椭圆及其性质
第五节椭圆
第1课时椭圆及其性质[最新考纲] 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．
1．椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：
(1)若a＞c，则集合P为椭圆．
(2)若a＝c，则集合P为线段．
(3)若a＜c，则集合P为空集．
2．椭圆的标准方程和几何性质
1．过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为2b2
a，过焦点最长弦为长轴．
2．过原点最长弦为长轴长2a，最短弦为短轴长2b.
3．与椭圆x2
a2＋
y2
b2＝1(a＞b＞0)有公共焦点的椭圆方程为
x2
a2＋λ
＋
y2
b2＋λ
＝1(λ＞
－b2)．
4．焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形．若∠F1PF2＝θ，则
(1)|PF1|＋|PF2|＝2a.
(2)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ.
(3)S△PF1F2＝1
2|PF1||PF2|·sin θ，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取
最大值，为bc.
(4)焦点三角形的周长为2(a＋c)．
(5)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．
()
(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆． ()
(3)y2
a2＋
x2
b2＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆．()
(4)x2
a2＋
y2
b2＝1(a＞b＞0)与
y2
a2＋
x2
b2＝1(a＞b＞0)的焦距相等．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 二、教材改编
1．设P 是椭圆x 225＋y 2
16＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )
A ．4
B ．5
C ．8
D ．10 D [依椭圆的定义知：|PF 1|＋|PF 2|＝2×5＝10.]
2．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于1
2，则椭圆C 的方程是( )
A.x 23＋y 2
4＝1 B.x 24＋y 2
3＝1
C.x 24＋y 2
2＝1
D.x 24＋y 2
3＝1
D [设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)．
因为椭圆的一个焦点为F (1,0)，离心率e ＝1
2，所以⎩⎪⎨⎪⎧
c ＝1，
c a ＝12，
a 2
＝b 2
＋c 2
，
解得
⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＝4，
b 2＝3，
故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2
3＝1.]
3．过点A (3，－2)且与椭圆x 29＋y 2
4＝1有相同焦点的椭圆的方程为( ) A.x 215＋y 2
10＝1 B.x 225＋y 2
20＝1 C.x 210＋y 2
15＝1
D.x 220＋y 2
15＝1
A [设所求椭圆的方程为
x 29＋λ＋y 2
4＋λ＝1(λ＞－4)，则有99＋λ＋4
4＋λ
＝1，解得λ＝6，故所求椭圆方程为x 215＋y 2
10＝1.]
4．已知点P 是椭圆x 25＋y 2
4＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为 ．
⎝ ⎛⎭⎪⎫152，1或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，－1 [设P (x P ，y P )，x P ＞0，由题意知|F 1F 2|＝2. 则S △PF 1F 2＝1
2×|F 1F 2|×|y P |＝1，解得|y P |＝1. 代入椭圆的方程，得x 25＋14＝1，解得x ＝15
2， 因此点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫152，1或⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
152
，－1
.]
考点1 椭圆的定义及应用
利用定义求方程、焦点三角形及最值的方法
12C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )
A.x 264－y 2
48＝1 B.x 248＋y 2
64＝1 C.x 248－y 2
64＝1
D.x 264＋y 2
48＝1
(2)如图，椭圆x 2a 2＋y 2
4＝1(a ＞2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 是椭圆上的一点，若∠F 1PF 2＝60°，那么△PF 1F 2的面积为( )
A.23
3 B.332 C.334
D.433
(3)设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 2
16＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |－|PF 1|的最小值为 ．
(1)D (2)D (3)－5 [(1)设圆M 的半径为r ，则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16>8＝|C 1C 2|，所以M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的椭圆，且 2a ＝16,2c ＝8，故所求的轨迹方程为x 264＋y 2
48＝1.
(2)由题意知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|2＝4a 2－16， 由余弦定理得
4a 2－16＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°， 即4a 2－16＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1||PF 2|， ∴|PF 1||PF 2|＝163，
∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin 60°＝43
3，故选D.
(3)由题意知，点M 在椭圆外部，且|PF 1|＋|PF 2|＝10，则|PM |－|PF 1|＝|PM |
－(10－|PF 2|)＝|PM |＋|PF 2|－10≥|F 2M |－10.(当且仅当点P ，M ，F 2三点共线时等号成立)
又F 2(3,0)，则|F 2M |＝
(6－3)2＋(4－0)2＝5.
∴|PM |－|PF 1|≥－5，即|PM |－|PF 1|的最小值为－5.]
解答本例T (3)的关键是差式(|PM |－|PF 1|)转化为和式|PM |＋|PF 2|－10.
而转化的依据为|PF 1|＋|PF 2|＝2a .
