八年级数学下册-平面几何综合复习-人教新课标版

平面几何综合复习

【典型例题】：

例3、已知：如图在?ABC 中，AB =AC 。延长AB 到D ，使BD =AB ，取AB 的中点E ，连结CD 和CE 求证：CD =2CE

分析：（1）要证长线段CD 是某小量的2倍，可在长线段上截取一半，这种方法，叫“截取法”或（折半法），要证CD =2CE ，可考虑在CD 上截取一半，再证明CE 等于CD 的一半即可。 证明： 过B 点作BF //AC 交CD 于F ， AB =BD

∴=DF CF ,且BF AC =1

2

AB AC ACB //,∴∠=∠2

BF AC ACB //,,∴∠=∠∴∠=∠112

又 BE AB BF AC BE BF ==∴=121

2

.,

在??CEB CFB 和中

BE BF BC BC =∠=∠=???

?

?12 ∴?∴==??CEB CFB EC CF CD ,1

2

即CE =2EC

分析：（2）这类题目还可以将短线延长，或说加倍法，证它等于长线段的方法，也称“拼加法”。 提示： 将CE 延长到G ，使EG =CE ， 连结AG ，BG ，可证明?ACG ??BDC ，从而得到CG =CD ，因而有CD =2CE 。

例4、已知：如图，在?ABC 中，D 、E 分别在AB 、AC 上，BD=CE ，BE 、CD 的中点分别是M ，N ，直线MN 分别交AB ，AC 于点P 、Q

求证：AP=AQ

分析：这是一道已知中点求证线段相等的问题，往往可以通过中位线，将条件、结论分别转移到可以建立直接联系的图形上，此题要证AP =AQ ，就要证

∠=∠APQ AQP M N ， ,分别是BE 、CD 中点，且BD =CE ，又

BC 是?BDC 和?BCE 的公共边，∴取BC 的中点F ，再连MF 、NF ，

就可以通过三角形中位线定理将已知条件以及要证明的

∠=∠APQ AQP 等量代换到?FMN 中，从而可证得AP =AQ 。 证明： 取BC 的中点F ，连结FM ，FN ∵M ，N 分别是 BE CD ,的中点

∴=

=FM CE FN BD 121

2

，

并且MF //CE ，FN //BD ，∵CE =BD ，∴FM =FN

∴∠FMQ =∠FNP

∠FMQ=∠AQM （两直线平行，内错角相等） ∴∠FNP =∠APN ，∴∠APN =∠AQM ∴AP =AQ

例5、已知：? ABC 中，AB =AC ，D 是AB 上一点，E 是AC 延长线上一点，BD =CE ，DE 交BC 于F 求证：DE =EF

分析：DF 和EF 分别在?DBF 和?ECF 中，但这两个三角形并不全等，如何构造全等形呢？只需作DG //AC 交BC 于G 点，易证?DGF ??ECF ，所以DF =EF ，这种添加辅助线的方法属于中心对称型。

例6、已知Rt ?ACB 中，∠ACB =90?，CD ⊥AB ，BE 平分 ∠ABC ，交CD 于E ，EF //AB 交AC 于F 求证：CE =AF

分析：要证线段CE =AF ，我们可以将它们转化到两个三角形中，过E 点作EG ⊥BC 于G ，所以EG =DE ，这种填加辅助线的方法属于转对称型，再作FH ⊥AB 于H ，利用平行线间距离相等，可易证得?HAF ??GCE ，从而证得CE =AF ，另解还可以过E 点作KM //AC 交AB 于K ，交BC 于M ，证?MCE ??DKE 即可

例7、已知：?ABC 中，∠ACB =90?，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，CE 的延长线交AB 于F ，FG /AC 交AD 于G 求证：FB =2CG

分析：要证FB =2CG ，只要证CG =

1

2

BF ，由于CG 和BF 分别在两个三角形中没有直接的关系，所以寻求另解一条线段作为中介量，建立起CG 和FB 之间的联系，分析题目条件可知

?CEG ??AEF ，所以AF =CG ，只要证AF =1

2

FB 即可

证明： 作DH //CF 交AB 于H ，Rt ?ADC 中，ACD =90?， E 是斜边AD 中点，∴CE =AE ，∴∠1=∠2 ∵AC //FG ，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∴∠3=∠4 ∴EG =EF 在?AEF 中和?CEG 中，有 CE AE

EG EF ==∠=∠???

?

