高三阶段性测试数学试卷

连云港外国语学校—高三阶段性测试

数 学 试 卷

命题人：刘希团 10月25日

一、.填空题（共14小题，每题5分，计70分）

1．已知点(tan ,cos )P αα在第三象限, 则角α的终边在第 ▲ 象限。 2．已知关于某设备的使用年限x 与所支出的维修费用y （万元），有如下统计资料：

若y 对x 呈线性相关关系，则线性回归方程a bx y +=

表示的直线一定过定点__▲__。 3．若)1,2(-P 为圆)0()1(2

2

2

>=+-r r y x 内，则r 的取值范围是 ▲ 。

4．“m=12”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m －2)x+(m+2)y －3=0相互垂直”的 ▲ 条

件。

5．已知等比数列()n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是 ▲ 。 6．设a (,3)x =，(2,1)b =-，若a ，b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是 ▲ 。 7．若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1

()()()

F x f x f x =+

的值域是 ▲ 。 8．已知椭圆的焦点是F 1(-1,0),F 2(1,0),P 是椭圆上的一点，且|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项，

则椭圆方程为 ▲ 。 9．已知cos （α-

6π）+sin α=的值是则)6

7sin(,354πα+ ▲ 。 10．设x 、y 满足条件3

10x y y x y +??-?

??

≤≤≥，则22

(1)z x y =++的最小值 ▲ 。 11.已知函数2

2()log (3)f x x ax a =-+，对于任意x≥2，当△x＞0时，恒有

()()f x x f x +?>， 则实数a 的取值范围是 ▲ 。

12．函数x x x f lg sin )(-=的零点个数是 ▲ 。

13．设{}n a 是正项数列，其前n 项和n S 满足：4(1)(3)n n n S a a =-+,则数列{}n a 的通项公式n a = ▲ 。

14．对于ABC ?，有如下命题：

（1）若B A 2sin 2sin =，则ABC ?为等腰三角形； （2）若B A sin sin =，则ABC ?为直角三角形；

（3）若1cos sin sin 222<++C B A ，则ABC ?为钝角三角形； （4）若0tan tan tan >++C B A ，则ABC ?为锐角三角形． 则其中正确命题的序号是 ▲ 。（把所有正确的都填上）

二、解答题（5大题共90分，要求有必要的文字说明和步骤） 15．（本小题满分14分）

已知向量(1tan ,1)x =-a ，(1sin 2cos2,0)x x =++b ，记()f x =?a b ． （1）求f (x )的解析式并指出它的定义域和值域；

（2

）若π()8f α+=，且π(0,)2

α∈，求()f α．

16．（本题满分14分）

如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、G 分别是A 1A ，D 1C ，AD 的中点。

求证：（1）MN //平面ABCD ；

（2）MN ⊥平面B 1BG ．

_ G

_ M

_ D

_1

_ C

_1

_ B

_1

_ A

_1

_ N

_ D

_ C

_ B

_ A

17．（本题满分14分）

由倍角公式1cos 22cos 2-=x x ，可知x 2cos 可以表示为x cos 的二次多项式。对于x 3cos ，我们有x x x x x x x sin 2sin cos 2cos )2cos(3cos -=+= x x x x x sin )cos (sin 2cos )1cos 2(2

--= x x x x cos )cos 1(2cos cos 22

3

---= x x cos 3cos 43-=

可见x 3cos 可以表示为x cos 的三次多项式。一般地，存在一个n 次多项式)(t P n ，使得

)(cos cos x P nx n =，这些多项式)(t P n 称为切比雪夫多项式。

（1） 请求出)(4t P ，即用一个x cos 的四次多项式来表示x 4cos ； （2） 利用结论x 3cos x x cos 3cos 43-=，求出018sin 的值。 18．（本题满分16分）

已知定义域为R 的函数a

b

x f x x ++-=+122)(是奇函数，

（1）求实数b a ,的值；

（2）若对任意的R t ∈，不等式0)2()2(2

2

<-+-k t f t t f 恒成立，求实数k 的

取值范围。

19．(本小题满分16分）

设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知37S =，且

123334a a a ++，，构成等差数列．

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式．

（Ⅱ）令31ln 12n n b a n +==，，，，求数列{}n b 的前n 项和n T ．

20．（本小题满分16分）

若椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 过点（－3，2），离心率为33，⊙O 的

圆心为原点，直径为椭圆的短轴，⊙M 的方程为4)6()8(2

2

=-+-y x ，过⊙M 上任一点P 作⊙O 的切线P A 、PB ，切点为A 、B . (1)求椭圆的方程；

（2）若直线P A 与⊙M 的另一交点为Q ，当弦PQ 最大时，求直线P A 的直线方程； （3）求?的最大值与最小值。

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数 学 试 卷

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）

1． ； 2． ；

3． ； 4． ；

5． ； 6． ； 7． ； 8． ；

9． ； 10． ；

11． ； 12． ； 13． ； 14． ；

二、解答题（5大题共90分，要求有必要的文字说明和步骤）

校 姓名 班级 考试号 座位号

E

A

B

C

D

N

A 1

B 1

C 1

D 1

M

G

高三数学试卷答案

一、填空题

1．二 2．（4，5）3． ),2(+∞4．充分不必要5．）

［３，＋，－１］（－∞∞ 6．3(,6)(6,)2-∞-?-7．10[2,]38． 13422=+y x 9．５

４

－ 10．4 11. (4,4]- 12． 3 13． 12+n 14．（3）、（4）

二、解答题

15．解：（1）∵(1tan ,1),(1sin 2cos2,0)x x x =-=++a b ，

∴()(1tan )(1sin 2cos 2)f x x x x =?=-++a b ……………………………2分

2cos sin (2cos 2sin cos )cos x x

x x x x

-=

?+222(cos sin )x x =-2cos2x =．

…5分 定义域为ππ,2x x k k ??