1.已知A (－1,0)，B 是圆F ：x 2－2x ＋y 2－11＝0(F 为圆心)上一动点，
线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为( )
A.x 212＋y 2
11＝1 B.x 236－y 2
35＝1 C.x 23－y 2
2＝1
D.x 23＋y 2
2＝1
D [由题意得|P A |＝|PB |，
∴|P A |＋|PF |＝|PB |＋|PF |＝r ＝23＞|AF |＝2，
∴点P 的轨迹是以A ，F 为焦点的椭圆，且a ＝3，c ＝1，∴b ＝2， ∴动点P 的轨迹方程为x 23＋y 2
2＝1，故选D.]
2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为2
3，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为12，则椭圆C 的标准方程为( )
A.x 23＋y 2
＝1 B.x 23＋y 2
2＝1 C.x 29＋y 2
4＝1
D.x 29＋y 2
5＝1 D [由椭圆的定义，知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，所以△AF 1B 的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝12，所以a ＝3.因为椭圆的离心率e ＝c
a ＝
23，所以c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2
＝5，所以椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1，故选D.]
3．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1⊥PF 2，若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝ .
3 [设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧
r 1＋r 2＝2a ，r 21＋r 22＝4c 2， 所以2r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－(r 2
1＋
r 22)＝4a 2－4c 2＝4b 2，所以S △PF 1F 2＝12
r 1r 2＝b 2
＝9，所以b ＝3.]
考点2 椭圆的标准方程
求椭圆标准方程的两种方法
(1)定义法．根据椭圆的定义，确定a 2，b 2的值，结合焦点位置写出椭圆方程．
(2)待定系数法．一般步骤如下：
(1)一个椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上
一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆的方程为 ．
(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)，P 2(3，2)，则椭圆的方程为 ．
(3)[一题多解]与椭圆x 24＋y 2
3＝1有相同离心率且经过点P (2，－3)的椭圆方程为 ．
(1)x 28＋y 26＝1 (2)x 29＋y 23＝1 (3)y 2253＋x 2254＝1或x 28＋y 2
6＝1 [(1)设椭圆的标准
方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由点P (2，3)在椭圆上知4a 2＋3
b 2＝1.
又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，即2a ＝2×2c ，c
a
＝1
2.又c 2
＝a 2
－b 2
，联立⎩⎪⎨⎪⎧
4a 2＋3
b 2＝1，
c 2
＝a 2
－b 2
，
c a ＝12，
得a 2
＝8，b 2
＝6，故椭圆方程为x 28＋y 2
6
＝1.
(2)设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0且m ≠n )．
∵椭圆经过点P 1，P 2，∴点P 1，P 2的坐标适合椭圆方程，则⎩⎪⎨⎪⎧
6m ＋n ＝1，①
3m ＋2n ＝1，②
由①②两式联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝1
9，
n ＝13，
∴所求椭圆的方程为x 29＋y 2
3＝1. (3)法一：因为e ＝c
a ＝a 2－
b 2
a
＝
1－b 2a
2＝1－34＝12
， 若焦点在x 轴上，设所求椭圆方程为x 2m 2＋y 2
n 2＝1(m ＞n ＞0)，
则1－⎝ ⎛⎭⎪⎫n m 2＝14，从而⎝ ⎛⎭⎪⎫
n m 2
＝34，n m ＝32.又4m 2＋3n 2＝1，所以m 2＝8，n 2＝6.所
以椭圆方程为x 28＋y 2
6＝1.
若焦点在y 轴上，设椭圆方程为y 2h 2＋x 2
k 2＝1(h ＞k ＞0)， 则3h 2＋4k 2＝1，且k h ＝32， 解得h 2＝253，k 2＝25
4.
故所求方程为y 2253＋x 2254＝1，故椭圆的方程为y 2253＋x 2254＝1或x 28＋y 2
6＝1.
法二：若焦点在x 轴上，设所求椭圆方程为x 24＋y 2
3＝t (t ＞0)，将点P (2，－3)
代入，得t ＝224＋(－3)2
3＝2.故所求方程为x 28＋y 2
6＝1；若焦点在y 轴上，设方程为y 24＋x 2
3＝λ(λ＞0)，
代入点P (2，－3)，得λ＝2512，故所求方程为y 2253＋x 2
254＝1.
故椭圆的方程为y 2253＋x 2254
＝1或x 28＋y 2
6＝1.]
离心率相同的两个椭圆焦点可能在不同的轴上，因此要分类求解，
如本例T (3)．
[教师备选例题]
1．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的标准方程为( )
A.x 26＋y 2
4＝1 B.x 216＋y 2
36＝1 C.x 236＋y 2
16＝1
D.x 249＋y 2
9＝1
C [由长、短半轴长之和为10，焦距为45，可得a ＋b ＝10,2c ＝45，∴c ＝2 5.又a 2
＝b 2
＋c 2
，∴a 2
＝36，b 2
＝16.∵焦点在x 轴上，∴所求椭圆方程为x 2
36＋
y2
16＝1.故选C.]
