中考总复习：分式与二次根式
中考总复习：分式与二次根式
【考纲要求】
1. 了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行分式的加、减、乘、除、乘方运算；能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程，会解简单的可化为一元一次方程的分式方程；
2. 利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简，运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二次根式的运算．
【知识网络】
【考点梳理】
考点一、分式的有关概念及性质
1．分式设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，
否则分式没有意义.
2.分式的基本性质（M为不等于零的整式）.
3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 要点诠释：
分式的概念需注意的问题：
(1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；
（2）分式中，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必须含有字母且不为0；
（3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断．
（4）分式有无意义的条件：在分式中，
①当B≠0时，分式有意义；当分式有意义时，B≠0．
②当B=0时，分式无意义；当分式无意义时，B=0．
③当B≠0且A = 0时，分式的值为零．
考点二、分式的运算
1．基本运算法则
分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:
（1）加减运算±=
同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.
；
异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算.
（2）乘法运算
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.
（3）除法运算
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.
（4）乘方运算（分式乘方）
分式的乘方，把分子分母分别乘方．
2．零指数.
3．负整数指数
4．分式的混合运算顺序
先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的．
5．约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．
约分需明确的问题：
(1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等；
(2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式，其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公因式的思考过程相似；在此，公因式是分子、分母系数的最大公约数和相同字母最低次幂的积．
6．通分根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．通分注意事项：
(1)通分的关键是确定最简公分母；最简公分母应为各分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次幂的积．
(2)不要把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉．
(3)确定最简公分母的方法：
最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；
最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积.
要点诠释：
分式运算的常用技巧
（1）顺序可加法：有些异分母式可加,最简公分母很复杂,如果采用先通分再可加的方法很繁琐.如果先把两个分式相加减,把所得结果与第三个分式可加减,顺序运算下去,极为简便.
(2)整体通分法：当整式与分式相加减时,一般情况下,常常把分母为1的整式看做一个整体进行通分,依此方法计算,运算简便.
(3)巧用裂项法：对于分子相同、分母是相邻两个连续整数的积的分式相加减，分式的项数是比较
多的，无法进行通分，因此，常用分式
111
(1)1
n n n n
=-
++
进行裂项.
(4)分组运算法: 当有三个以上的异分母分式相加减时,可考虑分组,原则是使各组运算后的结果能出现分子为常数,且值相同或为倍数关系,这样才能使运算简便.
(5)化简分式法：有些分式的分子、分母都异常时如果先通分，运算量很大.应先把每一个分别化简，再相加减.
（6）倒数法求值（取倒数法）.
（7）活用分式变形求值.
(8)设k求值法(参数法)
(9)整体代换法.
(10)消元代入法.
考点三、分式方程及其应用
1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
2．分式方程的解法
解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．
3．分式方程的增根问题
(1)增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根---增根；
(2)验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．
4．分式方程的应用
列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的
合理性． 要点诠释：
解分式方程注意事项：
（1）去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆；
（2）解完分式方程必须进行检验，验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．
列分式方程解应用题的基本步骤： (1)审——仔细审题，找出等量关系； (2)设——合理设未知数； (3)列——根据等量关系列出方程； (4)解——解出方程； (5)验——检验增根； (6)答——答题．
考点四、二次根式的主要性质
1.0(0)a a ≥≥；
2.
()
2
(0)a
a a =≥；
3.2(0)
||(0)
a a a a a a ≥?==?-
4. 积的算术平方根的性质：(00)ab a b a b =?≥≥，；
5. 商的算术平方根的性质：(00)a a a b b b
=≥>，. 6.若0a b >≥，则a b >. 要点诠释：
与
的异同点：
（1）不同点：与表示的意义是不同的，
表示一个正数a 的算术平方根的平方，而表示一个实数a 的平方的算术平方根；在中
，而
中a 可以是正实数，0，负实数．但
与都是非负数，即
，
．因而它的运算的结果是有差别的，
，
而
（2）相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，
而
.
考点五、二次根式的运算 1．二次根式的乘除运算
(1)运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号. (2)注意知道每一步运算的算理； (3)乘法公式的推广：
123123123(0000)n n n a a a a a a a a a a a a ????=????≥≥≥≥，，，，
2．二次根式的加减运算
先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质； 3．二次根式的混合运算
(1)对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，如有括号，应先算括号里面的；
(2)二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处，整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用. 要点诠释：
怎样快速准确地进行二次根式的混合运算.
1.明确运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的；
2.在二次根式的混合运算中，原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用；
3.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能收到事半功倍的效果.
(1)加法与乘法的混合运算，可分解为两个步骤完成，一是进行乘法运算，二是进行加法运算，使难点分散，易于理解和掌握.在运算过程中，对于各个根式不一定要先化简，可以先乘除，进行约分，达到化简的目的，但最后结果一定要化简.
例如82627??+? ? ???，没有必要先对8
27进行化简，使计算繁琐，可以先根据乘法分配律进行乘法运算，884
266262327273
??+?=?+?=+ ? ???
，通过约分达到化简目的； (2)多项式的乘法法则及乘法公式在二次根式的混合运算中同样适用. 如：
(
)(
)()()
2
2
32
323
2
1+-=
-
=，利用了平方差公式.
所以，在进行二次根式的混合运算时，借助乘法公式，会使运算简化.
4．分母有理化
把分母中的根号化去，分式的值不变，叫做分母有理化.两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则这两个代数式互为有理化因式. 常用的二次根式的有理化因式： （1）a a 与互为有理化因式；
（2）a b a b +-与互为有理化因式；一般地a c b a c b +-与互为有理化因式； （3）a b a b +-与互为有理化因式；一般地c a d b a d b +-与c 互为有理化因式. 【典型例题】 类型一、分式的意义
1．若分式21
1
x x -+的值为0，则x 的值等于 ．
【答案】1；析:由分式的值为零的条件得2x ﹣1=0，x +1≠0，
由2x ﹣1=0，得x =﹣1或x =1，
由x +1≠0，得x ≠﹣1， ∴x =1，
故答案为1．
【总结升华】若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺
一不可．
举一反三：【变式1】如果分式2327
3
x x --的值为0，则x 的值应为 .
