求二元函数极限的几种方法
11
1.二元函数极限概念分析
定义1 设函数f 在2D R ?上有定义，0P 是D 的聚点，A 是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数ε，总存在某正数δ,使得00(;)P U P D δ∈时，都有 ()f P A ε-<,
则称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限，记0
lim ()P P P D
f P A →∈=.
上述极限又称为二重极限.
2．二元函数极限的求法
利用二元函数的连续性
命题 若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续，则
0000(,)(,)
lim
(,)(,)x y x y f x y f x y →=.
例1 求2
(,)2f x y x xy =+ 在点(1,2)的极限. 解： 因为2
(,)2f x y x xy =+在点(1,2)处连续，所以
12
212
2lim (,)
lim(2)
12125.x y x y f x y x xy →→→→=+=+??=
例2 求极限()()2
21,1,21
lim
y x y x +→．
解： 因函数在()1,1点的邻域内连续，故可直接代入求极限，即
()()221,1,21lim
y x y x +→=31
．
22
利用恒等变形法
将二元函数进行恒等变形，例如分母或分子有理化等. 例3 求
00
x y →→
解：
00
x y →→
00
x y →→=
00
x y →→=
00
1.
4
x y →→==-例4 ()()
2
2220,0,321
)31)(21(lim
y x y x y x +-++→．
解： 原式()()
(
))
()
()
,0,02
211lim
231x y x
y →+=
+
()(
22
,0,0lim
x y →=
+
11022
=
+=．
利用等价无穷小代换
一元函数中的等价无穷小概念可以推广到二元函数.在二元函数中常见的
等价无穷小((,)0)
u x y→，有sin(,)(,)
u x y u x y；
2(,)
1cos(,)
2
u x y
u x y
-；
[]
ln1(,)(,)
u x y u x y
+；tan(,)(,)
u x y u x y；arcsin(,)(,)
u x y u x y；
arctan(
,)(,)
u x y u x y
(,)
1
u x y
n
；(,)1(,)
u x y
e
u x y
-；同一元函数一样，等价无穷小代换只能在乘法和除法中应用.
例5求
x
y
→
→
解：当
x→，0
y→时，有0
x y
+→
1
1()
2
x y
+，所以
1
()
2
lim
1
.
2
x
y
x
y
x y
x y
→
→
→
→
+
=
+
=
这个例子也可以用恒等变形法计算，如：
1
.
2
x
y
x
y
x
y
→
→
→
→
→
→
=
=
=
33
44
利用两个重要极限
(,)0sin (,)lim 1(,)
u x y u x y u x y →=，[]1
(,)(,)0lim 1(,)u x y u x y u x y e →+= 它们分别是一元函数中两个重要极限的推广.
例6 求极限 21lim(1)x x y
x y a
xy
+→∞
→+
.
解： 先把已知极限化为
2
2
()
1
1lim(1)lim (1)x x xy x y xy x y
x x y a
y a xy xy ++→∞→∞→→??+=+???
?，而 211
lim
lim ,()(1)x x y a y a x y xy x y a
y x
→∞→∞→→==++ 当 ,x y a →∞→时1,
0xy xy →∞→，所以 1
lim(1).xy x y a
e xy →∞→+=
故原式=2()
11lim (1).
x xy x y xy x
y a a
xy e +→∞→??
+???
?=
例7 求 0sin()
lim
x y a
xy x →→极限.
解： 因为
sin()sin()
.xy xy y x xy
=，当0,x y a →→时，0xy →，所以 sin()
1xy xy
→，再利用极限四则运算可得： 000sin()sin()sin()
lim
lim .lim .lim .x x y a xy y a y a
xy xy xy y y a x xy xy →→→→→→===·1=a .
这个例子也可以用等价无穷小代换计算，如：
55
当 0x →，y a →时，0xy → ，sin()xy xy .
所以， 00sin()lim
lim lim .x x y a y a y a
xy xy
y a x x →→→→→===
利用无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量的结论
例8
求 00
11)sin cos x y y x y →→
解: 因为
00
)0x y y →→= 是无穷小量， 11
sin cos 1x y ≤ 是有界量 ，
故可知
，00
11
)sin cos 0.x y y x y →→=
例9 求 22232
(3)(2)
lim (3)(2)x y x y x y →→---+-
解 原式=2232
(3)(2)
lim
(3)(3)(2)x y x y x x y →→--?--+-
因为 222222
(3)(2)(3)(2)1
(3)(2)22(3)(2)x y x y x y x y ---+-≤=-+-??-+-?? 是有界量，又 3
2
lim(3)0x y x →→-= 是无穷小量，
所以 ， 22232
(3)(2)
lim
0(3)(2)x y x y x y →→--=-+- . 虽然这个方法计算实际问题上不那么多用，但计算对无穷小量与有界量的乘积形式的极限的最简单方法之一 .
66
利用变量替换法
通过变量替换可以将某些二元函数的极限转化为一元函数的极限来计算，从而使二元函数的极限变得简单.但利用时一定要满足下面的定理。
定理：函数(),f x y 点()00,x y 的取心领域内有定义的且cos a 、cos b 沿向量
()0,
0x x
y y --的方向余弦，
若二元函数的极限()000
lim cos ,cos t x t a y t b A →++=,则 )1若A 的值与a 、b 无关，则
()()()00,,lim
,x y x y f x y A →=； )2若A 的值与a 、b 有关，则
()()
()00,,lim
,x y x y f x y →不存在；
例10 求 22()lim ()x y x y x y e -+→+∞
→+∞
+
解 2222
2
()
22()lim ()lim 2x y x y x x y y x y x y x y e
e x xy y -++→+∞→+∞→+∞
→+∞??+++=???++?
? 因 0,0x y >>时，22
2
2
12x y x xy y +≤++ ，令 x y t +=，显然满足定理的条件，则22()22lim lim lim lim 0x y t t t x t t t y x y t t e e e e +→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞
+====，所以 ，22()
lim ()0x y x y x y e -+→+∞→+∞+= . 例11
求极限0
tan x y x y →→+
解：令u =
又00
lim 0x x y y u →→→→==显然满足定理的条件，则
22
2220
0000
1cos sin 1sin 1lim
lim lim cos tan 2sec 22
tan x u u u y u u u u u u u u x y →→→→→-===??=+
77
利用夹逼准则
二元函数的夹逼准则：设在点000(,)P x y 的领域内有
(,)(,)(,)h x y f x y g x y ≤≤，且
0000(,)(,)
(,)(,)
lim (,)lim (,)x y x y x y x y h x y g x y A →→=
=（常数）
，则
00(,)(,)
lim (,)x y x y f x y A →= . 但要注意求二元函数极限时是对两个变量同时放缩．
例12 求 22
00
lim x y x y x y →→++
解: 因为 2
22()
00(0,0)x y x y x y x y x y x y
++≤≤=+→→→++ ，由夹逼准
则，得 22
00
lim
0x y x y x y →→+=+ . 例13 求极限222)
sin(lim y x y x y x +∞
→∞→．
解: 2
22221
)sin(0y x y x y x +≤+<， 又
01
lim
22=+∞
→∞→y x y x ，
故
222)
sin(lim y x y x y x +∞
→∞→=0．
88
先估计后证明法
此方法的运用往往是先通过观察推断出函数的极限，然后用定义证明.
