导数在实际生活中的应用

导数在实际生活中的应用

1．(江苏省启东中学高三质量检测)曲线y ＝1

3

x 3＋x 在点????1，43处的切线与坐标轴围成的 三角形面积为________．

解析：曲线y ＝1

3x 3＋x 在点????1，43处的切线斜率为y ′|x ＝1＝????13x 3＋x ′x ＝1＝(x 2＋1)|x ＝1 ＝2，所以切线的方程为y －43＝2(x －1)，即y ＝2x －2

3

，与x 轴的交点和y 轴的交点为

????13，0，????0，－23，所求面积为S ＝12×13×23＝19

.

答案：1

9

2．(江苏省高考命题研究专家原创卷)设m ∈R ，若函数y ＝e x ＋2mx ，有大于零的极值

点， 则m 的取值范围是________．

解析：因为函数y ＝e x ＋2mx ，有大于零的极值点，所以y ′＝e x ＋2m ＝0有大于零的实 根．令y 1＝e x ，y 2＝－2m ，则两曲线的交点必在第一象限．由图象可得－2m >1， 即m <－1

2.

答案：m <－1

2

3．(江苏省高考名校联考信息优化卷)已知f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x ，若f (x )在区间(0,1]上恒

为单调函数，则实数a 的取值范围为________．

解析：由题意知，f ′(x )＝2x ＋2＋a x ＝2x 2

＋2x ＋a

x

， ∵f (x )在区间(0,1]上恒为单调函数，∴f ′(x )在区间(0,1]上恒大于等于0或恒小于等于0， ∴2x 2＋2x ＋a ≥0或2x 2＋2x ＋a ≤0在区间(0,1]上恒成立，即a ≥－(2x 2＋2x )或a ≤－(2x 2 ＋2x )，而函数y ＝－2x 2－2x 在区间(0,1]的值域为[－4,0)，∴a ≥0或a ≤－4. 答案：a ≥0或a ≤－4

4．已知f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＞0，f ′(x )＞0，则函数y ＝xf (x )的递增区间

是________．

解析：当x ＞0时，y ′＝[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )＞0，∴y ＝xf (x )在(0，＋∞)上递增． 又f (x )为奇函数，∴y ＝xf (x )为偶函数，∴y ＝xf (x )在(－∞，0)上递减．

答案：(0，＋∞)

5．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，

已知总收益R 与年产量x 的关系是

R ＝R (x )＝?????

400x －12x 2 (0≤x ≤400)

80 000 (x >400)，则总利润最大时，每年生产的产品是________．

解析：由题意得，总成本函数为C ＝C (x )＝20 000＋100x ，所以总利润函数为

P ＝P (x )＝R (x )－C (x )＝???

??

300x －x 2

2－20 000 (0≤x ≤400)，

60 000－100x (x >400)，

而P ′(x )＝?

????

300－x (0≤x ≤400)，

－100 (x >400)，令P ′(x )＝0，得x ＝300，易知x ＝300时，

P 最大． 答案：300

6． (江苏省高考命题研究专家原创卷)定义在(0，＋∞)上的函数f (x )的导函数f ′(x )<0

恒成立，且f (4)＝1，若f (x ＋y )≤1，则x 2＋y 2＋2x ＋2y 的最小值是________． 解析：由f (x )在(0，＋∞)上的导函数f ′(x )<0恒成立，得f (x )在(0，＋∞)上单调递减． 因为f (x ＋y )≤1，f (4)＝1，则f (x ＋y )≤f (4)，所以x ，y 满足x ＋y ≥4且x >0，y >0. 又因为x 2＋y 2＋2x ＋2y ＝(x ＋1)2＋(y ＋1)2－2，(x ＋1)2＋(y ＋1)2可以看作是(x ，y )到 (－1，－1)的距离的平方，所以由线性规划知识可得x 2＋y 2＋2x ＋2y 的最小值是16. 答案：16

7．(江苏省高考命题研究专家原创卷)幂指函数y ＝f (x )g (x )在求导数时，可以运用对数法：

在函数解析式两边求对数得ln y ＝g (x )ln f (x )，两边求导得

y ′y ＝g ′(x )ln f (x )＋g (x )f ′(x )f (x )，于是y ′＝f (x )g (x )????g ′(x )ln f (x )＋g (x )f ′(x )f (x ).运用此方法 可以探求得知y ＝