?56

∴?AEF ?? CEG 中，∴AF =CG

DH //CF ，E 为AD 中点，∴AF =FH

DH //CF ，D 为BC 中点，∴FH =HB

∴AF =FH =HB ，∴AF

=1

2FB

CG =AF ，∴CG =1

2

FB ，即FB =2CG

例8、设?ABC 是等腰直角三角形，AB =AC ，D 是斜边BC 的中点，E ，F 分别是AB 、AC 边上的

点，且DE ⊥DF ，若BE =12，CF =5，求：线段EF 的长？

分析：这是一道几何中的计算题要求EF 的长，首先发现它在Rt 它在Rt ?EAF 中，这时利用勾股定理可求出，连结AD 后可证?ADE ??CDF 解； 连结AD ，则在?ADE 和?CDF 中， ∠+∠=?∠+∠=?∴∠=∠∠=∠=?ADE ADF CDF ADF ADE CDF DAE DCF 909045，，又

AD =CD ，∴?∴==??ADE CDF AE CF 5

又AF +FC =AC =AB =AE +BE =5+12=17

∴=-=-==

+=AF AC FC EAF EF AE AF 1751213

2

2

在中Rt ?,

即EF 的长为13

例9、已知：如图，过正方形ABCD 的顶点A 作直线交BD 于E ，交CD 于F ，交BC 的延长线于G ，若H 是FG 的中点 求证：EC ⊥CH

分析：这道题主要是利用正方形的性质，证明两条线段互相垂直，只要能证明∠ECH 是90?即可，此题可先间接证出∠4+∠5=90?，从而推出∠ECH =90?，通过?∠

ABE ??CBE ，及Rt ?FCG 的斜边中线CH 可证得

证明： 简述：在正方形ABCD 中，∠=∠=?1245 ∵AB =BC ，BE =BE ∴?ABE ??CBE ∴∠3=∠4，又H 是Rt FCG 斜边上的中点

∴=∴∠=∠∴∠+∠=∠+∠=?∴⊥CH HG G

G EC CH

534690 例10、已知：如图在平行四边形ABCD 中，AE =CF ，BM =DN 求证：四边形EMFN 是平行四边形

分析：本题主要是考查平行四边形的判定方法，下面简述两种证法。 证法一： ABCD 是平行四边形 ∴AD //BC ，AD =BC

∴∠=∠==12,, AE FC DN BM ∴ DE =BF ,DM =BN ∴???DEM BFN

∠=∠=34,MB NF ∴ME //NF

∴EMFN 是平行四边形

证法二： 证∴???DEM BFN （同证法一） ∴ME =NF 同理可证 ??DEN BFM ? ∴EN =FM ∴EMFN 是平行四边形。

例11、如图：等腰梯形ABCD 中，AD //BC ，对角线AC 和BD 相交于E ，已知，∠ABD =60?，BD =12，且BE ∶ED =5∶1，S 梯形

ABCD

=363，求这个梯形的周长？

分析：由BD =12，且BE ∶ED =5∶1，可得BE =10，ED =2，易证，??ABD DCA ?故∠=∠=?∴∠=?ADB DAC AED AED 6060,,?为等边三

角，AD =DE =2，同理BC =10，作AF ⊥BC 于F ，DG ⊥BC 于G ，则四边形AFGD 是矩形，由梯形面积

公式可求出AF DG BF GC ===63,而()=-12

BC AD =()1

21024-=，再由勾股定理求

出AB =CD =231 故梯形周长为12+431 解：

BD BE ED BE DE ==∴==1251102,,,;且∶∶ 梯形ABCD 为等腰梯形，∴==AB CD AC BD ,

AD =AD

∴?∴∠=∠=???ABD DCA DAC ADB ,60

∴∠=?∴AED AED 60,?为等边三角形 ∴==AD DE 2 同理可求： BC =10 作AF ⊥BC 于F ，DG ⊥BC 于G ， 则四边形AFGD 为矩形

∴===∠=∠FG AD AB AC ABC DCB 2,, ∠=∠=?AFB DGC 90 ∴???ABF DCG

()()∴==

-=-=BF GC BC FG 121

21024 S ABCD

梯形=363

()()∴+?=+?=123631

2102363BC AD AF AF ,即 ∴AF ABF =63，中Rt ?