例14 求函数22
22
(,)x y f x y x y =+在点(0,0)处的极限. 解: 此例分2部考虑：
先令y kx =，考虑(,)f x y 沿y kx =(,)(0,0)x y →时的极限，
424222
2222220000lim (,)lim lim lim 0(1)1x x x x y kx
x k x k k f x y x x x k x k k →→→→====?=+++ .因为路径y kx =为特殊方向，因此我们还不能判断出极限为0.所以下面用定义检验极限是否为
0： 因为
222222222222
222()(,)002()2()
xy xy xy x y x y x y f x y x y x y x y x y ??+-=-==≤++++1
0022
xy x y =
=-?- 于是，0,ε?
>取0,(,):0,0x y x y δδδ=>?-<-<且
2222102x y x y δδ-≤?+=22δ22ε
ε==，所以222
200
lim 0x y x y x y →→=+. 例15.求()2
24
,xy f x y x y =+在()0,0的极限.
解：若函数()2
24
,xy f x y x y
=+中动点(),p x y 沿直线y kx =趋于原点()0,0，
99
则()()()()()
222232
2424
244242,0,0,0,lim lim lim lim 01x y x y kx x o x o xy xy xk x x k x y x y x k x x k x →→→→====++++
即函数()2
24,xy f x y x y =+中动点(),p x y 沿着无穷多个方向趋于原点时，它的极
限为0；但根据这个我们不能说它的极限为0；由于动点(),p x y 沿着其它的路
径，比如沿抛物线y =()()224,0,0lim x y xy x y →+(
)(2224220,1lim 2
x x y xy x x y x x →→===++从而判断出()()2
24,0,0lim x y xy x y →+不存在；通过例子我们得出任意方向不能代表任意路径，也就是说，我们沿动点
(),p x y 不仅任何路径而且还必须任意方向；
利用极坐标法
当二元函数中含有22x y +项时，考虑用极坐标变换：cos ,sin x y ρθρθ==通过综合运用恒等变换，不等式放缩等方法将二元函数(,)f x y 转化为只含有参量ρ的函数()g ρ，进而求二元函数的极限.
例16 计算
2222
(,)(0,0)
lim ()sin
x y x y
x y x y →+++
解: 极限中的二元函数含有22x y +，令cos ,sin x y ρθρθ==，使得
2222
22
(sin cos )0()sin
sin x y x y x y θθρρρ
++≤+=≤+ ，20
lim00,lim 0ρρρ→→==，由
夹逼准则得，20
(sin cos )
lim sin
0ρθθρρ
→+=
1010
所以，
2222
(,)(0,0)
lim ()sin
0x y x y
x y x y →++=+.
例17 求极限2
24
00
lim x y xy x y →→+. 解：若令t 为变量，使cos ,sin x t y t θθ==且[],2o θπ∈，则
2222224
cos sin 0cos sin xy t x y t θθ
θθ
-=++，当(),x y ()0,0→时，t →0.对任意固定的θ 上式均趋于0，但不能下结论说22400lim x y xy x y →→+=0.事实上224
00lim x y xy x y →→+不存在，这只让(),x y 沿着任意方向y kx =趋于定点(0,0)，此时2242
00
lim 1x y xy k
x y k →→=++. =在运用此方法时注意，经过初等变换后的函数满足用迫敛性得函数的极限为a ；若化简后的函数为(,)g ρθ，但对于某个固定的00,(,)0g θρθ→，仍不能判断函数的极限为a .
利用累次极限法
一般情况下，累次极限存在并不能保证二重极限存在，但二元函数(,)f x y 满足定理2的条件，就可以利用累次极限00
00
lim lim (,)lim lim (,)x x y y y y x x f x y f x y →→→→或来计
算极限.
定理2 若(,)f x y 在点00(,)x y 存在重极限
00(,)(,)
lim (,)x y x y f x y →与两个累次极限
00
00
lim lim (,),lim lim (,)x x y y y y x x f x y f x y →→→→，则它们必相等.
例18 求极限44
22
(,)(0,0)lim x y x y x y →++
1111
解:
442222
22222
()x y y y x x y x y x y
+--=≤++，∴对任意440
2220(0,),lim y x y x U x x y δ→+∈=+一致的成立；而对440
2220(0,),lim x x y y U y x y
δ→+∈=+存在，根据定理1，得
444422222(,)(0,0)000
lim lim lim lim 0x y x y x x y x y x x y x y →→→→++===++. 这道题也可以用上述所说的先估计后证明法和极坐标法来计算，如：
（1） 用先估计后证明法：
解: 通过观察可知极限中的二元函数分子是分母的高阶无穷小量，故极限应为0，定义证明：
0,ε?> 因为 444422222222
0x y x y x y x y x y x y
+
-≤+≤++++，故要使4422,x y x y ε+<+只要取δ=
，(,):,x y x y δδ?<<则4422
22
0442
x y x y x y εεεε+-≤+<+=<+， 故 4422(,)(0,0)lim 0x y x y x y →+=+.
（2）用极坐标法
解 令 cos ,sin x y ρθρθ==，因为
444442442222
(cos sin )0(cos sin )2x y x y ρθθρθρρ
++≤==+≤+，20
lim00,lim 20ρρρ→→==，∴由夹逼准则得，2440
lim (cos sin )0ρρθθ→+=，
1212
所以，44
22(,)(0,0)lim 0x y x y x y →+=+.
例19求函数(),f x y =11
sin
sin x y y x
+的极限. 解：()(),0,0001111lim sin sin limlim sin sin x y y x x y x y y x y x →→→????
+=+ ? ??
??? 当0x →，以y 为常数
时，01
limsin x x
→ 不存在，从而得原函数极限不存在;很显然，这种计算法是错的；
因为
()(),0,011lim sin sin x y x y y x →??+ ???()()()(),0,0,0,011lim sin lim sin x y x y x y y x →→???
?=+ ? ????
?中，
当0x →时，x 为无穷小量；0y →时，1
sin
y
为有界量， 从而得
()()
00,,1lim sin
x y x y x y →0=，同样()()00,,1
lim sin 0x y x y y x
→=；所以
()(),0,011lim sin sin x y x y y x →??+ ???()()()(),0,0,0,011lim sin lim sin x y x y x y y x →→???