(x >0)的一个单调递增区间为________．

解析：由题意得y ′＝????－1x

2ln x ＋1x 2＝

－2(1－ln x )，由y ′>0得0

答案：(0，e) 二、解答题

8．(2010·东台中学高三诊断)

如图所示：一吊灯的下圆环直径为4 m ，圆心为O ，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈 水平状态，并且与天花板的距离(即OB )为2 m ，在圆环上设置三个等分点A 1，A 2， A 3.点C 为OB 上一点(不包含端点O 、B )，同时点C 与点A 1，A 2，A 3，B 均用细绳 相连接，且细绳CA 1，CA 2，CA 3的长度相等．设细绳的总长为y m.

(1)设∠CA 1O =θ(rad)，将y 表示成θ的函数关系式；

(2)请你设计θ，当角θ正弦值是多少时，细绳总长y 最小，并指明此时BC 应为多长． 解：(1)在Rt △COA 1中，CA 1=，CO =2tan θ，

y =3CA 1+CB =3·+2-2tan θ=

+2(0<θ<π

4

)．

(2)y ′=2

=2

，令y ′=0，则sin θ=1

3

.

当sin θ>13时，y ′>0；sin θ<1

3

时，y ′<0，∵y =sin θ在

上是增函数，

∴当角θ满足sin θ=13时，y 最小，最小为42+2；此时BC =2－2

2 (m)．

9.

(江苏省高考命题研究专家原创卷)一根水平放置的长方形枕木的安全负荷与它的宽度a 成正比，与它的厚度d 的平方成正比，与它的长度l 的平方成反比．

(1)将此枕木翻转90°(即宽度变为了厚度)后，枕木的安全负荷会变大吗？为什么？ (2)现有一根横断面为半圆(半圆的半径为R)的柱形木材，用它来截取成长方形的枕木， 其长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全负荷最大？

解：(1)由题可设，安全负荷y 1=k · ( k 为正常数)，翻转90°后，安全负荷y 2=k ·.

∵，∴当0＜d ＜a 时，y 1

小；

当d =a 时，y 1=y 2，安全负荷不变．故将此枕木翻转90°后，安全负荷不一定变大． (2)设截取的宽为a ，高为d ，则

，即a 2+4d 2=4R 2.

∵枕木的长度不变．∴u =ad 2最大时，安全负荷最大．

由题意可设u (a )=ad 2=a (R 2-1

4a 2)，u ′(a )=R 2－a 2，令u ′(a )=0，可得a =

R.

当0

R 时，u ′(a )>0，函数u(a )单调递增；当

R

u (a)单调递减．所以当a =R ，d =R 时，u (a )取得最大，即安全负荷最大．

10．(江苏省高考名校联考信息优化卷)已知函数f (x )＝x 2＋a ln x .

(1)当a ＝－2时，求函数f (x )的单调区间和极值；

(2)若g (x )＝f (x )＋2

x 在[1，＋∞)上是单调增函数，求实数a 的取值范围．

解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．当a ＝－2时，f ′(x )＝2x －2x ＝2(x ＋1)(x －1)

x .

当x 变化时，f ′(x )和f (x )的值变化情况如下表：

由上表可知，函数f (x )的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，＋∞)，极小值是 f (1)＝1.

(2)由g (x )＝x 2＋a ln x ＋2

x ，得g ′(x )＝2x ＋a x －2x

2.

若函数g (x )为[1，＋∞)上的单调递增函数，则g ′(x )≥0在[1，＋∞)上恒成立， 即不等式2x －2x 2＋a x ≥0在[1，＋∞)上恒成立．也即a ≥2

x －2x 2在[1，＋∞)上恒成立.

