北师大版高中数学必修一综合测试题(一)

高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）

必修1全册 综合测试题(一)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．

满分150分．考试时间120分钟．

第Ⅰ一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(2011·新课标文)已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( )

A ．2个

B ．4个

C ．6个

D ．8个

2．(2012·银川高一检测)设函数f(x)＝log a x(a>0，且a ≠1)在(0，＋∞)上单调递增，则f(a ＋1)与f(2)的大小关系是( )

A ．f(a ＋1)＝f(2)

B ．f(a ＋1)>f(2)

C ．f(a ＋1)

D ．不确定

3．下列函数中，与函数y ＝1

x 有相同定义域的是( )

A ．f(x)＝ln x

B ．f(x)＝1

x C ．f(x)＝|x|

D ．f(x)＝e x

4．(2011·北京文)已知全集U ＝R ，集合P ＝{x |x 2≤1}，那么?U P ＝( )

A ．(－∞，－1)

B ．(1，＋∞)

C ．(－1,1)

D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

5．函数y ＝ln x ＋2x －6的零点，必定位于如下哪一个区间( ) A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(3,4)

D ．(4,5)

6．已知f (x )是定义域在(0，＋∞)上的单调增函数，若f (x )>f (2－x )，则x 的取值范围是( )

A ．x >1

B ．x <1

C ．0

D ．1

7．设y 1＝40.9

，y 2＝80.48

，y 3＝(12)－1.5

，则( )

A ．y 3>y 1>y 2

B ．y 2>y 1>y 3

C ．y 1>y 2>y 3

D ．y 1>y 3>y 2

8．(2012·德阳高一检测)已知log 32＝a,3b ＝5，则log 330由a ，b 表示为( )

A.1

2(a ＋b ＋1) B.1

2(a ＋b )＋1 C.1

3(a ＋b ＋1)

D.1

2a ＋b ＋1

9．若a >0且a ≠1，f (x )是偶函数，则g (x )＝f (x )·log a (x ＋x 2＋1)是( )

A ．奇函数

B ．偶函数

C ．非奇非偶函数

D ．奇偶性与a 的具体值有关

10．定义两种运算：a ⊕b ＝a 2－b 2，a ?b ＝(a －b )2，则函数f (x )＝2⊕x (x ?2)－2

的解析式为( )

A ．f (x )＝4－x 2

x ，x ∈[－2,0)∪(0,2) B ．f (x )＝x 2－4

x ，x ∈(－∞，2]∪[2，＋∞) C ．f (x )＝－x 2－4

x ，x ∈(－∞，2]∪[2，＋∞) D ．f (x )＝－4－x 2

x ，x ∈[－2,0)∪(0,2]

第Ⅱ

二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案

填在题中横线上)

11．幂函数f (x )的图像过点(3，4

27)．则f (x )的解析式是________． 12．(2011·安徽文)函数y ＝16－x －x 2的定义域是________． 13．设函数f (x )＝x (e x ＋ae －x )(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为________．

14．已知f (x 6)＝log 2x ，则f (8)＝________.

15．已知函数f (x )＝x 2

＋a x (x ≠0，常数a ∈R )，若函数f (x )在x ∈[2，

＋∞)上为增函数，则a 的取值范围为________．

三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16．(本小题满分12分)设全集U 为R ，A ＝{x |x 2＋px ＋12＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋q ＝0}，若(?U A )∩B ＝{2}，A ∩(?U B )＝{4}，求A ∪B .

17．(本小题满分12分)(2012·广州高一检测)(1)不用计算器计算：log 327＋lg25＋lg4＋7

log72

＋(－9.8)0

(2)如果f (x －1x )＝(x ＋1x )2

，求f (x ＋1)． 18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3

2x －1，

(1)求f (x )的定义域； (2)判断f (x )的奇偶性； (3)求证：f (x )>0.

19．(本小题满分12分)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，并且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝2x .

