有理数知识点总结
有理数知识点总结
1. 有理数的定义和性质
1.1 有理数的定义
有理数是可以表示为两个整数的比的数，包括整数、分数和零。
1.2 有理数的性质
•有理数可以进行加、减、乘、除运算，并仍为有理数。
•有理数的加法和乘法满足交换律、结合律和分配律。
2. 有理数的表示和分类
2.1 有理数的表示
有理数可以用分数的形式表示，即分子和分母都是整数，并且分母不为零。
2.2 有理数的分类
有理数可以分为以下几类： - 正数：大于零的有理数。 - 负数：小于零的有理数。- 零：既不大于零也不小于零的有理数。
3. 有理数的比较和大小关系
3.1 有理数的比较
•对于同号的两个有理数，绝对值大的数较大。
•对于异号的两个有理数，正数较大。
3.2 有理数的大小关系
•两个正数比较大小，数值大的较大。
•两个负数比较大小，数值小的较大。
•正数大于零，零大于负数。
4. 有理数的运算
4.1 加法和减法
有理数的加法和减法满足交换律和结合律，可以通过以下步骤进行： - 对于同号
的两个有理数，将它们的绝对值相加（减），并保持符号不变。 - 对于异号的两
个有理数，将它们的绝对值相减，结果的符号由绝对值较大的数决定。
4.2 乘法和除法
有理数的乘法和除法满足交换律、结合律和分配律，可以通过以下步骤进行： -
两个有理数的乘积的符号由乘数的符号决定。 - 两个有理数的商的符号由被除数
和除数的符号决定。
5. 有理数的进一步思考
5.1 有理数的无穷性
有理数是无穷的，可以无限接近但无法达到某些无理数，如圆周率π和自然对数
的底数e。
5.2 有理数的应用
有理数在实际生活中有广泛的应用，如计算、测量、金融等领域。在金融中，有理数可以表示货币的数量，进行利息计算等。
5.3 有理数的拓展
有理数是数的一个重要分支，还有其他类型的数如无理数、实数、复数等。无理数是无法表示为两个整数的比的数，实数是有理数和无理数的统称，而复数是实数和虚数的组合。
结论
有理数是可以表示为两个整数的比的数，包括整数、分数和零。有理数可以进行加、减、乘、除运算，并且满足交换律、结合律和分配律。有理数可以用分数的形式表示，可以分为正数、负数和零。有理数的大小关系可以通过比较绝对值和符号来确定。有理数在实际生活中有广泛的应用，同时也是数学中其他类型数的基础。
有理数知识点总结
有理数知识点总结 有理数的定义 包含有理数分类的原则和方法，相反数、数轴、绝对值的概念和特点。 1.有理数的分类：有理数包括整数和分数，整数又包括正整数，0和负整数，分数包括正分数和负分数。“分类”的原则：(1)相称(不重、不漏);(2)有标准 2.非负数：正数与零的统称。 3.相反数：(1)定义:如果两个数的和为0.那么这两个数互为相反数. (2)求相反数的公式: a的相反数为-a. (3)性质：①a≠0时，a≠-a;②a与-a在数轴上的位置关于原点对称;③两个相反数的和为0,商为-1。 4.数轴： (1)定义(“三要素”):具有原点、正方向、单位长度的直线叫数轴。 作用：①直观地比较实数的大小;②明确体现绝对值意义;③所有的有理数可以在数轴上表示出来，所有的无理数如都可以在数轴上表示出来，故数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，数轴上的点与实数是一一对应关系。 5.绝对值：(1)代数定义：正数的绝对值是它的本身，0的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数。 (2)几何定义：数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。 ①符号"││”是“非负数”的标志; ②数a的绝对值只有一个; ③处理任何类型的题目，只要其中有"││”出现，其关键一步是去掉"││”符号。 有理数的乘方 1.乘方的意义 求n个相同因数的积的运算，叫乘方,其中,n为自然数，乘方的结果叫幂. 一般地,a·a·...·a(n个a)记作an,其中a叫底数,n叫指数,读作a的n次方或a的n次罪。指数为1时,可省略不写，底数是分数或负数的应添括号. 应用乘方的定义时，要注意分清底数、指数，如(-3)2与-32中,前者底数是-3,后者底数为3;前者指数对负数起作用，后者指数“管不住”负号，这两个幂不相等,是互为相反数. 注意(1)任何数的偶次幂都是非负数. (2)-1的偶次幂得1,-1的奇次幂为-1. (3)1的任何欢幂都得1,0的任何次幂都为0. 2.科学记数法
(完整版)有理数及其运算知识点汇总
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧有理数⎪⎩⎪⎨⎧)3,2,1:()3,2,1:( 如负整数如正整数整数) 0(零⎪⎩⎪⎨⎧----)8.4,3.2,31,21:( 如负分数分数)8.3,3.5,31,21:( 如正分数有理数及其运算知识点汇总 1、 2、数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（三者缺一不可）. 3、任何一个有理数,都可以用数轴上的一个点来表示。（反过来，不能说数轴上所有的点都表示有理数） 4、如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数.（0的相反数是0） 5、在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的侧，且到原点的距离相等。 