令φ(x )＝2x －2x 2，则φ′(x )＝－2x 2－4x .当x ∈[1，＋∞)时，φ′(x )＝－2

x 2－4x <0，

∴φ(x )＝2

x －2x 2在[1，＋∞)上为减函数，∴φ(x )max ＝φ(1)＝0，∴a ≥0.故a 的取值范围 为[0，＋∞)．

1．某轮船公司争取一个相距1 000公里的甲、乙两地的客运航线权，已知轮船平均载

客人数为400人，轮船每小时使用的燃料费用和轮船的航行速度的立方成正比，轮船 的最大速度为25公里/小时．当轮船的速度为10公里/小时，它的燃料费用是每小时30 元，轮船的其余费用(与速度无关)都是每小时480元．若公司打算从每个乘客身上获利 10元，试为该公司设计一种较为合理的船票价格．

解：设轮船航行速度为v 公里/小时，则0

y ＝480·1 000v ＋1 000v ·a v 3.(其中a 为比例系数)．由条件30＝a ·103，所以a ＝3

100.代入上

式有y ＝480 000v ＋30v 2

，v ∈(0,25]，所以y ′＝－480 000v 2＋60v ＝60(v 3－8 000)v 2

令y ′＝0，解得v ＝20.当v <20时，y ′<0；当v >20时，y ′>0，又v ＝20是(0,25]内 唯一极值点且是极小值点，于是，当v ＝20时，y 有最小值36 000元．所以平均每个 乘客的费用为36 000

400＝90(元)．因此，该公司可定票价为100元．

2．(2010·扬州中学上学期期中卷)已知函数f (x )＝ln x

x .

(1)求函数f (x )的单调区间；(2)设a >0，求函数f (x )在[2a,4a ]上的最小值；

(3)某同学发现：总存在正实数a 、b (a

解：(1)定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－ln x

x2，令f′(x)＝

1－ln x

x2＝0，则x＝e，当x变

化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

∴f(x)的单调增区间为(0，e)；单调减区间为(e，＋∞)．

(2)由(1)知f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，所以，

当4a≤e，即a≤e

4时，f(x)在[2a,4a]上单调递增，∴f(x)min＝f(2a)；

当2a≥e，即a≥e

2时，f(x)在[2a,4a]上单调递减，∴f(x)min＝f(4a)

当2a

4

2时，f(x)在[2a，e]上单调递增，f(x)在[e,4a]上单调递减，

∴f(x)min＝min{f(2a)，f(4a)}．下面比较f(2a)，f(4a)的大小，∵f(2a)－f(4a)＝ln a 4a，

∴若e

4

ln 2a

2a；若1

e

2，

则f(2a)－f(4a)>0，此时f(x)min＝f(4a)＝ln 4a 4a，

综上得：当0

2a；当a>1时，f(x)min＝f(4a)＝

ln 4a

4a.

(3)正确，a的取值范围是1

注:理由如下,考虑几何意义,即斜率,当x＋∞时，f(x)→0.

或者由极限得

又∵f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减

∴f(x)的大致图象如上图所示，∴总存在正实数a、b且1

使得f(a)＝f(b)，即ln a

a＝

ln b

b，即a

b＝b a.

12．某商店经销一种奥运纪念品，每件产品成本为30元，且每卖出一件产品，需向税务部门上交a元(a为常数，2≤a≤5)的税收，设每件产品的日售价为x元(35≤x≤41)，根据市场调查，日销售量与e x(e为自然对数的底数)成反比，已知每件产品的日售价为40元时，日销售量为10件．

(1)求商店的日利润L(x)元与每件产品的日售价x元的函数关系式；

(2)当每件产品的日售价为多少元时该商店的日利润L(x)最大，说明理由．

解析： (1)设日销售量为k e x 件，则k

e 40＝10，

∴k ＝10e 40.

则日销售量为10e 40

e x 件，每件利润为(x －30－a )元，

则日利润L (x )＝10e 40·x －30－a

e x (35≤x ≤41)．

(2)L ′(x )＝10e 40

·31＋a －x

e x

(35≤x ≤41)．

①当2≤a ≤4时，33≤31＋a ≤35， L ′(x )≤0，L (x )在[35,41]上是减函数． ∴当x ＝35时，L (x )的最大值为10(5－a )e 5. ②当4

当x ∈(35，a ＋31)时，L ′(x )＞0，L (x )在(35，a ＋31)上是增函数． 当x ∈(a ＋31,41]时，L ′(x )<0，L (x )在(a ＋31,41]上是减函数． ∴当x ＝a ＋31时，L (x )的最大值为10e 9－a .