2．已知中心在坐标原点的椭圆过点A(－3,0)，且离心率e＝
5
3，则椭圆的
标准方程为．
x2 9＋y2
4＝1或
y2
81
4
＋
x2
9＝1[若焦点在x轴上，由题知a＝3，因为椭圆的离心
率e＝
5
3，所以c＝5，b＝2，所以椭圆方程是
x2
9＋
y2
4＝1.若焦点在y轴上，则b
＝3，a2－c2＝9，又离心率e＝c
a＝
5
3，解得a
2＝81
4，所以椭圆方程是
y2
81
4
＋
x2
9＝1.]
1.已知a，b∈R，则“a＞0＞b”是“
x2
a－
y2
b＝1表示椭圆”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
B[当a＞0＞b且a＝－b时，
x2
a－
y2
b＝1表示圆，充分性不成立；当
x2
a－
y2
b＝1表示椭圆时，a＞0＞b且a≠－b，必要性成立，所以“a＞0＞b”是“
x2
a－
y2
b＝1表示椭圆”的必要不充分条件，故选B.]
2．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，且短轴长为2，离心率为
25
5，则该椭圆的标准方程为()
A.
x2
5＋y
2＝1 B.
x2
3＋y
2＝1
C.
x2
4＋y
2＝1 D.
y2
4＋x
2＝1
A[由题意设椭圆方程为
x2
a2＋
y2
b2＝1(a＞b＞0)，则2b＝2，故b＝1.又
c
a＝
25
5，a2＝b2＋c2，∴a2＝5.∴椭圆C的标准方程为
x2
5
＋y2＝1.故选A.]
考点3椭圆的几何性质
求椭圆离心率的值(或范围
)
1．求椭圆离心率的方法
(1)定义法：根据条件求出a，c，直接利用公式e＝c
a求解．
(2)方程法：根据条件得到关于a，b，c的齐次等式(不等式)，结合b2＝a2－c2转化为关于a，c的齐次等式(不等式)，然后将该齐次等式(不等式)两边同时除以a或a2转化为关于e或e2的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
2．求椭圆离心率范围的两种方法
12
一点．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为()
A．1－
3
2B．2－ 3
C.3－1
2 D.3－1
(2)已知F1，F2分别是椭圆x2
a2＋
y2
b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F1且垂直
于x 轴的直线与椭圆交于A ，B 上下两点，若△ABF 2是锐角三角形，则该椭圆的离心率e 的取值范围是( )
A ．(0，2－1)
B ．(2－1,1)
C ．(0，3－1)
D ．(3－1,1)
(1)D (2)B [(1)由题设知∠F 1PF 2＝90°，∠PF 2F 1＝60°，|F 1F 2|＝2c ，所以|PF 2|＝c ，|PF 1|＝3c .由椭圆的定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，即3c ＋c ＝2a ，所以(3＋1)c ＝2a ，故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝
23＋1
＝3－1.故选D.
(2)∵F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A ，B 上下两点，∴F 1(－c,0)，F 2(c,0)，A ⎝ ⎛
⎭⎪⎫－c ，b 2a ，
B ⎝ ⎛
⎭⎪⎫－c ，－b 2a ，∵△ABF 2是锐角三角形，∴∠AF 2F 1＜45°，∴tan ∠AF 2F 1＜1，∴b 2
a 2c ＜1，整理得
b 2＜2a
c ，∴a 2－c 2＜2ac ，两边同时除以a 2，并整理，得e 2＋2e －1＞0，解得e ＞2－1或e ＜－2－1(舍去)，∵0＜e ＜1，∴椭圆的离心率e 的取值范围是(2
－1,1)，故选B.]
求离心率的取值范围，关键是寻找关于a ，b ，c 的不等式，如本例
T (2)，利用等腰三角形是锐角三角形，则顶角的一半小于π
4，建立不等式求解．
[教师备选例题]
1．已知F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，现以F 2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M ，N ，若过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线，则椭圆的离心率为( )
A.32 B ．2－ 3 C.22 D.3－1
D [如图所示．
由题意可得MF 1⊥MF 2，|MF 2|＝c ，|MF 1|＝2a －c ，|F 1F 2|＝2c ， 所以c 2＋(2a －c )2＝4c 2， 化为c 2＋2ac －2a 2＝0， 即e 2＋2e －2＝0，e ∈(0,1)， 解得e ＝3－1，故选D.]
2．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于4
5，则椭圆E 的离心率的取值范围是( )
A.⎝
⎛⎦⎥⎤0，32
B.⎝ ⎛
⎦⎥⎤0，34 C.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
32，1 D.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫34，1 A [根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A ，B 两点到椭圆的左、右焦点的距离和为4a ＝2(|AF |＋|BF |)＝8，所以a ＝2.又d ＝|3×0－4×b |32＋(－4)2
≥45，所以1≤b ＜2，
所以e ＝c
a ＝
1－b 2a 2＝
1－b 24.因为1≤b ＜2，所以0＜e ≤3
2，故选A.]
