广州九年级上学期期末考试复习

学习过程

公式默写与延伸

一元二次方程求根公式：：

一元二次方程韦达定理:

一元二次方程判别式与根的关系

二次函数对称轴：二次函数顶点坐标：平方差公式完全平方公式

扇形面积公式弧长公式

一 一元二次方程

考试内容：1、一元二次方程的有关概念.2、一元二次方程的解法.3、一元二次方程根的判别式.4、一元二次方程根与系数的关系．5、一元二次方程解决实际问题,能根据具体问题的实际意义检验方程解的合理性。

考点1、定义:①只含有一个未知数，并且②未知数的最高次数是2,这样的③整式方程就 1、方程()0132=+++mx x

m m

是关于x 的一元二次方程,则m 的值为 。

【2014越秀期末】1.(3分）关于ｘ的方程（m+１）ｘ２

+2mx ﹣3=0是一元二次方程，则m 的取值是() A .?任意实数?Ｂ. m ≠1 C.?ｍ≠﹣１ D.?m>１

2关于x 的一元二次方程()0422

2

=-++-a x x a 的一个根为0,则ａ的值为 。

3、①已知m 是方程012=--x x 的一个根，则代数式=-m m 2 。 ②已知a 是0132=+-x x 的根,则=-a a 622 。

考点２、一元二次方程的解法

方法:①直接开方法;②因式分解法；③配方法；④公式法 类型一、直接开方法:2

(0)x m m x m =≥?=± 4、请用直接开平方法解方程：()2

1280;x -=

()2225160;x -= ()23(1)90;x --=

类型二、因式分解法: 1212()()0x x x x x x x x --=?==或 5、请用因式分解法解方程

()2130;x x -=()2220;x x +-=()223(1)(23);x x -=+(4）()()3532-=-x x x

类型四、公式法解方程2

0(0)ax bx c a ++=≠ ?①若⊿>0，则x =;

6、请选择适当方法解下列方程(高效学习法:先观察再选方法,后做题总结方法)

(1)().6132

=+x (２）()().863-=++x x (３）0142

=+-x x

(4)2220x x --= （5）01432

=--x x （６)()()()()5211313+-=+-x x x x

【2013越秀期末】 解方程33)1(+=+x x x .

【２014海珠期末】 17.(１)用配方法解方程:2810x x -+=;

（２）用公式法解方程：2531x x x -=+.

【20１广州中考】１７．（本小题满分９分） 解方程:09102=+-x x .

【2013白云期末】1０.不论a 、b 为任何实数,式子22a b 4b 2a 8+-++的值( ） (Ａ）可能为负数 (B)可以为任何实数 (Ｃ)总不大于8 (D)总不小于3

配方法:【20１3越秀期末】6.用配方法解方程0522=--x x 时，原方程可变形为(＊）.

A ．()612

=+x

B.()922

=-x

C ．()922

=+x ?D ．()612

=-x

考点3、根与系数的关系

若21,x x 是一元二次方程()002

≠=++a c bx ax 的两个根，则有1212,b c x x x x a a

+=-

= 7、若1x 、2x 是一元二次方程2

320x x -+=的两根,则12x x +的值是____＿__＿.

【2013越秀期末】4.若1x 、2x 是一元二次方程0652

=+-x x 的两个根，则2

121x x x x ?++的值是(*）.

Ａ.1 B.1１ C.-１１ D ．-1

【2013天河期末】7.若关于x 的一元二次方程ｋx 2

-2x －1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）

A k ＞1

B k>-1且ｋ≠0

C k ≥-1且k≠0

D k ＜1且k≠0

【201广州中考】16. 若关于的方程有两个实数根、,则的最小值为.

考点4、一元二次方程()002

≠=++a c bx ax 根的判别式 △＝ac b 42- .

运用根的判别式,不解方程，就可以判定一元二次方程的根的情况: ⊿>0?方程有两个不相等．．．的实数根； ⊿=0?方程有两个相等．．的实数根 ； ⊿<０?方程没有．．

实数根 8、一元二次方程2270x x -+-=的根的情况是（ )

A 、有两个不相等的实数根

B 、有两个相等的实数根 Ｃ、没有实数根 Ｄ、无法确定

9、关于ｘ的一元二次方程()2

120m x mx m -++=有实数根,则ｍ的取值范围是( )

A ． 01m m ≥≠且 Ｂ． 0m ≥ Ｃ. 1m ≠ D. 1m >

【2０13广州中考】6若，则关于ｘ的一元二次方程的根的情况是( )

