用留数定理计算实积分的再讨论分析

毕业论文

（2014届）

题目用留数定理计算实积分的再讨论

学院数计学院

专业数学与应用数学（师范）

年级2010级(2)班

学生学号12010244185

学生姓名刘艳

指导教师汪文帅

2014年5月8日

用留数定理计算实积分的再讨论

数学计算机学院数学与应用数学师范专业2014届刘艳

摘要:正确运用留数定理计算实积分就是要理解它的实质并且在计算实积分的过程中构造容易求解的积分路径,然而大量教材或者相关文献长期或者有意无意的按照既定思维对某些实积分计算问题选择基本固定不变的积分路径进行求解,在一定程度上给学生造成思维定势. 本文用例证的方法讨论了用留数定理计算实积分的过程中积分曲线的选择方法,从不同的角度体现了求解过程中选择积分路径的核心思想.这为进一步开拓思维,更为深刻理解留数定理有积极的意义.

关键词:留数定理;实积分;积分曲线

中图分类号:O174

Further discussion of Calculation on real integral by the residue theorem

Abstract: The correct use of the residue theorem to calculate real integration means to understand its essence and to construct easy-solved integral path, but a lot of materials or the relevant studies always select the same integral path to solve the similar problem, which give the students wrong understanding when most teachers did not pay attention to the ideological inspiration in teaching. T o some extent, this limits students’ thinking. In this paper, the selection method of integral curve is given with examples in view of the different integral path and the core idea of the residue theorem is shown in calculating process, which has a positive significance for further development of thinking and more understanding of the residue theorem. Key words: real integral；residue theorem；integral curve

目 录

1 引言 (1)

2 主要定理 (1)

3 留数定理为实积分的计算提供了新思路 .........................................................................

4 4 留数定理在实积分计算中的应用 ......................................................................................4 4.1 如何把实积分转化为复积分 ............................................................................................4 4.2 实积分计算方法中的固定模式 ...................................................................................

5 4.2.1计算形如dx x R ?+∞

∞-)(其中)(x R 为x 的有理函数 (5)

4.2.2 用留数定理讨论所构造的三种积分曲线上的实积分的计算 .....................8 4.2.3 计算形如?

+∞∞

-cos )(mxdx x f 或?

+∞

∞

-sin )(mxdx x f )0(>m (13)

结束语 ...........................................................................................................................................17 参考文献 ......................................................................................................................................19 致谢 (20)

用留数定理计算实积分的再讨论

1 引言

对于留数定理，国内外数学家已经有了很多研究，如:留数定理的应用及推广，留数定理计算广义积分[1]、定积分[2]以及用留数定理解决某些物理问题[3]都做出了相应的讨论和研究. 留数定理是柯西定理在区域内有孤立奇点时的推广，因其在理论和实际计算中的重要性使得他至今在大学理工科复变函数教材中仍占有一席之地. 推广的留数定理进一步解决了以往实积分的计算难题，这些都使得用留数定理计算实积分的过程更为简单可行. 但是纵观这些理论所建立的基础，不难发现在研究很多实积分计算的问题时，在选择相应的积分路径的过程中，都大同小异，都选取包含实轴的或者部分实轴的封闭曲线而且对于其他可以选取的路径只是提到，也没有加以讨论. 在这样的教学情境下，必然会对学生掌握留数定理造成错误的认识，让学生误认为: 在用留数定理计算实积分的时候只能选取包含x轴的这样一个封闭曲线. 事实上，我们知道，正确运用留数定理计算实积分就是要理解它的实质并且在计算实积分的过程中构造容易求解的积分路径，用留数定理计算实积分的过程中，积分曲线的选取不会影响积分值，这只是我们通过柯西积分公式以及留数理论所得出的结论，然而对本部分的认识我们还是建立在理论认识之上,并没有一个系统的分类，计算和验证.那么讨论不同的积分曲线的选取是否会影响积分值? 或者,研究一个不包含实轴的封闭曲线是否能计算实积分就显得很有意义了. 本文在前人研究的基础之上，总结和讨论了以往实积分计算方法当中存在的某些惯性思维，进而对这些惯性思维进行补充和改进. 本文主要介绍了留数定理在复变函数积分中的应用，用例证的方法讨论了用留数定理计算实积分的过程中积分曲线的选择方法,从不同的角度体现了求解过程中选择积分路径的核心思想，为进一步开拓思维，更为深刻理解留数定理有积极的意义. 如何将实积分转化为复积分? 讨论在转化的过程中不同的曲线选取对于积分计算的影响. 探讨了用留数定理计算实积分方法中存在的某些既有思维，通过三种积分曲线的选取，说明了积分曲线的选取不会影响积分值．

