椭圆中与面积有关的取值范围问题专题
22
例题：如图，已知椭圆C：x2＋y2＝1（a>b>0）的左焦点为F（－1，0），左准线方程为
x ab
＝－ 2.
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）若A，B两点满足OA⊥OB（O为坐标原点），求△ AOB 面积的取值范围．
2 2 2
变式2设椭圆E：x＋y＝1，P为椭圆C：x＋y2＝1上任意一点，过点P的直线y＝16 4
4
kx＋m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.
(1)求O O Q P的值；(2)求△ ABQ 面积的最大值．
椭圆中与面积有关的取值范围问
题
范围问题类似于函数的值域，解析几何中几何量的范围问题，需要选择合适的变量构建出可解出范围的函数，是高中数学的传统难点．解决椭圆中的面积取值范围问题，关键在于找到构建面积的合理路径，设法简化表达式，将问题转化为常见的函数模型，从而求出取值
范围.
2
串讲1如图，已知椭圆C：x2＋y2＝1，设A1，A2分别为椭圆C的左、右顶点，S为直线x ＝2 2上一动点（不在x轴上），直线 A 1S交椭圆C于点M，直线 A 2S交椭圆于点N，设△
MSN 的面积，求S1的最大值．
S2
x 2
y
2
3
串讲2已知点A（0 ，－2），椭圆E：2＋2＝1（a>b>0）的离心率为，F是椭圆 E 的右
a b 2
焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．
（1）求 E 的方程；
（2）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△ OPQ的面积最大时，求l的方程．
S1，S2 分别为△ A 1SA2，
2
（2018·广西初赛改编 ）已知椭圆 C ：x
＋ y 2
＝1，设不过原点 O 的直线 l 与椭圆 C 交
于 4
两点 P ，Q ，且直线 OP ，PQ ， OQ 的斜率成等比数列 ，求△ OPQ 面积的取值范围．
22 （2018
·南通泰州
一模 ）如图，在平面直角坐标系 xOy 中， 已知椭圆 x 2＋y 2＝1（a >b >0） ab 的离心率为 22， 两条准线之间的距离为 4 2.
（1）求椭圆的标准方程；
2 2 8
（2）已知椭圆的左顶点为 A ， 点 M 在圆 x 2＋y 2
＝9上，直线 AM 与椭圆相交于另一点 B ，
且△ AOB 的面积是△ AOM 的面积的 2 倍， 求直线 AB 的方程．
22
答案： （1）x 4 ＋ y 2＝ 1；（2）y ＝x ＋2y ＋2＝0，x －2y ＋2＝0.
解析： （1）设椭圆的焦距为 2c ，由题意得 ，c ＝ 2，2a ＝4 2，2分 a 2 c 22
解得 a ＝2， c ＝ 2，所以 b ＝ 2，所以椭圆的标准方程为 x
4＋y 2＝1.4 分
（2）解法 1：因为 S △AOB ＝ 2S △AOM ，所以 AB ＝2AM ，所以点 M 为 AB 的中点.6分 22
因为椭圆的方程为 x 4 ＋ y
2 ＝ 1，所以 A （ －2，0）．设 M （x 0，y 0），则 B （2x 0＋2，2y 0），
22
所以 x 0
2＋y 02＝89，①（2x04＋2） ＋（2y 20）
＝1，②10 分
2 2 8 由①② ，得 9x 02
－18x 0－16＝0，解得 x 0＝－ 3或 x 0＝3
（舍去 ）．
33
22
把 x 0＝－ 23代入① ，得 y 0＝±32，12 分
所以 k AB ＝±12， 因此 ，直线 AB 的方程为 y ＝±21（x ＋2）
，
即 x ＋2y ＋2＝0，x －2y ＋2＝0.14 分
解法 2：因为 S △AOB ＝2S △AOM ，所以 AB ＝ 2AM ，所以点 M 为 AB 的中点.6分
22
x 4
2＋y 22＝1，
设直线 AB 的方程为 y ＝k （x ＋ 2），由 4 2
y ＝k （x ＋2），
得（1＋2k 2）x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0，
即 （7k 2＋2）（4k 2－1）＝0，解得 k ＝±12， 因此 ，直线 AB 的方程为 y ＝ ±21（x ＋ 2）， 即 x ＋2y ＋2＝0，x －2y ＋2＝0.14 分
例题
2
答案： （1）x 2＋ y 2＝ 1；
所以 （x ＋2）［（1＋2k 2）x ＋4k 2－2］＝0， 解得 x B ＝12＋－24k k
2，8分
B
1＋ 2k 2 所以 x M ＝
x B ＋（－ 2） －4k 2
2
，
1＋2k 2
10 分 2k y M ＝k （x
M ＋2）＝
1＋2k
2，
化简得 28k 4＋ k 2
－2＝0，
2 2 8 代入 x ＋y ＝ 9
， －4k 2 2
1＋ 2k 2 ＋
2k 2 8
1＋ 2k
2 ＝9
，
12 分
（2）S ∈ 32
， 22
.
解析： （1）由题设知 e ＝ 22， a 2＝2c 2＝b 2＋c 2， 即 a 2＝2b 2，将 1，－ 22 代入椭圆 C 的 2
方程得到 12＋ 12＝1，则 b 2＝ 1，a 2＝ 2，所以椭圆 C ：x ＋y 2＝1. 2b 2b 2
（2）当直线 OA ，OB 分别与坐标轴重合时 ，易知△ AOB 的面积 S ＝ 22
.当直线 OA ，OB 1
的斜率均存在且不为零时 ，设 OA ：y ＝kx ，OB ：y ＝－ k x.设 A （x 1， y 1） ，B （x 2， y 2），将 y ＝
22
kx 代入椭圆 C 得到 x 2＋2k 2x 2＝2， 所以 x 12＝ 2k 22＋ 1， y 12＝ 2k 22k ＋ 1，同理 x 22＝22＋k k 2，y 22
2＋2k 2
，△ AOB 的面积 S ＝OA ·2
OB
2＋ k
2
k 2
＋1）2
（ 2k 2＋ 1）（ k 2＋2）. 令 t ＝k 2
＋1∈ [1， ＋∞），
变式联想
变式 1
答
案： 2.
