AB 、、,、、的中点分别为L M N 、、，设,,OA a OB b OC c ===.试用,,a b c 表示向量,EL FM GN 、 （2）如图在等腰三角形ABC 中， 120,2=∠==BAC AC AB .F E ,分别为边AC AB ,上的动点，且满足n m ==,，其中1),1,0(,=+∈n m n m ，N M ,分别是BC EF , 的最小值为______. （3）已知向量12,e e 是两个不共线的向量，若122a e e =-与12b e e λ=+共线，则λ=______. （4）在平面直角坐标系xoy 中，已知()1,0A ,()0,1B ,点C 在第一象限内，3AOC π∠=， 且2OC =，若OC OA OB λμ=+,则λμ+=______. （5）在ABC △中，点M ，N 满足2AM MC =，BN NC =．若M N x A B y A C =+，则x =______； y = ． （6）设向量，不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________． （7）已知向量a =)1,2(，b=)2,1(-, 若m a +n b =)8,9(-(R n m ∈,), 则n m -的值为______. （8）在中，为边上的任意一点，点在线段上，且满足，若，则的值为_________． （9）如图，ABC ?是直角边等于4的等腰直角三角形，D 是斜边BC 的中点， 1 4AM AB m AC =+?，向量AM 的终点M 在ACD ?的内部（不含边界），则实数m 的取值范围是 . 答案：（1） ()()111,,222OE a OL b c EL OL OE b c a ==+=-=+-，()12FM a c b =+-，()12GN a b c = +- ABC ?M BC N AM 31=),(R ∈+=μλμλμλ+
20高考数学平面向量的解题技巧
第二讲平面向量的解题技巧 【命题趋向】 由2007年高考题分析可知： 1．这部分内容高考中所占分数一般在10分左右． 2．题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题． 3．考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主． 【考点透视】 “平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主． 透析高考试题，知命题热点为： 1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积． 2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件． 4．图形平移、线段的定比分点坐标公式． 5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等． 6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题．【例题解析】 1. 向量的概念，向量的基本运算 (1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件. (4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.
(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式. 例1（2007年北京卷理）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且 2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ，那么（ ） Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力． 解： 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0,u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 故选A ． 例2．（2006年安徽卷）在ABCD Y 中，,,3AB a AD b AN NC ===u u u r r u u u r r u u u r u u u r ，M 为BC 的中点，则MN =u u u u r ______.（用a b r r 、表示） 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解：343A =3()AN NC AN C a b ==+u u u r u u u r u u u r u u u r r r 由得，12 AM a b =+u u u u r r r ， 所以,3111()()4 2 4 4 MN a b a b a b =+-+=-+u u u u r r r r r r r . 例3．