数轴上两点表示的数，右边的总比左边的大。正数在原点的右边，负数在原点的左边. 6、绝对值的定义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作|a ｜. 7、正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的数；0的绝对值是0. ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>)0()0(0)0(||a a a a a a 或 ⎩⎨⎧<-≥)0()0(||a a a a a 8、绝对值的性质:除0外,绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数； 互为相反数的两数(除0外)的绝对值相等; 任何数的绝对值总是非负数，即｜a|≥0 9、比较两个负数的大小，绝对值大的反而小。比较两个负数的大小的步骤如下： ①先求出两个数负数的绝对值； ②比较两个绝对值的大小； ③根据“两个负数，绝对值大的反而小"做出正确的判断。 10、绝对值的性质： ①对任何有理数a ，都有｜a|≥0 ②若｜a ｜=0,则｜a|=0，反之亦然 ③若|a ｜=b ，则a=±b ④对任何有理数a ，都有｜a ｜=｜-a ｜ 11、有理数加法法则: ①同号两数相加，取相同符号,并把绝对值相加。 ②异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时取绝对值较大的数的符号，并 用较大数的绝对值减去较小数的绝对值。 ③一个数同0相加，仍得这个数。 12、加法的交换律、结合律在有理数运算中同样适用。 灵活运用运算律，使用运算简化,通常有下列规律：①互为相反的两个数,可以先相加； ②符号相同的数，可以先相加； ③分母相同的数，可以先相加； ④几个数相加能得到整数，可以先相加. 13、有理数减法法则： 减去一个数,等于加上这个数的相反数。 有理数减法运算时注意两“变”：①改变运算符号； 越来越大
有理数知识点总结
有理数基础知识 正数和负数 ⒈正数和负数的概念 负数：比0小的数正数：比0大的数0既不是正数，也不是负数 注意：①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0。（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a就不能做出简单判断） ②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。 2.具有相反意义的量 若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如： 零上8℃表示为：+8℃；零下8℃表示为：-8℃ 3.0表示的意义 ⑴0表示“没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人； ⑵0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。如： 有理数 1.有理数的概念 ⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数） ⑵正分数和负分数统称为分数 ⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。 理解：只有能化成分数的数才是有理数。①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。 注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。 2.有理数的分类 ⑴按有理数的意义分类⑵按正、负来分 正整数正整数 整数0 正有理数 负整数正分数 有理数有理数0 （0不能忽视） 正分数负整数 分数负有理数 负分数负分数 总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数） ②负整数、0统称为非正整数 ③正有理数、0统称为非负有理数
有理数知识点总结
有理数知识点总结 1. 有理数的定义和性质 1.1 有理数的定义 有理数是可以表示为两个整数的比的数，包括整数、分数和零。 1.2 有理数的性质 •有理数可以进行加、减、乘、除运算，并仍为有理数。 •有理数的加法和乘法满足交换律、结合律和分配律。 2. 有理数的表示和分类 2.1 有理数的表示 有理数可以用分数的形式表示，即分子和分母都是整数，并且分母不为零。 2.2 有理数的分类 有理数可以分为以下几类： - 正数：大于零的有理数。 - 负数：小于零的有理数。- 零：既不大于零也不小于零的有理数。 3. 有理数的比较和大小关系 3.1 有理数的比较 •对于同号的两个有理数，绝对值大的数较大。 •对于异号的两个有理数，正数较大。 3.2 有理数的大小关系 •两个正数比较大小，数值大的较大。 •两个负数比较大小，数值小的较大。 •正数大于零，零大于负数。 4. 有理数的运算 4.1 加法和减法 有理数的加法和减法满足交换律和结合律，可以通过以下步骤进行： - 对于同号 的两个有理数，将它们的绝对值相加（减），并保持符号不变。 - 对于异号的两 个有理数，将它们的绝对值相减，结果的符号由绝对值较大的数决定。
