华师大版解直角三角形教案
华师大版解直角三角形
教案
SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-
解直角三角形
测量
教学目标：利用前面学习的相似三角形的有关知识，探索测量距离的几种方
法，初步接触直角三角形的边角关系。
教学重点：探索测量距离的几种方法。
教学难点：选择适当的方法测量物体的高度或长度。 教学过程：
一。复习引入：
当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许想知道操场旗杆有多高我们知道可以利用相似三角形的对应边，首先请同学量出太阳下自己的影子长度，旗杆的影子长度，再根据自己的身高，计算出旗杆的高度。如果在阴天，你一个人能测量出旗杆的高度吗
二。新课探究： 例1. 书.试一试.
如图所示，站在离旗杆BE 底部10米处的D 点，目测旗杆的顶部，视线AB 与水平线的夹角∠BAC=34°，并已知目高AD 为1米。现在请你按1：500的比例得△ABC 画在纸上，并记为△A 1B 1C 1,用刻度尺量出纸上B 1C 1
的长度，便可以算出旗杆的实际高度。你知道计算的方
法吗
解：∵△ABC ∽△A 1B 2C 3, ∴AC:A 1C 1=BC:B 1C 1=500:1
∴只要用刻度尺量出纸上B 1C 1的长度，就可以计算出BC 的长度，加上AD 长即为旗杆的高度。若量得B 1C 1=a ㎝，则BC=500a ㎝=5a ㎝。故旗杆高(1+5a)m.
说明：利用相似三角形的性质测量物体高度或宽度时，关键是构造和实物相似的三角形，且能直接测量出这个三角形各条线段的长，再列式计算出实物的高或宽等。
例2.为了测出旗杆的高度，设计了如图所示的三种方案，并测得图(a)中BO=6m,OD=3.4m,CD=1.7m 图(b)中CD=1m,FD=0.6m,EB=1.8m 图(c)中BD=9m,EF=；此人的臂长为0.6m 。
（1） 说明其中运用的主要知识；（2）分别计算出旗杆的高度。
（a ） （b ） （c ） O D
C
B A
F E
D C
B A F
E
B C
D A
E D
C
B
A 1
1
1
C B
A
分析：图(a)和图(c)都运用了相似三角形对应边成比例的性质，图(b)运用了同一时刻的物高与影长成正比的性质。
解：（1）∵△AOB ∽△COD,∴OD
OB CD
AB
=
即4
.367
.1=
AB
∴AB=3(m).
（2）∵同一时刻物高与影长成正比，∴DF
CD BE
AB =
即
6
.018
.1=
AB ∴AB=3(m).
（3）∵△CEF ∽△CAB ∴
BD
FG AB
EF =
即
9
6.02.0=
AB
∴AB=3(m).
方法技巧：测量物体的高度可利用自己的身高、臂长等长度结合相似形的性质求出物高，也可以运用同一时刻的物高与影长成正比的性质测量物体的高度。
三、引申提高：
例3。设计一种方案，测量学校科技楼的高度。请写出测量的过程，并简要说明这样做的理由。
分析：测量大楼的高度的方法很多，现采用一种方法，利用人的身高和标杆，依据相似三角形三角对应成比例和平行线的性质，可测出大楼的高度。
解答：测量过程如下： 1、在地面上立一个标杆，使人眼、杆顶、楼顶在一
2、测出CF 、CH 的距离。 、算出KE 的长度。
4、用标杆长度减去人的身高，即
DE 的长度。
、由DE ∥AB 得△KDE ∽△KAB 。又因为相似三角形
三边对应成比例，∴
KB
KE AB
DE =
。
6、再将刚才测量的数值代入比例式中，计算出AB 的长度。
7、用AB 加上人的身高即得出大楼的高度。
探究点拔：1.选择测量的方法应是切实可行的。如本题中人眼、杆顶、楼顶在一条直线上（人是站立的）。
2．大楼的高度=AB+人高。
3．测量的过程要清楚，力求每步都有根有据，达到学以至用。 四．巩固练习：
1.如图1，要测量A 、B 两点间距离，在O 点设桩，取OA 中点C ，OB 中点D ，测得CD=31.4m 求AB 长。 (AB=6
2.8m)
F
C
A B
O A B
C A
(1) (2)
2. 如图2, 为了测量河的宽度，可以先在河对岸找到一个具有明显标志的点A，再在所在的一边找到两点B、C，使△ABC构成Rt△。如果测得BC=50米，∠ABC=73°，试设计一种方法求河的宽度AC。 (在地面上另作 Rt△A’B’C’，使B’C’=5米，∠C’=Rt∠,∠B’=73°, 测得 A’C’=16.35米，得 AC=16.35米 ).
五课时小结：
选择适当的方法测量物体的高度或长度等是新时期素质教育的要求，运用所学相似三角形知识设计测量方案时一定要考虑可行性，力求操作简便，计算简洁，同时注意分析环境、天气等要素。
六．课堂作业：
《教科书》87－1、2、3
锐角三角函数（1）
教学目标：1.直角三角形可简记为Rt △ABC
2.理解Rt △中锐角的正弦、余弦、正切、余切的概念。 教学重点：四种锐角三角函数的定义。 教学难点：理解锐角三角函数的定义。 教学过程：
一．复习提问： 1. 什么叫Rt △它的三边有何关系 △中角、边之间的关系是：①∠A+∠B=90°②222c b a =+ 二．新课探究：
△ABC 中，某个角的对边、邻边的介绍。
2.如图，由Rt △AB 1C 1∽Rt △AB 2C 2∽Rt △AB 3C 3
得
,3
3
3222111k AC C B AC C B C A C B === 可见，在Rt △ABC 中，对于锐角A 的每一 个确定的值，其对边与邻边的比值是惟一确定的。
同样，其对边与斜边，邻边与斜边，邻边与对边的比值也是惟一确定的。 3.四种锐角三角函数。
,
cot ,tan cos ,sin 的对边
的邻边
的邻边
的对边
，
的斜边
的邻边
的斜边的对边
A A A A A A A A A A A A ∠∠=
∠∠=∠∠=
∠∠=
分别叫做锐角∠A 的正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角∠A 的三角函数.
显然，锐角三角函数值都是正实数，并且0
A
B
C
C C 3
2111
B B 1
C B A
1cot tan ,1cos sin 22=?=+A A A A
三．四种三角函数值
例1.①求出如图所示的Rt △ABC 中，∠A 的四个三角函数值。
解：Rt △ABC 中，AB=22AC BC +=22815+=17
∴sinA=
178=AB BC ，cosA=17
15
=AB AC
tanA=158=AC BC ，cotA=8
15
=BC AC 8
②若图中AC ︰BC=4︰3呢 15 解：设AC=4κ，BC=3κ，则AB=5κ
∴sinA=53，cosA=54，tanA=43，cotA=34
③若图中tanA=4
3
呢（解法同上）
例2.△ABC 中，∠B=90°，a=5，b=13，求∠A 的四个三角函数值。 解：Rt △ABC 中，c=22a b -=22513-=12
∴sinA=
135，cosA=1312，tanA=125，cotA=5
12
注意：解Rt △，如无图，应根据题意自己画图，寻找线段比值也应根据定义，不能死记公式。 四．巩固练习：
书P 1091-3
五．引申提高：
例3．如图，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，若AD=2，BD=8。 求cosB 。你还能求什么
法一：Rt △BCD,5
5
2cos ==
BC BD B 法二：Rt △ABC 中，5
5
2cos ==
AB BC B 变式：若AD:BD=9:16, 求∠A 的四个三角函数值。 ( 4
3
,34,53,54 )
六．课时小结：
灵活运用四个三角函数求值。
A
B C A B
C
A B
C
D
七．课堂作业：
教科书： 。 1—4
锐角三角函数（2）--------特殊值
教学目标：1、使学生熟记30°、45°、60°的三角函数值
2、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角
边等于斜边的一半。
教学重点：特殊角的三角函数值。 教学过程：
一、 复习：
1.什么叫锐角A 的正弦、余弦、正切、余切
2.如图，∠C=90°，AC=7，BC=2
（1） 求∠A 和∠B 的四个三角函数值 （∠A ：
2
7,72,
5353
7,
5353
2 ∠B ：
7
2,27,
5353
2,
5353
7）
（2） 比较求值结果，你发现了什么
（sinA=cosB, cosA=sinB, tanA=cotB, cotA=tanB ） 得出：如果两个锐角互余，则有
sin(90°－A)=cosA, cos(90°－A)=sinA, tan(90°－A)=cotA, cot(90°－A)=tan A 二、 新授
1.推导特殊角的三角函数值
例1、直角△ABC 中，∠A=30°，求sinA 、cosA 、tanA 、 cotA
由sin30°=2
1
得出：
在直角三角形中如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于
斜边的一半。
练习：∠A=45°、∠A=60°呢
A B
C
2.已知特殊角的三角函值求锐角
例2.①已知sinA=2
1
,则∠A= 30° ;
②已知tanA=1,则∠A= 45° ;
③已知cosB=2
1
,则∠B= 60° ;
④已知sinB=
2
3
,则∠B= 60° ; ⑤已知,03cot 3=-α则∠α= 60° ; ⑥已知,2
3
)15sin(3=?-β则∠=β 75° ; ⑦已知(
)
03
3
tan 1sin 22
=-
+-B A ,A,B 为△ABC 的内角，则∠C = 75° ；
⑧已知03tan )31(tan 2=++-αα，则=α 45°或60° ； 3.计算：
例3.①?+?+?45tan 60cos 330sin 2 （
2
7
） ②?-??-?45cot 230cot 45tan 30cos （ 2
1 ） ③?+?30cos 30sin （ 1 ）
④?-++?-?30sin 1160sin 260sin 2 （ 2
3
3- ） 三、 引申提高：
1sin )1(cos 2---αα ( ααcos sin - )
注意: ①22230sin )30(sin 30sin ?≠?=? ②0＜αsin ＜1, 0＜αcos ＜1 四、 巩固练习
计算①?+?-?+?60sin 245tan 250cot 30tan 3 （ 132- ）
②
???+?
