“图解法解二元函数的最值问题”
“图解法解二元函数的最值问题”
教学课例
昌平区第一中学
回春荣
“图解法解二元函数的最值问题”教学课例
一、设计意图：
在新课程背景下的教学中，课堂上我们应是以“问”的方式来启发学生深思，以“变”的方式诱导学生灵活善变，使整堂课有张有弛，真正突出了学生是教学活动的主体的原则。本节内容是在学习了不等式、直线的方程的基础上，利用不等式和直线的方程有关知识展开的，它是对二元函数的深化和再认识、再理解，是直线、圆和不等式的综合运用，同时它又对理解下一章“圆锥曲线”的相关内容有着很好的帮助作用，所以这一部分内容起到了一个巩固旧知识，熟练方法，理解新知识的承上启下的作用。图解法在解决函数求最值的问题上有着广泛的应用，这节课为学生提供了广阔的思维空间，对培养学生自主探索、合作研究、主动发现问题、分析问题，创造性地解决问题的能力有着丰富的素材。教学上通过设置问题情境、多媒体展示，学生动手操作，使学生在“做中学”，学生在实际操作中，既发展了学生的个性潜能，又培养了他们的合作精神。
二、本课教学目标
1、知识与技能:通过识图、画图，学会解决有约束条件的二元函数最值问题的处理方法——图解法。
2、过程与方法:经历约束条件为二元一次不等式组，目标函数为具有截距、斜率、距离等几何意义的二元函数的最值问题的探究过程，提炼出解决这类问题的方法——以图定位，以算定量。
3、情感态度与价值观:通过对有约束条件的二元函数的最值问题的探究，培养学生科学严谨的治学态度，勇于探索、敢于创新的学习精神，同时感受合作交流的快乐。
三、教学过程与教学资源设计
（一）、教学内容：图解法解二元函数的最值问题
（二）、教学设计流程图：
（三）、教学过程：
1、回顾知识，实例引入
例题1、（多媒体电脑展示）
某校伙食以面粉和大米为主食，面食每100 g含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0.5元，米食每100 g含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0.4元，学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭的主食至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，且每盒盒饭的面食和米食均不超过300g。问应如何配制盒饭中的主食，才能既科学又使费用最少?
（设计意图：通过留预习学案，让学生利用学过的知识自主探究一个简单的二元函数的最值问题。课堂上交流例１的解法，一方面复习线性规划的知识，另一方面为后面的二元函数求最值打下基础，做好铺垫。）
（1）学生分析：根据题目中所给的条件找到线性约束条件并求得最值。把
z=0.5x+0.4y稍作变形为
55
-
42
y x Z
=+，做出一组平行直线，所以Z的变化体现
在纵截距的变化。作一条斜率为
5
-
4
的直线，平移直线且保证直线与不等式组表
示的区域有交点，发现当直线过A点时，纵截距最小，即Z值最小。所以求出点A坐标，代入目标函数即可。
（2）展示：设每盒盒饭需要面食x（百克），米食y（百克），所需费用为z=0.5x+0.4y，依据题意列出约束条件的表格：
依据图表可知x、y满足的约束条件是
638
4710
03
03
x y
x y
x
y
+≥
?
?+≥
?
?
≤≤
?
?≤≤
?
，目标函数为z=0.5x+0.4y．
作出可行域及相应的目标函数图形：
由6384710x y x y +=??+=?，可知A （1315，1415），当直
线55y=-42x z +过点A 时，纵截距5
2
Z 最小，即
Z 小。故每盒盒饭为面食1315百克，米食14
15
百克
时既科学费用121
150
又最少。
图1
教师引导：在解题中我们采用的是平移定位.此题中所求的函数最值中含有两个变量,我们不妨称之为二元函数.这就是我们本节课所研究的重点——图解法解二元函数的最值问题。
2、探究问题，提高认识
教师引导：如果目标函数发生变化了，我们的解决方法还是通过平移定位吗？请同学们观察这道题。（幻灯片展示）
引申1:根据例题1中的所列出的约束条件，试求11
y x z ++=
的最大值及最小值。
（设计意图：根据目标函数的改变,培养学生图形语言和符号语言之间的转化能力以及概括能力。） （1）教师巡视并指导学生；
引申1学生解答:（1）思考并展示解答 解：根据题意做出可行域：
图２－１图２－２
依据z所具有的几何意义，表示直线(1)1
y z x
=+-的斜率. 根据图形可以得到z 在C(3,0)处取得最小值14；在A(0,3)处取得最大值4。
教师（板书）
１、定点(1,1)
x y连线的斜率。
--和可行域内一点(,)
２、z在C(3,0)处取得最小值14；在A(0,3)处取得最大值4。
实质：目标函数变形为(1)1
=+-，表示过定点的直线系，但不包括定点．过
y z x
定点的直线旋转定位。
（2）根据学生回答教师质疑：
（设计意图：通过质疑、交流、深化理解学生存在的问题,培养学生探索事物本质属性的精神。）
问题１如何作出目标函数?
问题２通过什么样的方法来定位呢？
问题３为什么点A和点C是最优解呢?
问题４定点改变了,目标函数取得最值时,点A和点C还是最优解吗?
学生：（2）交流探讨，深化理解
1、作定点(1,1)
x y连线。
--和可行域内一点(,)
2、通过定点的直线采用旋转定位。
3、因过定点的直线在与可行域内任意点连线的倾斜角均为锐角，所以为点A和点C是最优解。
4、当定点改变后，目标函数再次取得最值时，最优解会改变，例如过点(4,1)
-与
可行域内任意一点连线的斜率取得最值就不是在点A 和点C 处。
教师引导：如果我们的目标函数再改变一下呢？（幻灯片展示）请同学们观察这道题。
引申２:在例题1中的约束条件下，试求22(1)z x y =+-的最小值。
（设计意图：再次改变目标函数，通过与前面解过的引申１对比,加强对图解法解二元函数最值问题的理解．体现本节课的重点及难点．同时锻炼学生总结问题的能力。通过让学生正确的表述出约束条件，培养学生文字语言与符号语言的相互转换能力。通过作出约束条件及目标函数图形，培养学生符号语言和图形语言的相互转换能力。）
（1）教师巡视并指导学生； 引申2学生解答 （１）思考并展示解答
解：根据题意做出可行域及所求目标函数的图形：
图３－１ 图３－２
根据图形可以得到(0,1)为半径的圆在与直线x y +=６３８相切时处取得最小值利用圆心到直线的距离等于半径,可求出M 的最小值。
∴22(1)z x y =+-的最小值为：５９
（2）根据学生回答教师质疑： 问题１ 如何作出目标函数?
