二元函数极限不存在性研究

二元函数极限不存在性研究

1 引言

二元函数极限是数学分析中非常重要的内容，也是比较难以理解和掌握的知识．二元函数极限 虽然从定义形式上与一元函数极限差异不大，但由于二元函数的自变量有两个，其变量变化过程要 比一元函数的变量变化过程复杂的多，这就使得极限问题发生了质的变化，存在性的判定和极限的计算方法也变得非常困难．二元函数极限在多元函数微分学中具有举足轻重的作用，探讨其不存在性及计算方法是进一步学习多元函数微分学有关概念和方法的基础．本文就二元函数极限问题进行了讨论．

２ 二元函数极限的定义

2.1 重极限 定义1

)

92](1[P 设f 是定义在D ?2

R 上的二元函数，

0P 为D 内一个聚点，A 是一个确定的实数，若对任给的ε，总存在某正数δ，使得当0

0(;)P U P D δ∈?时，都有()f P A -<ε，则称f 在D

上当0P P →时，以A 为极限，记作0

lim P P →()f P A =．

当0,P P 分别用坐标00(,),(,)x y x y 表示时，常记作0,0(,)()

lim x y x y →(,)f x y A =，这种极限也称重极

限．

例1

)

93](1[P 依定义验证

22(,)(2,1)

lim ()7x y x xy y →++=．

证 因为 227x xy y ++-=22(4)2(1)x xy y -+-+-

=(2)(2)(2)2(1)(1)(1)x x x y y y y +-+-+-++- 2213x x y y y ≤-+++-+

先限制在点(2,1)的δ=1的方邻域{}

(,)21,11x y x y -<-<内讨论．于是有

314145y y y +=-+≤++<

2(2)(1)52157x y x y x y ++=-+-+≤-+-+<

所以 2

2

772517(21)x xy y x y x y ++-≤-+-<-+-.

设ε为任意的正数，取min(1,

)14

ε

δ=，则当2,1x y δδ-<-<，(,)(2,1)x y ≠ 时 就有22714x xy y δε++-<<．所以

22(,)(2,1)

lim ()7x y x xy y →++=

例2 证明222

(,)(0,0)lim

0x y x y

x y →=+． 证 因为()(),0,0x y ≠时，222

22

1

02

x y xy x

x x x y x y ≤

=≤

≤++．从而任意0ε>，取δ=ε，

则当0x δ<<，0y δ<<时，222x y

x y

+< ε，所以222(,)(0,0)lim x y x y x y →+0=． 2.2 累次极限

定义2)97](1[P 设,x y E E R ?，0x 是x E 的聚点，0y 是y E 的聚点，二元函数f 在集合x y

D E E =?上有定义，若对每一个y ∈y E ，0y y ≠，存在极限0

lim (,)x x f x y →()y ?=，而且进一步存在极限

L=0

lim

y y →?()y ，则称此极限为二元函数f 先对0()x x →后对的0()y y →累次极限，并记作

00

lim lim (,)y y x x L f x y →→=．

类似地可以定义先对y 后对x 的累次极限 00

lim lim (,)x x y y K f x y →→=．

例3 求函数(,)f x y = 2

22

y x y +在(0,0)点的累次极限．

解 00lim lim x y →→ 222y x y +=0lim x →20

x +=0， 00lim lim y x →→222y x y +=0lim y →22y y =1． 3 二元函数重极限与累次极限之间的关系及其应用

3.1 重极限与累次极限的区别与联系

累次极限与重极限是二元函数极限的不同概念，二者之间没有必然的蕴涵关系，但在某些特殊 条件下两者又存在着某些联系．

例４ 设(,)f x y 为定义在点00(,)x y 附近的二元函数，试讨论重极限0

lim (,)x x y y f x y →→，累次极限

00

lim lim (,)x x y y f x y →→与00

lim lim (,)y y x x f x y →→三者之间的关系．

解 (1)重极限00

lim (,)x x y y f x y →→存在，累次极限00

lim lim (,)x x y y f x y →→与00

lim lim (,)y y x x f x y →→可能不存在．

例如 函数11

(,)()sin

sin f x y x y x y

=+，因为

11

(,)()sin sin 0f x y x y x y x y

=+≤+→．

所以

(,)(0,0)