与椭圆性质有关的最值(范围)问题
与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法
(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质，求最值或取值范围． (2)利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围． (3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围． (4)利用一元二次方程的判别式求最值或取值范围．
(1)(2017·全国卷Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2
m ＝1长轴的两个端点．
若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )
A ．(0,1]∪[9，＋∞)
B ．(0，3]∪[9，＋∞)
C ．(0,1]∪[4，＋∞)
D ．(0，3]∪[4，＋∞)
(2)(2019·开封模拟)如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝1
2，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，则PF →·P A →的最大值为 ．
(1)A (2)4 [(1)当0＜m ＜3时，焦点在x 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，
则a b ≥tan 60°＝3，即3
m ≥3，
解得0＜m ≤1.
当m ＞3时，焦点在y 轴上，
要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b ≥tan 60°＝3，即m 3≥3，解得m ≥9.
故m 的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)． (2)由题意知a ＝2， 因为e ＝c a ＝1
2，
所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3. 故椭圆方程为x 24＋y 2
3＝1.
设P 点坐标为(x 0，y 0)． 所以－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤ 3. 因为F (－1,0)，A (2,0)，
PF →＝(－1－x 0，－y 0)，P A →
＝(2－x 0，－y 0)， 所以PF →·P A →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2
. 则当x 0＝－2时，PF →·P A →取得最大值4.]
椭圆中长轴两端点(或两焦点)与短轴顶点所成的角最大，本例T (1)
就是以此求解的．
1.(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分
别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )
A.63
B.33
C.23
D.13
A [由题意知以A 1A 2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a . 又直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切， ∴圆心到直线的距离d ＝2ab a 2
＋b
2
＝a ，解得a ＝3b ，
∴b a ＝13，
∴e ＝c a ＝a 2－b 2
a
＝1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a 2＝1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫132
＝63.
故选A.]
2．已知点F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 2
16＝1的左、右焦点，点M 是该椭圆上的一个动点，那么|MF 1→＋MF 2→
|的最小值是( )
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10
C [设M (x 0，y 0)，F 1(－3,0)，F 2(3,0)．则MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→
＝(3－x 0，－y 0)，所以MF 1→＋MF 2→＝(－2x 0，－2y 0)，|MF 1→＋MF 2→
|＝
4x 20＋4y 2
0＝
4×25⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1－y 2016＋4y 20＝100－9
4y 20.
因为点M 在椭圆上，所以0≤y 20≤16， 所以当y 2
0＝16
时，|MF 1→＋MF 2→
|取最小值为8.]
椭圆及其性质
§8.5椭圆及其性质 学习目标 1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程. 2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率) .3.掌握椭圆的简单应用． 知识梳理 1．椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距． 2．椭圆的简单几何性质 焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上 图形 标准方程x2 a2＋ y2 b2＝1 (a>b>0) y2 a2＋ x2 b2＝1 (a>b>0) 范围－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a 顶点A1(－a，0)，A2(a，0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)， A2(0，a) B1(－b，0)， B2(b，0) 轴长短轴长为2b，长轴长为2a 焦点F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距|F1F2|＝2c 对称性对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点 离心率e＝c a(0 椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F 1PF 2＝θ. (1)当P 为短轴端点时，θ最大，1 2 F PF S △最大． (2) 12F PF S △＝12|PF 1||PF 2|sin θ＝b 2tan θ 2＝c |y 0|. (3)|PF 1|max ＝a ＋c ，|PF 1|min ＝a －c . (4)|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛ ⎭⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝a 2 . (5)4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos θ. 思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( × ) (2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．