求多元函数极限的方法
求多元函数极限的方法 【摘要】对于大部分学生,尤其是初接触高等数学的同学而言,极限是一道很难过的关,因为那种“无限逼近”却又“无法达到”的抽象对于刚刚结束中学数学学习,习惯于具体图形分析、函数计算的同学来说,在思维上有了更高的要求。而对于高等数学来讲,极限又是相当重要的基础,不管是函数连续性的验证,亦或是单侧导数的求解,极限都是很重要的一个环节,它就相当于一条线惯于始终,所以说学好极限,是学好高等数学的一个起点。【1】 【关键词】多元函数；求极限多种方法；求极限常出现的错误
【引言】之前学过如连续、导数微分和积分等都要用极和秋极限的方法，例如：利用定义来求极限、用柯西收敛准则、利用两边夹定理等等。这些方法虽然简便易于理解和掌握，但对
于一些特殊的极限题目很难解决，例如：设0a >，10a >，2
12(3)
3n n n n a a a a a a
++=+求lim n n a →∞的问题题目尽给出了第n 项和第n +1项的关系若用利用定义来求极限、用柯西收敛准则
1
!
lim
!
n
k n k n =→∞
∑及求一些复合函数极限的问题本文将探讨一些特殊的求极限的方法，对某些用常
见方法不易求解的题目运用此方法可以容易地解出。【2】本文将从多个方面,通过利用极限的性质及相关概念和几个典型例题对常用求极限的方法进行解析，并列出容易出错的地方。 1 利用极限定义的思想观察函数的极限 例1、讨论当x →
12时函数y =21
x x +的极限。我们列出了当x →12
时某些函数值，考察
从列表可以看出，当x 趋向于2时，y 就趋向于0.7，即x →2
时，y =21
x x +的极限是0.75。
2、利用四则运算法则求极限
例2（1）求2
332
1
lim(4)x x x →-+
（2）221
lim 21
x x x →-+
解（2）221lim 21x x x →-+=222
lim(
1)3lim(21)5
x x x x →→-=+
3、利用无穷小量与无穷大量的关系及无穷小量的性质求极限 例3求0
1
lim sin
x x x
→ 解因为0
lim x x →=0，且1sin
1x ≤即1sin x 有界，所以01lim sin x x x
→=0
4、利用两个重要极限求极限 例4 求11lim sin
lim(1)x x x x x x
→∞
→∞- 解1lim sin x x x →∞=1sin
lim 1x x x
→∞=1（因为x →∞时10x
→）。
令u x =-则当x →∞时u →∞所以1lim(1)x x x →∞-=1
11
lim(1)lim
1
(1)e x u u u
e
x
-→∞→∞+==+ 也可以直接计算1lim(1)x
x x
→∞
-=1
111lim[(1)]
x x e x
e
---→∞
+==
5、利用初等函数的连续性求极限 例5求2
lim ln sin x x π
→
解：点02
x π
=
是初等函数()ln sin f x x =的一个定义区间(0,)π内的点，所以2
limlnsin lnsin
02
x x x π
→
==
6、利用等价无穷小代换求极限 例6 求01cos lim
ln(12)
x x
x →-+
解：当0x →时，2
11cos 2
x x -≈
，ln(12)2x x +≈ 所以20011cos 2lim
lim 0ln(12)2x x x
x x x
→→-==+ 7、利用罗比达法则求极限 例7 求0
ln sin 2lim ln sin 3x x
x
+
→
解：0ln sin 2lim ln sin 3x x x +→=0cos 22
sin 2lim cos33sin 3x x
x x
x
+→??=0sin 3cos 22lim 1sin 2cos33x x x x x +→??= 8、利用左、右极限来确定分段函数在分界点处的极限
232(0)()1(01)2(1)
x x f x x x x x ?
?+≤?
=+<≤???>?
求0lim ()x f x →，1
lim ()x f x →
解：因为0
lim ()x f x -→=0
lim (32)2x x -
→+= 0
lim ()x f x +→=20
lim(1)x x +
→+=1 00
lim ()lim ()x x f x f x -
+
→→≠ 所以0
lim ()x f x +
→不存在 因为1
lim ()2x f x →=
1利用极限的定义来验证极限的存在
极限定义并未给出求极限的具体方法,但却可以验证极限的存在,而且它是研究理论问题的基本方法,用极限定义验证极限存在,一般需经过变形放大,由n x A ε-<或()f x A ε-<去寻找满足条件的充分大的正整数 N 或充分小的正数δ或充分充分的正数 X 。 比如:证明2
2
21
lim
44
x x x →-=- 证明对0ε?>，要使
22144x x ε--<-，只要2221
4442
x x x x ε---=<-+因为2x →，不妨
设
21x -<，此时13x <<，
从
而
325x <+<，因此，
221
44x x ---242
x x --
+<111224312x x c ?---<,于是取min{}δε=，从而min{1,12}δε?=，当02x δ<-<时，总有
221
44
x x ---ε<，从而2221lim 44x x x →-=- 2利用化简来求极限(分子有理化、分母有理化、分解、恒等变形)
比如 求1
x →此题要用到两个知识点①将分子有理化②分母分解因式
解：
21
2lim
2x x x →+-1x →=1112
x →= 3利用极限运算法则和无穷小的性质求极限
比如 求lim )x x →+∞
本题是“∞-∞”型的极限,先对分子有理化,可转化为∞
∞
型将分子分母同时除以 x 的最高次幂变形后求解。
解lim )x x →+∞
=lim
x →+∞
=lim
x
=1
lim
2x =
在无穷小量的诸多性质中,常用无穷小乘以有界变量仍为无穷小及用等价无穷小代换来求极
限。比如 求sin lim 2
n
x e n →∞+
解 注意到sin n
e ≤且1lim
02x n →∞=+所以由无穷小的性质得sin lim 02
n
x e n →∞=+
又比如求0x → 解 当0x →
时，ln(1
2
arctan x ，2
x
所以0
x →=
5133
20lim 1x x x
x →= 4.2重要极限2
1lim(1)x x e x →∞+=，101lim(1)x x e x →+=，01
()lim(1())f x x x f x e →+=，0()
1lim(1)()
f x x x e f x →+= 特征:①“1 ”型;②底数中要转化为有“1”的形式;③ “1”的后面的变量与幂指数互为倒数。
比如 求1
lim(cos )x x x →
解2
1
lim(cos )x x x →=2
1cos 1cos 10
lim(1(cos 1))
x x x x x --→+-=12
e
5利用极限存在准则(夹逼定理、单调有界原理)来求极限 5.1利用夹逼定理求极限
比如 求222111
lim (
)11x n n n n n →∞++++++ 解 因为21n n +≤
2211
1
n k n ≤++，k =1，2，3 n ，从而22n n n +≤222
111()11n n n n n ++++++ ≤2
21
n n +
而22
lim 1x n n n →∞=+，2
2lim 11x n n →∞=+所以222111lim ()11x n n n n n
→∞++++++ 5.2利用“单调有界数列必有极限”定理求极限
特点:①能出现关系式;②可转化为关系式
解题方法 :一是利用数学归纳法证有界,二是证单调。 比如
设111,2,),n x n +=
== 试证数{}n x 列极限存在，并求此极限。
显然102x <
，22x =
<假设2n x <
因12n x +=<=由数学