Ａ 没有实数根 B 有两个相等的实数根 C 有两个不相等的实数根 D 无法判断

【2013越秀期末】21．（本小题满分12分）

已知关于x 的一元二次方程0222=-++k k kx x 有两个不相等的实数根. （1）求实数k 的取值范围;

（2）0可能是方程一个根吗?若是,求出它的另一个根;若不是，请说明理由.

x 222320x mx m m +++-=1x 2x 21212()x x x x ++______5200k +<240x x k +-=

考点５、解决实际问题

例题9：应用题

1、面积问题:

如图, 东梅中学要在教学楼后面的空地上用４0米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园，矩形的一边用教学楼的外墙，其余三边用竹篱笆. 设矩形的宽为ｘ,面积为ｙ．（1) 求y与x的函数关系式,并求自变量x的取值范围;

(２) 生物园的面积能否达到2１０平方米？说明理由.

2、循环问题：

一个小组有若干人,新年互送贺年卡一张。已知全组共送贺年卡66张，求这个小组的人数。

３、增长率问题

某省为解决农村饮用水问题,省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助。2008年,A市在省财政补助的基础上投入600万元用于“改水工程”,计划以后每年以相同的增长率投资，2０10年该市计划投资“改水工程”１176万元。

（1）求Ａ市投资“改水工程”年平均增长率;（2)A市三年共投资“改水工程”多少万元？

【２０1３越秀期末】14.某地区２012年农民人均收入为1万元,计划到２014年农民人均收入增加到1.２万元,设农民人均年收入的每年平均增长率为x，则可列方程?*?．

4销售利润问题

10、商场销售一批衬衫,每天可售出2０件，每件盈利4０元,为了扩大销售,减少库存,决

定采取适当的降价措施,经调查发现,如果一件衬衫每降价1 元，每天可多售出2 件。

①设每件降价x元,每天盈利y元,列出y 与x 之间的函数关系式；

②若商场每天要盈利１200元，每件应降价多少元?

③每件降价多少元时，商场每天的盈利达到最大?盈利最大是多少元?

二 二次函数

考点１、二次函数的概念

（1）一般地，如果)0,,(2

≠++=a c b a c bx ax y 是常数，,那么y 叫做x 的二次函数。 (2)二次函数的图象是一条关于直线a

b

x 2-

=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 考点２、二次函数的图象与性质

一、图象及性质

函数

)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，

图象

a>0

a<０

性

质

（１）抛物线开口向上，并向上无限延伸; （2）对称轴是x=a

b 2-

， 顶点坐标是（a

b 2-,

a b ac 442

-);

（３)在对称轴的左侧,即当ｘ＜a

b 2-

时,ｙ随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，即当ｘ>a

b

2-

时，ｙ随x 的增大而增大,简记左减右增;

（4）抛物线有最低点,当x=a

b

2-时，ｙ有

最小值,

a

b a

c y 442-=

最小值

(1）抛物线开口向下，并向下无限延伸; (2）对称轴是x=a

b 2-

， 顶点坐标是（a

b 2-,

a b ac 442

-）;

（3）在对称轴的左侧，即当x

b

2-

时，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧,即当ｘ>a

b

2-时，ｙ

随x 的增大而减小，简记左增右减;

（4）抛物线有最高点,当ｘ=a

b 2-

时,y 有最大值，

a

b a

c y 442-=

最大值

记忆技巧：通过顶点、对称轴、开口方向确定图象大致位置,通过图象的位置理解图象性质。

【精选习题】

O y x 1-1A ． x y

O 1-1B ． x y O 1-1x y

O 1-1y

１、抛物线2

(2)3y x =-+的顶点坐标是__＿＿__＿＿_，抛物线1822

-+-=x x y 的顶点坐标为_＿_＿_＿_＿__

2、抛物线2

3(1)2y x =-+的对称轴是__＿＿＿____＿,抛物线2

21y x =-+的对称轴是_＿_______

【２０14番禺期末】 如图,关于抛物线2

(1)2y x =--,下列说法中错误的是（※）． （A ）顶点坐标为(1，－2) （B ）对称轴是直线x=1 (Ｃ）当1x >时，y 随x 的增大而减小 （D)开口方向向上

3、把二次函数2

134

y x x =-+用配方法化成2()y a x h k =-+的形式为_＿_＿＿＿____＿_＿_＿＿____

函数图像并存问题

４、已知0a ≠，在同一直角坐标系中，函数y ax =与2

y ax =的图象有可能是（ ）

【2014海珠期末】１０．函数2(0)y ax a =-≠与2

(0)y ax a =≠在同一平面直角坐标系中的图象可能是（※）.