( √ ) (3)y 2m 2＋x 2 n 2＝1(m ≠n )表示焦点在y 轴上的椭圆．( × ) (4)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2 b 2＝1(a >b >0)的焦距相等．( √ ) 教材改编题 1．设P 是椭圆x 225＋y 2 16＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( ) A ．4 B ．5 C ．8 D ．10 答案 D 解析 依椭圆的定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝2×5＝10. 2．若椭圆C ：x 24＋y 2 3＝1，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为( ) A ．3 B ．2＋ 3 C ．2 D.3＋1 答案 A 解析 由题意知a ＝2，b ＝3，所以c ＝1，距离的最大值为a ＋c ＝3. 3．(2022·深圳模拟)已知椭圆C 的焦点在x 轴上，且离心率为1 2，则C 的方程可以为________． 答案 x 24＋y 2 3 ＝1(答案不唯一) 解析 因为焦点在x 轴上，所以设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2 b 2＝1，a >b >0， 椭圆定义及性质的应用 一、椭圆的定义 椭圆第一定义 第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距. ★过点1F 作12PF F ?的P ∠的外角平分线的垂线，垂足为Q ，则Q 的轨迹方程为222 x y a +=. 推导过程：延长1F Q 交2F P 于M ，连接OQ ， 由已知有PQ 为1MF 的中垂线，则1PF PM =，Q 为1 F M 中点，212OQ F M ==()121 2 PF PF +=a ，所以Q 的轨迹方程为 222 x y a +=.（椭圆的方程与离心率学案第5题） 椭圆第二定义 第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(< 推导过程： 2 200 a PF ed e x a ex c ?? ==-=- ? ?? ；同理得 10 PF a ex =+. 简记为：左加右减a在前.由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数. （离心率、焦点弦问题）例1：（2010全国卷Ⅱ理数12题）已知椭圆 22 22 :1(0) x y C a b a b +=＞ ＞的离心率为 3 ，过右焦点F且斜率为(0) k k>的直线与C相交于,A B两点．若3 AF FB = u u u r u u u r ，则k=（） A.1 D.2 B【解析】解法一：1122 (,),(,) A x y B x y，∵3 AF FB = u u u r u u u r ，∴12 3 y y =-，∵ 2 e=，设2, a t c ==，b t=，∴222 440 x y b +-=，直线AB方程为x my =.代入消去x，∴222 (4)0 m y b ++-=，∴ 2 1212 22 , 44 b y y y y m m +=-=- ++ ，则 2 2 22 22 2,3 44 b y y m m -=--=- ++ ，解得2 1 2 m=，则k= 0 k>. 解法二：设直线l为椭圆的右准线，e为离心率，过,A B别作11 , AA BB垂直于l， 11 , A B为垂足，过B作BH垂直于1 AA与H，设BF m =，由第二定义得， 11 , AF BF AA BB e e ==，由3 AF FB = u u u r u u u r ，得 1 3m AA e =, 2m AH e =，4 AB m =，则 2 1 cos 42 m AH e BAH AB m e ∠====，则sin BAH ∠=tan BAH ∠=，则k=0 k>.故选B. （离心率、焦点弦问题）例2：倾斜角为 6 π 的直线过椭圆)0 (1 2 2 2 2 > > = +b a b y a x 的左焦点F，交椭圆于,A B 两点，且有3 AF BF =，求椭圆的离心率. 椭圆与方程 【知识梳理】 1、椭圆的定义 平面内，到两定点1F 、2F 的距离之和为定长()1222,0a F F a a <>的点的轨迹称为椭圆，其中两定点1F 、2F 称为椭圆的焦点，定长2a 称为椭圆的长轴长,线段12F F 的长称为椭圆的焦距。此定义为椭圆的第一定义。 2、椭圆的简单性质 3、焦半径 椭圆上任意一点P 到椭圆焦点F 的距离称为焦半径，且[],PF a c a c ∈-+，特别地，若00(,)P x y 为椭圆 ()22 2210x y a b a b +=>>上的任意一点，1(,0)F c -,2(,0)F c 为椭圆的左右焦点，则10||PF a ex =+，20||PF a ex =-,其中c e a =. 4、通径 过椭圆()22 2210x y a b a b +=>>焦点F 作垂直于长轴的直线，交椭圆于A 、B 两点,称线段AB 为椭圆的通径，且 2 2b AB a =。 P 为椭圆()22 2210x y a b a b +=>>上的任意一点，1(,0)F c -，2(,0)F c 为椭圆的左右焦点，称12PF F ∆为椭圆的焦点三角 形,其周长为：1222F PF C a c ∆=+，若12F PF θ∠=，则焦点三角形的面积为：122tan 2F PF S b θ ∆=. 6、过焦点三角形 直线l 过椭圆()22 2210x y a b a b +=>>的左焦点1F ，与椭圆交于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点，称2ABF ∆为椭圆的过焦点三 角形，其周长为：24ABF C a ∆=，面积为212y y c S ABF -=∆. 7、点与椭圆的位置关系 ()00,P x y 为平面内的任意一点,椭圆方程为22 221(0)x y a b a b +=>>：若2200221x y a b +=，则P 在椭圆上;若22 00221x y a b +>，则P 在椭圆外；若2200 221x y a b +<，则P 在椭圆内。 8、直线与椭圆的位置关系 直线:0l Ax By C ++=，椭圆Γ：22 221(0)x y a b a b +=>>，则 l 与Γ相交22222a A b B C ⇔+>； l 与Γ相切22222a A b B C ⇔+=； l 与Γ相离22222a A b B C ⇔+<. 9、焦点三角形外角平分线的性质（＊） 点(,)P x y 是椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上的动点,12,F F 是椭圆的焦点, M 是12F PF ∠的外角平分线上一点,且 椭圆的简单几何性质【知识点】 知识点一椭圆的范围、对称性和顶点坐标 【问题1】观察椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的形状(如图)，你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？ (1)范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b； (2)对称性：椭圆关于x轴、y轴、原点都对称； (3)特殊点：顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)． 【问题2】在画椭圆图形时，怎样才能画的更准确些？ 在画椭圆时，可先画一个矩形，矩形的顶点为(－a，b)，(a，b)，(－a，－b)，(a，－b)． 