高考数学复习专题14数列与不等式理
专题1.4 数列与不等式
总分 _______ 时间 _______ 班级 _______ 学号 _______ 得分_______
一、选择题（12*5=60分） 一、单选题
1．【2018届四川省成都外国语学校高三11
月月考】已知全集为R ,集合
2{|0.51},{|680}x A x B x x x =≤=-+≤,则C A B ?=R
A. (],0∞-
B. []2,4
C. [)()0,24,∞?+
D. ][()
0,24,∞?+ 【答案】C
2．在等比数列{}n a 中,151,4a a =-=-,则3a = A. 2± B. 2± C. 2 D. 2- 【答案】D
【解析】由等比数列的性质可得2
3154a a a ==,因为151,4a a =-=-,所以3 2.a =-选D.
3．【2018届天津市滨海新区大港油田第一中学高三上期中】若a 、b 、c∈R，则下列命题中正确的是（ ） A. 若ac>bc ，则a>b B. 若a 2
>b 2
，则a>b C. 若
11
a b
<，则a>b D. 若a b >，则a>b 【答案】D
【解析】若ac>bc ，则c>0时 a>b ；若2
a >2
b ，则|a|>|b|；若11
a b
<，则a>b 或a<0
4．【2018届山东省枣庄市第三中学高三一调】已知均为正实数，且，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】
C
5．【2018届北京丰台二中高三上期中】若n S 是数列{}
2n 的前n 项和，则83S S -=（）． A. 504 B. 500 C. 498 D. 496 【答案】D 【解析】83S S -
45678a a a a a =++++
458222=+++L
163264128256=++++ 496=．
故选D ．
6．关于x y 、的不等式组360,
{20, 40,
x y x y x y +-≥--≤+-≤则2z x y =+的最大值是（ ）
A. 3
B. 5
C. 7
D. 9 【答案】C
【解析】作可行域，如图，则直线2z x y =+过点A （1,3）取最大值7,选C.
7．【2018届广西壮族自治区贺州市桂梧高中高三上第五次联考】在各项均为正数的等比数列{}n a
中，若
5114a a =，6128a a =，则89a a =（）
A. 12
B. 32
C. 62
D. 42 【答案】D
8．已知等比数列{}n a 满足：23428a a a ++=，且32a +是24,a a 的等差中项.则q =（ ） A. 2-或
12 B. 12- C. 2或1
2
D. 2- 【答案】C 【解析】由题意得()234324
28{
22a a a a a a ++=+=+，即()231112
3
11128{ 22a q a q a q a q a q a q
++=+=+，
消去1a 整理得2
2520q q -+=，解得2q =或1
2
q =
．选C ．
9
．在等比数列{}n a 中，166n a a +=，2132256n n a a a a --+=，且前n 项和126n S =，则
n =（）
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8 【答案】C
【解析】∵2132112256n n n a a a a a a --++==， ∴1128n a a =， 由11128{
66n n a a a a =+=，解得12{
64
n a a ==或164{
2
n a a ==
①当12{
64n a a ==时，(
)11
1264126111n
n
n a q a a q q S q q
q
---=
===---，解得2q =，∴6n =．
②当164{
2
n a a ==时，(
)11
1642126111n
n
n a q a a q q S q
q q ---=
===---，解得12
q =，∴6n =．
综上6n =．选C ．
10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且51050,200S S ==，则1011a a +的值为（） A. 20 B. 40 C. 60 D. 80 【答案】D
11．【2018届安徽省六安市第一中学高三上第五次月考】己知121,,,4a a 成等差数列，1231,,,,4b b b 成等比数列，
12
2
a a
b +则的值是（） A.
52或52- B. 52- C. 52 D. 12
【答案】C
【解析】由题意得2
122
5,4
a a b
+==，
又
2
b与第一项的符号相同，故
2
2
b=．
所以12
2
5
2
a a
b
+
=．选C．
12．【2018届黑龙江省牡丹江市第一高级中学高三10月月考】已知数列{}n a为等差数列,若11
10
1
a
a
<-,且其
前n项和
n
S有最大值,则使得0
n
S>的最大值n为
A. 11
B. 19
C. 20
D. 21
【答案】B
二、填空题（4*5=20分）
13.【2018届上海市十二校高三联考】若等差数列{}n a的前5项和为25，则3a=________
【答案】5
【解析】由等差数列前n项和公式结合等差数列的性质可得：
153
533
2
55525,5
22
a a a
S a a
+
=?=?==∴=.
14．【2018届安徽省淮南市第二中学、宿城第一中学高三第四次考试】若241
a b
+=，则2
a b
+的最大值为__________．
【答案】-2
【解析】24
a b
+=2222
1
221222222
4
a b a b a b a b
++
+=≥?=∴≤
1
4
2
2log2
a b
∴+≤=-
当
1
1,
2
a b
=-=-时取等号
故答案为-2.
15．【2018届江苏省兴化市三校高三12月联考】已知实数,x y 满足220
{40 10
x y x y y --≥+-≤-≥，则y
x
的最小值为
__________． 【答案】
13
【解析】联立220{
40x y x y --=+-=得交点A ()2,2，联立220{ 10x y y --=-=得交点B 3,12??
