初中数学相似三角形的存在性问题(word版+详解答案)
相似三角形的存在性问题
【考题研究】
相似三角形的存在性问题是近几年中考数学的热点问题．解相似三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根。难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使得列方程和解方程又好又快．
【解题攻略】
相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．
判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验。 应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等． 应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．
【解题类型及其思路】
相似三角形存在性问题需要注意的问题：
1、若题目中问题为△ABC ∽△DEF ，则对应线段已经确定。
2、若题目中为△ABC 与 △DEF 相似，则没有确定对应线段，此时有三种情况：①△ABC ∽△DEF , ②△ABC ∽△FDE 、 ③△ABC ∽△EFD 、
3、若题目中为△ABC 与 △DEF 并且有 ∠A 、 ∠D （或为90°），则确定了一条对应的线段，此时有二种情况：①、△ABC ∽△DEF ，②、△ABC ∽△DFE 需要分类讨论上述的各种情况。
【典例指引】
类型一 【确定符合相似三角形的点的坐标】
典例指引1．（2019·贵州中考真题）如图，抛物线212
y x bx c =
++与直线1
32y x =+分别相交于A ，B 两
点，且此抛物线与x 轴的一个交点为C ，连接AC ，BC ．已知(0,3)A ，(3,0)C -．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使MB MC
-的值最大，并求出这个最大值；
（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ PA
⊥交y轴于点Q，问：是否存在点P 使得以A，P，Q为顶点的三角形与ABC
?相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【举一反三】
（2019·海南模拟）抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（5，0）．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）该抛物线与直线
3
3
5
y x
=+相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y
轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N．
①连结PC、PD，如图1，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；
②连结PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得△CNQ与△PBM相似?若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
类型二 【确定符合相似三角形的动点的运动时间或路程等】
典例指引2．
（2019年广东模拟）如图，在矩形OABC 中，AO=10，AB=8，沿直线CD 折叠矩形OABC 的一边BC ，使点B 落在OA 边上的点E 处，分别以OC ，OA 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，抛物线2
y ax bx c =++经过O ，D ，C 三点.
(1)求AD 的长及抛物线的解析式；
(2)一动点P 从点E 出发，沿EC 以每秒2个单位长的速度向点C 运动，同时动点Q 从点C 出发，沿CO 以每秒1个单位长的速度向点O 运动，当点P 运动到点C 时，两点同时停止运动，设运动时间为t 秒，当t 为何值时，以P ，Q ，C 为顶点的三角形与△ADE 相似？
(3)点N 在抛物线对称轴上，点M 在抛物线上，是否存在这样的点M 与点N ，使以M ，N ，C ，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M 与点N 的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由.
【举一反三】
（2019·湖南模拟）如图，已知直线y=-x+3与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，抛物线y=-x 2+bx+c 经过A ，B 两点，点P 在线段OA 上，从点O 出发，向点A 以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q 在线段AB 上，从点A 出发，向点B 以2个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ ，设运动时间为t 秒．
（1）求抛物线的解析式；
（2）问：当t 为何值时，△APQ 为直角三角形；
（3）过点P 作PE ∥y 轴，交AB 于点E ，过点Q 作QF ∥y 轴，交抛物线于点F ，连接EF ，当EF ∥PQ 时，求点F 的坐标；