5、二次函数c bx ax y ++=2

的图象如图所示,若点A(１，1y ）、B(２，2y ）是它图象上的两点,则1y 与2y 的大小关系是（

)

A ．21y y

B ．21y y =?

C ．21y y >

D ．不能确定

y

第5题

6．二次函数2

(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,对称轴是直线1x =,

则下列四个结论错．误．

的是（ ) Ａ.0c > B.20a b += C ．240b ac -> Ｄ.0a b c -+>

7、已知二次函数2

(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,那么下列四个结论:

20,0,40,b c b ac <>->①②③④0a b c -+<,正确的结论有_____＿＿_＿___＿_(填序

号）

【201４越秀期末】1６.（3分）二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则①a ｂc ；②ｂ2﹣４a ｃ；③2ａ+ｂ;④a+ｂ＋c 这四个式子中，值为负数的是(填写编号）．

考点3 、二次函数图象的平移

抛物线2

()y a x h k =-+可以由抛物线2

y ax =经过平移得到，h 决定左、右平移，k 决定

上下平移。

————口诀:左加右减，上加下减。

【举一反三】 将抛物线2

3y x =向上平移3个单位,再向左平移2个单位,那么得到的抛物线的解析式为____＿_＿_____＿_

【２０13越秀期末】15.抛物线()5122

+--=x y 向左平移2个单位，再向下平移1个单位

后得到的抛物线解析式是?* ．

考点4、二次函数解析式的确定

（1） 若已知抛物线上三点的坐标，则可采用一般式)0(2

≠++=a c bx ax y ,利用待定系

数法求得a b c 、、的值;

（2） 若已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程,则可利用顶点式:2

()(0)y a x h k a =-+≠，

第7题

其中顶点坐标为(,)h k ，对称轴为直线x h =;

（3） 若已知抛物线与x 轴的交点的横坐标,则可采用交点式：11()()(0)y a x x x x a =--≠,

其中与x 轴的交点坐标为12(,0),(,0)x x ．

例:根据下列条件求关于x 的二次函数的解析式 （1）抛物线过(-1，０),(3，0),（1,－5）三点.

（２)当x=3时，y 最小值=-1，且图像过(０，7).

（３）与x 轴交点的横坐标分别是x １=-3,x 2=１时,且与y 轴交点为(0，-2).

二次函数一题多变

如图，抛物线与ｘ轴交与A(1,0）,B(-３,0)两点，顶点为Ｄ。交Y 轴于C 情境一:（1）求该抛物线的解析式与△ＡBC 的面积。

情境二（2)若E 为抛物线B 、Ｃ两点间图象上的一个动点(不与B 、C 重合)，过E 作EF 与X 轴垂直，交B Ｃ于Ｆ，设E 点横坐标为ｘ．ＥF 的长度为L, 求L 关于X 的函数关系式？关写出X 的取值范围？

当E 点运动到什么位置时,线段EF 的值最大,并求此时E 点的坐标？

c bx x y ++-=2

情境三(3)在（2)的情况下直线BＣ与抛物线的对称轴交于点H。当E点运动到什么位置时,以点E、F、H、D为顶点的四边形为平行四边形？

情境四.(４)在(３）的情况下点E运动到什么位置时，使三角形BCE的面积最大？

情境五（5)在对此抛线性对轴称是否存在点p,使得以A ,Ｃ,Ｐ为顶点的三角形是等腰三角形，求出p点坐标

拓展:１在此抛物线对称轴上是否存在一点Q,使得△AＱC的周长最短，求此时Q点的坐标

2在此抛物线对称轴上是否存在一点P,便得△PBC的面积与△ABC相等，并求出P点坐标

3在此抛物线上否存在一点P,便得△PBA的面积是△ＡBC面积的4／3倍等，若存在，求出P点坐标

4在此抛物线上否存在一点Ｐ，使得以P A B C四点所组成的四边形是梯形,直接写出Ｐ点的坐标

5在此抛物线上有一动点Ｐ，在X轴上有动点Q,使PBCQ四点组成的四形是平行四边形，求出符合条件的Q点所有坐标.

例题1４:如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0)，连结OA,将线段OA绕原点Ｏ顺时针旋转120°，得到线段ＯB.

（1）求点B的坐标;

（2）求经过Ａ、O、Ｂ三点的抛物线的解析式;

（3）在(２）中抛物线的对称轴上是否存在点C,使△BOC的周长最小?若存在，求出点C的坐标;若不存在，请说明理由.

（4）如果点Ｐ是(2)中的抛物线上的动点，且在x轴的下方,那么△ＰAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有,请说明理由.