（2006年广东卷）如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量 =CD ( ) （A ）BA BC 2 1+- （B ） BA BC 2 1-- （C ） BA BC 2 1- （D ）BA BC 2 1+ 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解：BA BC BD CB CD 2 1+-=+=，故选A. 例4． ( 2006年重庆卷)与向量a r =71,,22b ? ?= ???r ?? ? ??27,21的夹解相等，且模为1的向量是 ( ) (A) ?? ?- ??53,5 4 (B) ?? ?- ??53,5 4或?? ? ??-53,54 （C ）?? ?- ??31,3 22 （D ）?? ?- ??31,3 22或?? ? ? ?- 31,3 22 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题. 解：设所求平面向量为,c r 由433,,, 1. 555c c ???? =-= ? ?????r 4或-时5 另一方面,当222274134312525,,cos ,. 55271432255a c c a c a c ?? ?+?- ?????? =-=== ????????????+++- ? ? ? ?????????r r r r r r r 时
高中数学平面向量知识点总结及常见题型范文
平面向量 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与 终点的大写字母表示，如：几何表示法 AB ，a ；坐标表示法,(y x yj xi a =+= 向 量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a ｜ 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行a ＝ ? ｜a ｜＝0 由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共 线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量?｜0a ｜＝1 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同 一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的 平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a =大小相等，方向相同),(),(2211y x y x =???==?21 2 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b ==，则a +b =AB BC +=AC （1）a a a =+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”： （1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量
(完整)高中英语七选五解题技巧以及要诀
[高中英语七选五解题技巧以及要诀(转载） 转载▼ 标签：转载 近年来，高考的阅读理解增加了信息匹配的7 选5 题型，主要考查考生对文章的整体内容和结构以及上下文逻辑意义的理解和掌握。其命题体现了《新课标》“用英语获取、处理和运用信息的能力；逐步获取用英语思维的能力。”的阅读学习和教学理念。《考试说明》对该题型命题目的的表述“主要考查考生对文章的整体内容和结构以及上下文逻辑意义的理解和掌握。” 从题型和内容我们可以看出，题备选项可分为.a.主旨概括句（文章整体内容）、b.b.过渡性句子（文章结构）c.注释性句子（上下文逻辑意义）三类。其多余的两个干扰项也往往从这三方面进行设置，如主旨概括句或过于宽泛或以偏概全或偏离主题，过渡性句子不能反映文章的行文结构，注释性句子与上文脱节等。 一、题型分析 分析篇章结构，把握全篇文脉是阅读填空题解题的关键。分析文章的层次包含两种形式：一种是分析整篇文章的层次，也就是段落，另一种是分析每一个段落内部的层次，也就是语篇层次。 语篇与段落是有区别的，语段是篇章结构的中间层次，是由句子到篇的一种过渡形式，段落是在某些语体（如记叙文、议论文）中比语段更大的意义单位，较小的段落可以只包括一个语段或一个句子，一般来说，一个段落通常由几个语段构成。构成语段的方式有两种，一是靠句际间意义的结合，二是靠句际间的关联词，逻辑性插入语来连接，在分析语段层次时，可以借助句际间的连接词语作出判断，但最主要的还是要真正体会句际间的意义关系，把握作者的思路，从语序上去发现断续点，理清层次，好文章的层次非常清晰，只有层层入手，才能真正理解文章。如下以2009 年高考英语辽宁卷为样题进行分析: 第二节（共 5 小题:每小题2 分, 满分10 分） 根据短文内容,从短文后的选项中选出能填入空白处的最佳选项。选项中有两项为多余选项。 