3第三章 复变函数的积分3第三章 复变函数的积分

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第三章 复变函数的积分

复变函数积分是研究解析函数的一个重要工具。解析函数的许多重要性质，诸如“解析函数的导函数连续”及“解析函数的任意阶导数都存在”这些表面上看来只与微分学有关的命题，却是通过解析函数的复积分表示证明的，这是复变函数论在方法上的一个特点。同时，复变函数积分理论既是解析函数的应用推广，也是后面留数计算的理论基础。

§3.1 复变函数积分的概念

1 积分的定义

复变函数积分主要考察沿复平面上曲线的积分。今后除特别声明，当谈到曲线时一律是指光滑或逐段光滑的曲线，其中逐段光滑的简单闭曲线简称为围线或周线或闭路。在第一章中曾定义了曲线的方向，这里回顾并作更仔细些的说明：对于光滑或逐段光滑的开曲线，只要指明了其起点和终点，从起点到终点，也就算规定了该曲线的正方向C ；对于光滑或逐段光滑的闭曲线C ，沿着曲线的某方向前进，如果C 的内部区域在左方，则规定该方向为C 的正方向（就记为C ），反之，称为C 的负方向（记为-

C ）（或等价地说，对于光滑或逐段光滑的闭曲线，规定逆时针方向为闭曲线的正方向，顺时针为方向为闭曲线的负方向）；若光滑或逐段光滑的曲线C 的参数方程为)()()(t iy t x t z z +==，)(βα≤≤t

t 为实参数，则规定t 增加的方向为正方向，即由)(αz a =到)(βz b =的方向为正方向。

定义3.1.1 复变函数的积分 设有向曲线C ：

)(t z z =，βα≤≤t ，

以)(αz a =为起点，)(βz b =为终点，)(z f 沿C 有定义。在C 上沿着C 从a 到b 的方向（此为实参数t 增大的方向，作为C 的正方向）任取1-n 个分点：b z z z z a n n ==-,,,,110 ，

把曲线C 分成n 个小弧段。在每个小弧段

上任取一点k ζ，作和

∑=∆=n

k k k n z f S 1

)(ζ，

其中1--=∆k k k z z z ，记{

}

n z z ∆∆=,,max 1 λ，若0→λ时（分点无限增多，且这些弧段长度的最大值趋于零时），上述和式的极限存在，极限值为J （即不论怎样沿C 正向分割C ，也不论在每个小弧段的什么位置上取k ζ，当0→λ时n S 都趋于同一个数J ），则称)(z f 沿C 可积，称J 为)(z f 沿C （从a 到

b ）的积分，并记为⎰=C

dz z f J )(，即为

∑⎰=→∆=n

k k k

C

z f dz z f 1

)(lim )(ζλ

。 （3.1.1）

C 称为积分路径，⎰C

dz z f )(表示沿C 的正方向的积分，⎰-

C dz z f )(表示沿C 的负方向的积分。如果C 为有

向闭曲线，且正向为逆时针方向，那么沿此闭曲线的积分可记作

⎰C

dz z f )(。

2 复积分的性质

根据复积分的定义或根据下一段中定理3.1.1所述的复变函数积分和曲线积分之间的关系以及曲线积

2 分的性质，不难验证复积分具有下列性质，它们与实分析中定积分的性质相类似：

3 复积分存在的条件及计算方法

C 的积分等于其实部、虚部所确定两个实①.为了记忆方便,上式右端形式上可看成是函数iv u z f +=)(与微分idy dx dz +=相乘后得到的：⎰⎰++=C

C

idy dx iv u dz z f ))(()(；

②.由实分析知，计算实函数第二型线积分的基本方法是化为对曲线参数的普通定积分计算，应用到我们这里，就使得复积分最终也可以归结为计算对路径参数的普通定积分：设有向光滑曲线C 的实参数复方程为