问题２ 通过什么样的方法来定位呢？
问题３ 为什么当与直线638x y +=相切的时候最小呢？（动画演示） 反思１ 能否让目标函数取得最小值时是与直线4710x y +=相切呢？
反思２ 能否让目标函数取得最小值时不是与边界直线相切呢？ 反思３ 请同学们观察这两道题，看看他们有什么样的共同之处？ 学生：（2）交流探讨，深化理解 1、能，例如求22(2)z x y =-+的最值。 2、能，例如求22(4)(4)z x y =-+-的最值。 3、均是在约束条件下求二元函数最值问题。
教师引导：求二元函数最值问题时我们一般采用图解法解决。如果题目中没有给约束条件呢？我们怎么解决这类问题?请看这道题。
3、加强认识，巩固知识
例题２ 已知关于x 的方程220x ax b ++=在（0，1）和（1，2）内各有一个实数根，求
2
1
b a --的取值范围。 （设计意图：掌握线性约束条件及其变式，复习解二元函数最值的基本方法，培养学生的反思能力,注重对图解法的理解。） （1）教师巡视并指导学生； 学生展示例题2：
解：作出一元二元函数的图像， 根据一元二次方
程根的分布可有(0)0
(1)0(2)0f f f >??
?>?
，
即a 、b 满足02102240b a b a b >??
++?
，
图4－1 求2
1
b z a -=
-的取值范围.
画出可行域及目标函数的图形.
依据图形可得到21b a --的取值范围为1,14??
???
图4－2
（2）根据学生回答教师质疑： 问题1 约束条件是如何表述出来的？ 问题2 建立坐标系如何确定轴？
问题3 做可行域时需要注意哪些因素呢？ 学生：（2）交流探讨，深化理解 1、利用一元二次函数根的分布得到的． 2、对照所求函数和直线的斜率的形式确定轴． 3、作图是要注意约束条件，注意边界能否取到．
4、归纳总结，巩固提高
知识总结：
１、根据约束条件作出可行域（不一定是线性的）。
２、观察挖掘目标函数或与目标函数有关的式子的几何意义。 ３、用几何方法解代数问题。
数学思想：解有约束条件的二元函数的最值问题的本质是图解法。线性约束条件下求二元函数的最值我们研究了，约束条件也可以变成我们熟悉的用两个变量刻画的其它的几何图形。
问题１、通过两个变量的刻画得到区域还有哪些？
（设计意图：掌握线性约束条件及其变式，复习解二元函数最值的基本方法，培养学生的反思能力,注重对图解法的理解。） 回答：圆、椭圆、抛物线等。
思考：如果y x 、满足的约束条件为22(x-2)(1)2y ++≤ （１）求11
y x z ++=
的最大值及最小值。
（２）求22(1)z x y =+-的最小值及最大值。
学生获得问题的解决途径后，让学生展示他们的成果。 解：（可行域及目标函数的图形略）
（１）1
1
y x z ++=
的最大值为
7： 最小值为－7
（２）22(1)z x y =+-最小值为：2
四、教学反思
成功之处：
1、本节课是以问题引导教学活动的开展，引导学生主动的去发现并探究。通过实践证明问题的设置比较合理，符合学生的思维发展顺序，能够引导学生层层深入的探究问题。
2、在探究过程中采取以小组为单位讨论研究，开展合作学习，并选派代表陈述探究过程、结果，以及方法的补充，使每一个同学都参入到了课堂中来，拓宽了思路，开阔了视野，效果很好。
3、 整节课自然流畅，学生精神饱满，教师富有激情，充分调动了学生的积极性和主动性，研究、学习、探索的过程，多侧面、多角度地展示了学生的思维活动.
4、多媒体课件的适时、巧妙地运用解决了学生思维的障碍，突破了本节课的难点。激发了学生探究的热情与积极性，直到下课后学生的探究活动仍在继续.
5、能够精心设计教学过程，自然引入新课.通过精心设计问题组使知识内容层层递进，环环相扣. 不足之处：
本节课设计的内容略多，但探究例题2的求解过程中节奏稍慢，致使归纳小结稍显仓促。所以考虑应将前面的问题稍作调整，并稍微加快些节奏，时间的分配可能就会合适了。
五、点评：
“图解法解二元函数的最值问题”是一节启发、探索研究的课，回春荣老
师教学在教学的设计中目标合理，立足大纲，基于教材，但不是照本宣科。回春荣老师为学生创设了自然、平等的教学氛围，使学生敢想、敢说，整个课堂充满
活力.