?=+ ? ?????0=； 此例题我们推出：如果不熟重极限与累次极限的定义反而混乱它们的存在性，所以应该要注意下列三点：
一）若累次极限存在且相等，而重极限不一定存在；
例：()()224,0,0lim x y xy x y →+中：2224240000lim lim lim lim 0y x x y xy xy x y x y →→→→==++但()()2
24
,0,0lim x y xy x y →+不
存在。
二）虽然重极限存在，但不一定两累次极限存在； 例：
()(),0,011lim sin sin x y x y y x →??
+ ??
?中，
1313
()(),0,011lim sin sin x y x y y x →??+ ???0=0011limlim sin sin y x x y y x →→??+ ???，0011limlim sin sin x y x y y x →→??+ ?
??两都不存在；
三）两累次极限和重极限中有一个或两个存在不能保证其它的极限的存在性；
利用取对数法
这一方法适合于指数函数求极限.对于二元指数函数，也可以像一元函数那样，先取对数，然后再求极限.
例20 求 22
220
lim()x
y
x y x y →→+
解: 设 22
22()x
y
u x y =+，则
222
2
2
2
2222
22
ln ln()()ln()x y u x y x y x y x y x y
=+=+++，而 2222000022
1lim lim 011x x y y x y x y y x →→→→==++
，令 22x y t +=，知 ，22220000002
1
ln lim()ln()lim ln lim lim lim 011x t t t t y t
t x y x y t t t t t →→→→→→++====-=- 故原式=01e =；
运用洛必达法则求二元函数的极限
例21 求
])()([sin lim 22)
0,0(),(xy xy y x y x +→．
解: 由第一章定理7洛必达法则可知
1414
])()([sin lim 22)
0,0(),(xy xy y x y x +→
]
)2)(cos()2)([cos(21
lim
222222)0,0(),(y y xy xy y x x y xy xy y x xy y x +++++=
→0)])([cos(lim 23
22)
0,0(),(=++=
→y x xy y x y x 利用定义求二元函数极限
例22 用定义验证：()()
()
3lim
22
1
,1,=++→y xy x y x ．
解: ()
()()11132222-+-+-=-++xy y x y xy x
=
()()()()()()
111111-+-++-++-y y x y y x x
=()()()()2
1112111+-+++-≤+-+++-y y y x x y y y x x ，
限定0>δ，则.11,11<-<-y x 从而
53113111<+-+-<+-+-=++y x y x y x ，
431312<+-<+-=+y y y ．
故
()1151415322-+-<-+-<-++y x y x y xy x ．
设ε为任意正数，取??
?
??=10,1min εδ，则当()()1,2,,1,1≠<-<-y x y x δδ时，就
有εδδ<=?<-++1025722y xy x ．
1515
和一元函数一样，在使用函数定义求极限的时候，也伴随有放缩，这时要注意是对两个自变量的同时限制．
在二元函数的定义中，要求),(y x P 任意方式趋于),(000y x P 时，函数(,)f x y 都无限接近于A ．因此，很容易得到：若在()y x f ,的定义域内存在两条不同的连续曲线()()x h y x g y ==,，且当0x x →时，00,g x
y h x y ，但函数式
()y x f ,沿着这两条曲线逼近()00,y x 时的极限却不同，或者一个存在，另一个不
存在，则二元函数()y x f ,在此点不存在极限．
就这样，一道题有几种解法，哪个方法比较简单，比较合适就用哪个方法.
求多元函数极限的方法
求多元函数极限的方法 【摘要】对于大部分学生，尤其是初接触高等数学的同学而言,极限是一道很难过的关,因为那种“无限逼近”却又“无法达到”的抽象对于刚刚结束中学数学学习,习惯于具体图形分析、函数计算的同学来说,在思维上有了更高的要求。而对于高等数学来讲，极限又是相当重要的基础,不管是函数连续性的验证,亦或是单侧导数的求解，极限都是很重要的一个环节,它就相当于一条线惯于始终,所以说学好极限,是学好高等数学的一个起点。【1】 【关键词】多元函数;求极限多种方法；求极限常出现的错误 【引言】之前学过如连续、导数微分和积分等都要用极和秋极限的方法,例如：利用定义来求极限、用柯西收敛准则、利用两边夹定理等等。这些方法虽然简便易于理解和掌握,但对 于一些特殊的极限题目很难解决，例如：设0a >，10a >，2 12(3) 3n n n n a a a a a a ++=+求lim n n a →∞的问题题目尽给出了第n 项和第n +１项的关系若用利用定义来求极限、用柯西收敛准则 1 ! lim ! n k n k n =→∞ ∑及求一些复合函数极限的问题本文将探讨一些特殊的求极限的方法，对某些用常 见方法不易求解的题目运用此方法可以容易地解出。【2】本文将从多个方面，通过利用极限的性质及相关概念和几个典型例题对常用求极限的方法进行解析，并列出容易出错的地方。 1 利用极限定义的思想观察函数的极限 例1、讨论当x → 12时函数y =21 x x +的极限。我们列出了当x →12 时某些函数值,考察 从列表可以看出,当x 趋向于2时，y 就趋向于0.7,即x →2 时,y =21 x x +的极限是0．75。 2、利用四则运算法则求极限 例2(1)求2 3 32 1 lim(4)x x x →-+ （2）221 lim 21 x x x →-+ 解(2）2 21lim 21x x x →-+=2 2 2 lim(1)3lim(21)5 x x x x →→-=+ 3、利用无穷小量与无穷大量的关系及无穷小量的性质求极限 例3求0 1 lim sin x x x →
求二元函数极限地几种方法
精彩文档 1.二元函数极限概念分析 定义1 设函数f 在2D R ?上有定义，0P 是D 的聚点，A 是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数ε，总存在某正数δ,使得00(;)P U P D δ∈时，都有 ()f P A ε-<, 则称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限，记0 lim ()P P P D f P A →∈=. 上述极限又称为二重极限. 2．二元函数极限的求法 2.1 利用二元函数的连续性 命题 若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续，则 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=. 例1 求2 (,)2f x y x xy =+ 在点(1,2)的极限. 解： 因为2 (,)2f x y x xy =+在点(1,2)处连续，所以 12 212 2lim (,) lim(2) 12125.x y x y f x y x xy →→→→=+=+??= 例2 求极限()()2 21,1,21 lim y x y x +→． 解： 因函数在()1,1点的邻域内连续，故可直接代入求极限，即 ()()221,1,21 lim y x y x +→=3 1．
精彩文档 2.2 利用恒等变形法 将二元函数进行恒等变形，例如分母或分子有理化等. 例3 求 00 x y →→ 解： 00 x y →→ 00 x y →→= 00 x y →→= 00 1. 4 x y →→==-例4 ()() 2 2 220,0,321 )31)(21(lim y x y x y x +-++→． 解： 原式()() ( ) ) () () ,0,02 211lim 231x y x y →+= ++ ()( 22 ,0,0lim x y →= + 11022 = +=．
(整理)二元函数极限的求法.