椭圆的简单几何性质 (±c,0)(0，±c) 知识点二椭圆的离心率 思考如何刻画椭圆的扁圆程度？ 用离心率刻画扁圆程度，e 越接近于0，椭圆越接近于圆，反之，越扁． (1)椭圆的焦距与长轴长的比____c a ____称为椭圆的离心率． (2)对于x 2a 2＋y 2 b 2＝1，b 越小，对应的椭圆越____扁____，反之，e 越接近于0， c 就越接近于0，从而b 越接 近于a ，这时椭圆越接近于圆，于是，当且仅当a ＝b 时，c ＝0，两焦点重合，图形变成圆，方程变为x 2＋y 2＝a 2.(如图) 类型一 由椭圆方程研究其简单几何性质 【例1】求椭圆9x 2＋16y 2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． 解 已知方程化成标准方程为x 216＋y 2 9＝1， 于是a ＝4，b ＝3，c ＝ 16－9＝7， ∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a ＝8和2b ＝6， 离心率e ＝c a ＝7 4，又知焦点在x 轴上， ∴两个焦点坐标分别是(－7，0)和(7，0)， 四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)和(0,3)． 引申探究 本例中若把椭圆方程改为“9x 2＋16y 2＝1”求其长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． 解 由已知得椭圆标准方程为 x 219＋y 2 116 ＝1， 于是a ＝13，b ＝1 4， c ＝ 19－116＝712 . ∴长轴长2a ＝23，短轴长2b ＝1 2， 离心率e ＝c a ＝7 4. 焦点坐标(－ 712，0)和(7 12 ，0)， 椭圆与双曲线的对偶性质之椭圆篇(1) 杨志明 1． 2．标准方程： 3． 4．点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角. 5．PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离. 7．以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 8．设A1、A2为椭圆的左、右顶点，则△PF1F2在边PF2（或PF1）上的旁切圆，必与A1A2所在的直线切于A2（或A1）. 9．椭圆（a＞b＞o）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是. 10．若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是. 11．若在椭圆外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是. 12．AB是椭圆的不平行于对称轴且过原点的弦，M为AB的中点，则. 13．若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是 . 14．若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是. 15．若PQ是椭圆（a＞b＞0）上对中心张直角的弦，则 . 16．若椭圆（a＞b＞0）上中心张直角的弦L所在直线方程为,则(1) ;(2) . 17．给定椭圆：（a＞b＞0）, ：,则(i)对上任意给定的点,它的任一直角弦必须经过上一定点M(. (ii)对上任一点在上存在唯一的点,使得的任一直角弦都经过点. 18．设为椭圆（或圆）C:(a＞0,. b＞0)上一点，P1P2为曲线C的动弦,且弦P0P1, P0P2斜率存在，记为k1, k 2, 则直线P1P2通过定点的充要条件是. 19．过椭圆(a＞0, b＞0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）. 椭圆的性质 1．椭圆的定义：平面内与两个定点12F F ，的距离之和等于常数（大于12||F F ）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆． 2．椭圆的标准方程： ①22 221(0)x y a b a b +=>>，焦点是1(0)F c -，，2(0)F c ，，且222=+a b c ． ②22 221(0)y x a b a b +=>>，焦点是1(0)F c -，，2(0)F c ，，且222=+a b c ． 3．椭圆的几何性质（用标准方程22 221(0)x y a b a b +=>>）： ⑴范围：a x a -≤≤，b y b -≤≤； ⑵对称性：以x 轴、y 轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心； ⑶椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，如图中的1212A A B B ， ，，； ⑷长轴与短轴：焦点所在的对称轴上，两个顶点间的线段称为椭圆的长轴，如图中线段的12A A ；另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴，如图中的线段12B B ． ⑸椭圆的离心率：c e a = ，焦距与长轴长之比，01e <<，e 越趋近于1，椭圆越扁；反之，e 越趋近于0，椭圆越趋近于圆． 4．若000(,)P x y 在椭圆22 22 1x y a b +=上，则过0 P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦 P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 6. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 椭圆知识点性质大全 1.122PF PF a += 2.标准方程22 221x y a b += 3.111PF e d =< 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 8．设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）. 9．椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的 直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22 221x y a b -=. 10．若000(,)P x y 在椭圆22 22 1x y a b +=上，则过0 P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 11．若000( ,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是 00221x x y y a b +=. 12．AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-. 13．若000(,)P x y 在椭圆 22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是22 00002222x x y y x y a b a b +=+. 14．