归纳法知对n ?,0 又 10n n n x x x +-== >,则1n x + >n x ,所以{n x }单调增加。 因此lim n x x →∞ 存在。 不妨设lim n x x →∞ =a ，由1n x += a =a =2即lim 2n x x →∞ = 6利用洛必达法则求极限 用洛必达法则时要注意: ①要注意洛必达法法则条件, ②有时要用多次洛必达法则, ③无限次循环型号不能用洛必达法则,如0lim x x x x x e e e e --→-+, ④每次用洛必达法则前,要先化简, ⑤x →0(或x →∞)时,极限中含有sin 1x ,cos 1 x (或sinx,cox)不能用洛必达法则。 ⑥“0g ∞”,“∞-∞”,“1 ”,“0∞ ”,“0 ∞”,“0 0”型未定式,通过变形、通分、有理化分子、取对数等方式转化为“ 00”或“∞ ∞ ”未定式极限后再用洛必达法则。 比如求1lim 1ln x x ex e x x →--+ 解1lim 1ln x x ex e x x →--+111()lim lim lim 1111x x x x x x x e e x e e e e xe e x x →→→----====---+ 7利用连续性求极限 比如 求1ln(1) lim arctan x x e x →+ 解注意到()arctan f x x =在x=1处连续,所以 1ln(1)lim arctan x x e x →+=1ln(1)4ln(1)arctan1e e π ++= 8利用函数极限存在的充要条件求极限主要用来解决在求分段函数在分段点处的极限或某 些特殊函数在一些点处的极限时,可用此方法。如求11110 lim x x x x x e e e e →-+ 解11110 lim x x x x x e e e e + →-+2201lim 11x x x e e + →-==+，112 1 12 1lim lim 11 x x x x x x x x e e e e e e - - →→--==-++， 所以1 1110 lim x x x x x e e e e →-+不存在。 9利用导数求极限 比如设'(0)1,(0)0f f ==求0 () lim x f x x → 解0 ()lim x f x x →=0()(0) lim 0 x f x f x →--='(0)1f = 10利用泰勒公式求极限 特点①“00”型;②1122()()()()f x g x f x g x --或22()() k x f x g x -或11()()k f x g x x - ③用洛必达法则较复杂或根本不可能用。 解题的关键是展开到含n x 项, 或相互抵消后的后一项。比如求22 20 12lim (cos )sin x x x x e x →+- 解 222012lim (cos )sin x x x x e x →+-=22442460424 1(10()228lim 0()0()243x x x x x x x x x x x →+-+-+?????? ）（1-++）（-+）！！！444040()8lim 30()2x x x x x →+=-+=1 12 - 11利用定积分和积分中值定理求极限 比如设n x ，(1,2,)n = ，求lim n n x →∞ 解因为1ln ln(1)n i x n n ==+∑ 所以1 1lim lim ln(1)n n n n i i x n n →∞→∞==+∑=10ln(1)2ln 21x dx +=-? 12利用函数极限与数列极限关系求极限 比如求2 1lim(sin )n n n n →∞ 解21lim(sin )n n n n →∞=1 0sin lim ()x n x x +→=sin sin 0sin lim(1)x x x x x x n x x x +-?-→-+=1 6 e 13利用级数收敛的必要条件求极限 比如 求3!lim n n n n n →∞,考察级数13! n n i n n ∞ =∑, 而1113(1)!33 lim lim lim 1(1)3!(1) n n n n n n n n n n u n n u n n e n +++→∞→∞→∞+=?==++<1 由正项级数比值判别法知13! n n i n n ∞ =∑收敛,再由级数收敛的必要 条件知3! lim n n n n n →∞=0 14利用幂级数的和函数求极限 比如 求1111lim(1)1!2!3!! n n →∞ + ++++ 由于 01,(,)! n x n x e n ∞ ==-∞+∞∑ 当1x =时， 1!n n ∞ =∑=1 e =e 因此1111lim(1)1!2!3!!n n →∞+++++ =01! n n ∞ =∑=1 e =e 以上是求极限常用的一些方法,在求极限的过程中,先要用观察极限属于什么类型,才能去采取相应的方法。 同学们在求二元函数极限时，常出现错误。我们将其归纳为一下三种，今写于此，以供参考。 Ⅰ第一种错误是把沿在平面上过00(,)x y 点的射线方向，代替沿任何方向趋向于00(,)x y ，求0 lim (,)x f x y → 例1求22 00 lim x y x y →→+ 在同学们的解题过程中常出现的错误做法是令cos ;sin x y ρθρθ==于是有 232222 sin cos 0x y x y ρθθρρ≤=<+ 当(,)(0,0)x y →时，0ρ→，由夹逼定理即得2 22 00 lim x y x x y →→+=0 欲指出此种解法的错误，只需注意二元函数极限的定义： 设函数(,)f x y 在平面的某一个点集D 上有定义，000(,)P x y 是D 的一个据点（0P 不一定属于D ），A 为一定数，如果对于任意给定的正数δ，总存在相应的正数δ，使得定义域D 上满足不等 式0δ< <的一切点(,)P x y ，能都恒有不等式 (,)f x y A ε-<成立，则称定数A 为函数当(,)x y 00(,)x y →时的极限，记为 lim (,)x y f x y →→=A 由极限的定义可以看出，若0 lim (,)x y f x y →→=A 则必须是动点(,)P x y 沿定义域 内的任何曲线趋向于聚点00(,)P x y 时，都得有不等式(,)f x y A ε-<成立。 而在例1的解法中，即便是θ取遍了0～2 π之间的所有值，都有不等式 232222 s i n c o s 0x y x y ρθθρρ≤=<+成立，这也只能说明动点(,)P x y 沿过原点的直线族 ()y tg x θ=?趋向于点（0，0）时，都有2 2 2 00 lim 0x y x x y →→=+。 本题的正确解法是，由2 2 2x y xy +≥有2222022 x x y x y x y xy ≤≤= + 可见，动点(,)P x y 不论沿平面上任何曲线趋于点（0，0）是，对于任意给定的正数ε，只 要取δε= 时，就能使当δε<=时，永远有222 02 x x y x y ε-≤<+成立。这即得证2 22 00 lim x y x x y →→+=0 例2求24 00 lim x y x y →→+ 若仿照例1 中所有用过的错误解法，有cos ;sin x y ρθθ==，且 2222 24224422 2 0000 cos sin cos sin lim lim lim cos sin sin x y xy x y cos ρρρθρθρθθρθρθθρθ→→→→?==+++ 不难讨论不论上式右端θ为任何值，只要0ρ→时，就有 22 400 lim x y xy x y →→+=22240cos sin lim cos sin ρρθθ θρθ →?+=0 但实际上224 00 lim x y xy x y →→-是不存在的，这只要取动点(,)P x y 沿曲线2 x ky =趋向于点（0，0）时则有22242424244200 lim lim lim 1 x y x ky y y xy xy ky k x y x y k y y k →→∞→→→===++++ 由于不同的k 值对应着不同的极限值，即得证224 00 lim x y xy x y →→+是不存在的。 例3求2 2400 lim x y xy x y →→+本题的正确解法，是由24222x y x y +≥ 所以有2222442222 1110()22x y x y x y x y y x ++≤≤=++ 由夹逼定理便有2 2 4 00 lim 0x y xy x y →→=+而此题如果用例1所提出过的错误做法虽然也有2224444422222 1112 1(cos sin )(1sin cos )2 x y x y ρρθθρθθρρ+==≤?