高中数学-常用逻辑用语测试题

高中数学-常用逻辑用语测试题

(时间：90分钟满分：120分)

第Ⅰ卷(选择题，共50分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．

1．命题“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是()

A．不存在x0∈R,2x0＞0

B．存在x0∈R,2x0≥0

C．对任意的x∈R,2x≤0

D．对任意的x∈R,2x＞0

解析：因为命题“存在x0∈R,2x0≤0”是特称命题，所以它的否定是全称命题．

答案：D

2．(·安徽卷)“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的()

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：若(2x－1)x＝0，则x＝1

2或x＝0，即不一定推出x＝0；若x

＝0，则一定能推出(2x－1)x＝0.故“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的必要不充分条件．

答案：B

3．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是()

A．能被3整除的整数，一定能被6整除

B．不能被3整除的整数，一定不能被6整除

C ．不能被6整除的整数，一定不能被3整除

D ．不能被6整除的整数，不一定能被3整除

解析：一个命题与它的逆否命题是等价命题，选项B 中的命题为已知命题的逆否命题．

答案：B

4．若向量a ＝(x,3)(x ∈R )，则“x ＝4是|a |＝5”的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析：由x ＝4知|a |＝42＋32＝5；反之，由|a |＝x 2＋32＝5，得x ＝4或x ＝－4.故“x ＝4”是“|a |＝5”的充分不必要条件，故选A.

答案：A

5．(·新课标全国卷Ⅰ)已知命题p ：?x ∈R,2x ＜3x ；命题q ：?x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是( )

A ．p ∧q

B ．綈p ∧q

C ．p ∧綈q

D ．綈p ∧綈q

解析：命题p 为假，因为当x ＜0时，2x ＞3x .命题q 为真，因为f (x )＝x 3＋x 2－1在(0，＋∞)内单调递增，且f (0)＝－1＜0，f (1)＝1＞0，所以在(0,1)内函数f (x )必存在零点．所以綈p ∧q 为真命题，故选B.

答案：B

6．在三角形ABC 中，∠A ＞∠B ，给出下列命题：

①sin ∠A ＞sin ∠B ；②cos 2∠A ＜cos 2

∠B ；③tan ∠A 2＞tan ∠B 2. 其中正确的命题个数是( )

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

解析：当∠A 、∠B 均为锐角时，由函数的单调性及不等式的性质知都成立；当∠B 为锐角，∠A 为钝角或直角时，又有∠A 、∠B 为三

角形的内角，所以π2≤∠A ＜π，0＜∠B ＜π2，∠A ＋∠B ＜π，即π4≤∠A 2＜

π2，0＜∠B 2＜π4，∠B ＜π－∠A ＜π2，即tan ∠A 2＞tan ∠B 2，sin ∠B ＜sin(π－∠A )＝sin ∠A ，cos ∠B ＞cos(π－∠A )＝－cos ∠A ≥0，所以cos 2∠A ＜cos 2∠B .

答案：D

7．下面说法正确的是( )

A ．命题“?x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1≥0”的否定是“?x ∈R ，使

得x 2＋x ＋1≥0”

B ．实数x ＞y 是x 2＞y 2成立的充要条件

C ．设p ，q 为简单命题，若“p ∨q ”为假命题，则“綈p ∧綈q ”也为假命题

D ．命题“若α＝0，则cos α＝1”的逆否命题为真命题

解析：对A 选项，命题的否定是：“?x ∈R ，使得x 2＋x ＋1＜0”，故不正确，对于B 选项，由x ＞yA /?x 2＞y 2，且x 2＞y 2A /?x ＞y ，故不正确．对于C 选项，若“p ∨q ”为假命题，

则“綈p ∧綈q ”为真命题，故不正确．

对于D 选项，若α＝0，则cos α＝1是真命题，故其逆否命题也为真命题，故正确．

答案：D

8．已知命题p ：?x 0∈R ，使tan x 0＝1，命题q ：?x ∈R ，x 2＞0.下面结论正确的是( )

A ．命题“p ∧q ”是真命题

B ．命题“p ∧綈q ”是假命题

C ．命题“綈p ∨q ”是真命题

D ．命题“綈p ∧綈q ”是假命题

解析：∵p 真，q 假．故p ∧q 为假，p ∧綈q 为真．綈p ∨q 为假，綈p ∧綈q 为假，选D.

答案：D

9．下列结论错误的是( )

A ．命题“若log 2(x 2－2x －1)＝1，则x ＝－1”的逆否命题是“若x ≠－1，则log 2(x 2－2x －1)≠1”

B ．设α，β∈? ??

??－π2，π2，则“α＜β”是“tan α＜tan β”的充要条件 C ．若“(綈p )∧q ”是假命题，则“p ∨q ”为假命题

D ．“?α∈R ，使sin 2α＋cos 2α≥1”为真命题

解析：根据逆否命题定义知A 选项正确．由正切函数单调性，可判断B 选项正确．D 选项作为特称命题正确，对于C 选项，“綈p ∧q ”为假，则綈p ，q 中至少一个为假，故p ∨q 真假不定，故选C.