Taking good notes is a time-saving skill that will help you to become a batter student in several ways71 Second, your notes are excellent materials to refer to when you are studying for a test. Third, note-taking offers variety to your study time and helps you to hold your interest. You will want to take notes during classroom discussions and while reading a textbook or doing research for a report.72Whenever or however you take notes, keep in mind that note-taking is a selective process.73 The following methods may work best for you.
高考理科数学：《平面向量》题型归纳与训练
高考理科数学：《平面向量》题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一平面向量的线性运算 例1：记，＝，＝设为平面向量，则() A．－B．－ C．－D．－ 【答案】：D 【解析】 方法一：对于平面向量与－表示以为邻边的平行四边形的两条对角线的长度，而根据平面几何知识可得，平行四边形两对角线长度的较小者与相邻两边长度的较小者，没有确定的大小关系，故选项A，B均错；又－中的较大者与一定构成非锐角三角形的三条边，由余弦定理知，必有－,故选项D正确，选项C错误． 方法二：若同向，令＝＝，这时 ＝，－＝，，－＝，，＝；若令＝，＝，这时＝－＝－＝，而＝，显然对任意，，－ 与的大小关系不确定，即选项A、B均错．同理，若同向，取＝＝，则＝－＝，这时－，而＝5，不可能有 －，故选C项错． 【易错点】平面向量加减法线性运算性质。 【思维点拨】解题的关键是结合向量模的几何意义，加减运算的几何意义，通过图形分析得到正确选项；也可从选择题的特点入手，通过对特殊化，从而得到－的值，通过比较大小关系排除错误选项，得出正确答案． 题型二共线向量定理、平面向量基本定理的应用 例1.中,边的高为,若＝＝＝＝＝则＝() A.－ B.－ C.－ D.－ 【答案】 D
【解析】方法一：＝＝＝＝ ＝＝＝＝＝＝－ 方法二：如图,以为原点，所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系．由已知得，又因为，所以可求得,于是＝,而＝＝,若设＝，则有 即,故＝－ 【易错点】平面向量加减法线性运算性质,平面向量的坐标表示； 【思维点拨】根据题设条件确定出、、三点坐标，再利用三点共线的性质即可解决. 例2.若点是所在平面内一点,且满足: 设＝. （1）求与的面积之比. （2）若为中点,与交于点,设,求的值. 【答案】见解析； 【解析】（1）由＝可知、、三点共线 如图令； .即面积之比为： （2）由; 由、、三点共线及、、三点共线. 【易错点】面积比值与线段比值的关系，三点共线的性质；
高中数学经典解题技巧和方法平面向量
高中数学经典解题技巧：平面向量 一、向量的有关概念及运算 解题技巧：向量的有关概念及运算要注意以下几点： （1）正确理解相等向量、共线向量、相反向量、单位向量、零向量等基本概念，如有遗漏，则会出现错误。 （2）正确理解平面向量的运算律，一定要牢固掌握、理解深刻 （3）用已知向量表示另外一些向量，是用向量解题的基础，除了用向量的加减法、实数与向量乘积外，还要充分利用平面几何的一些定理，充分联系其他知识。 例1：（2010·山东高考理科·Ｔ12）定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下，对任意的a=(m,n)，b p,q)= （，令a ⊙b mq np =-，下面说法错误的是（ ） A.若a 与b 共线，则a ⊙b 0= B. a ⊙b = b ⊙a C.对任意的R λ∈，有()a λ⊙b = (a λ⊙)b D. (a ⊙b )2222()a b a b +?= 【命题立意】本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力. 【思路点拨】根据所给定义逐个验证. 【规范解答】选B ，若a 与b 共线，则有a ⊙b 0mq np =-=，故A 正确；因为b ⊙a pn qm =-,，而a ⊙b mq np =-，所以有a ⊙b ≠ b ⊙a ，故选项B 错误，故选B. 【方法技巧】自定义型信息题 1、基本特点：该类问题的特点是背景新颖，信息量大，是近几年高考的热点题型. 2、基本对策：解答这类问题时，要通过联想类比，仔细分析题目中所提供的命题，找出其中的相似性和一致性 二、与平面向量数量积有关的问题 解题技巧：与平面向量数量积有关的问题 1．解决垂直问题：121200,a b a b x x y y a b ⊥?=?+=其中、均为非零向量。这一条件不能忽视。 2．求长度问题：2||a a a =，特别地1122(,),(,),||(A x y B x y AB x =则 3．求夹角问题：求两非零向量夹角的依据 2 22 222cos(,).||||a b a b a b x x y ==++ 例2：1.（2010·湖南高考理科·Ｔ4）在Rt ABC ?中，C ∠=90°AC=4，则AB AC ?uu u r uuu r 等于（ ）