=++-并由此得出 222 4444400 lim lim 0(cos sin ) x y x y x y ρρρθθ+→→∞→==++其结果虽然也是对的，但其理论根据却是错误的。 Ⅱ第二种错误是引用了“有限个无穷大之和仍为无穷大”的错误结论。 例4000 1 lim lim 011x x y y xy x y y x →→→→==++ 这种解法很明显是错误的，因为0011 lim ,lim x y x y →→=∞=∞但00 11lim()x y x y →→+并不一定是无穷大，这道理虽然很明显，但在做题时却常被疏忽而导致得出错误的结论。 事实上，本例所给的极限是不存在的，这只有注意，若动点(,)P x y 沿直线y x =-趋向于点（0，0）时，原式均无意义就行了，就是避开这条使函数无意义的直线也就不行的，这只要取动点(,)P x y 沿曲线2y k x x =-趋向于点（0，0）时，就有 2 000 lim lim x x y y kx x xy xy x y x y →→→=-=++=220()1 lim x x kx x kx k →-=-，k 可以取关于零的任何值。 即得00 lim x y xy x y →→+是不存在。 Ⅲ第三种错误是由于忽视开方时应去算数跟，而造成的错误。 00 x x y y →→→→==0 此题的解法是错误的，因为将分子及分母同除xy ，它的恒等变形详细过程如下 ： = = 这个恒等变形只有xy >0时成立，而当xy <0 ≠ 本例的正确解法应该是由2 2 2x y xy +≥有 22 0≤ ≤= 可见不论动点(,)P x y 沿什么曲线，趋向于点（0，0）时，总有此不等式成立。由夹逼定理 知x y →→忽视算数跟所造成的错误，在求一元函数极限时也常发生。 例 9lim 111x x x x →∞→∞==++ 例 101 )2x x x x →∞ === 这两个例子的错误均是由于忽视了x = 例9的正确解法 是(1) x x x x →∞→∞=+可见当x →+∞ 时11 x →+当x →-∞ 1→- 例10 的正确解法是)x x x x →∞ == 可见x →+∞ 时)x x 1 2= → x →-∞ 时)x x = →-∞ 所以)x x →∞ 是不存在的。 【1】王伟珠.常用求极限方法浅析【J 】中国科教创新导刊，2007（23） 【2】姜伟.对求极限方法的探究【J 】中国科教创新导刊2008（28） 求多元函数极限的方法 【摘要】对于大部分学生，尤其是初接触高等数学的同学而言,极限是一道很难过的关,因为那种“无限逼近”却又“无法达到”的抽象对于刚刚结束中学数学学习,习惯于具体图形分析、函数计算的同学来说,在思维上有了更高的要求。而对于高等数学来讲，极限又是相当重要的基础,不管是函数连续性的验证,亦或是单侧导数的求解，极限都是很重要的一个环节,它就相当于一条线惯于始终,所以说学好极限,是学好高等数学的一个起点。【1】 【关键词】多元函数;求极限多种方法；求极限常出现的错误 【引言】之前学过如连续、导数微分和积分等都要用极和秋极限的方法,例如：利用定义来求极限、用柯西收敛准则、利用两边夹定理等等。这些方法虽然简便易于理解和掌握,但对 于一些特殊的极限题目很难解决，例如：设0a >，10a >，2 12(3) 3n n n n a a a a a a ++=+求lim n n a →∞的问题题目尽给出了第n 项和第n +１项的关系若用利用定义来求极限、用柯西收敛准则 1 ! lim ! n k n k n =→∞ ∑及求一些复合函数极限的问题本文将探讨一些特殊的求极限的方法，对某些用常 见方法不易求解的题目运用此方法可以容易地解出。【2】本文将从多个方面，通过利用极限的性质及相关概念和几个典型例题对常用求极限的方法进行解析，并列出容易出错的地方。 1 利用极限定义的思想观察函数的极限 例1、讨论当x → 12时函数y =21 x x +的极限。我们列出了当x →12 时某些函数值,考察 从列表可以看出,当x 趋向于2时，y 就趋向于0.7,即x →2 时,y =21 x x +的极限是0．75。 2、利用四则运算法则求极限 例2(1)求2 3 32 1 lim(4)x x x →-+ （2）221 lim 21 x x x →-+ 解(2）2 21lim 21x x x →-+=2 2 2 lim(1)3lim(21)5 x x x x →→-=+ 3、利用无穷小量与无穷大量的关系及无穷小量的性质求极限 例3求0 1 lim sin x x x → 精彩文档 1.二元函数极限概念分析 定义1 设函数f 在2D R ?上有定义，0P 是D 的聚点，A 是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数ε，总存在某正数δ,使得00(;)P U P D δ∈时，都有 ()f P A ε-<, 则称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限，记0 lim ()P P P D f P A →∈=. 上述极限又称为二重极限. 2．二元函数极限的求法 2.1 利用二元函数的连续性 命题 若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续，则 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=. 例1 求2 (,)2f x y x xy =+ 在点(1,2)的极限. 解： 因为2 (,)2f x y x xy =+在点(1,2)处连续，所以 12 212 2lim (,) lim(2) 12125.x y x y f x y x xy →→→→=+=+??= 例2 求极限()()2 21,1,21 lim y x y x +→． 解： 因函数在()1,1点的邻域内连续，故可直接代入求极限，即 ()()221,1,21 lim y x y x +→=3 1． 精彩文档 2.2 利用恒等变形法 将二元函数进行恒等变形，例如分母或分子有理化等. 例3 求 00 x y →→ 解： 00 x y →→ 00 x y →→= 00 x y →→= 00 1. 4 x y →→==-例4 ()() 2 2 220,0,321 )31)(21(lim y x y x y x +-++→． 解： 原式()() ( ) ) () () ,0,02 211lim 231x y x y →+= ++ ()( 22 ,0,0lim x y →= + 11022 = +=． 二元函数极限的求法 数学与统计学院、数学与应用数学、0701班，湖北，黄石，435002 1.引言 多元函数的极限在高等数学中非常重要，但由于多元函数的自变量多,因此对于判断其极限存在与否及其求法，比起一元函数的极限就显得比较困难.求极限和证明极限的方法很多，一般我们常用定义法，初等变形法，两边夹准则，阶的估计等.在这几种方法中，定义法是基础，但是比较繁琐,其他方法有的较易，有的较难，让人不知道从何下手.因此，我们有必要总结探讨出比较容易好的方法去求多元函数的极限.多元函数极限在现在的生活中也有很大的用处，比如工程计算方面.从以上来看，研究归纳总结多元函数极限的求法问题是有意义和必要的.本文主要研究二元函数极限的定义以及二元函数极限求解的几种方法，并以实例加以说明. 2.二元函数极限的定义 定义1 设E 是2R 的一个子集，R 是实数集,f 是一个规律，如果对E 中的每一点(,)x y ,通过规律f ,在R 中有唯一的一个u 与此对应,则称f 是定义在E 上的一个二元函数,它在点(,)x y 的函数值是u ,并记此值为(,)f x y ，即(,)u f x y =. 有时,二元函数可以用空间的一块曲面表示出来,这为研究问题提供了直观想象.例如，二元函数222y x R x --=就是一个上半球面，球心在原点，半径为R ，此函数定义域为满足关系式222R y x ≤+的x ,y 全体,即 }|),{(222R y x y x D ≤+=.又如,xy Z =是马鞍面. 知道多元函数的定义之后,在我们求多元函数极限之前我们必须知道多 元函数极限的定义. 定义2 设E 是2R 的一个开集，A 是一个常数，二元函数()(,)f M f x y =在点()000,M x y E ∈附近有定义．