二元函数极限的求法 数学与统计学院、数学与应用数学、0701班，湖北，黄石，435002 1.引言 多元函数的极限在高等数学中非常重要，但由于多元函数的自变量多,因此对于判断其极限存在与否及其求法，比起一元函数的极限就显得比较困难.求极限和证明极限的方法很多，一般我们常用定义法，初等变形法，两边夹准则，阶的估计等.在这几种方法中，定义法是基础，但是比较繁琐,其他方法有的较易，有的较难，让人不知道从何下手.因此，我们有必要总结探讨出比较容易好的方法去求多元函数的极限.多元函数极限在现在的生活中也有很大的用处，比如工程计算方面.从以上来看，研究归纳总结多元函数极限的求法问题是有意义和必要的.本文主要研究二元函数极限的定义以及二元函数极限求解的几种方法，并以实例加以说明. 2.二元函数极限的定义 定义1 设E 是2R 的一个子集，R 是实数集,f 是一个规律，如果对E 中的每一点(,)x y ,通过规律f ,在R 中有唯一的一个u 与此对应,则称f 是定义在E 上的一个二元函数,它在点(,)x y 的函数值是u ,并记此值为(,)f x y ，即(,)u f x y =. 有时,二元函数可以用空间的一块曲面表示出来,这为研究问题提供了直观想象.例如，二元函数222y x R x --=就是一个上半球面，球心在原点，半径为R ，此函数定义域为满足关系式222R y x ≤+的x ,y 全体,即 }|),{(222R y x y x D ≤+=.又如,xy Z =是马鞍面. 知道多元函数的定义之后,在我们求多元函数极限之前我们必须知道多
元函数极限的定义. 定义2 设E 是2R 的一个开集，A 是一个常数，二元函数()(,)f M f x y =在点()000,M x y E ∈附近有定义．如果0>?ε,0>?δ,当()00,r M M δ<<时,有()f M A ε-<,就称A 是二元函数在0M 点的极限.记为()0 lim M M f M A →=或 ()()0f M A M M →→. 定义的等价叙述 1 ：设E 是2R 的一个开集,A 是一个常数,二元函数 ()(,)f M f x y =在点()000,M x y E ∈附近有定义．如果0>?ε，0>?δ，当()() 22 000x x y y δ< -+-<时，有(,)f x y A ε-<，就称A 是二元函数在0 M 点的极限。记为()0 lim M M f M A →=或()()0f M A M M →→. 定义的等价叙述2： 设E 是2R 的一个开集,A 是一个常数,二元函数 ()(,)f M f x y =在点()000,M x y E ∈附近有定义．如果0>?ε，0>?δ，当 000,0x x y y δδ<-<<-<且()()00,,x y x y ≠时， 有(,)f x y A ε-<，就称A 是二元函数在0M 点的极限.记为 ()0 l i m M M f M A →=或 ()()0f M A M M →→. 注：（1）和一元函数的情形一样，如果0 lim ()M M f M A →=,则当M 以任何 点列及任何方式趋于0M 时,()f M 的极限是A ；反之,M 以任何方式及任何点列趋于0M 时，()f M 的极限是A .但若M 在某一点列或沿某一曲线0M →时，()f M 的极限为A ，还不能肯定()f M 在0M 的极限是A . 二元函数的极限较之一元函数的极限而言，要复杂得多,特别是自变量的变化趋势，较之一元函数要复杂.
数学分析下——二元函数的极限课后习题
第二节 二元函数的极限 1、试求下列极限（包括非正常极限）： （1）(,)(0,0)lim x y x 2y 2x 2+y 2 ； （2）(,)(0,0)lim x y 1+x 2+y 2x 2+y 2 ； （3） (,)(0,0) lim x y x 2+y 21+x 2+y 2 -1 ； （4）(,)(0,0)lim x y xy+1 x 4+y 4 ； （5）(,) (1,2)lim x y 12x-y ； （6）(,)(0,0)lim x y (x+y)sin 1 x 2+y 2 ； （7）(,)(0,0)lim x y sin(x 2+y 2)x 2+y 2 x 2+y 2 . 2、讨论下列函数在点(0,0)的重极限与累次极限： （1）f(x,y)=y 2x 2+y 2 ； （2）f(x,y)=(x+y)sin 1x sin 1y ； （3）f(x,y)=x 2y 2x 2y 2+(x-y)2 ； （4）f(x,y)=x 3+y 3 x 2+y ； （5）f(x,y)=ysin 1x ； （6）f(x,y)=x 2y 2 x 3+y 3 ； （7）f(x,y)=e x -e y sinxy . 3、证明：若1 。 (a,b) lim （x,y ）f(x,y)存在且等于A ；2。 y 在b 的某邻域内，有 lim x a f(x,y)= (y)则 y b lim a lim x f(x,y)=A. 4、试应用ε—δ定义证明 (x,y)(0,0)lim x 2y x 2+y 2 =0. 5、叙述并证明：二元函数极限的唯一性定理、局部有界性定理与局部保号性定理. 6、试写出下列类型极限的精确定义： （1） (x,y) ( ,) lim f(x,y)=A ； （2） (x,y) (0, ) lim f(x,y)=A. 7、试求下列极限： （1） (x,y) ( , )lim x 2+y 2 x 4+y 4 ； （2）(x,y)(, ) lim (x 2+y 2)e -(x+y)；
求二元函数极限的几种方法二元函数极限定理
1 / 15 1.二元函数极限概念分析 定义1 设函数f 在2D R ?上有定义,0P 是D 的聚点,A 是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数ε，总存在某正数δ,使得00(;)P U P D δ∈时,都有 ()f P A ε-<, 则称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限,记0 lim ()P P P D f P A →∈=. 上述极限又称为二重极限． ２.二元函数极限的求法 2.1 利用二元函数的连续性 命题 若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续，则 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=． 例１ 求2 (,)2f x y x xy =+ 在点(1,2)的极限. 解： 因为2 (,)2f x y x xy =+在点(1,2)处连续,所以 12 212 2lim (,) lim(2) 12125. x y x y f x y x xy →→→→=+=+??= 例2 求极限()()2 21,1,21 lim y x y x +→. 解: 因函数在()1,1点的邻域内连续,故可直接代入求极限,即 ()()221,1,21lim y x y x +→=31 .