专题七：平面向量常考题型的解题技巧
平面向量专题讲解 向量是数学中的重要概念，以向量为工具可以把几何问题（平面、空间）转化为简单的向量运算，变抽象的逻辑推理为具体的向量运算，实现形与数的结合. 题型一：考查与向量概念有关的问题 ⑴向量不同于数量，数量是只有大小的量（称标量），而向量既有大小又有方向；数量可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小.记号“a ＞b ”错了，而|a |＞|b |才有意义. ⑵有些向量与起点有关，有些向量与起点无关.由于一切向量有其共性（力和方向），故我们只研究与起点无关的向量（既自由向量）.当遇到与起点有关向量时，可平移向量. ⑶平行向量（既共线向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量，既向量平行是向量相等的必要条件. ⑷单位向量是模为1的向量，其坐标表示为（,）,其中x 、y 满足 +2x 2y ＝1（可用（cos θ,sin θ）（0≤θ≤2π）表示）. ⑸零向量0的长度为0，是有方向的，并且方向是任意的，实数0仅仅是一个无方向的实数. ⑹有向线段是向量的一种表示方法，并不是说向量就是有向线段. 题型二：与向量运算有关的问题 ⑴向量与向量相加，其和仍是一个向量（对应坐标相加）. ①当两个向量和不共线时，+的方向与、都不相同，且|+|＜||＋|b |； ②当两个向量和共线且同向时，+、、的方向都相同，且=+||||||+； ③当向量和反向时，若||＞||，+与 方向相同 ， 且|+|=||-||；
若|a |＜|b |时,b a +与b 方向相同，且|a ＋b |=|b |-|a |. ⑵向量与向量相减，其差仍是一个向量.向量减法的实质是加法的逆运算. ⑶围成一周首尾相接的向量（有向线段表示）的和为零向量. 如，+AB +BC 0=CA ,（在△ABC 中） +++=.(□ABCD 中) ⑷判定两向量共线的注意事项 如果两个非零向量，，使=λb （λ∈R ），那么∥； 反之，如∥，且≠0，那么=λ. 这里在“反之”中，没有指出是非零向量，其原因为=0时，与λ的方向规定为平行. ⑸数量积的8个重要性质 ①两向量的夹角为0≤θ≤π.由于向量数量积的几何意义是一个向量的长度乘以另一向量在其上的射影值，其射影值可正、可负、可以为零，故向量的数量积是一个实数. ②设、都是非零向量，是单位向量，θ是与的夹角，则 ③?⊥)1|.(cos ||==?=?e a θ0=?（∵θ=90°，)0cos =θ ④在实数运算中ab =0a ?=0或b=0.而在向量运算中b a ?=0a ?=0或b =0是错误的，故0=a 或0=b 是b a ?=0的充分而不必要条件. ⑤当a 与b 同向时b a ?=||||b a ?(θ=0,cos θ=1); 当a 与b 反向时，b a ?=-||||b a ?(θ=π,cos θ=-1)，即a ∥b 的另一个充要条件是||||b a ?=?. 特殊情况有2=?=2 |a .
七选五答题技巧
七选五答题技巧 该题型选项的一些特点：该题型选项大致可分为主旨概括句（文章整体内容）、过渡性句子（文章结构）和注释性句子（上下文逻辑意义）三类。 另外两个多余的干扰项也可以通过这三个特点来排除，例如主旨概括句要么过于宽泛要么以偏概全或偏离主题，过渡性句子不能反映文章的行文结构，注释性句子与上文脱节等。 七选五的答题方法： 1.根据句子的完整性或者句子后面的标点符号来判断该句在文章中的位置。另外，通过阅读选项，有可能找出跟其他选项表达完全不同意思的句子，这样的话我们就可以直接将该选项排除。 2、再看空前空后。由于七选五空出的是整个句子，而这些句子与句子之间，必然有一种联系，因此我们可以通过选项中某个名词或动词跟空前或空后的一致性或者相关性来确定这句子之间有一种关联性，从而选择正确的答案。 3、注意代词或定冠词。在做这类题目的时候，一定要注意句子中出现的人称代词或者指示代词，因为
我们知道，代词是指代一个名词或者一个句子的.如果备选答案里出现it,可能该空前会有某物；出现he, 可能该空前会有某男性.... 4、注意一些特殊疑问词。如果选项中或空前出现特殊疑问词，一定要把这句话仔细读几遍，因为对于不同特殊疑问词的回答方式是不一样的，比如对why的回答，后面要有because等表原因的词，对when的回答，后面要有表时间的状语，对where的回答，后面要有表地点的名词，对how的回答，后面要有方式状语等。 5、注意一些连词。如一些表示转折的连词，but，However，yet，though，nevertheless等，另外还有一些表示并列关系的连词如and，also，as well as，neither…nor，either..or，not only...but also，on one hand....on the other hand等。因为这些连词可以表现句子与句子之间的关系，通过不同的连词我们可以推知句子与句子之间不同的关系。