解
析：
①当直线 AB 的斜率不存在时 ，不妨取 A 1， 22
， B 1， 2
，
－
2 ，
－1，－22. 则C
此时 S △ABC ＝21×2× 2＝ 2；
②当直线 AB 的斜率存在时 ，设直线 AB 方程为 y ＝ k （x －1）， 联立
y x ＝2＋k 2（y 2x ＝－21.
），
化简得 （2k 2＋1）x 2－4k 2x ＋ 2k 2－2＝0，
设 A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则有 Δ＝ 16k 4－4（2k 2＋ 1）（2k 2－2）＝8（1＋ k 2），x 1，2＝2（4k 1＋±2k Δ
2） ，
∈
2
3， 22 .
所以 AB ＝ （1＋k 2）·
2
|x 1
－x
2|
＝ 1＋k 2
·
（1＋2k 2）
＝2 211
＋ 2k
k 2.（弦长公式 ） 另一方面点 O 到直线 y ＝k （x － 1）的距离 d
＝ |2k| ，
k 2
＋1
因为 O 是线段 AC 的中点 ，所以点 C 到直线 AB 的距离为 2d ＝ 2|2k| ， k 2＋1
2|k|
k 2（k 2
＋ 1）
k 2＋1
＝2 2
（2k 2＋1）2＝
4（ 2k
2
＋ 1） 2
< 2.
综上 ，△ABC 面积的最大值为 2. 说明： O 为 AC 中点，所以
△ ABC 的面积是△ OAB 面积的两倍 ，而△ OAB 的面积可
1
以用公式 S △
OAB ＝ 2OF ·|y 1－ y 2|得出 ，所以 S
△
ABC
＝ 2S △
OAB ＝
|y 1－y 2|＝|k| |x ·1－x 2|＝2 2 k （
（2k
k
2＋
＋11
）
）
2.这样计算可以简洁一些．
变式 2 答案： （1）2； （2）6 3.
22
解析：（1）设 P （x 0，y 0），OP ＝ λ，由题意知 Q （－ λx 0，－ λy 0），因为 4 ＋ y 0 ＝ 1，又
16
＝1，所以 λ＝2，即O O Q P ＝2.
22
（2）设 A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．将 y ＝kx ＋ m 代入椭圆 E 的方
程 ，可得（1＋4k 2）x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0. 由 Δ>0， 可得
1
的面积 S ＝2|m| ·|x 1
－ x
2|
2 16k 2＋ 4－ m 2|m| 1＋4k 2 2 （16k 2＋4－m 2） ·m 2
1＋4k 2
m 2<4＋16k 2①
2
8km
4m － 16
则有 x 1＋ x 2＝－ ， x 1x 2＝ 2 .所以
1＋4k 2 1＋4k 4 16k 2＋ 4－ m 2
|x 1－ x 2|＝ 1＋4k 2
.因为直线 y ＝kx ＋m 与 y 轴交点的坐标为 （0，m ），所以△ 4－1＋m 4k 2 ·1＋m 4k 2.令1＋m 4k 2＝ t ，将 y ＝kx ＋m 代入椭圆 C 的方程可得 （1＋ 2. 11 ∴S △ABC ＝21AB ·2d ＝12
1＋k 2
·1＋ 2k 2 ·
2
2 2 2 2 2
4k 2）x
2＋8kmx ＋ 4m 2－4＝0.由 Δ≥ 0，可得 m 2≤1＋ 4k 2.② 由①②可知 0< t ≤ 1. 因此 S ＝ 2 （ 4－ t ） t ＝
2 －t 2
＋2t ，故 S ≤2 3.当且仅当 t ＝1，即 m 2
＝1＋4k 2
时取得最大值 2 3.由①知 ，△
ABQ 的面积为 3S ， 所以△ ABQ 面积的最大值为 6 3.
串讲激活
串讲 1 答案： 43.
3
解析：设S （2 2，t ），则 t ≠0，直线 SA 1：y ＝ t （x ＋ 2），直线
SA 2：
1
S 1＝1
2SA 1·SA 2·sin ∠S ＝SA 1·SA 2
S2＝
21SM ·SN ·sin ∠S ＝SM ·SN
|x |S x －－xA x
1||||x x S －
－x x A |2|
，这样运算就简单了．
|x S － x M ||x S － x N |
还有，用直线 SA 1的方程求点 M 坐标时 ，要注意方程组一定有一个解 x A1，所以，也 可以用韦达定理求出 x M .
串讲 2
y ＝ t 2（x － 2）．
2 x
2
＋y2＝1，
2 t 2 2
由 t 得 x 2
＋ t 9（x ＋ 2）2＝ 2， 解得
x 1＝
y ＝3t 2（x ＋ 2）， 9
－ 2，x 2＝－ 22t 2＋9 2，即 x M ＝－ 2t 2＋9 2
x 2＝ t 2
＋9
2 x
2
＋ y 2＝ 1， 同理 ， 由 2
y ＝ t 2（ x － 2） ，
t 2＋9 可得 x N ＝ 2t
－ 2
t 2＋ 1 .所以
|2 2＋ 2| |·2 2－ 2|
2 2＋
2t t 22＋－ 99 2
2 2－
2t 2
－ 2
t 2
＋1
t 2＋ 9）（ t 2＋1） ＝ 1 ＋
t 2＋3）2
2
t 4＋46t
t 2＋9
＝ 1 ＋
t 2＋t 92＋6≤
1＋ 4＝4， 1＋
12＝3
，
等号当且仅当 t 2＝ 3， 即
t ＝ ± 3时成立． 所以， 当 S （2 2 ， ± 3）时， S S1
的最大值为 4. 3
.