2主要定义和定理

为了后文的求解方便，我们先列出一些主要的定义和运用到的定理: 定义 2.1 留数

设f 在域0<0z z -

dz z f i L

?)(21

π (其中:L 0z z -=,ρR <<ρ0)，为f 在0z 的留数，记为

es R ()=

0,z f dz z f i

L ?)(21

π. 由多连通域柯西积分定理知,当R <<ρ0时，留数的值与ρ无关(甚至将L 改为域中环绕0z 的任何分段光滑封闭曲线也可以).

定义 2.2 无穷远点处的留数

设f 在域R

π21

为f 在∞点的留数，记为=

∞),(Re f s ?-

L f i π21

,这里:L ,ρ=z .+∞<<ρR 积分曲线L 取顺时针方向. 则 =

∞),(Re f s ?-

L f i π21

1α-=，即f 在∞点的留数等于它在∞邻域的罗朗展式中负一次幂的系数的相反数.

定理 2.1 柯西积分定理: 设f 是在区域D 内解析的函数，0L ，1L 是区域D 内具有相同起点和终点的简单光滑弧或者是区域D 内的简单光滑闭曲线. 若它们在D 内同伦，即

)(~10D L L ，则??=1

L L f f . 特别地，当简单光滑闭曲线0L 在D 内同伦于零，即)(0~0D L 时，

则00

=?L f .

定理 2.2 多连通区域柯西定理 设区域D 是由复合闭路-

-++++=n L L L L 10为边界的

有界的多连通区域，其中n L L L ,,,21 是简单封闭光滑曲线0L 内部互相相离的n 条简单封闭光滑曲线(以后称这样的曲线组L 为复合闭路),若f 在D 上连续，在D 内解析，则有

0=?

L

f ，其中L 取关于D 的正向，或写为????+++=n

L L L L f f f f 2

1

.

定理 2.3 柯西积分公式 设区域D 是由复合闭路-

-++++=n L L L L 10所围成的有界多

连通域. 若f 在D 上连续,而在D 内解析，则对D 内任意一点z ,都有ξξξπd z

f i z f L ?-=)

(21)(. 其中的积分称为柯西积分，把整个式子称为柯西积分公式.

定理 2.4 留数定理（留数基本定理） 设是D 由复合闭路-

-++++=n L L L L 10所围成的

有界多连通域. 若函数f 在D 内除有限个孤立奇点n z z z ,,,21 外解析，在D -{n z z z ,,,21 }上连续，则

∑?

==n

k k L

z f s i f 1

),(Re 2π，其中L 取关于D 的正向.

这个定理把沿封闭曲线L 的积分归结为求在L 内各孤立奇点处的留数和. 若边界上有孤立奇点时需要将留数定理推广.