-??
30cos 45cos 60tan 60cot 45sin （ 0 ）
③?
+?+
?-?30cos 45sin 1
45cos 60sin 1 （ 34 ） ④?-+-?30sin 1)160(cos 2 （ 1 ） 五、 课时小结
1.特殊角30°45°60°的四种三角函数值，
2.注意30°、60°角的函数值的区别 六、课作
教科书P93－3；《学习指导》
锐角三角形函数（4）—复习
教学目标：熟练运用三角函数知识解题 教学重点：锐角三角函数
教学难点：锐角三角函数的运用 教学过程： 一、 复习
1. 直角三角形中四个锐角三角函数的求法
2. 特殊三角的三角函数值 二、 新授
例1.如图，菱形ABCD 中，对角线AC=16，BD=30，求:
①∠ABD 的四个三角函数值。②sin ∠ABC 解：①在菱形ABCD 中，AO=CO=8，BO=DO=15，AC ⊥BD ，∴AB=22AO BO +=22158+=17
在Rt △ABO 中，sin ∠ABD=178=
AB AO ，cos ∠ABD=1715，tan ∠ABD=15
8
，cot ∠ABD=
8
15
②过C 作CE ⊥AB 于E ，菱形ABCD 中，AB=BC=17，
S ABCD 菱形=CE AB BD AC ?=?21
∴21×16×30=CE ?17，∴CE=17
240
Rt △BCE 中，sin ∠ABC=289
240
=
CB CE 例2.在△ABC 中，∠C=90°，sinA=4
3
，求cosA 的值
分析：本题可有两种方法求解
O
E
D C
B A
1. 利用∠A 的正弦、余弦的定义来解
2. 利用同角三角函数中的平方关系式 解法一：设a=κ3，c=κ4，则b=7κ，∴cosA=
4
747==κκc b 解法二：∵sin 2A+cos 2A=1，sinA=4
3
，∴cosA=47)43(1sin 122=-=-A
三。引申提高：
例3.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，sinB=5
3
，D 是BC 上一点，DE ⊥AB
于E ，CD=DE ，AC+CD=9，求BE 、CE 的长。
分析：由sinB=5
3
==AB AC DB DE ，可设DE=CD=κ3 ，
DB=κ5，则BC=8κ，AC=6κ，AB=10κ，再由
AC+CD=9，可求出各边长。在Rt △BDE 中，由勾股定理求BE 长，过C 作CF ⊥AB ，再用勾股定理求解。 解：∵sinB=53，∠ACB=90°，DE ⊥AB ，∴sinB=5
3
==AB AC DB DE ，设
DE=CD=3κ，则DB=5κ
又CD=DE=3κ，∴CB=8κ，∴AC=6κ，AB=10κ，∵AC+CD=9，∴693=+κκ，∴1=κ
∴DE=3，DB=5，∴BE=43522=- 过C 作CF ⊥AB 于F ，则CF ∥DE ，∴85===BC BD BF BE CF DE ，求得CF=
5
24
，BF=
5
32 ∴EF=
512，在Rt △CEF 中，55
12
22=+EF CF 四、巩固练习
1. △ABC 中，∠C=90°，a=40,c=41.
求B B B 22cos 9sin 9tan 40--的值。 ( 0 ) 2.计算①?+???+?45sin 60cot 30cos 30cos 2 ( 2
3
1+ ) ②
?
-??
-?45sin 30cos 45cos 60sin ( 1 )
F E
D
C B A
3.△ABC 中,AB=AC=5,BC=8,求cosB 。 （
5
4
） 五、课时小结．
1. 熟记锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值。
2. 三角函数定义的理解在复杂图形中求某角的三角函数值。
3. 通过作垂线构造Rt △，运用勾股定理列方程求解。 六、课作：
1. △ABC 中,02
3sin 1cos 2=-+-B A ,∠C= 60°
2.△ABC 中,∠C=90°,斜边上的中线长为m,且m AC 3
4
=，求最小角的余弦值。 (
3
5
) 2. △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，D 是BC 上一点，
且DC=2BD ，DE ⊥AB 于E ，求sin ∠AEC 的值。（13
13
3）
3. △ABC 中，∠C=30°，D 为AC 上一点，DB ⊥BC ，已 知AD ︰DC=1︰2，求tan ∠ABD 的值。 （
3
3
） 4. △ABC 中，∠C=90°，D 为BC 中点，DE ⊥AB 于E ，
tanB=21，AE=7，求DE 长。（3
7）
E D
C
B
A
D
C
B
A
E
D
C
B
A
解直角三角形（1）
教学目标：利用直角三角形边角之间的关系，解决与直角三角形有关的实际问题
教学重点：解直角三角形的有关知识 教学难点：运用所学知识解决实际问题 教学过程：
一、 复习提问
1. Rt △中的关系式.（∠C=90°）
1）角：∠A ﹢∠B=90°
2）边；a 2 ﹢b 2=c 2 3）边角关系：sinA=
c a coA=c b tanA=b a cotA=a
b 2. △ABC 中,若∠C=90°,∠A=30°,c=10㎝,则a=2
1
c=5㎝,b=3a=53
㎝；
若∠A=40°,c=10㎝,则由sinA=c
a
,∴?=?=40sin 10sin A c a ,由
cosA=
B C
A
c
b
,∴?=?=40cos 10cos A c b
由已知的边角关系，求得未知的边与角，叫做解直角三角形。 二、 新授
看书P 112例1、例2
得出：1.解Rt △的定义；在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的
过程，叫做解直角三角形。
2.解Rt △，只有下面两种情况：1）已知两条边
2）已知一条边和一个锐角 3.在解Rt △的过程中，常会遇到近似计算，本书除特别说明外，
边长保留四个有效数字，角度精确到1′。
例3. 某施工人员在离地面高度为5米的C 处引拉电线杆，若固定点离电
线杆3米，如图所示，则至少需要多长的缆线AC 才能拉住电线杆（结果保留两位小数）
