(整理)椭圆及其简单几何性质
精品文档
椭圆及其标准方程
1。平面内 ，叫做椭圆。 叫做椭圆的焦点， 叫做椭圆的焦距。
2。根据椭圆的定义可知：集合{}
A MF MF M P 221=+=，
0,0,221>>=c a c F F ，且c a ,
为常数。当 时，集合P 为椭圆；当 时，集合P 为线段；
当 时，集合P 为空集。
3。焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为 。 焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为 。 其中c b a ,,满足关系为 。
练习1判定下列椭圆的焦点在？轴，并指明a 2、b 2
，写出焦点坐标
练习2将下列方程化为标准方程，并判定焦点在哪个轴上，写出焦点坐标
练习3 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
⑴4,1a b ==，焦点在x 轴上；
⑵4,a b ==y 轴上；
⑶10,a b c +==
例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()()2,0,2,0-，并且经过点53,22⎛⎫-
⎪⎝
⎭，求它的标准方程.
1162522
=+y x 1169
14422=+y x 112222=++m y m x 022525922=-+y x 13222-=--y x 0
,,22<=+C B A C By Ax
精品文档
例2 在圆x 2+y 2
=4上任取一点P ，向x 轴作垂线段PD ，D 为垂足。当点P 在圆上运动时，求线段PD 中点M 的轨迹方程。轨迹是什么图形？
相关点法：寻求点M 的坐标,x y 与中间00,x y 的关系，然后消去00,x y ，得到点M 的轨迹方程.
例3 设点,A B 的坐标分别为()()5,0,5,0-，.直线,AM BM 相交于点
M ，且它们的斜率之积是4
9
-，求点M 的轨迹方程.
.知识小结： 1、椭圆的定义（强调2a>|F 1F 2|）和椭圆的标准方程 2、椭圆的标准方程有两种，注意区分 3、根据椭圆标准方程判断焦点位置的方法 4、求椭圆标准方程的方法
写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
⑴焦点在x 轴上，焦距等于4
，并且经过点(3,P -； ⑵焦点坐标分别为()()0,4,0,4-，5a =； ⑶10,4a c a c +=-=.
精品文档
椭圆的简单几何性质
1.范围
方程中x 、y 的取值范围是什么? 由椭圆的标准方程可知，椭圆上点的坐标(x,y)都适合不等式
22
a x ≤1, 22b
y ≤1 即 x 2
≤a 2
, y 2
≤b 2
所以 |x|≤a ， |y|≤b
即 －a ≤x ≤a, －b ≤y ≤b
这说明椭圆位于直线x ＝±a, y ＝±b 所围成的矩形里。 2.对称性
复习关于x 轴，y 轴，原点对称的点的坐标之间的关系： 点（x,y ）关于x 轴对称的点的坐标为(x,－y)； 点（x,y ）关于y 轴对称的点的坐标为(－x, y)； 点（x,y ）关于原点对称的点的坐标为(－x,－y)；
（1） 如果以－y 代y 方程不变，那么当点P(x,y)在曲线上时，它关于x 的轴对称点P ’(x,－y)也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称。
（2） 如果以－x 代x 方程方程不变，曲线关于y 轴对称。 （3） 如果同时以－x 代x 、以－y 代y ，方程不变，曲线关于原点对称。
椭圆关于x 轴，y 轴和原点都是对称的。 这时，椭圆的对称轴是什么？[坐标轴] 椭圆的对称中心是什么？[原点] 椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。 3.顶点
在椭圆的标准方程里， 令x=0,得y=±b 。这说明了B 1(0,－b),B 2(0,b)是椭圆与y 轴的两个交点。
令y=0,得x=±a 。这说明了A 1(－a,0),A 2(a,0)是椭圆与x 轴的两个交点。
因为x 轴，y 轴是椭圆的对称轴，所以椭圆和它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点。
线段A 1A 2,B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴。
它们的长|A 1A 2|=2a,|B 1B 2|=2b (a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长)
4.离心率
定义：椭圆的焦距与长轴长的比e ＝
a
c
，叫做椭圆的离心率。 因为a>c>0,所以0 当且仅当a ＝b 时，c ＝0，这时两个焦点 重合于椭圆的中心，图形变成圆。 当e ＝1时，图形变成了一条线段。 5.例题 例1求椭圆16x 2+25y 2 =400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标,， 精品文档 填空：已知椭圆的方程是9x 2+25y 2 =225, (1) 将其化为标准方程是_________________. (2) a=___,b=___,c=___. (3) 椭圆位于直线________和________所围成的________区域里. 椭圆的长轴、短轴长分别是____和____,离心率e ＝_____,两个焦点分别是_______、______,四个顶点分别是______、______、______、_______. 例2、求符合下列条件的椭圆的标准方程: (1)经过点(-3,0)、(0,-2); (2)长轴的长等于20,离心率等于0.6 例3 点(),M x y 与定点()4,0F 的距离和它到直线25 :4 l x = 的距离之比是常数 4 5 ，求点M 的轨迹. 三、课堂练习： ①比较下列每组椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？ ⑴2 2 936x y +=与 2211612x y += ⑵22 936x y +=与221610 x y += ②求适合下列条件的椭圆的标准方程. ⑴经过点( )(,P Q - ⑵长轴长是短轴长的3倍，且经过点()3,0P ⑶焦距是8，离心率等于0.8 精品文档 焦点在x 轴、y 轴上的椭圆的几何性质对比. 课后思考： 1、椭圆上到焦点和中心距离最大和最小的点在什么地方？ 2、点M （x ，y ）与定点F （c ，0）的距离和它到定直线l ：x= 的距离的比是常数 （a ＞c ＞0），求点M 轨迹，并判断曲线的形状。 3、若过焦点F2作直线与AB 垂直且与该椭圆相交于M 、N 两点，当△F1MN 的面积为70时，求该椭圆的方程。 精品文档 （二）题组训练: 题组一： 1.在椭圆1004252 2 =+y x 中,a= ,b= ,焦距是 焦点坐标是 ,______.焦点位于________轴上 2.如果方程1m y 4x 2 2=+表示焦点在X 轴的椭圆,则实数m 的取值范围是 ． 题组二： 求适合下列条件的椭圆的标准方程 1.a=4,b=1,焦点在x 轴上. 2.a=4,c=15,焦点在坐标轴上 题组三： 1.已知两定点（-3，0），（3，0），若点P 满足1021=+PF PF ， 则点P 的轨迹是 ，若点P 满足621=+PF PF ，则点P 的轨迹是 . 2.P 为椭圆 116 252 2=+y x 上一点,P 到一个焦点的距离为4,则P 到另 精品文档 一个焦点的距离为 3.椭圆19 162 2=+y x ,过焦点F 1的直线交椭圆于A,B 两点,则2ABF ∆的周长为 题组四： 1.如果点M(x,y)在运动过程,总满足关系式:10)3()3(2222=-++++y x y x ,点M 的轨迹是什么曲线?写 出它的方程. 2.已知△ABC 的一边长6=BC ，周长为16，求顶点A 的轨迹方程. 1．