lim (,)0x y f x y →=，但0

1lim (,)lim sin

y y f x y x y →→=，001

lim (,)lim sin x x f x y y x

→→=

都不存在，从而00

lim lim x y →→(,)f x y 与00

limlim (,)y x f x y →→都不存在．

(2)累次极限00

lim lim (,)x x y y f x y →→与00

lim lim (,)y y x x f x y →→都存在也可能不相等．

例如 函数33

33

(,)x y f x y x y -=+，有

00lim lim x y →→333

3x y x y -+=0lim x →330

x x -+=1 ， 00lim lim y x →→3333x y x y -+=3300lim 10y y y →-=-+ (3)累次极限00

lim lim (,)x x y y f x y →→与00

lim lim (,)y y x x f x y →→都存在且相等，重极限0

lim (,)x x y y f x y →→也可能

不存在．

例如 函数22

(,)xy

f x y x y =

+，虽然有 2222

00

00lim lim

lim lim x y y x xy xy

x y x y →→→→=++=0，

但

2(,)(0,0)lim 1x y y kx

k

k

→==

+这个极限与k 有关，所以重极限(,)(0,0)lim (,)x y f x y →不存在． (4)若重极限

0,0(,)()

lim (,)x y x y f x y →，累次极限00

lim lim (,)x x y y f x y →→与00

lim lim (,)y y x x f x y →→三者都存在，则

它们一定相等．

证 设

00(,)(,)

lim (,)x y x y f x y A →=，

则对任给的正数ε，总存在正数δ，使得当0

0(,)(;)P x y U p δ∈时，有

(,)f x y A ε-< （1）

另由存在累次极限之假设，对任一满足不等式

00x x δ<-<

的x ，存在极限

lim (,)()y y f x y x ?→= （２）

回到不等式（1），让其中0y y →，由（2）可得()x A ?ε-≤，从而证得0

lim ()x x x A ?→=，即

00

00(,)(,)

lim lim (,)lim (,)x x y y x y x y f x y f x y A →→→=

=，同理00

lim lim (,)y y x x f x y →→＝A ，证毕．

(5)若

0,0(,)()

lim

(,)x y x y f x y →=A 存在，且00

lim lim (,)x x y y f x y →→的内层极限0

lim (,)y y f x y →在0x 的某个1δ

邻域里存在，( 1δ>0)，则00

lim lim (,)x x y y f x y →→存在且等于A ．(另一个累次极限亦然)

证 因?ε>0，?δ>0，(取δ<1δ)，当00,x x y y δδ-<-<时， 有

(,)A f x y A εε-<<+，.

在不等式里令0y y →取极限，记0

lim (,)()y y f x y g x →=， 得

()A g x A εε-≤≤+0(:),x x x δ?-<

此即表明0

00

lim ()lim lim (,)x x x x y y A g x f x y →→→==，证毕．

3.2 二元函数极限的应用

利用偏导数的定义，有些关于偏导数的问题可以转化为相应的极限问题．

例5)654653](2[-P 设'

'

"

,,x y yx f f f 在00(,)x y 的某邻域内存在， "

yx f 在点00(,)x y 处连续，证明

"00(,)xy f x y 存在，且"00(,)xy f x y ="00(,)yx f x y ．

证 (1) 将混合偏导数转化成累次极限． 根据偏导数的定义

0,000"000

00000000000'()'(,)

(,)lim

(,)(,)(,)(,)1lim

lim lim x x xy y y x x f x y y f x y f x y y

f x x y y f x y y f x x y f x y y x x ?→?→?→?→+?-=?+?+?-+?+?-?

?=-???????

00lim lim

,y x W

x y

?→?→=??