)()()(t iy t x t z z +== βα≤≤t 。

曲线C 光滑意味着)()()(t y i t x t z '+'='在],[βα上连续，且0)(≠'t z 。当)(z f 沿C 连续时，由定理3.1.1

有

3

dt

t y t y t x u t x t y t x v i dt

t y t y t x v t x t y t x u dz z f C

)]())(),(()())(),(([)]())(),(()())(),(([)('+'+'-'=⎰⎰⎰β

α

β

α

dt t y i t x t y t x iv t y t x u )]()())][(),(())(),((['+'+=

⎰β

α ⎰'=β

α

dt t z t z f )())(( 即

⎰⎰'=β

α

dt t z t z f dz z f C

)())(()(。 （3.1.3）

该式称为计算复积分的参数方程法

4 复积分计算的典型实例

例1：计算⎰

C

zdz ，其中C 为从原点到点i 43+的直线段。

解：直线的方程可写成

t y t x 4,3==， 10≤≤t

或

t i t t z 43)(+=， 10≤≤t

于是

2

10

2102)43(2

1)43()43(i tdt i tdt i zdz C +=+=+=⎰⎰⎰ 又因

⎰

⎰⎰⎰++-=++=C

C

C

C

xdy ydx i ydy xdx idy dx iy x zdz ))((

由高等数学理论，其复积分的实部、虚部满足实积分与路径无关的条件（即0=⨯∇F ，对于二维的，即

0=∂∂-

∂∂y x

x y F F ），所以⎰C zdz 的值不论C 是怎样的曲线都等于2

)43(2

1i +，这说明有些函数的积分值与积

分路径无关。

§3.2 柯西积分定理

1 柯西积分定理

由上一节可知，复函数沿曲线的积分可归结为实函数的第二型曲线积分。一般说来，实函数的第二型曲线积分不仅依赖于积分起点和终点，还与积分路径有关。因此，一般说来，复积分不仅依赖于积分起点和终点，也与积分路径有关。与在实分析里研究实函数的第二型曲线积分一样，我们这里也来考虑什么条件下复积分的值与积分路径无关。下面的柯西积分定理回答了这个问题。教案各色水草化学教案就围绕着

定理3.2.1（柯西积分定理）：

设C 是一条围线，D 为C 的内部区域，函数)(z f 在闭区域C D D =上解析，则

⎰=C

dz z f 0)(。

定理3.2.2（等价的柯西积分定理）：

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2 原函数（不定积分：复积分的牛顿－莱布尼兹公式）

C z F +)(（C 为任意常数）称为)(z

f 的不定积分。

[]()()0G H G H f z

f z '''-=-=-=

∴ c z H z G =-)()(（常数）

3 复合闭路定理

下面对柯西积分定理从两个方面推广：一方面是被积函数的解析范围；另一方面是解析区域的连通性。定义 3.2.1：设有1+n 条围线n C C C ,,,10 ，其中n C C ,,1 中每一条都在其余各条的外部，而它们

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又全都在0C 的内部。在0C 内部同时又在n C C ,,1 外部的点集构成有界的多连通区域D ，D 以

n C C C ,,,10 为边界。在这种情况下，称区域D 的边界是一条复围线或复合闭路，记为

-

-+++=n C C C C 10。当观察者在C 上行进时，区域D 中的点总在观察者左边的方向称为复围线C 的

定理3.2.7（多连通区域的柯西积分定理）：

设D 是由复围线-

-+++=n C C C C 10所围成的有界多连通区域，)(z f 在D 内解析，在C

D D =上连续，则

⎰=C

dz z f 0)(，

即

0)()()(10

=+++⎰⎰⎰-

-

n

C C C dz z f dz z f dz z f ，

或

⎰⎰⎰++=n

C C C dz z f dz z f dz z f )()()(1

。

定理3.2.8（闭路变形原理）：

在区域D 内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在D 内作连续变形而改变积分的值，只要在变形的过程中曲线不经过函数)(z f 不解析的点。的远处化学教案灰青色的灰白色的沙砾无穷无尽试卷试题沙漠的颜色变化着化学教案一会儿是望