说明： 1
本题用三角形面积公式 S 1＝
1
2SA 1
· SA 2· sin ∠S ，最后得到 S1 S 2
高中数学椭圆中的常见最值问题
椭圆中的常见最值问题 1、椭圆上的点P 到二焦点的距离之积||||21PF PF 取得最大值的点是椭圆短轴的端点，取得最小值的点在椭圆长轴的端点。 例1、椭圆19 252 2=+y x 上一点到它的二焦点的距离之积为m ，则m 取得的 最大值时，P 点的坐标是 。P （0，3）或（0，-3） 例2、已知椭圆方程122 22=+b y a x （222,0c b a b a +=>>）p 为椭圆上一点， 21,F F 是椭圆的二焦点，求||||21PF PF 的取值范围。 分析：22221))((||||x e a ex a ex a PF PF -=-+=，)|(|a x ≤ 当a x ±=时，min 21||||PF PF =222b c a =-，当0=x 时，2max 21||||a PF PF = 即≤2b ||||21PF PF 2a ≤ 2、椭圆上到的椭圆内一个定点的距离与它到焦点距离之差取得最大值或最小值的点是这个定点与焦点连线延长线或反向延长线与椭圆的交点,最大值、最小值分别是定点到该焦点的距离和其相反数。 例3、已知)1,1(A ，1F 、2F 是椭圆15 92 2=+y x 的左右焦点，P 为椭圆上一动 点，则||||2PF PA -的最大值是 ，此时P 点坐标为 。||||2PF PA -的最小值是 ，此时P 点坐标为 。 3、椭圆上到椭圆内定点的距离与它到椭圆的一个焦点的距离之和取得最小值或最大值的点是另一焦点与定点连线的延长线或反向延长线与椭圆的交点。 例4、已知)1,1(A ，1F 是椭圆15 92 2=+y x 的左焦点，P 为椭圆上一动点，则
浙江高考数学复习专题四解析几何第3讲圆锥曲线中的定点、定值、最值与范围问题学案
第3讲 圆锥曲线中的定点、定值、最值与范围问题 高考定位 圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，主要以解答题形式考查，往往作为试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，试题难度较大，对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求. 真 题 感 悟 (2018·北京卷)已知抛物线C ：y 2 ＝2px 经过点P (1，2).过点Q (0，1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N . (1)求直线l 的斜率的取值范围； (2)设O 为原点，QM →＝λQO →，QN →＝μQO → ，求证：1λ＋1μ 为定值. 解 (1)因为抛物线y 2 ＝2px 过点(1，2)， 所以2p ＝4，即p ＝2. 故抛物线C 的方程为y 2 ＝4x . 由题意知，直线l 的斜率存在且不为0. 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0). 由? ????y 2 ＝4x ，y ＝kx ＋1得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0. 依题意Δ＝(2k －4)2－4×k 2 ×1>0， 解得k <0或0 与椭圆有关的最值问题 圆锥曲线在高考中占很重要的地位，每年必考。对椭圆、双曲线、抛物线的研究方法基本相同，椭圆 为三曲线之首，对椭圆的学习就更为重要了。而椭圆中的最值问题是比较重要的课题，它主要体现了转化 思想及数形结合的应用，涉及到的知识有椭圆定义、标准方程、参数方程、三角函数、二次函数、不等式 等内容。能够考查学生的分析能力、理解能力、知识迁移能力、解决问题的能力等等。下面介绍几种常见 的与椭圆有关的最值问题的解决方法。 1 ?定义法 2 2 例1。P(-2, 3 ),F2为椭圆——=1的右焦点，点M 在椭圆上移动，求丨MP| + | MF 2 |的最大值 25 16 和最小值。 分析：欲求丨MP| + | MF 丨的最大值和最小值 可转化为距离差再求。由此想到椭圆第一定义 | MF | =2a- | MF | , F 1为椭圆的左焦点。 解：| MP| + | MF | = | MP| +2a- | MF | 连接 PR 延长 PF 1 交椭圆于点M 1,延长F 1P 交椭圆于点M 2由三角形三边关系知 -| PF |兰| MP| - | MF |兰| PR |当且仅当M 与M 1重合时取右等号、M 与M 2重合时取左等号。因为 2a=10, | PF 1 | =2所以(| MP| + | MF |) ma>=12, (| MP | + | MF | ) min =8 2 2 X y 结论1：设椭圆二 2 =1的左右焦点分别为F 1、F 2, P(x o ,y o )为椭圆内一点，M(x,y)为椭圆上任意 a b 一点，则| MP | + | MF |的最大值为 2a+ | PF 1 |，最小值为2a - | PR |。 2 2 例 2： P(-2,6),F 2为椭圆— -L 25 16 M ，此点使| MP| + | MF |值最小，求最大值方法同例 1。 MF |连接PF 1并延长交椭圆于点 皿仆则M 在M 1处时| MP | - | MF I 取最大值| PF 1 |。二| MP | + | MF |最大值是10+ , 37，最小值是,41 2 2 x y 结论2:设椭圆一2 - =1的左右焦点分别为F 1、F 2, P(x o ,y o )为椭圆外一点，M(x,y)为椭圆上任意一点， a b 则| MP | + | MF |的最大值为 2a+ | PF 1 |，最小值为 PF ?。 2. 二次函数法 2 2 例3?求定点A(a,0)到椭圆务'￡ =1上的点之间的最短距离。 a b 分析：在椭圆上任取一点，由两点间距离公式表示| PA |，转化为x,y 的函数，求最小值。 1 1 解：设 P(x,y)为椭圆上任意一点，| PA | 2=(x-a) 2+y 2 =(x-a) 2+1- x 2 = (x_ 2a)2+1d 由椭圆方 =1的右焦点，点 M 在椭圆上移动，求| MP | + | MF |的最大值和 最小值。 分析：点P 在椭圆外，PF 2交椭圆于 解：| MP | + | MH | = | MP | +2a- | M 1 M 2 椭圆中的最值问题与定点、定值问题 解决与椭圆有关的最值问题的常用方法 （1）利用定义转化为几何问题处理； （2）利用数形结合，挖掘数学表达式的几何特征进而求解； （3）利用函数最值得探求方法，将其转化为区间上的二次 函数的最值来处理，此时应注意椭圆中x 、y 的取值范围； （4）利用三角替代（换元法）转化为 三角函数的最值问题处理。 一 、椭圆上一动点与焦点的距离的最值问题 椭圆上一动点与焦点的距离称为焦半径，椭圆上一动点与长轴的两端点重合时，动点与焦点取得最大值a+c （远日点）、最小值a-c （近日点）。 推导：设点),(00y x P 为椭圆)0( 122 22>>=+b a b y a x 上的任意一点，左焦点为)0,(1c F -， 2 2 01)(||y c x PF ++=，由 1220220=+b y a x 得)1(2202 0a x b y -=，将其代入 2 0201)(||y c x PF ++=并化简得a x a c PF += 01||。所以，当点),(00y x P 为长轴的右端点)0,(2a A 重合时，a c a a a c PF +=+?= max 1||；当点),(00y x P 为长轴的左端点)0,(1a A -重合时。c a a a a c PF -=+-?= )(||min 1。