2 / 15 2．2 利用恒等变形法 将二元函数进行恒等变形,例如分母或分子有理化等. 例3 求 00 x y →→ 解 : 00 x y →→ 00 x y →→= 0x y →→= 00 1. 4 x y →→==-例4 ()() 2 2 220,0,321 )31)(21(lim y x y x y x +-++→． 解 : 原式 ()() ( ) )() () ,0,02 211lim 231x y x y →= + ()( 22 ,0,0lim x y →= + 11022 = +=．
函数极限的求法和极限不存在的判断
万方数据
万方数据
二元函数极限的求法和极限不存在的判断 作者：唐新华 作者单位：山东政法学院 刊名： 科技信息 英文刊名：SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION 年，卷(期)：2009，""(18) 被引用次数：0次 参考文献(2条) 1.吴赣昌高等数学 2006 2.马顺业数学分析研究 1996 相似文献(10条) 1.期刊论文郭俊杰.GUO Jun-jie二元函数求极限的方法-衡水学院学报2006,8(1) 二元函数求极限是高数中的难点,现归纳了6种求二元函数极限的方法,分别为:直接证明、先估值后证明、利用二元函数的连续性、用无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量的结论、用重要极限limx>0sinx/x=1、用两边夹定理. 2.期刊论文王润桃关于二元函数的极限-株洲工学院学报2001,15(5) 讨论了二次极限与二重极限之间的区别与联系,二重极限不存在的判定方法以及齐次有理分式函数的极限存在的判别法. 3.期刊论文闫彦宗关于二元函数分析性质的讨论-宜宾学院学报2003,6(6) 讨论了二元函数的重极限与累次极限、可微性与偏导数的存在性及函数的连续性、重积分与累次积分之间的关系. 4.期刊论文王海燕二元函数求极限的方法-考试周刊2007,""(37) 二元函数的极限是在一元函数的基础上发展起来的,二者既有联系也有区别.本文通过部分例题的解析,以详细介绍二元函数极限的求法. 5.期刊论文王旭琴二重极限与累次极限的关系-南昌高专学报2010,25(2) 本文分析了二元函数的二重极限及累次极限的定义,并且讨论和总结了这两种极限之间的区别和内在联系. 6.期刊论文樊红云.张宏民.FAN Hong-yun.ZHANG Hong-min视一元函数为二元函数时的极限与连续-长春师范学院学报（自然科学版）2006,25(3) 本文讨论了视一元函数u=φ(x)为二元函数u=f(x,y)=φ(x)时的极限与连续. 7.期刊论文何鹏.俞文辉.雷敏剑二元函数连续、可偏导、可微等诸条件间关系的研究-南昌高专学报2005,20(6) 本文指出二元函数诸性质间的关系源于二元函数对极限的两种不同推广:二重极限和累次极限,并详细阐明了连续、偏导数存在、可微、偏导连续四者间的关系.在文章的最后,作者对偏导连续推出可微这一命题的条件作了减弱并予以证明. 8.期刊论文郭安学二元函数的极限-科学决策2008,""(11) 本文给出了二元函数的三种不同极限的概念,并讨论了三种极限的关系与差异. 9.期刊论文邹泽民.Zhou Zemin二元函数未定型极限问题的研究-广西梧州师范高等专科学校学报2002,18(1) 给出二元函数基本未定型极限的洛泌达法则及三种具体的求极限的运算定理. 10.期刊论文齐小忠关于二元函数二阶混合偏导数的注记-许昌学院学报2004,23(2) 大多数数学分析教科书讨论二元函数的二阶混合偏导数f'xy(x,y)、f"(x,y)与求导次序有无关系时,都是在其连续的情况下得出与次序无关的结论的.本文给出了较弱的与求导次序无关的几个结论. 本文链接：https://www.360docs.net/doc/572937738.html,/Periodical_kjxx200918384.aspx 授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：6303e070-b0c9-4d3e-83e0-9dca0148959f 下载时间：2010年8月6日
求二元函数极限的几种方法
11 1.二元函数极限概念分析 定义1 设函数f 在2D R ?上有定义，0P 是D 的聚点，A 是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数ε，总存在某正数δ,使得00(;)P U P D δ∈时，都有 ()f P A ε-<, 则称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限，记0 lim ()P P P D f P A →∈=. 上述极限又称为二重极限. 2．二元函数极限的求法 利用二元函数的连续性 命题 若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续，则 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=. 例1 求2 (,)2f x y x xy =+ 在点(1,2)的极限. 解： 因为2 (,)2f x y x xy =+在点(1,2)处连续，所以 12 212 2lim (,) lim(2) 12125.x y x y f x y x xy →→→→=+=+??= 例2 求极限()()2 21,1,21 lim y x y x +→． 解： 因函数在()1,1点的邻域内连续，故可直接代入求极限，即 ()()221,1,21lim y x y x +→=31 ．
22 利用恒等变形法 将二元函数进行恒等变形，例如分母或分子有理化等. 例3 求 00 x y →→ 解： 00 x y →→ 00 x y →→= 00 x y →→= 00 1. 4 x y →→==-例4 ()() 2 2220,0,321 )31)(21(lim y x y x y x +-++→． 解： 原式()() ( )) () () ,0,02 211lim 231x y x y →+= + ()( 22 ,0,0lim x y →= + 11022 = +=．
(整理)多元函数的极限与连续习题.
多元函数的极限与连续习题 1. 用极限定义证明:14)23(lim 1 2=+→→y x y x 。 2. 讨论下列函数在（0,0）处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限的存在性。 （1）y x y x y x f +-=),(； (2) y x y x y x f 1s i n 1s i n )(),(+=； (3) y x y x y x f ++=23 3),(； (4) x y y x f 1 s i n ),(=。 3. 求极限 （1）2 20 ) (lim 22 y x x y x y +→→； （2）1 1lim 2 2 220 0-+++→→y x y x y x ； （3）2 20 01 sin )(lim y x y x y x ++→→； （4）22220 0) sin(lim y x y x y x ++→→。 4. 试证明函数?? ???=≠+=0 0)1ln(),(x y x x xy y x f 在其定义域上是连续的。
1. 用极限定义证明:14)23(lim 2 1 2=+→→y x y x 。 因为1,2→→y x ，不妨设0|1|,0|2|<-<-y x ， 有54|2||42||2|<+-≤+-=+x x x ， |22123||1423|2 2 -+-=-+y x y x |1|2|2|15|1|2|2||2|3-+-<-++-≤y x y x x |]1||2[|15-+-
求多元函数极限的方法
求多元函数极限的方法 【摘要】对于大部分学生,尤其是初接触高等数学的同学而言,极限是一道很难过的关,因为那种“无限逼近”却又“无法达到”的抽象对于刚刚结束中学数学学习,习惯于具体图形分析、函数计算的同学来说,在思维上有了更高的要求。而对于高等数学来讲,极限又是相当重要的基础,不管是函数连续性的验证,亦或是单侧导数的求解,极限都是很重要的一个环节,它就相当于一条线惯于始终,所以说学好极限,是学好高等数学的一个起点。【1】 【关键词】多元函数；求极限多种方法；求极限常出现的错误 【引言】之前学过如连续、导数微分和积分等都要用极和秋极限的方法，例如：利用定义来求极限、用柯西收敛准则、利用两边夹定理等等。这些方法虽然简便易于理解和掌握，但对 于一些特殊的极限题目很难解决，例如：设0a >，10a >，2 12(3) 3n n n n a a a a a a ++=+求lim n n a →∞的问题题目尽给出了第n 项和第n +1项的关系若用利用定义来求极限、用柯西收敛准则 1 ! lim ! n k n k n =→∞ ∑及求一些复合函数极限的问题本文将探讨一些特殊的求极限的方法，对某些用常 见方法不易求解的题目运用此方法可以容易地解出。【2】本文将从多个方面,通过利用极限的性质及相关概念和几个典型例题对常用求极限的方法进行解析，并列出容易出错的地方。 1 利用极限定义的思想观察函数的极限 例1、讨论当x → 12时函数y =21 x x +的极限。我们列出了当x →12 时某些函数值，考察 从列表可以看出，当x 趋向于2时，y 就趋向于0.7，即x →2 时，y =21 x x +的极限是0.75。 2、利用四则运算法则求极限 例2（1）求2 332 1 lim(4)x x x →-+ （2）221 lim 21 x x x →-+ 解（2）221lim 21x x x →-+=222 lim( 1)3lim(21)5 x x x x →→-=+ 3、利用无穷小量与无穷大量的关系及无穷小量的性质求极限 例3求0 1 lim sin x x x → 解因为0 lim x x →=0，且1sin 1x ≤即1sin x 有界，所以01lim sin x x x →=0
求二元函数极限几种方法
1.二元函数极限概念分析 定义1 设函数f 在2D R ?上有定义，0P 是D 的聚点，A 是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数ε，总存在某正数δ,使得00(;)P U P D δ∈I 时，都有 ()f P A ε-<, 则称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限，记0 lim ()P P P D f P A →∈=. 上述极限又称为二重极限. 2．二元函数极限的求法 2.1 利用二元函数的连续性 命题 若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续，则0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=. 例1 求 在点(1,2)的极限. 解： 因为在点(1,2)处连续，所以 例2 求极限()()2 21,1,21 lim y x y x +→． 解： 因函数在()1,1点的邻域连续，故可直接代入求极限，即 ()()221,1,21lim y x y x +→=31 ． 2.2 利用恒等变形法 将二元函数进行恒等变形，例如分母或分子有理化等.