已知椭圆两个焦点1F （-2，0），F 2（2，0），并且经过点P )2 3,25(-，求它的标准方程. 2．椭圆的两个焦点F 1（-8，0），F 2（8，0），且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20，求此椭圆的标准方程. 3．若B （-8，0），C （8，0）为ABC ∆的两个顶点，AC 和AB 两边上的中线和是30，求的重心G 的轨迹方程. 精品文档 椭圆 同步测试 1．椭圆6322 2 =+y x 的焦距是 （ ） A ．2 B ．)23(2- 52 D ．)23(2+ 2．F 1、F 2是定点，|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则点M 的轨迹是 （ ） A ．椭圆 B ．直线 C ．线段 D ．圆 3．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点)2 3,25(-，则椭圆方程是 （ ） A ．14 82 2=+x y B ．16 1022=+x y C ．18422=+x y D ．16 1022=+y x 4．方程22 2=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是 （ ） A ．),0(+∞ B ．（0，2） C ．（1，+∞） D ．（0，1） 5. 过椭圆1242 2 =+y x 的一个焦点1F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一焦点2F 构成2ABF ∆，那么2ABF ∆的周长是（ ） A. 22 B. 2 C. 2 D. 1 6．若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为 （ ） A ． 4 1 B ． 2 2 C ． 4 2 D ． 2 1 9．若点P 在椭圆12 22 =+y x 上，1F 、2F 分别是椭圆的两焦点，且 9021=∠PF F ，则21PF F ∆的面积是（ ） A. 2 B. 1 C. 23 D. 2 1 11．椭圆14 162 2=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是 （ ） A ．3 B ．11 C ．22 D ．10 12．在椭圆13 42 2=+y x 内有一点P （1，－1） ，F 为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M ，使|MP|+2|MF|的值最小，则这一最小值是 （ A ． 25 B ．2 7 C ．3 D ．4 13．椭圆 2214x y m +=的离心率为1 2，则m = 。 14．设P 是椭圆2 214 x y +=上的一点，12,F F 是椭圆的两个焦点，则 精品文档 12PF PF 的最大值为 ；最小值为 。 15．直线y=x －2 1被椭圆x 2 +4y 2 =4截得的弦长为 。 17．已知三角形ABC 的两顶点为(2,0),(2,0)B C -，它的周长为10,求顶点A 轨迹方程． 18、椭圆的一个顶点为A （2，0），其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 20、设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率e= 2 3，已知点P （0， 2 3）到椭圆上的点的最远距离是7 ，求这个椭圆方程。 2.1．1椭圆及其标准方程 1．椭圆 19 252 2=+y x 上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ ） A.5 B.6 C.4 D.10 2．椭圆 1169 252 2=+y x 的焦点坐标是（ ） A.(±5，0) B.(0，±5) C.(0，±12) D.(±12，0) 3．已知椭圆的方程为182 2 2=+m y x ，焦点在x 轴上，则其焦距为（ A ） A.228m - B.2m -22 C.28 2-m D.222-m 5．在方程 22 110064 x y +=中，下列a , b , c 全部正确的一项是 （A ）a =100, b =64, c =36 （B ）a =10, b =6, c =8 （C ）a =10, b =8, c =6 （D ）a =100, c =64, b =36 6．已知F 1, F 2是定点，| F 1 F 2|=8, 动点M 满足|M F 1|+|M F 2|=8，则点M 的轨迹是 （A ）椭圆 （B ）直线 （C ）圆 （D ）线段 7．1,6==c a ,焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是 8．椭圆19 162 2=+y x 的焦距是 ，焦点坐标为 ；若CD 为过左焦点1F 的弦，则CD F 2∆的周长为 9.椭圆以坐标轴为对称轴，长、短半轴之和为10，焦距为45，则椭圆方程为 . 10.P 点在椭圆452x +20 2 y =1上，F 1，F 2是椭圆的焦点，若PF 1⊥PF 2，则P 点 的坐标是 . 精品文档 11.椭圆22a x +22 b y =1(a ＞b ＞0)的两个焦点及其与坐标轴的一个交点正好 是一个等边三角形的三个顶点，且椭圆上的点到焦点距离的最小值为3，求椭圆的方程. 12.已知椭圆92x +4 2 y =1上的点P 到其右焦点的距离是长轴两端点到右焦点的 距离的等差中项，求P 点坐标. 13.写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10； ⑵两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（23-,2 5 ） 1. 设定点()3,01-F ，()3,02F ，动点()y x P ,满足条件 a PF PF =+21(a ＞)0，则动点P 的轨迹是 （ ） A. 椭圆 B. 线段 C. 椭圆或线段或不存在 D. 不存在 2. 2. 已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为3 1 ，长轴长为12，则 椭圆方程为 （ ） A. 112814422=+y x 或114412822=+y x B 1462 2=+y x C. 1323622=+y x 或1363222=+y x D. 16 42 2=+y x 或14 62 2=+y x 3. 过椭圆1242 2=+y x 的一个焦点1F 的直线与椭圆交于A 、B 两 点，则A 、B 与椭圆的另一焦点2F 构成2ABF ∆，那么2ABF ∆的周长是 A. 22 B. 2 C. 2 D. 1 （ ） 4. 若椭圆的短轴为AB ，它的一个焦点为1F ，则满足1ABF ∆为等边三角形的椭圆的离心率是 A. 41 B. 2 1 C. 22 D. 23 （ ） 5. 9. 点()1,a A 在椭圆12 42 2=+y x 的内部，则a 的取值范围是 （ ） A. 2- ＜a ＜2 B. a ＜2-或a ＞ 2 C. 2-＜a ＜2 D. 1-＜a ＜1 6. 11. 椭圆13 122 2=+y x 的一个焦点为1F ，点P 在椭圆上。如果线段1PF 的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是 （ ） A. 43± B. 22± C. 23± D. 43± 7. 13. 已知椭圆14 2 2=+y m x 的离心率为22，则此椭圆的长轴长 精品文档 为 。 8. 14. P 是椭圆 116 272 2=+y x 上的点，则P 到直线l ：02534=-+y x 的距离的最小值为 。 9. 15. 若点()y ,4是椭圆 180 1442 2=+y x 上的点，则它到左焦点的距离为 。 10. 已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率3 2 = e ，短轴长为58，求椭圆的方程。 