???
，联立40{
10x y y +-=-=得交点C ()3,1即可行域是由ABC 三点围成的三角形及其内部，令z y
x
= 表示点(),x y 与()0,0连线的斜率，故最小值为13
OC k = 故答案为
13
16．在圆x 2
＋y 2
＝5x 内，过点53,22??
???
有n 条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列的首项a 1，最长弦长为a n ，若公差11,63d ??
∈
???
，那么n 的取值集合为________. 【答案】{}4,5,6 【解析】由已知52x ??-
???2＋y 2＝
25
4
， 圆心为5,02??
???
，半径为52，得
a 1＝2×2
2
5322????
- ? ?????
＝2×2＝4，
a n ＝2×
5
2
＝5， 由a n ＝a 1＋(n －1)d ?n ＝1
d
＋1， 又
16 ， 所以4≤n<7， 则n 的取值集合为{4,5,6}． 三、解答题（共6道小题，共70分） 17.【2018届全国名校高三第三次联考】 某市垃圾处理站每月的垃圾处理成本y （元）与月垃圾处理量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为2 1200800002 y x x = -+，求该站每月垃圾处理量为多少吨时，才能使每吨垃圾的平均处理成本最低？最低平均处理成本是多少？ 【答案】该站垃圾处理量为400吨时，才能使每吨垃圾的平均处理成本最低，最低成本为200元 18．已知正项等比数列{}n b （*n N ∈）中，公比1q >，且3540b b +=，35· 256b b =，2log 2n n a b =+. （1）求证：数列{}n a 是等差数列. （2）若1 1 ·n n n c a a -= ，求数列{}n c 的前n 项和n S . 【答案】（1）见解析；（2） 39 n n +. 【解析】试题分析：（1）由3540b b +=，35· 256b b =可知3b ，5b 是方程2402560x x -+=的两根，再根据公比1q >，求出3b ,5b ，即可求出数列{}n b 的通项公式，结合2log 2n n a b =+，以及等差数列的定义即可证明数列{}n a 是等差数列；（2）由（1）可求出数列{}n c 的通项公式，结合数列特点，根据裂项法求和，即可求出数列{}n c 的前n 项和n S . 试题解析：（1）由353540{ ·256b b b b +==，， 知3b ,5b 是方程2 402560x x -+=的两根，注意到1n n b b +>，得38b =， 532b =，因为25 3 4b q b = =，所以2q =或2q =-（不可题意，舍去）. 所以3128 24 b b q = ==，所以212n n n b b q -==，22log 2log 222n n n a b n =+=+=+. 因为()][11221n n a a n n -??-=++-+=??， 所以数列{}n a 是首项为3，公差为1的等差数列. （2）因为()3112n a n n =+-?=+，所以()() 1 23n c n n = ++， 所以()() 111 344523n S n n = +++??++L 111111 344523n n =-+-++- ++L 39 n n = +. 19．设数列{a n }的前n 项和为S n .已知2S n ＝3n ＋3. (1)求{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足a n b n ＝log 3a n ，求{b n }的前n 项和T n . 【答案】(1)13,1{ 3,1n n n a x -==>；(2)1363 1243n n n T +=-?. 【解析】试题分析： (1)由递推关系可得a 1＝3，利用通项公式与前n 项和的关系可知：当n>1时，2a n ＝2S n －2S n －1＝3n －3 n －1 ＝2×3 n －1 ，则a n ＝3 n －1 ，综上可得：13,1 { 3,1 n n n a x -==>； (2)结合(1)中求得的通项公式错位相减可得{b n }的前n 项和1363 1243n n n T +=- ?. 试题解析： (1)因为2S n ＝3n ＋3， 所以2a 1＝3＋3，故a 1＝3， 当n>1时，2S n －1＝3 n －1 ＋3， 此时2a n ＝2S n －2S n －1＝3n －3n －1 ＝2×3 n －1 ， 即a n ＝3 n －1 ， 显然a 1不满足a n ＝3n －1 ， 所以a n ＝ (2)因为a n b n ＝log 3a n ，所以b 1＝， 当n>1时，b n ＝3 1－n log 33 n －1 ＝(n －1)·3 1－n ， 所以T 1＝b 1＝. 当n>1时，T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝＋[1×3－1 ＋2×3－2 ＋3×3－3 ＋…＋(n －1)×31－n ]， 所以3T n ＝1＋[1×30 ＋2×3－1 ＋3×3－2 ＋…＋(n －1)×32－n ]， 两式相减，得2T n ＝＋(30 ＋3－1 ＋3－2 ＋3－3 ＋…＋32－n )－(n －1)×31－n ＝＋－(n －1)×31－n ＝ － ， 所以T n ＝ － . 经检验，n ＝1时也适合． 综上可得T n ＝ － . 20．数列{}n a 的前n 项和记为n S ，11a =，点()1,n n S a +在直线31y x =+上，*N n ∈． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设41log n n b a +=，n n n c a b =+，n T 是数列{}n c 的前n 项和，求n T ． 【答案】（1）1 4n n a -=；（2）21 11143223 n n n ?+ +-. 【解析】试题分析：（1）由()1,n n S a +在直线31y x =+上可得，131n n a S +=+，所以()1312n n a S n -=+≥， 两式相减得{}n a 为等比数列，从而得出{}n a 的通项公式；（2）求出4log 4n n b n ==，利用分组求和法以及 等差数列的求和公式与等比数列的求和公式可得出n T . 试题解析：（1）由题知131n n a S +=+，所以()1312n n a S n -=+≥，两式相减得 ()132n n n a a a n +-=≥，又21314a a =+=， 所以{}n a 是以1为首项，4为公比的等比数列． 1 4n n a- = （2） 4 log4n n b n ==，1 4n n c n - =+， 所以 ()1 14 1 142 n n n n T + - =?+= - 2 1111 4 3223 n n n ?++-. 21．【2018届上海市十二校高三联考】设{}n a是首项为1a，公比为q的等比数列，n S为数列{}n a的前n项和. （1）已知 2 2 a=，且 3 a是 13 ,S S的等差中项，求数列{}n a的通项公式； （2）当 1 1,2 a q ==时，令() 4 log1 n n b S =+，求证：数列{}n b是等差数列. 