例3 求 00 x y →→ 解： 00 x y →→ 00 x y →→= 0x y →→= 00 1. 4 x y →→==-例4 ()() 2 2 220,0,321 )31)(21(lim y x y x y x +-++→． 解： 原式()() ( ) ) ( ) () ,0,02 211lim 231x y x y →= + ()( 22 ,0,0lim x y →= + 11022 = +=． 2.3 利用等价无穷小代换 一元函数中的等价无穷小概念可以推广到二元函数.在二元函数中常见的 等价无穷小((,)0)u x y →，有 sin (,)(,)u x y u x y :； 2(,) 1cos (,)2 u x y u x y -:；
二元函数的极限与连续5页word文档
§2.3 二元函数的极限与连续 定义设二元函数在点的某邻域内有意义, 若存在 常数A,,当（即）时，都有 则称A是函数当点趋于点时的极限,记作 或 或或。必须注意这个极限值与点趋于点的方式无关,即不论P 以什么方 向和路径（也可是跳跃式地，忽上忽下地）趋向。只要P与充分接近, 就能 使与A 接近到预先任意指定的程度。注意：点P趋于点点方式可有无穷多 种,比一元函数仅有左,右两个单侧极限要复杂的多（图8-7）。 图8-7 同样我们可用归结原则,若发现点P按两个特殊的路径趋于点时,极限 存在,但不相等, 则可以判定在该点极限不存在。这是判断多元函数极限不 存在的重要方法之一。 一元函数极限中除了单调有界定理外,其余的有关性质和结论, 在二
元函数极 限理论中都适用，在这里就不一一赘述了。 例如若有, 其中 求多元函数的极限, 一般都是转化为一元函数的极限来求, 或利用夹逼定理 来计算。例4 求。解由于 而,根据夹逼定理知 ,所以 例5求（a≠0)。解。例6求。解由于且 ,所以根据夹逼定理知 . 例7 研究函数在点处极限是否存在。解当x2+y2≠0时，我们研究函数，沿x→0,y=kx→0这一方式趋于 （0，0）的极限，有,。很显然，对于不同的k值，可得到不同的极
限值,所以极限不存在,但 。注意：的区别, 前面两个求极限方式的 本质是两次求一元函数的极限, 我们称为累次极限, 而最后一个是求二元函数的 极限,我们称为求二重极限。 例8 设函数。它关于原点的两个累次极限都不存在,因 为对任何,当时,的第二项不存在极限；同理对任何 时,的第 一项也不存在极限,但是, 由于, 因此 由例7知, 两次累次极限存在, 但二重极限不存在。由例8可知,二重极限存 在,但二个累次极限不存在。我们有下面的结果: 定理1若累次极限和二重极限 都存在,则 三者相等（证明略）。推论若存在但
求二元函数极限的几种方法精品
1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 【关键字】情况、方法、条件、领域、问题、准则、方式、检验、分析、推广、满足、保证、方向 1.二元函数极限概念分析 定义1 设函数f 在2D R ?上有定义，0P 是D 的聚点，A 是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数ε，总存在某正数δ,使得00(;)P U P D δ∈时，都有 ()f P A ε-<, 则称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限，记0 lim ()P P P D f P A →∈=. 上述极限又称为二重极限. 2．二元函数极限的求法 2.1 利用二元函数的连续性 命题 若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续，则 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=. 例1 求2 (,)2f x y x xy =+ 在点(1,2)的极限. 解： 因为2 (,)2f x y x xy =+在点(1,2)处连续，所以 例2 求极限()()2 21,1,21 lim y x y x +→． 解： 因函数在()1,1点的邻域内连续，故可直接代入求极限，即 ()()221,1,21lim y x y x +→=31 ． 2.2 利用恒等变形法 将二元函数进行恒等变形，例如分母或分子有理化等.