【答案】由分式的值为零的条件得3x 2-27=0且x-3≠0， 由3x 2-27=0，得3（x+3）（x-3）=0， ∴x=-3或x=3，
由x-3≠0，得x≠3．
综上，得x=-3，分式2327
3
x x --的值为0．故答案为：-3．
【变式2】若分式
m x x +-21
2
不论x 取何实数总有意义，则m 的取值范围是 ． 【答案】若分式m
x x +-21
2不论x 取何实数总有意义，则分母22x x m -+≠0，
设22y x x m =-+，当△＜0即可，440,1m m -＜＞. 答案m ＞1.
类型二、分式的性质 2．已知
,b c c a a b
a b c +++==求
()()()
abc a b b c c a +++的值. 【答案与解析】
设b c c a a b k a b c
+++===,
所以,,b c ak c a bk a b ck +=+=+= 所以,b c c a a b ak bk ck +++++=++
所以2()(),()(2)0,a b c k a b c a b c k ++=++++-= 即2k =或()0,a b c ++=
当2k =,所求代数式33
11
8
abc abck k =
==, 当0a b c ++=,所求代数式1=-.
即所求代数式等于1
8
或1-.
【总结升华】当已知条件以此等式出现时，可用设k 法求解.
举一反三：
【变式】已知111111111,,,6915a b b c a c +=+=+=求abc
ab bc ac
++的值.
【答案】
因为 111111111,,,6915
a b b c a c +=+=+=
各式可加得1111112,6915a b c ??
++?=++ ???
所以11131
180
a b c ++=，
所以()1180
.111()()31
abc abc abc ab bc ac ab bc ac abc c a b
÷===++++÷++
类型三、分式的运算
3．已知1,x y z
y z z x x y
++=+++且0x y z ++≠,求222x y z y z x z x y +++++的值. 【答案与解析】
因为0x y z ++≠,所以原等式两边同时乘以x y z ++,得:
()(()
.
x x y z y x y z z x y z x y z y z z x x y
++++++++=+++++） 即
222()()()
,x x y z y y z x z z x y x y z y z y z z x z x x y x y ++++++++=++++++++ 所以
222
(),x y z x y z x y z y z z x x y +++++=+++++ 所以
222
0.x y z y z z x x y
++=+++ 【总结升华】 条件分式的求值，如需把已知条件或所示条件分式变形，必须依据题目自身的特点，这样才能到事半功倍的效果，条件分式的求值问题体现了整体的数学思想和转化的数学思想. 举一反三：【变式1】已知,,,x y z a b c y z x z x y ===+++且abc o ≠,求111
a b c
a b c +++++的值. 【答案】
由已知得1,y z a x +=所以111,y z x y z a x x ++++=+=即1a x y z
a x
+++=, 所以
1a x a x y z =+++,同理,,11b y c z b x y z c x y z
==++++++ 所以
1111a b c x y z x y z a b c x y z x y z x y z x y z
++++=++==+++++++++++. 【变式2】已知x ＋y=－4，xy=－12，求
+++1
1x y 11
++y x 的值． 【答案】原式)1)(1()1()1(22+++++=y x x y =112122
2
++++++++y x xy x x y y 1
)(2
)(22)(2
++++++-+=y x xy y x xy y x
将x ＋y ＝－4，xy ＝－12代入上式，
∴原式?-=+--+-?++-=15
34
14122)4(224)4(2
类型四、分式方程及应用 4．a 何值时,关于x 的方程223
242
ax x x x +=
--+会产生增根? 【答案与解析】
方程两边都乘以(2)(2)x x +-,得2(2)3(2).x ax x ++=-整理得(1)10a x -=-. 当a = 1 时,方程无解. 当1a ≠时,10
1
x a =--.
如果方程有增根,那么(2)(2)0x x +-=,即2x =或2x =-.
当2x =时,10
21a -
=-,所以4a =-; 当2x =-时,10
21
a -=--,所以a = 6 .
所以当4a =-或a = 6原方程会产生增根.
【总结升华】 因为所给方程的增根只能是2x =或2x =-，所以应先解所给的关于x 的分式方程，求出
其根，然后求a 的值.
5．甲．乙两人准备整理一批新到的实验器材．若甲单独整理需要40分钟完工：若甲．乙 共同整理20分钟后，乙需再单独整理20分钟才能完工． （1）问乙单独整理多少分钟完工？
（2）若乙因工作需要，他的整理时间不超过30分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工？ 【答案与解析】
（1）设乙单独整理x 分钟完工，根据题意得： 120204020=++x 解得x ＝80， 经检验x ＝80是原分式方程的解． 答：乙单独整理80分钟完工．
（2）设甲整理y 分钟完工，根据题意，得
1408030≥+y 解得：y ≥25 答：甲至少整理25分钟完工． 【总结升华】分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题等量关系比较
多，主要用到公式：工作总量＝工作效率×工作时间．
（1）将总的工作量看作单位1，根据本工作分两段时间完成列出分式方程解之即可； （2）设甲整理y 分钟完工，根据整理时间不超过30分钟，列出一次不等式解之即可． 举一反三：
【变式】小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，
路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，根据题意，得（ ）
A ．
00253010(18060
x x -=+） B ．
00253010(180x x
-=+）
C ．
00302510(18060x x -=+） D ．003025
10(180x x -=+）
【答案】
设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，
00253010(18060x x -=+）
故选A ．
类型五、二次根式的定义及性质 6．要使式子
a
a 2
+有意义，则a 的取值范围为 ． 【答案】a≥－2且a≠0．
析:根据题意得：a+2≥0且a≠0，
解得：a≥－2且a≠0． 故答案为：a≥－2且a≠0．
【总结升华】本题考查的考点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．可以求出
x 的范围．
类型六、二次根式的运算
7．22019(2332)(526)(526)-+-?+
【答案与解析】原式＝19
(1212618)(526)(5+26??-++-???
）(526)-=30-126+5-26.61435-= 【总
结升华】此题关键是2019(526)(526)-?+变为
19
(526)(5+26??-???
