苏汝铿量子力学(第二版)课后习题(含答案)---第五章5.10-5.12#5(延边大学)三年级
5.10 一个粒子处在二维无限深势阱0 ,(,) x y a V x y <⎧=⎨
∞⎩（0<）
（其他）
中运动，现加上微扰
,H (0,)xy x y a λ=≤≤，求基态能量和第一激发态的能量修正值。
解：粒子的哈密顿量是
,0H H H =+
2
22
022,()(,)
2 (0,)
H V x y m x y H xy x y a λ∂∂=-++∂∂=≤≤ 0H 的本征值和本征函数，即能量和波函数的零级近似是：
12122
2022(,)
12122
120(,)
() 22
sin()sin() ,0 n n n n E
n n n n ma
n n x y x y a a a a πππψ=
+⎧<⎪⎨⎪⎩（）
（）
（,=1,2,3）
（0<）＝（其他）
对于基态，即2
2
0012(1,1)
(1,1)
22,sin()sin()n n E
x y ma a a a
πππψ=
（）
（）
=1,=1,＝， 记2
2
00000
(1,1)
0(1,1)
22,sin()sin()E
E
x y ma a a a
πππψψ==
=（）
（）（）（）
＝此时，非简并。 故：
(1),(0),(0)
0000020
2
||2[sin()sin()]4
a
a
E H H xy x y dxdy a
a
a
a ψψππ
λλ==<>
==
⎰⎰
即基态能量的一级修正为2
4
a λ。
对于第一激发态，即
220012(1,2)
(1,2)
222
0012(2,1)(2,1)2
522sin()sin()2522sin()sin()2n n E x y ma a a a
n n E x y ma a a a
πππψπππψ==（）
（）
（）（）
=1,=2，，＝或=2,=1，，＝， 此时二重简并。
为简便，记220001(1,2)
(2,1)
2
0011(1,2)0012(2,1)
5222sin(
)sin()22sin()sin()E E
E
ma x y a a a x y a a a
πππ
ψψππψψ=
（）（）（）（
）（）
（）（）
＝＝＝＝＝＝
所以:
,,0,01111,11111120
2||22[sin()sin()]4
a
a
H H H xy x y dxdy
a
a
a
a ψψππ
λλ=≡<>
==
⎰⎰
（）（）
,
,,0,01211,1211110
24
||2222[sin()sin()][sin()sin()]25681a
a
H H H xy x y x y dxdy a
a
a
a
a
a
a ψψππππ
λλπ=≡<>
==
⎰
⎰
（）（）
同理，2
,
,22
11
4a H H λ==，2
,,21
12
4
25681a H H λπ==。
所以：2214221
42564810256814a a E a a E λλπλλπ⎛⎫
- ⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭
（1）（1） 故：2
221
44
2561024
(1)481481a a a E
λλλππ=±=±（1）
，
即第一激发态的能量一级修正值是2
4
1024
(1)4
81a λπ
±
。
5.11 类氢离子中，电子和原子核的库仑作用为2
()Ze U r r
=-，当核电荷增加e （从Z →Z
＋1），相互作用能增加2
,
e H r
=-，试用微扰论求能量的一级修正并与严格解比较。
解：微扰法：
当Z →Z ＋1，类氢离子的哈密顿量变为：
,
02
222
,
0,2H H H Ze e H H m r r
=+=-∇-=-
第n 能级：4(0)
2
22
2n
me E
Z n
=- (0)
()(,)nlm nl lm R r Y ψθϕ= 由于2
,
e H r
=-，只与r 有关，根据球谐函数的正交性知：
,,,,,,,,
,,0,0()()()()()()
2
2
|||()|nlm lm l m nlm nl m nl m nl ll mm H H H e