≠+∈????

Z ． 值域为[)(]1,00,1-?…………………7分

（2

）因ππ()2cos(2)84f αα+=+=

，即πcos(2)4α+=0，

故π24

α+

为锐角，于是πsin(2)4α+．…………………………………8分

∴()f α=ππ2cos22cos((2))44

αα=+-

ππππ2cos(2)cos 2sin(2)sin 4444αα=+++=8

5

． …………………………14分

16．证明：（1）取CD 的中点记为E ，连NE ，AE ． 由N ，E 分别为CD 1与CD 的中点可得

NE ∥D 1D 且NE =1

2D 1D ， ………………………………2分

又AM ∥D 1D 且AM =1

2

D 1D ………………………………4分

所以AM ∥EN 且AM =EN ，即四边形AMNE 为平行四边形 所以MN ∥AE ， ……………………… ………6分 又AE ?面ABCD ,所以MN ∥面ABCD ……8分 （２）由AG ＝DE ，90BAG ADE ∠=∠=?，DA ＝AB

可得EDA ?与GAB ?全等 ……………………………10分

所以ABG DAE ∠=∠， ……………………………………………………………11分 又90DAE AED AED BAF ∠+∠=?∠=∠，，所以90BAF ABG ∠+∠=?，

所以AE BG ⊥， ………………………………………………12分 又1BB AE ⊥,所以1AE B BG ⊥面， ……………………………………………………13分 又MN ∥AE ，所以MN ⊥平面B 1BG …………………………………………………14分 17．解：（1）1)1cos 2(212cos 2)22cos(4cos 2

2

2

--=-=?=x x x x 1cos 8cos 81)1cos 4cos 4(22

4

2

4

+-=-+-=x x x x ……7分

（2）0054cos 36sin = ， ……………………………9分

0030018cos 318cos 418cos 18sin 2-=∴，

0118sin 218sin 4002=-+∴

4

1

518sin 0-=

∴ ………………………………14分 18．解：（1）)(x f 的定义域为R

021)0(=++-=

∴a

b

f ，即1=b ………………3分 又a

f +-=

41

)1( ，)1(21)1(a f +=-

0)1()1(=-+f f ，0)

1(2141=+++-∴

a a ， 则2=a 经检验1,2==

b a 满足要求。 ………………7分

（2）)2

12

1(212121212221)(1x

x x x x x f ++-=+-?=+-=+ 易证)(x f 为R 上的减函数， ………………………9分

又 0)2()2(22<-+-k t f t t f ，则)2()2(2

2t k f t t f -<-

2222t k t t ->-∴， ………………………12分

即t t k 232-<，又3

1)23(min 2-

=-t t 3

1

-<∴k ………………………16分

19．解：（Ⅰ）由已知得12313

27:(3)(4)3.2

a a a a a a ++=??

?+++=??，……2分 解得22a =．

设数列{}n a 的公比为q ，由22a =，可得132

2a a q q

==，．………4分 又37S =，可知

2227q q ++=，即22520q q -+=，解得12122

q q ==，． 由题意得12q q >∴=，．11a ∴=．……………………7分

故数列{}n a 的通项为1

2n n a -=．

（Ⅱ）由于31ln 12n n b a n +==，，，，由（1）得3312n n a += 3ln 23ln 2n

n b n ∴==

又13ln 2n n b b +-= {}n b ∴是等差数列．……………10分

12n n T b b b ∴=++

+1()

2

(3ln 23ln 2)23(1)ln 2.

2

n n b b n n n n +=

+=+= 故3(1)ln 22

n n n T +=．……16分

20

．解：由题意得：222222

29411510a b a a b c b c a

?+=???=??=+∴??=???

?=?? 所以椭圆的方程为1101522=+y x …4分 （2）由题可知当直线P A 过圆M 的圆心（8，6）时，弦PQ 最大,因为直线P A 的斜率一定

存在，设直线P A 的方程为：y －6=k (x －8),又因为P A 与圆O 相切，所以圆心（0，0）到直线P A 的距离为10即

101|68|2

=+-k

k

可得直线P A 的方程为：0509130103=--=+-y x y x 或 ………………………9分 （3）设α=∠AOP , 则α2,=∠∠=∠AOB BOP AOP 则1201)(

21cos 2cos 222-=-=-=∠OP

OP OA AOB α 8210||,12210||min max =-==+=OP OP …………………12分

10200

cos ||||2

-=

∠?=?∴OP

AOB OB ……………………14分 max min 55155

(),()818

OA OB OA OB ∴?=-

?=-

…………………16分