若000(,)P x y 在椭圆 22 221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 椭圆知识点 知识要点小结：知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121 F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的 轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若)(2121 F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的标准方程 1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中2 22b a c -= 2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b x a y )0(>>b a ，其中2 22b a c -=；注意：1．只 有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时， 才能得到椭圆的标准方程； 2．在椭圆的两种标准方程中，都有)0(>>b a 和2 2 2 b a c -=； 3．椭圆的焦点总在长轴上. 当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为)0,(c ，)0,(c -； 当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c ，),0(c - 知识点三：椭圆的简单几何性质 椭圆：122 22=+b y a x )0(>>b a 的简单几何性质 （1）对称性：对于椭圆标准方程122 22=+b y a x )0(>>b a ：说明：把x 换成x -、或把y 换成y -、或把x 、 y 同时换成x -、y -、原方程都不变，所以椭圆122 22=+b y a x 是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并 且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 （2）范围： 椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤， b y ≤。 （3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 椭圆的定义与性质 1．椭圆的定义 (1)第一定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离叫做焦距． (2)第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离的比是常数e (0 椭圆常用结论及其推导过程 椭圆是一个非常重要的几何学概念，具有许多重要的结论和性质。在这篇文章中，我们将介绍椭圆的常用结论及其推导过程。 一、椭圆的定义及基本性质 1.椭圆的定义： 椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a（a>0）的点P的轨迹。 2.椭圆的基本性质： (1)椭圆是一个封闭曲线，具有对称性； (2)椭圆的两个焦点F1和F2与椭圆的中心O在一条直线上； (3)椭圆的长轴与短轴相交于中心，长度分别为2a和2b（a>b>0）； (4)椭圆的离心率e满足0 证明：设椭圆的焦点分别为F1和F2，长轴的长度为2a，椭圆上的任 意一点为P。根据椭圆的定义，有PF1+PF2=2a。将等式两边平方化简得到(PF1)²+(PF2)²+2(PF1)(PF2)=(2a)²。 根据焦点与点P连线与切线夹角为直角的性质，可以得到 (PF1)²+(PF2)²=(PM)²，其中PM为点P到椭圆的切线的距离。根据切线的 性质，可以得到(PM)²=(PA)²+(PM-A)²，其中A是椭圆上与点P相切的点。代入上式，化简得到(PF1)²+(PF2)²+2(PF1)(PF2)=(2a)²，即(PA)²+(PM-A)²+2(PA)(PM-A)=(2a)²。 经过化简，得到(PA+PM-A)²=(2a)²，即2(PA)(PM-A)=0。由于椭圆的 定义，PA不等于0，所以PM=A，即椭圆上的任意一点到焦点连线的长度 等于焦点到切线的长度，即(PF1)²+(PF2)²=(PM)²=(PA)²+(PM- A)²=(PA)²+(PF1)²。 由此可得到(PF1)²+(PF2)²=(PA)²+(PF1)²，两边消去(PF1)²后可得到(PF2)²=(PA)²。同样地，可以证明(PF1)²=(PA)²，所以 (PF1)²+(PF2)²=2(PA)²=(2a)²。 3.推论：椭圆半长轴的平方加上半短轴的平方等于焦点到定点连线的 长度平方和。 证明：设椭圆的焦点分别为F1和F2，半长轴的长度为a，半短轴的 长度为b。根据上面的推论，得到(PF1)²+(PF2)²=(2a)²。同时，因为焦 点到半长轴和半短轴的距离分别为a和b，所以(PF1)²=(OF1)²+(a- EP)²=a²+(a-EP)²，(PF2)²=(OF2)²+(a+EP)²=a²+(a+EP)²。将这两个等式 代入(PF1)²+(PF2)²=(2a)²中，可以得到a²+(a-EP)²+a²+(a+EP)²=4a²， 化简后可得到a²+b²=2a²。经过化简，得到a²-b²=0，即a²+b²=(2a)²-b²。 椭圆、抛物线、双曲线的定义及性质椭圆、抛物线、双曲线是高中数学中常见的三种二次曲线，它 们的定义和性质对于我们理解数学和应用数学起着非常重要的作用。本文将详细介绍这三种曲线的定义以及它们的一些重要性质。 一、椭圆的定义及性质 椭圆是平面上到两个定点F1、F2距离之和为常数2a的所有点 P的轨迹，这两个定点称为椭圆的焦点，椭圆的长轴为2a，短轴 为2b，半径为c，满足 $a^2=b^2+c^2$。椭圆的离心率 $e=\frac{c}{a}$，离心率是描述椭圆扁平程度的一个参数， $0 抛物线是平面上到一个定点F到直线l距离等于点P到定点F 距离的所有点P的轨迹，这个定点F称为抛物线的焦点，直线l称为抛物线的准线。 抛物线具有如下性质： 1.抛物线的焦点到抛物线顶点的距离等于抛物线定点F到准线距离的一半，称为抛物线的焦距； 2.抛物线的汇聚点为无穷远处； 3.对于平面上任意的一点P，直线FP与准线l的夹角等于点P 到抛物线顶点的切线与抛物线轴线的夹角相等。 三、双曲线的定义及性质 双曲线是平面上到两个定点F1、F2距离之差为常数2a的所有点P的轨迹，这两个定点称为双曲线的焦点，而常数2a为双曲线的距离。 双曲线具有如下性质： 1.双曲线的两个分支之间存在一对渐近线，渐近线与双曲线的距离趋近于无穷； 2.双曲线的离心率$e=\frac{c}{a}>1$； 3.双曲线没有汇聚点，但是有两个分支的顶点。 椭圆的标准方程及性质 1． 椭圆的两种定义： (1)平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长() 212F F a >的点的轨迹，即点集M ={P | |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a =时为线段21F F ， 212F F a <无轨迹）.其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距. (2)平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的 轨迹，即点集M ={P | e d PF =，0＜e ＜1的常数}. 2． 标准方程： （1）焦点在x 轴上，中心在原点：122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）；焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，0）.