R r rdr ψψδδ∞
=≡<>=-⎰
（）（）
故矩阵,
H μν只有对角线上的元素不为0，其他元素均为0。
根据()nl R r 的性质，
20
|()|nl R r rdr ∞
⎰
只与n 有关，而与l 无关。
2
2
2220
|()|nl Z me R r rdr Z n a n
∞
==⎰
,,,0,0(,)(,)(,,)(,,)(,,)(,,)22,0
422
|||()|l m l m n l m n l m n l m n l m n l H H H H e R r rdr
me Z n
μμψψ∞
==≡<>
=-=-⎰（）（）
即矩阵,
H μν对角线上的元素都是422me Z n
-，故此时，(1)
n E 是2n 次重根：
4
(1),
22n
me E
H Z n
μμ
==-
故能量的一级修正为4
(1)22n
me E
Z n
=-。
严格解：由4
2
22
2n me E Z n =-，
当Z →Z ＋1后，4
,2
22
(1)2n
me E Z n
=-+， 所以，
44
,2
22222
4
22
(1)221()2n n
n me me E E E Z Z n n me
Z n
∆=-=-++=-+ 即严格解是4
221()2n me E Z n
∆=-+。因此，Z 越大，微扰计算的结果就越接近精确解。
5.12 求氢原子n=3时的斯塔克效应。 解：当n ＝3时，0H 的本征值为：
422
(0)3
2
2,1818me e E
a a me
=-=-＝
为第一波尔半径 简并度为9，相应的波函数是：
33()(,),(00;11,10,11;22,21,20,21,22)lm l lm R r Y lm ψθϕ==---
微扰作用势为：,
10cos H e r e εθε==。 由于,
H 和z l 对易，,
H 作用于3lm ψ的结果，磁量子数m 不变，又因为：
11,11
222
cos (1)[](21)(23)
lm lm l m l m l m lm Y a Y a Y l m a l l θ+--=++-
=++
,H
作用于3lm ψ的结果，量子数
l 将改变±1。因此，在这9个简并态之间，在一级微扰
作用下能够发生耦合的状态有下列各组：
(300)(310)(320);(311)(321);(311)(321)------
由于
10002010211121111|cos |,|cos |
3|cos
||cos |
Y Y
Y Y Y Y Y Y θ
θθθ--<>=<>=
<>=<>=
3
33130323100
2
2(A ,)
R R r dr A R R r dr B B a me ∞∞===-=-=⎰其中，＝为第一波尔半径。， 所以：
,,310,300320,310,
,
321,311
321,311,,22
H e A H e B
H
e B H e B εεεε--==== 由于是对称矩阵，故久期方程为：
(1)
3(1)3(1)3(1)3(1)3(1)3(1)3(1)3(1)3000000
0000000020000000000000200000000000000000000000000000000
0E e A E B e A E e B E B E B E e B E B E E εεεεεεεε⎛⎫- ⎪ ⎪
- ⎪
⎪
- ⎪
⎪ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪
- ⎪
⎪
- ⎪
⎪
⎪
- ⎪
⎪-⎝
⎭＝
将上面的行列式化为三个小的行列式相乘：
(1)
(1)
(1)33
3(1)2(1)33(1)(1)
(1)
333022()00E e A E B E B E e A
E e B e B
E B E B
E εεεεεεεε⎛
⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪
⎪⎪--= ⎪⎪ ⎪---⎪
⎝
⎭⎭
所以：
(1)(1)(1)
3330(),2
E E B E e ε=±