【答案】（1）1 2n n a- =或() 21n n a=?-（2）见解析. 试题解析： （1）由题意2 313 2 { 2 a a S S = =+ ， 1 22 11111 2 { 2 a q a q a a a q a q = ? =+++ 1 2 { 1 q a = ? = 或 1 1 { 2 q a =- =- 所以1 2n n a- =或() 21n n a=?- （2）由题意得21 n n S=- () 4 1 2 n n n b log S ?=+= 2 n≥时，因为 1 11 222 n n n n b b - - -=-= 所以数列{}n b 是公差为 1 2 的等差数列. 22．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，满足2n n S a =-. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2 n n b na =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，是否存在正整数n ，使5 3 n T < ? 若存在，求出符合条件的所有n 的值构成的集合A ；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)1 12n n a -?? = ? ?? ；(2){}1,2A =. 【解析】试题分析：（1）由和项与通项关系可得项之间递推关系，再根据等比数列定义可得数列{}n a 的通项公式；（2）由错位相减法可得n T ，再化简不等式得1434n n -<+，根据指数函数与一次函数图像可得n 的值 （2）由（1）知，21 4 n n n n b na -== ， 记数列{}n b 的前n 项和为n T ，则 22123114444 n n n n n T ---=+++++L ，① 3231442444 n n n n n T ---=+++++L ，② ②-①得321111354444 n n n n n T ---=++++-L ， 当1n =时，17<，当2n =时，410<，当3n =时，1613>，结合函数1 4x y -=与34y x =+的图象可 知，当3n >时都有1434n n ->+， 所以 {}1,2A =. 专题七 不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?????? ，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（ ） A ．0 B ．1 C ． 3 2 D ．2 【答案】D 【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y = +，则11 22 y x z =- +，令0Z =，作直线1 2 y x =- ，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取 高中数学基本不等式的巧用 一．基本不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2 ＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解：（1）y ＝3x 2 ＋12x 2 ≥2 3x 2 ·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 第8讲数列 [考情分析]数列为每年高考必考内容之一，考查热点主要有三个方面：(1)对等差、等比数列基本量和性质的考查，常以客观题的形式出现，考查利用通项公式、前n项和公式建立方程(组)求解，利用性质解决有关计算问题，属于中、低档题；(2)对数列通项公式的考查；(3)对数列求和及其简单应用的考查，主、客观题均会出现，常以等差、等比数列为载体，考查数列的通项、求和，难度中等. 热点题型分析 热点1等差、等比数列的基本运算及性质 1.等差(比)数列基本运算的解题策略 (1)设基本量a1和公差d(公比q)； (2)列、解方程(组)：把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量. 2.等差(比)数列性质问题的求解策略 (1)解题关键：抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解； (2)牢固掌握等差(比)数列的性质，可分为三类：①通项公式的变形；②等差(比)中项的变形；③前n项和公式的变形．比如：等差数列中，“若m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q(m，n，p，q∈N*)”；等比数列中，“若m＋n＝p＋q，则a m·a n＝a p·a q(m，n，p，q∈N*)”. 1.已知在公比不为1的等比数列{a n }中，a 2a 4＝9，且2a 3为3a 2和a 4的等差中项，设数列{a n }的前n 项积为T n ，则T 8＝( ) A.12×37－16 B ．310 C.318 D ．320 答案 D 解析 由题意得a 2a 4＝a 23＝9.设等比数列{a n }的公比为q ，由2a 3为3a 2和a 4 的等差中项可得4a 3＝3a 2＋a 4，即4a 3＝3a 3 q ＋a 3q ，整理得q 2－4q ＋3＝0，由公比 不为1，解得q ＝3.所以T 8＝a 1·a 2·…·a 8＝a 81q 28＝(a 81q 16 )·q 12＝(a 1q 2)8·q 12＝a 83· q 12＝94×312＝320.故选D. 2.(2019·江苏高考)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 2a 5 ＋a 8＝0，S 9＝27，则S 8的值是________. 答案 16 解析 解法一：由S 9＝27?9(a 1＋a 9) 2＝27?a 1＋a 9＝6?2a 5＝6?2a 1＋8d ＝6 且a 5＝3.又a 2a 5＋a 8＝0?2a 1＋5d ＝0， 解得a 1＝－5，d ＝2.故S 8＝8a 1＋8×(8－1) 2d ＝16. 解法二：同解法一得a 5＝3. 又a 2a 5＋a 8＝0?3a 2＋a 8＝0?2a 2＋2a 5＝0?a 2＝－3. ∴d ＝a 5－a 2 3＝2，a 1＝a 2－d ＝－5. 故S 8＝8a 1＋8×(8－1) 2 d ＝16. 数列与不等式 一、看数列是不是等差数列有以下三种方法： ①),2(1为常数d n d a a n n ≥=--②211-++=n n n a a a (2≥n )③b kn a n +=(k n ,为常数). 二、看数列是不是等比数列有以下两种方法： ①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n ②112 -+?=n n n a a a (2≥n ，011≠-+n n n a a a ) (2)在等差数列｛n a ｝中,有关S n 的最值问题：(1)当1a >0,d<0时，满足?? ? ≤≥+0 01m m a a 的项数m 使得m s 取最大值. （2）当1a <0,d>0时,满足?? ?≥≤+0 1m m a a 的项数m 使得m s 取最小值.