首先，联系学生已有知识，对二元函数的判定从线性规划的角度引入并加以定义研究。教师提出问题能否改变的研究，激起学生的学习兴趣。其次，教师首先给出了学生熟悉的二元函数的一次形式，通过图形猜想位置关系，然后证明，这样学生很容易进入课堂的研究氛围。教师设计了让学生找与已知二元函数相类似的函数形式，从而学生发现问题解决过程中的方法是相似的关系。而这一方法对一般二元函数最值问题的求解的是否有同样的效果呢？学生分小组进行研究。教师的活动是启发学生的思维，用多种方法论证，概括方法和规律，进行学法指导。第二阶段体现了数学中的类比，学生完全自己探究了二元函数的最值问题用图解法，体现了学生学习过程的发现、探索、研究的思维过程，使学生在学会知识的过程中学会学习。本节课在数学思维活动的体现、数学思想方法、学法指导是突出体现了数学学科特色。在能力培养上有很好的效果。在教学过程中，渗透解析几何的思想，注重数形结合、分类讨论、类比的思想方法。并渗透了观察、猜想、验证、证明的推理方法。学生能够初步使用这一推理方法探究两直线垂直的充要条件。信息技术手段的使用是恰当有效的。
总之，这节课体现了新课程理念，设学生在获得知识的同时，锻炼了思维，提高了学习能力。
求多元函数极限的方法
求多元函数极限的方法 【摘要】对于大部分学生，尤其是初接触高等数学的同学而言,极限是一道很难过的关,因为那种“无限逼近”却又“无法达到”的抽象对于刚刚结束中学数学学习,习惯于具体图形分析、函数计算的同学来说,在思维上有了更高的要求。而对于高等数学来讲，极限又是相当重要的基础,不管是函数连续性的验证,亦或是单侧导数的求解，极限都是很重要的一个环节,它就相当于一条线惯于始终,所以说学好极限,是学好高等数学的一个起点。【1】 【关键词】多元函数;求极限多种方法；求极限常出现的错误 【引言】之前学过如连续、导数微分和积分等都要用极和秋极限的方法,例如：利用定义来求极限、用柯西收敛准则、利用两边夹定理等等。这些方法虽然简便易于理解和掌握,但对 于一些特殊的极限题目很难解决，例如：设0a >，10a >，2 12(3) 3n n n n a a a a a a ++=+求lim n n a →∞的问题题目尽给出了第n 项和第n +１项的关系若用利用定义来求极限、用柯西收敛准则 1 ! lim ! n k n k n =→∞ ∑及求一些复合函数极限的问题本文将探讨一些特殊的求极限的方法，对某些用常 见方法不易求解的题目运用此方法可以容易地解出。【2】本文将从多个方面，通过利用极限的性质及相关概念和几个典型例题对常用求极限的方法进行解析，并列出容易出错的地方。 1 利用极限定义的思想观察函数的极限 例1、讨论当x → 12时函数y =21 x x +的极限。我们列出了当x →12 时某些函数值,考察 从列表可以看出,当x 趋向于2时，y 就趋向于0.7,即x →2 时,y =21 x x +的极限是0．75。 2、利用四则运算法则求极限 例2(1)求2 3 32 1 lim(4)x x x →-+ （2）221 lim 21 x x x →-+ 解(2）2 21lim 21x x x →-+=2 2 2 lim(1)3lim(21)5 x x x x →→-=+ 3、利用无穷小量与无穷大量的关系及无穷小量的性质求极限 例3求0 1 lim sin x x x →
一、多元函数、极限与连续解读
一、多元函数、极限与连续 ㈠二元函数 1 ．二元函数的定义：设 D 是平面上的一个点集，如果对于每个点 P （x，y）∈ D ，变量按照 一定法则总有确定的值与它对应，则称是变量 x 、y 的二元函数（或点 P 的函数），记为 （或），点集 D 为该函数的定义域， x 、y 为自 变量，为因变量，数集为该函数值域。由此也可定义三元函数以及三元以上的函数。二元函数的图形通常是 一张曲面。例如是球心在原点，半径为 1 的上半球面。 ㈡二元函数的极限 ⒈设函数 f（x,y）在开区域（或闭区域） D 内有定义， 是 D 的内点或边界点，如果对于任意给定的正数，总存在正 数，使得对于适合不等式的一切点 ，都有成立，则称常数 A 为函数f（x,y）当 时的极限，记作或, 这里 。为了区别一元函数的极限，我们把二元函数的极限叫做二重极限。
⒉注意：二重极限存在是指沿任意路径趋于，函数 都无限接近 A 。因此，如果沿某一特殊路径，例如沿着一 条定直线或定曲线趋于时，即使函数无限接近于某一确定值，我们也不能由此判定函数的极限存在。 ㈢多元函数的连续性 1 ．定义：设函数 f（x，y）在开区间（或闭区间） D 内有定 义，是 D 的内点或边界点且。如果 ，则称函数 f（x，y）在点连续。如果函数 f（x，y）在开区间（或闭区间） D 内的每一点连续，那么就称函数 f（x，y）在 D 内连续，或者称 f（x，y）是 D 内的连续函数。 2 ．性质 ⑴一切多元初等函数在其定义域内是连续的； ⑵在有界闭区域 D 上的多元连续函数，在 D 上一定有最大值和最小值； ⑶在有界闭区域 D 上的多元连续函数，如果在 D 上取两个不同的函数值，则它在 D 上取得介于这两
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高三《一题多解 一题多变》题目 一题多解 一题多变（一） 原题：482++=x mx x f )( 的定义域为R ，求m 的取值范围 解：由题意0482≥++x mx 在R 上恒成立 0>∴m 且Δ0≤，得4≥m 变1：4823++=x mx x f log )(的定义域为R ，求m 的取值范围 解：由题意0482>++x mx 在R 上恒成立 0>∴m 且Δ0<，得4>m 变2：)(log )(4823++=x mx x f 的值域为R ，求m 的取值范围 解：令=t 482++x mx ，则要求t 能取到所有大于0的实数， ∴ 当0=m 时，t 能取到所有大于0的实数 当0≠m 时，0>m 且Δ0≥4≤0?m < 40≤≤∴m 变3：182 23++=x n x mx x f log )(的定义域为R,值域为[]20,，求m,n 的值 解：由题意，令[]911 82 2,∈+++=x n x mx y ，得0-8--2=+n y x x m y ）（ m y ≠时，Δ0≥016-)(-2≤++?mn y n m y - ∴ 1和9时0162=++-)(-mn y n m y 的两个根 ∴ 5==n m ∴ 当m y =时，08 ==m n x - R x ∈ ，也符合题意 ∴5==n m 一 题 多 解- 解不等式523<<3-x 解法一：根据绝对值的定义，进行分类讨论求解
（1）当03-≥x 2时，不等式可化为53-<
求二元函数极限地几种方法
精彩文档 1.二元函数极限概念分析 定义1 设函数f 在2D R ?上有定义，0P 是D 的聚点，A 是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数ε，总存在某正数δ,使得00(;)P U P D δ∈时，都有 ()f P A ε-<, 则称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限，记0 lim ()P P P D f P A →∈=. 上述极限又称为二重极限. 2．二元函数极限的求法 2.1 利用二元函数的连续性 命题 若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续，则 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=. 例1 求2 (,)2f x y x xy =+ 在点(1,2)的极限. 解： 因为2 (,)2f x y x xy =+在点(1,2)处连续，所以 12 212 2lim (,) lim(2) 12125.x y x y f x y x xy →→→→=+=+??= 例2 求极限()()2 21,1,21 lim y x y x +→． 解： 因函数在()1,1点的邻域内连续，故可直接代入求极限，即 ()()221,1,21 lim y x y x +→=3 1．
精彩文档 2.2 利用恒等变形法 将二元函数进行恒等变形，例如分母或分子有理化等. 例3 求 00 x y →→ 解： 00 x y →→ 00 x y →→= 00 x y →→= 00 1. 4 x y →→==-例4 ()() 2 2 220,0,321 )31)(21(lim y x y x y x +-++→． 解： 原式()() ( ) ) () () ,0,02 211lim 231x y x y →+= ++ ()( 22 ,0,0lim x y →= + 11022 = +=．
(整理)二元函数极限的求法.