定理 2.5 推广的留数定理（路见可） 设D 是由复合闭路--

+++=n L L L L 10 所围成

的有界多连通域,.,,,,,,,2121L t t t D z z z N m ∈∈ 设函数)(z f 在-D {m z z z ,,,21 }解析，在

},,,;,,,{2121N m t t t z z z D -连续，)(z f 在N t t t ,,,21 分别有关于D 的N n n n ,,,21 阶的极点，

则 ∑∑?==+=N

j j j m k k L )s(f,t β)s(f,z f πi 1

1Re Re 21

其中j β为在j t 处关于D 的张度，L 取关于D 的正向，积分在每个j t 处在高阶奇异积分（重极点时）或柯西主值（单极点时）意义下理解，

j β的计算方法不再详细叙述.

+0L

-1

L

-2L

-n L

图2.1 有界的多连通区域图

3 留数定理为实积分的计算提供了新思路

在数学分析以及实际问题中，往往要计算一些定积分和反常积分. 而这些积分中被奇函数的原函数不能用初等函数表示出来；或者，即使可以求出原函数，计算也常常比较复杂. 因此寻求新的计算方法就显得尤为重要. 而在复变函数的积分当中柯西定理充当了相当重要的角色，这使得复变函数理论进一步延伸和发展，多连通域上的柯西积分定理更进一步说明了复积分之值与所选择的积分路径无关，这就为解有关复积分问题提供了新的研究思路和解题方法，然而留数在一点处的定义作的非常巧妙，留数定理的得出采用多连通域上的柯西积分定理的思想将积分的值化为求域内各个孤立奇点处留数之和. 留数定理以比较简洁的形式阐述了有关复变函数积分的新思路，这使得复变函数的积分有了一套比较系统的方法. 那么对于有些比较复杂的实积分可否化成复变函数的积分,再运用留数定理得到解答呢?应用留数理论对于复变函数的积分计算比起线积分计算方便,计算某些实变函数的积分时，可以化为复变函数沿闭合回路曲线的积分后，再用留数基本定理化为被奇函数在闭合回路曲线内孤立奇点上求留数的计算. 接下来就讨论如何用留数定理计算一些实积分. 在选取积分路线上的方式，探讨所选积分路线是否影响积分值?

4 留数定理在实积分计算中的应用

4.1 如何把实积分转化为复积分

计算实积分的第一步就是讲实积分转化为复积分，比如讨论实积分: ?+∞

+=0

2

)

1(x dx

I .由被奇函数的偶性，有 ?-+∞→+=

R R R x dx I 22)

1(lim 21.考虑复函数 22)1(1)(z z f +=. 它（在实轴上就是被奇函数）在i z ±=有二阶极点. 以原点为中心，以R >1为半径作上半平面的半圆周R Γ，以i 为心、以充分小的半径ρ做圆周ρC ，使ρC 完全落入上半圆盘（图4.1），则)(z f

在上半闭圆盘除去小圆盘ρ<-i z 后的连通封闭区域上满足柯西定理:

.)()()1(22dz z f dz z f x dx

C R

R R ???++=++Γ-ρ (4.1)

对此式子两边取极限，因为当R +∞→时,0)(lim

=?

+

Γ+∞→dz z f R

R . 所以对于(4.1)式中第二个积

分就趋于零了，第一个积分趋于I 2，而右端的积分是与R 无关的常数. 因此，我们看到，要将实积分转化为复积分运用留数定理计算，首先积分应该转化到封闭的积分曲线上(其实质是应用留数定理)，而且积分曲线一般都会包含实轴(对于其它情形见后文讨论)，并且在非实轴的积分曲线上被积函数的积分值可以求出. 于是我们所求解的实积分就可以化成复变函数的积分，从而应用留数定理进行计算.

4.2 实积分计算方法中的固定模式

我们给出两种积分模型，通过采用不同的方法讨论实积分计算方法中存在的可优化的问题，在前人讨论的基础上，提出几种自己的看法和思考. 为此，我们分别给出所构造的积分区域，并用留数定理计算有关题型.