分析：由图可知，AC 是Rt △ABC 的斜边，利用勾股定理
就可求出。
解：在Rt △ABC 中，AC=22BC AB +=2235+=34≈
（米）
答：至少需要5.83米的缆线AC 才能拉住电线杆。
三、引申提高：
例4. 如图，上午8时，小明从电视转播塔C 的正北方向B 处以15千米/时的速度沿着笔直的公路出发，2小时后到达A 处，测得电视转播塔在他的南偏东50°的方向，试求出发前小明与电视转播塔之间的距离，并求出此时距电视转播塔有多远（精确到1千米）
解：在RtABC 中，∠CAB=90°－50°=40°，AB=15×2=30
（千米），
∵tan ∠CAB=AB
BC
，∴?=∠?=40tan 30tan CAB AB BC ≈25
（千米）， ∵cos ∠CAB=AC AB ，∴AC=?40cos AB ≈39（千米）
答：出发前小明与电视转播塔的距离约25千米，此时距电视塔39千米。
变式： 若已知敌舰与A 炮台的距离及∠DAC 的读书分，如何求两炮台间的距离
B
C
A
50
B D
C A
测量中能应用解直角三角形的知识吗
四。巩固练习
课内练习1-5
五．课时小结：
本节的重要内容是解Rt△的有关知识，解Rt△的依据是勾股定理.两锐角互余和边角之间的关系,一般有两种类型：已知两边，已知一边和一锐角，解题时要选择适当的关系式，尽可能使用原题数据和避免做除法运算。
解Rt△（2）
教学目标：分清仰角、俯角等概念的意义，准确把握这些概念解决一些实际问题
教学重点：仰角、俯角、等位角等概念
教学难点：解与此有关的问题
教学过程：
一、仰角、俯角的概念
铅垂线 几个概念 1.铅垂线
2.水平线 仰角
3.视线
俯角 4.仰角：视线在水平线的上方，视线与水平线的夹角。
5.俯角：视线在水平线的下方，视线与水平线的夹角。
练习：1.由A 测得B 的仰角为36°，由B 去测A 时的俯角为 。 2.一棵树AC 在地面上的影子BC 为10米，在树影一端B 测得树顶
A 的俯角为
45°，则树高 米；若仰角为60°，树高 米。（精确到1
米）
二、 应用
例1．书P114 例4
例2.如图，线段AB 、CD 分别表示甲、乙两幢楼，AB ⊥CD ，CD ⊥BD ，从甲楼顶A 测乙楼顶C 的仰角α=30°，已知甲楼高15米，两楼水平距离为24米，求乙楼高。
解：Rt △ACE 中，CE=?=?=?30tan 24tan tan ααBD AE =83m ，∴CD=CE+DE=CE+AB=（83+15）（米）
答：乙楼高为（83+15）米。
三、引申提高：
例3.如图，为了测量顶部不能达到的建筑物AB 的高度，现在地平面上取一点C ，用测量仪测得A 点的仰角为45°，再向前进20米取一点D ，使点D 在BC 延长线上，此时测得A 的仰角为30°，已知测量仪的高为米，求建筑物AB 的高度。
解：在Rt △AEG 中，EG=??45cot AG =AG ，在Rt △AFG
中，
FG=??30cot AG =3AG ∴EF=FE －EG=（3－1）
AG=20，
∴AG=310+（米）
答：建筑物AB 的高度为（310+）米。
A
C
B E
D
A
C
B
F
E D
说明：解此类问题的关键是建立实际问题的数学模型，即构建Rt △。必要时可添加适当的辅助线，解题时应选择适当的关系式进行解题，并按照题目中的要求进行近似计算。
变式：若点E 在FG 的延长线上，且∠AEG=45°，已知FE 的长度，其他条件不变，如何求建筑物AB 的高度
例4.如图，在一座山的山顶处用高为1米的测顶器望地面C 、D 两点，测得俯角分别为
60°和45°，若已知DC 长为20㎝，求山高。
分析：已知∠FAD=45°，∠FAC=60°，要求山高，只
需求AE 。
解；设AE=χ，在Rt △ADE 中，
χ=??=45tan AE DE ，
在R △ACE 中，χ3
330tan =
??=AE CE ，DC=DE －
CE=χχ
3
3-
=20，
∴31030+=χ，∴BE=AE －AB=29＋103， ∴山高为（29+103）米。
四．巩固练习。
1. 了解仰角、俯角的概念。
2. 学会几何建模，通过解Rt △求解。 五．课作。 1—5
A
C
F
E
D
B
解直角三角形（3）
教学目标：弄清铅垂高度、水平长度、坡高（或坡比）、坡角等概念； 教学重点：理解坡度和坡角的概念
教学难点：利用坡度和坡角等条件，解决有关的实际问题 教学过程：
一、复习提问：
什么叫仰角、俯角 二、坡度、坡角的概念
几个概念： 1、铅垂高度h
2、水平长度l
3、坡度（坡比）i :坡面的铅垂高度h 和水平长度l 的比 α
αtan 1
1====m h
l l h i
4、坡角α：坡面与水平面的夹角α. αtan ==
l
h
i 显然，坡度i 越大，坡角α就越大，坡面就越陡。
练习：1、沿山坡前进10米，相应升高5米，则山坡坡度
3
1，坡角 30°，
2、若一斜坡的坡面的余弦为
10103，则坡度3
1
=i , 3、堤坝横断面是等腰梯形，（如图所示）
① 若AB=10,CD=4,高h=4，则坡度i =3
4
,AD= 5
h
l
i=h:l
A
B
C D E
F
②若AB=10,CD=4 ,5
1
=
i ,则=h 2 ， 例1、书P115 例4
例2、如图，水库堤坝的横断面成梯形ABCD,DC ∥AB,迎水坡AD 长为32米，上底DC 长为2米，背水坡BC 长也为2米，又测得∠DAB=30°,∠CBA=60°,求下底AB 的长.
解：过D 、C 分别作DE ⊥AB 于E,CF ⊥AB 于F,
在直角△ADE 中,∠A=30°，AD=32
∴DE=AD sin30°=3,AE=AD cos30°=3. 30°
60°
在直角△CBF 中,BF=BC cos60°=1
∴AB=AE+EF+BF=3+2+1=6 答：下底的长为6米。
思考：延长两腰或平移一腰能求出下底的长吗
说明：以上解法体现了“转化”思想，把梯形的有关问题转化为解直角三角形可多角度的分析，添加辅助线，灵活、恰当地构造直角三角形，使解法合理化。
例3.铁道路基的横断面是等腰梯形,其尺寸如图所示,其中i =1:是坡度每修1m 长的这种路基,需要土石多少立方
解:过A 、D 分别作AE ⊥BC 于E,DF ⊥BC 于F.则AE=DF=. ∵i =1:为等腰梯形.
