广东深圳中学高中数学必修一导学案8分数指数幂

8．分数指数幂

张长印

学习目标

1．理解分数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，理解n 次方根式的概念． 2．熟练掌握用根式与分数指导数幂表示一个正实数的算术根．

3．能运用有理数指数幂的运算性质进行运算和化简，会进行根式与分数指数幂的相互转化． 一、夯实基础 基础梳理

1．整数指数幂的概念． （1）正整数指数幂：()n *a n N n a a

a =?∈个

．

（2）零指数幂：()010a a =≠．

（3）负整数指数幂：()*1

0N n n a a n a

-=

≠∈，． 2．整数指数幂的运算性质： （1）m n m n a a a +?=；（2）()n

m mn a a =；（3）()n

n n ab a b =．

3．如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根；如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根．

4．如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中1n >，且*N n ∈．

（1）当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．此时，a 的n 次

（2）当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数a 的正的n 次

负的n 次方根有符号正的n 次方根与负的n 次方根可以合并成)

0a >．

（3）负数没有偶次方根．0的任何次方根都是00=．

（4n 叫做根指数，a 叫做被开方数．

（5）负数没有偶次方根；0的任何次方根都是00．

5．n 次方根的意义，n

a =．

6．分数指数幂

（1）正数的正分数指数幂：n m

a =__________（ ） （2）正数的负分数指数幂：m n a =__________（ ） 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． 7．有理数指数幂的运算法则： （1）r s a a ?=__________（ ） （2）()s

r a =__________（ ）

（3）()r

ab =__________（ ） 基础达标

1 ） A ．12

2 B ．12

2-

C ．12

2-

D ．12

2-

-

23

()0a >可化简为（ ）

． A ．1 B ．a C ．1

5

a D ．710

a 1

3．下列各式中成立的是（ ）

A ．7

1

7

7n n m m ??= ???

B ．

C ()34

x y +

D =

4．27的平方根和立方根分别是__________．

5．化简21

151133

5622133a b a b a b ??????-÷= ??? ???????

__________．

二、学习指引

自主探究 1．初中，我们学过平方根、立方根这一重要数学概念，请叙述平方根、立方根这两个概念内容，并指出它们的表示方法．

2．幂指数表示与我们的生活息息相关，下一列实际问题的结果果都要用到幂指数表示，请用幂指数把它们的结果表示出来，并总结这些问题的共同特点．

（1）某市人口平均每年增长率为1.25%，2000年人口数为1万，则3年后人口数为多少万？ （2）国务院发展研究中心在2000年分析，我国未来20年GDP （国内生产总值）年平均增长率为7.3%，则十年后GDP 为2000年的多少倍？

（3）生物死亡后，体内碳14每过5730年衰减一半（半衰期），则死亡t 年后体内碳14的含量P 与死亡时碳14的关系为？

（4）某人有银行存入a 万元，年利率为r ，按复利计算，5年后，从银行连本带息全部取出，他能取出多少钱？

3．阅读课本，请叙述根式的概念．

4

5．阅读课本，看看分数指数幂是如何规定的？指数幂有哪些运算性质？ 案例分析

1．求下列各式的值：

（1（2（3

【解析】（15-；（23ππ3=-=-；

（36

23

224===．

2．用分数指数幂的形式表示下列各式()0b >：

（1

）2

b （2

2

；（3

【解析】根式运算一般先化为分数指数幂再进行运算比较方便． （1

）1

522

22

b b b b =?=； （2

3123

335

5

35

b b

b b

-

=

==；

（3

111

55

3

3

44

12

b b b b ????=?== ? ?????

．

3．求下列函数的定义域；

（1

）()0

21y x =-； （2）()()3

35

2

123y x x =-++．

【解析】（1

1313

x x -?≥

对一切实数x 都有意义：()021x -有意义当且仅当12102

x x -≠?≠

， 故所求函数定义域为：111322????

+∞? ??????，，．

（2）()35

1x -有意义当且仅当10x x -≠?≠；()32

23x +有意义当且仅当3

2302

x x +>>-，

故所求函数定义域为：()3112??

-+∞ ???

，，． 4．已知()22x x f x -=+，若()3f a =，求()2f a ． 【解析】由()3f a =得223a a -+=， ()2

229a a -∴+=，即222229a a -++=．

所以22217a a -+=， 故()222227a a f a -=+=．

5．从盛满1升纯酒精的容器中倒出13升，然后用水填满，再倒出1

3

升，又用水填满，这样进行

5次，则容器中剩下的纯酒精的升数为多少？

【解析】设第n 次倒完后容器中剩下的纯酒精的升数为a ，则第1n +次倒完后容器中剩下的纯酒精的升数为23a ，则从第1次开始，容器中剩下的纯酒精的升数依次为：23，2

23?? ???，3

23??

???，

4

23?? ???，5

23?? ???．这样进行5次，容器中和剩下的纯酒精的升数为5

23??

???

． 三、能力提升 能力闯关

1．已知32

6

x a--

=+

2．化简

1111

16842 12121212

-

????????++++

???????

????????

．

3

．设

()

8

008

r

r

T a r r

-

=?>∈≤≤

N

，，．

（1）将T化简为关于a的幂的形式．

（2）是否存在r，使得T是关于a的整数指数幂？拓展迁移

1

()

00

x y

<<

，得（）

A．2

2x y B．2xy C．2

4x y D．2

2x y

-

2．已知实数x y

，满足方程(

*10．

（1）试找出一组满足方程()*的实数x y

，；

（2）化简方程()*，使结果不含根式．

挑战极限

1．是否存在无理数a b

，，使得b a是有理数？若存在，请举例说明；若不存在，请说明理由．

课程小结

1

（1）当2

n

=时，n

（2）0的

n次方根一定为00

=；

（3）当n是大于

1的奇数时，对任意实数a a的n次方根，是一个确定的实数．

（4）当n是大于

1的偶数时，对任意非负实数a0

a>时，它表示正数a的正的

n次方根，是一个确定的正实数，另一个负的n次方根为

2．若n∈N，2

n≥，则n a

=（n哦奇数时，a可取一切实数；n为偶数时，0

a≥

）；

()

()

*

*

21N

2N.

a n k k

a n k k

?=+∈

?

?

=∈

??

，，

，

3．对于分数指数幂根，要注意以下几点：

（1

）分数指数幂是根式的另一种表示形式．

m

n

a=

1

m

n

m

n

a

a

==（*

0N

a m n

>∈

，，，且1

n>），0的正分数指数幂是0，0的负分

数指数幂无意义，()010a a =≠．

（2）引入分数指数幂后，指数概念就实现了由整数到有理数的扩充，同样，运算性质也扩充了适用范围：设00a b r s Q >>∈，，，，则()s

r s r s r rs a a s a a +?==，，()r

r r ab a b =?．

（3）进行根式运算一般先化为分数指数幂再进行运算往往比较方便，分数指数幂的计算与化简，要注意多项式乘法分式的应用．

8．分数指数幂

基础梳理

6．

（，且

）：

（，且

）．

7．

（）：

：

基础达标

1．．

2．．【解析】

．

3．．【解析】A．；

B．；C．；D．．

4．，

．【解析】因为

，所以

的平方根有两个：

与

；而

，所以的立方根是．

5．．【解析】

．

自主探究

1．【解析】平方根、立方根含义及符号表示如下：

（1）如果，那么

叫做

的平方根．

正数的平方根有两个，且互为相反数，其中正平方根称为算术平方根，记作

，负平方根记作

，的平方根记为．

（2）如果，那么

叫做

的立方根．若

，则；若，则

；若

，则．实数