在解含绝对 值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 四.数列通项的常用方法： （1）利用观察法求数列的通项.（2）利用公式法求数列的通项：①?? ?≥-==-) 2()111n S S n S a n n n （；② {}n a 等差、等比数列{}n a 公式.（3）应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项：① )(1n f a a n n +=+；②).(1n f a a n n =+（4）造等差、等比数列求通项：q pa a n n +=+1；②n n n q pa a +=+1；③)(1n f pa a n n +=+；④n n n a q a p a ?+?=++12.第一节通项公式 常用方法题型1 利用公式法求通项 例1：1.已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。求a n 。 2.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，求下列数列{}n a 的通项公式： ⑴ 1322 -+=n n S n ； ⑵12+=n n S .总结:任何一个数列，它的前n 项和n S 与通项n a 都存在关系： ???≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n 若1a 适合n a ，则把它们统一起来，否则就用分段函数表示. 题型2 应用迭加（迭乘、迭代）法求通项 例2：⑴已知数列{}n a 中，)2(12,211≥-+==-n n a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式； ⑵已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，11=a ，n n a n S ?=2 ，求数列{}n a 的通项公式. 总结：⑴迭加法适用于求递推关系形如“)(1n f a a n n +=+”； 迭乘法适用于求递推关系形如 “ ) (1n f a a n n ?=+“；⑵迭加法、迭乘法公式：① 1 1232211)()()()(a a a a a a a a a a n n n n n n n +-++-+-+-=----- 高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】 专题七 不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?? ???? ，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=- -.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤.226,182 m n m n mn +?≤ ≤∴≤.由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤.281 29,22 n m n m mn +?≤ ≤∴≤.由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为 （ ） A ．0 B ．1 C ．32 D ．2 【答案】D 基本不等式及其应用 [基础训练] 1．下列结论中正确的个数是( ) ①若a >0，则a 2 ＋1 a 的最小值是2a ； ②函数f (x )＝sin 2x 3＋cos 2x 的最大值是2； ③函数f (x )＝x ＋1 x 的值域是[2，＋∞)； ④对任意的实数a ，b 均有a 2＋b 2≥－2ab ，其中等号成立的条件是a ＝－b . A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 : 答案：B 解析：①错误：设f (a )＝a 2 ＋1 a ，其中a 是自变量，2a 也是变化的，不能说2a 是f (a )的最小值； ②错误：f (x )＝sin 2x 3＋cos 2 x ≤sin 2x ＋3＋cos 2x 2 ＝2， 当且仅当sin 2x ＝3＋cos 2x 时等号成立，此方程无解， ∴等号取不到，2不是f (x )的最大值； ③错误：当x >0时，x ＋1 x ≥2 x ·1x ＝2， 当且仅当x ＝1 x ，即x ＝1时等号成立； 当x <0时，－x >0，x ＋1 x ＝－? ?? ??－x ＋1－x ≤－2 －x ·1 －x ＝－2， ￥ 当且仅当－x ＝－1 x ，即x ＝－1时等号成立． ∴f (x )＝x ＋1 x 的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)； ④正确：利用作差法进行判断． ∵a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2≥0，∴a 2＋b 2≥－2ab ， 其中等号成立的条件是a ＋b ＝0，即a ＝－b . 2．[2019河北张家口模拟]已知a ＋2b ＝2，且a >1，b >0，则 2 a －1＋1 b 的最小值为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．8 答案：D 解析：因为a >1，b >0，且a ＋2b ＝2， \ 所以a －1>0，(a －1)＋2b ＝1， 所以2a －1＋1b ＝? ????2 a －1＋1 b ·[(a －1)＋2b ] ＝4＋4b a －1 ＋a －1b ≥4＋2 4b a －1·a －1 b ＝8， 当且仅当4b a －1＝a －1 b 时等号成立， 所以2a －1 ＋1b 的最小值是8，故选D. 3．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2] ！ 答案：D 解析：∵2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y (当且仅当2x ＝2y 时等号成立)， ∴2 x ＋y ≤12，∴2x ＋y ≤14， 得x ＋y ≤－2.故选D. 4．已知x ＞0，y ＞0，且4xy －x －2y ＝4，则xy 的最小值为( ) B ．2 2 D ．2 答案：D 解析：∵x ＞0，y ＞0，x ＋2y ≥22xy ， ∴4xy －(x ＋2y )≤4xy －22xy ， ∴4≤4xy －22xy ， 2020年高考理科数学《数列》题型归纳与训练 【题型归纳】 等差数列、等比数列的基本运算 题组一 等差数列基本量的计算 例1 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，公差d =2，S n ＋2?S n =36，则n = A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【答案】D 【解析】解法一：由题知()21(1) 2 1n S na d n n n n n n ==+-=-+，S n ＋2=(n ＋2)2，由S n ＋2?S n =36得，(n ＋2)2?n 2=4n ＋4=36，所以n =8. 