热力学统计物理试题(B卷)

热力学·统计物理试题（B 卷）

适用于200×级本科物理学专业 (200×-200×学年度第×学期)

1. (10分) 证明范氏气体的定容热容量只是温度的函数,与比容无关.

2. (20分) 试证明，相变潜热随温度的变化率为

β

p c dT dL =-αp c -+T

L αβαβ

v v L

T v T v p p -???

????????? ????-???? ???? 如果β相是气相，α相是凝聚相，试证明上式可简化为：

α

βp p c c dT

dL -= 3．(10分) 若将U 看作独立变数T , V , n 1,… n k 的函数，试证明： （1）V

U

V

n U n U i i

i

??+??=

∑ （2）V

U

v n U u i

i i ??+??=

4．（20分） 试证明，对于遵从玻尔兹曼分布的系统，熵函数可以表示为

∑-=s

Ps Ps Nk S ln

式中P s 是总粒子处于量子态s 的概率，1Z e N e P s s s βεβεα---=

=,∑s

对粒子的所有量子态求和。

5．（20分） 铁磁体中的自旋波也是一种准粒子,遵从玻色分布,色散关系是2

Ak =ω.试证明在低温下,这种准粒子的激发所导致的热容与2

/3T 成正比.

6．（20分）在极端相对论情形下电子能量与动量的关系为

cp

=

ε,其中c为光速.试求自

由电子气体在0K时的费米能量,内能和简并压.

附标准答案

1. (10分) 解证：范氏气体()RT b v v a p =-??

?

??+

2 由式(2.2.7)? T v U ???

????=T V

T p ???

????-p =T 2

v a p b v R =-- (5分) T v U ???

????=2v

a ?)(),(0T f v a U v T U +-=

=V C V

T U ???

????=)(T f ' ；与v 无关。 (5分)

2．(20分) 证明：显然属于一级相变; ()())(αβS S T L -=; 其中())(,T p T S S =，

在p ～T 相平衡曲线上.

()[]???

? ??????+???

?????+-=dT dp p S T T S T S S dT dL αβ 其中：=??? ?????T S ()P T S ???? ????β()P

T S ???? ????-α =???? ??????dT dp p S [()P T S ?

??? ?

???β()P T S ???? ????-α]dT dp

? (5分) 又有：T C P =P

T S ???

????；()()

)(αβS S T L -= 由麦氏关系(2.2.4): -=????

????T

p S P

T V ??? ???? （5分） 上几式联立(并将一级相变的克拉伯珑方程代入)得：

β

p c dT dL =-αp c -+T

L αβαβ

v v L

T v T v p p -???

????????? ????-???? ???? (5分) 若β相是气相，α相是凝聚相；()

αV

～0；()p

T V ???? ???α～0；

β相按理想气体处理。pV=RT

?

α

βp p c c dT

dL -= (5分)

3．（10分） 证明：（1） ),,,(),,,(11k k n n V T U n n V T U λλλλ=

根据欧勒定理，f x f x i i i =??∑ ，可得

V U

V

n U n U i i

i

??+??=∑ (5分) （2）i i

i i i i i i i

i

u n V U

v n U n V U V n U n U ∑∑∑=??+??=??+??=

)( V

U

v n U u i

i i ??+??=

(5分) 4．（20分）证明：出现某状态s ψ几率为P s

设S 1,S 2,……S k 状态对应的能级s 'ε

设S k+1 ,S k+2,……S w 状态对应的能级s 'ε

类似………………………………

则出现某微观状态的几率可作如下计算：根据玻尔兹曼统计 N

e P s

S βεα--=；

显然NP s 代表粒子处于某量子态S 下的几率，S

e

NP S βεα--=。于是

S

e βε

α-

-∑代表

处于S 状态下的粒子数。例如，对于s 'ε能级?

??

?

??∑=--'K S S S S e 1βεα个粒子在s 'ε上的K 个微观状态的概率为： ()()???

?

??''∑

=='='--k S S S s e S S P

P S P

1βεα粒子数 类似写出：()???

?

??''∑

=''=''--k S S S s e S P

S P

1βεα

………………………………………………等等。 (5分)

于是N 个粒子出现某一微观状态的概率。

()=

=∏'

=S

S S S P P ?∑

???

?

??'='--k S S S s e S P 1βεα???

?

??''∑

=''--k S S S s e S P 1βεα 一微观状态数P

1

=

Ω ，（基于等概率原理） Ω=ln k S (5分)

???

???????∑?∑=????

??''???? ??'+=''--='--W S K S S S k S S S S e S e S P P k S 111

ln

βεαβεα

（5分）

k -=()()

??

??????++∑∑''--'--+'''K W

K S S S S S S S S P e P e 11ln ln βεαβεα

将S

e NP S βεα--=带入S S

S

P P

kN

S ln ∑-=? (5分)

5．（20分）证明: 在体积V 中,ω到ω+ d ω的频率范围内准粒子的量子态数为

ωωπωωd d 4d )(2

/123B p p h V g ==

, （5分）

推导上式时,用到关系k p =.这里B 为常数.由于准粒子数不守恒,玻色分布中的

0=α.系统的内能为

??-=-=m

m e B g e E ωωωβω

βωω

ωωω0

02

/3d 1d )(1 , （5分）

考虑到态密度在高频时发散,需引入截止频率m ω.但在低温下1>>ωβ ,在积分中

可令

∞→m ω.设x =ωβ ,则有

2/50

2/32/5d 1T x e x CT E x ∝-=

?∞

, （5分）

其中,C 为常数.易得 2

/3T T E C V V ∝???

????=. （5分）

6．（20分）在极端相对论情形下电子能量与动量的关系为cp =ε,其中c 为光速.试求自由电子气体在0K 时的费米能量,内能和简并压.

解: 在体积V 中,ε 到ε + d ε 的能量范围内电子的量子态数为

εεππεεd 8d 8d )(2

3323c h V p p h V g ==

. （5分）

绝对零度时,费米函数为

??

?><=00 ,0 ,1μεμε f . 总电子数满足

?

?===00

3

3323338d 8d )(μμπεεπεεc h V c

h V

fg N ,

可求出费米能量

hc

V N 3

/1083?

??

??=πμ. （5分）

电子气的内能

?

?====00

403333

343

48d 8d )(μμμπεεπεεεN c h V c

h V

fg E .

（5分）

气体的简并压

043μV N

V E p d ==

. （5分）