如果0>?ε,0>?δ,当()00,r M M δ<<时,有()f M A ε-<,就称A 是二元函数在0M 点的极限.记为()0 lim M M f M A →=或 ()()0f M A M M →→. 定义的等价叙述 1 ：设E 是2R 的一个开集,A 是一个常数,二元函数 ()(,)f M f x y =在点()000,M x y E ∈附近有定义．如果0>?ε，0>?δ，当()() 22 000x x y y δ< -+-<时，有(,)f x y A ε-<，就称A 是二元函数在0 M 点的极限。记为()0 lim M M f M A →=或()()0f M A M M →→. 定义的等价叙述2： 设E 是2R 的一个开集,A 是一个常数,二元函数 ()(,)f M f x y =在点()000,M x y E ∈附近有定义．如果0>?ε，0>?δ，当 000,0x x y y δδ<-<<-<且()()00,,x y x y ≠时， 有(,)f x y A ε-<，就称A 是二元函数在0M 点的极限.记为 ()0 l i m M M f M A →=或 ()()0f M A M M →→. 注：（1）和一元函数的情形一样，如果0 lim ()M M f M A →=,则当M 以任何 点列及任何方式趋于0M 时,()f M 的极限是A ；反之,M 以任何方式及任何点列趋于0M 时，()f M 的极限是A .但若M 在某一点列或沿某一曲线0M →时，()f M 的极限为A ，还不能肯定()f M 在0M 的极限是A . 二元函数的极限较之一元函数的极限而言，要复杂得多,特别是自变量的变化趋势，较之一元函数要复杂. 多元函数的极限与连续习题 1. 用极限定义证明:14)23(lim 1 2=+→→y x y x 。 2. 讨论下列函数在（0,0）处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限的存在性。 （1）y x y x y x f +-=),(； (2) y x y x y x f 1s i n 1s i n )(),(+=； (3) y x y x y x f ++=23 3),(； (4) x y y x f 1 s i n ),(=。 3. 求极限 （1）2 20 ) (lim 22 y x x y x y +→→； （2）1 1lim 2 2 220 0-+++→→y x y x y x ； （3）2 20 01 sin )(lim y x y x y x ++→→； （4）22220 0) sin(lim y x y x y x ++→→。 4. 试证明函数?? ???=≠+=0 0)1ln(),(x y x x xy y x f 在其定义域上是连续的。 1. 用极限定义证明:14)23(lim 2 1 2=+→→y x y x 。 因为1,2→→y x ，不妨设0|1|,0|2|<-<-y x ， 有54|2||42||2|<+-≤+-=+x x x ， |22123||1423|2 2 -+-=-+y x y x |1|2|2|15|1|2|2||2|3-+-<-++-≤y x y x x |]1||2[|15-+- 第十五章 多元函数的极限与连续性 §1 平面点集 1．设(){} ,n n n P x y =是平面点列，()000,P x y =是平面上的点. 证明0lim n n P P →∞=的充要条件是0lim n n x x →∞=，且0lim n n y y →∞ =. 2． 设平面点列{}n P 收敛，证明{}n P 有界. 3． 判别下列平面点集哪些是开集、闭集、有界集和区域，并分别指出它们的聚点： (1)(){}2,|E x y y x = <； (2)(){}22,|1E x y x y = +≠； (3)(){},|0E x y xy = ≠； (4)(){},|0E x y xy = =； (5)(){},|02,222E x y y y x y =≤≤≤≤+； (6)()1,|sin ,0E x y y x x ? ?==>????； (7)(){}22,|10,01E x y x y y x = +==≤≤或； (8)(){},|,E x y x y =均为整数. 4．设F 是闭集，G 是开集，证明\F G 是闭集，\G F 是开集. 5．证明开集的余集是闭集. 6．设E 是平面点集. 证明0P 是E 的聚点的充要条件是E 中存在点列{}n P ，满足 ()01,2,n P P n ≠= 且0lim n n P P →∞ =. 7．用平面上的有限覆盖定理证明致密性定理. 8．用致密性定理证明柯西收敛原理. 9．设E 是平面点集，如果集合E 的任一覆盖都有有限子覆盖，则称E 是紧集. 证明紧集是有界闭集. 10．设E 是平面上的有界闭集，()d E 是E 的直径，即 ()()',''sup ',''P P E d E r P P ∈=. 1 / 15 1.二元函数极限概念分析 定义1 设函数f 在2D R ?上有定义,0P 是D 的聚点,A 是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数ε，总存在某正数δ,使得00(;)P U P D δ∈时,都有 ()f P A ε-<, 则称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限,记0 lim ()P P P D f P A →∈=. 上述极限又称为二重极限． ２.二元函数极限的求法 2.1 利用二元函数的连续性 命题 若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续，则 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=． 例１ 求2 (,)2f x y x xy =+ 在点(1,2)的极限. 解： 因为2 (,)2f x y x xy =+在点(1,2)处连续,所以 12 212 2lim (,) lim(2) 12125. x y x y f x y x xy →→→→=+=+??= 例2 求极限()()2 21,1,21 lim y x y x +→. 解: 因函数在()1,1点的邻域内连续,故可直接代入求极限,即 ()()221,1,21lim y x y x +→=31 . 2 / 15 2．2 利用恒等变形法 将二元函数进行恒等变形,例如分母或分子有理化等. 例3 求 00 x y →→ 解 : 00 x y →→ 00 x y →→= 0x y →→= 00 1. 4 x y →→==-例4 ()() 2 2 220,0,321 )31)(21(lim y x y x y x +-++→． 解 : 原式 ()() ( ) )() () ,0,02 211lim 231x y x y →= + ()( 22 ,0,0lim x y →= + 11022 = +=． 11 1.二元函数极限概念分析 定义1 设函数f 在2D R ?上有定义，0P 是D 的聚点，A 是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数ε，总存在某正数δ,使得00(;)P U P D δ∈时，都有 ()f P A ε-<, 则称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限，记0 lim ()P P P D f P A →∈=. 上述极限又称为二重极限. 2．二元函数极限的求法 利用二元函数的连续性 命题 若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续，则 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=. 例1 求2 (,)2f x y x xy =+ 在点(1,2)的极限. 解： 因为2 (,)2f x y x xy =+在点(1,2)处连续，所以 12 212 2lim (,) lim(2) 12125.x y x y f x y x xy →→→→=+=+??