解法二：S n ＋2?S n =a n ＋1＋a n ＋2=2a 1＋(2n ＋1)d =2＋2(2n ＋1)=36，解得n =8.所以选D ． 【易错点】对S n ＋2?S n =36，解析为a n ＋2，发生错误。 题组二 等比数列基本量的计算 例2 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若28641,2a a a a ==+，则a 6的值是________． 【答案】4 【解析】设公比为q (q ≠0)，∵a 2=1，则由8642a a a =+得6422q q q =+，即42 20q q --=，解得q 2=2， ∴4 624a a q ==. 【易错点】忘了条件中的正数的等比数列. 【思维点拨】 等差（比）数列基本量的计算是解决等差（比）数列题型时的基础方法，在高考中常有所体现，多以选择题或填空题的形式呈现，有时也会出现在解答题的第一问中，属基础题.等差(比)数列基本运算的解题思路： (1)设基本量a 1和公差d (公比q )． (2)列、解方程组：把条件转化为关于a 1和d (q )的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量． 数列与不等式的综合问题 测试时间： 120分钟 满分：150分 解答题（本题共9小题，共150分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 1. [2016 ?银川一模]（本小题满分15分）在等差数列｛刘中，a i = 3,其前n 项和为S, 等比数 列｛b n ｝的各项均为正数，b 1 = 1，公比为q （q z 1），且b 2+ S 2= 12, q = f 2. b 2 （1） 求 a n 与 b n ； …1 1 1 1 2 （2） 证明：3< S +§+…+ S <§. b 2 + S 2= 12 , 1 1 1 故 S +S +…+ s n = 1 —百.（12 1 1 因为n >2所以0<市三$于 1 2 1 2 所以21 —市＜2, 1 1 1 1 2 即 3= S 1 + S 2+…+ s n <2.（15 分） 3 3a 2. [2017 ?黄冈质检]（本小题满分15分）已知数列｛◎｝的首项a 1= , a n +1 = 二,n 5 2a n + 1 a 1 a 2 a n 2 1 1 （2） 记S = + — + ???+—，若$<100，求最大正整数 n . （1）设｛a n ｝的公差为d ,因为 q + 6 + d = 12, 所以 6 + d q = 解得 q = 3 或 q =— 4（舍），d = 3.（4 分） 故 a n = 3+ 3（ n — 1） = 3n , b n = 3n 1 .（6 分） ⑵证明：因为S n = n 3+ 3n （8分） 1 所以S n 3+ 3n 1 1 n n +1 .（10 分） 1 1 - 2 1 1 2- 3 1 1 3-4 + … + 1 1 n n +1 基本不等式专题 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 （1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ （2）若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若* ,R b a ∈，则ab b a ≥+2（2）若*,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 5、常用结论 （1）若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） （4）若R b a ∈,，则2 )2(222b a b a ab +≤ +≤ （5）若*,R b a ∈，则22111 22b a b a ab b a +≤+≤≤+ （6），、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； （7）)(333 3+ ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时, “ =”号成立. （1）若,,,a b c d R ∈，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有： 22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ 高考理科数学《数列》题型归纳与训练 【题型归纳】 等差数列、等比数列的基本运算 题组一 等差数列基本量的计算 例1 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，公差d =2，S n ＋2?S n =36，则n = A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【答案】D 【解析】解法一：由题知()21(1) 2 1n S na d n n n n n n ==+-=-+，S n ＋2=(n ＋2)2，由S n ＋2?S n =36得，(n ＋2)2?n 2=4n ＋4=36，所以n =8. 解法二：S n ＋2?S n =a n ＋1＋a n ＋2=2a 1＋(2n ＋1)d =2＋2(2n ＋1)=36，解得n =8.所以选D ． 【易错点】对S n ＋2?S n =36，解析为a n ＋2，发生错误。 题组二 等比数列基本量的计算 例2 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若28641,2a a a a ==+，则a 6的值是________． 【答案】4 【解析】设公比为q (q ≠0)，∵a 2=1，则由8642a a a =+得6422q q q =+，即42 20q q --=，解得q 2=2， ∴4 624a a q ==. 【易错点】忘了条件中的正数的等比数列. 【思维点拨】 等差（比）数列基本量的计算是解决等差（比）数列题型时的基础方法，在高考中常有所体现，多以选择题或填空题的形式呈现，有时也会出现在解答题的第一问中，属基础题.等差(比)数列基本运算的解题思路： (1)设基本量a 1和公差d (公比q )． (2)列、解方程组：把条件转化为关于a 1和d (q )的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量． 数列与不等式的综合问题突破策略 类型1：求有数列参与的不等式恒成立条件下参数问题 求数列与不等式相结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略：(1)若函数f (x )在定义域为D ，则当x ∈D 时，有f (x )≥M 恒成立?f (x )min ≥M ；f (x )≤M 恒成立?f (x )max ≤M ；(2)利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式，再通过解不等式解得. 【题1】 等比数列{a n }的公比q ＞1，第17项的平方等于第24项，求使a 1＋a 2＋…＋a n ＞ 1231111 n a a a a ++++……恒成立的正整数n 的范围. 