椭圆及其标准方程 知识要点： ①定义： ()||22||||2121F F a a PF PF >=+； ② 标 准 方 程 ： ()012 2 22>>=+b a b y a x ； ()0122 22>>=+b a b x a y 。 1、方程2222)2()2(y x y x ++++-=10,化简的结果是 [ ] A. 1162522=+y x B. 121252 2=+y x C. 14 252 2=+y x D. 121 2522=+x y 2. 已知ABC ∆的周长是８，Ｂ，Ｃ的坐标分别是（－１，０）和（１，０），则顶点Ａ的轨迹方程是 [ ] 精品文档 Ａ)3(18922±≠=+x y x B )0(1892 2≠=+x y x Ｃ)0(13422≠=+y y x Ｄ)0(14 32 2≠=+y y x 3．椭圆 13122 2=+y x 的焦点为21,F F ，点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是 [ ] A 43± B 23± C 22± D 4 3 ± ４．如果椭圆的两焦点为)0,1()0,1(21F F 和-，Ｐ是椭圆上的一点，且 2 211,,PF F F PF 成等差数列，那么椭圆的方程是 [ ] Ａ191622=+y x Ｂ1121622=+y x Ｃ13422=+y x Ｄ14 32 2=+y x 5.若椭圆2kx 2 +ky 2 =1的一个焦点是（0，-4），则k 的值为 [ ] A. 32 1 B.8 C. 8 1 D.32 ７．已知椭圆的中心在原点，且经过点P(3,0)，a=3b,则椭圆的标准方程为 ； ８．点Ｐ是椭圆14 52 2=+y x 上一点，以点Ｐ以及焦点21,F F 为顶点的三角形的面积等于１，则点Ｐ的坐标为 （一）椭圆的定义： 1、椭圆的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长（大于12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点 1F 、2F 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离12||F F 叫做椭圆的焦距。 对椭圆定义的几点说明： （1）“在平面内”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）； （2）“两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点”，学习时注意区分； （3）作为到这两个定点的距离的和的“常数”，必须满足大于| F 1F 2|这个条件。若不然，当这个“常数”等于| F 1F 2|时，我们得到的是线段F 1F 2；当这个“常数”小于| F 1F 2|时，无轨迹。这两种特殊情况，同学们必须注意。 （4）下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为A 1， A 2， B 1， B 2，于是我们易得| A 1A 2|的值就是那个“常数”，且|B 2F 2|+|B 2F 1|、|B 1F 2|+|B 1F 1|也等于那个“常数”。同学们想一想其中的道理。 （5）中心在原点、焦点分别在x 轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为： 22 22 2222 x y y x 1(a b 0),1(a b 0),a b a b +=>>+=>> 相同点是：形状相同、大小相同；都有 a > b > 0 ，2 2 2 a c b =+。 不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同（第一个椭圆的焦点坐标为（－c ，0）和（c ，0），第二个椭圆的焦点坐标为（0，－c ）和（0，c ）。椭圆的 焦点在 x 轴上?标准方程中x 2项的分母较大；椭圆的焦点在 y 轴上?标准方程中y 2 项的分母较大。 （二）椭圆的几何性质： 椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率．对于第一类性质，只 要22 22x y 1(a b 0)a b +=>>的有关性质中横坐标x 和纵坐标y 互换，就可以得出2222 y x 1(a b 0)a b +=>>的有关性质。总结如下： 椭圆知识点 知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的简单几何性质 椭圆：12222=+b y a x )0(>>b a 与 122 22=+b x a y )0(>>b a 的简单几何性质 标准方程 122 22=+b y a x )0(>>b a 12 2 22=+b x a y )0(>>b a 图形 性质 焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F 焦距 c F F 221= c F F 221= 范围 a x ≤，b y ≤ b x ≤，a y ≤ 对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称 顶点 )0,(a ±，),0(b ± ),0(a ±，)0,(b ± 轴长 长轴长=a 2，短轴长=b 2 长半轴长=a ，短半轴长=b （注意看清题目） 离心率 )10(<<= e a c e c a F A F A -==2211；c a F A F A +==1221；c a PF c a +≤≤-1； (p 是椭圆上一点)（不等式告诉我们椭圆上一点到焦点距离的范围） 注意：①与坐标系无关的椭圆本身固有的性质，如：长轴长、短轴长、焦距、离心率等；②与坐标系有关的性质，如：顶点坐标、焦点坐标等 知识点三：椭圆相关计算 1．椭圆标准方程中的三个量c b a ,,的几何意义 222c b a += 2.通径:过焦点且垂直于长轴的弦,其长a b 2 2 焦点弦：椭圆过焦点的弦。 3.最大角:p 是椭圆上一点，当p 是椭圆的短轴端点时，21PF F ∠为最大角。 4.椭圆上一点和两个焦点构成的三角形称为焦点三角形。 Evaluation Warning: The document was created with Spire.Doc for JA V A. （一）椭圆的定义： 1、椭圆的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长（大于12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点 1F 、2F 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离12||F F 叫做椭圆的焦距。 对椭圆定义的几点说明： （1）“在平面内”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）； （2）“两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点”，学习时注意区分； （3）作为到这两个定点的距离的和的“常数”，必须满足大于| F 1F 2|这个条件。若不然，当这个“常数”等于| F 1F 2|时，我们得到的是线段F 1F 2；当这个“常数”小于| F 1F 2|时，无轨迹。这两种特殊情况，同学们必须注意。 （4）下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为A 1， A 2， B 1， B 2，于是我们易得| A 1A 2|的值就是那个“常数”，且|B 2F 2|+|B 2F 1|、|B 1F 2|+|B 1F 1|也等于那个“常数”。同学们想一想其中的道理。 （5）中心在原点、焦点分别在x 轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为： 22 22 2222 x y y x 1(a b 0),1(a b 0),a b a b +=>>+=>> 相同点是：形状相同、大小相同；都有 a > b > 0 ，2 2 2 a c b =+。 不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同（第一个椭圆的焦点坐标为（－c ，0）和（c ，0），第二个椭圆的焦点坐标为（0，－c ）和（0，c ）。椭圆的 焦点在 x 轴上?标准方程中x 2项的分母较大；椭圆的焦点在 y 轴上?标准方程中y 2 项的分母较大。 （二）椭圆的几何性质： 椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率．对于第一类性质，只 要22 22x y 1(a b 0)a b +=>>的有关性质中横坐标x 和纵坐标y 互换，就可以得出2222 y x 1(a b 0)a b +=>>的有关性质。总结如下： §8.5椭圆及其性质 学习目标 1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程. 2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率) .3.掌握椭圆的简单应用． 知识梳理 1．椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距． 2．椭圆的简单几何性质 焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上 图形 标准方程x2 a2＋ y2 b2＝1 (a>b>0) y2 a2＋ x2 b2＝1 (a>b>0) 范围－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a 顶点A1(－a，0)，A2(a，0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)， A2(0，a) B1(－b，0)， B2(b，0) 轴长短轴长为2b，长轴长为2a 焦点F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距|F1F2|＝2c 对称性对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点 离心率e＝c a(0 椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F 1PF 2＝θ. (1)当P 为短轴端点时，θ最大，1 2 F PF S △最大． (2) 12F PF S △＝12|PF 1||PF 2|sin θ＝b 2tan θ 2＝c |y 0|. (3)|PF 1|max ＝a ＋c ，|PF 1|min ＝a －c . (4)|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛ ⎭⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝a 2 . (5)4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos θ. 思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( × ) (2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．( √ ) (3)y 2m 2＋x 2 n 2＝1(m ≠n )表示焦点在y 轴上的椭圆．( × ) (4)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2 b 2＝1(a >b >0)的焦距相等．( √ ) 教材改编题 1．设P 是椭圆x 225＋y 2 16＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( ) A ．4 B ．5 C ．8 D ．10 答案 D 解析 依椭圆的定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝2×5＝10. 2．若椭圆C ：x 24＋y 2 3＝1，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为( ) A ．3 B ．2＋ 3 C ．2 D.3＋1 答案 A 解析 由题意知a ＝2，b ＝3，所以c ＝1，距离的最大值为a ＋c ＝3. 3．(2022·深圳模拟)已知椭圆C 的焦点在x 轴上，且离心率为1 2，则C 的方程可以为________． 答案 x 24＋y 2 3 ＝1(答案不唯一) 解析 因为焦点在x 轴上，所以设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2 b 2＝1，a >b >0， 精品文档 椭圆及其标准方程 1。平面内 ，叫做椭圆。 叫做椭圆的焦点， 叫做椭圆的焦距。 2。根据椭圆的定义可知：集合{} A MF MF M P 221=+=， 0,0,221>>=c a c F F ，且c a , 为常数。当 时，集合P 为椭圆；当 时，集合P 为线段； 当 时，集合P 为空集。 3。焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为 。 焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为 。 其中c b a ,,满足关系为 。 练习1判定下列椭圆的焦点在？轴，并指明a 2、b 2 ，写出焦点坐标 练习2将下列方程化为标准方程，并判定焦点在哪个轴上，写出焦点坐标 练习3 写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴4,1a b ==，焦点在x 轴上； ⑵4,a b ==y 轴上； ⑶10,a b c +== 例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()()2,0,2,0-，并且经过点53,22⎛⎫- ⎪⎝ ⎭，求它的标准方程. 1162522 =+y x 1169 14422=+y x 112222=++m y m x 022525922=-+y x 13222-=--y x 0 ,,22<=+C B A C By Ax 精品文档 例2 在圆x 2+y 2 =4上任取一点P ，向x 轴作垂线段PD ，D 为垂足。当点P 在圆上运动时，求线段PD 中点M 的轨迹方程。轨迹是什么图形？ 相关点法：寻求点M 的坐标,x y 与中间00,x y 的关系，然后消去00,x y ，得到点M 的轨迹方程. 例3 设点,A B 的坐标分别为()()5,0,5,0-，.直线,AM BM 相交于点 M ，且它们的斜率之积是4 9 -，求点M 的轨迹方程. .知识小结： 1、椭圆的定义（强调2a>|F 1F 2|）和椭圆的标准方程 2、椭圆的标准方程有两种，注意区分 3、根据椭圆标准方程判断焦点位置的方法 4、求椭圆标准方程的方法 写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴焦点在x 轴上，焦距等于4 ，并且经过点(3,P -； ⑵焦点坐标分别为()()0,4,0,4-，5a =； ⑶10,4a c a c +=-=. 2．2.2椭圆的简单几何性质 第1课时椭圆的简单几何性质 1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质． 2.明确椭圆标准方程中a、b以及c、e的几何意义，a、b、c、e之间的相互关系． 3.能利用椭圆的几何性质解决椭圆的简单问题． , 椭圆的简单几何性质 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)椭圆的顶点是椭圆与它的对称轴的交点．