4.2 乘法和除法 有理数的乘法和除法满足交换律、结合律和分配律，可以通过以下步骤进行： - 两个有理数的乘积的符号由乘数的符号决定。 - 两个有理数的商的符号由被除数 和除数的符号决定。 5. 有理数的进一步思考 5.1 有理数的无穷性 有理数是无穷的，可以无限接近但无法达到某些无理数，如圆周率π和自然对数 的底数e。 5.2 有理数的应用 有理数在实际生活中有广泛的应用，如计算、测量、金融等领域。在金融中，有理数可以表示货币的数量，进行利息计算等。 5.3 有理数的拓展 有理数是数的一个重要分支，还有其他类型的数如无理数、实数、复数等。无理数是无法表示为两个整数的比的数，实数是有理数和无理数的统称，而复数是实数和虚数的组合。 结论 有理数是可以表示为两个整数的比的数，包括整数、分数和零。有理数可以进行加、减、乘、除运算，并且满足交换律、结合律和分配律。有理数可以用分数的形式表示，可以分为正数、负数和零。有理数的大小关系可以通过比较绝对值和符号来确定。有理数在实际生活中有广泛的应用，同时也是数学中其他类型数的基础。
有理数知识点总结
有理数知识点总结 理数是指可以用有限个整数相加、相减或相乘来表示的数。理数包括正整数、负整数、零和分数。 1. 整数：正整数、负整数和零都是整数。整数的运算有加法、减法和乘法。加法的运算结果仍然是整数，减法的运算结果也可以是整数，但乘法的运算结果不一定是整数，可能是分数。 2. 分数：分数由分子和分母组成，分子是整数，分母是非零整数。分数的运算包括加法、减法、乘法和除法。加法和减法的分数运算基本规则是先通分，然后进行相应的运算。乘法和除法的分数运算基本规则是分子相乘，分母相乘。两个分数相除可以变成将除数的分子分母互换，然后再进行乘法运算。 3. 小数：小数是分数的一种特殊形式，用有限的十进制数或无限循环的十进制数表示。小数可以转换为分数，将小数的数值部分作为分子，小数点后的位数作为分母的10的幂。 4. 数轴：数轴是用来表示有理数的直线，从左向右递增，可以根据数轴进行加法、减法和比较大小等操作。 5. 绝对值：绝对值是一个有理数的非负值。对于正数，它的绝对值等于本身；对于负数，它的绝对值等于去掉负号。绝对值的运算规则包括绝对值取正和绝对值取负。 6. 有理数的大小比较：有理数的大小比较可以根据数轴上的位置进行判断，也可以通过将有理数化为相同的分数形式进行比
较。在数轴上，离原点越远的数值越大。 7. 有理数的相反数：一个有理数的相反数是与它数值大小相等但符号相反的有理数。 8. 有理数的倒数：一个非零有理数的倒数是与它的分数定义中分子和分母交换位置后得到的分数。倒数的运算规则包括正数的倒数仍然是正数，负数的倒数是与它的绝对值的倒数相等。 这些是关于有理数的一些基本知识点总结，理解这些知识点有助于我们在数学运算中正确地使用有理数。
《有理数》知识点整理
第一章《有理数》知识点整理 1 和统称有理数，有理数又可以分为，，. 2. 0既不是，也不是，它是和的分界点。 3. 规定了，和的直线叫数轴。 有理数和无理数都可以用数轴上的点来表示，反过来，数轴上的任意一点都表示一个或，正数用原点边的点表示，负数用原点边的点来表示。 4 （1）数轴上表示的两个数，边的数总比边的数大。 (2)正数0，负数0，正数负数。 （3）两个正数，绝对值大的数值。两个负数，绝对值大的数值。 5 数轴上表示的一个数的点与叫做这个数的绝对值，绝对值是数。 6 相反数的概念： （1）从“图形”的角度：在数轴上原点的，且到原点的距离的两个点表示的数互为相反数。 （2）从“数”的角度：不同，相同的两个数互为相反数，0的相反数是。（3）若a,b互为相反数，则a+b= （常用于整体带入求值） 7 多重符号的化简，要关注的个数，当的个数为奇数个时，结果仍，当的个数为偶数个时，结果。 8 正数的绝对值等于，0的绝对值等于，负数的绝对值等 于。概述，的绝对值等于它本身，有个，的绝对值等于它相反数，有个。 9 有理数的加法法则： （1）同号两数相加，取的符号，并把绝对值。 （2）异号两数相加：当绝对值相等时，和为。即两个互为数相加和为； 当绝对值不等时，取的符号，并用较大的绝对值较小的绝对值。（3）一个数与0相加，仍得。 10 有理数的减法法则：减去一个数，等于这个数的。 11 有理数的乘法法则 （1）两数相乘，同号得，异号得，并把相乘。 （2）0与任何数相乘都得。 （3）几个不为0的有理数相乘，积的符号可以由的个数决定，当它的个数为奇数个时，积的符号为，当它的个数为偶数个时，积的符号为。几个数相乘，有一个因数为0，积为。 12 乘积为的两个数互为倒数。 13 有理数的除法法则：除以一个的数，等于这个数的。 14 求的运算叫做乘方，乘方的结果叫做。 表示乘方是要注意底数是和，对底数加括号。求幂时看清底数，分清是底数中的符号还是幂前负号。正数的任何次幂都是数，负数的次幂是数，负数的次幂是数，0的次幂得。 15一般地，一个大于或10 的数都可以用科学计数法来表示，形如，其中应满足a ，n为，n与整数位的关系是 . 16有理数的混合运算的顺序：先，再，最后，如果，先进行内的运算；如果有多重括号的，先算，再算，最后