当焦点为右焦点)0,(2c F 时，可类似推出。 1. （2015浙江卷）如图，已知椭圆 12 22 =+y x 不同的点A 、B 关于直线2 1 + =mx y 对称。 （1）求实数m 的取值范围； （2）求AOB ?面积的最大值（O 为坐标原点）。 解：（1）由题意知0≠m ，可设直线AB 的方程为y =联立?? ???+-==+b x m y y x 1122 2，消y 去，得012)121(222=-+- +b x m b x m 。 因为直线b x m y +-=1与椭圆 12 22 =+y x 有两个不同的交点， 所以04 222 2 >+ +-=?m b 。-------① 设),(),,(2211y x B y x A ，线段AB 的中点 ),(M M y x M ，则2 4221+= +m mb x x ， 专题05 解密与椭圆双曲线抛物线概念有关的最值问题 一、选择题 1．【四川省绵阳南山中学2017-2018学年高二上学期期中】已知点P 是抛物线2 2y x =上的一个动点，则点 P 到点()0,2A 的距离与P 到该抛物线的准线的距离之和的最小值为（ ） A . 9 2 B . 5 C . 2 D . 172 【答案】D 2．【吉林省舒兰一中2017-2018学年高二上学期期中】如图，已知椭圆 22 13216 x y +=内有一点()122,2,B F F 、是其左、右焦点， M 为椭圆上的动点，则1MF MB +的最小值为（ ） A . 42 B . 62 C . 4 D . 6 【答案】B 【解析】() 122MF MB a MF MB +=-- 2 2BF a ≥-→ 822262==当且仅当2,,M F B 共线时取得最小值2故答案选B 3．【北京朝阳垂杨柳中学2016-2017学年高二上学期期中】已知经过椭圆 22 12516 x y +=右焦点2F 的直线交椭圆于A 、B 两点，则1AF B 的周长等于（ ） A . 20 B . 10 C . 16 D . 8 【答案】A 【解析】因为椭圆的方程为 22 12516x y +=，所以由椭圆的定义可得1212210,210AF AF a BF BF a +==+==， 1ABF ∴?周长为112220AF BF AF BF +++=，故选A . 4．【内蒙古自治区太仆寺旗宝昌一中2016-2017学年高二下学期期中】设为定点，动点满 足 |，则动点的轨迹是（ ） A . 椭圆 B . 直线 C . 圆 D . 线段 【答案】D 5．【福建省闽侯第六中学2018届高三上学期第一次月考】已知椭圆： 22 2 1(02)4x y b b +=<<，左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若22BF AF +的最大值为5，则b 的值是（ ） A . 1 B 2 C . 3 2 D 3【答案】D 【解析】试题分析：由椭圆定义，得2248AB AF BF a ++==，所以当线段AB 长度达最小值时， 22BF AF +有最大值．当AB 垂直于x 轴时， 22 2min ||222 b b AB b a =?=?=，所以22BF AF +的最大 值为285b -=，所以2 3b =，即3b = D ． 考点：1、椭圆的定义及几何性质；2、直线与椭圆的位置关系． 【方法点睛】（1）涉及椭圆上的点与两焦点的距离时，要注意联想椭圆的定义，要结合图形看能否运用定 【押题背景】 取值范围类似于函数的值域，解析几何中几何量的取值范围问题，需要选择合适的变量构建出可解出范围的函数，是高中数学的传统难点．解决椭圆中的面积取值范围问题，关键在于找到构建面积的合理路径，设法简化表达式，将问题转化为常见的函数模型，从而求出取值范围. 【押题典例】 典例1 已知椭圆C： 22 22 x y a b +=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆C上一点，以PF1为直径的圆E：x2 2 9 2 y ? += ?? 过点F2． （1）求椭圆C的方程； （2）过点P且斜率大于0的直线l1与C的另一个交点为A，与直线x＝4的交点为B，过点（3）且与l1垂直的直线l2与直线x＝4交于点D，求△ABD面积的最小值． 【答案】（1） 22 1 84 x y +=；（2）． 【解析】（1）在圆E的方程中，令y＝0，得到：x2＝4，所以F1（﹣2，0），F2（2，0）， 又因为 2 1 2 OE F P =，所以P点坐标为(2，所以12 2a PF PF =+= 则a=b＝2，因此椭圆的方程为 22 1 84 x y +=； （2）设直线l1：y=k（x﹣2）（k＞0），所以点B的坐标为() 42k，设A（x A，y A），D（x D，y D），将直线l1代入椭圆方程得（1+2k2）x2+（﹣8k2）x+8k2﹣k﹣4＝0， 所以x P x A 2 2 84 12 k k -- = + ，所以x A 2 2 42 12 k k -- = + ， 直线l2的方程为y 1 k =-（x﹣3），所以点D坐标为 1 4 k ?? ? ?? ， 押题第37道椭圆中与面积有关的取值范围问题 椭圆大题定值定点、取值范围、最值问题等总结 一、直线与椭圆问题的常规解题方法： 1．设直线与方程；(提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y kx b =+与x my n =+的区别) 2．设交点坐标；(提醒：之所以要设是因为不去求出它，即“设而不求”) 3．联立方程组； 4．消元韦达定理；(提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单) 5．根据条件重转化；常有以下类型： ①“以弦AB 为直径的圆过点0”(提醒：需讨论k 是否存在) 121212100OA OB k k OA OB x x y y ?⊥?=??-?=?+=u u u r u u u r ②“点在圆内、圆上、圆外问题” ?“直角、锐角、钝角问题” ? “向量的数量积大于、等于、小于0问题”12120x x y y ?+>； ③“等角、角平分、角互补问题”令斜率关系(120k k +=或12k k =)； ④“共线问题” (如：AQ QB λ=?u u u r u u u r 数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法)； (如：A O B ，，三点共线?直线OA 与OB 斜率相等)； ⑤“点、线对称问题”?坐标与斜率关系； ⑥“弦长、面积问题”?转化为坐标与玄长公式问题(提醒：注意两个面积公式的合理选择)； 6．化简与计算； 7．细节问题不忽略； ①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0． 二、基本解题思想： 1．“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2．“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3．证明定值问题的方法： (1)常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关； (2)也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明． 4．处理定点问题的方法： (1)常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点； (2)也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明， 5．