4.2.1 计算形如dx x R ?+∞

∞-)(其中)(x R 为x 的有理函数，

型1 计算形如dx x R ?+∞

∞-)(其中)(x R 为x 的有理函数，分母的次数至少比分子高二次. 这

时可以设辅助函数为)(z R ，它在C 上有有限个极点j z . 以0=z 为圆心在上半平面作半径

图 4.1

R 为充分大的半圆盘，其包含所有0Im ≥j z 的极点，如图4.2（若下半平面极点的个数少于上半平面，则以下半平面作围道更便于计算） 于是由留数定理

??Γ-+R

dz z R dx x R R

R

)()( )),((Re 20

Im j z z z R s i

j ∑

≥=π,其中R Γ为上半圆周R z =

)0(Im ≥z ,令)

()

()(x Q x P x R =

,其中)(x P 和)(x Q 均为多项式，0)(=x Q 没有实根(即在实轴上无奇点)且)(x Q 的次数比)(x P 的次数至少高两次. 积分路线如图4.2所示

由留数定理

)),((Re 2)()

()()(0

Im ∑??≥Γ-=+j R z j R

R z z R s i dz z Q z P dx x Q x P π 在R Γ上令θ

i z Re =，有θπθθ

θd Q i P dz z Q z P i i i R ??=Γ0)

(Re Re )(Re )()

(. 因为)(z Q 的次数比)(z P 的次数至少高两次，于是当∞→z 时，=)()(z Q z zP )

(Re Re )(Re θθθi i i Q P 0→，所以0)()

(lim =?Γ∞→dz z Q z P R z ， 则

)),((Re 2)()

(0

Im ∑?≥-=j z j R

R z z R s i dx x Q x P π 即0)(lim =∞

→z zR z ,故 0)(lim

=?

Γ+∞→R

dz z R R .

从而

图4.2

∑?

≥+∞

∞

-=0

Im )),((Re 2)(j z j

z

z R s i

dx x R π[4]

这种积分区域的选取通常是我们最容易选取的，因为在实轴上的积分就表示我们所求的实积分，在计算上只要会计算留数并且满足相应的引理，积分值便很容易求解. 然而,如果纵观一些实积分计算方法，很多积分的积分曲线都采用的是包含实轴的上半圆. 这种积分曲线的选取会对学习者造成些许思维定势，使得学习者在解题过程中墨守成规，不懂得变通或者产生错误的认识.

例题 4.1 计算积分dx x I ?

+∞+=0

4

1

1

[5] 解 分母次数比分子次数至少高两次，奇点是4i

e π,4

3i e

π,4

5i e

π,4

7i e

π.实轴上无奇点，所以

积分存在，在上半平面有两个极点4i

e π和4

3i e

π.

8)1(2)

)()((1lim ),(Re 47454344+----=??????→i e z e z e z e z f s i

i i e z i

i πππππ

8)

1(2)

)()((1lim 2),(Re 47454434

3--=---=??????→i e z e z e z i e z f s i i i e z i

i

ππππππ 利用被奇函数的偶性，可得

dx x I ?+∞∞-+=1

1

214

由留数定理得

∞→R lim

dx x R

R ?-+1

14+dz z R ?Γ+114=),(Re 24

i e f s i π

π+),(Re 24

3i e f s i π

π

由于∞

→R lim dz z R

?

Γ+1

1

4=0, 所以

∞→R lim

dx x R

R ?-+1

14=),(Re 24

i e f s i π

π+),(Re 24

3i e f s i ππ

2

2π=

则

dx x I ?+∞∞-+=11214=21∞

→R lim

dx x R

R ?-+114-=21

∞

→R lim dx x R

R

?

-+11

4

4

2π=.

在本题中，应用了型1所给出的积分区域模型,其实本题有四个极点，上半平面与下半平面极点的个数一样多，但很多人都会选择上半平面来计算实积分，而不会去考虑下半平面的情况，或者选择其他封闭区域的情况. 当然通常我们所选取的封闭曲线是上半圆盘连同实轴，那么如果选择下半圆盘、右半圆盘、倾斜的半圆盘是否同样能应用留数定理计算实积分呢? 并且不会影响最后的积分值.