二元函数极限的求法 数学与统计学院、数学与应用数学、0701班，湖北，黄石，435002 1.引言 多元函数的极限在高等数学中非常重要，但由于多元函数的自变量多,因此对于判断其极限存在与否及其求法，比起一元函数的极限就显得比较困难.求极限和证明极限的方法很多，一般我们常用定义法，初等变形法，两边夹准则，阶的估计等.在这几种方法中，定义法是基础，但是比较繁琐,其他方法有的较易，有的较难，让人不知道从何下手.因此，我们有必要总结探讨出比较容易好的方法去求多元函数的极限.多元函数极限在现在的生活中也有很大的用处，比如工程计算方面.从以上来看，研究归纳总结多元函数极限的求法问题是有意义和必要的.本文主要研究二元函数极限的定义以及二元函数极限求解的几种方法，并以实例加以说明. 2.二元函数极限的定义 定义1 设E 是2R 的一个子集，R 是实数集,f 是一个规律，如果对E 中的每一点(,)x y ,通过规律f ,在R 中有唯一的一个u 与此对应,则称f 是定义在E 上的一个二元函数,它在点(,)x y 的函数值是u ,并记此值为(,)f x y ，即(,)u f x y =. 有时,二元函数可以用空间的一块曲面表示出来,这为研究问题提供了直观想象.例如，二元函数222y x R x --=就是一个上半球面，球心在原点，半径为R ，此函数定义域为满足关系式222R y x ≤+的x ,y 全体,即 }|),{(222R y x y x D ≤+=.又如,xy Z =是马鞍面. 知道多元函数的定义之后,在我们求多元函数极限之前我们必须知道多
元函数极限的定义. 定义2 设E 是2R 的一个开集，A 是一个常数，二元函数()(,)f M f x y =在点()000,M x y E ∈附近有定义．如果0>?ε,0>?δ,当()00,r M M δ<<时,有()f M A ε-<,就称A 是二元函数在0M 点的极限.记为()0 lim M M f M A →=或 ()()0f M A M M →→. 定义的等价叙述 1 ：设E 是2R 的一个开集,A 是一个常数,二元函数 ()(,)f M f x y =在点()000,M x y E ∈附近有定义．如果0>?ε，0>?δ，当()() 22 000x x y y δ< -+-<时，有(,)f x y A ε-<，就称A 是二元函数在0 M 点的极限。记为()0 lim M M f M A →=或()()0f M A M M →→. 定义的等价叙述2： 设E 是2R 的一个开集,A 是一个常数,二元函数 ()(,)f M f x y =在点()000,M x y E ∈附近有定义．如果0>?ε，0>?δ，当 000,0x x y y δδ<-<<-<且()()00,,x y x y ≠时， 有(,)f x y A ε-<，就称A 是二元函数在0M 点的极限.记为 ()0 l i m M M f M A →=或 ()()0f M A M M →→. 注：（1）和一元函数的情形一样，如果0 lim ()M M f M A →=,则当M 以任何 点列及任何方式趋于0M 时,()f M 的极限是A ；反之,M 以任何方式及任何点列趋于0M 时，()f M 的极限是A .但若M 在某一点列或沿某一曲线0M →时，()f M 的极限为A ，还不能肯定()f M 在0M 的极限是A . 二元函数的极限较之一元函数的极限而言，要复杂得多,特别是自变量的变化趋势，较之一元函数要复杂.
数学分析下——二元函数的极限课后习题
第二节 二元函数的极限 1、试求下列极限（包括非正常极限）： （1）(,)(0,0)lim x y x 2y 2x 2+y 2 ； （2）(,)(0,0)lim x y 1+x 2+y 2x 2+y 2 ； （3） (,)(0,0) lim x y x 2+y 21+x 2+y 2 -1 ； （4）(,)(0,0)lim x y xy+1 x 4+y 4 ； （5）(,) (1,2)lim x y 12x-y ； （6）(,)(0,0)lim x y (x+y)sin 1 x 2+y 2 ； （7）(,)(0,0)lim x y sin(x 2+y 2)x 2+y 2 x 2+y 2 . 2、讨论下列函数在点(0,0)的重极限与累次极限： （1）f(x,y)=y 2x 2+y 2 ； （2）f(x,y)=(x+y)sin 1x sin 1y ； （3）f(x,y)=x 2y 2x 2y 2+(x-y)2 ； （4）f(x,y)=x 3+y 3 x 2+y ； （5）f(x,y)=ysin 1x ； （6）f(x,y)=x 2y 2 x 3+y 3 ； （7）f(x,y)=e x -e y sinxy . 3、证明：若1 。 (a,b) lim （x,y ）f(x,y)存在且等于A ；2。 y 在b 的某邻域内，有 lim x a f(x,y)= (y)则 y b lim a lim x f(x,y)=A. 4、试应用ε—δ定义证明 (x,y)(0,0)lim x 2y x 2+y 2 =0. 5、叙述并证明：二元函数极限的唯一性定理、局部有界性定理与局部保号性定理. 6、试写出下列类型极限的精确定义： （1） (x,y) ( ,) lim f(x,y)=A ； （2） (x,y) (0, ) lim f(x,y)=A. 7、试求下列极限： （1） (x,y) ( , )lim x 2+y 2 x 4+y 4 ； （2）(x,y)(, ) lim (x 2+y 2)e -(x+y)；
高考三角函数一题多解(可编辑修改word版)
5 一道高考题的解析引发的深思 （2013 全国新课标 I 卷）理科 15，文科 16 题。 题目：设当 x = 时，函数 f (x ) = sin x - 2 c os x 取得最大值，则cos = 法一：直接使用辅助角公式 解： f (x ) = sin x - 2 cos x = 5( sin x - cos x ) ∴取cos = , sin = （三角替换，辅助角公式中由来） 即 f (x ) = 5 sin(x - ) x = 时，函数值最大 ∴sin(-) = 1 ，，即-= + 2k , k ∈ Z (找到与的关系） 2 所以cos = cos( 2 + + 2k ) = - sin = - 2 = - 5 此法少见的接触到了辅助角求值问题 法二：借用辅助角公式（避开辅助角） 解： f (x ) = 5 sin(x - ) （求最值） ∴ f (x )max = 当 x = 时，函数求得最大值 ∴ f ( ) = sin - 2 cos = 联立sin 2 + cos 2 = 1，解方程组 ∴消正弦得( 解得cos = - + 2 c os )2 + cos 2 = 1, 即5 c os 2 + 4 cos + 4 = 0 思考：此刻你在想什么呢？庆幸解唯一，还是当心解不唯一怎么处理呢？能不能一 开始就可以确定角的位置呢？ 观察函数，正弦应该取正，而余弦取负才可能有最大值，满足此要求的角在第二象限， 是不是免去你的后照顾之忧呢。 法三：利用? 判别式——————（尴尬！！！！汗颜！！！！！） 解：令 y = sin x - 2 cos x 则sin x = y + 2 cos x 消正弦 1 5 2 5 1 5 2 5 2 5 5 5 5 5 2 5 5
求二元函数极限的几种方法二元函数极限定理
1 / 15 1.二元函数极限概念分析 定义1 设函数f 在2D R ?上有定义,0P 是D 的聚点,A 是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数ε，总存在某正数δ,使得00(;)P U P D δ∈时,都有 ()f P A ε-<, 则称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限,记0 lim ()P P P D f P A →∈=. 上述极限又称为二重极限． ２.二元函数极限的求法 2.1 利用二元函数的连续性 命题 若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续，则 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=． 例１ 求2 (,)2f x y x xy =+ 在点(1,2)的极限. 解： 因为2 (,)2f x y x xy =+在点(1,2)处连续,所以 12 212 2lim (,) lim(2) 12125. x y x y f x y x xy →→→→=+=+??= 例2 求极限()()2 21,1,21 lim y x y x +→. 解: 因函数在()1,1点的邻域内连续,故可直接代入求极限,即 ()()221,1,21lim y x y x +→=31 .