求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法(转化为二次函数的最值)、三角代换法(转化为三角函数的最值)、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决； 6．转化思想：有些题思路易成，但难以实施．这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转 与椭圆有关的最值问题 圆锥曲线在高考中占很重要的地位，每年必考。对椭圆、双曲线、抛物线的研究方法基本相同，椭圆为三曲线之首，对椭圆的学习就更为重要了。而椭圆中的最值问题是比较重要的课题，它主要体现了转化思想及数形结合的应用，涉及到的知识有椭圆定义、标准方程、参数方程、三角函数、二次函数、不等式等内容。能够考查学生的分析能力、理解能力、知识迁移能力、解决问题的能力等等。下面介绍几种常见的与椭圆有关的最值问题的解决方法。 1．定义法 例1。P(-2,3),F 2为椭圆116 252 2=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上移动，求︱MP ︱+︱MF 2 ︱的最大值 和最小值。 分析：欲求︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值和最小值 可转化为距离差再求。由此想到椭圆第一定义 ︱MF 2︱=2a-︱MF 1︱, F 1为椭圆的左焦点。 解：︱MP ︱+︱MF 2︱=︱MP ︱+2a-︱MF 1︱连接PF 1延长PF 1 交椭圆于点M 1,延长F 1P 交椭圆于点M 2由三角形三边关系知 –︱PF 1︱≤︱MP ︱-︱MF 1︱≤︱PF 1︱当且仅当M 与M 1 22a=10, ︱PF 1︱=2所以（︱MP ︱+︱MF 2︱）max =12, （︱MP ︱+︱MF 2︱）min =8 结论1：设椭圆122 22=+b y a x 的左右焦点分别为F 1、F 2, P(x 0,y 0)为椭圆内一点，M(x,y)为椭圆上任意 一点，则︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值为2a+︱PF 1︱,最小值为2a –︱PF 1︱。 例2：P(-2,6),F 2为椭圆 116 252 2=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上移动，求︱MP ︱+︱MF 2 ︱的最大值和最小值。 分析：点P 在椭圆外，PF 2交椭圆于M ，此点使︱MP ︱+︱MF 2︱值最小，求最大值方法同例1。 解：︱MP ︱+︱MF 2︱=︱MP ︱+2a-︱MF 1︱连接PF 1并延长交椭圆于点M 1，则M 在M 1处时︱MP ︱-︱MF 1︱取最大值︱PF 1︱。∴︱MP ︱+︱MF 2︱最大值是10+ 37 ，最小值是 41。 结论2：设椭圆122 22=+b y a x 的左右焦点分别为F 1、F 2, P(x 0,y 0)为椭圆外一点，M(x,y)为椭圆上任意一点， 则︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值为2a+︱PF 1︱，最小值为PF 2。 2.二次函数法 例3．求定点A(a,0)到椭圆122 22=+b y a x 上的点之间的最短距离。 分析：在椭圆上任取一点，由两点间距离公式表示︱P A ︱，转化为x,y 的函数，求最小值。 22 例题：如图，已知椭圆C：x2＋y2＝1（a>b>0）的左焦点为F（－1，0），左准线方程为 x ab ＝－ 2. （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若A，B两点满足OA⊥OB（O为坐标原点），求△ AOB 面积的取值范围． 2 2 2 变式2设椭圆E：x＋y＝1，P为椭圆C：x＋y2＝1上任意一点，过点P的直线y＝16 4 4 kx＋m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q. (1)求O O Q P的值；(2)求△ ABQ 面积的最大值． 椭圆中与面积有关的取值范围问 题 范围问题类似于函数的值域，解析几何中几何量的范围问题，需要选择合适的变量构建出可解出范围的函数，是高中数学的传统难点．解决椭圆中的面积取值范围问题，关键在于找到构建面积的合理路径，设法简化表达式，将问题转化为常见的函数模型，从而求出取值 范围. 2 串讲1如图，已知椭圆C：x2＋y2＝1，设A1，A2分别为椭圆C的左、右顶点，S为直线x ＝2 2上一动点（不在x轴上），直线 A 1S交椭圆C于点M，直线 A 2S交椭圆于点N，设△ MSN 的面积，求S1的最大值． S2 x 2 y 2 3 串讲2已知点A（0 ，－2），椭圆E：2＋2＝1（a>b>0）的离心率为，F是椭圆 E 的右 a b 2 焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点． （1）求 E 的方程； （2）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△ OPQ的面积最大时，求l的方程． S1，S2 分别为△ A 1SA2， 2 （2018·广西初赛改编 ）已知椭圆 C ：x ＋ y 2 ＝1，设不过原点 O 的直线 l 与椭圆 C 交 于 4 两点 P ，Q ，且直线 OP ，PQ ， OQ 的斜率成等比数列 ，求△ OPQ 面积的取值范围． 22 （2018 ·南通泰州 一模 ）如图，在平面直角坐标系 xOy 中， 已知椭圆 x 2＋y 2＝1（a >b >0） ab 的离心率为 22， 两条准线之间的距离为 4 2. （1）求椭圆的标准方程； 2 2 8 （2）已知椭圆的左顶点为 A ， 点 M 在圆 x 2＋y 2 ＝9上，直线 AM 与椭圆相交于另一点 B ， 且△ AOB 的面积是△ AOM 的面积的 2 倍， 求直线 AB 的方程． 22 答案： （1）x 4 ＋ y 2＝ 1；（2）y ＝x ＋2y ＋2＝0，x －2y ＋2＝0. 解析： （1）设椭圆的焦距为 2c ，由题意得 ，c ＝ 2，2a ＝4 2，2分 a 2 c 22 解得 a ＝2， c ＝ 2，所以 b ＝ 2，所以椭圆的标准方程为 x 4＋y 2＝1.4 分 （2）解法 1：因为 S △AOB ＝ 2S △AOM ，所以 AB ＝2AM ，所以点 M 为 AB 的中点.6分 22 因为椭圆的方程为 x 4 ＋ y 2 ＝ 1，所以 A （ －2，0）．设 M （x 0，y 0），则 B （2x 0＋2，2y 0）， 22 所以 x 0 2＋y 02＝89，①（2x04＋2） ＋（2y 20） ＝1，②10 分 2 2 8 由①② ，得 9x 02 －18x 0－16＝0，解得 x 0＝－ 3或 x 0＝3 （舍去 ）． 33 22 把 x 0＝－ 23代入① ，得 y 0＝±32，12 分 所以 k AB ＝±12， 因此 ，直线 AB 的方程为 y ＝±21（x ＋2） ， 椭圆中的取值范围问题 教材分析 高中数学选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》2.2《椭圆》 椭圆是一种重要的圆锥曲线，是高考的必考内容.椭圆的定义，标准方程和几何性质是高考重点考查的内容,本次课主要学习椭圆离心率的取值范围问题. 教学目标： 1、通过实例掌握构建不等式的基本方法； 2、掌握求取值范围问题的基本解题策略； 3、培养学生计算能力，锻炼学生的意志品质. 教学重难点：构建不等式的基本方法. 计划课时：一课时 教学设想：前三个例题的选取，让学生掌握圆锥曲线中离心率的取值范围问题，构建不等式 的基本方法技巧.