= 例2 求极限()()2 21,1,21 lim y x y x +→． 解： 因函数在()1,1点的邻域内连续，故可直接代入求极限，即 ()()221,1,21lim y x y x +→=31 ． 22 利用恒等变形法 将二元函数进行恒等变形，例如分母或分子有理化等. 例3 求 00 x y →→ 解： 00 x y →→ 00 x y →→= 00 x y →→= 00 1. 4 x y →→==-例4 ()() 2 2220,0,321 )31)(21(lim y x y x y x +-++→． 解： 原式()() ( )) () () ,0,02 211lim 231x y x y →+= + ()( 22 ,0,0lim x y →= + 11022 = +=． 求多元函数极限的方法 【摘要】对于大部分学生,尤其是初接触高等数学的同学而言,极限是一道很难过的关,因为那种“无限逼近”却又“无法达到”的抽象对于刚刚结束中学数学学习,习惯于具体图形分析、函数计算的同学来说,在思维上有了更高的要求。而对于高等数学来讲,极限又是相当重要的基础,不管是函数连续性的验证,亦或是单侧导数的求解,极限都是很重要的一个环节,它就相当于一条线惯于始终,所以说学好极限,是学好高等数学的一个起点。【1】 【关键词】多元函数；求极限多种方法；求极限常出现的错误 【引言】之前学过如连续、导数微分和积分等都要用极和秋极限的方法，例如：利用定义来求极限、用柯西收敛准则、利用两边夹定理等等。这些方法虽然简便易于理解和掌握，但对 于一些特殊的极限题目很难解决，例如：设0a >，10a >，2 12(3) 3n n n n a a a a a a ++=+求lim n n a →∞的问题题目尽给出了第n 项和第n +1项的关系若用利用定义来求极限、用柯西收敛准则 1 ! lim ! n k n k n =→∞ ∑及求一些复合函数极限的问题本文将探讨一些特殊的求极限的方法，对某些用常 见方法不易求解的题目运用此方法可以容易地解出。【2】本文将从多个方面,通过利用极限的性质及相关概念和几个典型例题对常用求极限的方法进行解析，并列出容易出错的地方。 1 利用极限定义的思想观察函数的极限 例1、讨论当x → 12时函数y =21 x x +的极限。我们列出了当x →12 时某些函数值，考察 从列表可以看出，当x 趋向于2时，y 就趋向于0.7，即x →2 时，y =21 x x +的极限是0.75。 2、利用四则运算法则求极限 例2（1）求2 332 1 lim(4)x x x →-+ （2）221 lim 21 x x x →-+ 解（2）221lim 21x x x →-+=222 lim( 1)3lim(21)5 x x x x →→-=+ 3、利用无穷小量与无穷大量的关系及无穷小量的性质求极限 例3求0 1 lim sin x x x → 解因为0 lim x x →=0，且1sin 1x ≤即1sin x 有界，所以01lim sin x x x →=0 1.二元函数极限概念分析 定义1 设函数f 在2D R ?上有定义，0P 是D 的聚点，A 是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数ε，总存在某正数δ,使得00(;)P U P D δ∈I 时，都有 ()f P A ε-<, 则称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限，记0 lim ()P P P D f P A →∈=. 上述极限又称为二重极限. 2．二元函数极限的求法 2.1 利用二元函数的连续性 命题 若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续，则0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=. 例1 求 在点(1,2)的极限. 解： 因为在点(1,2)处连续，所以 例2 求极限()()2 21,1,21 lim y x y x +→． 解： 因函数在()1,1点的邻域连续，故可直接代入求极限，即 ()()221,1,21lim y x y x +→=31 ． 2.2 利用恒等变形法 将二元函数进行恒等变形，例如分母或分子有理化等. 例3 求 00 x y →→ 解： 00 x y →→ 00 x y →→= 0x y →→= 00 1. 4 x y →→==-例4 ()() 2 2 220,0,321 )31)(21(lim y x y x y x +-++→． 解： 原式()() ( ) ) ( ) () ,0,02 211lim 231x y x y →= + ()( 22 ,0,0lim x y →= + 11022 = +=． 2.3 利用等价无穷小代换 一元函数中的等价无穷小概念可以推广到二元函数.在二元函数中常见的 等价无穷小((,)0)u x y →，有 sin (,)(,)u x y u x y :； 2(,) 1cos (,)2 u x y u x y -:； 第二节 二元函数的极限 1、试求下列极限（包括非正常极限）： （1）(,)(0,0)lim x y x 2y 2x 2+y 2 ； （2）(,)(0,0)lim x y 1+x 2+y 2 x 2+y 2 ； （3）(,)(0,0)lim x y x 2+y 21+x 2+y 2 -1 ； （4）(,)(0,0)lim x y xy+1 x 4+y 4 ； （5）(,)(1,2)lim x y 12x-y ； （6）(,)(0,0) lim x y (x+y)sin 1 x 2+y 2 ； （7）(,)(0,0) lim x y sin(x 2+y 2)x 2+y 2 x 2+y 2 . 2、讨论下列函数在点(0,0)的重极限与累次极限： （1）f(x,y)=y 2x 2+y 2 ； （2）f(x,y)=(x+y)sin 1x sin 1 y ； （3）f(x,y)=x 2y 2x 2y 2+(x-y)2 ； （4）f(x,y)=x 3+y 3 x 2+y ； （5）f(x,y)=ysin 1x ； （6）f(x,y)=x 2y 2 x 3+y 3 ； （7）f(x,y)=e x -e y sinxy . 3、证明：若1 。 (a,b) lim （x,y ）f(x,y)存在且等于A ；2。 y 在b 的某邻域内，有lim x a f(x,y)= (y) 则 y b lim a lim x f(x,y)=A. 4、试应用ε—δ定义证明 (x,y)(0,0)lim x 2y x 2+y 2 =0. 5、叙述并证明：二元函数极限的唯一性定理、局部有界性定理与局部保号性定理. 6、试写出下列类型极限的精确定义： （1） (x,y) ( ,) lim f(x,y)=A ； （2） (x,y) (0, ) lim f(x,y)=A. 7、试求下列极限： （1）(x,y)(,)lim x 2+y 2 x 4+y 4 ； （2）(x,y)(,) lim (x 2+y 2)e -(x+y)； （3） (x,y) ( ,) lim (1+1 xy )xsiny ； （4） (x,y) ( ,0) lim 211+ x x y x . 8、试作一函数f(x,y)使当x + ,y + 时， （1）两个累次极限存在而重极限不存在； （2）两个累次极限不存在而重极限存在； （3）重极限与累次极限都不存在； （4）重极限与一个累次极限存在，另一个累次极限不存在. 9、证明定理16.5及其推论3. 数学分析 第16章多元函数的极限与连续计划课时： 1 0 时 第16章 多元函数的极限与连续 ( 1 0 时 ) § 1 平面点集与多元函数 一. 平面点集: 平面点集的表示: ),(|),{(y x y x E =满足的条件}. 余集c E . 1. 常见平面点集: ⑴ 全平面和半平面 : }0|),{(≥x y x , }0|),{(>x y x , }|),{(a x y x >, }|),{(b ax y y x +≥等. ⑵ 矩形域: ],[],[d c b a ?, 1||||),{(≤+y x y x }. ⑶ 圆域: 开圆 , 闭圆 , 圆环，圆的一部分. 