4.2.2 用留数定理讨论所构造的三种积分曲线上实积分的计算

针对型1我们给出构造的三种不同的积分区域，并且在每一个积分区域上计算给定的实积分.

例题 4.2 计算积分dx x I ?+∞+=0

411,dx x J ?+∞-=041

1，积分J 在1=x 处理解为柯西主值.

第一种: R z =的下半圆周和实轴组成的封闭区域.

解 利用被奇函数的偶性，可得

dx x I ?+∞∞-+=11214，dx x J ?+∞∞--=1

1

214.

由留数定理以及推广的留数定理得

dx x R

R

?

--114+dz z R ?Γ-1

1

4=),(Re 2i f s i -π+))1,(Re )1,((Re -+f s f s i π. 图4.3

由于011

lim

4=-?Γ∞→dz z R R ，所以

∞→R lim dx x R R ?--1

1

4=),(Re 2i f s i -π+))1,(Re )1,((Re -+f s f s i π =)1)((1lim

22---→z i z i i z π+

))

1)(1(1

lim )1)(1(1lim (2121+-+++-→→z z z z i z z π =

2

π+0 ∞

→R lim

dx x R

R

?

--114=dx x R R ?---1

14=2π-, 所以

dx x J ?+∞∞--=

1

1214=21

∞→R lim dx x R

R ?--114=2π-21? =4

π

- 而

∞

→R lim

dx x R

R

?

-+114+dz z R ?Γ+1

1

4=),(Re 24

5i e f s i π

π+),(Re 24

7i e

f s i ππ

由于∞

→R lim

dz z R

?

Γ+1

1

4

=0，所以 ∞

→R lim

dx x R

R

?

-+1

1

4

=),(Re 24

5i e f s i ππ+),(Re 24

7i e

f s i ππ

=)

)()((1

lim 24

74

344

5i

i i

e

z e

z e z e z i i

πππππ---→+)

)()((1

lim 24

54

344

7i i

i

e

z e

z e

z e z i i

πππππ---→

=))

1(221)

1(221

(2i i i i +-

+-

π

=2

2π-

则

dx x I ?+∞∞-+=11214=21∞→R lim

dx x R

R ?-+114-=21

∞

→R lim dx x R

R

?

-+11

44

2π=. 第一种积分区域的选取上选择了包含实轴的封闭曲线，在理解上很容易接受，也符合一般的思维，即: 将实积分转化为复积分就必须要选择包含实轴的封闭曲线，这是一种思维上的误导. 所以在以后的教学或者学习过程中，要尽量从不同的角度来阐述一个问题，

不拘泥于固定的模式和固定的思维. 接下来给出第二种封闭区域，不包含实轴的封闭曲线.

第二种: R z =的右半圆周和虚轴组成的封闭区域.

用此积分区域解例题4.2，过程如下:

解 利用被奇函数的偶性，可得

dx x I ?+∞∞-+=

11214，dx x J ?+∞∞--=1

1

214 由留数定理以及推广的留数定理得

dz z iR

iR

?

--1

14+dz z R ?Γ-11

4=),(Re i f s i -π+）i f s i f s i ,(Re )1,(Re 2ππ+. 在虚轴上，令=z 2

i re π.

)(1

)1

2

4

2

i

iR

iR

i

re d re ππ?

--（dr r e R

R

i

?

--=142π=dr r i R R ?---11

4i -=dx x R

R ?--411

由于 0dz 1

z 1

lim

R

Γ4

R =-?

∞→，所以 ∞→R lim dx x R R ?--411=),(Re i f s i -π+）

i f s i f s i ,(Re )1,(Re 2ππ+=2

π

- 则

dx x J ?+∞∞--=11214=21

∞

→R lim

dx x R

R ?--114=4

π

-. 由留数定理可得

dz z iR

iR

?