综上可知，当2≤a ≤4时，日售价为35元可使日利润L (x )最大， 当4

10.在直径为d 的圆木中，截取一个具有最大抗弯强度的长方体梁，则矩形面的长为_____________.（强度与bh 2成正比，其中h 为矩形的长，b 为矩形的宽）

解析:右图为圆木的横截面, 由b 2+h 2＝d 2, ∴bh 2＝b(d 2-b 2). 设f(b)＝b(d 2-b 2), ∴f′(b)＝-3b 2+d 2. 令f′(b)＝0,由b ＞0, ∴d b 33=

,且在(0,d 3

3］上f′(b)＞0, 在［

d 3

3

,d)上,f′(b)＜0.∴函数f(b)在d b 33=处取极大值,也是最大值, 即抗弯强度最大,此时长d h 3

6

=

. 答案:

d 3

6 三、解答题

11.如图所示,有一块半椭圆形钢板,其长半轴长为2r,短半轴长为r.计划将此钢板切割成等腰梯形的形状,下底AB 是半椭圆的短轴,上底CD 的端点在椭圆上.记CD ＝2x,梯形面积为S.

(1)求面积S 以x 为自变量的函数式,并写出其定义域; (2)求面积S 的最大值.

解:(1)依题意,以AB 的中点O 为原点建立直角坐标系xOy(如右图),则点C 的横坐标为x,点C 的纵坐标y 满足方程

1422

22=+r

y r x (y ≥0), 解得222x r y -=(0＜x ＜r).

222)22(2

1

x r r x S -?+=

＝22)(2x r r x -?+, 其定义域为{x|0＜x ＜r}.

(2)记f(x)＝4(x+r)2(r 2-x 2),0＜x ＜r, 则f′(x)＝8(x+r)2(r-2x). 令f′(x)＝0,得r x 2

1=. 因为当0＜x ＜

2r 时,f′(x)＞0;当2r ＜x ＜r 时,f′(x)＜0,所以)2

1

(r f 是f(x)的最大值. 因此,当r x 2

1

=

时,S 也取得最大值,最大值为2

2

33)21(r r f =, 即梯形面积S 的最大值为

2

2

33r . 12.已知函数f(x)＝lnx,x

a

x g =)((a ＞0),设F(x)＝f(x)+g(x). (1)求F （x)的单调区间；

（2）若以y ＝F(x)〔x ∈(0,3］〕图象上任意一点P （x 0,y 0)为切点的切线的斜率2

1

≤k 恒成立，求实数a 的最小值； （3）是否存在实数m,使得方程1)1

2()(2-++=m x a

g x f 恰好有两个不同的零点？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由.

解:(1)x

a

x x F +

=ln )((a ＞0)的定义域为(0,+∞), ∴2

21)(x

a

x x a x x F -=-='. 当x ＞a 时,F′(x)＞0;当0＜x ＜a 时,F′(x)＜0,

∴F(x)的单调增区间为(a,+∞),F(x)的单调减区间为（0，a). (2)以P （x 0,y 0)为切点的切线的斜率为k ＝F′(x 0)＝

2

0x a x -,x 0∈(0,3］,

由已知，得

212

0≤

-x a x ,即2002

1x x a -≥. ∵21

21)1(212120200≥+--=-

x x x , ∴21≥a .∴a min ＝2

1.

(3)由题意,知方程m x x +-=2

1

21ln 2在(0,+∞)内恰有两个不同的零点，

即21

21ln 2+-=x x m 在（0,+∞)内恰有两个不同的零点.

令2121ln )(2+-=x x x h ,则x

x x x x x h )

1)(1(1)(-+=-=',当x ∈(0,1)时,h′(x)＞0;

当x ∈(1,+∞)时,h′(x)＜0,

∴h(x)在(0,1)上是增函数, h(x)在(1,+∞)上是减函数.

于是,h(x)在x ＝1处取得极大值即最大值, 最大值为＝02

1

1211ln )1(2=+?-

=h .

又x ＞0且x→0时,2

1

21ln )(2+-

=x x x h →-∞, ∴h(x)的大致图象如右图所示:

则y ＝m 与y ＝h(x)恰有两个交点,∴m ＜0, 即当m ＜0时,方程f(x)＝g(

1

22+x a

)+m-1恰好有两个不同的零点.