其中00000000(,)(,)(,)(,)W f x x y y f x y y f x x y f x y =+?+?-+?-+?+，同理可证

"0000(,)lim lim

yx x y W

f x y x y

?→?→=??．

(2) 证明重极限00

lim

x y W x y ?→?→??存在，且等于"

00(,)yx f x y ．

令 00()(,)(,)y f x x y f x y ?=+?-． 则

001

[()()W y y y x y x y

??=+?-????] 0110010010011

'()(01)1'(,)'(,)"(,)(01)y y y yx y y x f x x y y f x y y x

f x x y y ?θθθθθθθ=

+?<

00lim

x y W

x y

?→?→??=00100lim "(,)yx x y f x x y y θθ?→?→+?+?=00"(,)yx f x y ． (3) 因为','x y f f 在00(,)x y 的邻域内存在，且y ?充分小时，0lim

x W

x

?→?存在，由累次极限定理即

例４中结论(5)，得0000"(,)lim lim

xy y x W f x y x y ?→?→=??0,0lim x y W

x y

?→?→=??="00(,)yx f x y ．

4 二元函数极限的不存在性

根据重极限与累次极限的关系，证明二元函数极限不存在，通常方法是：(1)特殊路径判别法；(2)累次极限判别法；(3)极坐标判别法；(4)证明某个特殊路径的极限不存在等．下面就这几种方法进行具体的讨论．

4.1 特殊路径判别法

二元函数重极限定义中，动点(,)P x y 可以沿任意路径趋于定点000(,)P x y ，若二元函数的重极限存在，则(,)P x y 沿任意曲线趋向于000(,)P x y 时极限都存在而且相等．反之，若点P 沿不同路径趋于0P 时极限不存在或存在但不相等则可断定重极限不存在，因此通常可以利用特殊路径法判别二元函数极限不存在．

4.1.1 选择直线路径

例６ 问极限22

22200

lim ()x y x y x y x y →→+-是否存在?并说明理由．

解 令(,)x y 沿直线y kx =趋于(0,0)，得2224

222242200lim lim ()(1)x x y kx x y k x x y x y k x x k →→==+-+-．

当1k =时，上式极限为1；当1k ≠时，上式极限为0，故22

22200

lim ()x y x y x y x y →→+-不存在．

注 易知2222

22

2222

0000lim lim lim lim 0()()x y y x x y x y x y x y x y x y →→→→==+-+- ，再一次表明两累次极限存在且相等，重极限不一定存在．

4.1.2 选择二次曲线路径 例７

证明0

x y →→的极限不存在．

证

0x y →→

=00

x y →→(,)x y 沿曲线2

y x kx =-+(0)k ≠趋于(0,0)时，有

20

lim

x y x kx xy

x y →=-+→+=220

0()11lim lim x x x x kx kx kx k k →→-+-+==-．k 取不同值 ，上式极限有不同结果，所以00lim

x y xy x y →→+

不存在，而001)2x y →→=

存在，故0x y →→不存在．

例８ 求24210

(1)lim (1)x y x y

x y →→--+．

解 因为22422

2

(1)(1)(,)0(1)1[](1)

y x y x f x y y x y x ---==--++-．令2

(1)y k x =-，则2

(,)1k f x y k =+． 当(,)x y 沿曲线2

(1)y k x =-趋近于(1,0)时,有

222

421120(1)02

(1)(1)lim lim 0(1)1[](1)

x x y y k x y x y x y x y x →→→=-→---=--++-21k k =+ 随着k 的取值不同，

2

1k

k +取不同的值，所以极限不存在． 4.1.3 选取分式曲线路径

当(,)f x y 为分式函数时，有时可将分子、分母变形，反过来推导y 与x 的函数关系，从中找出恰当的分式曲线路径．

例９

求00

x y →→．

解

由于(,)f x y =

=

xy x y =+易知

012x y →→=，因此只需讨论00

lim

x y xy

x y →→+，由于xy x y +的分子．分母只有y 的一次幂．故令 xy x y +=k (0)k ≠，解得kx y x k =-，当0x →时有0y →，因此沿曲线kx