2 / 15 2．2 利用恒等变形法 将二元函数进行恒等变形,例如分母或分子有理化等. 例3 求 00 x y →→ 解 : 00 x y →→ 00 x y →→= 0x y →→= 00 1. 4 x y →→==-例4 ()() 2 2 220,0,321 )31)(21(lim y x y x y x +-++→． 解 : 原式 ()() ( ) )() () ,0,02 211lim 231x y x y →= + ()( 22 ,0,0lim x y →= + 11022 = +=．
2020年全国卷1函数与导数压轴题一题多解,深度解析
全国卷1导数题一题多解，深度解析 1、2020年全国卷1理科数学第21题的解析 已知函数2 ()e x f x ax x =+-. （1）当a =1时，讨论f （x ）的单调性； （2）当x ≥0时，f （x ）≥ 12 x 3 +1，求a 的取值范围.。 2.2020年 全国卷1文科数学第20题的解析 已知函数()(2)x f x e a x =-+. （1）当1a =时，讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.。
3. 2020年新高考1卷（山东考卷）第21题 已知函数1 ()e ln ln x f x a x a -=-+ （1）.当a=e 时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围城的三角形的面积； （2）若()1f x ≥，求a 的取值范围。
1、2020年全国卷1理科数学第21题的解析 已知函数2 ()e x f x ax x =+-. （1）当a =1时，讨论f （x ）的单调性； （2）当x ≥0时，f （x ）≥12 x 3 +1，求a 的取值范围.。 解析： （1） 单调性，常规题，a 已知，求一个特定函数f(x)的单调性。若一次求导不见底，则可 二次或多次清仓，即二次求导或多次求导，然后逐层返回。通常二次求导的为多。 （2） 恒成立，提高题，在恒成立情况下，求参数的取值范围。常常是把恒成立化成最值 问题。由于这里的a 只在一项中出现，故可以优先考虑分离参数法。这里介绍了两种方法。 解： （1） 当a=1时， 2 ()e x f x x x =+-，定义域为R ， '()e 21x f x x =+-，易知f ’(x)是单调递增函数。 而f ’(0)=0， ∴ 当x ∈（-∞，0），f ’(x)＜0 当x ∈（0,+∞），f ’(x)＞0 ∴当x ∈（-∞，0），f(x)单调递减；当x ∈（0,+∞），f(x)单调递增。 （2） 解法一 ，分离参数法 当x ≥0时，31()12f x x ≥ + ，即231 ()e 12 x f x ax x x =+≥+- 当x=0时，上式恒成立，此时a ∈R 。 当x ＞0时，上式等价于 3 2 112x x x e a x ++-≥ 恒成立。
函数极限的求法和极限不存在的判断
万方数据
万方数据
二元函数极限的求法和极限不存在的判断 作者：唐新华 作者单位：山东政法学院 刊名： 科技信息 英文刊名：SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION 年，卷(期)：2009，""(18) 被引用次数：0次 参考文献(2条) 1.吴赣昌高等数学 2006 2.马顺业数学分析研究 1996 相似文献(10条) 1.期刊论文郭俊杰.GUO Jun-jie二元函数求极限的方法-衡水学院学报2006,8(1) 二元函数求极限是高数中的难点,现归纳了6种求二元函数极限的方法,分别为:直接证明、先估值后证明、利用二元函数的连续性、用无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量的结论、用重要极限limx>0sinx/x=1、用两边夹定理. 2.期刊论文王润桃关于二元函数的极限-株洲工学院学报2001,15(5) 讨论了二次极限与二重极限之间的区别与联系,二重极限不存在的判定方法以及齐次有理分式函数的极限存在的判别法. 3.期刊论文闫彦宗关于二元函数分析性质的讨论-宜宾学院学报2003,6(6) 讨论了二元函数的重极限与累次极限、可微性与偏导数的存在性及函数的连续性、重积分与累次积分之间的关系. 4.期刊论文王海燕二元函数求极限的方法-考试周刊2007,""(37) 二元函数的极限是在一元函数的基础上发展起来的,二者既有联系也有区别.本文通过部分例题的解析,以详细介绍二元函数极限的求法. 5.期刊论文王旭琴二重极限与累次极限的关系-南昌高专学报2010,25(2) 本文分析了二元函数的二重极限及累次极限的定义,并且讨论和总结了这两种极限之间的区别和内在联系. 6.期刊论文樊红云.张宏民.FAN Hong-yun.ZHANG Hong-min视一元函数为二元函数时的极限与连续-长春师范学院学报（自然科学版）2006,25(3) 本文讨论了视一元函数u=φ(x)为二元函数u=f(x,y)=φ(x)时的极限与连续. 7.期刊论文何鹏.俞文辉.雷敏剑二元函数连续、可偏导、可微等诸条件间关系的研究-南昌高专学报2005,20(6) 本文指出二元函数诸性质间的关系源于二元函数对极限的两种不同推广:二重极限和累次极限,并详细阐明了连续、偏导数存在、可微、偏导连续四者间的关系.在文章的最后,作者对偏导连续推出可微这一命题的条件作了减弱并予以证明. 8.期刊论文郭安学二元函数的极限-科学决策2008,""(11) 本文给出了二元函数的三种不同极限的概念,并讨论了三种极限的关系与差异. 9.期刊论文邹泽民.Zhou Zemin二元函数未定型极限问题的研究-广西梧州师范高等专科学校学报2002,18(1) 给出二元函数基本未定型极限的洛泌达法则及三种具体的求极限的运算定理. 10.期刊论文齐小忠关于二元函数二阶混合偏导数的注记-许昌学院学报2004,23(2) 大多数数学分析教科书讨论二元函数的二阶混合偏导数f'xy(x,y)、f"(x,y)与求导次序有无关系时,都是在其连续的情况下得出与次序无关的结论的.本文给出了较弱的与求导次序无关的几个结论. 本文链接：https://www.360docs.net/doc/2b6198048.html,/Periodical_kjxx200918384.aspx 授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：6303e070-b0c9-4d3e-83e0-9dca0148959f 下载时间：2010年8月6日
求二元函数极限的几种方法