）(526)-=5-2
. 【巩固练习】 一、选择题 1. 如果把分式
x y
x y
+-中的x 和y 都扩大到原来的3倍，那么分式的值（ ） A ．扩大到原来的3倍 B.不变 C.缩小到原来的13 D.缩小到原来的1
6
2．分式
(1)(2)
(2)(1)
x x x x +---有意义的条件是（ ）A ．x ≠2 B.x ≠1 C.x ≠1或x ≠2 D.x ≠1且x ≠2
3．使分式
22
4
x x +-等于0的x 的值是（ ）A.2 B.-2 C.±2 D.不存在 4．计算20122013(21)(21)+-的结果是（ ）A. 1 B. -1 C. 2 1 D. 21+- 5．小玲每天骑自行车或步行上学，她上学的路程为2800米，骑自行车的平均速度是步行平均速度的4倍，骑自行车比步行上学早到30分钟．设小玲步行的平均速度为x 米/分，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A ．
28002800304-=x x B ．28002800304-=x x C ．28002800305-=x x D ．28002800
30-=5x x 6．化简
甲，乙两同学的解法如下：
甲：=
乙：=
对他们的解法，正确的判断是（ ）
A ．甲、乙的解法都正确
B ．甲的解法正确，乙的解法不正确
C ．乙的解法正确，甲的解法不正确
D ．甲、乙的解法都不正确 二、填空题
7．若a 2-6a+9与│b-1│互为相反数，则式子
a b
b a
-÷（a+b ）的值为_______________. 8．若m=
2011
20121
-，则54322011m m m --的值是 .
9. 下列各式：①a a b b =；②33
44
--=--；③5593=
；④216(0,0).33b ab a b a a =＞≥其中正确的是 （填序号）.
10．当x =__________时，分式
3
3
x x -+的值为0.
11．（1）若211()x x x y --=+-，则x y -的值为 . （2）若5,3,x y xy +==则
x
y
y x
+的值为 . 12．读一读：式子“1+2+3+4+···+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为100
1n n =∑，这里“∑”是求和符号通过对以上材料的阅读，
计算()
2012
1
1
1n n n =+∑
= ．
三、解答题
13．（1）已知1
3x x
+=,求242
1x x x -+的值. （2）已知2510x x -+=和0x ≠,求441
x x
+
的值. 14. 化简3
2411241111
x x x x x x +++-+++ 15．一项工程，甲、乙两公司合做，12天可以完成，共需付工费102000元；如果甲、乙两公司单独完成此项公程，乙公司所用时间甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元. （1）甲、乙公司单独完成此项工程，各需多少天？
（2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司施工费较少？
16.阅读下列材料，然后回答问题. 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如
522
3331
+，，
一样的式
子，其实我们可以将其进一步化简.
5535
33333
?==?；（一） 2236
3333
?==?；（二） 22
22(31)2(31)
3131(31)(31)(3)1?--===-++--；（三） 以上这种化简的步骤叫做分母有理化.
2
31
+还可以用以下方法化简： 2231(3)(31)(31)
3131313131-+-====-++++；
（四） （1）请用不同的方法化简
①参照（三）式得
2
53
+= ； ②参照（四）式得
2
53
+= ； （2）化简
1111
.3153752121
n n +++++++++-… 【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】B ；析:把x 、y 分别换成3x 、3y 代入原式计算结果不变.
2.【答案】D ；析:分式有意义，则20x -≠且10x -≠.
3.【答案】D 令20x +=得2x =-，而当2x =-时，240x -=，所以该分式不存在值为0的情形.
4.【答案】D 析:本题可逆用公式（ab ）m =a m b m 及平方差公式，将原式化为
2012
(21)(21)(21)2 1.??+--=-??
故选D.
5.【答案】A ；析:设小玲步行的平均速度为x 米/分，则骑自行车的速度为4x 米/分，依题意，得
28002800
304-=x x
．故选A ．
6.【答案】A ；析:甲是分母有理化了，乙是 把3化为 (52)(52)+-了.
二、填空题
7．【答案】2
3 ； 析:由已知得2269(3)0a a a -+=-=且10b -=，解得3a =，1b =，再代入求值.
8．【答案】0；析:此题主要考查了二次根式的化简，得出m= 2012+1，以及 5433222011[(1)2012]m m m m m --=--是解决问题的关键．
∵m=
2011
20121
-=2012+1，∴543323222011(22011)[(1)2012]0m m m m m m m m --=--=--=，
故答案为：0．
9．【答案】③④； 析:提示：①0a ≥，0b ＞；②3,4--无意义.
10．【答案】3；析:由30x -=得x =±3.当3x =时，360x +=≠，当3x =-时，3330x +=-+=， 所以当3x =时，分式的值为0.
11．【答案】（1）2； （2）5
33
；
析:（1）由11x x ---，知x =1，∴(x +y )2=0，∴y =-1，∴x -y =2.
（2）55,3,0,0, 3.3
xy xy x y x y xy x y xy y x xy ++==∴∴=+==＞＞原式 12．【答案】2012
2013
； 析:∵
()111
=1+1
n n n n -+，
∴()20121
1111111
112012=1++++=1=1223342012201320132013n n n =????????---???-- ? ? ? ?
+????????
∑
.
三、解答题
13.【答案与解析】
（1）因为0x ≠，所以用2x 除所求分式的分子、分母. 原式2222
1111
11
336
1()21
x x x x
=
=
=
=
--+
+--. （2）由2510x x -+= 和0x ≠ ,提1
5x x
+
=, 所以2
4
242112x x x x ??
+=+- ???
2
2
22122
(52)2527
x x ????
=+--?? ???????
=--=
14.【答案与解析】
原式=33
222422411242241111111
x x x x x x x x x x x x x x +-+++=++-+++-++
22333224443
4
3
4
7
44
82(1)2(1)444(1)(1)1114(1)4(1)8.(1)(1)1
x x x x x x x x x x x x x x x x x
x x x ++-=+=+
-++-+++-=
=-+-
15.【答案与解析】
（1）设甲公司单独完成此工程x 天，则乙公司单独完成此项工程1.5x 天，
根据题意，得111
1.512
x x +=，解之得，x=20,
经检验知x=20是方程的解且符合题意，1.5x=30, 答：甲乙两公司单独完成此工程各需要20天，30天.
（2）设甲公司每天的施工费y 元，则乙公司每天的施工费（y-1500）元， 根据题意，得12（y+y-1500）=102000, 解之得，y=5000. 甲公司单独完成此工程所需施工费：20×5000=100000（元） ， 乙公司单独完成此工程所需施工费：30×（5000-1500）=105000 （元）， 故甲公司的施工费较少.