() (2)椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a＋c.() (3)椭圆的离心率e越接近于1，椭圆越圆．() (4)椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的长轴长等于a.() 答案：(1)√(2)√(3)×(4)× 2．椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为() A．(－1，0)，(1，0)B．(－6，0)，(6，0) C．(－6，0)(6，0) D．(0，6)，(0，－6) 答案：D 3．椭圆x2＋4y2＝1的离心率为() A． 3 2B． 3 4 C ． 22 D ．23 答案：A 4．设P (m ，n )是椭圆x 225＋y 2 9＝1上任意一点，则m 的取值范围是________． 答案：[－5，5] 椭圆的简单几何性质 求椭圆4x 2＋9y 2＝36的长轴长和焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率． 【解】 将椭圆方程变形为x 29＋y 2 4＝1， 所以a ＝3，b ＝2， 所以c ＝ a 2－b 2＝9－4＝ 5. 所以椭圆的长轴长和焦距分别为2a ＝6，2c ＝25，焦点坐标为F 1(－5，0)，F 2(5，0)， 顶点坐标为A 1(－3，0)，A 2(3，0)，B 1(0，－2)， B 2(0，2)，离心率e ＝c a ＝5 3 . 用标准方程研究几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式． (2)确定焦点位置． (3)求出a ，b ，c . (4)写出椭圆的几何性质． [注意] 长轴长、短轴长、焦距不是a ，b ，c ，而应是a ，b ，c 的两倍． 1.对椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)和椭圆C 2：y 2a 2＋x 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的几何 性质的表述正确的是( ) A ．范围相同 B ．顶点坐标相同 C ．焦点坐标相同 D ．离心率相同 解析：选D.椭圆C 1：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)范围是－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ，顶点坐标是(－ a ，0)，(a ，0)，(0，－ b )，(0，b )，焦点坐标是(－ c ，0)，(c ，0)，离心率e ＝c a ；椭圆C 2：y 2 a 2 ＋x 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)范围是－a ≤y ≤a ，－b ≤x ≤b ，顶点坐标是(－b ，0)，(b ，0)，(0，－a )，(0，a )，焦点坐标是(0，－c )，(0，c )，离心率e ＝c a ，只有离心率相同． 2．设椭圆方程mx 2＋4y 2＝4m (m ＞0)的离心率为1 2，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点 坐标及顶点坐标． 解：(1)当0＜m ＜4时，长轴长和短轴长分别是4，23，焦点坐标为F 1(－1，0)，F 2(1， 2.2.2椭圆的几何性质 第1课时椭圆的几何性质 学习目标 1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义.2.会用椭圆的几何意义解决相关问题． 知识点一椭圆的几何性质 知识点二椭圆的离心率 1．椭圆的焦距与长轴长的比e＝ c a称为椭圆的离心率． 2．因为a＞c，故椭圆离心率e的取值范围为(0,1)，当e越近于1时，椭圆越扁，当e越近于0时，椭圆越圆． 1．椭圆 x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a>b>0)的长轴长是a.(×) 2．椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( × ) 3．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10,8，则椭圆的方程为x 225＋y 2 16＝ 1.( × ) 4．设F 为椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的一个焦点，M 为其上任一点，则|MF |的最大值为a ＋ c (c 为 椭圆的半焦距)．( √ ) 题型一 椭圆的几何性质 例1 求椭圆m 2x 2＋4m 2y 2＝1(m ＞0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率． 解 由已知得x 21m 2＋y 2 14m 2＝1(m ＞0)， ∵0＜m 2＜4m 2， ∴ 1m 2＞14m 2 ， ∴椭圆的焦点在x 轴上，并且长半轴长a ＝1 m ， 短半轴长b ＝12m ，半焦距c ＝3 2m ， ∴椭圆的长轴长2a ＝2m ，短轴长2b ＝1 m ， 焦点坐标为⎝⎛⎭⎫－32m ，0，⎝⎛⎭ ⎫3 2m ，0， 顶点坐标为⎝⎛⎭⎫1m ，0，⎝⎛⎭⎫－1m ，0，⎝⎛⎭⎫0，－12m ，⎝⎛⎭⎫0，1 2m ， 离心率e ＝c a ＝32m 1m ＝3 2 . 反思感悟 从椭圆的标准方程出发，分清其焦点位置，然后再写出相应的性质． 跟踪训练1 已知椭圆C 1：x 2100＋y 2 64＝1，设椭圆C 2与椭圆C 1的长轴长、短轴长分别相等， 且椭圆C 2的焦点在y 轴上． (1)求椭圆C 1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C 2的方程，并研究其性质． 椭圆的简单几何性质【知识点】 知识点一椭圆的范围、对称性和顶点坐标 【问题1】观察椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的形状(如图)，你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？ (1)范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b； (2)对称性：椭圆关于x轴、y轴、原点都对称； (3)特殊点：顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)． 【问题2】在画椭圆图形时，怎样才能画的更准确些？ 在画椭圆时，可先画一个矩形，矩形的顶点为(－a，b)，(a，b)，(－a，－b)，(a，－b)． 椭圆的简单几何性质 (±c,0)(0，±c) 知识点二椭圆的离心率 思考如何刻画椭圆的扁圆程度？ 用离心率刻画扁圆程度，e 越接近于0，椭圆越接近于圆，反之，越扁． (1)椭圆的焦距与长轴长的比____c a ____称为椭圆的离心率． (2)对于x 2a 2＋y 2 b 2＝1，b 越小，对应的椭圆越____扁____，反之，e 越接近于0， c 就越接近于0，从而b 越接 近于a ，这时椭圆越接近于圆，于是，当且仅当a ＝b 时，c ＝0，两焦点重合，图形变成圆，方程变为x 2＋y 2＝a 2.(如图) 类型一 由椭圆方程研究其简单几何性质 【例1】求椭圆9x 2＋16y 2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． 解 已知方程化成标准方程为x 216＋y 2 9＝1， 于是a ＝4，b ＝3，c ＝ 16－9＝7， ∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a ＝8和2b ＝6， 离心率e ＝c a ＝7 4，又知焦点在x 轴上， ∴两个焦点坐标分别是(－7，0)和(7，0)， 四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)和(0,3)． 