11 1.二元函数极限概念分析 定义1 设函数f 在2D R ?上有定义，0P 是D 的聚点，A 是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数ε，总存在某正数δ,使得00(;)P U P D δ∈时，都有 ()f P A ε-<, 则称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限，记0 lim ()P P P D f P A →∈=. 上述极限又称为二重极限. 2．二元函数极限的求法 利用二元函数的连续性 命题 若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续，则 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=. 例1 求2 (,)2f x y x xy =+ 在点(1,2)的极限. 解： 因为2 (,)2f x y x xy =+在点(1,2)处连续，所以 12 212 2lim (,) lim(2) 12125.x y x y f x y x xy →→→→=+=+??= 例2 求极限()()2 21,1,21 lim y x y x +→． 解： 因函数在()1,1点的邻域内连续，故可直接代入求极限，即 ()()221,1,21lim y x y x +→=31 ．
22 利用恒等变形法 将二元函数进行恒等变形，例如分母或分子有理化等. 例3 求 00 x y →→ 解： 00 x y →→ 00 x y →→= 00 x y →→= 00 1. 4 x y →→==-例4 ()() 2 2220,0,321 )31)(21(lim y x y x y x +-++→． 解： 原式()() ( )) () () ,0,02 211lim 231x y x y →+= + ()( 22 ,0,0lim x y →= + 11022 = +=．
(整理)多元函数的极限与连续习题.
多元函数的极限与连续习题 1. 用极限定义证明:14)23(lim 1 2=+→→y x y x 。 2. 讨论下列函数在（0,0）处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限的存在性。 （1）y x y x y x f +-=),(； (2) y x y x y x f 1s i n 1s i n )(),(+=； (3) y x y x y x f ++=23 3),(； (4) x y y x f 1 s i n ),(=。 3. 求极限 （1）2 20 ) (lim 22 y x x y x y +→→； （2）1 1lim 2 2 220 0-+++→→y x y x y x ； （3）2 20 01 sin )(lim y x y x y x ++→→； （4）22220 0) sin(lim y x y x y x ++→→。 4. 试证明函数?? ???=≠+=0 0)1ln(),(x y x x xy y x f 在其定义域上是连续的。
1. 用极限定义证明:14)23(lim 2 1 2=+→→y x y x 。 因为1,2→→y x ，不妨设0|1|,0|2|<-<-y x ， 有54|2||42||2|<+-≤+-=+x x x ， |22123||1423|2 2 -+-=-+y x y x |1|2|2|15|1|2|2||2|3-+-<-++-≤y x y x x |]1||2[|15-+-
数学解题之一题多解与多题一解[1]
数学解题之一题多解与多题一解[1]
摘要 本文意在明确一题多解和多题一解与学生思维能力发展之间的关系，从而使教师在数学解题教学过程中更加重视解题方法对学生思维能力的培养。本文通过两种典型例题即一题多解型和多题一解型的讲解，阐述了通过不同的例题可以达到对学生思维能力的训练培养的目的。通过一题多解，可以开阔学生思路、发散学生思维，让学生学会多角度分析和解决问题；通过多题一解，能够加深学生的思维深度，分析事物时学会由表及里，抓住事物的本质，找出事物间内在的联系。与此同时，对一题多解和多题一解的运用，要注意相互结合，灵活运用，不可只求一技，失之偏颇。 关键词：一题多解多题一解思维能力 数学解题过程中一题多解与多题一解对学生思维能力的培养 引言
现代心理学认为，数学是人类思维的体操，在培养人的聪明才智方面起着巨大的作用。所以，数学教学实质上是数学思维活动的教学。也就是说，在数学教学中，除了要使学生掌握基础知识、基本技能外，还要注意培养学生的思维能力。培养学生的思维能力是新课程改革的基本理念，也是数学教育的基本目标之一。“学生在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概况、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程。这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴含的数学模式进行思考和做出判断。” 数学思维能力对形成理性思维有着独特的作用。因此，作为一名数学教师，应把培养学生的思维能力贯穿在教学的全过程。 惠州市惠州区广播电视大学舒芳教授在《在数学解题教学中培养学生的思维能力》中认为，不同
求多元函数极限的方法
求多元函数极限的方法 【摘要】对于大部分学生,尤其是初接触高等数学的同学而言,极限是一道很难过的关,因为那种“无限逼近”却又“无法达到”的抽象对于刚刚结束中学数学学习,习惯于具体图形分析、函数计算的同学来说,在思维上有了更高的要求。而对于高等数学来讲,极限又是相当重要的基础,不管是函数连续性的验证,亦或是单侧导数的求解,极限都是很重要的一个环节,它就相当于一条线惯于始终,所以说学好极限,是学好高等数学的一个起点。【1】 【关键词】多元函数；求极限多种方法；求极限常出现的错误 【引言】之前学过如连续、导数微分和积分等都要用极和秋极限的方法，例如：利用定义来求极限、用柯西收敛准则、利用两边夹定理等等。这些方法虽然简便易于理解和掌握，但对 于一些特殊的极限题目很难解决，例如：设0a >，10a >，2 12(3) 3n n n n a a a a a a ++=+求lim n n a →∞的问题题目尽给出了第n 项和第n +1项的关系若用利用定义来求极限、用柯西收敛准则 1 ! lim ! n k n k n =→∞ ∑及求一些复合函数极限的问题本文将探讨一些特殊的求极限的方法，对某些用常 见方法不易求解的题目运用此方法可以容易地解出。【2】本文将从多个方面,通过利用极限的性质及相关概念和几个典型例题对常用求极限的方法进行解析，并列出容易出错的地方。 1 利用极限定义的思想观察函数的极限 例1、讨论当x → 12时函数y =21 x x +的极限。我们列出了当x →12 时某些函数值，考察 从列表可以看出，当x 趋向于2时，y 就趋向于0.7，即x →2 时，y =21 x x +的极限是0.75。 2、利用四则运算法则求极限 例2（1）求2 332 1 lim(4)x x x →-+ （2）221 lim 21 x x x →-+ 解（2）221lim 21x x x →-+=222 lim( 1)3lim(21)5 x x x x →→-=+ 3、利用无穷小量与无穷大量的关系及无穷小量的性质求极限 例3求0 1 lim sin x x x → 解因为0 lim x x →=0，且1sin 1x ≤即1sin x 有界，所以01lim sin x x x →=0