±三重根＝（两个根均为二重根）,＝，即有九个根。
（1） 当(1)
30E =时，
(0)1300320320300(0)2322(0)3322
)
1
),3,
B A ψψψψψψψ-=
-=-==
（2）
当(1)
39
22
E B e a εε=-＝
时，
(0)4311321(0)
5311321),)
ψψψψψψ--=
+=+
当(1)
39
2
E B e a εε=＝时，
(0)6311321(0)
7311321),)
ψψψψψψ--=-=-
（3）
当(1)
39E e e a ε=＝时，
(0)8300310320300310320)
3)
A B ψψψψ=
+=
+
当(1)
39E e e ε=-＝-时，
(0)9300310320300310320)
3)
A B ψψψψ=
+=-
量子力学-第四版-卷一-(曾谨言-著)习题答案第5章-1
第五章： 对称性及守恒定律 P248设粒子的哈密顿量为 )(2??2r V p H +=μ 。 （１） 证明 V r p p r dt d ??-=? μ/)(2。 （２） 证明：对于定态 V r T ??=2 （证明）（１）z y x p z p y p x p r ??????++=? ，运用力学量平均值导数公式，以及对易算符的公配律： ]?,??[1)??(H p r i p r dt d ?=? ]?,??[H p r =? =)],z y （２） ?[r ? x x x x p x p p x p p x ?????]?,??[23 2-= x x x x x x p x p p x p p x p p x ???????????22 23-+-= x x x x x p p x p p p x ?]?,?[??]?,?[2+= 222?2??x x x p i p i p i =+= （４） ],?[?????????????],??[V p x p V x V p x p x V V p x V p x x x x x x x =-=-=
x V x i ??=?? （５） 将（４）（５）代入（３），得： }{)???(]?,??[222z V z y V y x V x i p p p i H p r z y x ??+??+??+++=? μ }?{2V r p i ??+= μ 代入（１），证得题给公式： V r p p r dt d ??-=? μ 2?)( （６） 的平均值，按前述习题２的结论，其 则=?p r dt d 由前式 P249 ） （２）库仑场 T V 2-= （３）T V n Cr V n 2,== （解）先证明维里定理：假设粒子所在的势场是直角坐标),,(z y x 的n 次齐次式，则不论n 是正、负数，势场用直角坐标表示的函数，可以表示为以下形式，式中Ｖ假定是有理函数（若是无理式，也可展开成级数）： ∑=ijk k j i ijk z y x C z y x V ),,( （１）
量子力学 教学大纲
云南师范大学物理与电子信息学院 物理/应用物理专业《量子力学》课程教学大纲【课程名称】量子力学（Quantum Mechanics） 【课程编码】09B005050 【课程类别】专业基础课/必修课 【课时】72 【学分】 4.0 【课程性质、目标和要求】 （课程性质） 本课程为物理类本科生的专业基础课和必修课。 （教学目标） 1、使学生了解微观世界矛盾的特殊性和微观粒子的运动规律，初步掌握量子力学的原理和基本方法; 2、本课程的内容与前沿课题有广泛的联系，可以培养学生的研究兴趣和能力，为今后深入学习打下基础; 3、使学生了解量子力学在近代物理中的广泛应用，深入和扩大在普通物理中学到的有关内容，以适应今后中学物理教学的需要; 4、通过学习培养学生辩论唯物注意世界观及独立分析问题解决问题的能力。 （教学要求） 1、教师在教学中可选择教材，但教材及教学内容必须覆盖本大纲要求及安排; 2、教学中应抓住本课程基本概念，规律，基本方法，突出重点及难点，讲清逻辑关系并形成系统的知识体系; 3、应积极探索启发式，讨论式等多种授课模式; 4、根据需要使用现代教学手段，但应考虑实际效果。 【教学时间安排】 本课程计 4.0学分，72学时, 学时分配如下： 章次课程内容课时备注（教学形式） 1 绪论 4 课堂教学 2 波函数和Schr?dinger方程12 课堂教学
