2019-2020高一下期末数学复习解三角形专题
2019级高一数学复习导学案编制人:王宇审核人:袁中飞
期末复习专题解三角形
【教学目标】
1. 运用三角形内角和定理、正弦定理、余弦定理解斜三角形.
2. 运用正弦定理、余弦定理及三角变换公式灵活进行边角转换.
3. 高考对解三角形,可以为填空题,也可以为解答题,灵活运用公式转化是考查的重点.
【教学过程】
课前预习
1.(2020?常德模拟)已知在△ABC中,,AB=1,角A的平分线,则AC=()A.B.C.D.
2.在△ABC中三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b2+c2﹣bc=a2,bc=a2,则角C的大小是()A.或B.C. D.
3.为了测量某塔的高度,某人在一条水平公路C,D两点处进行测量.在C点测得塔底B在南偏西80°,塔顶仰角为45°,此人沿着南偏东40°方向前进10米到D点,测得塔顶的仰角为30°,则塔的高度为()A.5米 B.10米C.15米D.20米
4.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若a2+b2=2019c2,则的值为()A.1008 B.1009 C.2017 D.2018
5.△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c.已知c2=2b2﹣2a2,,则cos2A﹣cos2B的值为()A.B.C.D.
6.在△ABC中,点D为边AB上一点,若BC⊥CD,AC=3,AD=,sin∠ABC=,则△ABC的面积是()A.B.C.6D.12
7.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a sin B cos C+c sin B cos A=b且a>b,则B=()A.B.C. D.
8.(2017春?故城县校级期末)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且,若,a+c=4,则△ABC的面积为()A.B.C.D.
9.(2017春?西宁期末)在△ABC中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是()A.a=8,b=16,A=30°B.b=18,c=20,B=60°
C.a=15,b=2,A=90°D.a=4,b=3,A=120°
典型例题:
例1. 在△ABC 中,a =7,b =8,cos B =-1
7.
(1) 求角A 的大小; (2) 求AC 边上的高.
【针对训练】
1.△ABC 的内角A ,B ,C 所对边的长分别为a ,b ,c ,若△ABC 的面积为a 2+b 2-c 2
4,则C =________.
2. 在△ABC 中,角A ,B ,C 所对边的长分别为a ,b ,c.若a =7,b =2,A =60°,则sin B = ________,c = ________.
例2. △ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知△ABC 的面积为a 2
3sin A
.
(1) 求sin B sin C ;
(2) 若6cos B cos C =1,a =3,求△ABC 的周长.
【针对训练】
1. 在△ABC 中,角A ,B ,C 所对边的长分别为a ,b ,c ,∠ABC =120°,∠ABC 的平分线交AC 于点D ,且BD =1,则4a +c 的最小值为________.
例 3. 某观测站在城A 南偏西20°方向的C 处,由城A 出发的一条公路,走向是南偏东40°,在C 处测得公路距C 处31千米的B 处有一人正沿公路向城A 走去,走了20千米后到达D 处,此时CD 间的距离为21千米,问这人还要走多少千米可到达城A?
2019级高一数学复习导学案 编制人:王 宇 审核人:袁中飞
课后练习:
1. 在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且a 2+b 2+c 2=23ab sin C ,则△ABC 的形状是____________.
2. 某港口停泊两艘船,大船从港口出发,以40千米/时的速度沿东偏北60°方向行驶2.5小时后,小船以20千米/时的速度开始向正东方向行驶,小船出发1.5小时后,大船接到命令,需要把一箱货物转到小船上,便折向驶向小船,期间,小船行进方向与速度不变,从大船折向开始,到与小船相遇(大船速度不变),最少需要的时间是________小时.
3. 在锐角三角形ABC 中,若sin A =2sin B sin C ,则tan A tan B tan C 的最小值是________.
4. 在平面四边形ABCD 中,∠ADC =90°,∠A =45°,AB =2,BD =
5.
(1) 求cos ∠ADB ;
(2) 若DC =22,求BC.
5. 在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若sin A =35,tan (A -B)=1
3
,C 为钝角,b =5.
(1) 求sin B 的值; (2) 求边c 的长.
6. 在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且m =(a ,b ),n =(sin B ,-cos A ),m·n =0.
(1) 求内角A 的大小; (2) 若a =10,求△ABC 面积的最大值.
7.【2019年高考真题理(江苏卷)】在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .
(1)若a =3c ,b ,cos B =2
3,求c 的值;(2)若sin cos 2A B a b =,求sin()2
B π+的值.
8.【2019年高考真题理(全国卷Ⅰ)】△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,设
22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-.
(1)求A ;
(22b c +=,求sin C .
9.【2019·北京高考模拟(理)】已知()sin f x x x =,A 、B 、C 为ABC 的三个内角,BC 2=,
()0f A =
(1)求A 角;
(2)求ABC ?面积的最大值.
10.【2019年高考真题理(天津卷)】在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知2b c a +=,
3sin 4sin c B a C =.
(Ⅰ)求cos B 的值; (Ⅱ)求sin 26B π?
?
+ ??
?
的值.
高中数学-解三角形知识点汇总情况及典型例题1
实用标准
—tanC。
例 1 ? (1 )在 ABC 中,已知 A 32.00 , B 81.80 因为 00 v B v 1800,所以 B 640,或 B 1160. c as nC 空啤 30(cm). sin A s in400 ②当B 1160时, 点评:应用正弦定理时(1)应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形; 对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2 :三角形面积 2 , AC 2 , AB 3,求tan A 的值和 ABC 的面积。 2 (2 )在 ABC 中,已知 a 20 cm , b 28 cm , 40°,解三角形(角度精确到 10,边长精确 到 1cm ) o 解:(1 )根据三角形内角和定理, C 1800 (A B) 1800 (32.00 81.80) 66.20 ; 根据正弦定理,b asinB 42.9sin81.80 si nA 眾厂 80.1(cm); 根据正弦定理,c 聲C 丝9也彰 74.1(cm). sin 32.0 (2 )根据正弦定理, s"B 舸 A 28sin4°0 a 20 0.8999. ,a 42.9 cm ,解三角形; ①当 B 640 时, C 1800 (A B) 1800 (40° 640) 760, C 1800 (A B) 1800 (400 116。)240 , c asinC si nA 呼 13(cm). sin 40 (2) 解法一:先解三角方程,求出角 A 的值。 例2 ?在ABC 中, sin A cos A
si nA cos A j2cos(A 45 )-—, 2 1 cos(A 45 )-. 又 0 A 180 , A 45o 60o , A 105.° o o 1 \/3 L tan A tan(45 60 ) 一字 2 J3, 1 73 42 si nA sin105 sing5 60) sin4 5 co$60 cos45 si n60 ——-—. 1 1 /2 洽 n S ABC AC AB si nA 2 3 近 46)。 2 2 4 4 解法二:由sin A cos A 计算它的对偶关系式 si nA cos A 的值。 v 2 — si nA cos A —— ① 2 2 1 (si nA cos A)2 2 1 2sin Acos A — 2 Q0o A 180o , si nA 0,cos A 0. 1 另解(si n2A —) 2 2 3 (s in A cos A) 1 2 sin Acos A —, *'6 _ si nA cos A — ② 2 $2 J6 ①+②得sin A --------------- 。 4 ①-②得 cosA <6 。 4 u 而丄 A si nA J 2 J 6 4 c 匚 从而 tan A l l 2 ~3。 cosA 4 v2 v 6
高一数学解三角形练习题
必修五 第一章 解三角形 一、选择题 1.已知A ,B 两地的距离为10 km ,B ,C 两地的距离为20 km ,现测得∠ABC =120°,则A ,C 两地的距离为( ). A .10 km B .103km C .105km D .107km 2.在△ABC 中,若2 cos A a = 2 cos B b =2 cos C c ,则△ABC 是( ). A .等腰三角形 B .等边三角形 C .直角三角形 D .等腰直角三角形 3.三角形三边长为a ,b ,c ,且满足关系式(a +b +c )(a +b -c )=3ab ,则c 边的对角等于( ). A .15° B .45° C .60° D .120° 4.在△ABC 中,三个内角∠A ,∠B ,∠C 所对的边分别为a ,b ,c ,且a ∶b ∶c =1∶3∶2,则sin A ∶sin B ∶sin C =( ). A .3∶2∶1 B .2∶3∶1 C .1∶2∶3 D .1∶3∶2 5.如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值,则( ). A .△A 1 B 1 C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B .△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形 C .△A 1B 1C 1是钝角三角形,△A 2B 2C 2是锐角三角形 D .△A 1B 1C 1是锐角三角形,△A 2B 2C 2是钝角三角形 6.在△ABC 中,a =23,b =22,∠B =45°,则∠A 为( ). A .30°或150° B .60° C .60°或120° D .30°
高中三角函数公式大全必背知识点