16.【答案与解析】
（1）①
22(53)
5 3.53(53)(53)
-==-++- ②22253(5)(3)(53)(53)5 3.53535353
--+-====-++++
（2）
111315375
+++++++…12121n n =++-1
(315372-+-+-
1
52121)(211)2
n n n +
++--=+-.
八年级分式和二次根式综合
辅导教案
18、已知实数x ，y 满足x 2+y 2－4x －2y+5=0，则32x y y x +-的值为________ 19、计算：（318+ 151504)322-÷= 20、如果 ，则=_______. 21、若 互为相反数，则_______。 22、将 根号外的a 移到根号内，得 __________ 23、在实数范围内分解因式 （1） ； （2） 24、 的整数部分是_________，小数部分是________。 25、 若 =3，则x 的取值范围是______ 26、 观察下列各式及其验证过程： ， 验证：； 验证： .
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想 4 4 15 的变形结果，并进行验证； （2）针对上述各式反映的规律，写出用n(n≥2，且n是整数)表示的等式，并给出验证过程. 27、已知，则a_________ 28、已知，则a______ 29、二次根式、、的大小关系是______ 30、当0 35、如果xy= ，x －y=5－1，那么（x+1）（x －1）的值为________。 36、若m 为正实数，且13m m - =，221m m -则= 37、若a<－2， 的化简结果是________ 38、已知x=2+1，求（ 22121x x x x x x +---+）÷1x 的值． 39、对于题目“化简求值：1a +2212a a +-，其中a=15”，甲、乙两个学生的解答不同． 甲的解答是：1a +2212a a +-=1a +21()a a -=1a +1a －a=2495 a a -= 乙的解答是： 1a +2212a a +-=1a +21()a a -=1a +a －1a =a=15 谁的解答是错误的？为什么？ 40、已知x =12，x=________ 41、化简 = 42、已知三个数x ，y ，z 满足xy x y +＝－2，yz y z +＝43，zx z x +＝－43 ．则xyz xy yz zx ++的值为 . 分式和二次根式专题训练 一、填空题：（每题 3 分，共 36 分） １、当 x ＿＿＿＿时，分式有意义。 ２、当＿＿＿＿时，有意义。 ３、计算：－a －1＝＿＿＿＿。 ４、化简：(x 2－xy)÷＝＿＿＿＿。 ５、分式，，的最简公分母是＿＿＿＿。 ６、比较大小：2＿＿＿＿3。 ７、已知＝，则的值是＿＿＿＿。 ８、若最简根式和是同类根式，则 x ＋y ＝＿＿＿＿。 ９、仿照2＝·＝＝的做法，化简3 ＝＿＿＿＿。 10、当 2＜x ＜3 时，－＝＿＿＿＿。 11、若的小数部分是 a ，则 a ＝＿＿＿＿。 12、若 ＝＋＋2成立，则 x ＋y ＝＿＿＿＿。 二、选择题：（每题 4 分，共 24 分） １、下列各式中，属于分式的是（ ） A 、 B 、 C 、x ＋ D 、 ２、对于分式总有（ ） A 、＝ B 、＝ C 、＝ D 、＝ ３、下列根式中，属最简二次根式的是（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 ４、可以与合并的二次根式是（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 x 2 x －3 a －2a 2 a －1 x －y xy b 2a 24a 3bc a 5c 2 32x ＋2y 2y 5 2x ＋y y x ＋1y 30.5220.54×0.5213 (2－x)2(x －3)231－x x －1x －y 22x ＋y 12x 2 1x －1 1x －1x －1(x －1)21x －1x ＋1x 2－11x －112(x －1)21x －111－x 27x 2＋112a 2b 1827613 8y y ５、如果分式中的 x 和 都扩大为原来的 2 倍，那么分式的值（ ） A 、扩大 2 倍 B 、扩大 4 倍 C 、不变 D 、缩小 2 倍 ６、当 x ＜0 时，｜－x ｜等于（ ） A 、0 B 、－2x C 、2x D 、－2x 或0 三、计算：（每题 6 分，共 24 分） １、()3÷()0×(－)－2 ２、(＋)÷ ３、－＋ ４、(3－2)2 四、计算：（每题 6 分，共 24 分） １、－＋ ２、÷(x ＋1)· ３、－· ４、4b ＋－3ab (＋) 2x x ＋y x 2b 2a 22b 23a b a x 2x －242－x x ＋22x 84 21223x x ＋y y y －x 2xy x 2－y 2x 2－1x 2＋4x ＋4x 2＋3x ＋2x －120＋5 51 312a b 2 a a 5 b 31 ab 4ab y 二次根式 知识点一： 二次根式的概念 定义：一般地，形如a （a≥0）的代数式叫做二次根式。” “称为二次根号。 注意：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是 为二次根式的前提条件，如 ， ， 等是二次根式， 而 ， 等都不是二次根式。 例1233x 1x （x>0）04 22、 y x 1 +、y x +（x ≥0，y?≥0）． 知识点二：取值范围 1、 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0时，a 有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 2、 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a ﹤0时，a 没有意义。 例2．当x 是多少时，1x 3+在实数范围内有意义？ 例3．当x 是多少时， 32x ++ 1 x 1 +在实数范围内有意义？ 知识点三：二次根式a （a≥0）的非负性 a （a≥0）表示a 的算术平方根，也就是说，a （a≥0））是一个非负数，即a ≥（a≥0）。 注：因为二次根式a （a≥0）表示a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以 非负数（a≥0）的算术平方根是非负数，即a ≥（a≥0），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝 对值、偶次方类似。 例4(1)已知y= 2x x 2-+-+5，求 y x 的值． (2)若1b 1a -+ +=0，求a 2004+b 2004的值 知识点四：二次根式()2 a 的性质 ()2a=a（a≥0） 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注：二次根式的性质公式()2a=a（a≥0）是逆用平方根的定义得出的结论。 例1 计算()25 2 2 3???? ? ?2 2 7 ? ? ? ? ? ? 例2在实数范围内分解下列因式: （1）3 x2-（2）4 x4- 知识点五：二次根式的性质 文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注： 1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身， 即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即； 2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义； 3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。 例1 化简 （1） 9（2）2 (4) - （3） 25（4）2 (3) - 例2 填空：当a≥0时， 2 a=_____；当a<0时，2a=_______，?并根据这一性质回答下列问题． （1）若 2 a=a，则a可以是什么数？（2）若2a=-a，则a是什么数？（3）2a>a，则a是什么数？ 例3当x>2，化简()()2 2x2 1 2 x- - -． 知识点六：与的异同点 1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的，，而 中考总复习：分式与二次根式—知识讲解（提高）【考纲要求】 1. 了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行分式的加、减、乘、除、乘方运算；能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程，会解简单的可化为一元一次方程的分式方程； 2. 利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简，运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二次根式的运算．【知识网络】 【考点梳理】 考点一、分式的有关概念及性质 1．分式 设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义. 2.