3 一维势场中的粒子1 4 课堂教学 4 力学量用算符表达12 课堂教学 5 力学量随时间的演化与对称性10 课堂教学 6 中心力场8 课堂教学 7 自旋 4 课堂教学 8 微扰论 4 课堂教学 9 学期复习 4 课堂教学 合计72 【教学内容要点】 第一章绪论 一、学习目的要求 1、使学生了解量子物理发展简史，量子力学的研究对象及特点； 2、掌握微观粒子的波粒二象性的实验事实及解释 二、主要教学内容 1、黑体辐射与普郎克的量子假说 2、光电效应与爱因斯坦的光量子假说 3、原子光谱与玻尔的量子论 4、德布罗意物质波假说 三、课堂讨论选题 1、从黑体辐射的发现中，体会科学发现的过程及特点（唯象理论的特点） 2、从光电效应的发现中，体会科学发现的过程及特点（唯象理论的特点） 3、从玻尔量子论的发现中，体会科学发现的过程及特点（唯象理论的特点） 四、课外作业选题 1、曾谨言《量子力学（卷I）》（第二版）第一章习题1、 2、 3、4 第二章波函数和Schr?dinger方程
基础物理学第五章(静电场)课后习题答案
基础物理学第五章(静电场)课后习题答案.txt有没有人像我一样在听到某些歌的时候会忽然想到自己的往事_______如果我能回到从前，我会选择不认识你。不是我后悔，是我不能面对没有你的结局。第五章静电场思考题 5-1 根据点电荷的场强公式，当所考察的点与点电荷的距离时，则场强，这是没有物理意义的。对这个问题该如何解释？ 答:当时,对于所考察点来说,q已经不是点电荷了,点电荷的场强公式不再适用. 5-2 与两公式有什么区别和联系？ 答：前式为电场（静电场、运动电荷电场）电场强度的定义式，后式是静电点电荷产生的电场分布。静电场中前式是后一式的矢量叠加，即空间一点的场强是所有点电荷在此产生的场强之和。 5-3 如果通过闭合面S的电通量为零，是否能肯定面S上每一点的场强都等于零？ 答：不能。通过闭合面S的电通量为零，即，只是说明穿入、穿出闭合面S的电力线条数一样多，不能讲闭合面各处没有电力线的穿入、穿出。只要穿入、穿出，面上的场强就不为零，所以不能肯定面S上每一点的场强都等于零。 5-4 如果在闭合面S上，处处为零，能否肯定此闭合面一定没有包围净电荷？ 答：能肯定。由高斯定理，E处处为零，能说明面内整个空间的电荷代数和，即此封闭面一定没有包围净电荷。但不能保证面内各局部空间无净电荷。例如，导体内有一带电体，平衡时导体壳内的闭合高斯面上E处处为零，此封闭面包围的净电荷为零，而面内的带电体上有净电荷，导体内表面也有净电荷，只不过它们两者之和为零。 5-5 电场强度的环流表示什么物理意义？表示静电场具有怎样的性质？ 答：电场强度的环流说明静电力是保守力，静电场是保守力场。表示静电场的电场线不能闭合。如果其电场线是闭合曲线，我们就可以将其电场线作为积分回路，由于回路上各点沿环路切向，得，这与静电场环路定理矛盾，说明静电场的电场线不可能闭合。 5-6 在高斯定理中，对高斯面的形状有无特殊要求？在应用高斯定理求场强时，对高斯面的形状有无特殊要求？如何选取合适的高斯面？高斯定理表示静电场具有怎么的性质？ 答：在高斯定理中，对高斯面的形状没有特殊要求；在应用高斯定理求场强时，对高斯面的形状有特殊要求，由于场强的分布具有某种对称性，如球对称、面对称、轴对称等，所以要选取合适的高斯面，使得在计算通过此高斯面的电通量时，可以从积分号中提出来，而只需对简单的几何曲面进行积分就可以了；高斯定理表示静电场是有源场。 5-7 下列说法是否正确？请举例说明。 （1）场强相等的区域，电势也处处相等； （2）场强为零处，电势一定为零； （3）电势为零处，场强一定为零； （4）场强大处，电势一定高。 答：（1）不一定。场强相等的区域为均匀电场区，电力线为平行线，则电力线的方向，是电势降低的方向，而垂直电力线的方向，电势相等。例如无限大均匀带电平行板两侧为垂直板的均匀场，但离带电板不同距离的点的电势不相等。 （2）不正确。，E=0，电势U是常数，但不一定是零。例如均匀带电球面内部场强为零，若取