引申探究 本例中若把椭圆方程改为“9x 2＋16y 2＝1”求其长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． 解 由已知得椭圆标准方程为 x 219＋y 2 116 ＝1， 于是a ＝13，b ＝1 4， c ＝ 19－116＝712 . ∴长轴长2a ＝23，短轴长2b ＝1 2， 离心率e ＝c a ＝7 4. 焦点坐标(－ 712，0)和(7 12 ，0)， 椭圆的简单几何性质 观察椭圆()0122 22＞＞b a b y a x =+的图形，归纳总结椭圆的几何性质并作简单证 明； 1、范围：椭圆在直线a x ±=和直线b y ±=围成的矩形区域内； 2、对称性：椭圆的对称中心是焦点连线的中点，对称轴是焦点所在的直线和焦点连线的中垂线； 3、顶点：椭圆的对称轴与椭圆的交点就是椭圆的顶点，椭圆() 0122 22＞＞b a b y a x =+的顶点有四个：()01， a A -，()02， a A ，()b B -， 01，()b B ，02，其中2 121B B A A 、分别叫做椭圆的长轴和短轴，其长度分别为b a 22、 ；b a 、分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长； 4、离心率：椭圆的焦距与长轴长的比a c e =叫做椭圆的离心率；∵ 0＞＞c a ，∴ 10＜＜e ， ① 当e 趋近于1时，c 趋近于a ，b 趋近于0，因此椭圆越扁平； ② 当e 趋近于0时，c 趋近于0，b 趋近于a ，因此椭圆越接近于圆； 课堂练习： 1、椭圆 19 2522=+y x 与()9012592 2＜＜k k y k x =-+-( B ) (A) 有相等的长、短轴； (B) 有相等的焦距； (C) 有相同的焦点； (D) 有相同的准线； 2、中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程为( ) (A) 1728122=+y x ； (B) 19812 2=+y x ； (C) 1458122=+y x ； (D) 136 812 2=+y x ； 3、若椭圆的一个焦点与长轴的两个短点的距离之比为32∶，则椭圆的离心率为 ； 椭圆的定义及其几何性质 [要点梳理] 1．椭圆的概念 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数： (1)若a>c，则集合P为椭圆； (2)若a＝c，则集合P为线段； (3)若a 椭圆的常用性质 (1)设椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，P点在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，P点在长轴端点处． (2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a为斜边， a2＝b2＋c2． (3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a． [基础自测] 一、思考辨析 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．() (2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴 长，c为椭圆的半焦距)．() (3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．() (4)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．() (5)方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲线是椭圆．() (6)x2 a2＋y2 b2＝1(a＞b＞0)与 y2 a2＋ x2 b2＝1(a＞b＞0)的焦距相同．() 答案：(1)×(2)√(3)×(4)√(5)√(6)√二、小题查验 1．设P是椭圆x2 25＋y2 16＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于() A．4B．5 C．8 D．10解析：D[由椭圆的定义知：|PF1|＋|PF2|＝2×5＝10．] 2．已知椭圆x2 25＋y2 m2＝1(m>0)的左焦点为F1(－4，0)，则m＝() A．2 B．3 C．4 D．9解析：B[由题意知25－m2＝16，解得m2＝9，又m>0，所以m＝3．] 3．已知椭圆C：x2 a2＋y2 4＝1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为() 椭圆几何性质的总结方法 摘要 本文总结了椭圆的几何性质，并提供了一种简单的方法来理解和应用这些性质。通过掌握这些方法，读者将能够更好地理解椭圆的特点和应用。 引言 椭圆是数学中重要且广泛应用的几何形状之一。它具有许多独特的性质，因此在各个领域都被广泛应用，包括工程学、天文学和物理学等。 椭圆的基本定义 椭圆是一个平面上的封闭曲线，其到两个焦点的距离之和是常数。通过这个定义，我们可以得出以下几个重要的性质。 1. 焦点性质：椭圆的两个焦点在椭圆的长轴上，并且和椭圆的中心点对称。这个性质在很多应用中起到重要的作用。焦点性质：椭圆的两个焦点在椭圆的长轴上，并且和椭圆的中心点对称。这个性质在很多应用中起到重要的作用。 2. 几何性质：椭圆的长轴和短轴是互相垂直的，并且长轴是短轴的两倍长。这个性质使得椭圆在计算和建模中易于处理。几何性质：椭圆的长轴和短轴是互相垂直的，并且长轴是短轴的两倍长。这个性质使得椭圆在计算和建模中易于处理。 3. 离心率性质：椭圆的离心率是一个衡量椭圆形状的参数，取值范围在0到1之间。接近0的离心率表示椭圆形状接近于圆形，而接近1的离心率表示椭圆形状拉长。离心率性质：椭圆的离心率是一个衡量椭圆形状的参数，取值范围在0到1之间。接近0的离心率表示椭圆形状接近于圆形，而接近1的离心率表示椭圆形状拉长。 总结方法 为了更好地理解和应用椭圆的性质，可以采取以下几个简单的方法。 1. 绘图法：通过绘制椭圆的图形，可以直观地观察到其性质，包括焦点位置、长短轴的关系和离心率等。绘图方法是理解椭圆性质的基础。绘图法：通过绘制椭圆的图形，可以直观地观察到其性 椭圆及其几何性质 主干梳理： （一）椭圆定义：a MF MF 2||||21=+（)c a >。 注：①||221F F a >轨迹为椭圆；②||221F F a =轨迹为线段21F F ；③||221F F a <轨迹不存在。 （二）椭圆标准方程：（其中2 22b c a +=） 122 22=+b y a x （0>>b a ）表示椭圆的焦点在x 轴上，焦点是)0,()0,(21c F c F -， 中心在坐标原点的椭圆方程； 122 22=+b x a y （0>>b a ）表示椭圆的焦点在y 轴上，焦点是),0(),0(21c F c F -， 中心在坐标原点的椭圆方程。 （三）以椭圆122 22=+b y a x (0>>b a ) 研究椭圆的几何性质 1、范围：a x a ≤≤-,b y b ≤≤-，落在b y a x ±=±=,组成的矩形中； 2、对称性：原点叫椭圆的对称中心，简称中心，x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴； 3、顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点。 椭圆共有四个顶点：)0,(),0,(2a A a A -，),0(),,0(2b B b B -。 长轴，短轴长分别为b a 2,2，b a ,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长。 