【题1】 利用条件中两项间的关系，寻求数列首项a 1与公比q 之间的关系，再利用等比数列前n 项公式和及所得的关系化简不等式，进而通过估算求得正整数n 的取值范围. 【解】 由题意得：(a 1q 16)2＝a 1q 23，∴a 1q 9＝1. 由等比数列的性质知数列{ 1n a }是以11a 为首项，以1q 为公比的等比数列，要使不等式成立， 则须1(1)1n a q q --＞111(1) 11n a q q --，把a 2 1＝q -18代入上式并整理，得q -18(q n －1)＞q (1－1n q )， q n ＞q 19，∵q ＞1，∴n ＞19，故所求正整数n 的取值范围是n ≥20. 【点评】 本题解答数列与不等式两方面的知识都用到了，主要体现为用数列知识化简，用不等式知识求得最后的结果.本题解答体现了转化思想、方程思想及估算思想的应用. 【题2】设数列{a n }的前n 项和为S n ．已知a 1＝a ，a n +1＝S n ＋3n ，n ∈N *． (1)设b n ＝S n －3n ，求数列{b n }的通项公式；（2）若a n +1≥a n ，n ∈N *，求a 的取值范围． 【题2】 第（1）小题利用S n 与a n 的关系可求得数列的通项公式；第（Ⅱ）小题将条件a n +1≥a n 转化为关于n 与a 的关系，再利用a ≤f (n )恒成立等价于a ≤f (n )min 求解． 【解】 (1)依题意，S n +1－S n ＝a n +1＝S n ＋3n ，即S n +1＝2S n ＋3n ， 由此得S n +1－3 n +1＝2(S n －3n )． 因此，所求通项公式为b n ＝S n －3n ＝(a －3)2 n -1，n ∈N *, ① (2)由①知S n ＝3n ＋(a －3)2 n -1，n ∈N *， 于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n -1＝3n ＋(a －3)2 n -1－3n -1－(a －3)2 n -2＝2×3n -1＋(a －3)2 n -2， a n +1－a n ＝4×3 n -1＋(a －3)2 n -2＝2 n -2·[12·(32 )n -2 ＋a －3]， 当n ≥2时，a n +1≥a n ，即2 n -2·[12·(32)n -2＋a －3]≥0，12·(32 )n -2 ＋a －3≥0， ∴a ≥－9， 综上，所求的a 的取值范围是[－9，＋∞) 【点评】 一般地，如果求条件与前n 项和相关的数列的通项公式，则可考虑S n 与a n 的关系求解.本题求参数取值范围的方法也一种常用的方法，应当引起重视. 类型2：数列参与的不等式的证明问题 此类不等式的证明常用的方法：(1)比较法，特别是差值比较法是最根本的方法；(2)分析法与综合法，一般是利用分析法分析，再利用综合法分析；(3)放缩法，主要是通过分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段达到证明的目的. 【题3】 数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，a 3＝7，S 4＝24． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设p 、q 都是正整数，且p ≠q ，证明：S p +q ＜1 2 (S 2p ＋S 2q )． 【题3】 根据条件首先利用等差数列的通项公式及前n 项公式和建立方程组即可解决第(1)小题；第(2)小题利用差值比较法就可顺利解决. 【解】 （1）设等差数列{a n }的公差是d ，依题意得，??? a 1＋2d ＝74a 1＋6d ＝24，解得??? a 1＝3 d ＝2 ， 2017-2018全国卷I -Ⅲ高考真题 数学 不等式选修专题 1.(2017全国卷I,文/理.23)（10分） [选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数f （x ）=–x 2+ax +4，g (x )=│x +1│+│x –1│. （1）当a =1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集； （2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围. 【答案解析】 解：（1）当1a =时，()24f x x x =-++，是开口向下，对称轴12 x = 的二次函数． ()211121121x x g x x x x x >??=++-=-??-<-?，，≤x ≤，， 当(1,)x ∈+∞时，令242x x x -++= ，解得x =()g x 在()1+∞， 上单调递增，()f x 在()1+∞，上单调递减 ∴此时()()f x g x ≥ 解集为1? ?? ． 当[]11x ∈-， 时，()2g x =，()()12f x f -=≥． 当()1x ∈-∞-， 时，()g x 单调递减，()f x 单调递增，且()()112g f -=-=． 综上所述，()()f x g x ≥ 解集1?-??? ． （2）依题意得：242x ax -++≥在[]11-， 恒成立． 即220x ax --≤在[]11-， 恒成立． 则只须()()2211201120 a a ?-?-??----??≤≤，解出：11a -≤≤． 故a 取值范围是[]11-， ． 2.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)（10分） [选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知0a >，222ba b +==2.证明： （1）()22()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤. 【答案解析】 3.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)（10分） [选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数f （x ）=│x +1│–│x –2│. （1）求不等式f （x ）≥1的解集； （2）若不等式f （x ）≥x 2–x +m 的解集非空，求m 的取值范围. 【答案解析】 解:(1)()|1||2|f x x x =+--可等价为()3,121,123,2--??=--< 基本不等式 【考点梳理】 1．基本不等式ab ≤ a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 2．几个重要的不等式 (1)a 2 ＋b 2 ≥2ab (a ，b ∈R )； (2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号且不为零)； (3)ab ≤? ?? ??a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)? ?? ??a ＋b 22≤a 2 ＋b 2 2(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数 设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为 a ＋b 2 ，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则 (1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 2 4(简记：和定积最大)． 