有机化学B教材第二版课后习题解析第五章 旋光异构课后习题参考答案
旋光异构课后习题参考答案 习题1，各物质的费歇尔式分别是： CH 3H O H O ； H C H 3CH 2CH 3； CH 23 COOH NH 2H Cl H ; CH 2 CH 3 O O CH 3 C H 3 习题2，各物质名称分别是： （S ）-2-甲基丁酸；（2S,3R ）-3-甲基-4-苯基-2-丁醇；（S ）-3-甲基-2-乙基-2-苯基丁烷；（2S,3R ）-2，3-二溴丁酸；（2S,3R ）-2，3——丁二醇。 习题3，（1）、（2）、（4）、（5）有旋光性，即分子有手性；（3）没有旋光性，因为分子内有对称面。 习题4，[α]D 20=α ρ.l , ρ=α/[α]D 20 .l , 比旋光度为+52.5°，旋光度为+42°，管长为1dm ，代入 公式：ρ=42/52.5 = 0.8g/mL 。 习题5，依分子式可知其未知物有两个不饱和度，与碳酸氢钠反应放二氧化碳为羧酸，基于无旋光性集合异构存在，且加氢能饱和产生旋光异构体，应该是依不对称的烯键，综合分析为2-甲基2-丁烯酸（见左下图）。 HOOC 3 CH 3 COOH C H 3C H 3COOH C H 3CH 3 H COOH CH 3 C H 3H 几何异构体 对映体 C H 3CH 3 C H 3C H 3 习题6，因为双键有顺反异构，手性碳有R/S 异构，所以有四个异构体，分别是：（R-顺/反），（S-顺/反），加氢后只有S/R 对映体异构了（见右上图）。 习题7， （1）R,S-型CH 33 H O H O H H 3 3 （2）2R,3S –型 CH 3 2H 5 H Br O H H C 2H 5 O H H C H 3Br H
苏汝铿量子力学(第二版)课后习题(含答案)---第一章1.7-1.8#04(延边大学)三年级
1.7 一个德布罗意波在k 空间的表示2 20()4 ()a k k C k - -= 求： （ⅰ）(,)x t ψ和2 (,)x t ψ，在时刻t 这是否是个高斯波包？ （ⅱ）波包的宽度()x t ∆； （ⅲ） 2 (,)x t dx ψ∞ -∞ ⎰ 是否依赖于t ? 解： （ⅰ） 由于已知德布罗意波在k 空间的表示 2 20()4 ()a k k C k - -= 因此对该一维波包有 () 12 1(,)()(2) i kx t x t C k e dk ωψπ-= ⎰ （1） 将()k ω在0k 附近展开并略去高阶项有 20001 ()()()()2 g k k v k k k k ωωβ≈+-+ - （2） 其中 0( )g k d v dk ω= ，022()k d dk ωβ= 将（2）式代入（1）式有 20001 ()[()()] 2 12 (,)()() g i k t i kx v k k k k e x t C k e dk ωβψαπ-∞ -----∞ = ⎰ （3） 当 2 20()4 14 ()(2) a k k C k e π- -= 代入（3）式可得： 22200001 ()()[()()]42 12 (,)() g a i k t k k i kx v k k k k e x t e dk ωβψαπ-∞ - -----= ⎰ 积分上式可得 0022()2 ()(,)]2(1)g i k t ik x x v t x t e e i t ωαψβα--=+ 则 222 2 42 ()(,)]1g x v t x t t αψβα-= + 故在时刻t 这是个高斯波包 （ⅱ） 波包宽度 ()x t ∆≈
第五章__铁碳相图习题参考答案