∴BE=CF=
∴BC=+10+= ∴SABCD=16.142.1)6.1310(21
=?+㎡∴V=1×=3m
答:需要土面立方米。 三、引申提高：
例4.沿水库拦水坝的背水坡,将坝顶加宽2m,坡度由原来的1:2改为1:,已知坝高6m,坝长50m,求：
① 加宽部分横断面的面积
② 完成这一工程需要的土方是多少
分析：加宽部分的横断面AFEB 为梯形，故通过 β α A
B C
D E F A D A D
B E
F H G
作梯形的高构造直角三角形，利用坡度的变化求解。
解：①设梯形ABCD 为原大坝的横截面图，梯形AFEB 为加宽部分， 过A 、F 分别作AG ⊥BC 于G ，FH ⊥BC 于H ， 在直角△ABG 中，由,2:1=AB i AG=6,得BG=12 在直角△EFH 中,由,5.2:1=EF i FH=6,得EH=15 ∴EB=EH-BH=EH －(BG －HG)=15－(12－2)=5 ∴SAFEB=216)52(2
1=?+㎡
②V=50×SAFEB=21×50=10503m
四、巩固练习
P102 课内练习123 五、课时小结
1、理解坡度、坡角的概念
2、在复杂图形中求解时要结合图形，理解题意，运用所学知识通过构造直角三角形求解。 六、作业
A 、
B 组1—6
解直角三角形教案设计
解直角三角形教案设计 教学建议 1.知识结构： 本小节主要学习解直角三角形的概念，直角三角形中除直角外的五个元素之间的关系以及直角三角形的解法. 2.重点和难点分析： 教学重点和难点：直角三角形的解法. 本节的重点和难点是直角三角形的解法.为了使学生熟练掌握直角三角形的解法，首先要使学生知道什么叫做解直角三角形，直角三角形中三边之间的关系，两锐角之间的关系，边角之间的关系.正确选用这些关系，是正确、迅速地解直角三角形的关键. 3. 深刻认识锐角三角函数的定义，理解三角函数的表达式向方程的转化. 锐角三角函数的定义： 实际上分别给了三个量的关系：a、b、c是边的长、、和是由用不同方式来决定的三角函数值，它们都是实数，但它与代数式的不同点在于三角函数的值是有一个锐角的数值参与其中. 当这三个实数中有两个是已知数时，它就转化为一个一元方程，解这个方程，就求出了一个直角三角形的未知的元素. 由此看来，表达三角函数的定义的4个等式，可以转化为求
边长的方程，也可以转化为求角的方程，所以成为解三角形的重要工具. 4. 直角三角形的解法可以归纳为以下4种，列表如下： 5. 注意非直角三角形问题向直角三角形问题的转化 由上述(3)可以看到，只要已知条件适当，所有的直角三角形都是可解的.值得注意的是，它不仅使直角三角形的计算问题得到彻底的解决，而且给非直角三角形图形问题的解决铺平了道路.不难想到，只要能把非直角三角形的图形问题转化为直角三角形问题，就可以通过解直角三角形而获得解决.请看下例. 例如，在锐角三角形ABC中，，求这个三角形的未知的边和未知的角(如图) 这是一个锐角三角形的解法的问题，我们只需作出BC边上的高(想一想：作其它边上的高为什么不好.)，问题就转化为两个解直角三角形的问题. 在Rt中，有两个独立的条件，具备求解的条件，而在Rt中，只有已知条件，暂时不具备求解的条件，但高AD可由解时求出，那时，它也将转化为可解的直角三角形，问题就迎刃而解了. 掌握非直角三角形的图形向直角三角形转化的途径和方法 是十分重要的，如 (1)作高线可以把锐角三角形或钝角三角形转化为两个直角
解直角三角形教案(完美版)
在线分享文档地提升自我 By ：麦群超 解直角三角形 一、教育目标 (一)知识与技能 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的 两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形． (二)过程与方法 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角 三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． (三)情感态度与价值观 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯． 二、重、难点 重点：直角三角形的解法． 难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用． 三、教学过程 (一)明确目标 1．在三角形中共有几个元素？ 2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1)边角之间关系 sin ;cos ;t an ;cot b a b a B B B B c c a b ====； sin ;cos ;tan ;cot a b a b A A A A c c b a ==== 如果用α∠表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成. 的对边的邻边 ；的邻边的对边；斜边的邻边；斜边的对边αααααααααα∠∠= ∠∠=∠=∠= cot tan cos sin (2)三边之间关系 a 2 +b 2 =c 2 (勾股定理) (3)锐角之间关系∠A+∠B=90°． 以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用． (二)整体感知 教材在继锐角三角函数后安排解直角三角形，目的是运用锐角三角函数知识，对其加以复习巩固．同时，本课又为以后的应用举例打下基础，因此在把实际问题转化为数学问题之后，就是运用本课——解直角三角形的知识来解决的．综上所述，解直角三角形一课在本章中是起到承上启下作用的重要一课．
华师大版解直角三角形教案
第19章 解直角三角形 第1课时 §19.1 测 量 【教学目标】本节主要研究如何利用已学知识尤其是相似三角形的相关知识解 决生活中某些测量问题。 【教学重点】探究和解决生活中的某些测量问题。 【教学难点】探究解决生活中的某些测量问题的方法。 【教学方法】探究法 【教具准备】皮尺、测角仪 【教学过程】 一、问题引入 1．测量操场旗杆有多高？ 如图19.1.1，站在操场上，请你的同学量出你在太阳下的影子长度、旗杆的影子长度，再根据你的身高，便可以计算出旗杆的高度。 图19.1.1 2．如果就你一个人，又遇上阴天，那怎么办呢？人们想到了一种可行的方法，还是利用相似三角形的知识。 二、试一试 如图19.1.2所示，站在离旗杆BE 底部10米处的D 点，目测旗杆的顶部，视线AB 与水平线的夹角∠BAC 为34°，并已知目高AD 为1米．现在请你按1∶500的比例将△ABC 画在纸上，并记为△A ′B ′C ′，用刻度直尺量出纸上B ′C ′的长度，便可以算出旗杆的实际高度． 你知道计算的方法吗？（请你量一量、算一算。） 实际上，我们利用图19.1.2（1）中 已知的数据就可以直接计算旗杆的高度，而这一问题的解决将涉及到直角三角 图19.1.2
形中的边角关系．直角三角形中，三条边有什么关系？它的边与角又有什么关系？这一切都是本章要探究的内容。 三、归纳小结： 两种测量的方法： 方法一：构造可以测量的与原三角形相似的小三角形，利用对应线段成比例的性质计算出所求线段的长； 方法二：利用比例尺在纸上画一个与实物三角形相似的小三角形，通过直尺测量出所求线段在纸上的长度，再利用比例尺计算出实际长度。 四、课堂练习 1．在一次数学活动课上，老师让同学们到操场测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法。小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C处（如图所示），然后沿BC方向走到D处，这时目测旗杆顶部A到竹竿顶部E处恰好在同一直线上，又测得C、D两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高。你认为这种测量方法是否可行？请说明理由。 2．请你与你的同学一起设计两种方案，测量你们学校楼房的高度。 五．课后作业P99（习题19.1） 第2课时§19.2勾股定理（1） 【教学目标】1.研究直角三角形的特殊性质：勾股定理； 2．运用勾股定理进行简单的计算。
《解直角三角形及其应用》教案
【教案三】23.2解直角三角形及其应用 一．教学三维目标 (一)、知识目标 使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题． (二)、能力目标 逐步培养分析问题、解决问题的能力． 二、教学重点、难点和疑点 1．重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题． 2．难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题． 三、教学过程 （一）回忆知识 1．解直角三角形指什么？ 2．解直角三角形主要依据什么？ (1)勾股定理：a2+b2=c2 (2)锐角之间的关系：∠A+∠B=90°
(3)边角之间的关系： tanA=的邻边的对边A A ∠∠，sinA=斜边的对边A ∠， cosA=斜边的邻边A ∠ （二）新授概念 1．仰角、俯角 当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角． 教学时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义． 2．例1 如图(6-16)，某飞机于空中A 处探测到目标C ，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看地平面控制点B 的俯角α=16°31′，求飞机A 到控制点B 距离(精确到1米) 解：在Rt △ABC 中sinB=AB AC ∴AB=B AC sin =2843.01200 =4221(米) 答：飞机A 到控制点B 的距离约为4221米． 例2.2003年10月15日“神州”5号载人航天飞船发射成功。当飞船完成变轨后，就在离地形表面350km 的圆形轨道上运行。如图，当飞船运行到地球表面上P 点的正上方时，从飞船上能直接看到地球上最远的点在什么位置？这样的最远点与P 点的距离是多少？（地球半径约为6400km ，结果精确到0.1km ） 分析：从飞船上能看到的地球上最远的点，应是视线与地球相切时的切点。斜边 的邻边 A A ∠=cos 斜边的对边 A A ∠=sin