()

AB AF BF =

+=

+==222

263

4124231

同理：DC =231

∴梯形周长=AD +BC +AB +CD =2+10+2

31+231=12+431 此题综合性较强，涉及到的知识点很多，但证明的关键是证出?ABC 是等边三角形，从而求出上、下两底的长度，并且要正确添加辅助线。

【综合练习】： 一、填空题：

（1）?ABC 中，AB =AC ，DE 是AB 的中垂线，?BCE 的周长为14厘米，BC =5厘米，那么AB 的长为 厘米。

（2）若?ABC 的三个外角的度数之比为3∶4

∶5，则最大边AB 与最小边BC 关系是 ；

而三条边之间的关系是 ；

（3）等腰三角形的周长为23+，腰长为1，则底角等 度。

（4）如图在Rt ?ABC 中，∠=?C 90 BD 平分∠ABC 交AC 于D ，DE 是斜边AB 的垂直平分线，且DE =1厘米，则AC = 厘米。

（5）把长为8cm 的长方形纸片对折，按图中的虚线剪出一个梯形并打开，则找开后的梯形中位线长为 cm 。

（6）若等腰三角形的底角为15?，腰长为2，则腰上的高为 。

（7）若等腰梯形的周长80cm ，中位线与腰长相等，则它的中位线等于 cm 。

（8）已知平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，如果?AOB 的面积是3，那么平行四边形ABCD 的面积是 。

（9）已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，那么它的边长是 。

（10）菱形中有一个内角是60?，菱形的边长为6，则菱形两条对角线的长为 。

三、选择题：

（1）如果等边三角形的边长为3，那么连结各边中点所成的三角形的周长为（ ）

A ．9

B ．6

C ．3

D ．

92

（2）在?ABC 中，已知b =4，c =5, A =30?,则?ABC 的面积是（ ）

A ．10

B ．103

C ．5

D ．53

（3）如果一个多边形的内角和等于720?，那么这个多边形是（ ） A ．四边形 B ．五边形 C ．六边形 D ．七边形

（4）下列多边形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A ．平行四边形 B ．正方形 C ．等边三角形 D ．直角梯形

（5）已知：平行四边形ABCD 的周长为24，AB ∶AD =1∶2，那么AB 的长是（ ） A ．4

B ．6

C ．8

D ．16

（6）设F 为正方形ABCD 的边AC 上一点，CE ⊥CF 交AB 的延长线于E ，若正方形ABCD 的面积为64，? CEF 面积为50，则?CBE 的面积为（ ） A ．20 B ．24 C ．25 D ．26

（7）在 ?ABC 中，若∠=?A 60，AB =23, AC =3，则S ?ABCD =（ ）

A ．9

B ．

9

2

C ． 33

D ．

33

2

（8）如图在四边形ABCD 中，AD =BC ，E 、F 、G 分别是AB 、CD 、AC 的中点，若∠DAC =20?，∠ACB =66?，∠则FEG =（ ） A ．47? B ．46? C ． 41? D ．23?

（9）已知一个等腰梯形的高是2m ，它的中位线长是5m,一个底角为45?，这个梯形的周长是（ ） A ．14

B ．()522+cm

C ．()

1022+m

D ．()1042+m

（10）已知正方形的面积为8cm 2

,则正方形的对角线长为（ ） A ．22cm B ．42cm

C ．4cm

D ．2cm

【答案】：一、 （1）9 （2）AB =2BC ，132∶∶ （3）30? （4）3 （5）5

（6）1

（7）20 （8）12 （9）5 （10）

6，63

二、 （1）D （2）C （3）C （4）C （5）A （6）B （7）B （8）D （9）D （10）C

【综合练习二】： 证明与计算： 1、已知：等腰三角形ABC 的顶角A 为120?，底边长为20cm ，求：腰长

2、已知；如图，?ABC 中，AB =AC ，D ，E ，F 分别为AB 、BC 、CA 上的点，且BD =CE ， ∠=∠DEF B ,

求证：?DEF 是等腰三角形

3、已知：如图，四边形ABCD 为矩形四边形ABDE 为等腰梯形，AE //BD ， 求证：??BED BCD ?