【考点突破】 考点一、配凑法求最值 【例1】(1)若x ＜ 54，则f (x )＝4x －2＋145 x -的最大值为________． (2)函数y ＝ x －1 x ＋3＋x －1 的最大值为________. [答案] (1) 1 (2) 1 5 [解析] (1)因为x ＜5 4 ，所以5－4x ＞0， ＝－2＋3＝1. 当且仅当5－4x ＝1 5－4x ，即x ＝1时，等号成立. 故f (x )＝4x －2＋1 4x －5的最大值为1. (2)令t ＝x －1≥0，则x ＝t 2 ＋1， 所以y ＝ t t 2 ＋1＋3＋t ＝ t t 2 ＋t ＋4 . 当t ＝0，即x ＝1时，y ＝0； 当t ＞0，即x ＞1时，y ＝ 1 t ＋4t ＋1 ， 因为t ＋4 t ≥24＝4(当且仅当t ＝2时取等号)， 所以y ＝ 1t ＋4t ＋1 ≤1 5， 即y 的最大值为1 5(当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值). 【类题通法】 1.应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件. 2.在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式. 【对点训练】 1．若函数f (x )＝x ＋ 1 x －2 (x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋2 B ．1＋3 C ．3 D ．4 [答案] C [解析] 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋ 1 x －2 ＋2≥2（x －2）× 1 x －2 ＋2＝4，当 1.（2014 北京理 5）设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1q >”是“{}n a ”为递增数列的（ ）. A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.（2014 大纲理 10）等比数列{}n a 中，4525a a ==，，则数列{}lg n a 的前8项和等于（ ）. A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 3.（2014 福建理 3）等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( ). A.8 B.10 C.12 D.14 4.（2014 辽宁理 8）设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列{}12 n a a 为递减数列，则（ ）. A ．0d < B ．0d > C ．10a d < D ．10a d > 5.（2014 重庆理 2）对任意等比数列{}n a ，下列说法一定正确的是（ ）. A. 139,,a a a 成等比数列 B. 236,,a a a 成等比数列 C. 248,,a a a 成等比数列 D. 369,,a a a 成等比数列 二、 填空题 1.（2014 安徽理 12）数列{}n a 是等差数列，若11a +，33a +，55a +构成公比为q 的等比数列，则q = . 2.（2014 北京理 12）若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时，{}n a 的前n 项和最大. 3.（2014 广东理 13）若等比数列{}n a 的各项均为正数，且5 10119122e a a a a +=， 则1220ln ln ln a a a +++= . 4.（2014 江苏理 7）在各项均为正数的等比数列{}n a 中，21a =，8642a a a =+，则6a 的值是 ． 5.（2014 天津理 11）设{}n a 是首项为1a ，公差为1-的等差数列，n S 为其前n 项和.若 124,,S S S 成等比数列，则1a 的值为__________. 第1讲 等差数列与等比数列 [考情考向分析] 1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.2.等差、等比数列的判定及综合应用也是高考考查的重点，注意基本量及定义的使用，考查分析问题、解决问题的综合能力． 热点一 等差数列、等比数列的运算 1.通项公式 等差数列：a n ＝a 1＋(n －1)d ； 等比数列：a n ＝a 1·q n －1 . 2．求和公式 等差数列：S n ＝ n (a 1＋a n ) 2 ＝na 1＋ n (n －1) 2 d ； 等比数列：S n ＝????? a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1)，na 1(q ＝1). 3．性质 若m ＋n ＝p ＋q ， 在等差数列中a m ＋a n ＝a p ＋a q ； 在等比数列中a m ·a n ＝a p ·a q . 例1 (1)(2018·全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5等于( ) A ．－12 B ．－10 C ．10 D ．12 答案 B 解析 设等差数列{a n }的公差为d ，由3S 3＝S 2＋S 4， 得3???? ??3a 1＋3×(3－1)2×d ＝2a 1＋2×(2－1)2×d ＋4a 1＋4×(4－1)2×d ，将a 1＝2代入上式，解得d ＝－3， 故a 5＝a 1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝－10.故选B. (2)(2018·杭州质检)设各项均为正数的等比数列{a n }中，若S 4＝80，S 2＝8，则公比q ＝________，a 5＝________. 答案 3 162 高考数学专题练习：不等式与线性规划 1。若不等式(－2)n a －3n －1－(－2)n ＜0对任意正整数n 恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A 。? ? ???1，43 B 。? ???? 12，43 C 。? ? ???1，74 D 。? ?? ??12，74 答案 D 解析 当n 为奇数时,要满足2n (1－a )＜3n －1恒成立, 即1－a ＜13× ? ????32n 恒成立,只需1－a ＜13×? ????321,解得a ＞1 2； 当n 为偶数时,要满足2n (a －1)＜3n －1恒成立, 即a －1＜13× ? ????32n 恒成立,只需a －1＜13×? ????322,解得a ＜7 4。 综上,12＜a ＜7 4,故选D 。 2。已知a >0,b ＞0,且a ≠1,b ≠1,若log a b ＞1,则( ) A 。