其中22b a c -= （2）焦点在y 轴上，中心在原点：122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）；焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）.其中22b a c -= 3.椭圆一般方程 两种标准方程可用统一形式表示：Ax 2+By 2 =1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B 当A ＜B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上），已知椭圆上的两个点这种形式用起来更方便. 4．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异 共焦点，则c 相同。与椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 共焦点的椭圆方程可设为122 2 2=+++m b y m a x )(2b m ->，此类问题常用待定系数法求解。 5.共离心率椭圆方程的椭圆标准方程共离心率，则e 相同。与椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 共焦点的椭圆方程可设 为 ， 6：椭圆12222=+b y a x 与 122 22=+b x a y )0(>>b a 的区别和联系 标准方程 122 22=+b y a x )0(>>b a 122 22=+b x a y )0(>>b a 图形 性质 焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F 焦距 c F F 221= c F F 221= 范围 a x ≤，b y ≤ b x ≤，a y ≤ 对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称 顶点 )0,(a ±，),0(b ± ),0(a ±，)0,(b ± 轴长 长轴长=a 2，短轴长=b 2 离心率 )10(<<= e a c e 准线方程 c a x 2 ±= c a y 2 ±= 焦半径 01ex a PF +=，02ex a PF -= 01ey a PF +=，02ey a PF -= x y O F F P A A B 1112 1 2 2 2M M K K 椭圆的基本性质 （一）对称性 问题1：观察椭圆标准方程的特点，利用方程研究椭圆曲线的对称性？ 代 后方程不变，说明椭圆关于 轴对称； 代 后方程不变，说明椭圆曲线关于 轴对称； 、 代 ， 后方程不变，说明椭圆曲线关于原点对称； 问题2：从对称性的本质上入手，如何探究曲线的对称性？ 以把x换成－x为例，如图在曲线的方程中，把x换成－x方程不变，相当于点P （x，y）在曲线上，点P点关于y轴的对称点Q（－x，y）也在曲线上，所以曲线关于y轴对称．其它同理. 相关概念：在标准方程下，坐标轴是对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. （二）顶点 问题1：观察椭圆标准方程的特点，利用方程求出椭圆曲线与对称轴的交点坐标？ 在椭圆的标准方程中，令 ，得 ， ，得 顶点概念：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点. 顶点坐标； ， . 相关概念：线段 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于 ， 和 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 在椭圆的定义中， 表示焦距，这样，椭圆方程中的 就有了明显的几何意义. 问题2：在椭圆标准方程的推导过程中令 能使方程简单整齐，其几何意义是什么？ 表示半焦距， 表示短半轴长，因此，联结顶点 和焦点 ，可以构造一个直角三角形，在直角三角形内， ，即 . （三）范围 问题1：结合椭圆标准方程的特点，利用方程研究椭圆曲线的范围？即确定两个变量的允许值范围． 变形为： 这就得到了椭圆在标准方程下 的范围： 同理，我们也可以得到 的范围： 问题2：思考是否还有其他方法？ 方法一：可以把 看成 ，利用三角函数的有界性来考虑 的范围； 方法二：椭圆的标准方程表示两个非负数的和为1，那么这两个数都不大于1，所以 ，同理可以得到 的范围 由椭圆方程中 的范围得到椭圆位于直线 和 所围成的矩形里. 三、例题解析 例1 已知椭圆的方程为 椭 圆 一.考试必“背” 1 椭圆的两种定义： ①平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长() 212F F a >的点的轨迹，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距。 ②平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集 M={P| e d PF =，0＜e ＜1的常数 }。（1=e 为抛物线；1>e 为双曲线） 2 标准方程： （1）焦点在x 轴上，中心在原点：122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）； 焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，0）。其中22b a c -= （一个∆Rt ） （2）焦点在y 轴上，中心在原点：122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）； 焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）。其中22b a c -= 注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，22b a c -= 并且椭圆的焦点总在长轴上； ②两种标准方程可用一般形式表示：Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B ），当A ＜ B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上。 3．参数方程 ：椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 的参数方程 4.性质：对于焦点在x 轴上，中心在原点：12 2 22=+b y a x （a ＞b ＞0）有以下性质： 坐标系下的性质： ① 范围：|x|≤a ，|y|≤b ； ② 对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O （0，0）； ③ 顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ），长轴|A 1A 2|=2a ，短轴|B 1B 2|=2b ； （a 半长轴长，b 半短轴长）； ④ 准线方程：c a x 2± =；或c a y 2 ±= ⑤ 焦半径公式：P （x 0，y 0）为椭圆上任一点。|PF 1|=左r =a+ex 0，|PF 2|=右r =a-ex 0； |PF 1|=下r =a+ey 0，|PF 2|=上r =a-ey 0;c a PF c a PF -=+=min max , 平面几何性质：椭圆定义及性质整合
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