华东师大版九年级上册数学第24章《解直角三角形》分课时练习题及答案
数学九年级上册第24章解直角三角形 24.1 测量同步练习题 1．如图，一场暴风雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB＝2米，则树高为( ) A. 5 米 B. 3 米 C．(5＋1)米 D．3米 2. 如图，李光用长为 3.2m的竹竿DE为测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿顶端、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距(AE)8m，与旗杆相距(BE)22 m，则旗杆的高为() A．12 m B．10 m C．8 m D．7 m 3. 身高为1.5米的小华在打高尔夫球，她在阳光下的影长为2.1米，此时她身后一棵树的影长为10.5米，则这棵树高为() A．7.5米B．8米 C．14.7米 D．15.75米 4. 小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高度为()
A．11米 B．12米 C．13米 D．14米 5. 如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少要飞行______米． 6. 如图，B，C是河岸上两点，A是对岸岸边上一点，测得∠ABC＝45°，∠ACB＝45°，BC＝60米，则点A到岸边BC的距离是______米． 7. 如图，铁道口栏杆的短臂长为1.2 m，长臂长为8 m，当短臂端点下降0.6 m时，长臂端点升高______m .(杆的粗细忽略不计) 8. 如图，阳光通过窗口照到室内，在地面上留下2.7米的亮区，已知亮区一边到窗口下的墙脚距离EC＝8.7 米，窗口高AB＝1.8米，那么窗口底边离地面的高BC＝ ________米． 9. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′＝_______．
解直角三角形教学设计及反思.doc
解直角三角形教学设计及反思 教学内容分析: 本节内容是在学习了“锐角三角函数” “勾股定理”等内容的基础上进一步探究如何利用所学知识解直角三角形。通过直角三角形中边角之间关系的学习，学生将进一步体会数学知识之间的联系，如比和比例、图形的相似、推理证明等。将为一般性地学习三角形的知识及进一步学习其他数学知识奠定基础。对部分学生来说，有一定的难度。 教学目标： 1、知识技能：使学生掌握直角三角形的边角关系，会选用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。 2、过程与方法：经历探求直角三角形边角关系的过程，体会三角函数在解决问题过程中的作用，感受理论来源于实践又反作用于实践的唯物主义思想。 3、情感态度与价值观：形成数形结合的数学思想，体会数学与实践生活的紧密联系。从而增强学生的数学应用意识，激励学生敢于面对数学学习中的困难。通过获取成功的体验和克服困难的经历，增进学习数学的信心, 养成良好的学习习惯。 教学课时：一课时教学重难点:
创设情境: 2.4米时，梯子与地面所称的角a 等于多少（精 重点：理解并掌握直角三角形边角之间的关系。 难点：从条件出发，正确选用适当的边角关系解题。 教学过程： 问题1:如图所示，一棵大树在一次强大台风中折断倒下，树干折断处距 地面3米，且树干与地面的夹角是30° ,大树折断之前高多少米？ 问题2：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所 成的角Q —般要满足50° W a W 75。（如图）,现有一个长6米的梯 子，问： （1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（结果保留小数点后一位） 确到1。）？这时人是否能够安全使用这个梯子 ? （2）当梯子底端距离墙
华师大版-数学-九年级上册-25.3 解直角三角形-4 同步作业
华师大版九年级（上）《第二十五章·解直角三角形》第三节 25.3 解直角三角形—4 作业 一、积累·整合 1. 如图，点A是一个半径为300米的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B、C两个村 庄，现要在B、C两村庄之间修一条长为1000米的笔直公路将两村连通，经测得∠ ABC=45o，∠ACB=30o，问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明。 2. 如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD，且建筑物周围没有开阔平整地带， 该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可直接测得，从A、D、C三点可看到塔顶端H，可供使用的测量工具有皮尺、测倾器。 （1）请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度HG的方案。具体要求如下：测量数据尽可能少，在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上（如果测A、D间距离，用m表示；如果测D、C间距离，用n表示；如果测角，用α、β、γ表示）。 （2）根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG（用字母表示，测倾器高度忽略不计）。 3. 某一时刻，一架飞机在海面上空C点处观测到一人在海岸A点处钓鱼。从C点处测得A 的 俯角为45o；同一时刻，从A点处测得飞机在水中影子的俯角为60o。已知海岸的高度为 4 米，求此时钓鱼的人和飞机之间的距离（结果保留整数）。 A B H C
4. 在?ABC 中，∠=?=C A 901，tan ，那么cotB 等于（ ） A B C D .... 32133 5． 已知α为锐角，下列结论： <>+=11sin cos αα <2>如果α>?45，那么sin cos αα> <3>如果cos α> 1 2 ，那么α(sin )sin αα-=-112 正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. （1）计算：sin cos cot tan tan 3060456030?+?-?-??? （2）计算：22459044211 (cos sin )()()?-?+-?+--π 二、拓展·应用 7． 如图1，在?ABC 中，AD 是BC 边上的高，tan cos B DAC =∠。 （1）求证：AC ＝BD （2）若sinC BC = =12 13 12，，求AD 的长。 图1 8. 如图2，已知?ABC 中∠=∠C Rt ，AC m BAC =∠=，α，求?ABC 的面积（用α的三角函数及m 表示） 图2 9. 如图3，沿AC 方向开山修路，为了加快施工速度，要在小山的另一边同时施工。从AC 上的一点B ，取∠=?=ABD BD 145500，米，∠=?D 55。要使A 、C 、E 成一直线，那么开挖点E 离点D 的距离是（ ） A. 50055sin ?米 B. 50055cos ?米
解直角三角形的应用教案
解直角三角形的应用教案
解直角三角形的应用教案 ―－俯角仰角问题教学目标： 1、了解仰角、俯角的概念。 2、能根据直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际 问题。 3、能够借助辅助线解决实际问题，掌握数形结合的思想方 法。 教学重点： 解直角三角形在实际中的应用。 教学难点： 将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题。 教学方法：三疑三探 教学过程： 一、复习引入新课 如图：在△ABC中，∠C=90°， ∠A、∠B、∠C的对边分别为 a,b,c. 则三边之间关系为； 锐角之间关系为；边角之间关系(以锐角A为例)为。 看来大家对基础知识掌握得还是比较牢固的。下面我们来看这样一个问题： 问题：小玲家对面新造 了一幢图书大厦，小玲心想： “站在地面上可以利用解直角 三角形测得图书大厦的高，站 在自家窗口能利用解直角三角 形测出大厦的高吗？他望着大厦顶端和大厦底部，可测出视线与水平线之间的夹角各一个，但这两个角如何命名呢？ ο 46A B C Cο 29 A
AE ＝DE ×tan a ＝BC ×tan a ＝22.7×tan 22° ≈9.17 AB ＝BE ＋AE ＝AE ＋CD ＝9.17＋1.20 ≈10.4（米） 答:旗杆的高度约为10.4米． 2、解：在ΔABC 中，∠ACB =90° ∵ ∠CAB =46° AC=32m tan ∠CAB= ∴BC=AC ·tan46° ≈33.1 在ΔADC 中，∠ACD=90° ∵ ∠CAD=29° AC=32m tan ∠CAD= ∴DC=AC ·tan29° ≈17.7 ∴BD=BC+CD=33.1+17.7=50.8≈51 答：大厦高BD 约为51m. 二、 质疑再探 在本节课的探究和学习过程中你还有那些疑惑或问题？请大胆提出来，大家共同解决。 三、 运用拓展 １、 生自编题 ２、 师补充题 1、一架飞机以300角俯冲400米,则飞机的高度变化情况是( c ) C ο29D A BC AC DC AC ο46A B C