(完整word版)高考三角函数一题多解
一道高考题的解析引发的深思 （2013全国新课标I 卷）理科15，文科16题。 题目：设当θ=x 时，函数x x x f cos 2sin )(-=取得最大值，则_____cos =θ 法一：直接使用辅助角公式 解：Θ)cos 5 2sin 51(5cos 2sin )(x x x x x f -=-= ∴取5 2sin ,51cos ==??（三角替换，辅助角公式中?由来） 即)sin(5)(?-= x x f Θθ=x 时，函数值最大 1)sin(=-∴?θ，，即Z k k ∈+=,22-ππ ?θ(找到θ与?的关系） 所以5525 2sin )22cos(cos -=-=-=++=?π?π θk 此法少见的接触到了辅助角求值问题 法二：借用辅助角公式（避开辅助角） 解：Θ)sin(5)(?-=x x f （求最值） 5)(max =∴x f Θ当θ=x 时，函数求得最大值 5cos 2sin )(= -=∴θθθf 联立1cos sin 22=+θθ，解方程组 ∴消正弦得,1cos )cos 25(22=++θθ即04cos 54cos 52=++θθ 解得5 52cos -=θ 思考：此刻你在想什么呢？庆幸解唯一，还是当心解不唯一怎么处理呢？能不能一开始就可以确定θ角的位置呢？ 观察函数，正弦应该取正，而余弦取负才可能有最大值，满足此要求的角在第二象限，是不是免去你的后照顾之忧呢。 法三：利用?判别式——————（尴尬！！！！汗颜！！！！！） 解：令x x y cos 2sin -=则x y x cos 2sin +=消正弦
带入1cos sin 22=+x x 得 1cos )cos 222=++x x y （ 化简得01cos 4cos 522=-++y x y x （将余弦视作一个整体，这是一元二次方程） 有解得0)1(54)4(22≥-?-=?y y 即有55≤≤-y ，函数最大值是5 （为么要这么费劲呢？） 所以y 取最大值5时，有04cos 54cos 52=++x x （明白了吗） θcos 5 52cos =-=x 解得 法四：数形结合 为了运算的简洁，令x x m cos 2sin -= 再联想到1cos sin 22=+x x 可以试试寻找几何意义 1 sin cos cos 2sin 2 2=++=x x m x x 如果按照一般习惯将正弦视作纵坐标，余弦视作横坐标 即1 222=++=y x m x y 联立表示要相交 ！ 求直线的最大纵截距(相 切时最大或最小如图）5.0tan =∠AOB ,运用几何知识A 点坐标为），（5 5552- 横坐标为余弦，即552cos -=θ 法五：不等式法 解：)cos 2sin 1cos 2sin )(x x x x x f -? +?=-=（ 若函数值最大，则正弦为正，余弦为负 使用柯西不等式有5)21()cos sin )cos 2sin 12222=+?+≤-?+?x x x （（ 所以5)(≤x f 当且仅当x x cos sin 2-=取到等号。即θθcos sin 2-= 又因为5cos 2sin )(= -=θθθf 解得552cos -=θ 法六：求导法 解：因为x x x f sin 2cos )('+=（让同学们自己思考）
高数8多元函数的极限与连续
二元函数的极限 二元极限存在常用夹逼准则证明 例1 14)23(lim 2 12=+→→y x y x 例2 函数?? ???+=01sin 1sin ),(，x y y x y x f .00=≠xy xy ，在原点（0,0）的极限是0. 二元极限不存在常取路径 例3 证明：函数）），（，，00)(()y (442≠+=y x y x y x x f 在原点（0，0)不存在极限. 与一元函数极限类似，二元函数极限也有局部有限性、极限保序性、四则运算、柯西收敛准则等. 证明方法与一元函数极限证法相同，从略. 上述二元函数极限)(lim 0 0y x f y y x x ，→→是两个自变量x 与y 分别独立以任意方式无限趋近于0x 与0y .这是个二重极限. 二元函数还有一种极限： 累次极限 定义 若当a x →时（y 看做常数），函数)(y x f ，存在极限，设当b y →时，)(y ?也存在极限，设 B y x f y a x b y b y ==→→→)(lim lim )(lim ，?， 则称B 是函数)(y x f ，在点)(b a P ，的累次极限.同样，可定义另一个不同次序的累次极限，即 C y x f b y a x =→→)(lim lim ，. 那么二重极限与累次极限之间有什么关系呢？一般来说，它们之间没有蕴含关系. 例如： 1)两个累次极限都存在，且相等，但是二重极限可能不存在. 如上述例3. 2)二重极限存在，但是两个累次极限可能都不存在. 如上述的例2. 多重极限与累次极限之间的关系 定理 若函数)(y x f ，在点），000(y x P 的二重极限与累次极限（首先0→y ，其次0→x ）都存在，则 )(lim lim (lim 0 000y x f y x f y y x x y y x x ，），→→→→=. 二元函数的连续性 定理 若二元函数)(P f 与()P g 在点0P 连续，则函数)()(P g P f ±，)()(P g P f ，) ()(P g P f （0)(0≠P g ）都在点0P 连续
三角函数一题多解举例