【2０14越秀期末】24.(14分）如图,抛物线y=x2+３ａx﹣4a与ｘ轴交于A、B两点，与

ｙ轴交于点C(0,﹣２）.

(１）求该抛物线的解析式；

(２）在抛物线的对称轴上有一动点P，求ＰB+PC的值最小时的点P的坐标；

(3)点M为x轴上一动点,在抛物线上是否存在一点Ｎ，使以A、C、M、N四点为顶点构成的四边形为平行四边形?若存在,求出所有点Ｎ的坐标;若不存在，请说明理由．

二次函数与圆结合考察

【2０12广州中考】24.如图９，抛物线3

4

3

8

3

2+

-

-

=x

x

y与x轴交于A、Ｂ两点（点A在点Ｂ的左侧），与y轴交于点C（1)求点A、B的坐标；

（2）设D为已知抛物线的对称轴上任意一点,当△ＡCD的面积等于△AＣB的面积时,求点D的坐标；

（3)当直线l过点）

（0,4

E,M为直线l上的动点,当以A、Ｂ、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时,求直线l的解析式．

B

A O

y

x

三 图形的旋转

考点1、中心对称图形的识别

１．在下列平面图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 （ )

?

【2013越秀期末】2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(*).

A ． Ｂ. C ． D ． 【２０1３天河期末】2.下列图形中，是中心对称的是（ )

【201４海珠期末】2.既是轴对称图形,又是中心对称图形的是(※）.

( A ） （B ） （C ） （D ）

A B C D

考点2、关于原点对称的点的坐标，在平面直角坐标系中，点P （ｘ,y)关于原点的对称点为Ｐ＇（－x ，-y ）

2、在平面直角坐标系中，点（5，-2）关于原点的对称点坐标是＿_＿__＿_＿.

3、已知点(1,23)P a a +-关于原点的对称点在第二象限，则a 的取值范围是（ ） Ａ、1a <- B 、312a -<< C 、312a -<< D 、3

2

a >

考点３、图形旋转的有关计算

４、如图,在Ｒt △ABC 中,∠ACB =90°，∠ABC =30°，将△ABC 绕点C 顺时针旋转至△A ′B ′C ，使得点Ａ′恰好落在ＡB 上，则旋转角度为（ ) A 、 3０°

B 、 6０°

Ｃ、 90°

D 、 15０°

5、如图，将Rt ABC ?绕直角顶点顺时针旋转90°，得到''Rt A B C ?，连接'AA ,若°120∠=,则B ∠的度数是（ ） Ａ、 7０°

B 、 ６５°

C 、 60°

D 、 55°

【２014番禺期末】6.如图,将Rt △ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°，得到△A B C ''，若60B ∠=?，则∠1的度数是（※）.

(A ）15? （B ）25? (Ｃ）10? （D ）

20?

【２０１4越秀期末】113.(3分）如图，△ＣOD 是△ＡOB 绕点O 顺时针方向旋转３８°后所得的图形，点C 恰好在ＡB 上，∠AOD=90°,则∠B 的度数是．

【201３越秀期末】１６.如图５,等边△AB Ｃ在直角坐标系xOy 中,已知 ()0 , 2A ，()0 , 2-B ,点C 绕点A 顺时针方向旋

转１20°得到点C 1,点C 1绕点B 顺时针方向旋转 120°得到C 2,点Ｃ2绕点C 顺时针方向旋转150° 得到点C 3，则点C ３的坐标是 *?.

考点4、网格作图

６、如图，△ABC 三个顶点的坐标分别为A(1，１)，Ｂ(4,2）,C （３，4）. （1）请画出△ABC 向左平移5个单位长度后得到的111A B C ?; (2)请画出△A ＢC 关于原点对称的222A B C ?； (3）在x 轴上求作一点Ｐ，使△ＰAB 的周小最小，

请画出△PA B,并直接写出P 的坐标．

【20１4越秀期末】18.（9分）如图，在边长为１的正方形组成的网格中,△△ＡO Ｂ的顶点均在格点上,点Ａ、B 的坐标分别是A(3,２)、Ｂ（1，3)．△AOB 绕点Ｏ逆时针旋转90°后得到Ａ１ＯB 1．

(１）画出旋转后的图形;

(2）点A １的坐标为；

(3)求线段O Ｂ在旋转过程中所扫过的图形面积（写过程）.