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有理数知识点总结（2016 ） 第一章有理数 1.1正数和数 一、概念 1 、正数：大于零的数，有根据需要在正数前面加“+”（正号） 2 、数：在正数前面加上“—（” 号）的数明：一个数前面的“+”“—叫”做它的号，其中“+”有可以省略，但仍然表示正数， 有“+”是了它是正数，但“—”号是不能省略的。 3 、0 既不是正数也不是数，它是正数的分界。明：关于0 的——数，自然数，有理数，整数，非正数，非数，偶数， 相反数是本身，没有倒数，是本身，正数分界 二、用 在解决一些，可以定具有相反意的量的正。例如：收入正，支出，收支平衡0 零上正，零下， 分界 0 向北（）走正，向南（西）走，原地不0 加分正，扣分，不加不扣0 逆正，超正，低，准0 地上正，地下，地面基准0 盈余正，空，收支平衡0 水位上升正，水位下降， 水平面0 高于平均分正，低于平均分增加正，减少，不增不减0 海平面以上正，以下，海平面0 三、易易点 1 、-a 一定是数么？答案：不一定，需要分分析解析：当a大于0，-a就是数；当 a 等于 0 ， -a0 ；当 a 小于 0 ，-a 是正数因此，a不一定是正数也不一定是数，判断字母的正，需要分，也不能忽略0 的存在。 2 、海拔 0 米并不表示没有海拔，而是海拔中海平面的平均高度0 米。3、非正数：0和数非数：0和正数 1.2有理数 一、概念 1 、有理数：正整数，0，整数，正分数，分数都可以写成分数（含有限小数和无限循小数）的形式，的数称有理数。 2 、无理数：既不是正数也不是分数，就一定不是有理数。如无限不循小数π=3.1415926?它不能化成分数形式。 二、分 1 、按定分；有理数分整数（正整数、0、整数）；分数（正分数、分数） 2 、按性符号分；有理数分正有理数（正整数、正分数）、0、有理数（整数、分数） 三、数 1 、定：数是一条可以向两端无限延伸的直定三要素——原点，正方向，位度注意“ 定”二字，是三要素是根据 需要定的。 2 、画法：（必用直尺！） （ 1 ）先画一条直 （ 2 ）在直上任取一点，作原点，0 （3 ）取适当的度作位度，从原点向右（向左）每隔一个位度取一点。 3 、与有理数的关系所有的有理数都可以用数上的点表示，通常“正右左，原点中”；但数上的点不都来表示有理数。 四、相反数（重点） 1、概念 （1 ）几何定：在数上分位于原点两旁，到原点的距离相等的两个点所表示的数，叫做互相反数。 （2 ）代数定：只有符号不同的两个数叫做互相反数。例如， 2 和 -2；0的相反数是0 。 2 、表示方法以及多重符号的化（1）a的相反数是-a，里a是任意有理数(即正数、数、0)当a大于0，-a小于0（正数的相反数是数）当 a 小于 0 ， -a 大于 0（数的相反数是正数）当a等于0，-a等于0（0的相反数是0 ）（ 2 ）多重符号化方法：正数前有偶数个“—，”可以把“—一”起去掉 ~ 2 / 5 ~正数前有奇数个“—”，最后只留一个“—” 0前无有多少个“—，”化后仍是0 五、 1、概念 （1 ）几何定：一个数 a 的就是数上表示数 （2 ）代数定：正数的是它本身，0 的是a 的点与原点的距离，作｜a｜，作 0，数的是它的相反数。 a 的，不能是数。 2 、做需要慎重考0 的情况。 六、有理数大小比 1 、具体方法：将各数在同一条数上表示出来，那么从左到右的序就是从小到大的序，即——数＜0＜正数。 2、两个数，大的反而小。
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1.1 正数和负数 一、概念有理数知识点总结（2016 ） 第一章有理数 1 、正数：大于零的数，有时根据需要在正数前面加“+”（正号） 2 、负数：在正数前面加上“—”（负号）的数说明：一个数前面的“+”“—叫”做它的号，其中“+”有时可以省略，但仍然表示正数， 有时“+”是为了强调它是正数，但“—”号是绝对不能省略的。 3 、0 既不是正数也不是负数，它是正负数的分界。说明：关于0 的总结——实数，自然数，有理数，整数，非正数，非负数，偶数， 相反数是本身，没有倒数，绝对值是本身，正负数分界 二、实际应用 在解决一些实际问题时，可以认为规定具有相反意义的量的正负。例如：收入为正，支出为负，收支平衡为0 零上为正，零下为负，分界为0 向北（东）走为正，向南（西）走为负，原地不动为0 加分为正，扣分为负，不加不扣为0 逆时针为正，顺时针为负超标为正，低标为负，标准为0 地上为正，地下为负，地面基准为0 盈余为正，亏空为负，收支平衡为0 水位上升为正，水位下降为负， 水平面为0 高于平均分为正，低于平均分为负增加为正，减少为负，不增不减为0 海平面以上为正，以下为负，海平面记为0 三、易错易误点 1 、-a 一定是负数么？答案：不一定，需要分类分析解析：当 a 大于0 时，-a 就是负数；当 a 等于0 时，-a 为0 ；当a 小于0 时，-a 是正数因此，a 不一定是正数也不一定是负数，判断字母的正负时，需要分类讨论，也不能忽略0 的存在。 2 、海拔0 米并不表示没有海拔，而是说海拔中海平面的平均高度为0 米。 3 、非正数：0 和负数非负数：0 和正数 1.2 有理数 一、概念 1 、有理数：正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数（含有限小数和无限循环小数）的形式，这样的数称为有理数。 2 、无理数：既不是正数也不是分数，就一定不是有理数。如无限不循环小数π=3.1415926它不能化成分数形式。二、 分类 1 、按定义分类；有理数分为整数（正整数、0、负整数）；分数（正分数、负分数） 2 、按性质符号分类；有理数分为正有理数（正整数、正分数）、0 、负有理数（负整数、负分数） 三、数轴 1 、定义：数轴是一条可以向两端无限延伸的直线规定三要素——原点，正方向，单位长度注意“规定”二字，是说三要素是根据实际 需要认为规定的。 