2文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 例3 求 00 x y →→ 解： 00 x y →→ 例4 ()() 2 2220,0,321 )31)(21(lim y x y x y x +-++→． 解： 原式()() ( )) ( ) () ,0,02 211lim 231x y x y →= + 11 022 = +=． 2.3 利用等价无穷小代换 一元函数中的等价无穷小概念可以推广到二元函数.在二元函数中常见的 等价无穷小((,)0)u x y →，有 sin (,)(,)u x y u x y ； 2(,) 1cos (,)2 u x y u x y -； []ln 1(,)(,)u x y u x y +；tan (,)(,)u x y u x y ；arcsin (,)(,)u x y u x y ； arctan ( ,) (,)u x y u x y (,) 1 u x y n ；(,)1(,)u x y e u x y -；同一元函数一样，等价无穷小代换只能在乘法和除法中应用. 例5 求 00 x y →→ 解： 当 0x →，0y →时，有0x y +→1 1 ()2 x y +，所以
多元函数的定义域 极限
多元函数的定义域，极限 1，设函数Z=arcsin （x+y ），则定义域是 ； 答：?≤+≤-11y x 定义域为： {};11,),(≤+≤-y x y x 2，设函数Z=) ln(1y x y +，则定义域是 ； 解：由{}0/),(1 11φy y x D y z =?= 所以 {}0,0/,(21φφY y x y y x D D D +== （图 形讲义） 3，设函数Z= y x y x --2 4，则定义域是 ； {}0/,).(2 φπy x y y x 且 解：由04000422 φπφy x y x y y y x y x ≤???? ???? ???≥-≥- （图 形讲义） 4，求2 21)ln(y x x x y z --+ -=的定义域。
解：由 ?? ? ??+≥??????--≥-1001002222πφφφy x x x y y x x x y （图 形讲义） 5，设 xy e y x y x f xy ++= 2 2 3sin ),(π，求) ,(lim 2 1 y x f y x →→。 解：因为),(y x f 是初等函数，且D ∈)2,1( 所以),(y x f 在（1，2）处连续， 故 2322sin )2,1(),(lim 2 22 2 32 1 +=++==→→e e f y x f y x π 6，设2 22lim x y x y x xy ???? ??+∞ →∞→的极限。 解： 因为 2 2 21022x x y x xy ?? ? ??≤??? ? ? ?+≤ （ xy y x y x 2,0,02 2≥+φφΘ） 而 0)(lim ,021lim 2 2 22=+?=? ?? ??∞ →∞→∞ →∞→x y x x y x y x xy 7，求x xy a y x sin lim →→；
求二元函数极限的几种方法.
1 1.二元函数极限概念分析 定义1 设函数f 在2D R ?上有定义，0P 是D 的聚点，A 是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数ε，总存在某正数δ,使得00(;)P U P D δ∈时，都有 ()f P A ε-<, 则称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限，记0 lim ()P P P D f P A →∈=. 上述极限又称为二重极限. 2．二元函数极限的求法 2.1 利用二元函数的连续性 命题 若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续，则 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=. 例1 求2 (,)2f x y x xy =+ 在点(1,2)的极限. 解： 因为2 (,)2f x y x xy =+在点(1,2)处连续，所以 12 212 2lim (,) lim(2) 12125. x y x y f x y x xy →→→→=+=+??= 例2 求极限()()2 21,1,21 lim y x y x +→． 解： 因函数在()1,1点的邻域内连续，故可直接代入求极限，即 ()()221,1,21lim y x y x +→=31 ．
2 2.2 利用恒等变形法 将二元函数进行恒等变形，例如分母或分子有理化等. 例3 求 00 x y →→ 解： 00 x y →→ 0x y →→= 0x y →→= 00 1. 4 x y →→==- 例4 ()() 2 2 220,0,321 )31)(21(lim y x y x y x +-++→． 解： 原式()() ( )) ( ) () ,0,02 211lim 231x y x y →+= + ()( 22 ,0,0lim x y →= 11022 = +=．
求二元函数极限几种方法
. 1.二元函数极限概念分析 定义1 设函数f 在2D R ?上有定义，0P 是D 的聚点，A 是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数ε，总存在某正数δ,使得00(;)P U P D δ∈I 时，都有 ()f P A ε-<, 则称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限，记0 lim ()P P P D f P A →∈=. 上述极限又称为二重极限. 2．二元函数极限的求法 2.1 利用二元函数的连续性 命题 若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续，则 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=. 例1 求2 (,)2f x y x xy =+ 在点(1,2)的极限. 解： 因为2 (,)2f x y x xy =+在点(1,2)处连续，所以 12 212 2lim (,) lim(2) 12125. x y x y f x y x xy →→→→=+=+??= 例2 求极限()()2 21,1,21 lim y x y x +→． 解： 因函数在()1,1点的邻域内连续，故可直接代入求极限，即 ()()221,1,21lim y x y x +→=31 ．
. 2.2 利用恒等变形法 将二元函数进行恒等变形，例如分母或分子有理化等. 例3 求 00 x y →→ 解： 00 x y →→ 00 x y →→= 0x y →→= 00 1. 4 x y →→==-例4 ()() 2 2220,0,321 )31)(21(lim y x y x y x +-++→． 解： 原式()() ( ) ) () () ,0,02 211lim 231x y x y →= + ()( 22 ,0,0lim x y →= + 11022 = +=．
2二元函数极限
§2二元函数极限 2222 1x y (1)x y →+(x,y)(0,0)、试求下列极限lim 分析：对趋近于原点且含有22x y +类的极限问题，采用极坐标变换较为简单。 22222222 222 22 ()x r cos ,y r sin (x,y)(0,0)r 0 x y f (x,y)0r sin cos r x y >0f (x,y)0r x y lim 0x y →=θ=θ→?→-==θθ≤+?εδδ-≤≤ε∴=+(x,y)(0,0)解：1对函数自变量作极坐标变换：这时由于因此，对，取时，就有 22 22 (x,y)(0,0)1x y (2)lim x y →+++ 222 222(x,y)(0,0)r 0x r cos ,y r sin 1x y 1r lim =lim x y r →→=θ=θ +++=+∞+解：令 22(x,y)(3) lim → 分析：可以先分母有理化，再使用极坐标变化。 22(x,y)(x,y)(0,0) r 0 x r cos ,y r sin lim lim =1)2 →→→=θ=θ =解：令
44 (x,y)(0,0)44224444444 (x,y)(0,0)xy 1 (4) lim x y x r cos ,y r sin ,(x,y)0r 00
二元函数的极限