分式的基本性质 （M为不等于零的整式）. 3．最简分式 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 要点诠释： 分式的概念需注意的问题： (1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用； （2）分式中，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必须含有字母且不为0； （3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断． （4）分式有无意义的条件：在分式中， ①当B≠0时，分式有意义；当分式有意义时，B ≠0． ②当B=0时，分式无意义；当分式无意义时，B=0． ③当B≠0且A = 0时，分式的值为零． 考点二、分式的运算 1．基本运算法则 分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: （1）加减运算错误！未找到引用源。±错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ； 异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算. （2）乘法运算 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. （3）除法运算 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘. （4）乘方运算（分式乘方） 分式的乘方，把分子分母分别乘方． 2．零指数. 3．负整数指数 苏教版八年级下册数学 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 《二次根式》全章复习与巩固（基础）知识讲解 【学习目标】 1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质. 2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算. 3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、二次根式的相关概念和性质 1.二次根式 0)a ≥. 要点诠释：0a ≥，即只有被开方数0a ≥时， 才有意义. 2.二次根式的性质 （1） ； （2）； （3）. 要点诠释：（1） 一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a 2=（0a ≥）， 如22212;;3x ===（0x ≥）. （2）a 的取值范围可以是任意实数，即不论a . （3a ，再根据绝对值的意义来进行化简. （42的异同 a 可以取任何实数，而2中的a 必须取非负数； a ，2=a （0a ≥）. 相同点：被开方数都是非负数，当a 2. 3.最简二次根式 （1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； （2）被开方数中不含有分母； （3）分母中不含有根号. 满足这三个条件的二次根式叫做最简二次根式.等都是最简二次根式. 要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同， 再判断.显然是同类二次根式. 要点二、二次根式的运算 1.乘除法 （1）乘除法法则： 类型 法则 逆用法则 二次根式的乘法 0,0)a b =≥≥ 积的算术平方根化简公式： 0,0)a b =≥≥ 1、整式的概念和指数： 与 统称为整式。 单项式包括： 、 、 ； 一个单项式中所有字母的 叫做这个单项式的次数。 多项式：几个单项式的代数和多项式。 单项式中次数最 的项就是这个多项式的次数。 2、分式的概念和意义： 一般地，形如式子B A ，且 B ≠0叫做分式。 （1）、分式有意义的条件： （2）、分式无意义的条件： （3）、分式为0的条件： （4）、分式的基本性质：分式的分子与分母同时 （一个不等于0）的整式，分式的值不变。 （5）、约分： （6）、最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，这种分式叫做最简分式。 （7）、通分： （8）、最简公分母： （9）、分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。注意：分母有理化时，分子与分母需要同时乘分母的有理化因式。 3、二次根式的概念和意义： （1）、定义：形如a （a ≥0）的式子，叫做二次根式。 （2）、二次根式有意义的条件： 二次根式无意义的条件： （3）、二次根式的性质： ()a 2 =a(a ≥0); a 2=a =?????<-=>)0()0(0)0(a a a a a a b =a b ? (a ≥0, b ≥0); ④b a =b a ( a ≥0, b ＞0)。 （4）、最简二次根式： 中不含二次根式； 被开方数中不含能开得尽的因数或因式。 （5）、 同类二次根式：最简二次根式后，被开方数相同，叫做同类二次根式。 知识点二：代数式的运算 (一)、整式的加减运算 (1)、同类项： （2）、合并同类项法则： （3）、去括号法则： （4）、整式的加减的实质就是合并同类项。 （二）、整式的乘除 （1）、同底数幂的乘法：a m ·a n = ，底数不变，指数相加. （2）、幂的乘方与积的乘方：(a m )n = ，底数不变，指数相乘； （3）、(ab)n = ，积的乘方等于各因式乘方的积. （4）、单项式的乘法：系数相乘，相同字母 ，只在一个因式中含有的字母，连同指数写在积里. （5）、单项式与多项式的乘法：m(a+b+c)= ，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 二次根式 【知识回顾】 1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质： （1）（a ）2 =a （a ≥0）； （2）==a a 2 5.二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术平方根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． （a≥0，b≥0）； = （b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． a （a ＞0） a -（a ＜0） 0 （a =0）； 【典型例题】1、概念与性质 例1、下列各式 1 ）- ， 其中是二次根式的是_________（填序号）．例2、求下列二次根式中字母的取值范围 （1） x x - - + 3 1 5 ；（2） 2 2) - (x 例3、在根式 1) ， 最简二次根式是（）A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4) 例4、已知： 的值。 求代数式2 2 , 2 1 1 8 8 1- + - + + + - + - = x y y x x y y x x x y 例5、已知数a，b ，若=b－a，则( ) A. a>b B. a 1.整式 用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式． 只含有数与字母的积的代数式叫单项式． 注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数 表示，如：b a 2314-这种表示就是错误的，应写成：b a 2313 -．一个单项式中， 所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．如：c b a 235-是六次单项式． 几个单项式的和叫多项式．其中每个单项式叫做这个多项式的项．多项式中不含字母的项叫做常数项．多项式里次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数． 单项式和多项式统称整式． 用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出的结果，叫代数式的值． 注意：(1)求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入 (2)求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，利用“整 体”代入． 2.同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项．几个常数项也是同类项． 注意：(1)同类项与系数大小没有关系； (2)同类项与它们所含字母的顺序没有关系． 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 合并同类项的法则是：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变． 去括号法则1：括号前是“＋” ，把括号和它前面的“＋”号一起去掉，括号里各项都不变号． 去括号法则2：括号前是“－” ，把括号和它前面的“－”号一起去掉，括号里各项都变号． 