（4）设抛物线顶点为M ，连接BP ，BM ，MQ ，问：是否存在t 的值，使以B ，Q ，M 为顶点的三角形与以O ，B ，P 为顶点的三角形相似？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．
类型三 【确定符合相似三角形的函数解析式或字母参数的值】
典例指引3．（2019·江苏中考真题）如图，二次函数2
45y x x =-++图象的顶点为D ，对称轴是直线l ，一次函数2
15
y x =
+的图象与x 轴交于点A ，且与直线DA 关于l 的对称直线交于点B ．
（1）点D 的坐标是 ______；
（2）直线l 与直线AB 交于点C ，N 是线段DC 上一点（不与点D 、C 重合），点N 的纵坐标为n ．过点
N 作直线与线段DA 、DB 分别交于点P ，Q ，使得DPQ ?与DAB ?相似．
①当27
5
n =时，求DP 的长； ②若对于每一个确定的n 的值，有且只有一个DPQ ?与DAB ?相似，请直接写出n 的取值范围 ______．
【举一反三】
（2018武汉中考）抛物线L ：y=﹣x 2+bx+c 经过点A （0，1），与它的对称轴直线x=1交于点B ． （1）直接写出抛物线L 的解析式；
（2）如图1，过定点的直线y=kx ﹣k+4（k ＜0）与抛物线L 交于点M 、N ．若△BMN 的面积等于1，求k 的值；
（3）如图2，将抛物线L 向上平移m （m ＞0）个单位长度得到抛物线L 1，抛物线L 1与y 轴交于点C ，过点C 作y 轴的垂线交抛物线L 1于另一点D ．F 为抛物线L 1的对称轴与x 轴的交点，P 为线段OC 上一点．若△PCD 与△POF 相似，并且符合条件的点P 恰有2个，求m 的值及相应点P 的坐标．
【新题训练】
1．（2019·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校初三月考）如图1，已知抛物线；C 1：y ＝﹣1
m
（x +2）（x ﹣m ）（m ＞0）与x 轴交于点B 、C （点B 在点C 的左侧），与y 轴交于点E ．
（1）求点B 、点C 的坐标；
（2）当△BCE 的面积为6时，若点G 的坐标为（0，b ），在抛物线C 1的对称轴上是否存在点H ，使得△BGH 的周长最小，若存在，则求点H 的坐标（用含b 的式子表示）；若不存在，则请说明理由；
（3）在第四象限内，抛物线C 1上是否存在点F ，使得以点B 、C 、F 为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．
2．（2020·浙江初三期末）边长为2的正方形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D 是边OA 的中点，连接CD ，点E 在第一象限，且DE DC ⊥，DE DC =.以直线AB 为对称轴的抛物线过C ，E 两点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P 从点C 出发，沿射线CB 每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t 秒.过点P 作PF CD ⊥于点F ，当t 为何值时，以点P ，F ，D 为顶点的三角形与COD ?相似？
（3）点M 为直线AB 上一动点，点N 为抛物线上一动点，是否存在点M ，N ，使得以点M ，N ，D ，
E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.
3．（2020·长沙市长郡双语实验中学初三开学考试）如图，抛物线y ＝ax 2﹣2ax +c 的图象经过点C （0，﹣2），顶点D 的坐标为（1，﹣83
），与x 轴交于A 、B 两点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）连接AC ，E 为直线AC 上一点，当△AOC ∽△AEB 时，求点E 的坐标和AE
AB
的值． （3）点C 关于x 轴的对称点为H ，当
5
FC +BF 取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△QHF 是直角三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2019·贵州初三）如图，已知抛物线y=
13
x 2
+bx+c 经过△ABC 的三个顶点，其中点A （0，1），点B （﹣9，10），AC ∥x 轴，点P 是直线AC 下方抛物线上的动点． （1）求抛物线的解析式；
（2）过点P 且与y 轴平行的直线l 与直线AB 、AC 分别交于点E 、F ，当四边形AECP 的面积最大时，求点P 的坐标；
（3）当点P 为抛物线的顶点时，在直线AC 上是否存在点Q ，使得以C 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．
5．（2020·河南初三）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2
43
y x bx c =-
++与x 轴交于A 、D 两点，与y 轴交于点B ，四边形OBCD 是矩形，点A 的坐标为（1，0），点B 的坐标为（0，4），已知点E （m ，0）是线段DO 上的动点，过点E 作PE ⊥x 轴交抛物线于点P ，交BC 于点G ，交BD 于点H ． （1）求该抛物线的解析式；
（2）当点P 在直线BC 上方时，请用含m 的代数式表示PG 的长度；