§2 二元函数的极限 (一) 教学目的： 掌握二元函数的极限的定义，了解重极限与累次极限的区别与联系． (二) 教学内容：二元函数的极限的定义；累次极限． 基本要求： (1)掌握二元函数的极限的定义，了解重极限与累次极限的区别与联系，熟悉判别极限 存在性的基本方法． (2) 较高要求：掌握重极限与累次极限的区别与联系，能用来处理极限存在性问题． (三) 教学建议： (1) 要求学生弄清一元函数极限与多元函数极限的联系与区别，教会他们求多元函数极 限的方法． (2) 对较好学生讲清重极限与累次极限的区别与联系，通过举例介绍判别极限存在性的较完整的方法． 一 二元函数的极限 先回忆一下一元函数的极限： A x f x x =→)(lim 0 的“δε-” 定义(c31)： 设函数)(x f 在0x 的某一空心邻域),(100 δx U 内由定义，如果对 1,0, 0δδδε≤>?>?， 当 ),(0δx U x ∈，即 δ<-||0x x 时，都有 ε<-|)(|A x f ，则称0x x →时，函数)(x f 的极限是 A. 类似的，我们也可以定义二元函数的极限如下： 设二元函数),(y x f 为定义在2R D ?上的二元函数，在点),(000y x P 为D 的一个聚点，A 是一个确定的常数，如果对 0, 0>?>?δε，使得当 D P U y x P ),(),(00 δ∈ 时， 都有 ε<-|)(|A P f ，则称f 在D 上当 0P P →时，以A 为极限。记作 A P f D P P P =∈→)(lim 0 也可简写为 A P f P P =→)(lim 0 或 A y x f y x y x =→),(lim ) ,(),(00 例1 用定义验证 7)(lim 2 2 )1,2(),(=++→y xy x y x 证明: |16||7|2 2 2 2 -+-+-+≤-++y x xy x x y xy x
求二元函数极限几种方法
11 / 15 1.二元函数极限概念分析 定义1 设函数f 在2D R ?上有定义，0P 是D 的聚点，A 是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数ε，总存在某正数δ,使得00(;)P U P D δ∈时，都有 ()f P A ε-<, 则称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限，记0 lim ()P P P D f P A →∈=. 上述极限又称为二重极限. 2．二元函数极限的求法 利用二元函数的连续性 命题 若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续，则 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=. 例1 求2 (,)2f x y x xy =+ 在点(1,2)的极限. 解： 因为2 (,)2f x y x xy =+在点(1,2)处连续，所以 12 212 2lim (,) lim(2) 12125. x y x y f x y x xy →→→→=+=+??= 例2 求极限()()2 21,1,21 lim y x y x +→． 解： 因函数在()1,1点的邻域内连续，故可直接代入求极限，即 ()()221,1,21lim y x y x +→=31 ．
22 / 15 利用恒等变形法 将二元函数进行恒等变形，例如分母或分子有理化等. 例3 求 00 x y →→ 解： 00 x y →→ 00 x y →→= 0x y →→= 00 1. 4 x y →→==-例4 ()() 2 2220,0,321 )31)(21(lim y x y x y x +-++→． 解： 原式()() ( ) ) ( ) () ,0,02 211lim 231x y x y →= + ()( 22 ,0,0lim x y →= + 11022 = +=．
求二元函数极限的几种方法
求二元函数极限的几种方法 案场各岗位服务流程 销售大厅服务岗： 1、销售大厅服务岗岗位职责： 1)为来访客户提供全程的休息区域及饮品; 2)保持销售区域台面整洁; 3)及时补足销售大厅物资,如糖果或杂志等; 4)收集客户意见、建议及现场问题点； 2、销售大厅服务岗工作及服务流程 阶段工作及服务流程 班前阶段1）自检仪容仪表以饱满的精神面貌进入工作区域 2）检查使用工具及销售大厅物资情况，异常情况及时登记并报告上级。 班中工作程序服务 流程 行为 规范 迎接 指引 递阅 资料 上饮品 （糕点） 添加茶水 工作 要求 1）眼神关注客人，当客人距3米距离 时，应主动跨出自己的位置迎宾，然后 侯客迎询问客户送客户
注意事项 15度鞠躬微笑问候：“您好！欢迎光临！”2）在客人前方1-2米距离领位，指引请客人向休息区，在客人入座后问客人对座位是否满意：“您好！请问坐这儿可以吗？”得到同意后为客人拉椅入座“好的，请入座！” 3）若客人无置业顾问陪同，可询问：请问您有专属的置业顾问吗？，为客人取阅项目资料，并礼貌的告知请客人稍等，置业顾问会很快过来介绍，同时请置业顾问关注该客人； 4）问候的起始语应为“先生-小姐-女士早上好，这里是XX销售中心，这边请”5）问候时间段为8:30-11:30 早上好11:30-14:30 中午好 14:30-18:00下午好 6）关注客人物品，如物品较多，则主动询问是否需要帮助（如拾到物品须两名人员在场方能打开，提示客人注意贵重物品）； 7）在满座位的情况下，须先向客人致歉，在请其到沙盘区进行观摩稍作等
待； 阶段工作及服务流程 班中工作程序工作 要求 注意 事项 饮料（糕点服务） 1）在所有饮料（糕点）服务中必须使用 托盘； 2）所有饮料服务均已“对不起，打扰一 下，请问您需要什么饮品”为起始； 3）服务方向：从客人的右面服务； 4）当客人的饮料杯中只剩三分之一时， 必须询问客人是否需要再添一杯，在二 次服务中特别注意瓶口绝对不可以与 客人使用的杯子接触； 5）在客人再次需要饮料时必须更换杯 子； 下班程 序1）检查使用的工具及销售案场物资情况，异常情况及时记录并报告上级领导； 2）填写物资领用申请表并整理客户意见；3）参加班后总结会； 4）积极配合销售人员的接待工作，如果下班时间已经到，必须待客人离开后下班；
多元函数的极限与连续习题课
第十六章 多元函数的极限与连续习题课 一 概念叙述题 1.叙述0 lim ()P P f P A →=，其中0,P P 的坐标为00(,),(,)x y x y ． lim ()0,0,P P f P A εδ→=??>?>当00(;)P U P D ∈I δ时，有()f P A ε-< （方形邻域）0,0,εδ??>?>当0x x δ-<，0y y δ-<， 00(,)(,)x y x y ≠，有(,)f x y A ε-< （圆形邻域）0,0,εδ??>?>当0δ<，有(,)f x y A ε-<． 2. 叙述 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →=+∞，00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →=-∞， 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →=∞的定义． 000000(,)(,) lim (,)0,0,,,(,)(,)(,)x y x y f x y G x x y y x y x y f x y G δδδ→=+∞??>?>-<-<≠>当时，有 0,0,0(,)G f x y G δδ??>?>< <>当时，有000000(,)(,) lim (,)0,0,,,(,)(,)(,)x y x y f x y G x x y y x y x y f x y G δδδ→=-∞??>?>-<-<≠<-当时，有 000000(,)(,) lim (,)0,0,,,(,)(,)(,)x y x y f x y G x x y y x y x y f x y G δδδ→=∞??>?>-<-<≠>当时，有． 3.叙述 0(,)(,) lim (,)x y y f x y A →+∞=的定义． 00(,)(,) lim (,)0,0,0,,(,)x y y f x y A M x M y y f x y A εδδε→+∞=??>?>?>>-<-<当时，有 4.叙述 0(,)(,) lim (,)x y x f x y →-∞=+∞的定义． 00(,)(,) lim (,)0,0,0,,(,)x y x f x y G M x x y M f x y G δδ→-∞=+∞??>?>?>-<<->当时，有 5. 叙述 (,)(,) lim (,)x y f x y →-∞+∞=-∞的定义． (,)(,) lim (,)0,0,,(,)x y f x y G M x M y M f x y G →-∞+∞=-∞??>?><-><-当时，有． 注：类似写出(,)(,) lim (,)x y f x y →=VW d 的定义，其中d 取,,,A ∞+∞-∞，?取0,,,x ∞+∞-∞， W 取0,,,y ∞+∞-∞． 6.叙述f 在点0P 连续的定义． f 在点0P 连续?ε?， 0δ?>，只要0(;)P U P D δ∈I ，就有0()()f P f P ε-< ?ε?， 0δ?>，当0x x δ-<，0y y δ-<，就有00(,)(,)f x y f x y ε-< ?ε?， 0δ?>，δ，就有00(,)(,)f x y f x y ε-<．