(1)求f (log 21

3)的值； (2)求f (x )的解析式．

20．(本小题满分13分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)和一次函数g (x )＝－bx (b ≠0)，其中a ，b ，c 满足a >b >c ，a ＋b ＋c ＝0(a ，b ，c ∈R )．

(1)求证：两函数的图像交于不同的两点； (2)求证：方程f (x )－g (x )＝0的两个实数根都小于2.

21．(本小题满分14分)一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的2

2，

(1)求每年砍伐面积的百分比；

(2)至今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)今后最多还能砍伐多少年？

1[答案] B

[解析] 本题考查了集合运算、子集等，含有n 个元素的集合的所有子集个数是2n .

∵M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，∴M ∩N ＝{1,3}， 所以P 的子集个数为22＝4个． 2[答案] B

[解析] ∵f(x)＝log a x 在(0，＋∞)上单调递增， ∴a>1，∴a ＋1>2， ∴f(a ＋1)>f(2)，故选B . 3[答案] A

[解析] 函数y ＝1

x 的定义域为(0，＋∞)，故选A .

4[答案] D

[解析] 本题考主要考查集合的运算与解不等式问题． P ＝{x |x 2≤1}＝{x |－1≤x ≤1}， 所以?U P ＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 5[答案] B

[解析] 令f (x )＝ln x ＋2x －6，设f (x 0)＝0， ∵f (1)＝－4<0，f (3)＝ln3>0， 又f (2)＝ln2－2<0，f (2)·f (3)<0， ∴x 0∈(2,3)． 6[答案] D

[解析]

由已知得????

? x >02－x >0

x >2－x

????

x >0

x <2x >1

，

∴x ∈(1,2)，故选D. 7[答案] D

[解析] ∵y 1＝40.9＝21.8， y 2＝80.48＝(23)0.48＝21.44，y 3＝21.5， 又∵函数y ＝2x 是增函数，且1.8>1.5>1.44. ∴y 1>y 3>y 2. 8[答案] A

[解析] 3b ＝5，b ＝log 35， log 3

30＝12log 330＝1

2log 3(3×10)

＝1

2(1＋log 310)

＝12(1＋log 32＋log 35)＝1

2(a ＋b ＋1)． 9[答案] A

[解析] g (－x )＝f (－x )·log a (－x ＋x 2

＋1)＝f (x )·log a 1

x 2

＋1＋x

＝－f (x )·log a (x ＋x 2＋1)＝－g (x )． 则g (x )是奇函数． 10[答案] D

[解析] ∵a ⊕b ＝a 2－b 2，a ?b ＝(a －b )2， ∴f (x )＝2⊕x (x ?2)－2＝22－x 2(x －2)2

－2＝4－x 2|x －2|－2. ∵－2≤x ≤2且|x －2|－2≠0，即x ≠0， ∴f (x )＝4－x 22－x －2＝－4－x 2

x ，x ∈[－2,0)∪(0,2]．

11[答案] f (x )＝x 34

[解析] 设f (x )＝x α，将(3，4

27)代入，

得3α

＝4

27＝334 ，则α＝3

4.∴f (x )＝x 34

.

12[答案] {x |－3

[解析] 该题考查函数的定义域，考查一元二次不等式的解法，注意填定义域(集合)．

由6－x －x 2>0， 得x 2＋x －6<0， 即{x |－3

[解析] ∵f (－x )＝f (x )对任意x 均成立，∴(－x )·(e －x ＋ae x )＝x (e x

＋ae －x )对任意x 恒成立，

∴x (－ae x －e －x )＝x (e x ＋ae －x )，∴a ＝－1. 14[答案] 12

[解析] ∵f (x 6

)＝log 2x ＝1

6log 2x 6，

∴f (x )＝1

6log 2x ，

∴f (8)＝16log 28＝16log 223＝1

2. 15[答案] (－∞，16]

[解析] 任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1

f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋a x 1－x 2

2－a x 2

＝(x 1－x 2)

x 1x 2

[x 1x 2(x 1＋x 2)－a ]，

要使函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上为增函数，需使f (x 1)－f (x 2)<0恒成立．

∵x 1－x 2<0，x 1x 2>4>0，∴a 4，∴x 1x 2(x 1＋x 2)>16，∴a ≤16， 即a 的取值范围是(－∞，16]．

16[解析] ∵(?U A )∩B ＝{2}，A ∩(?U B )＝{4}， ∴2∈B,2?A,4∈A,4?B ，根据元素与集合的关系，

可得????? 42＋4p ＋12＝022－10＋q ＝0，解得?????

p ＝－7，q ＝6.