4、如图：平行四边形ABCD 中，BE ⊥CD ，BF ⊥AD ，垂足分别为E 、F ，CE =2，DF =1，

∠=?EBF 60，求平行四边形ABCD 的面积。

5、已知：四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为AB ，CD ，AC ，BD 的中点，并且E ，F ，G ，H 不在同一直线上， 求证：EF 和GH 互相平分

6、如图，已知：在等边三角形ABC 中，延长BC 到M ，使CM =BC ，AD ⊥BC 于点D ，

E 是AM 的中点，E

F //MC 交AC 于点F 求证：四边形DCEF 是菱形

7、已知：梯形ABCD 中，AD //BC ，AB =DC ，在ABDC 上各取一F ，G ，使BF =CG ，E 是AD 的中点 求证：∠=∠EFG EGF

8、已知：在平行四边形ABCD 中，AE =CF ，M ，N 分别是DE ，BF 的中点

求证：四边形ENFM 是平行四边形

9、已知：如图，在三角形ABC 中，AB =AC ，AD 是BC 边上的高，AD 的中点为M ，CM 的延长线交AB 于K ， 求证：AK ∶AB 的值

10、已知：如图，周长为40cm 的等腰梯形ABCD 中，AD //BC ，梯形中位线EF =AB ，梯形的高AH =6cm, 求：梯形ABCD 的面积

11、已知：如图，正方形ABCD ，点E ，F 分别在BC ，DC 上，且∠=?EAF 45 求证：BE +DF =EF

12、已知：如图，正方形ABCD 中，AC ，BD 交于O 点，∠DBC 的平分线交AC 于E ，交DC 于F ， 求证：OE =

1

2

DF

13、已知：在平行四边形ABCD 中，EF //AC 交AB 于E ，BC 于F ， 求证：S S ADE DCF ??=

【答案】：

1、2033

cm ；

2、利用三角形外角定理证明：∠=∠BDE FEC ,再证 ??DBE ECF ?即可；

3、利用矩形，等腰梯形的性质可以得到证两个三角形全等的条件；

4、可以利用分别延长CD 和BF 相交后构成Rt ?，求出一个 30?角，再通过 ?AFB 和 ?ECD 求出CD =4，BC =6，就可以利用平行四边形面积公式得到其结果为63

5、提示：连结EG 、GF 、FH 、HE ，通三角形中位线定理再根据平行四边形的判定定理证出四边形EGFH 是平行四边形，即可

6、提示：可根据三角形中位线定理，证出：CE //AB ，EF //MC 可得四边形，DCEF 是平行四边形，再证出DF =DC ，可证出四边形DCEF 是菱形

7、提示：很容易通过等腰梯形同一底上的两个底角相等证出??AEF DEG ?，从而证得∠=∠EFG EGF

8、可利用三角形全等证出FN =ME ，再通过证明FB //DE ，得到FN //ME 即可证得

9、解：DE AB CK E //交于点

∠=∠=∠=∠?∴==⊥∴=∴=∴==

12341212

13

，，得，又，，而，，故∶AM MD AMK DME AK DE

AB AC AD BC BD DC DE AB DE KB AK KB AK AB ??//

10、提示：2EF =AD +BC 2EF =AB +DC 而AB +BC +CD +DA =40 ∴4EF =40，得EF =10，又 AH =6 ∴梯形ABCD 的面积S =EF ，AH =10×6=60（cm ）2

11、分析提示：证明线段的各差倍分问题，要将具体问题具体分析创造出它们之间的有机联系，使之为一个整体，该题BE 与DF 分别在正方形的两个不同的边上，因此想办法把它们放在一起，再与EF 进行比较。 证：延长CB 到G ，使BG =DF ，连结AG ，通过证??ABG ADF ?，得到∠=?GAE 45，再证??AGE AFE ?，，得到GE EF BE DF EF =∴+=，

12、分析：观察图形，在?BDF 中，DF 是底边，O 是BD 中点，若E 也是BF 中点，那么可得

OE DF =

1

2

，但显然E 不是BF 中点，所以我们作出这个三角形的中位线，再证明OE 就等于中位线长，作OG //DF ，那么OG =1

2

DF ，只需证OG =OE ，看∠3和∠4，因为∠+∠=?1490，

∠+∠=?290BFC ，但∠=∠3BFC ，所以由∠=∠12可推出，这样就得到了OG =OE ，从而证

明OE DF =1

2

。

证明：过点O 作OG //DC ，交BF 于G ，∴∠=∠3BFC ， 在正方形ABCD 中， DC BC AC BD ⊥⊥，

∴∠+∠=?290BFC ，∠+∠=?1490

∴∠+∠=?∠=∠∴∠=∠∴=∴∴=∴=

2390123412

12

,//又，是中点，是中点， OG OE

O BD OG DF G BF OG DF OE DF

13、提示：连结AF 、CE 平行在四边形ABCD 中，

S S S S EF AC S S S S ADE AEC

CDP AFC

AEC AFC ADE DCF

????????==∴=∴= //，，