整式的加减法运算的一般步骤：(1)去括号；(2)合并同类项． 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．如： 二次根式小结与复习基础盘点 1.二次根式的定义：一般地，我们把形如a （a ___0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根式. 定义诠释：（1）二次根式的定义是以形式界定的，如4是二次根式； （2）形如a b （a ≥0）的式子也叫做二次根式； （3）二次根式a 中的被开方数a ，可以是数，也可以是单项式、多项式、分式，但必须满足a ≥0. 2.二次根式的基本性质 （1）a _____0（a ___0）；（2） ()2 a ＝_____（a ___0）；（3） a a =2＝() () ?? ?0_____ 0_____ a a ； （4=____________（a ___0，b ___0）；（5=_____________（a ___0，b ___0）. 3.最简二次根式必须满足的条件为：（1）被开方数中不含___；（2）被开方数中所有因式的幂的指数都_____. 4.二次根式的乘、除法则： （1）（a ___0，b ___0）；（2）=_______（a ___0，b ___0）. 复习提示：（1）进行乘法运算时，若结果是一个完全平方数，则应利用==a a 2 () () ?? ?<-≥00a a a a 进行化 简，即将根号内能够开的尽方的数移到根号外； （2）进行除法运算时，若除得的商的被开方数中含有完全平方数因数，应运用积的算术平方根的性质将其进行化简. 5.同类二次根式：几个二次根式化成______后，如果_____相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式. 6.二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成_____，然后把_______进行合并. 复习提示：（1）二次根式的加减分为两个步骤：第一步是_____，第二步是____，在合并时，只需将根号外的因式进行加减，被开方数和根指数不变； （2）不是同类二次根式的不能合并，如：53+≠8； （3）在求含二次根式的代数式的值时，常用整体思想来计算. 7.二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一致，也是先_，再__，最后__，有括号的先_内的. 复习提示：（1）在运算过程中，有理数（式）中的运算律，在二次根式中仍然适用，有理数（式）中的乘法公式在二次根式中仍然适用； （2）二次根式的运算结果可能是有理式，也可能是二次根式，若是二次根式，一定要化成最简二次根式. 8.二次根式的实际应用 利用二次根式的运算解决实际问题，主要从实际问题中列出算式，然后根据运算的性质进行计算，注意最后的结果有时需要取近似值. 考点1 二次根式有意义的条件 分式和二次根式 (三) （分式和二次根式） 一、填空题：（每题 3 分，共 36 分） １、当 x ＿＿＿＿时，分式x 2 x －3 有意义。 ２、当＿＿＿＿时，a －2有意义。 ３、运算：a 2 a －1 －a －1＝＿＿＿＿。 ４、化简：(x 2－xy)÷x －y xy ＝＿＿＿＿。 ５、分式b 2a 2，4a 3bc ，a 5c 2的最简公分母是＿＿＿＿。 ６、比较大小：23＿＿＿＿32。 ７、已知x ＋2y 2y ＝ 5 2，则x ＋y y 的值是＿＿＿＿。 ８、若最简根式x ＋1和y 3是同类根式，则 x ＋y ＝＿＿＿＿。 ９、仿照20.5＝22·0.5＝4×0.5＝2的做法，化简3 1 3 ＝＿＿＿＿。 10、当 2＜x ＜3 时，(2－x)2－(x －3)2 ＝＿＿＿＿。 11、若3的小数部分是 a ，则 a ＝＿＿＿＿。 12、若 ＝1－x ＋x －1＋2成立，则 x ＋y ＝＿＿＿＿。 二、选择题：（每题 4 分，共 24 分） １、下列各式中，属于分式的是（ ） A 、x －y 2 B 、2 x ＋y C 、12x ＋ D 、x 2 ２、关于分式1 x －1总有（ ） A 、1 x －1＝x －1(x －1)2 B 、1x －1＝x ＋1x 2－1 C 、1x －1＝12(x －1)2 D 、1x －1＝11－x ３、下列根式中，属最简二次根式的是（ ） A 、27 B 、x 2＋1 C 、1 2 D 、a 2b ４、能够与18合并的二次根式是（ ） A 、27 B 、6 C 、1 3 D 、8 ５、假如分式 2x x ＋y 中的 x 和 都扩大为原先的 2 倍，那么分式的值（ ） A 、扩大 2 倍 B 、扩大 4 倍 C 、不变 D 、缩小 2 倍 ６、当 x ＜0 时，｜x 2－x ｜等于（ ） y y y 二次根式的知识点归纳总结 知识点一：二次根式的概念 形如（）的式子叫做二次根式。 注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如， ，等是二次根式，而，等都不是二次根式。 知识点二：取值范围 1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是 二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意 义。 知识点三：二次根式（）的非负性 （）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即 0（）。 注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0 的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若 ，则a=0,b=0。 知识点四：二次根式（）的性质 （） 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，. 知识点五：二次根式的性质 文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注： 1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则 等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即 ； 2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义； 3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。 中考总复习：分式与二次根式 【考纲要求】 1. 了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行分式的加、减、乘、除、乘方运算；能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程，会解简单的可化为一元一次方程的分式方程； 2. 利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简，运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二次根式的运算． 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、分式的有关概念及性质 1．分式设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零， 否则分式没有意义. 2.分式的基本性质（M为不等于零的整式）. 3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 要点诠释： 分式的概念需注意的问题： (1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用； （2）分式中，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必须含有字母且不为0； （3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断． （4）分式有无意义的条件：在分式中， ①当B≠0时，分式有意义；当分式有意义时，B≠0． ②当B=0时，分式无意义；当分式无意义时，B=0． ③当B≠0且A = 0时，分式的值为零． 考点二、分式的运算 1．基本运算法则 分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: （1）加减运算±= 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ； 异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算. （2）乘法运算 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. （3）除法运算 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘. （4）乘方运算（分式乘方） 分式的乘方，把分子分母分别乘方． 2．零指数. 3．负整数指数 4．