最后一题，旨在渗透函数思想,借助函数，来寻找不等式，从而达到解题目的. 教学过程： 一、典型例题，掌握方法 例1：选题意图：利用三角形中的公理构建不等式 设21F F ，分别是椭圆()012222>>=+b a b y a x 的左、右焦点，若在直线c a x 2 =上存在点P ， 使线段1PF 的中垂线过点2F ,求椭圆离心率e 的取值范围. 引导学生分析：本题核心条件：条件线段1PF 的中垂线过点2F ，这里就涉及到图形的几何意义：中垂线的性质的运用.21PF PF =,这是等式，但由于P 的移动，是问题的本质，所以归根到直角三角形H PF 2中. 提问：直角三角形H PF 2中，我们会寻找什么不等式呢？ 这样就很自然利用到三角形中的公理：斜边大于直角边，从而得到（不）等式组 M F PF F F 2221≥=，即c c a c -≥22，从而解出离心率 教师规范书写解题过程. 同时对于例2，在学生由 ,2 e d PF =得到e PF PF =21后，引导学生再结合椭圆第一定 义，就可以找到21,PF PF 关于离心率e 或a 、b 、c 的表达式， 提问：那么再利用例1中的方法：我们又可以怎样利用三角形中的公理呢？ c PF PF 212≤-，便可求解. 提问：如果出现在双曲线的模型中，我们又该如何求解呢？ 例2：选题意图：利用椭圆自身范围构建不等式 设21F F ，分别是椭圆()0122 22>>=+b a b y a x 的左、右焦点，P 是椭圆上的点，且P 到右 准线的距离为d ，若12 2 PF d PF ?=,求椭圆离心率e 的取值范围. 由学生分析：利用主干条件12 2PF d PF ?=，结合我们熟悉的椭圆第二定义， ,2 e d PF =所以得到e PF PF =21，根据),(00y x P 在椭圆上，从而表示出,01ex a PF +=02ex a PF -=，最终由0x 的范围[)0,a -，得到关于离心率e 或a 、 b 、 c 的不等式. （学生演版） 例3：选题意图：利用函数关系构建不等式 已知椭圆：()0122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点分别为21F F 、,斜率为k 的直线l 过左焦点 H 专题30 圆锥曲线中的最值问题 【考情分析】 与圆锥曲线有关的最值和范围问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。 江苏高考试题结构平稳，题量均匀．每份试卷解析几何基本上是1道小题和1道大题，平均分值19分，实际情况与理论权重基本吻合；涉及知识点广．虽然解析几何的题量不多，分值仅占总分的13%，但涉及到的知识点分布较广，覆盖面较大；注重与其他内容的交汇。圆锥曲线中的最值问题，范围问题都是考查学生综合能力的载体．俗话说：他山之石可以攻玉．在研究这几年外省新课程卷解析几何试题时，就很有启发性．比如2010年安徽卷理科19题，该题入题口宽，既可用传统的联立直线与曲线，从方程的角度解决，也可利用点在曲线上的本质，用整体运算、对称运算的方法求解．再比如2011年上海卷理科23题，主要涉及到中学最常见的几个轨迹，通过定义点到线段的距离这一新概念设置了三个问题，特别是第三问，呈现给学生三个选择，学生可根据自已的实际情况选择答题，当然不同层次的问题，评分也不一样，体现让不同的学生在数学上得到不同的发展 【备考策略】 与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系； （2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围； （3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。 （4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；【激活思维】 1．已知双曲线122 22=-b y a x (a >0,b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲 线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是[2,)+∞ 2． P 是双曲线 22 1916 x y -=的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM|－|PN |的最大值为7 3．抛物线y=-x 2 上的点到直线4x +3y -8=0距离的最小值是 43 4．已知抛物线y 2 =4x ,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12 +y 2 2 的最小值是 32 . 5．已知点M (-2，0)，N (2,0)，动点P 满足条件||||2PM PN -=记动点P 的轨迹为W . （Ⅰ）求W 的方程； （Ⅱ）若A ，B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ?u u u r u u u r 的最小值. 解：（Ⅰ）依题意，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支， 所求方程为：22 x y 122 －＝ （x >0） （Ⅱ）当直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 的方程为x ＝x 0， 此时A （x 02 x 2－），B （x 020 x 2－，OA OB ?u u u r u u u r ＝2 微专题24 椭圆中与面积有关的取值范围问题 范围问题类似于函数的值域，解析几何中几何量的范围问题，需要选择合适的变量构 例题：如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－1，0)，左准线方程为x ＝－2. (1)求椭圆C 的标准方程； (2)若A ，B 两点满足OA ⊥OB (O 为坐标原点)，求△AOB 面积的取值范围． 变式1在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 2 2 ＋y 2＝1，点A 是椭圆上异于长轴端 点的任一点，F为椭圆的右焦点，直线AF与椭圆交于B点，直线AO与椭圆交于C点，求△ABC面积的最大值． 变式2设椭圆E：x2 16＋y2 4＝1，P为椭圆C： x2 4＋y 2＝1上任意一点，过点P的直线y＝ kx＋m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q. (1)求OQ OP的值；(2)求△ABQ面积的最大值． 串讲1如图，已知椭圆C ：x 2 2＋y 2＝1，设A 1，A 2分别为椭圆C 的左、右顶点，S 为直 线x ＝22上一动点(不在x 轴上)，直线A 1S 交椭圆C 于点M ，直线A 2S 交椭圆于点N ，设S 1，S 2分别为△A 1SA 2，△MSN 的面积，求S 1 S 2 的最大值． 串讲2已知点A(0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为3 2，F 是椭圆E 的右 焦点，直线AF 的斜率为23 3 ，O 为坐标原点． (1)求E 的方程； (2)设过点A 的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程． 椭圆中的最值问题 邢志平 本文提供了解决椭圆中最值问题的三个方向：几何化、代数化、三角化，这三个方向在解决其它圆锥曲线中最值问题时也可用。 1. 