第五章铁碳相图 习题参考答案 一、解释下列名词 答：1、铁素体：碳溶入α－Fe中形成的间隙固溶体。 奥氏体：碳溶入γ－Fe中形成的间隙固溶体。 渗碳体：铁与碳形成的具有复杂晶体结构的金属化合物。 珠光体：铁素体和渗碳体组成的机械混合物。 莱氏体：由奥氏体和渗碳体组成的机械混合物。 2、Fe3CⅠ：由液相中直接析出来的渗碳体称为一次渗碳体。 Fe3CⅡ：从A中析出的Fe3C称为二次渗碳体。 Fe3CⅢ：从铁素体中析出的Fe3C称为三次渗碳体。 共析Fe3C：经共析反应生成的渗碳体即珠光体中的渗碳体称为共析渗碳体。 共晶Fe3C：经共晶反应生成的渗碳体即莱氏体中的渗碳体称为共晶渗碳体。 3、钢：含碳量大于0.00218%，小于2.11%的铁碳合金。 白口铸铁：含碳量大于2.11%的铁碳合金。 二、填空题 1、常温平衡状态下，铁碳合金基本相有铁素体（F）、渗碳体（Fe3C）等两个。 2、Fe－Fe3C相图有4个单相区，各相区的相分别是液相（L）、δ相、铁素体（F）、奥氏体（A）。 3、Fe－Fe3C 相图有三条水平线，即HJB、ECF和PSK线，它们代表的反应分别是包晶反应、共晶反应和共析反应。 4、工业纯铁的含碳量为≤0.0218%，室温平衡组织为F+ Fe3CⅢ。 5、共晶白口铁的含碳量为4.3%，室温平衡组织P占40.37%，Fe3C共晶占47.82%，Fe3CⅡ占11.81%。 6、一钢试样，在室温平衡组织中，珠光体占60%，铁素体占40%，该钢的含碳量为0.4707。 7、钢的组织特点是高温组织为奥氏体（A），具有良好的塑、韧性，因而适于热加工成形。 8、白口铸铁的特点是液态结晶都有共晶转变，室温平衡组织中都有莱氏体，因而适于通过铸造成形。 三、简答题 1、为什么γ-Fe 和α- Fe 的比容不同？一块质量一定的铁发生（γ-Fe →α-Fe ）转变时，其体积如何变化？ 答：因为γ-Fe和α- Fe原子排列的紧密程度不同，γ-Fe的致密度为74%，α- Fe的致密度为68%，因此一块质量一定的铁发生（γ-Fe →α-Fe ）转变时体积将发生膨胀。
苏汝铿量子力学(第二版)课后习题(含答案)---第四章4.1-4.4#13(延边大学)三年级
4.1.求在动量表象中角动量x L 的矩阵元和2 x L 的矩阵元。 解：(1)对于 x L 3 33()31()( )()21()()21()()()21()()()2x pp z y z y z y y z y y i i p r p r i i p r p r i i p r p r i p p r L e y p z p e d e yp zp e d e i p p e d p pz i p p e d p pz τ π τπτππ'-'-'-'--'=-=-∂∂=--∂∂∂∂=--∂∂⎰⎰⎰⎰()()()z y y i p p p p p pz τ δ∂∂ '=---∂∂ （2）对于2 x L 23 2 32 331 ()( )21()()21()()()21)()()()2pp x x z y z y z y z y z y y i i p r p r i i p r p r i i p r p r i i p r p L e L e d e y p z p e d e y p z p y p z p e d e y p z p i p p e p pz τπτπτπ π'-'-'-'-'==-=--∂∂=---∂∂⎰ ⎰ ⎰⎰3()2 232 2 1()())()21()()2()()z y z y y z y y z y y r i i p r p r i p p r d i p p e y p z p e d p pz p p e d p pz p p p p p pz ττ πτπδ-'--'∂∂=---∂∂∂∂=--∂∂∂∂'=- --∂∂⎰ ⎰ 4.2设厄米算符ˆA ，B 满足2 2 ˆˆ1A B ==，ˆˆˆˆ0AB BA +=，求： （1）在ˆA 表象中，算符ˆ A 和ˆB 的矩阵表示； （2）在ˆB 表象中，算符ˆ A 和ˆ B 的矩阵表示； （3）在ˆ A 表象中，算符ˆB 的本征值和本征函数；
理论力学课后答案第五章(周衍柏)