分式的混合运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的． 5．约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分． 约分需明确的问题： (1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等； 二次根式知识点总结 王亚平 1.二次根式的概念 二次根式的定义：形如"（a-0）的式子叫二次根式，其中a叫被开方 数，只有当a是一个非负数时，a才有意义. 2. 二次根式的性质 1. 非负性：心心-。）是一个非负数. 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到. 2 （掐）2 =a（a H0） 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个 非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a乂a）2（a - 0） —:a(a^0) v a = a = * I—a(a<0) 3. 注意：（1）字母不一定是正数. （2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替. 3. 最简二次根式和同类二次根式 1、最简二次根式: (1)最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式；分母中不含根号. 2、同类二次根式(可合并根式)： 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式 4. 二次根式计算分母有理化 1. 分母有理化 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。2.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说 这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下： ①单项二次根式：利用y「a=a来确定，如：a与' a,a b与，a b, a-b与心-b 等分别互为有理化因式。 ②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如a.b 与 a - - b , a ? b 与? a —, a x b.、y与a_x-b、y分别互为有理化因式。 3. 分母有理化的方法与步骤： ①先将分子、分母化成最简二次根式； ②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式； 分式及二次根式运算 一、知识点梳理 1. 分式：整式A 除以整式B ，可以表示成 A B 的形式，如果除式B 中含有 ，那么称 A B 为分式．若 ，则 A B 有意义；若 ，则 A B 无意义；若 ，则 A B ＝0. 2．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的 ．用式子表示为 . 3. 约分：把一个分式的分子和分母的 约去，这种变形称为分式的约分． 4．通分：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为 的分式，这一过程称为分式的通分. 5．分式的运算 ⑴ 加减法法则：① 同分母的分式相加减： . ② 异分母的分式相加减： . ⑵ 乘法法则： .乘方法则： . ⑶ 除法法则： . 6．二次根式的有关概念 ⑴ 式子)0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数a 只能是 ．并且根式. ⑵ 最简二次根式：被开方数所含因数是 ，因式是 ，不含能 的二次根式，叫做最简二次根式． (3) 同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数 几个二次根式，叫做同类二次根式． 7．二次根式的性质 ⑴ a 0； ⑵ ()=2a （a ≥0） ⑶ =2a ； ⑷ =ab （0,0≥≥b a ）； ⑸=b a （0,0>≥b a ）. 8．二次根式的运算 (1) 二次根式的加减： ①先把各个二次根式化成 ； ②再把 分别合并，合并时，仅合并 ， 不变. （2）二次根式的乘法、除法公式： （1）a b=ab a 0b 0?≥≥（，） （2）a a =a 0b 0b b ≥f （，） 9．二次根式运算注意事项：（1）二次根式相加减，先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，防止：①该化简的没化简；②不该合并的合并；③化简不正确；④合并出错．（2）二次根式的乘法除法常用乘法公式或除法公式来简化计算，运算结果一定写成最简二次根式或整式． 三、【典例精析、发散思维】 例1（1） 当x 时，分式x -13无意义；（2）当x 时，分式3 92--x x 的值为零. 例2 ⑴ 已知 31=-x x ，则221x x + ＝ . ⑵ 已知113x y -=，则代数式21422x xy y x xy y ----的值为 . 例3 先化简，再求值： 2019届中考总复习：分式与二次根式—知识讲解 【考纲要求】 1. 了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行分式的加、减、乘、除、乘方运算；能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程，会解简单的可化为一元一次方程的分式方程； 2. 利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简，运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二次根式的运算． 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、分式的有关概念及性质 1．分式 设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则 分式没有意义. 2.分式的基本性质 （M为不等于零的整式）. 3．最简分式 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 要点诠释： 分式的概念需注意的问题： (1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用； （2）分式中，A和B均为整式，A可含字母，也可 不含字母，但B中必须含有字母且不为0； （3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断． （4）分式有无意义的条件：在分式中， ①当B≠0时，分式有意义；当分式有意义时，B≠0． ②当B=0时，分式无意义；当分式无意义时，B=0． ③当B≠0且A = 0时，分式的值为零． 考点二、分式的运算 1．基本运算法则 分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: （1）加减运算±= 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ； 异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算. （2）乘法运算 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. （3）除法运算 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘. （4）乘方运算（分式乘方） 分式的乘方，把分子分母分别乘方． 2．零指数. 3．负整数指数 4．分式的混合运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的． 分式运算与根式运算 一、分式运算 1．下列各式：x 2、22+x 、x xy x -、33y x +、 23+πx 、 ()() 1123-++x x x 中，分式有（ ） A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 2．()()23+÷-m m 写成分式为____________，且当m ≠_____时分式有意义； 3．若分式x 231-的值为正数，则 x 的取值应是 ( )A .0>x ， B .23=x C . 2 3 第十六章二次根式知识点归纳 一、形如（）的式子叫做二次根式。 注：在二次根式中，被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件， 二次根式成立应满足两个条件：第一，有二次根号“”； 第二，被开方数是正数或0． 二、取值范围 1、 二次根式有意义的条件：a ≧0。 2、 二次根式无意义的条件： a ﹤0。 3、二次根式值为0的条件：a=0 . 4、式子a b 有意义的条件：a ﹥0. 5、式子a b 有意义的条件:b ≥0,且a ≠0 6、式子a b 有意义的条件:b ≥0,且a ＞0 三、二次根式（）的双重非负性： 1、被开方数非负。 2、a 的值非负。 四、二次根式的化简。 