几何化方向 画出图形，利用几何图形的性质按几何思路借助解析方法求解。 例1. 已知点、B（2，0），在椭圆上求一点P，使|AP|+2|BP|最小，则P点坐标为___________。 解根据题意，知B为椭圆的右焦点，A为椭圆内一点。 因为， 所以。 由椭圆第二定义，知， 即， 所以， 这样，问题就转化为求一点P到A点及L的距离和的最小值。 过A作AN⊥L于N，交椭圆于P点，P即为所求。所以 P点坐标为。 例2. 已知椭圆上一动点P，与圆上一动点Q，及圆 上一动点R，求|PQ|+|PR|的最大值。 解如图1，连结PF 1、PF 2 及F 1 R、F 2 Q，所以得到△PRF 1 及△PQF 2 ，根据题意可知， 圆心恰好为椭圆的两个焦点。 在三角形中 |PR|<|PF 1|+|F 1 R|， |RQ|<|PF 2|+|F 2 Q|， 所以， 即。 当P、F 1、R与P、F 2 、Q都共线时， ， 所以 |PQ|+|PR|的最大值是6。 在问题转化过程中常利用椭圆的两个定义。 2. 代数化方向 先求出变量的函数表达式（或目标函数）然后用适当的代数方法（如：配方、均值不等式、函数单调性等）加以解决。 例3. 若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的最大面积为1，则此椭圆的长轴长的最小值为___________。 解在椭圆上取一点P（x，y），。 当P点在短轴顶点时，|y|最大为b， 所以。 又， 所以。 先利用面积与高的函数关系式，确定面积的最大值，再找出长轴长与已知等式函数关系式利用不等式求最值。 例4. 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率，已知点P（0， ）到这个椭圆上的点最远距离为，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P 的距离等于的点的坐标。 分析本题是一道“动中求静”的综合问题，必须用函数观点分析。 解从可推出a=2b，于是可设椭圆方程为 椭圆中有关的取值范围问题 【目标导航】 求解最值，可直接求导. 但是解析几何中的最值，直接求导，暴力求解最值的较少，更多的是化简函数表达式，根据结构采用基本不等式(无法取等的时候就求导来解决)来求解最终的最值(或者值域)，必然要有定义域，所以寻找函数的定义域是非常重要的，而解析几何中直线和曲线联立(曲直联立)以后的关于x(或者y)的一元二次方程有解，判别式就是很重要的一个点，也就是定义域的一个重要来源，有些题目甚至是唯一来源． 与线段有关的最值问题关键是建立关于线段的目标函数，然后运用基本不等式或者函数有关的问题，运用基本不等式或者函数求解。线段的长度可以通过两点间的距离或者利用相交弦长公式进行求解。 与向量有关的最值问题关键就是表示出点坐标，通过数量积转化为函数问题，然后运用基本不等式或者求导研究最值。 与面积有关的最值问题通常建立起面积的目标函数，可以通过公式 B ac C ab sh s sin 2 1sin 2121===求解。然后通过基本不等式或者求导研究函数的最值问题。 【例题导读】 例1、在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32 ，且过点????3，12，点P 在第四象限， A 为左顶点， B 为上顶点， PA 交y 轴于点C ，PB 交x 轴于点D. (1) 求椭圆 C 的标准方程； (2) 求 △PCD 面积的最大值． 例2、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22 ，且右焦点F 到左准线的距离为6 2. (1) 求椭圆C 的标准方程； (2) 设A 为椭圆C 的左顶点，P 为椭圆C 上位于x 轴上方的点，直线P A 交y 轴于点M ，过点F 作MF 的垂线，交y 轴于点N . ①当直线P A 的斜率为12 时，求△FMN 的外接圆的方程； ②设直线AN 交椭圆C 于另一点Q ，求△APQ 的面积的最大值． 例3、如图所示，椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22 ，右准线方程为x ＝4，过点P(0，4)作关于y 轴对称的两条直线l 1，l 2，且l 1与椭圆交于不同两点A ，B ，l 2与椭圆交于不同两点D ，C. (1) 求椭圆M 的方程； (2) 证明：直线AC 与直线BD 交于点Q(0，1)； (3) 求线段AC 长的取值范围． 椭 圆 一、直线与椭圆问题的常规解题方法: 1.设直线与方程；（提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y=kx+b 与x=my+n 的区别） 2.设交点坐标；（提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”） 3.联立方程组； 4.消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单） 5.根据条件重转化；常有以下类型： ①“以弦AB 为直径的圆过点0”（提醒：需讨论K 是否存在） ②“点在圆内、圆上、圆外问题” ?“直角、锐角、钝角问题” ?“向量的数量积大于、等于、小于0问题”?12120x x y y +>等； ③“等角、角平分、角互补问题” ?斜率关系（120K K +=或12K K =）； ④“共线问题” （如：AQ QB λ= ?数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）； （如：A 、O 、B 三点共线?直线OA 与OB 斜率相等）； ⑤“点、线对称问题” ?坐标与斜率关系； ⑥“弦长、面积问题”?转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式的合理选择）； 6.化简与计算； 7.细节问题不忽略； ①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0. 二、基本解题思想： 1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。 4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明， 5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数 椭圆最值问题常考题型分析 在遇到椭圆中线段或三角形周长最值问题时用函数思想有时很复杂，解题时常利用椭圆上点的性质（122MF MF a +=）及三角形三边关系. ◆典例剖析 例1、已知点)3,2(-P ，2F 为椭圆116 252 2=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上移动，求2MF MP +的最大值和最小 值。 解：设椭圆左焦点为1F ，∴︱MP ︱+︱MF 2︱=︱MP ︱+ a 2-︱MF 1︱， 连接PF 1，延长PF 1交椭圆于点M 1，延长F 1P 交椭圆于点M 2由三角形三边关系知–︱PF 1︱≤︱MP ︱-︱MF 1︱≤︱PF 1︱当且仅当M 与M 1重合时取右等号、M 与M 2重合时取左等号。 ∵a 2=10, ︱PF 1︱=2所以（︱MP ︱+︱MF 2︱）max =12, （︱MP ︱+︱MF 2︱）min =8 结论：设椭圆122 22=+b y a x 的左右焦点分别为F 1、F 2， P(x 0，y 0)为椭圆内一点，M(x ，y)为椭圆上任意一点，则 ︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值为a 2+︱PF 1︱，最小值为a 2–︱PF 1︱。 