极坐标表示, 特别是 }cos 2|),{(θθa r r ≤和}sin 2|),{(θθa r r ≤. ⑷ 角域: }|),{(βθαθ≤≤r . ⑸ 简单域: -X 型域和-Y 型域. 2. 邻域: 圆邻域和方邻域，圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域. 空心邻域和实心邻域 , 空心方邻域与集 }||0 , ||0|),{(00δδ<-<<- 多元函数的定义域，极限 1，设函数Z=arcsin （x+y ），则定义域是 ； 答：?≤+≤-11y x 定义域为： {};11,),(≤+≤-y x y x 2，设函数Z=) ln(1y x y +，则定义域是 ； 解：由{}0/),(1 11φy y x D y z =?= 所以 {}0,0/,(21φφY y x y y x D D D +== （图 形讲义） 3，设函数Z= y x y x --2 4，则定义域是 ； {}0/,).(2 φπy x y y x 且 解：由04000422 φπφy x y x y y y x y x ≤???? ???? ???≥-≥- （图 形讲义） 4，求2 21)ln(y x x x y z --+ -=的定义域。 解：由 ?? ? ??+≥??????--≥-1001002222πφφφy x x x y y x x x y （图 形讲义） 5，设 xy e y x y x f xy ++= 2 2 3sin ),(π，求) ,(lim 2 1 y x f y x →→。 解：因为),(y x f 是初等函数，且D ∈)2,1( 所以),(y x f 在（1，2）处连续， 故 2322sin )2,1(),(lim 2 22 2 32 1 +=++==→→e e f y x f y x π 6，设2 22lim x y x y x xy ???? ??+∞ →∞→的极限。 解： 因为 2 2 21022x x y x xy ?? ? ??≤??? ? ? ?+≤ （ xy y x y x 2,0,02 2≥+φφΘ） 而 0)(lim ,021lim 2 2 22=+?=? ?? ??∞ →∞→∞ →∞→x y x x y x y x xy 7，求x xy a y x sin lim →→； 1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 【关键字】情况、方法、条件、领域、问题、准则、方式、检验、分析、推广、满足、保证、方向 1.二元函数极限概念分析 定义1 设函数f 在2D R ?上有定义，0P 是D 的聚点，A 是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数ε，总存在某正数δ,使得00(;)P U P D δ∈时，都有 ()f P A ε-<, 则称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限，记0 lim ()P P P D f P A →∈=. 上述极限又称为二重极限. 2．二元函数极限的求法 2.1 利用二元函数的连续性 命题 若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续，则 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=. 例1 求2 (,)2f x y x xy =+ 在点(1,2)的极限. 解： 因为2 (,)2f x y x xy =+在点(1,2)处连续，所以 例2 求极限()()2 21,1,21 lim y x y x +→． 解： 因函数在()1,1点的邻域内连续，故可直接代入求极限，即 ()()221,1,21lim y x y x +→=31 ． 2.2 利用恒等变形法 将二元函数进行恒等变形，例如分母或分子有理化等. 2文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 例3 求 00 x y →→ 解： 00 x y →→ 例4 ()() 2 2220,0,321 )31)(21(lim y x y x y x +-++→． 解： 原式()() ( )) ( ) () ,0,02 211lim 231x y x y →= + 11 022 = +=． 2.3 利用等价无穷小代换 一元函数中的等价无穷小概念可以推广到二元函数.在二元函数中常见的 等价无穷小((,)0)u x y →，有 sin (,)(,)u x y u x y ； 2(,) 1cos (,)2 u x y u x y -； []ln 1(,)(,)u x y u x y +；tan (,)(,)u x y u x y ；arcsin (,)(,)u x y u x y ； arctan ( ,) (,)u x y u x y (,) 1 u x y n ；(,)1(,)u x y e u x y -；同一元函数一样，等价无穷小代换只能在乘法和除法中应用. 例5 求 00 x y →→ 解： 当 0x →，0y →时，有0x y +→1 1 ()2 x y +，所以 §2.3 二元函数的极限与连续 定义设二元函数在点的某邻域内有意义, 若存在 常数A,,当（即）时，都有 则称A是函数当点趋于点时的极限,记作 或 或或。必须注意这个极限值与点趋于点的方式无关,即不论P 以什么方 向和路径（也可是跳跃式地，忽上忽下地）趋向。只要P与充分接近, 就能 使与A 接近到预先任意指定的程度。注意：点P趋于点点方式可有无穷多 种,比一元函数仅有左,右两个单侧极限要复杂的多（图8-7）。 图8-7 同样我们可用归结原则,若发现点P按两个特殊的路径趋于点时,极限 存在,但不相等, 则可以判定在该点极限不存在。这是判断多元函数极限不 存在的重要方法之一。 一元函数极限中除了单调有界定理外,其余的有关性质和结论, 在二 元函数极 限理论中都适用，在这里就不一一赘述了。 例如若有, 其中 求多元函数的极限, 一般都是转化为一元函数的极限来求, 或利用夹逼定理 来计算。例4 求。解由于 而,根据夹逼定理知 ,所以 例5求（a≠0)。解。例6求。解由于且 ,所以根据夹逼定理知 . 例7 研究函数在点处极限是否存在。解当x2+y2≠0时，我们研究函数，沿x→0,y=kx→0这一方式趋于 （0，0）的极限，有,。很显然，对于不同的k值，可得到不同的极 限值,所以极限不存在,但 。注意：的区别, 前面两个求极限方式的 本质是两次求一元函数的极限, 我们称为累次极限, 而最后一个是求二元函数的 极限,我们称为求二重极限。 例8 设函数。它关于原点的两个累次极限都不存在,因 为对任何,当时,的第二项不存在极限；同理对任何 时,的第 一项也不存在极限,但是, 由于, 因此 由例7知, 两次累次极限存在, 但二重极限不存在。由例8可知,二重极限存 在,但二个累次极限不存在。我们有下面的结果: 定理1若累次极限和二重极限 都存在,则 三者相等（证明略）。推论若存在但 1 1.二元函数极限概念分析 定义1 设函数f 在2D R ?上有定义，0P 是D 的聚点，A 是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数ε，总存在某正数δ,使得00(;)P U P D δ∈时，都有 ()f P A ε-<, 则称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限，记0 lim ()P P P D f P A →∈=. 上述极限又称为二重极限. 2．二元函数极限的求法 2.1 利用二元函数的连续性 命题 若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续，则 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=. 例1 求2 (,)2f x y x xy =+ 在点(1,2)的极限. 解： 因为2 (,)2f x y x xy =+在点(1,2)处连续，所以 12 212 2lim (,) lim(2) 12125. x y x y f x y x xy →→→→=+=+??= 例2 求极限()()2 21,1,21 lim y x y x +→． 