-+1

14+dz z R ?Γ+11

4=),(Re 24i

e f s i ππ+),(Re 24

7i

e f s i ππ

图4.4

由于 01

1

lim

4

=+?

Γ∞→dz z R

R ，在虚轴上令=z 2i

re π. dz z iR

iR

?

-+1

1

4=24

2

1

)(1

i

iR iR

i

dre re ππ?-+dr r i

R

R

?

+=-4

1

22i π-= 所以

dx x I ?+∞∞-+=11214=21

∞→R lim

dx x R

R ?-+114-=21

∞

→R lim dx x R

R

?

-+11

44

2π=. 用第二种方法计算例题4.2，能得到与第一种方法相同的结论，值得注意的是第二种方法中所选取的积分曲线并不包含实轴，而是选取了虚轴和R z =的右半圆盘. 说明了在用留数定理计算实积分的过程中，积分曲线的选取并非只能选取含有实轴的封闭曲线. 对于不含实轴的我们可以将其用复数形式表达出来，再作相应的变换，就可以化为实积分的计算. 为了进一步验证上述结论，下面给出另外一种积分区域并且得出用留数定理计算实积分的过程中积分曲线的选取不会影响积分值. 第三种: R z =的右上半圆盘和l :4

3i re

z π=组成的封闭区域.

用此积分区域解例题4.2，过程如下 解 利用被奇函数的偶性，可得

图4.5

dx x I ?+∞∞-+=

11214 ,dx x J ?+∞∞--=1

1

214 由留数定理得

dz z i

i ?

--4

34

3Re

Re 41

1

ππ+dz z R ?Γ-114=）i f s i f s i ,(Re 2)1,(Re 2ππ+. 在直线上，令=z 4

3i re π.

由于0dz 1

z 1

lim R Γ4R =-?∞→，所以

4

3Re Re 44

34

34

31

)1

i i dre

re

i i ππππ?

--（dr r e R R i

?---=144

3π?-+--=R R dr r 143cos 4π?---R R dr r i 1

43sin 4π

?-+-=R R dr r i 11

)1(2

24.

而

）

i f s i f s i ,(Re 2)1,(Re 2ππ+)1(2

-=i π

所以

∞

→R lim

dx x R

R ?+-411

2

2π=

dx x I ?+∞∞-+=

11214=21

∞→R lim

dx x R

R ?-+11

4=

4

2π. 由留数定理以及推广的留数定理可得

dz z i i ?

-+4

34

3Re

Re

41

1

ππ+dz z R ?Γ+114=),(Re ,(Re ),(Re 24

7434i i

i e f s i e f s i e f s i ππππππ++）

在直线上，令=z 4

3i

re π.

由于 0dz 1z 1

lim R Γ4R =+?∞→,

所以

4

3Re Re 44

34

34

31

)1

i i dre

re

i i ππππ?

-+（dr r e R R i

?-+-=144

3π?-+-=R R dr r 143cos 4π?--R R dr r i 1

43sin 4π

)1(22-=i ?--R

R dr r 11

4.

又因为

),(Re ,(Re ),(Re 24

7434i i

i

e

f s i e f s i e f s i ππππππ++）)

1(2-=

i i

π

所以

∞→R lim

dx x R

R ?--4112

π

-

= dx x J ?+∞∞--=11214=21∞→R lim dx x R R ?--114=4

π

-.

通过上述三种构造的积分区域，分别计算了例题4.2的实积分，并且不管采用上述哪种积分区域，都能得到相同的答案. 值得注意的是: 在第二种和第三种方案中都没有选取含有实轴的封闭曲线，在计算实积分的过程中，充分应用了复变函数的有关知识，比如:复变函数的三角函数式和欧拉式，通过应用相关的复变函数的知识将实积分的计算转化为复积分计算问题再通过变量代换，在封闭区域上，应用留数定理以及推广的留数定理求出积分的值. 而积分的值是不会因为积分区域的变化而变化，也充分说明，在用留数定理计算实积分的过程中，积分曲线的选取不会影响积分值，可以根据个人的需要，选择不同的积分曲线进行计算.