2 、画法：（必须用直尺！） （1 ）先画一条直线 （2 ）在直线上任取一点，作为原点，记为0 （3 ）选取适当的长度作为单位长度，从原点向右（向左）每隔一个单位长度取一点。 3 、与有理数的关系所有的有理数都可以用数 轴上的点表示，通常“正右负左，原点中间”；但数轴上的点不都来表示有理数。 四、相反数（重点） 1 、概念 （1 ）几何定义：在数轴上分别位于原点两旁，到原点的距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。 （2 ）代数定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。例如， 2 和-2 ；0 的相反数是0 。 2 、表示方法以及多重符号的简化（1 ）a 的相反数是-a ，这里 a 是任意有理数( 即正数、负数、0) 当a 大于0 时，-a 小于0 （正数的相反数是负数）当a 小于0 时，-a 大于0（负数的相反数是正数）当 a 等于0 时，-a 等于0 （0 的相反数是0 ）（2 ）多重符号化简方法：正数前有偶数个“—”，可以把“—”一起去掉~ 2 / 5 ~ 正数前有奇数个“—”，最后只留一个“—”0前无论有多少个“—”，化简后仍是0 五、绝对值 1 、概念 （1 ）几何定义：一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点与原点的距离，记作｜a｜，读作 a 的绝对值，绝对值不能是负数。 （2 ）代数定义：正数的绝对值是它本身，0 的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数。 2 、做题时需要慎重考虑0 的情况。 六、有理数大小比较 1 、具体方法：将各数在同一条数轴上表示出来，那么从左到右的顺序就是从小到大的顺序，即为——负数＜0 ＜正数。 2 、两个负数，绝对值大的反而小。
有理数知识点整理
有理数知识点整理 有理数知识点整理 数学是一门基础学科，其中有理数是非常重要的基础知识之一。本文将为大家梳理有理数的定义、性质和相关知识点，帮助大家更好地理解和掌握这一内容。 一、有理数的定义 有理数是指可以表示为两个整数之比的数，其中分母不为零。具体地，有理数可以写成分数形式，如$\frac{m}{n}$（其中m为分子，n为分母），且n不为零。整数也是有理数的一种，当分母为1时，分数可以简化为整数。 二、有理数的性质 1、有理数是封闭的，即所有的有理数都可以表示为分数形式，并且不存在无限循环的有理数。 2、有理数是有限的，即有理数可以用有限的数字和符号来表示，这一点在计算机科学中具有重要意义。 3、有理数具有加法和乘法的交换律和结合律，即对于任何有理数a 和b，有：（1）a+b=b+a；（2）a×b=b×a；（3）（a+b）+c=a+（b+c）；（4）（a×b）×c=a×（b×c）。
4、有理数具有乘法分配律，即对于任何两个有理数a和b，以及任意整数c，有：（1）（a+b）×c=ac+bc；（2）a×（b+c）=ab+ac。 三、相关知识点 1、有理数的加减法：有理数的加减法遵循交换律和结合律，即对于任何有理数a和b，有：（1）a+b=b+a；（2）a-b=-（b-a）。 2、有理数的乘除法：有理数的乘除法遵循交换律和结合律，即对于任何两个有理数a和b，有：（1）a×b=b×a；（2）（a×b）×c=a×（b×c）。同时，对于任何有理数a和b（其中b不为零），有：（1）a÷b=a×（1/b）；（2）a÷(1/b)=ab。 3、有理数的化简：通过约分和通分，可以将有理数化简为最简形式，即分子和分母没有公共因数。同时，对于任何有理数a和b（其中b 不为零），有：（1）a/b=(-a)/(-b)；（2）a/(b/c)=ac/b；（3）1/a=1×(1/a)；（4）(-1)/a=(-1)×(1/a)。 通过以上整理的有理数知识点，我们可以更好地理解和掌握有理数的定义、性质和相关知识点。这些知识在数学学习和实际应用中都具有重要意义。希望大家能够认真学习和掌握这些内容，为后续的学习和工作打下坚实的基础。
《有理数》知识点 整理
有理数 （1）具有相反意义的量 在具有相反意义的量中，我们把其中的一种量用正数表示，另一种量用负数表示 正数前面的+号通常省略，在正数前面加负号变为负 0既不是正数，也不是负数 我们把0和正数统称为非负数，0和负数统称为非正数 正整数、0、负整数统称为整数，正分数和负分数统称为分数，整数和分数统称为有理数 （2）数轴 在一条直线上取一点o，把点o叫做原点，用原点表示数0, 规定直线的正方向（标上箭头），通常把直线上原点向右方向规定为正，左为负 选取适当的长度为单位长度 像这样，规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴 （3）相反数 像-5和5这样，如果两个数只有符号不同，那么其中一个数叫做另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数 0的相反数是0 ，两个互为相反数的和为0 （4）绝对值 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0 在数轴上，任意一点到原点之间的距离叫做这个数的绝对值 一个数的绝对值是非负数 （5）有理数的大小比较 正数大于负数，0大于负数 两个负数，绝对值大的反而小 在以向右为正反向的数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大 （6）有理数的加法和减法 两个负数相加，结果是负数，并且把他们的绝对值相加 异号两数相加，当两数的绝对值不相等时，取绝对值大的数的符号，并且用较大的绝对值减去较小的绝对值 互为相反数的两个数相加得0 。