解： 因函数在()1,1点的邻域内连续，故可直接代入求极限，即 ()()221,1,21lim y x y x +→=31 ． 2 2.2 利用恒等变形法 将二元函数进行恒等变形，例如分母或分子有理化等. 例3 求 00 x y →→ 解： 00 x y →→ 0x y →→= 0x y →→= 00 1. 4 x y →→==- 例4 ()() 2 2 220,0,321 )31)(21(lim y x y x y x +-++→． 解： 原式()() ( )) ( ) () ,0,02 211lim 231x y x y →+= + ()( 22 ,0,0lim x y →= 11022 = +=． . 1.二元函数极限概念分析 定义1 设函数f 在2D R ?上有定义，0P 是D 的聚点，A 是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数ε，总存在某正数δ,使得00(;)P U P D δ∈I 时，都有 ()f P A ε-<, 则称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限，记0 lim ()P P P D f P A →∈=. 上述极限又称为二重极限. 2．二元函数极限的求法 2.1 利用二元函数的连续性 命题 若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续，则 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=. 例1 求2 (,)2f x y x xy =+ 在点(1,2)的极限. 解： 因为2 (,)2f x y x xy =+在点(1,2)处连续，所以 12 212 2lim (,) lim(2) 12125. x y x y f x y x xy →→→→=+=+??= 例2 求极限()()2 21,1,21 lim y x y x +→． 解： 因函数在()1,1点的邻域内连续，故可直接代入求极限，即 ()()221,1,21lim y x y x +→=31 ． . 2.2 利用恒等变形法 将二元函数进行恒等变形，例如分母或分子有理化等. 例3 求 00 x y →→ 解： 00 x y →→ 00 x y →→= 0x y →→= 00 1. 4 x y →→==-例4 ()() 2 2220,0,321 )31)(21(lim y x y x y x +-++→． 解： 原式()() ( ) ) () () ,0,02 211lim 231x y x y →= + ()( 22 ,0,0lim x y →= + 11022 = +=． 求二元函数极限的几种方法 案场各岗位服务流程 销售大厅服务岗： 1、销售大厅服务岗岗位职责： 1)为来访客户提供全程的休息区域及饮品; 2)保持销售区域台面整洁; 3)及时补足销售大厅物资,如糖果或杂志等; 4)收集客户意见、建议及现场问题点； 2、销售大厅服务岗工作及服务流程 阶段工作及服务流程 班前阶段1）自检仪容仪表以饱满的精神面貌进入工作区域 2）检查使用工具及销售大厅物资情况，异常情况及时登记并报告上级。 班中工作程序服务 流程 行为 规范 迎接 指引 递阅 资料 上饮品 （糕点） 添加茶水 工作 要求 1）眼神关注客人，当客人距3米距离 时，应主动跨出自己的位置迎宾，然后 侯客迎询问客户送客户 注意事项 15度鞠躬微笑问候：“您好！欢迎光临！”2）在客人前方1-2米距离领位，指引请客人向休息区，在客人入座后问客人对座位是否满意：“您好！请问坐这儿可以吗？”得到同意后为客人拉椅入座“好的，请入座！” 3）若客人无置业顾问陪同，可询问：请问您有专属的置业顾问吗？，为客人取阅项目资料，并礼貌的告知请客人稍等，置业顾问会很快过来介绍，同时请置业顾问关注该客人； 4）问候的起始语应为“先生-小姐-女士早上好，这里是XX销售中心，这边请”5）问候时间段为8:30-11:30 早上好11:30-14:30 中午好 14:30-18:00下午好 6）关注客人物品，如物品较多，则主动询问是否需要帮助（如拾到物品须两名人员在场方能打开，提示客人注意贵重物品）； 7）在满座位的情况下，须先向客人致歉，在请其到沙盘区进行观摩稍作等 待； 阶段工作及服务流程 班中工作程序工作 要求 注意 事项 饮料（糕点服务） 1）在所有饮料（糕点）服务中必须使用 托盘； 2）所有饮料服务均已“对不起，打扰一 下，请问您需要什么饮品”为起始； 3）服务方向：从客人的右面服务； 4）当客人的饮料杯中只剩三分之一时， 必须询问客人是否需要再添一杯，在二 次服务中特别注意瓶口绝对不可以与 客人使用的杯子接触； 5）在客人再次需要饮料时必须更换杯 子； 下班程 序1）检查使用的工具及销售案场物资情况，异常情况及时记录并报告上级领导； 2）填写物资领用申请表并整理客户意见；3）参加班后总结会； 4）积极配合销售人员的接待工作，如果下班时间已经到，必须待客人离开后下班； 11 / 15 1.二元函数极限概念分析 定义1 设函数f 在2D R ?上有定义，0P 是D 的聚点，A 是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数ε，总存在某正数δ,使得00(;)P U P D δ∈时，都有 ()f P A ε-<, 则称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限，记0 lim ()P P P D f P A →∈=. 上述极限又称为二重极限. 2．二元函数极限的求法 利用二元函数的连续性 命题 若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续，则 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=. 例1 求2 (,)2f x y x xy =+ 在点(1,2)的极限. 解： 因为2 (,)2f x y x xy =+在点(1,2)处连续，所以 12 212 2lim (,) lim(2) 12125. x y x y f x y x xy →→→→=+=+??= 例2 求极限()()2 21,1,21 lim y x y x +→． 解： 因函数在()1,1点的邻域内连续，故可直接代入求极限，即 ()()221,1,21lim y x y x +→=31 ． 22 / 15 利用恒等变形法 将二元函数进行恒等变形，例如分母或分子有理化等. 例3 求 00 x y →→ 解： 00 x y →→ 00 x y →→= 0x y →→= 00 1. 4 x y →→==-例4 ()() 2 2220,0,321 )31)(21(lim y x y x y x +-++→． 解： 原式()() ( ) ) ( ) () ,0,02 211lim 231x y x y →= + ()( 22 ,0,0lim x y →= + 11022 = +=． 多元函数条件极值的几种求解方法 摘要 本文主要讨论了多元函数条件极值的求解问题，其中包括无条件极值、条件极值的概念介绍，对多元函数条件极限值的几种求解方法的概括，其中包括了直接代入法，拉格朗日乘数法，柯西不等式等方法，其中拉格朗日乘数法还着重介绍了全微分和二阶偏导数即Hesse矩阵法等。介绍关于求解多元函数条件极值的几种方法目的是在解决相应的问题中时能得以借鉴，找到合适的解决问题的途径。 关键词 极值；拉格朗日乘数法；柯西不等式 1前言 函数极值问题已广泛地出现于数学、物理、化学等学科中，且它涉及的知识面非常广，所以就要求学生有较高的分析能力和逻辑推理能力，同时也要求学生掌握多种求函数极值的方法，因此对函数极值的研究是非常必要的。 函数极值的求解与发展极大的推动了微积分学科的发展，为其做出了重大贡献。 微积分的创立，首先是为了处理十七世纪的一系列主要的科学问题。