第五章思考题 5.1虚功原理中的“虚功”二字作何解释？用虚功原理理解平衡问题，有何优点和缺点？ 5.2 为什么在拉格朗日方程中，a θ不包含约束反作用力？又广义坐标与广义力的含义如 何？我们根据什么关系由一个量的量纲定出另一个量的量纲? 5.3广义动量a p 和广义速度a q 是不是只相差一个乘数m ？为什么a p 比a q 更富有意义？ 5.4既然a q T ∂∂是广义动量，那么根据动量定理，⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛∂∂αq T dt d 是否应等于广义力a θ？为什么在拉格朗日方程()14.3.5式中多出了 a q T ∂∂项？你能说出它的物理意义和所代表的物理量吗？ 5.5为什么在拉格朗日方程只适用于完整系？如为不完整系，能否由式()13.3.5得出式()14.3.5？ 5.6平衡位置附近的小振动的性质，由什么来决定？为什么22s 个常数只有2s 个是独立的？ 5.7什么叫简正坐标？怎样去找？它的数目和力学体系的自由度之间有何关系又每一简正坐标将作怎样的运动？ 5.8多自由度力学体系如果还有阻尼力，那么它们在平衡位置附近的运动和无阻尼时有何不同？能否列出它们的微分方程？ 5.9 dL 和L d 有何区别？a q L ∂∂和a q L ∂∂有何区别？ 5.10哈密顿正则方程能适用于不完整系吗？为什么？能适用于非保守系吗？为什么？ 5.11哈密顿函数在什么情况下是整数？在什么情况下是总能量？试祥加讨论，有无是总能量而不为常数的情况？ 5.12何谓泊松括号与泊松定理？泊松定理在实际上的功用如何？ 5.13哈密顿原理是用什么方法运动规律的？为什么变分符号δ可置于积分号内也可移到积分号外？又全变分符号∆能否这样？ 5.14正则变换的目的及功用何在？又正则变换的关键何在？ 5.15哈密顿-雅可比理论的目的何在？试简述次理论解题时所应用的步骤. 5.16正则方程()15.5.5与()10.10.5及()11.10.5之间关系如何？我们能否用一正则变换由前者得出后者？ 5.17在研究机械运动的力学中，X 维定理能否发挥作用？何故？
《量子力学导论》习题答案(曾谨言版-北京大学)1
第一章 量子力学的诞生 1.1设质量为m 的粒子在一维无限深势阱中运动， ⎩⎨⎧<<><∞=a x a x x x V 0,0,0,)( 试用de Broglie 的驻波条件，求粒子能量的可能取值。 解：据驻波条件，有 ),3,2,1(2 =⋅ =n n a λ n a /2=∴λ （1） 又据de Broglie 关系 λ/h p = （2） 而能量 () ,3,2,12422/2/2 2222 222 22==⋅===n ma n a m n h m m p E πλ （3） 1.2设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。 解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向，把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于x 方向，有 ()⎰==⋅ ,3,2,1, x x x n h n dx p 即 h n a p x x =⋅2 （a 2：一来一回为一个周期） a h n p x x 2/=∴, 同理可得， b h n p y y 2/=, c h n p z z 2/=, ,3,2,1,,=z y x n n n 粒子能量 ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛++=++=222222222 222)(21c n b n a n m p p p m E z y x z y x n n n z y x π ,3,2,1,,=z y x n n n 1.3设质量为m 的粒子在谐振子势222 1 )(x m x V ω=中运动，用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。 提示：利用 )]([2,,2,1, x V E m p n nh x d p -===⋅⎰ )(x V 解：能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 a x ≤ （1） 其中a 由下式决定：221 ()2 x a E V x m a ω=== 。 a - 0 a x