旋转与二次函数结合综合类问题:

【20１3越秀期末】24.（本小题满分14分）

如图9,A Ｂ是⊙O 的直径，26=AB ，M 是弧ＡＢ的中点,OC ⊥O Ｄ,△C ＯＤ绕点 O 旋转与△ＡMB 的两边分别交于E 、F (点E 、Ｆ与点A 、Ｂ、M 均不重合),与⊙O 分 别交于P 、Q 两点．

(１）求证:OF OE =;

（2)连接PM 、Q Ｍ，试探究:在△COD 绕点O 旋转的过程中，∠ＰM Ｑ是否为定值？ 若是，求出∠ＰＭQ 的大小；若不是,请说明理由；

(3)连接EF ，试探究:在△COD 绕点Ｏ旋转的过程中,△ＥＦM 的周长是否存在最小 值?若存在，求出其最小值；若不存在,请说明理由

四、圆

图9

例题1：

1).如图1，ABC △内接于O ⊙,若28OAB ∠=°，则C ∠的大小为( ） A. 28° Ｂ．56° Ｃ．60° D ．62°

２)．如图２,A Ｂ是⊙O 的直径,∠A ＢＣ=30°,则∠BAC =（ )

Ａ.90° B.60° C.４5° Ｄ.３0°

考点：垂径定理 勾股定理

例2. 如图所示,⊙O 的直径AB 和弦CD 交于Ｅ，已知AE=6c ｍ，EB=２c ｍ,∠CEA ＝３０°，

求CD 。

【2０13越秀期末】1２.如图3，⊙Ｏ的直径C Ｄ=10,弦AB ＝8,AB ⊥ＣD ，垂足为M ，则DM 的长为?＊ .

【2014海珠期末】8.如图,AB 是O ⊙的弦，半径OC AB ⊥于点D ，且6cm AB =，

4cm OD =.则DC 的长为（※）.

（Ａ）5cm (B ）3cm （C ）2cm （Ｄ）1cm

O

E D

C B

A

图1 C A

B

O

图2

【２01３天河期末】1５．如图，AＢ是⊙O的弦，Ｃ是ＡB的中点,若OC＝AB=,则半径OB的长为

例3.如图所示,已知AB为⊙O的直径,CD是弦，且AＢ⊥ＣD于点Ｅ。连接AＣ、OC、BＣ。

(1)求证:∠ＡCO=∠BＣD。(2）若EB=8cm,CD＝24cm，求⊙O的面积。

例题4:如图，ＰA,PB分别为⊙O的切线,ＡC为直径，切点分别为Ａ、B,∠P=70°，则∠C=

1

2

2

E

D

B

A

O

C

例题5:已知:如图，ＡB 是⊙O 的直径，B Ｃ是和⊙Ｏ相切于点B 的切线，⊙O 的弦AD 平行于

OC ． 求证:DC 是⊙O 的切线．?

【20１3越秀期末】2２.（本小题满分12分)

如图7所示,点D 在⊙O 的直径AB 的延长线上，点Ｃ在⊙Ｏ上,且AC =CD ， ∠A ＣD =120°．

(1）求证:CD 是⊙O 的切线；

(2）若⊙Ｏ的半径为2,求圆中阴影部分的面积.

【2013天河期末】2１．如图,已知AB 是⊙Ｏ的直径,点Ｃ、D 在⊙O 上,点Ｅ在⊙Ｏ外，∠ＥAC=∠B ＝60°. (１）求∠A ＤC 的度数； (2)求证:A Ｅ是⊙O 的切线.

例题6：如图，⊙O 的直径ＡB=6，Ｃ为圆周上的一点,BC ＝3．过

点C 作⊙O 的切线GE ，作AD ⊥GE 于点Ｄ,交⊙O 于点F. 求：（1)求证：∠ＡＣG ＝∠Ｂ,

第5题

P

C B A

O 图7

(2）计算线段A Ｆ的长.

例题7:已知:如图，P Ａ，ＰB ，DC 分别切⊙O 于A,B,E 点.

(1)若∠P=40°,求∠C ＯD;(2）若ＰA=1０c ｍ,求△PCD 的周长.

例题８：如图,在ABC △中,AB AC =，以AB 为直径的O 分别交AC 、BC 于点D 、E ，点F 在AC 的延长线上,且

1

2

CBF

CAB ∠=∠.

⑴ 求证：直线BF 是O 的切线; ⑵ 若5AB =，BE:AB=1：２,求BC 和BF 的

长．

例题9：如图所示的扇形中，半径R ＝10，圆心角θ=144°用这个扇形围成一个圆锥的侧面. (１) 求这个圆锥的底面半径r; (2) 求这个圆锥的高.

O

E

F

C

D

A

B

A

C

E

D F

O

G