例： 计算积分

⎰-L

dz z z 2的值，其中L 为包含点0和1在内的任何简单闭曲线. 解：根据函数z

z z --21

2在复平面内除0=z ，1=z 两个奇点外是处处解析的。由于L 包含这两个奇点，

在L 内作两个互不包含且不相交的正向圆周1C ，2C ，如图3.7，

1C 只包含奇点0=z ，2C 只包含奇点1=z ，那么根据多连通区域的柯西积分定理得到1222221

2121

d d d L C C z z z z z z z z z z z z ---=

+---⎰⎰⎰ 11221111

d d d d 11 02πi 2πi 04πi C C C C z z z z

z z z z =+++--=+++=⎰⎰⎰⎰

（倒数第二步的计算参见书P62例3.1.4）

§3.3 柯西积分公式

1 柯西积分公式

1）有界区域的柯西积分公式

定理3.3.1（柯西积分公式）：设区域D 的边界是围线（或复围线）C ，)(z f 在D 内解析，

在C D D +=上连续，则等待试卷试题”从头到尾安稳地坐着化学教案直到吃饱了化学教案然后才应诏前去试卷试题高祖对此很感激化学教案常常称赞景

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图3.7

y

1C

2C

O

L

x

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区别。【注1】：定理3.3.1中的围线C 可以是复围线，这时C 所围的区域D 是多连通区域，这时侯(3.3.1)式及(3.3.2)式中的积分也就是复围线上的积分。【注2】：柯西积分公式意味着：一个区域内解析并连续到边界的函数，它在边界上的值决定了它在区域内任一点的值。因此，人们又称柯西积分公式为解析函数的积分表示式。从柯西积分公式可以看出，解析函数的函数值之间有着密切联系。这是解析函数不同于一般函数的一个显著特征。积分是涉及函数整体性质的一个概念，函数在一点的值应只涉及孤立点这一局部，而柯西积分公式却把整体与局部联系起来了。

例： 求下列积分的值

iz

d , :i 1;i C

e

z C z z +=+⎰

解：注意到iz

e z

f =)(在复平面内解析，而i -在积分环路C 内，由柯西积分公式得

i i i

i 1

d 2πi 2πi

i

z

z

z z e

z e e z =-+===+

⎰

2）无界区域中的柯西积分公式

上面对柯西积分公式讨论了（1）单连通区域；(2)复连通区域。但所涉及的积分区域都是有限的区域，若遇到函数在无界区域求积分的问题又如何求解？可以证明如下的无界区域柯西积分公式仍然成立。

22d ()(3)L z

I z a z a =

--⎰，设L 为：||2 (0)z a a =>.

解：被积函数a z a z z f 31)(2

2--=在L 外部仅有一个奇点a z 3=，且当

∞→z 时，01

)(2

2

→-=a

z z f ，满足无界区域的柯西积分公式条件。

图 3.10

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故有

2222d d ()(3)()(3)L L z z

I z a z a z a z a =

=-----⎰⎰

2232221

1πi ()

d 2πi |(3)4z a L z a z z a z a a =-=-=-=---⎰

定理3.3.1”(无界区域中的柯西积分公式（当满足∞→z ,)(z f 不趋于零时）)：上之工女试卷试题（杜牧《阿房宫

賦》)（7）老夫聊发少年狂化学教案左牵黄化学教案

假设)(z f 在某一闭曲线L 的外部解析，则对于C 外部区域中的点0z ，有

)()

(21)(0

0∞+-=

⎰f dz z z z f i z f C π。

2 推论

1）解析函数的无限次可微性

作为柯西积分公式的推广，我们可以证明一个解析函数的导函数仍为解析函数，从而可以证明解析函数具有任意阶导数。请特别注意：这一点和实函数完全不一样，一个实函数)(x f 有一阶导数，不一定有定理3.3.2：若函数)(z f 在区域D 内解析，则)(z f 在D 内有任意阶导数。

2）解析函数的第二个等价定理

定理3.3.3：

函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内解析⇔ （1）y x y x v v u u ,,,在D 内连续；

（2）),(y x u ，),(y x v 在D 内满足C-R 条件。 3）莫雷拉定理

定理3.3.4（莫雷拉Morera 定理）：

若函数)(z f 在单连通区域D 内连续，且对D 内的任一围线C ，有

⎰=C

dz z f 0)(，

则)(z f 在D 内解析。

3解析函数的第三个等价定理

定理3.3.5：

函数)(z f 在区域D 内解析⇔ （1）)(z f 在D 内连续；

4柯西不等式

5.刘维尔定理

6解析函数的平均值公式

7最大模原理

8代数基本定理

作业：习题三A类1、2、3、6、8 8