4.2.3 计算形如?+∞∞

-mxdx x f cos )(或?+∞

∞

-mxdx x f sin )(（0>m ）

型2 其中)(z f 在0Im ≥z 上除有限个孤立奇点外处处解析（且在实轴上的孤立奇点只能是极点），而且当z 在0Im ≥z 时，0)(lim =∞

→z f z .

为后面的积分估计，我们先来介绍约当(Jordan)引理的一个简单情形.

约当引理 设)(z f 在闭区域21arg θθ≤≤z ，+∞<≤z R 0(00≥R ,)021πθθ≤<≤上连续，并设R Γ是这封闭区域上的一段以原点为圆心、R 为半径的圆弧)(0R R >. 若当z 在这封闭区域上时,0)(lim =∞

→z f z ，则对任何0>m ，有

0)(lim

=?

Γ+∞→dz e z f R

imz R

有了本引理,我们设辅助函数为)(z f e imz . 作与型1相同的围道见（图4.2).使这个上半闭圆盘内含)(z f 的所有0Im ≥j z 的孤立奇点j z （实轴上的只是极点），由推广的留数定理，有

dx x f e R

R

imx )(?

-dz z f e R

imz )(?Γ+)),((Re 20

Im j imz z j

z z f e s i

j ∑≥=β

π. (4.2)

当+∞→R ，由引理0)(=?Γdz z f e R

imz ，比较上式左右两边的实部与虚部，就得出所求的积分.

例题 4.3 求积分dx x

x

I ?

+∞

=0

sin . 方法 1 此函数在数学分析中用比较法则，可以判断为绝对收敛但无法用实分析的方法求出[6]. 因此将实积分化为复变函数的积分，应用留数定理

解 由被积函数的偶性有

dx x

x I R R R ?+-+∞→=

sin lim 21

而x i x e ix sin cos +=. 所以

???+-+∞→+-+∞→+-+∞→+=R R R R R R R

R ix

R x

x i dx x x dx x e sin lim cos lim lim 又因为

0cos lim

=?+-+∞→dx x x

R

R R , 于是

dx x

x I R R R ?+-+∞→=sin lim 21

=

dx x e i R R ix

R ?+-+∞→lim 21. 令 )()(z f e z

e z g iz iz ≡=

，它在0=z 有一阶极点. 01

lim )(lim ==∞→∞→z z f z z . 由(4.2)式 i g s i dz z g dx x e R R

R ix

ππ==+??Γ-)0,(Re )(.

令 R +∞→，i dx x

e ix

π=?∞

+∞-. 从而

2

π

=

I .

在此例题中，我们所选取的积分曲线是一个如(图4.2)所示的封闭曲线且是包含实轴的

部分和R z =的上半圆周两条线共同围成的封闭区域，并且满足约当引理的条件，就可以在此区域内将实积分化成复变函数的积分，从而应用留数定理会使得计算简便，还能便于理解. 在此方法的基础上，再介绍另外一种方法.

方法二[7]

解 考虑函数z

e z

f iz

=)(沿图7所示的围线C （具有半圆形缺口的矩形周线）的积分，

则由留数定理知 0)(=?

dz z f C

，即

dz z e r

C iz

?

+dx x e R r ix ?+dy i iy R e R y iR ?+-0+dx iR

x e R R R ix ?--++idy iy R e R y iR ?+---0+dx x e r R ix

?--=0 (4.3)

把(4.3)式等号左边各个积分依次记为1I ,2I ,...,6I . 则2I +6I =2i

?

R

r

dx x

x

sin 注意到R y R iy R iy R ≥+=+-=+22. R iR x ≥+,1===-iR ix iR ie e ie ，则由积分的性质

543543I I I I I I ++≤++dx R e dy R e R R R

R

y

??+---+≤0

2012??→???