y x k

=-得

00

lim x x y kx

y x k

→→→=→-=

01

lim 2x kx

y x k

k →=→-==． 随着k 的取值不同，

1

2

k 没有固定值，因此极限不存在． 对于有些结构形式的函数，需要先做适当变形，再选取适当路径来证明极限不存在．

例10 验证22222200

1cos()

lim ()x y x y x y x y →→-++不存在．

解 先将函数变形，有

2222

22222

22222222222222(sin )sin 1cos()22().()()22

x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y ++-++==?+++

令22222sin 2(,)()2

x y f x y x y +=+，22

22(,).2x y g x y x y +=一方面00

lim (,)x y f x y →→=10≠，另一方面当动点 (,)P x y 沿直线y x =趋于原点(0,0)时，有242000021

lim (,)lim lim 2x x x y x x g x y x x →→→=→===∞．所以

00lim (,)x y x g x y →=→=∞，从而0

lim (,)(,)x y f x y g x y →→?=∞．这表明222

222001cos()

lim ()x y x y x y x y →→-++不存在． 4.2 累次极限判别法

若二元函数在点00(,)x y 某邻域内连续而二累次极限存在不相等，则该重极限不存在．累次极限 一般不是特殊路径的极限，但在某空心邻域里若函数连续，则累次极限实为沿坐标轴方向的极限．

例11 证明函数33

33

(,)x y f x y x y

-=+在(0,0)处重极限不存在． 证 (,)f x y 在除(0,0)点外处处连续，但33

0000

lim lim (,)lim 10x y x x f x y x →→→-==+， 3

30000lim lim (,)lim 1,0y x y y f x y y →→→-==-+所以0

lim (,)x y f x y →→不存在．

4.3 极坐标判别法

4.3.1 证明径向路径的极限与幅角有关．

例12 设(,)f x y 是区域:1,1D x y ≤≤上的有界k 次齐次函数(1)k ≥，问极限

lim (,)(1)y x y f x y x e →→??+-??是否存在?若存在，试求其值． 解 令cos ,sin x r y r θθ==．由于(,)f x y 是区域D 上的有界k 次齐次函数，所以

(,)(cos ,sin )(cos ,sin )(0)k k f x y f r r r f r M M θθθθ==≤>

而0

lim 0k

r r M →=，所以0

lim (,)lim (cos ,sin )0x r y f x y f r r θθ→→→==，00

lim (,)(1)1y x y f x y x e →→??+-=-??．

4.3.2 (,)f x y 中含“22

x y +”或为(,)f x y 的齐次有理分式函数

若函数(,)f x y 中含有“2

2

x y +”或为(,)f x y 的齐次有理分式函数，可以先进行坐标变换

cos sin x r y r θ

θ=??

=?

0r ≤<∞，02θπ<≤，然后适当选取不同路径． 例13

验证220

x y →→

证 作坐标变换cos sin x r y r θθ

=??=?

22化为1cos r

θ+．

（1）取路径0θθπ=≠当0θθ=，0r +

→时

1cos r

θ

+0→;

（2）取路径()1cos r θθ=+，当,0r θπ-

+

=→时1cos r

θ+1→

，所以2200x y →→存在．

例14 证明2233

2200

lim x y x y x y x y →→-+-+不存在． 证 作坐标变换cos sin x r y r θθ

=??=?，函数2233

22

(,)x y x y f x y x y -+-=+化为 (,)(cos sin )(cos sin sin cos )f r r r θθθθθθθ=-+++．

（1）取路径0θ=，当0,0r θ+

=→时(cos sin )(cos sin sin cos )1r r θθθθθθ-+++→．

（2）取路径4

π

θ=

，当,04

r π

θ+=

→时(cos sin )(cos sin sin cos )r r θθθθθθ-+++→0

所以2233

2200

lim x y x y x y x y →→-+-+不存在． 4.4 证明某个特殊路径的极限不存在

例15 证明二元函数2

(,)cos y f x y x =在点(0,0)的极限不存在．

证 取1

4

y x =，当(,)x y 在14

y x =上时，则有2cos y

x =，故

1

4

2(,)(0,0)0lim cos lim x y x y x y x →→==2

(,)(0,0)lim cos x y y x →不存在．