九年级数学解直角三角形的总复习华东师大版
九年级数学解直角三角形的总复习华东师大版 【同步教育信息】 一. 本周教学内容： 解直角三角形的总复习 二. 教学目标： 1. 掌握锐角三角函数的概念及性质。 2. 提高学生灵活应用锐角三角函数知识解直角三角形。 3. 提高学生解直角三角形的知识与方法在实际问题如，航海、测量等方面的应用，培养学生空间想象能力、作图能力、分析能力和计算能力。 三. 教学过程： （一）知识的回顾： 1. 锐角三角函数的概念：在Rt ABC ?中，∠=?C 90， 则sin cos tan cot A BC A AC A BC A AC = === ，，， 注意的问题： （1）锐角α，应满足0101<<< 答案：A （2）在?ABC 中，AB AC BC ===32，，则6cos B 等于（ ） A. 3 B. 2 C. 33 D. 23 点拨：在?ABC 中，AB AC =，过A 点作AD BC ⊥于D 则BD CD B BD AB ==∴==11 3 ，cos 答案：B （3）在四边形ABCD 中，∠=?∠=∠=?==A B D BC AD 13590232，，，，则四边形ABCD 的面积是（ ） 点拨：延长BA 、CD 交于E ，得Rt EAD ?和Rt EBC ? ∠=?∴∠=?-∠-∠-∠=?A C A B D 13536045， ∴?BEC 和?EAD 均为等腰直角三角形 S S EBC EAD ??= ??==??=122323612 222 ∴=-=-=S S S ABCD EBC EAD 四边形??624 答案：C （4）已知圆O 的半径为5，AB 是弦，P 是直线AB 上的一点，PB AB ==38，，则 tan ∠OPA 的值为（ ） A. 3 B. 3 7 C. 13或73 D. 3或 37 当我们在日常办公时，经常会遇到一些不太好编辑和制作的资料。这些资料因为用的比较少，所以在全网范围内，都不易被找到。您看到的资料，制作于2021年，是根据最新版课本编辑而成。我们集合了衡中、洋思、毛毯厂等知名学校的多位名师，进行集体创作，将日常教学中的一本套作品是集合了多位教学大咖的创作经验，经过创作、审核、优化、发布等环节，最终形成了本作品。本作品为珍贵资源，如果您现在不用，请您收藏一下吧。因为下次再搜索到我的机会不多哦！ 解直角三角形及其应用 课题 28.2解直角三角形及其应用1 授课时间 课型 新授 二次修改意见 课时 1 授课人 科目 数学 主备 教学目标 知识与技能 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形 过程与方法 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． 情感态度价值观 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯 教材分析 重难点 重点：直角三角形的解法 难点： 三角函数在解直角三角形中的灵活运用 教学设想 教法 三主互位导学法 学法 小组合作 教具 三角板，多媒体 本课教学反思 英语教案注重培养学生听、说、读、写四方面技能以及这四种技能综合运用的能力。写作是综合性较强的语言运用形式 , 它与其它技能在语言学习中相辅相成、相互促进。因此 , 写作教案具有重要地位。然而 , 当前的写作教案存在“ 重结果轻过程”的问题 , 教师和学生都把写作的重点放在习作的评价和语法错误的订正上，忽视了语言的输入。这个话题很容易引起学生的共鸣，比较贴近生活，能激发学生的兴趣 , 在教授知识的同时，应注意将本单元情感目标融入其中，即保持乐观积极的生活态度，同时要珍惜生活的点点滴滴。在教授语法时，应注重通过例句的讲解让语法概念深入人心，因直接引语和间接引语的概念相当于一个简单的定语从句，一个清晰的脉络能为后续学习打下基础。此教案设计为一个课时，主要将安妮的处境以及她的精神做一个简要概括，下一个课时则对语法知识进行讲解。 在此教案过程中，应注重培养学生的自学能力，通过辅导学生掌握一套科学的学习方法，才能使学生的学习积极性进一步提高。再者，培养学生的学习兴趣，增强教案效果，才能避免在以后的学习中产生两极分化。 在教案中任然存在的问题是，学生在“说”英语这个环节还有待提高，大部分学生都不愿意开口朗读课文，所以复述课文便尚有难度，对于这一部分学生的学习成绩的提高还有待研究。 课堂设计 一、目标展示 ⑴: 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形 ⑵: 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． ⑶: 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯． 二、预习检测 1．在三角形中共有几个元素？ 2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1)边角之间关系 a b A b a A c b A c a A ==== cot ;tan ;cos ;sin b a B a b B c a B c b B = ===cot ;tan ;cos ;sin 如果用α∠表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成. 的对边的邻边 ；的邻边的对边；斜边的邻边；斜边的对边αααααααααα∠∠= ∠∠=∠=∠= cot tan cos sin (2)三边之间关系 (3)锐角之间关系∠A+∠B=90°． a 2 + b 2 = c 2 (勾股定理) 以上三点正是解直角三角形的依据． 三、质疑探究 例1在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b=2， a=6，解这个三角形． 例2在Rt △ABC 中， ∠B =35o ，b=20，解这个三角形． 四、精讲点拨 已知一边一角，如何解直角三角形？ 五、当堂检测 1、Rt △ABC 中，若sinA= 4 5 ，AB=10，那么BC=_____，tanB=______． 2、在△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，那么sinA=________． 3、在△ABC 中，∠C=90°，sinA=3 5 ，则cos A 的值是（ ） A ．35 B ．45 C ．916 .2525 D 六、作业布置 板 书 设 计 28.2解直角三角形及其应用1 边角之间关系 例1. 三边之间关系 例2 锐角之间关系 教学反思 28．2．1 解直角三角形 教学目标 1．理解解直角三角形的意义和条件；(重点) 2．根据元素间的关系，选择适当的关系式，求出所有未知元素．(难点) 教学过程 一、情境导入 世界遗产意大利比萨斜塔在1350年落成时就已倾斜．设塔顶中心点为B, 塔身中心线与垂直中心线夹角为∠A ，过点B 向垂直中心线引垂线，垂足为点C .在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5.2m ，AB ＝54.5m ，求∠A 的度数． 在上述的Rt △ABC 中，你还能求其他未知的边和角吗？ 二、合作探究 探究点一：解直角三角形 【类型一】 利用解直角三角形求边或角 已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a ，b ，c ，按下列条件解直角三角形． (1)若a ＝36，∠B ＝30°，求∠A 的度数和边b 、c 的长； (2)若a ＝62，b ＝66，求∠A 、∠B 的度数和边c 的长． 解析：(1)已知直角边和一个锐角，解直角三角形；(2)已知两条直角边，解直角三角形． 解：(1)在Rt △ABC 中，∵∠B ＝30°，a ＝36，∴∠A ＝90°－∠B ＝60°，∵cos B ＝a c ，即c ＝a cos B ＝363 2 ＝243，∴b ＝sin B ·c ＝12×243＝123； (2)在Rt △ABC 中，∵a ＝62，b ＝66，∴tan A ＝a b ＝33 ，∴∠A ＝30°， ∴∠B ＝60°，∴c ＝2a ＝12 2. 方法总结：解直角三角形时应求出所有未知元素，解题时尽可能地选择包含所求元素与两个已知元素的关系式求解． 【类型二】 构造直角三角形解决长度问题 一副直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，AB ∥CF ，∠F ＝∠ACB ＝90°，∠E ＝30°，∠A ＝45°，AC ＝122，试求CD 的长． 解析：过点B 作BM ⊥FD 于点M ，求出BM 与CM 的长度，然后在△EFD 中可求出∠EDF ＝60°，利用解直角三角形解答即可． 解：过点B 作BM ⊥FD 于点M ，在△ACB 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝45°，AC ＝122，∴BC ＝AC ＝12 2.∵AB ∥CF ，∴BM ＝sin45°BC ＝122×22＝12，CM ＝BM ＝12.在△EFD 中，∠F ＝90°，∠E ＝30°，∴∠EDF ＝60°，∴MD ＝BM tan60°＝43，∴CD ＝CM －MD ＝12－4 3. 方法总结：解答此类题目的关键是根据题意构造直角三角形，然后利用所学的三角函数的关系进行解答． 