例2、已知点P(-2,6），F 2为椭圆116 252 2=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上移动，求︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值和最小值。 解：由题可知点P 在椭圆外，PF 2交椭圆于M ，此点使︱MP ︱+︱MF 2︱值最小（求最大值方法同例1）。 ︱MP ︱+︱MF 2︱=︱MP ︱+a 2-︱MF 1︱连接PF 1并延长交椭圆于点M 1， 则M 在M 1处时︱MP ︱-︱MF 1︱取最大值︱PF 1︱。 ∴︱MP ︱+︱MF 2︱最大值是10+37，最小值是41。 结论：设椭圆122 22=+b y a x 的左右焦点分别为F 1、F 2, P(x 0,y 0)为椭圆外一点，M(x,y)为椭圆上任意一点，则 ︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值为a 2+︱PF 1︱，最小值为PF 2。 ◆针对训练 练1、已知1F 是椭圆15 92 2=+y x 的左焦点，P 是椭圆上的动点，点)1,1(A ，则1PF PA +的最小值是 练2、椭圆 13 422=+y x 的左焦点为F ，直线m x =与椭圆交于A ，B 两点，求FAB ?周长的最大值. 椭圆中最值问题 1.已知椭圆的焦点坐标是12(10)(10)F F --，，，过点2F 垂直与长轴的直线交椭圆与P Q ，两 点，且||3PQ =. （1）求椭圆的方程 （2）过2F 的直线与椭圆交与不同的两点M N ，，则1F MN ?的内切圆面积是否存在最大值？若存在，则求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）设椭圆的方程是22 221(0)x y a b a b +=>>， 由交点的坐标得：1c =，---------------（1分） 由||3PQ =，可得2 23b a =----------------（2分） 解得23a b ==，---------------（3分） 故椭圆的方程是22 143 x y +=-----------（4分） （2）设1122()N()M x y x y ，，，，不妨设1200y y ><， 设1F MN ?的内切圆半径是R ，则1F MN ?的周长是48a =， 1111 ()42 F MN S MN F M F N R R ?=++=， 因此1F MN S ?最大，R 就最大-----------------------（6分） 11212121 ()2 F MN S F F y y y y ?= -=- 由题知，直线l 的斜率不为0，可设直线l 的方程为1x my =+， 由22114 3x my x y =+???+=??得，22(34)690m y my ++-=，--------------（8分） 解得221222361361 3434 m m m m y y m m -++-++==++， 则212122 1121()234 AMN m S AB y y y y m ?+=-=-=+-----------------（9分） 与椭圆有关的最值问题的例析 例：设椭圆E 的中心在坐标原点O ，焦点在x 3 ，过点(1,0)C -的直线交 椭圆E 于两点A 、B ，满足2CA BC = 。求当A O B ?面积达到最大值时直线l 和椭圆E 的方 程。 解：3 e = 得2223 b a = ，又直线过点(1,0)C -，设椭圆方程为22 23(0),x y t t +=>直 线方程为1my x =+。 由2223,1, x y t my x ?+=?=+?得22(23)420.m y m y t +-+-= 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12122 2 42,.2323m t y y y y m m -+==++ 2CA BC = ，122.y y ∴=-则122284,.23 23 m m y y m m -= = ++ 122 166 32 23 2 2AO B m S y y m m m ?∴=-== ≤ ++ 当且仅当32m m = ，即2 m =± 时，A O B ?面积取得最大值，此时直线l 的方程为 102 x y + +=或10.2 x y -+= 由2 32 m = 代入122 223 t y y m -= +得10t =，∴椭圆方程为22 2310.x y += 例：已知椭圆22 2 1(1)x y a a +=>，直线l 过点(,0)A a -，(,)(0)B a ta t >交椭圆于M ，直线 O M 交椭圆于N 。 （1）用,a t 表示A M N ?的面积.S （2）若[]1,2t ∈，a 为定值，求S 的最大值。 解：（1）设直线l 的方程为(),2 t y x a = +代入 222 1x y a +=得222 (4)40a t y aty +-=，解得 0y =或22 4.4 at y a t =+ 微专题24 例题 答案：(1)x 22＋y 2 ＝1； (2)S ∈]2 2 , 32[. 解析：(1)由题设知e ＝22，a 2＝2c 2＝b 2＋c 2，即a 2＝2b 2，将? ???1，－22代入椭圆C 的方程得到12b 2＋12b 2＝1，则 b 2＝1，a 2＝2，所以椭圆 C ：x 22 ＋y 2 ＝1. (2)当直线OA ，OB 分别与坐标轴重合时，易知△AOB 的面积S ＝ 2 2 .当直线OA ，OB 的斜率均存在且不为零时，设OA ：y ＝kx ，OB ：y ＝－1 k x.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，将y ＝kx 代入椭圆C 得到x 2＋2k 2x 2＝2， 所以x 1 2＝ 22k 2＋1，y 12＝2k 22k 2＋1，同理x 22＝2k 22＋k 2，y 22＝22＋k 2，△AOB 的面积S ＝OA·OB 2＝ （k 2＋1）2 （2k 2＋1）（k 2＋2）. 令t ＝k 2＋1∈[1，＋∞)，S ＝ t 2 （2t －1）（t ＋1） ＝ 12＋1t －1t 2 ，令u ＝1 t ∈(0，1)，则S ＝1 －u 2＋u ＋2 ＝ 1 －????u －122 ＋ 94 ∈]22,32[. 综上所述，S ∈]2 2 , 32[. 变式联想 变式1 答案： 2. 解析：①当直线AB 的斜率不存在时，不妨取A )22,1(，B )22,1(-，则C )2 2 ,1(--. 此时S △ABC ＝1 2 ×2×2＝2； ②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 方程为y ＝k(x －1)，联立? ????y ＝k （x －1）， x 2＋2y 2＝2. 化简得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0， 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则有 Δ＝16k 4－4(2k 2＋1)(2k 2－2)＝8(1＋k 2)，x 1，2＝4k 2±Δ 2（1＋2k 2） ，与椭圆有关的最值问题
椭圆中的最值问题与定点、定值问题
2018届高中数学专题05解密与椭圆双曲线抛物线概念有关的最值问题特色训练新人教A版选修2_1
押题第37道 椭圆中与面积有关的取值范围问题(原卷版)
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