三角函数一题多解举例 例1:求函数cos 2sin y θ θ = +（R θ∈）的值域。 解法一：利用合一公式 cos 2sin cos )2sin y y y θ θθθφθ = ?=-+=++， 所以 sin()θφ+= ，又|sin()|1θφ+≤， 1≤，解得y ≤≤ ， 所以函数cos 2sin y θθ=+（R θ∈）的值域为[33 -。 解法二：斜率法 cos 0 sin (2) y θθ-= --，可看成点(sin ,cos )A θθ与(2,0)B -连线的斜率，而 (sin ,cos )θθ在圆221x y +=上， 当AB 与圆相切时分别取到最值，结合图形易得函数cos 2sin y θ θ = +（R θ∈）的 值域为[33 - ． 解法三：导数法 2 12sin (2sin )y θθ--'= +，令0y '=得1sin ,cos 22θθ=-=±，从而[,33 y ∈-． 例2：对任意,cos cos 21x R a x b x ∈+≥-恒成立，求a b +的最大值． 解法一：特值法，特别快 在cos cos 21a x b x +≥-中取23x π=得11 ()()122 a b -+-≥-，∴2a b +≤， 当42,33a b ==时，2 4242cos cos 2cos cos 2cos (2cos 1)3333 a x b x x x x x +=+=+- 241(cos )1132 x =+-≥-，所以a b +的最大值为2. 解法二：构造二次函数 原不等式即2 cos (2cos 1)1a x b x +-≥-即2 2cos cos 10b x a x b +-+≥，
求二元函数极限几种方法
1.二元函数极限概念分析 定义1 设函数f 在2D R ?上有定义，0P 是D 的聚点，A 是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数ε，总存在某正数δ,使得00(;)P U P D δ∈I 时，都有 ()f P A ε-<, 则称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限，记0 lim ()P P P D f P A →∈=. 上述极限又称为二重极限. 2．二元函数极限的求法 2.1 利用二元函数的连续性 命题 若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续，则0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=. 例1 求 在点(1,2)的极限. 解： 因为在点(1,2)处连续，所以 例2 求极限()()2 21,1,21 lim y x y x +→． 解： 因函数在()1,1点的邻域连续，故可直接代入求极限，即 ()()221,1,21lim y x y x +→=31 ． 2.2 利用恒等变形法 将二元函数进行恒等变形，例如分母或分子有理化等.
例3 求 00 x y →→ 解： 00 x y →→ 00 x y →→= 0x y →→= 00 1. 4 x y →→==-例4 ()() 2 2 220,0,321 )31)(21(lim y x y x y x +-++→． 解： 原式()() ( ) ) ( ) () ,0,02 211lim 231x y x y →= + ()( 22 ,0,0lim x y →= + 11022 = +=． 2.3 利用等价无穷小代换 一元函数中的等价无穷小概念可以推广到二元函数.在二元函数中常见的 等价无穷小((,)0)u x y →，有 sin (,)(,)u x y u x y :； 2(,) 1cos (,)2 u x y u x y -:；
高中一题多解经典练习题1
高中一题多解经典练习题 1、原题：482++=x mx x f )( 的定义域为R ，求m 的取值范围 解：由题意0482≥++x mx 在R 上恒成立 0>∴m 且Δ0≤，得4≥m 变1：4823++=x mx x f log )(的定义域为R ，求m 的取值范围 解：由题意0482>++x mx 在R 上恒成立 0>∴m 且Δ0<，得4>m 变2：)(log )(4823++=x mx x f 的值域为R ，求m 的取值范围 解：令=t 482++x mx ，则要求t 能取到所有大于0的实数， ∴ 当0=m 时，t 能取到所有大于0的实数 当0≠m 时，0>m 且Δ0≥4≤0?m < 40≤≤∴m 变3：182 23+++=x n x mx x f log )(的定义域为R,值域为[]20,，求m,n 的值 解：由题意，令[]911 82 2,∈+++=x n x mx y ，得0-8--2=+n y x x m y ）（ m y ≠时，Δ0≥016-)(-2≤++?mn y n m y - ∴ 1和9时0162=++-)(-mn y n m y 的两个根 ∴ 5==n m ∴ 当m y =时，08 == m n x - R x ∈ ，也符合题意 ∴5==n m 2、解不等式523<<3-x 解法一：根据绝对值的定义，进行分类讨论求解 （1）当03-≥x 2时，不等式可化为53-< 函数表示法中的一题多解 函数的三种表示方法——列表法、图像法和解析法，是研究函数问题的基点和出发点. 通过函数表示法中的一题多解，一方面我们可以在了解三种表示法各自优缺点的基础上，能根据不同问题的需要，达到灵活运用函数表示法的境界，即合理选择某种函数的表示法、综合运用几种函数的表示法，以及善于转化几种函数的表示法；另一方面可以从不同的角度帮助我们在更高层次上把握函数的概念、图像和性质. 一、把握函数概念中的一题多解 例1已知函数()()x g x f ,分别由下表给出： 则()[]1g f 的值 ；满足 ()[]()[]x f g x g f >的x 的值 . 分析：因为题设中的两个函数都是由列表法给出的，定义域相同且有限，值域也有限，所求的问题也只与三个函数值有关，所以既可以通过解析法直观求解，又可以通过一个综合型的表格法直观求解. 解法1：∵???=31)(x f 2,31,==x x 或，?? ???=123)(x g 3,2,1,===x x x . ∴???=31)]([x g f 2,31,==x x 或，???=13)]([x f g 2 ,31,==x x 或. ∴()[]11=g f ；满足()[]()[]x f g x g f >的x 的值为2. 解法2：函数()[]()[]x f g x g f x g x f ,),(),(由同一张表格给出： x 1 2 3 )(x f 1 3 1 )(x g 3 2 1 )]([x g f 1 3 1 )]([x f g 3 1 3 ∴由上表可得()[]11=g f ，且满足()[]()[]x f g x g f >的x 的值为2. 点评：不论是解析法还是列表法，都能准确而清晰地表达自变量与函数值之间的对应关系，有时为了便于问题的解决，可以变通一些函数的表示法，如这里为了便于比较两个函数值的大小，就用了一种综合型的表格法. 例2 求函数11)(22 --=x x x x f 的值域. 分析：求含绝对值函数的值域，关键是如何去掉绝对值，所以既可以把原函数转化为分段函数求解，又可以通过图像法直观求解. 解法1：原函数写成分段函数得? ??-=,,)(x x x f 11>(文章)函数表示法中的一题多解