量子力学习题解答-第5章

第五章

全同粒子

本章主要内容概要

1. 全同粒子：质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子称为全同粒子。在一个量子体系中全同粒子是不可区分的，两全同粒子相互交换不会引起物理性质的改变（全同性原理）。所有的微观粒子可以分为两类：波色子和费米子。所有自旋为 整数倍的粒子称为波色子，而所有自旋为/2 奇数倍的粒子称为费米子。由费米子组成的量子体系，不能有两个或两个以上的费米子处于同一个状态（泡利不相容原理），体系的波函数在交换任意两个费米子时是反对称的。对由波色子组成的量子体系，则不受泡利不相容原理的限制，两个或两个以上的波色子可以处于同一个状态，体系的波函数在交换任意两个波色子时是对称的。

如果体系的波函数可以由归一化的单粒子波函数()i q αφ的积表示，其中i 表示不同的单粒子态，q α表示第α个粒子的量子数（包括空间与自旋），则由N 个费米子组成体系的反对称波函数可以用N 阶行列式表示为

12121212()

()()()()()(,,...,,...,)()()()

i i i N j j j N A N k k k N q q q q q q q q q q q q q αφφφφφφΦ=

交换任何两个粒子就是交换行列式中的两列，这使行列式改变符号，即波函数A Φ在交换两粒子时是反对称的。当任两粒子处于相同状态，即行列式中两行相同，行列式为零，表示不能有两个或两个以上的费米子处于同一个状态。

对由N 个波色子组成的体系，体系的对称波函数可以表示为 1212(,,...,,...,)()()...()A N i j k N P

q q q q C P q q q αφφφΦ=∑

其中P 表示N 个粒子在波函数中的某一种排列，P

∑表示对所有可能排列求和，由于波色

子可以处于相同的状态，,,...,i j k 可以相等，C 是归一化常数为求和的项数，,,...,i j k 完全相等时为1

，全不相等时为1/

2.交换力：以两粒子体系为例，若体系的波函数可以表示为空间部分和自旋部分之积，对称和反对称的空间波函数为

121212(,)()()()()]a b b a x x x x x x ψψψψψ±=±

这种波函数对称化的要求会使两粒子间出现一种力的作用，称为交换力。对对称空间波函数这个力是吸引力，倾向于把两粒子拉近；对反对称空间波函数，这个力是排斥力，倾向于让两粒子相互远离。固体中属于不同原子的两个电子组成的共价键可以由这种力解释，两电子体系的波函数是反对称的，当两个电子的自旋波函数为反对称的自旋单态时，空间波函数必是对称的，所以这种状态下的两个电子倾向于相互靠近，形成共价键。

3. 元素周期表：原子中一个单粒子态(),,n l m 称之为轨道，因为电子是费米子，受到泡利不相容原理的制约，一个轨道上只能有两个电子（一个自旋向上，一个自旋向下）。当原子处于基态时，电子将从最低能态开始依据洪特定则依次填充。1n =这个壳层能容纳两个电子，2n =壳层能容纳8个，3n =容纳18个，第n 个壳层可以容纳2

2n 个电子。（洪特第一定则：在其它量都相同时，总自旋（S ）取最大值的状态的能量最低。第二定则：当

自旋给定时，总轨道角量子数（L ）取最大值且同整体的反对称性一致时，将具有最低的能量。第三定则：如果次壳层（n ，l ）填充不到一半，则能量最低态满足：J=L-S ；如果填充超过一半，则J=L+S 态能量最低。）一般以

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S J L +表示原子电子组态，其中S 为电子总自

旋角动量，L 为总轨道角动量，J 为总角动量量子数。

习题5.7 解：（a ）可分辨粒子

()()()()123123,,a b c x x x x x x ψψψψ=

（b ）全同玻色子

(

)()()()()()()()()()()()()()()()()()()123123123123123123123,,a b c a c b b a c b c a c b a c a b x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ψψψψψψψψψψψψψψψψψψψ=+++++⎤⎦

（c ）全同费米子

()()()()

()()()()()(

)

()()()()()()()()()()()()()()()()()()111123222333123123123123123123,,a b c a b c a b c a b c a c b b a c b c a c b a c a b x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψ=

=

--+-+⎤⎦

习题5.33 解：

（a ）对于可分辨例子，三个粒子都可以处于任意一个态，所以总共会有3327=个可能三粒

子态。列出如下：

（b ）当粒子为全同玻色子时，要求波函数满足交换对称性，共10个可能态。 三个粒子处于相同粒子态：3个

123()()()a a a x x x ψψψ 123()()()b b b x x x ψψψ 123()()()

c c c x x x ψψψ 三个粒子处于两个粒子态：6个

1231231231

()()()()()()()()())a a b a b a b a a x x x x x x x x x ψψψ+ψψψ+ψψψ

123123123()()()()()()()()())a a c a c a c a a x x x x x x x x x ψψψ+ψψψ+ψψψ

1231231231

()()()()()()()()())b b a b a b a b b x x x x x x x x x ψψψ+ψψψ+ψψψ

123123123()()()()()()()()())b b c b c b c b b x x x x x x x x x ψψψ+ψψψ+ψψψ

1231231231

()()()()()()()()())c c a c a c a c c x x x x x x x x x ψψψ+ψψψ+ψψψ

123123123()()()()()()()()())c c b c b c b c c x x x x x x x x x ψψψ+ψψψ+ψψψ 三个粒子处于三个不同粒子态：1个

123123123123123123()()()()()()()()()

()()()()()()()()())

a b c a c b b a c b c a c a b c b a x x x x x x x x x x x x x x x x x x ψψψ+ψψψ+ψψψ+ψψψ+ψψψ+ψψψ

（c ）当粒子为全同费米子时，要求波函数满足完全反对称性，每个费米子必须处在互不相同的态上，只有1种可能态

]111222123123333

1231231231

23

()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()a b c a b c a b c a c b a b c b a c b c a c a b c b a x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ψψψψ=ψψψ-ψψψψψ-ψψψ+ψψψ+ψψψ-ψψψ