一个数与0相加，仍得这个数 减去一个数，等于加上这个数的相反数 （7）有理数的乘法和除法 异号两数相乘得负数，并且把绝对值相乘 任何数与0相乘，都得0 同号两数相加得正数，并且把绝对值相乘 同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，并把他们的绝对值相除 0除以任何一个不为0的数都得0 除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数 （8）乘方 我们把aⁿ读做a的n次方，也读做a的n次幂 求几个相同因数的乘积的运算，叫做乘方，在aⁿ中，a叫做底数，n叫做指数 特别的，a²通常读做a的平方，a³通常读做a的立方，a¹规定为a （9）有理数混合运算 先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号
有理数知识点总结
有理数知识点总结 有理数知识点总结 有理数是数学中的一个重要概念，是整数和分数的统称。它们常常出现在我们日常生活和学习中的各种问题中。理解和掌握有理数的相关知识点，对于提高我们的数学水平和解决实际问题至关重要。本文将对有理数的基本概念、性质、四则运算、化简以及应用等方面的知识进行总结和讨论。 一、有理数的基本概念 1. 整数和分数：整数包括正整数、零和负整数；分数由分子 和分母组成，分子表示几份，分母表示一份被分成几等份。 2. 有理数的定义：有理数指可以表示为两个整数的比值形式 的数，分数和整数都是有理数。 3. 有理数的分类：有理数可分为正有理数、零和负有理数。 二、有理数的性质 1. 有理数的比较性质：对于任意两个有理数a和b，存在以 下关系：a=b，a>b或者a
则进行计算。 2. 有理数的减法：a-b的差可以表示为a和-b的和，可以化 为加法问题进行计算。 3. 有理数的乘法：a×b的积可以根据同号得正、异号得负的 原则进行计算。 4. 有理数的除法：a÷b的商可以表示为a和b的倒数的乘积，除法问题可以转化为乘法问题进行计算。 四、有理数的化简 1. 有理数的约分：对于分数的分母和分子，如果它们有公约数，则可以约分。 2. 有理数的换算：将分数和整数进行相互转换，可以将分数 化为整数或将整数化为分数。 3. 有理数的化简：对于复杂的有理数表达式，可以进行括号 展开、合并同类项、提取公因数等化简操作。 五、有理数的应用 1. 有理数在日常生活中的应用：有理数的概念和运算可应用 于数学建模和实际问题求解中，如物品销售、温度计算、比赛得分等。 2. 有理数在几何中的应用：有理数可用于描述直线的斜率、 点的坐标以及图形的面积等几何概念。 3. 有理数在经济学中的应用：有理数可以帮助我们计算损益、预估收益率和计算经济指标等。 4. 有理数在科学中的应用：有理数的运算可以应用于物理学、化学、生物学等科学领域中的计算和研究。 通过对有理数的基本概念、性质、四则运算、化简以及应用的总结和讨论，我们可以更好地理解和掌握有理数的相关知识点。在实际问题求解中，运用有理数知识可以帮助我们清晰
有理数知识点总结
有理数知识点总结 有理数是数学中的一种基本概念，它包括整数和分数。在学习数学过程中，我们经常会遇到有理数的运算、大小比较和绝对值等问题。下面，我将总结一下有理数的相关知识点。 一、有理数的概念与性质 有理数是可以表示为两个整数之比的数，分母不为零。例如，1/2、3/4、-5/6都是有理数。举个例子，如果把一个苹果分成2等份，每份就是1/2，我们可以用有理数1/2来代表这个概念。有理数可以是正数、负数或零。 二、有理数的运算 1. 有理数的加法和减法：当两个有理数的分母相同时，只需对分子进行加减运算，并保持分母不变。例如，1/2+3/2=4/2=2。当两个有理数的分母不同时，可先通分，然后再进行加减运算。 2. 有理数的乘法和除法：有理数的乘法相当于分母相乘，分子相乘。例如，1/2*3/4=3/8。有理数的除法可以转化为乘法的倒数运算。例如，1/2÷3/4=1/2*4/3=4/6=2/3。 3. 有理数的混合运算：在有理数的混合运算中，通常按照先乘除后加减的原则进行计算。例如，2-1/3*4=2-4/3=6/3-4/3=2/3。
三、有理数的大小比较 在进行有理数的大小比较时，我们可以先将其转化为相同分母 的分数，然后比较分子的大小。例如，对于比较1/2与3/4的大小，可以将其转化为2/4和3/4，显然3/4大于1/2。 四、有理数的绝对值 有理数的绝对值表示该数到0的距离，即该数的非负值。对于 正数，它的绝对值等于它本身。对于负数，它的绝对值等于它的 相反数。例如，|3|=3，|-5|=5。 五、有理数的应用 有理数在我们的日常生活中有着广泛的应用。在计量、商业、 金融等领域，都需要运用到有理数的概念和运算。比如超市打折 商品的价格，利率的计算等等，都是有理数的具体应用。 总结一下，有理数是数学中的一种基本概念，它包括整数和分数，并且具有一定的性质和规律。在运算过程中，我们需要掌握 有理数的加法、减法、乘法和除法，以及绝对值和大小比较等概念。有理数在日常生活中的应用也不可忽视。通过对有理数知识
有理数知识点重点难点易错点
有理数知识点重点难点易 错点 The following text is amended on 12 November 2020.