????+-=∞→--R R R e R e 在r C 上令θi re z =.

θπθ

d e i dz z

e I i r

ire C iz ??

==01

[]θθθπ

θd r i r e i r ?+-=-0

sin )cos sin()cos cos(

R -

R

图4.6

[]

i r i e r e i r r r πθθπθθ-??→?+-=→--0

2s i n 1s i n )c o s s i n ()c o s c o s (21 式中1θ与2θ皆介于0与π间，故由（4.3）式，令0→r ，∞→R 取极限，得

2

sin 0

π

=?

∞

dx x x .

方法三

解 考虑函数z

e z

f iz

=)(沿图4.7所示的围线C 的积分，则由留数定理

i f s i dz z f C

ππ2)0,(Re 2)(==?

有

dz z e r

C iz

?

+dx x e R r ix ?+dy i iy R e R y iR ?+-0+dx iR

x e R R R ix ?--++idy iy R e R y iR ?+---0+dx x e r R ix ?--=i π2 (4.4)

把(4.4)式等号左边各个积分依次记为1I ,2I ,...,6I . 则 2I +6I =2i

?

R

r

dx x

x

sin 注意到R y R iy R iy R ≥+=+-=+22. R iR x ≥+，1===-iR ix iR ie e ie ，则由积分的性质

图4.7

543543I I I I I I ++≤++dx R e dy R

e R R R R

y

??

+---+≤0

2

012??→???

????+-=∞

→--R R R e R e 又 θπ

πθ

d e i I i ire ?=21

[]θθθπ

π

θd r i r e i r ?+=-2s i n )c o s s i n ()c o s c o s (

[]

i r i e r e i r r r πθθπθθ??→?+=→--0

2sin 1sin )cos sin()cos cos(21 式中1θ与2θ皆介于π与π2间，故由(4.4)式，令0→r ，∞→R 取极限，得

2

sin 0

π=?

∞

dx x x . 上述三种方法都应用了留数定理的思想，但不同的是选取了不同的积分曲线，第一种方法是用留数定理解决实积分计算的一种普遍的方法，通过将整个复平面分为上下两个部分，再观察在哪个平面上的极点个数少，就选取这个平面作半圆周，连同实轴所围成的封闭区域上应用留数定理. 将实积分的计算转化成复变函数的积分，只要计算相应极点的留数，再应用留数定理问题就得到解答. 显然，这种方法对于解决形如?+∞

∞-mxdx x f cos )(或

?

+∞

∞

-mxdx x f sin )(（0>m ）的积分，满足相应的引理的条件，那么计算也省去了复杂的过

程. 第二种方法也应用了留数定理的思想，选择了封闭区域，使得积分区域内部没有孤立点，应用积分的性质将各个部分的积分整理合并，最终通过取极限得到积分的值，整个过程的计算很繁琐，但是，通过这种方法依然可以得到答案. 第三种方法同样应用了留数定理的思想，只不过将半圆型缺口的矩形中的半圆换成下半圆，这样积分路径所围成的封闭区域内部含有一个孤立奇点，我们采取与第二种方法同样的计算方法，通过整理、化简、合并最后应用留数定理得到最终的解答. 比较三种方法，我们知道，这三种方法选取了不同的积分曲线，积分曲线的不同，只会使得我们的计算方法上有所差别，但是积分曲线的选取是不会对积分的结果产生影响. 其实对于每一种方法，他们所采用的思想是一样的，即是用柯西积分定理，留数定理的思想. 当然，我们还可以选取任意的简单光滑封闭曲线连同实轴部分只要包围上半平面，或者下半平面的所有极点，也可以得到同样的积分值. 这里通过引用第二种方法，就是要说明对于某些实积分的计算方法,我们不应该拘泥于一种固定的方式，当然，能正确运用留数定理计算实积分就是要理解它的实质意义并且在计