答案：C

10．给出下列三个命题：

①若a ≥b ＞－1，则a 1＋a ≥b 1＋b

；②若正整数m 和n 满足m ≤n ，则mn －m 2

≤n 2；③设P (x 1，y 1)是圆O 1：x 2＋y 2＝9上的任意一点，圆O 2以Q (a ，b )为圆心，且半径为1.当(a －x 1)2＋(b －y 1)2＝1时，圆O 1与圆O 2相切．

其中假命题的个数为( )

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

解析：①a 1＋a ≥b 1＋b ?1－11＋a ≥1－11＋b ?11＋a ≤11＋b

，又a ≥b ＞－1?a ＋1≥b ＋1＞0知本命题为真命题．

②用基本不等式：2xy ≤x 2＋y 2(x ＞0，y ＞0)，取x ＝m ，y ＝n －m ，知本命题为真命题．

③圆O 1上存在两个点A 、B 满足弦AB ＝1，所以P 、O 2可能都在圆O 1上，当O 2在圆O 1上时，圆O 1与圆O 2相交．故本命题为假命题．

答案：B

第Ⅱ卷(非选择题，共70分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

11．给出命题：“若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限”．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是__________．

解析：∵命题：“若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限”是真命题，其逆命题“若函数y ＝f (x )的图象不过第四象限，则函数y ＝f (x )是幂函数”是假命题，如函数y ＝x ＋1.再由互为逆否命题真假性相同知，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是1个．

答案：1个

12．命题“ax 2－2ax －3＞0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是__________．

解析：∵命题“ax 2－2ax －3＞0不成立”是真命题，∴不等式ax 2－2ax －3≤0对于任意的实数x 恒成立，(1)当a ＝0时，符合条件；(2)

当?????

a ＜0，Δ≤0，

即－3≤a ＜0.

由(1)、(2)得实数a 的取值范围是{a |a ＝0或a ≤－3}．

答案：－3≤a ≤0

13．若不等式|x －1|＜a 成立的充分条件是0＜x ＜4，则实数a 的取值范围是__________．

解析：∵|x －1|＜a ?1－a ＜x ＜1＋a ，

又∵不等式|x －1|＜a 成立的充分条件是0＜x ＜4，

∴????? 1－a ≤0，1＋a ≥4，即?????

a ≥1，a ≥3，∴a ≥3. 答案：[3，＋∞)

14．已知命题p ：?x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，命题q ：?x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0，若“p ∧q ”为真命题，则实数a 的取值范围是__________．

解析：∵“p ∧q ”为真命题，∴p ，q 均为真命题．

由p 为真命题得a ≤1.由q 为真命题得a ≤－2或a ≥1.

∴当p ，q 同时为真时，有a ≤－2或a ＝1.

答案：a ≤－2或a ＝1

三、解答题：本大题共4小题，满分50分．

15．(12分)命题：已知a ，b 为实数，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，则a 2－4b ≥0，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．

解：逆命题：已知a 、b 为实数，若a 2－4b ≥0，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集．(3分)

否命题：已知a 、b 为实数，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，则a 2－4b ＜0.(6分)

逆否命题：已知a 、b 为实数，若a 2－4b ＜0，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集．(9分)

原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题．

(12分)

16．(12分)已知p ：|x －3|≤2，q ：(x －m ＋1)(x －m －1)≤0，若綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．

解：由题意p ：－2≤x －3≤2，

∴1≤x ≤5.

∴綈p ：x ＜1或x ＞5.(4分)

q ：m －1≤x ≤m ＋1，

∴綈q ：x ＜m －1或x ＞m ＋1.(8分)

又∵綈p 是綈q 的充分不必要条件，

∴?????

m －1≥1，m ＋1≤5. ∴2≤m ≤4.(12分)

17．(12分)设命题p ：?x 0∈R ，x 20＋2ax 0－a ＝0.命题q ：?x ∈R ，

ax 2＋4x ＋a ≥－2x 2＋1.如果命题“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数a 的取值范围．

解：当命题p 为真时，Δ＝4a 2＋4a ≥0得a ≥0或a ≤－1，当命题q 为真时，(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1≥0恒成立，

∴a ＋2＞0且16－4(a ＋2)(a －1)≤0，即a ≥2.(6分)

由题意得，命题p 和命题q 一真一假．

当命题p 为真，命题q 为假时，得a ≤－1；

当命题p 为假，命题q 为真时，得a ∈?；

∴实数a 的取值范围为(－∞，－1]．(12分)

18．(14分)给出两个命题：

命题甲：关于x 的不等式x 2＋(a －1)x ＋a 2≤0的解集为?，命题乙：

函数y ＝(2a 2－a )x 为增函数．

分别求出符合下列条件的实数a 的取值范围．

(1)甲、乙至少有一个是真命题；

(2)甲、乙中有且只有一个是真命题．

解：甲命题为真时，Δ＝(a －1)2－4a 2

＜0，即a ＞13或a ＜－1. 乙命题为真时，2a 2

－a ＞1，即a ＞1或a ＜－12. (1)甲、乙至少有一个是真命题时，

即上面两个范围取并集，

∴a 的取值范围是{a |a ＜－12或a ＞13}．(7分)

(2)甲、乙中有且只有一个是真命题，有两种情况：

甲真乙假时，13＜a ≤1，甲假乙真时，－1≤a ＜－12，

∴甲、乙中有且只有一个真命题时，a 的取值范围为{a |13＜a ≤1或

－1≤a ＜－12}．(14分)