【类型三】 运用解直角三角形解决面积问题 如图，在△ABC 中，已知∠C ＝90°，sin A ＝3 7，D 为边AC 上一点，∠BDC ＝45°，DC ＝6.求△ABC 的面积． 解析：首先利用正弦的定义设BC ＝3k ，AB ＝7k ，利用BC ＝CD ＝3k ＝6，求得k 值，从而求得AB 的长，然后利用勾股定理求得AC 的长，再进一步求解． 解：∵∠C ＝90°，∴在Rt △ABC 中，sin A ＝BC AB ＝37 ，设BC ＝3k ，则AB ＝7k (k ＞0)，在Rt △BCD 中，∵∠BCD ＝90°，∴∠BDC ＝45°，∴∠CBD ＝∠BDC ＝45°， 2. 熟记30°, 45 ° , 60°角的三角函数值.会计算含有特殊角的三角函数的值， 会由一个特殊锐角的 三角函数值，求出它的对应的角度 . 3.掌握直角三角形的边角关系， 会运用勾股定理，直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三 角形. 从实际问题中提炼图形，将实际问题数学化，将抽象问题具体化。 运用解直角三角形的知识灵活、恰当地选择关系式解决实际问题。 1. 锐角三角函数的定义 在 Rt △ ABC 中，/C=90°/A,/ B,/C 的对边分别为 a,b,c. 2、特殊角的三角函数值 '■三角函数 sin a cos a tan a 30° 45° 60° 单位：泸县一中 年级: 【学习目标】： 1.巩固三角函数的概念 《解直角三角形复习》教案 九学科：数学设计者: 时间：2015年4月14日 ,巩固用直角三角形边之比来表示某个锐角的三角函数 4.会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题 【教学重点】： 【教学难点】： 【教学过程】： 一、考点梳理： 1、正弦函数: 2、余弦函数: 3、正切函数: sin A cosA tan A A 的 ___ A 的—A 的— A 1.如图，在Rt △ ABC 中, C=90°,BC=3,AC=4,那么 cos A 的值等于( 3 4 A.3 B.- 4 3 2.河堤横断面如图所示，堤高BC=6 m,迎水坡AB 的坡度为 A -12m B.^/sm C.^/sm 3、解直角三角形的定义及类型 (1)定义：一般地，在直角三角形中，除直角外，共有 5个元素，即_ 直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形. 条边和 个锐角.由 4、解直角三角形的应用 (1)仰角和俯角 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线 在水平线 的叫做俯角. 水平线 (2)方位角 一般以观察者的位置为中心，南北方向线与目标方向线之间 的夹角叫方位角。如下图: OA 方向用方位角表示为 ；OB 方向用方位角 表示为 (3)坡角、坡度 坡角：指坡面与水平线的夹角，如图中的 坡度：指坡面的垂直高度与水平距离的比，如图中的 i=1:1.5表示AF 与BF 的比 坡角与坡度的关系: 二、基础巩固: D.4 1:73 ，则AB 的长为( ) D.673m 的叫做仰角， F E 华师大版解直角三角形 教案 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8- 解直角三角形 测量 教学目标：利用前面学习的相似三角形的有关知识，探索测量距离的几种方 法，初步接触直角三角形的边角关系。 教学重点：探索测量距离的几种方法。 教学难点：选择适当的方法测量物体的高度或长度。 教学过程： 一。复习引入： 当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许想知道操场旗杆有多高我们知道可以利用相似三角形的对应边，首先请同学量出太阳下自己的影子长度，旗杆的影子长度，再根据自己的身高，计算出旗杆的高度。如果在阴天，你一个人能测量出旗杆的高度吗 二。新课探究： 例1. 书.试一试. 如图所示，站在离旗杆BE 底部10米处的D 点，目测旗杆的顶部，视线AB 与水平线的夹角∠BAC=34°，并已知目高AD 为1米。现在请你按1：500的比例得△ABC 画在纸上，并记为△A 1B 1C 1,用刻度尺量出纸上B 1C 1 的长度，便可以算出旗杆的实际高度。你知道计算的方 法吗 解：∵△ABC ∽△A 1B 2C 3, ∴AC:A 1C 1=BC:B 1C 1=500:1 ∴只要用刻度尺量出纸上B 1C 1的长度，就可以计算出BC 的长度，加上AD 长即为旗杆的高度。若量得B 1C 1=a ㎝，则BC=500a ㎝=5a ㎝。故旗杆高(1+5a)m. 说明：利用相似三角形的性质测量物体高度或宽度时，关键是构造和实物相似的三角形，且能直接测量出这个三角形各条线段的长，再列式计算出实物的高或宽等。 例2.为了测出旗杆的高度，设计了如图所示的三种方案，并测得图(a)中BO=6m,OD=3.4m,CD=1.7m 图(b)中CD=1m,FD=0.6m,EB=1.8m 图(c)中BD=9m,EF=；此人的臂长为0.6m 。 （1） 说明其中运用的主要知识；（2）分别计算出旗杆的高度。 （a ） （b ） （c ） O D C B A F E D C B A F E B C D A E D C B A 1 1 1 C B A 第一章直角三角形的边角关系 《解直角三角形》教学设计 一、教材分析 在此之前，学生已经具备了勾股定理、锐角三角函数的基本知识，会求任意一个锐角的三角函数值.本节课是三角函数应用之前的准备课，旨在建立好解直角三角形的数学模型，以便有效的为现实生活服务?培养学生解答实际应用题的技能，掌握如何构建解直角三角形的思想方法、技巧?把勾股定理和锐角三角函数的询期准备知识有机的组织起来，使学生能承前启后、有思想性和可操作性. 因此，本节课在教材教学计划中起着一发牵制全局的重要作用. 二.学情分析 1、九年级学生已经掌握了勾股定理，刚刚学习过锐角三角函数，能够用定义法求三角函数sina、cos a tana值. 2、在计算器的使用上，学生学习了用计算器求任意锐角的三角函数值，并对计算器的二次功能有所了解?有上述知识技能作基础为学生进一步学习“解直角三角形”创造了必要条件. 3、但锐角三角函数的运用不一定熟练，综合运用所学知识解决问题，将实际问题抽象为数学问题的能力都比较差，因此要在本节课进行有意识的培养. 三、教学任务分析 本节内容是在学习了“锐角三角函数”“勾股定理”等内容的基础上进一步探究如何利用所学知识解直角三角形?所以教学U标如下: 知识技自出初步理解解直角三角形的含义，掌握运用直角三角形的两锐角互余、勾股定理及锐角三角函数求直角三角形的未知元素. 数学思考：在研究问题中思考如何把实际问题转化为数学问题，进而把数学问题具体化. 解决问题？解直角三角形的对象是什么？在解决与直角三角形有关的实际问题中如何把问题数学模型化?通过利用三角函数解决实际问题的过程，进一步提高学生的逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力 解直角三角形教学设计及反思 教学目标： 1、知识技能： 使学生掌握直角三角形的边角关系，会选用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。 2、数学思维： 经历探求直角三角形边角关系的过程，体会三角函数在解决问题过程中的作用，感受理论来源于实践又反作用于实践的唯物主义思想。 3、解决问题： 通过利用三角函数解决实际问题的过程，进一步提高学生的逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力 4、情感态度和价值观 形成数形结合的数学思想，体会数学与实践生活的紧密联系。从而增强学生的数学应用意识，激励学生敢于面对数学学习中的困难。通过获取成功的体验和克服困难的经历，增进学习数学的信心，养成良好的学习习惯。教学课时：一课时 教学重难点： 重点：理解并掌握直角三角形边角之间的关系。 难点：从条件出发，正确选用适当的边角关系解题。 教学过程： 一、创设情境： 问题1：如图所示，一棵大树在一次强大台风中折断倒下，树干折断处距地面3米，且树干与地面的夹角是30°，大树折断之前高多少米？ 问题2：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤ α ≤ 75°（如图），现有一个长6米的梯子，问： （1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（结果保留小数点后一位）（2）当梯子底端距离墙面2.4米时，梯子与地面所称的角α等于多少（精确到1°）？这时人是否能够安全使用这个梯子？ 二、知识回顾： 如图，已知：在ΔＡＢＣ中，∠C=90°，你能说出这个图形有哪些性质吗？ 1、在一个三角形中，共有几条边？几个角？（引出“元素”这个词语） 2、在RtΔABC中，∠C=90°。a、b、c、∠A、∠B这些元素间有哪些等量关系呢？ 讨论复习： RtΔABC的角角关系、三边关系、边角关系分别是什么？ 总结：直角三角形的边角关系 （1）两锐角互余：∠A+∠B=90° （2）三边满足勾股定理：a2+b2=c2 （3）边与角的关系： 解直角三角形教学设计 【教学目标】 1．知识与技能： 使学生了解解直角三角形的概念，能运用直角三角形的角与角(两锐角互余)，边与边(勾股定理)、边与角关系解直角三角形； 2．过程与方法： 通过学生的探索讨论发现解直角三角形所需的最简条件，使学生了解体会用化归的思想方法将未知问题转化为已知问题去解决； 3．情感态度与价值观： 通过对问题情境的讨论，以及对解直角三角形所需的最简条件的探究，培养学生的问题意识，体验经历运用数学知识解决一些简单的实际问题，渗透“数学建模”的思想。 【教学重点、难点】 1．