4、离心率：椭圆焦距与长轴长之比。 定义式：a c e =⇒2)(1a b e -=； 范围： 10< 《椭圆的简单几何性质》知识点总结（精选2篇） 《椭圆的简单几何性质》知识点总结篇1 椭圆的简单几何性质中的考查点: （一）、对性质的考查： 1、范围：要注意方程与函数的区别与联系；与椭圆有关的求最值是变量的取值范围；作椭圆的草图。 2、对称性：椭圆的中心及其对称性；判断曲线关于x轴、y轴及原点对称的依据；如果曲线具有关于x轴、y轴及原点对称中的任意两种，那么它也具有另一种对称性；注意椭圆不因坐标轴改变的固有性质。 3、顶点：椭圆的顶点坐标；一般二次曲线的顶点即是曲线与对称轴的交点；椭圆中a、b、c的几何意义（椭圆的特征三角形及离心率的三角函数表示）。 4、离心率：离心率的定义；椭圆离心率的取值范围：（0，1）；椭圆的离心率的变化对椭圆的影响：当e趋向于1时：c趋向于a，此时，椭圆越扁平；当e趋向于0时：c趋向于0，此时，椭圆越接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，两焦点重合，椭圆变成圆。 （二）、课本例题的变形考查： 1、近日点、远日点的概念：椭圆上任意一点p（x，y）到椭圆一焦点距离的最大值：a+c与最小值：a-c及取最值时点p的坐标； 2、椭圆的第二定义及其应用；椭圆的准线方程及两准线间的距离、焦准距：焦半径公式。 3、已知椭圆内一点m，在椭圆上求一点p，使点p到点m与到椭圆准线的距离的和最小的求法。 4、椭圆的参数方程及椭圆的离心角：椭圆的参数方程的简单应用： 5、直线与椭圆的位置关系，直线与椭圆相交时的弦长及弦中点问题。 《椭圆的简单几何性质》知识点总结篇2 在预习教材中的例 4 的基础上，证明：若分别是椭圆的左、右焦 点，则椭圆上任一点 p （）到焦点的距离（焦半径），同时思考当椭圆的焦点在y 轴上时，结论如何？（此题意图是引导学生去进一步探究，为进一步研究椭圆的性质做准备） 本堂课是在学生学习了椭圆的定义、标准方程的基础上，根据方程研究曲线的性质。按照学生的认知特点，改变了教材中原有安排顺序，引导学生从观察课前预习所作的图形入手，从分析对称开始，循序渐进进行探究。由教师点拨、指导，学生研究、合作、体验来完成。 本节课借助多媒体手段创设问题情境，指导学生研究式学习和体验式学习（兴趣是前提）。例如导入，通过“神州五号”这样一个人们关注的话题引入，有利于激发学生的兴趣。再如，这节课是学生第一次利用曲线方程研究曲线性质，为了解决这一难点，在课前设计中改变了教材原有研究顺序，让学生从观察一个具体椭圆图形入手，从观察到对称性这一宏观特征开始研究，符合学生的认知特点，调动了学生主动参与教学的积极性，使他们进行自主探究与合作交流，亲身体验几何性质的形成与论证过程，变静态教学为动态教学。在研究范围这一性质时，课前设计中，只要学生能根据不等式知识解出就可以了，但学生采用了多种方法研究，这时教师没有打断他的思路，而是引导帮助他研究，鼓励学生创新，从而也实现了以学生为主，为学生服务。 在离心率这一性质的教学中，充分利用多媒体手段，以轻松愉悦的动画演示，化解了知识的难点。 但也有不足的地方：在对具体例子的观察分析中，设计的问题过于具体，可能束缚了学生的思维，还没有放开。还有就是少讲多学方面也是我今后教学中努力的方向。 感悟：新课堂是活动的课堂，讨论、合作交流可课堂，德育教育的课堂，应用现代技术的课堂，因此新教育理念、新课改下的新课堂需要教师和学生一起来培育。 椭圆知识点 知识要点小结：知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121 F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的 轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若)(2121 F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的标准方程 1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中2 22b a c -= 2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b x a y )0(>>b a ，其中2 22b a c -=；注意：1．只 有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时， 才能得到椭圆的标准方程； 2．在椭圆的两种标准方程中，都有)0(>>b a 和2 2 2 b a c -=； 3．椭圆的焦点总在长轴上. 当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为)0,(c ，)0,(c -； 当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c ，),0(c - 知识点三：椭圆的简单几何性质 椭圆：122 22=+b y a x )0(>>b a 的简单几何性质 （1）对称性：对于椭圆标准方程122 22=+b y a x )0(>>b a ：说明：把x 换成x -、或把y 换成y -、或把x 、 y 同时换成x -、y -、原方程都不变，所以椭圆122 22=+b y a x 是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并 且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 （2）范围： 椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤， b y ≤。 （3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 椭圆的定义与性质 1．椭圆的定义 (1)第一定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离叫做焦距． (2)第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离的比是常数e (0 椭圆几何性质知识点总结 1. 椭圆的定义 椭圆的定义是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。即 PF1+PF2=2a。其中F1和F2称为焦点，2a称为长轴长度。 椭圆的对称轴是通过两个焦点的连接线，称为长轴。椭圆的短轴是垂直于长轴，并且过椭圆中心的直线。 2. 椭圆的焦点和离心率 椭圆的焦点是椭圆的特殊点，它决定了椭圆的形状和大小。椭圆的离心率e定义为焦点到椭圆中心的距离与长轴长度a的比值。离心率的取值范围是0 椭圆的简单几何性质 椭圆是一种重要的几何图形，它具有一些独特的性质和特征。在本文档中，我们将介绍一些椭圆的简单几何性质，包括定义、方程、焦点与准线、长轴和短轴、离心率以及切线等内容。 1. 定义 椭圆是平面上的一个闭合曲线，其定义如下：对于给定的两个点F₁ 和F₂ 以及 一条固定长度的线段 2a（长轴），满足到椭圆上任意一点的两个焦点到该点的距 离之和始终等于 2a（F₁P + F₂P = 2a，其中 P 为椭圆上任意一点）。 2. 方程 一般来说，椭圆的方程可以表示为： (x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1 其中 (h, k) 为椭圆的中心坐标，a 和 b 分别为长轴和短轴的长度。 3. 焦点与准线 椭圆的焦点是定义椭圆的两个特殊点，记作F₁ 和F₂。它们位于椭圆的长轴上，且到椭圆中心的距离为 c（c² = a² - b²，对于椭圆来说，c < a）。 准线是垂直于长轴且通过中心的直线，可表示为 x = h ± a/e，其中 e 为离心率。 4. 长轴和短轴 椭圆的长轴为横坐标轴的长度，并且它是离心率 e 的倒数（2a = 1/e）。 