∴A ＝{x |x 2－7x ＋12＝0}＝{3,4}，B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，经检验符合题意．

∴A ∪B ＝{2,3,4}．

17[解析] (1)原式＝log 3332

＋lg(25×4)＋2＋1 ＝32＋2＋3＝132. (2)∵f (x －1x )＝(x ＋1x )2

＝x 2

＋1x 2＋2＝(x 2

＋1x 2－2)＋4

＝(x －1

x )2＋4 ∴f (x )＝x 2＋4 ∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2＋4 ＝x 2＋2x ＋5.

18[解析] (1)由2x －1≠0，即2x ≠1，得x ≠0， 所以函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．

(2)因为f (1)＝1，f (－1)＝2，所以f (－1)≠f (1)，且f (－1)≠－f (1)，所以f (x )既不是奇函数也不是偶函数．

(3)由于函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，

因为当x >0时，2x >1,2x －1>0，x 3>0，所以f (x )>0； 当x <0时，0<2x <1,2x －1<0，x 3<0，所以f (x )>0. 综上知f (x )>0.本题得证．

19[解析] (1)因为f (x )为奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝2x ， 所以f (log 21

3)＝f (－log 23)＝－f (log 23) ＝－2

log2

3

＝－3.

(2)设任意的x ∈(－∞，0)，则－x ∈(0，＋∞)， 因为当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝2x ，所以f (－x )＝2－x ， 又因为f (x )是定义在R 上的奇函数，则f (－x )＝－f (x )， 所以f (x )＝－f (－x )＝－2－x ，即当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－2－x ； 又因为f (0)＝－f (0)，所以f (0)＝0，

综上可知，f (x )＝????

?

2x ，x >0

0，x ＝0

－2－

x ，x <0

.

20[解析] (1)若f (x )－g (x )＝0，则ax 2＋2bx ＋c ＝0， ∵Δ＝4b 2－4ac ＝4(－a －c )2－4ac ＝4[(a －c 2)2＋34c 2

]>0，

故两函数的图像交于不同的两点．

(2)设h (x )＝f (x )－g (x )＝ax 2＋2bx ＋c ，令h (x )＝0可得ax 2＋2bx ＋c ＝0.由(1)可知，Δ>0.

∵a >b >c ，a ＋b ＋c ＝0(a ，b ，c ∈R )，∴a >0，c <0， ∴h (2)＝4a ＋4b ＋c ＝4(－b －c )＋4b ＋c ＝－3c >0， －2b 2a ＝－b a ＝a ＋c a ＝1＋c

a <2，

即有?????

Δ>0a >0

h (2)>0

－2b 2a <2

，结合二次函数的图像可知，

方程f (x )－g (x )＝0的两个实数根都小于2. 21[解析] (1)设每年砍伐的百分比为x (0

＝12a ，即(1－x )10

＝12，

解得x ＝1－(1

2)110

.

(2)设经过m 年剩余面积为原来的2

2， 则a (1－x )m

＝2

2a ，

即(12)m

10 ＝(12)12

，m 10＝12，

解得m ＝5，故到今年为止，已砍伐了5年． (3)设从今年开始，以后砍了n 年， 则n 年后剩余面积为2

2a (1－x )n ， 令22a (1－x )n ≥14a ，即(1－x )n

≥24， (12)n

10 ≥(12)32

，n 10≤3

2，解得n ≤15. 故今后最多还能砍伐15年．