第一章有理数 一、知识框架图 知识点详列： 1、正数和负数：数0既不是正数也不是负数。 正数和负数是表示两种具有相反意义的量。 2、有理数分类 （1）按定义分类：（2）按性质符号分类： 3、数轴：通常，用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。 它满足以下要求： （1）在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点； （2）通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向； （3）选取适当的长度为单位长度。 4、相反数：绝对值相等，只有符号不同的两个数叫做互为相反数。0的相反数仍是 0. 5、绝对值：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记做 |a|。 由绝对值的定义可得：|a-b|表示数轴上a点到b点的距离。 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 6、有理数比较大小 正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小。 7、有理数的四则运算 （1）有理数的加法 加法法则： ①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 ②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对 值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0. ③一个数同0相加，仍得这个数。 运算律：
加法交换律：a+b=b+a 加法结合律:（a+b）+c=a+（b+c） (2)有理数的减法 可转化为加法进行，减去一个数等于加上这个数的相反数，即a-b=a+(-b)。 正-正=正+负；正-负=正+正； 负-正=负+负；负-负=负+正。 （4）有理数的乘法 乘法法则： ①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 ②任何数同0相乘，都得0. ③乘积是1的两个数互为倒数。 ④几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积为负。 运算律： 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：（ab）c=ab+ac (5)有理数的除法 除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数，即 1 (0) a b a b b ÷=⋅≠。 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不为0的数都得0。 会用计算器进行相关计算。 8、有理数的乘方 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。 n a，读作a的n次方，或者a的n次幂。其中a称为底数，n为指数。 法则：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。 9、有理数的混合运算顺序 （1）“先乘方，再乘除，最后加减”的顺序进行； （2）同级运算，从左到右进行；
有理数知识点总结
有理数基础知识 正数和负数 1•正数和负数的概念 负数：比0小的数正数：比0大的数0既不是正数，也不是负数注意：①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a 仍是0。（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a就不能做出简单判断） ②正数有时也可以在前面加“ +”，有时“ +”省略不写。所以省略“ +”的正数的符号是正号。 2. 具有相反意义的量若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如：零上8C表示为：+8C ；零下8 C表示为：-8 C 3.0表示的意义 ⑴0表示“没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人； ⑵0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。如： 有理数 1. 有理数的概念 ⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数） ⑵正分数和负分数统称为分数 ⑶正整数，0,负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。理解：只有能化成分数的数才是有理数。①n是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8 …也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。 2. 有理数的分类 正整数『正有理 有理数＜ 正分数⑴按有理数的意义分类⑵按正、负来分 （0不能忽视）r负整数I负整数 负分数
总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数） ②负整数、0统称为非正整数 ③正有理数、0统称为非负有理数 ④负有理数、0统称为非正有理数 数轴 1•数轴的概念 规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。 注意：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；⑶同一数轴上的单位长度要统一；⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。 2. 数轴上的点与有理数的关系 ⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边 的点表示，0用原点表示。 ⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数 轴上的点不是--- 对应关系。（如，数轴上的点n不是有理数） 3. 利用数轴表示两数大小 ⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大； ⑵正数都大于0,负数都小于0，正数大于负数； ⑶两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。 4. 数轴上特殊的最大（小）数 ⑴最小的自然数是0,无最大的自然数； ⑵最小的正整数是1,无最大的正整数； ⑶最大的负整数是-1，无最小的负整数 5. a可以表示什么数 ⑴a>0表示a是正数；反之，a是正数，则a>0； ⑵a<0表示a是负数；反之，a是负数，贝U a<0 ⑶a=0表示a是0;反之，a是0,，贝U a=0 6. 数轴上点的移动规律 根据点的移动，向左移动几个单位长度则减去几，向右移动几个单位长度则加上几，从而得到所需的点 的位置。 相反数 ••相反数 只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。 注意：⑴相反数是成对出现的；⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负； ⑶0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。
有理数知识点总结
有理数知识点总结 1、正数和负数的有关概念 (1)正数：比0大的数叫做正数; 负数：比0小的数叫做负数; 0既不是正数，也不是负数。 (2)正数和负数表示相反意义的量。 2、有理数的概念及分类 3、有关数轴 (1)数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。数轴是一条直线。 (2)所有有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不一定都是有理数。 (3)数轴上，右边的数总比左边的数大;表示正数的点在原点的右侧，表示负数的点在原点的左侧 4、绝对值与相反数 (1)绝对值：在数轴上表示数a的点与原点的间隔，叫做a的绝对值，记作： 。 一个正数的绝对值等于本身，一个负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0.即 (2)相反数：符号不同、绝对值相等的两个数互为相反数。 假设a、b互为相反数，那么a+b=0; 相反数是本身的是0，正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。 (3)绝对值最小的数是0;绝对值是本身的数是非负数。