1、化简2a 时，一定要弄明白被开方数的底数a 是正数还是负数或0. 2a = ∣a ∣ ①若a 是正数，则∣a ∣等于a 本身； ②若a 是负数，则∣a ∣等于a 的相反数-a, ③若a 是0，则∣a ∣等于0. 2、 ()2 a =a (a ≥0). 3、被开方数是乘积用ab=a·b（a≥0，b≥0）化， 4、被开方数是商的形式用a b= b a （a≥0，b>0）或 b a = b 1 ab 5、最简二次根式应满足的条件： （1）被开方数不含分母或分母中不含二次根式； （2）被开方数中的因数或因式不能再开方。 （五）二次根式的加法和减法 1 同类二次根式 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。 2 合并同类二次根式 把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。 3二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。 （六）二次根式的混合运算 1确定运算顺序 2灵活运用运算定律 3正确使用乘法公式 4大多数分母有理化要及时 5在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化 （七）分母有理化 分母有理化：利用分式的基本性质，分子与分母同时乘以分母根号本身。构成()2a化去分母中的根号。 分母有理化有两种方法 I.分母是单项式 II.分母是多项式要利用平方差公式 注意：1.根式中不能含有分母 2.分母中不能含有根式。 分式和二次根式知识总结 ————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期： ? 分式与二次根式—知识讲解 【知识网络】 知识点一、分式的有关概念及性质?1．分式?设Ａ、Ｂ表示两个整式.如果B中含有字母，式子就叫做分式.注意分母Ｂ的值不能为零，否则分式没有意义.?2.分式的基本性质? (M为不等于零的整式).?3.最简分式 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 要点诠释: 分式的概念需注意的问题：? (1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号,还含有括号的作用； （2）分式中，A和Ｂ均为整式,A可含字母,也可不含字母，但B中必须含有字母且不为０;?(３） 判断一个代数式是否是分式,不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断.?（4）分式有无意 义的条件:在分式中, ①当B≠0时,分式有意义;当分式有意义时,B≠0.?②当B=０时，分式无意义；当分式无意义时,B=0．?③当B≠0且A = ０时，分式的值为零. 知识点二、分式的运算?1．基本运算法则 分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: （1)加减运算±= 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． ； 异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算. (2）乘法运算 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母． (3)除法运算 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘. (４)乘方运算（分式乘方) 分式的乘方,把分子分母分别乘方．?２．零指数．?3.负整数指数 4．分式的混合运算顺序 先算乘方,再算乘除,最后加减,有括号先算括号里面的. 二次根式知识点归纳 定义：一般的，式子 a ( a ≥ 0 ) 叫做二次根式。其中 “”叫做二次根号， 二次根号下的a 叫做被开方数。 性质：1、 2≥0,等于a;a<0,等于-a 3、 4、 反过来: 5 6、最简二次根式： 1．被开方数不含分母； 2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 7、同类二次根式：几个二次根次化成最简二次根式以后如果被开数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式 8、数的平方根与二次根式的区别：①4的平方根为±2，算术平方根为2；②4=2，二次根式即是算术平方根 9、二次根式化运算及化简：①先化成最简 ②合并同类项 二次根式中考试题精选 一.选择题： 1.【05宜昌 】化简20的结果是 （ ）. A. 25 B.52 C. . D.54 2.【05南京】9的算术平方根是 （ ）. A.-3 B.3 C.± 3 D.81 3.【05南通】已知2x <, ）. A 、2x - B 、2x + C 、2x -- D 、2x - 4.【05泰州】下列运算正确的是（ ）. A ．a 2＋a 3=a 5 B ．(－2x)3=－2x 3 C ．(a －b)(－a ＋b)=－a 2－2ab －b 2 D = 5.【05无锡】下列各式中，与y x 2是同类项的是（ ） A 、2xy B 、2xy C 、－y x 2 D 、223y x 6.【05武汉】若a ≤1，则 化简后为（ ）. A. B. C. D. 7.【05绵阳】化简 时，甲的解法是：==，乙的解法是： ，以下判断正确的是（ ）. A. 甲的解法正确，乙的解法不正确 B. 甲的解法不正确，乙的解法正确 C. 甲、乙的解法都正确 D. 甲、乙的解法都不正确 8.【05杭州】设22a b c ===,则,,a b c 的大小关系是: （ ）. (A)a b c >> (B)a c b >> (C)c b a >> (D)b c a >> 9.【05丰台】4的平方根是（ ）. A. 8 B. 2 C. ±2 D. ±2 10.【05北京】下列根式中，与3是同类二次根式的是（ ）. A. 24 B. 12 C. 3 2 D. 18 11.【05南平】下列各组数中，相等的是（ ）. A.(-1)3和1 B.(-1)2和-1 C.|-1|和-1 和1 12.【05宁德】下列计算正确的是（ ）. A 、x 2·x 3＝x 6 B 、(2a 3)2＝4a 6 C 、(a －1)2＝a 2－1 D 、 4 ＝±2 13.【05毕节―a 的正整数a 的值有( ). A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 14.【05黄岗】已知y x ,为实数，且()02312 =-+-y x ，则y x -的值为（ ）. A ．3 B ．– 3 C ．1 D ．– 1 15.【05湘潭】下列算式中，你认为错误的是 ( ). A ．a a b ++b a b +=1 B ．1÷b a ×a b =1 C +1 D ．2 1 ()a b +· 22 a b a b --= 1 a b + 二、填空题 1.【05连云港】计算：)13)(13(-+= ． 2.【05南京】 10 在两个连续整数a 和b 之间，a< 10 分式方程与二次根式方程 〖知识点〗 分式方程、二次根式的概念、解法思路、解法、增根 〖大纲要求〗 了解分式方程、二次根式方程的概念。掌握把简单的分式方程、二次根式方程转化为一元一次方程、一元二次方程的一般方法，会用换元法解方程，会检验。 内容分析 1．分式方程的解法 (1)去分母法 用去分母法解分式方程的一般步骤是： （i)在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程； (ii)解这个整式方程； (iii)把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母不为零的根是原方程的根，使最简公分母为零的根是增根，必须舍去. 在上述步骤中，去分母是关键，验根只需代入员简公分母. (2)换元法 用换元法解分式方程，也就是把适当的分式换成新的未知数，求出新的未知数后求出原来的未知数． 2．二次根式方程的解法 (1)两边平方法 用两边平方法解无理方程的—般步骤是： (i)方程两边都平方，去掉根号，化成有理方程； (ii)解这个有理方程； (iii)把有理方程的根代入原方程进行检验，如果适合，就是原方程的根，如果不适合，就是增根，必须舍去． 在上述步骤中，两边平方是关键，验根必须代入原方程进行． (2)换元法 用换元法解无理方程，就是把适当的根号下台有未知数的式子换成新的未知数，求出新的未知数后再求原来的未知数． 〖考查重点与常见题型〗 考查换元法解分式方程和二次根式方程，有一部分只考查换元的能力，常出现在选择题中另一部分习题考查完整的解题能力，习题出现在中档解答题中。 考题类型 1．（1）用换元法解分式方程 3x x2－1 ＋ x2－1 3x ＝3时，设 3x x2－1 ＝y，原方程变形为（） （A）y2－3y＋1＝0（B）y2＋3y＋1＝0（C）y2＋3y－1＝0（D）y2－y＋3＝0 2．用换元法解方程x2＋8x＋x2＋8x－11 ＝23，若设y＝x2＋8x－11 ，则原方程可化为（） （A）y2＋y＋12＝0（B）y2＋y－23＝0（C）y2＋y－12＝0（D）y2＋y－34=0分式和二次根式专题训练
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