短轴则为纵坐标轴的长度，且它与长轴的关系为 b² = a² - c²。 5. 离心率 离心率 e 描述了椭圆形状的独特特征。在数值上，离心率是一个小于 1 的正实数，可以通过以下公式计算： e = c / a 离心率越接近0，椭圆形状越接近于圆形；离心率越接近1，椭圆形状越扁平。 6. 切线 椭圆上任意一点的切线是与该点相切且仅与椭圆相交于此点的直线。切线的斜率可通过直线与椭圆方程联立解得。 一般来说，椭圆有两条切线与其相切。 结论 椭圆作为一种重要的几何图形，具有许多简单而重要的性质。从定义到方程，再到焦点与准线、长轴和短轴、离心率以及切线，椭圆的性质非常丰富。通过研究这些性质，我们可以更好地理解椭圆的形状和特征，为后续的几何学习奠定基础。 以上就是关于椭圆的简单几何性质的介绍，希望对你有所帮助！ [^__顶部__] 1 椭圆的简单几何性质 一、几何性质 1.范围：椭圆的范围是b y b a x a ≤≤-≤≤-, 2.对称性：椭圆关于x 轴、y 轴及原点都是对称的，这时坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心. 3.顶点：在椭圆的标准方程里，令y =0，得a x ±=可得A 1（－a ,0）、A 2(a ,0)是椭圆在x 轴上的两个顶点，，同理. 令x =0得y =±b ,所以得到：B 1（0,－b ）、B 2（0,b ）是椭圆在y 轴的两个顶点 （1）椭圆上任意一点P （x ，y ）与两焦点构成的三角形称为焦点三角形，周长为2（a+c ） （2）椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成了一个直角三角形，称为椭圆的特征三角形，边长满足2 2 2 c b a += 4.离心率：离心率a c e =a b a b a 2221- =-= ，（0＜e ＜1）⎩⎨⎧，椭圆越接近圆 趋近时，趋近，椭圆越扁平 趋近时，趋近001c e a c e 5.椭圆的准线：⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧± =±=c a y y c a x x 22 准线线的方程 准线线的方程轴上时，当焦点在轴上时，当焦点在 二、椭圆的第二定义 平面内与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数)10(<<=e a c e 的点的轨迹是椭圆 三、椭圆的其他几何性质 （1）焦准距：椭圆的焦点到相应准线的距离叫做焦准距，焦准距c b 2 = 2 （2）通径：过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦叫做椭圆的通径，通径长=a b 2 ，它是过椭圆焦点的弦中最短的一条弦。 （3）椭圆上到中心距离最远或最近的点：设),(y x P 为椭圆上的任意一点，则当P 在短轴端点处时OP 最短，则当P 在长轴端点处时OP 最长 四、椭圆的焦半径及其应用 （1）若椭圆方程为),(,11122 22y x P b y a x =+为椭圆上任一点，)0,()0,(21c F c F -是椭圆的两个焦点，则21,PF PF 分别 为椭圆的焦半径，由椭圆的第二定义知： 112 11ex a PF e c a x PF +=⇒=+ ， )0(1212 2>>-=⇒=-b a ex a PF e x c a PF 若椭圆方程为),(,11122 22y x P b x a y =+为椭圆上任一点，)0()0(21c F c F ，，-是椭圆的两个焦点，则21,PF PF 分别为 椭圆的焦半径，由椭圆的第二定义知： 112 11ey a PF e c a y PF +=⇒=+ ， )0(1212 2>>-=⇒=-b a ey a PF e y c a PF （2）由椭圆的焦半径公式可以推出：如果椭圆上的三点A,B,C 到同一焦点的距离成等差数列，则A,B,C 三点的横坐标（或纵坐标）也成等差数列，这样解决问题时就比较方便。 五、向量知识在椭圆中的应用 六、椭圆中的最值，定值问题的求解 例1：已知1F 为椭圆的左焦点，A,B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，当AB PO A F PF //,11⊥（O 为椭圆中心）时，求椭圆的离心率。 例2：已知P 为椭圆 175 4252 2=+y x 上一点，21,F F 是椭圆的焦点 ，02160=∠PF F 求21PF F ∆的面积。 例3：已知21,F F 是椭圆)0(,12222>>=+b a b y a x 的两个焦点P 为椭圆上的一点，且0 1202115,105=∠=∠F PF F PF 则椭圆的离心率是 例4：已知21,F F 是椭圆,14 22 =+y x 的左右两个焦点，过椭圆中心任做一直线与椭圆交于P,Q 两点，当四边形21QF PF 面积最大时，21PF ∙的值等于 例5：已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，直线1+=x y 与该椭圆交于点P ，Q 且2 10 ,0==∙PQ 求椭圆的方程？ 椭圆及其简单几何性质 学习目标 1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形； 2．根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质，画图． P 43~ P 46，文P 37~ P 40找出疑惑之处） 复习1： 椭圆22 11612x y +=上一点P 到左焦点的距离是2，那么它到右焦点的距离是 复习2：方程22 15x y m +=表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 ． 二、新课导学 ※ 学习探究 问题1：椭圆的标准方程22 221x y a b +=(0)a b >>，它有哪些几何性质呢？ 图形： 范围：x ： y ： 对称性：椭圆关于 轴、 轴和 都对称； 顶点：（ ），（ ），（ ），（ ）； 长轴，其长为 ；短轴，其长为 ； 离心率：刻画椭圆 程度． 椭圆的焦距与长轴长的比c a 称为离心率，记c e a =，且01e <<． 试试：椭圆221169 y x +=的几何性质呢？ 图形： 范围：x ： y ： 对称性：椭圆关于 轴、 轴和 都对称； 顶点：（ ），（ ），（ ），（ ）； 长轴，其长为 ；短轴，其长为 ； 离心率： c e a == ． 反思：b a 或c b 的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？ ※ 典型例题 例1 求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标． 变式：若椭圆是22981x y +=呢？ 小结：①先化为标准方程，找出,a b ，求出c ； ②注意焦点所在坐标轴． 例2 点(,)M x y 与定点(4,0)F 的距离和它到直线25:4l x = 的距离的比是常数4 5 ，求点M 的轨迹． 小结：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数（小于1）的点的轨迹是椭圆 ． ※ 动手试试 练1．求适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴焦点在x 轴上，6a =，13e =；⑵焦点在y 轴上，3c =，3 5 e =；椭圆的几何性质知识点归纳及典型例题及练习(付答案)
椭圆知识点总结
椭圆的几何性质知识点归纳及典型
椭圆及其性质
(整理)椭圆及其简单几何性质
椭圆的几何性质
第二章 椭圆的几何性质
椭圆 几何性质
椭圆的简单几何性质
椭圆的定义及几何性质(含答案)
椭圆几何性质的总结方法
椭圆及其几何性质
《椭圆的简单几何性质》知识点总结（精选2篇）
椭圆知识点总结
椭圆的定义与性质
椭圆几何性质知识点总结
椭圆的简单几何性质
椭圆的简单几何性质
椭圆及其简单几何性质