任何数的绝对值是非负数。 最小的正整数是1，最大的负整数是-1。 5、利用绝对值比较大小 两个正数比较：绝对值大的那个数大; 两个负数比较：先算出它们的绝对值，绝对值大的反而小。 6、有理数加法 (1)符号相同的两数相加：和的符号与两个加数的符号一致，和的绝对值等于两个加数绝对值之和. (2)符号相反的两数相加：当两个加数绝对值不等时，和的符号与绝对值较大的加数的符号相同，和的绝对值等于加数中较大的绝对值减去较小的绝对值;当两个加数绝对值相等时，两个加数互为相反数，和为零. (3)一个数同零相加，仍得这个数. 加法的交换律：a+b=b+a 加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 7、有理数减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数 8、在把有理数加减混合运算统一为最简的形式，负数前面的加号可以省略不写. 例如：14+12+(-25)+(-17)可以写成省略括号的形式：14+12 -25-17，可以读作“正14加12减25减17”，也可以读作“正14、正12、负25、负17的和.” 9、有理数的乘法 两个数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘;任何数与0相乘都得0。 第一步：确定积的符号第二步：绝对值相乘
有理数知识点归纳
有理数知识点归纳 〔一〕正负数 1、正数：大于0的数。 2、负数：小于0的数。 3、0即不是正数也不是负数。 4、正数大于0，负数小于0，正数大于负数。 〔二〕有理数 1、有理数：由整数和分数组成的数。包括：正整数、0、负整数，正分数、负分数。可以写成两个整之比的形式。〔无理数是不能写成两个整数之比的形式，它写成小数形式，小数点后的数字是无限不循环的。如：π〕 2、整数：正整数、0、负整数，统称整数。 3、分数：正分数、负分数。 〔三〕数轴 数轴：用直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。〔画一条直线，在直线上任取一点表示数0，这个零点叫做原点，规定直线上从原点向右或向上为正方向；选取适当的长度为单位长度，以便在数轴上取点。〕 2、数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。 3、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。0的相反数还是0。 4、肯定值：正数的肯定值是它本身，负数的肯定值是它的相
反数；0的肯定值是0，两个负数，肯定值大的反而小。 〔四〕有理数的加减法 1、先定符号，再算肯定值。 2、加法运算法则：同号相加，到相同符号，并把肯定值相加。异号相加，取肯定值大的加数的符号，并用较大的肯定值减去较小的肯定值。互为相反数的两个数相加得0。一个数同0相加减，仍得这个数。 3、加法交换律：a+b=b+a两个数相加，交换加数的位置，和不变。 4、加法结合律：〔a+b〕+c=a+〔b+c〕三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 5、a—b=a+〔—b〕减去一个数，等于加这个数的相反数。 〔五〕有理数乘法〔先定积的符号，再定积的大小〕 1、同号得正，异号得负，并把肯定值相乘。任何数同0相乘，都得0。 2、乘积是1的两个数互为倒数。 3、乘法交换律：ab=ba 4、乘法结合律：〔ab〕c=a〔bc〕 5、乘法安排律：a〔b+c〕=ab+ac 〔六〕有理数除法 1、先将除法化成乘法，然后定符号，最终求结果。 2、除以一个不等于0的数，等于乘这个数的`倒数。
有理数知识点梳理
《有理数》知识点总结归纳 正数和负数 ⒈正数和负数的概念 负数：比0小的数正数：比0大的数0既不是正数,也不是负数 注意：①字母a可以表示任意数,当a表示正数时,-a是负数；当a表示负数时,-a是正数；当a表示0时,-a仍是0.〔如果出判断题为：带正号的数是正数,带负号的数是负数,这种说法是错误的,例如+a,-a就不能做出简单判断〕 ②正数有时也可以在前面加"+〞,有时"+〞省略不写.所以省略"+〞的正数的符号是正号. 2.具有相反意义的量 若正数表示某种意义的量,则负数可以表示具有与该正数相反意义的量,比如： 零上8℃表示为：+8℃；零下8℃表示为：-8℃ 3.0表示的意义 ⑴0表示" 没有〞,如教室里有0个人,就是说教室里没有人； ⑵0是正数和负数的分界线,0既不是正数,也不是负数.如： 有理数 1.有理数的概念 ⑴正整数、0、负整数统称为整数〔0和正整数统称为自然数〕 ⑵正分数和负分数统称为分数 ⑶正整数,0,负整数,正分数,负分数都可以写成分数的形式,这样的数称为有理数. 理解：只有能化成分数的数才是有理数.①π是无限不循环小数,不能写成分数形式,不是有理数.②有限小数和无限循环小数都可化成分数,都是有理数. 注意：引入负数以后,奇数和偶数的X围也扩大了,像-2,-4,-6,-8…也是偶数,-1,-3,-5…也是奇数. 2.有理数的分类 ⑴按有理数的意义分类⑵按正、负来分 正整数正整数 整数 0 正有理数 负整数正分数 有理数有理数 0 〔0不能忽视〕正分数负整数 分数负有理数 负分数负分数 总结：①正整数、0统称为非负整数〔也叫自然数〕 ②负整数、0统称为非正整数 ③正有理数、0统称为非负有理数 ④负有理数、0统称为非正有理数 数轴 ⒈数轴的概念 规定了原点,正方向,单位长度的直线叫做数轴.
第一章.有理数知识点归纳总结
第一章 有理数 1、正数和负数的有关概念 （1）正数：比0大的数叫做正数；负数：比0小的数叫做负数；0既不是正数，也不是负数。 （2）正数和负数表示相反意义的量。 2、有理数的概念及分类 有理数是整数和分数的统称。通常有两种分类： 0⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪ ⎧⎪⎨⎪⎩⎩ 正整数整数负整数有理数正分数分数负分数 ⎧⎧⎨ ⎪⎩⎪⎪ ⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数 正数正分数有理数负整数负数负分数 3、有关数轴 （1）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。数轴是一条直线。 （2）所有有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不一定都是有理数。 （3）数轴上，右边的数总比左边的数大；表示正数的点在原点的右侧，表示负数的点在原点的左侧。 4、绝对值与相反数 （1）绝对值：在数轴上表示数a 的点与原点的距离，叫做a 的绝对值，记作：a 。 一个正数的绝对值等于本身，一个负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0. (0) 0(0) (0)a a a a a a >⎧⎪ ==⎨⎪-<⎩ （2）相反数：符号不同、绝对值相等的两个数互为相反数。 若a 、b 互为相反数，则a+b=0； 相反数是本身的是0，正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。 （3）绝对值最小的数是0；绝对值是本身的数是非负数。任何数的绝对值是非负数。 本身之迷 ①倒数是它本身的数是±1 ②绝对值是它本身的数是非负数（正数和0） ③平方等于它本身的数是0，1 ④立方等于经本身的数是±1，0 ⑤偶数次幂等于本身的数是0、1 ⑥奇数次幂等于本身的数是±1，0 ⑦相反数是它本身的数是0 数之最 ①最小的正整数是1 ②最大的负整数是-1 ③绝对值最小的数是0 ④平方最小的数是0 ⑤最小的非负数是0 ⑥最大的非正数0 ⑦没有最大和最小的有理数 ⑧没有最大的正数和最小的负数 5、利用绝对值比较大小 两个正数比较：绝对值大的那个数大； 两个负数比较：先算出它们的绝对值，绝对值大的反而小。 例题讲解： 1、将下列各数填入相应的集合里 -3 ，0 ，20 ，-1.25 ,411 ,12-- ,-(-5) ,2 21⎪⎭ ⎫ ⎝⎛- （1） 正数集合：