重点：直角三角形的解法。 2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用。 3. 疑点：学生可能不理解在已知的两个元素中，为什么至少有一个是边。【教学准备】 多媒体（课件），学案，圆规，刻度尺，计算器。 【课堂教学过程设计】 【课前预习】 完成以下题目 1、在直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素之间有哪些等量关系呢？(1)边角之间关系： sinA=＿ cosA=＿ tanA= ＿cotA=__ (2)三边之间关系：勾股定理_______ (3)锐角之间关系：________。 2、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12,求∠A的各个三角函数值。 3、自述30°、45°、60°角的正弦、余弦、正切、余切值。 4、在Rt△ABC中，∠C=90°,已知c=15,∠B=60°,求a. 5、在Rt△ABC中，∠C=90°,已知∠A=45°,b=3，求c. 你有哪些疑问？小组交流讨论。 （1） (2) 生甲：如果不是特殊值，怎样求角的度数呢? 生乙：我想知道已知哪些条件能解出直角三角形？ ◆师：你有什么看法？ 全国中学数学教学展评活动说课案 教材：九年义务教育三年制新教材（华东师大版） 课题: 八年级（下）§《解直角三角形》 §解直角三角形 一、教材分析： 数学是一门来源于生活，又应用于生活的学科。生活实际中，有不少问题的解决都涉及到数学中直角三角形的边、角关系。华东师大版新教材将解直角三角形的学习安排在了八年级下册第十九章中。首先从测量入手，给学生创设学习情境，接着研究直角三角形的边、角关系，最后利用勾股定理及锐角三角函数的知识来解决实际中提出的：如测量、航海、工程技术和物理学中的有关距离、高度、角度的计算等问题。在呈现方式上更突出了实践性与研究性，突出了学数学、用数学的意识与过程，注重联系学生的生活实际。同时还有利于数形结合，即把图形语言、文字语言与数学符号语言有机地结合起来。 而解直角三角形是继锐角三角函数后本章的第四节，一共4个课时。主要 研究了如何利用解直角三角形的有关知识解决与直角三角形有关的实际问题。 比如：方向角问题、仰角俯角问题、坡度问题等。从这些问题中，我们要理解 解直角三角形的方法，了解方向角、仰角、俯角、坡度等相关名词的意义，掌 握将实际问题转化为数学模型的思想方法，从而达到灵活运用数学知识解决实 际问题的最终目的。 二、教学目标： 由于本课为第一课时，主要使学生理解直角三角形的边角关系，并能运用这些关系解直角三角形，同时解决与之相关的实际问题。所以三维目标的知识与技能目标主要体现在： 〈一〉知识与技能目标： 1、弄清解直角三角形的含义，理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股 定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形． 2、利用构造直角三角形的方法解决与之相关的实际问题。本课着重解决方向角 问题。 3、通过变成题的训练，提高学生的解题能力，并使学生从中体会到学数学、用 数学的乐趣。 〈二〉过程与方法目标： 作为一名数学教师，不仅要传授给学生数学知识，更重要的是传授给学生数学思想，数学意识，所以在过程与方法目标上，体现在让学生学会将千变万化的实际问题转化为数学问题来解决的能力，要求学生善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素之间的关系，培养学生用数学的意识。 〈三〉情感目标： 通过学习解直角三角形的应用，认识到数与形相结合的意义和作用，体验到学好知识，能应用于社会实践，通过选式的诀窍，可简便计算，从而体会探索，发现科学的奥秘和意义。 〈四〉教学重点： 使学生学会将简单的实际问题转化为数学问题，并能选用适当的锐角三角函数关系式解决，提高他们分析和解决实际问题的能力是本课的重点。 《解直角三角形复习》教案 单位：泸县一中 年级： 九 学科： 数 学 设计者：_______ 时间：2015年 4月14日 【学习目标】： 1. 巩固三角函数的概念,巩固用直角三角形边之比来表示某个锐角的三角函数. 2. 熟记30°，45°, 60°角的三角函数值.会计算含有特殊角的三角函数的值，会由一个特殊锐角的三角函数值，求出它的对应的角度. 3.掌握直角三角形的边角关系，会运用勾股定理，直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形. 4.会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题. 【教学重点】：从实际问题中提炼图形，将实际问题数学化，将抽象问题具体化。 【教学难点】：运用解直角三角形的知识灵活、恰当地选择关系式解决实际问题。 【教学过程】： 一、考点梳理： 1.锐角三角函数的定义 在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别为a ,b ,c. 2、特殊角的三角函数值 三角函数 角α sin α cos α tan α 30° 45° 60° 1sin =A A A ∠=∠———— ——— ————的、正弦函数：的=A A A ∠= ∠———— ——— ———— 的2、余弦函数：cos 的=A A A ∠=∠———— ——— ———— 的3、正切函数：tan 的 3、解直角三角形的定义及类型 (1)定义：一般地，在直角三角形中，除直角外，共有 5 个元素，即______条边和______个锐角．由直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 4、解直角三角形的应用 （1）仰角和俯角 在视线与水平线所成的角中,视线在水平线 的叫做仰角,在水平线 的叫做俯角. (2）方位角 一般以观察者的位置为中心，南北方向线与目标方向线之间的夹角叫方位角。如下图： OA 方向用方位角表示为 ；OB 方向用方位角表示为 。 （3）坡角、坡度 坡角：指坡面与水平线的夹角，如图中的 坡度：指坡面的垂直高度与水平距离的比，如图中的i =1:表示AF 与BF 的比 坡角与坡度的关系： 二、基础巩固： 1. 如图,在Rt △ABC 中, ∠ C=90°,BC=3,AC=4,那么cos A 的值等于( ) 2.河堤横断面如图所示,堤高BC=6 m,迎水坡AB 的坡度为 ,则AB 的长为( ) 3 . 4A 4. 3B 3. 5 C 4. 5 D 3.12A m .43B m .53C m .63D m 解直角三角形的复习课教案（ 1） 执教者：上海市园南中学 姚春花 教学目标： 掌握直角三角形的基本方法，能灵活运用锐角三角比解直角三角形。并 在解题过程中渗透化归方程等数学思想。 通过习题的变式， 让学生感悟图形间的联系，以及知识的本质。通过一题多解，培养学生的发散思维。 教学重点与难点 ：寻找合适的方法灵活求解直角三角形。 教学过程 ： 一、回顾与思考 1、在 Rt △ABC 中，∠ C=90°， b=2，c= 2 2 ,则∠ B= 度； a= 2、在 Rt △ABC 中，∠ C=90°，∠ A=3 0°， AB=3，则 AC= ；∠ B= 度 、在 Rt △ABC 中，∠ B=90°， sin A= 3 ， a=3，则 c= ；b= 3 5 4、在 Rt △ABC 中，∠ A=60°∠ B=75°， AB=8，则 AC= 归纳： 1、解一个直角三角形要具备什么样的条件？ 生：除直角外，已知三角形的两个元素（其中至少有一个条件与边有关） ，才能解这个直角三角形。 2、解直角三角形运用到哪些定理或定义？（依据） ①勾股定理 ②锐角三角比 ③两锐角互余 （以上四题均给出图形，教师根据学生的回答，让学生回顾知识） 归纳：解直角三角形首先要根据题目给出图形， 其次关键在于正确选用只含有一个未知数的三角比的式子。 3、你能归纳出解一般三角形的思路吗？ 构造有效的直角三角形 二、小试牛刀 1、已知在 Rt △ABC 中，∠ ACB=9 0°， CD 是斜边 AB 上的高， AB=10， tan A 3 ，求 AC 的长 C 4 A B D 归纳：常用解法： ①寻找 Rt△（根据三角比） ②转化角（等角的同名三角比相等） ③设元（列方程求解） 2、已知，如图，在△ ABC 中，∠ A=3 0°，F 为 AC上一点，且 AF : FC 4 : 1, EF ⊥ AB，E 为垂足，联结 EC，求 tan∠CEB 的值。 H E A B 归纳： FC 观察所求线段是否在直角三角形中，在哪一个直角三角形中，然后再思考解题方法。若它不在直角三角形中，则需要如何添加辅助线构造直角三角形，然后再逐步求出结果。 三、拓展探究 如图，已知在 Rt△ABC 中，∠ C=90°， AC=8， tan A 3 ，四边形 DEFG 是△ ABC 的内接正方形，求 ED 的长。 4 C F E A G D B 归纳:所求线段可直接从解这个直角三角形求得，则只需要求有关元素；若不 能直接求解，则要分析图形中角、边的相互联系，通过找等量关系列方程求 解。本题的关键是选择合理地设元。 变式一：如果把上题中的正方形改为矩形，且使FE=2ED，求 FG 的长。 C F E A G D B 变式二：如果把上题中的正方形改为一个内角为45°的菱形，求菱形的边长。 C F E A G D B《解直角三角形及其应用》 word版 公开课一等奖教案1
初中数学九年级下册解直角三角形(教案)教学设计
解直角三角形复习公开课教案
华师大版解直角三角形教案
解直角三角形优秀教学设计(1)
解直角三角形教学设计及反思 (2)
解直角三角形教学设计1
华东师大版解直角三角形说课案教案
《解直角三角形复习》公开课教案
(完整版)解直角三角形的复习课教案.doc