三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1 -cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2 - Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3π -a) 半角公式 sin( 2 A )=2cos 1A - cos( 2 A )=2cos 1A + tan( 2 A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2 A )=A A cos 1cos 1-+ tan( 2A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2 b a +sin 2b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos ) sin(+ 积化和差 sinasinb = -21 [cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21 [cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 21 [sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 21 [sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2π -a) = cosa cos(2π -a) = sina sin(2π +a) = cosa cos(2 π +a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式
必修五解三角形常考题型非常全面
必修五解三角形常考题型 1.1正弦定理和余弦定理 1.1.1正弦定理 【典型题剖析】 考察点1:利用正弦定理解三角形 例1 在V ABC 中,已知A:B:C=1:2:3,求a :b :c. 【点拨】 本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化,利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。 解:::1:2:3,A . ,,, 6 3 2 1::sin :sin :sin sin :sin :sin :1 2.6 3 2 2A B C B C A B C a b A B C ππ π π π π π =++=∴= = = ∴=== =Q 而 【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式,要做到灵活应用。 例2在ABC 中,已知 ,C=30°,求a+b 的取值范围。 【点拨】 此题可先运用正弦定理将a+b 表示为某个角的三角函数,然后再求解。 解:∵C=30°, ,∴由正弦定理得: sin sin sin a b c A B C === ∴ )sin (150°-A ). ∴ )[sinA+sin(150° )·2sin75°·cos(75° -A)= 2 cos(75°-A) ① 当75°-A=0°,即A=75°时,a+b 取得最大值 2 ; ② ∵A=180°-(C+B)=150°-B,∴A <150°,∴0°<A <150°, ∴-75°<75°-A <75°,∴cos75°<cos(75°-A)≤1, ∴> 2 cos75° = 2 × 4 . 综合①②可得a+b 的取值范围为 ,8+ 考察点2:利用正弦定理判断三角形形状 例3在△ABC 中,2 a ·tanB=2 b ·tanA ,判断三角形ABC 的形状。 【点拨】通过正弦定理把边的关系转化为角的关系,利用角的关系判断△ABC 的形状。
高中数学解三角形和平面向量
高中数学解三角形和平面向量试题 一、选择题: 1.在△ABC 中,若a = 2 ,23b =,0 30A = , 则B 等于( B ) A .60o B .60o 或 120o C .30o D .30o 或150o 2.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,若c =2,b =6,B =120o ,则a 等于( D ) A .6 B .2 C .3 D .2 3.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c, 且2=a ,A=45°,2=b 则sinB=( A ) A . 1 2 B .22 C . 3 2 D .1 4.ABC ?的三内角,,A B C 的对边边长分别为,,a b c ,若5 ,22 a b A B ==,则cos B =( B ) A . 53 B .54 C .55 D .5 6 5.在△ABC 中,若)())((c b b c a c a +=-+,则A ∠=( C ) A .0 90 B .0 60 C .0 120 D .0 150 6.在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,若(a 2+c 2-b 2)tan B =3ac ,则角B 的值为(D ) A. 6 π B. 3π C.6π或56 π D. 3π或23 π 7. 在△ABC 中, b a B A =--cos 1cos 1,则△AB C 一定是( A ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 8.在ABC ?中,角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ,若角A 、B 、C 依次成等差数列,且a=1, ABC S b ?=则,3等于( C ) A. 2 B. 3 C. 2 3 D. 2 9.已知锐角△ABC 的面积为33,BC=4,CA=3则角C 大小为( B ) A 、75° B 、60° C 、45° D 、30° 10.在200米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°,则塔高为( A ) A. 3 400 米 B. 33400米 C. 2003米 D. 200米 11.已知A 、B 两地的距离为10km ,B 、C 两地的距离为20km ,现测得0 120ABC ∠=,则A,C 两地 的距离为( D )。 A. 10km B. 103km C. 105km D. 107km 12.已知M 是△ABC 的BC 边上的中点,若向量AB =a ,AC = b ,则向量AM 等于( C ) A . 21(a -b ) B .21(b -a ) C .21( a +b ) D .1 2 -(a +b ) 13.