有四种主要类型的科学问题：第一类是，已知物体的移动的距离表为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度使瞬时变化率问题的研究成为当务之急；第二类是，望远镜的光程设计使得求曲线的切线问题变得不可回避；第三类是，确定炮弹的最大射程以及求行星离开太阳的最远和最近距离等涉及的函数极大值、极小值问题也急待解决；第四类问题是求行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力等，又使面积、体积、曲线长、重心和引力等微积分基本问题的计算被重新研究。 同样在很多工程实际中，我们经常需要做一些优化。举个简单的例子，就拿天气预报来说吧，通过实验测得很多气象数据，那么我们怎么处理这些数据，或者说用什么方法处理这些数据，才能达到预测结果最为准确呢，这其实也是一个广义上的极值问题。还有就是经济学的投资问题，我们知道现在国家搞什么高铁、高速公路的，都是 摘要......................................................................................................1 关键词......................................................................................................1 Abstract ...................................................................................................1 Key words ................................................................................................1 引言...................................................................................................1 1预备知识 ................................................................................................1 1.1 一元函数极限的定义..............................................................................2 1.2一元函数极限的性质及相关定理 ...............................................................3 1.3两个重要的极限....................................................................................3 1.4无穷小量的定义及等价无穷小..................................................................3 1.5常用的导数定义式,,..............................................................................3 1.6二元函数极限的定义........................................................................4 2求一元函数极限的方法..............................................................................4 2.1利用定义求极限 ....................................................................................4 2.2利用归结原则求极限..............................................................................5 2.3利用左右极限求得函数极限 .....................................................................5 2.4利用迫敛性求极限 .................................................................................6 2.5利用四则运算法则求极限 ........................................................................7 2.6利用两个重要极限求极限 ........................................................................7 2.7利用等价无穷小量代换求极限 ..................................................................7 2.8利用函数的连续性求极限 ........................................................................8 2.9利用洛比达法则求极限 ...........................................................................8 2.10利用泰勒公式求极限..............................................................................9 2.11用导数的定义求极限 ...........................................................................10 2.12利用定积分求极限 ..............................................................................10 3二元函数的极限以及判定 ........................................................................11 3.1利用二重极限的定义 ...........................................................................11 3.2运用连续函数的性质 ...........................................................................11 3.3利用变量替换 ....................................................................................11 3.4 先求对数后求极限 ..............................................................................12 3.5利用分子或分母有理化...........................................................................12 3.6判断(,)f x y 在点00(,)x y 处极限不存在的方法 (12)求多元函数极限的方法
求二元函数极限地几种方法
(整理)二元函数极限的求法.
(整理)多元函数的极限与连续习题.
第十五章多元函数的极限与连续性§1平面点集
求二元函数极限的几种方法二元函数极限定理
求二元函数极限的几种方法
求多元函数极限的方法
求二元函数极限几种方法
数学分析下——二元函数的极限课后习题.doc
(整理)多元函数的极限与连续
多元函数的定义域 极限
求二元函数极限的几种方法精品
二元函数的极限与连续5页word文档
求二元函数极限的几种方法.
求二元函数极限几种方法
求二元函数极限的几种方法
求二元函数极限几种方法
多元函数条件极值的几种求解方法概述
求一元二元函数极限的方法总结