(a －1)(b －1)＜0 B 。(a －1)(a －b )＞0 C 。(b －1)(b －a )＜0 D 。(b －1)(b －a )＞0 答案 D 解析 取a ＝2,b ＝4,则(a －1)(b －1)＝3＞0,排除A ；则(a －1)(a －b )＝－2＜0,排除B ；(b －1)(b －a )＝6＞0,排除C,故选D 。 3。设函数f (x )＝??? x 2－4x ＋6，x ≥0， x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( ) A 。(－3,1)∪(3,＋∞) B 。(－3,1)∪(2,＋∞) C 。(－1,1)∪(3,＋∞) D 。(－∞,－3)∪(1,3) 答案 A 解析 f (1)＝3。由题意得??? x ≥0，x 2－4x ＋6>3或??? x <0， x ＋6>3， 解得－3 基本不等式 基础梳理 1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )； (2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)； (3)ab ≤????a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)a 2＋b 22≥????a ＋b 22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数 设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为 a ＋ b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则 (1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大) 一个技巧 22 ab ≤????a ＋b 22(a ，b ＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等． 两个变形 (1)a 2＋b 22≥????a ＋b 22≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)； a ＋b 这两个不等式链用处很大，注意掌握它们． 三个注意 (1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可． (2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． (3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致． 双基自测 1．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝x ＋1x (x ＞0)的值域为( )． A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 解析 ∵x ＞0，∴y ＝x ＋1x ≥2， 当且仅当x ＝1时取等号． 答案 C 2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab ≤2；③x 2＋1x 2＋1≥1，其中正确的个数是( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析 ①②不正确，③正确，x 2＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1 －1≥2－1＝1. 答案 B 3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )． A.12 B ．1 C ．2 D ．4 解析 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝2， ∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤12 . 答案 A 4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋1x －2 (x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 解析 当x ＞2时，x －2＞0，f (x )＝(x －2)＋1x －2 ＋2≥2 (x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2 (x ＞2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3. 答案 C 5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t 的最小值为________． 解析 ∵t ＞0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t －4≥2－4＝－2，当且仅当t ＝1时取等号． 答案 －2 题08 数列 1．【2019年高考全国I 卷理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =- B ． 310n a n =- C ．2 28n S n n =- D ．2 122 n S n n = - 【答案】A 【解析】由题知，415 144302 45d S a a a d ? =+??=???=+=?，解得132a d =-??=?，∴25n a n =-，2 4n S n n =-,故选A ． 【名师点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，再适当计算即可做了判断． 2．【2019年高考全国III 卷理数】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a = A ．16 B ．8 C ．4 D ．2 【答案】C 【解析】设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则23111142 111 15 34a a q a q a q a q a q a ?+++=?=+?， 解得11,2 a q =??=?，2 314a a q ∴==，故选C ． 【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键. 3．【2019年高考浙江卷】设a ，b ∈R ，数列{a n }满足a 1=a ，a n +1=a n 2 +b ，n *∈N ，则 A ． 当101 ,102 b a = > B ． 当101 ,104 b a = > C ． 当102,10b a =-> D ． 当104,10b a =-> 【答案】A 【解析】①当b =0时，取a =0，则0,n a n * =∈N .高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案
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