若 ,3) 1( )1, 1(B A -- ,5) (x C 共线,且 BC AB λ=则λ等于( B ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 14.已知平面向量),2(),2,1(m -==,且∥,则32+=( C ) A .(-2,-4) B. (-3,-6) C. (-4,-8) D. (-5,-10) 15. 已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1(-+-==与垂直时k 值为 ( C ) A 、17 B 、18 C 、19 D 、20 16.(2,1),(3,),(2),a b x a b b x ==-⊥r r r r r 若向量若则的值为 ( B ) A .31-或 B.13-或 C .3 D . -1 17. 若|2|= ,2||= 且(-)⊥ ,则与的夹角是 ( B ) (A ) 6π (B )4π (C )3π (D )π12 5 183 =b , a 在 b 方向上的投影是2 3 ,则 b a ?是( B ) A 、3 B 、 29 C 、2 D 、2 1 19.若||1,||2,a b c a b ===+r r r r r ,且c a ⊥r r ,则向量a r 与b r 的夹角为( C ) (A )30° (B )60° (C )120° (D )150°
高一数学-解三角形综合练习题
必修五 解三角形 一、选择题 1. 在ABC ?中,若::1:2:3A B C ∠∠∠=,则::a b c 等于 ( ) A.1:2:3 B.3:2:1 C. D.2 2.在△ABC 中,222a b c bc =++ ,则A 等于 ( ) A .60° B .45° C .120° D .30° 3.有一长为1公里的斜坡,它的倾斜角为20°,现要将倾斜角改为10°,则坡底要伸长 A. 1公里 B. sin10°公里 C. cos10°公里 D. cos20°公里 4.等腰三角形一腰上的高是3,这条高与底边的夹角为 60,则底边长= ( ) A .2 B .2 3 C .3 D .32 5.已知锐角三角形的边长分别为2、3、x ,则x 的取值范围是 ( ) A .135< 高中数学公式:三角函数公式大全三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在,下面是三角函数公式大全: 锐角三角函数公式 sin α=∠α的对边 / 斜边 cos α=∠α的邻边 / 斜边 tan α=∠α的对边 / ∠α的邻边 cot α=∠α的邻边 / ∠α的对边 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=(2tanA)/(1-tanA^2) (注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A)) 三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin3a =sin(2a+a) 页 1 第 =sin2acosa+cos2asina 辅助角公式 Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t),其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t),tant=A/B 降幂公式 cos(2α))/2=versin(2α)/2sin^2(α)=(1- cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 -cos(2α))/(1+cos(2α))tan^2(α)=(1 推导公式 tanα+cotα=2/sin2α 2cot2α-cotα=-tanα s2α=2cos^2α1+co 1-cos2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+cosα /2)^2=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina =3sina-4sin3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina 页 2 第 =(2cos2a-1)cosa-2(1-sin2a)cosa =4cos3a-3cosa 高一必修5 解三角形单元测试题 1.在△ABC 中,sinA=sinB ,则必有 ( ) A .A=B B .A ≠B C .A=B 或A=C -B D .A+B= 2 π 2.在△ABC 中,2cosBsinA=sinC ,则△ABC 是 ( ) A .等边三角形 B .等腰三角形 C .直角三角形 D .等腰直角三角形 3.在ABC ?中,若 b B a A cos sin =,则B 的值为 ( ) A . 30 B . 45 C . 60 D . 90 4.在ABC ?中,bc c b a ++=2 2 2 ,则角A 等于 ( ) A .60° B .45° C .120° D .30° 5.在△ABC 中,b =, ,C=600,则A 等于 ( ) A .1500 B .750 C .1050 D .750或1050 6.在△ABC 中,A:B:C=1:2:3,则a:b:c 等于 ( ) A .1:2:3 B .3:2:1 C . 2: D . 7.△ABC 中,a=2,A=300,C=450,则S △ABC = ( ) A B . C 1 D .11)2 8.在ABC ?中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,则acosB+bcosA 等于 ( ) A . 2 b a + B . b C . c D .a 9.设m 、m +1、m +2是钝角三角形的三边长,则实数m 的取值范围是 ( ) A .0<m <3 B .1<m <3 C .3<m <4 D .4<m <6 10.在△ABC 中,已知a=x , A=450,如果利用正弦定理解这个三角形有两个解, 则x 的取值范围为 ( ) A . B .2高中数学公式三角函数公式大全
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高三第一轮复习数学---解三角形及应用举例