（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P ，使得以P 、B 、G 为顶点的三角形与△DEH 相似？若存在，
求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．
6．（2020·浙江初三期末）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线2
y x =的对称轴为直线l ，将直线l 绕着
点()0,2P 顺时针旋转α∠的度数后与该抛物线交于AB 两点（点A 在点B 的左侧），点Q 是该抛物线上一点
（1）若45α∠=?，求直线AB 的函数表达式 （2）若点p 将线段分成2:3的两部分，求点A 的坐标
（3）如图②，在（1）的条件下，若点Q 在y 轴左侧，过点p 作直线//l x 轴，点M 是直线l 上一点，且位于y 轴左侧，当以P ，B ，Q 为顶点的三角形与PAM ?相似时，求M 的坐标 7．（2020·上海初三）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝13
x 2
+mx +n 经过点B （6，1），C （5，0），且与y 轴交于点A ．
（1）求抛物线的表达式及点A 的坐标；
（2）点P 是y 轴右侧抛物线上的一点，过点P 作PQ ⊥OA ，交线段OA 的延长线于点Q ，如果∠PAB ＝45°．求证：△PQA ∽△ACB ；
（3）若点F 是线段AB （不包含端点）上的一点，且点F 关于AC 的对称点F ′恰好在上述抛物线上，求FF ′的长．
8．（2019·江苏初三期末）如图，抛物线y＝ax2＋5ax＋c（a＜0）与x轴负半轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，D是抛物线的顶点，过D作DH⊥x轴于点H，延长DH交AC于点E，且S△ABD：S△ACB＝9：16，
（1）求A、B两点的坐标；
（2）若△DBH与△BEH相似，试求抛物线的解析式．
9．（2019·湖南中考模拟）如图，顶点坐标为（2，﹣1）的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积；
（3）点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F．问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．
10．（2019·西安市铁一中学中考模拟）如图，抛物线2
(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标为(2,1)-，并且与y
轴交于点(0,3)C ，与x 轴交于A 、B 两点． （1）求抛物线的表达式．
（2）如图1，设抛物线的对称轴与直线BC 交于点D ，点E 为直线BC 上一动点，过点E 作y 轴的平行线EF ，与抛物线交于点F ，问是否存在点E ，使得以D 、E 、F 为顶点的三角形与BCO V 相似．若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．
11．（2019·广东中考模拟）如图，在平面直角坐标系xoy 中，直线1
22
y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ．抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴是3
2
x =-
且经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B ． （1）①直接写出点B 的坐标；②求抛物线解析式．
（2）若点P 为直线AC 上方的抛物线上的一点，连接PA ，PC ．求△PAC 的面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．
（3）抛物线上是否存在点M ，过点M 作MN 垂直x 轴于点N ，使得以点A 、M 、N 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
12．（2019·江苏泗洪姜堰实验学校中考模拟）如图，抛物线248
1293
y x x =--与x 轴交于A 、C 两点，与y 轴交于B 点．
（1）求△AOB 的外接圆的面积；
（2）若动点P 从点A 出发，以每秒2个单位沿射线AC 方向运动；同时，点Q 从点B 出发，以每秒1个单位沿射线BA 方向运动，当点P 到达点C 处时，两点同时停止运动．问当t 为何值时，以A 、P 、Q 为顶点的三角形与△OAB 相似？
（3）若M 为线段AB 上一个动点，过点M 作MN 平行于y 轴交抛物线于点N ．
①是否存在这样的点M ，使得四边形OMNB 恰为平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
②当点M 运动到何处时，四边形CBNA 的面积最大？求出此时点M 的坐标及四边形CBAN 面积的最大值．
13．（2019·陕西中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线L ：()2
y ax c a x c =+-+经过点A （-3，0）
和点B （0，-6），L 关于原点O 对称的抛物线为L '. （1）求抛物线L 的表达式；
（2）点P 在抛物线L '上，且位于第一象限，过点P 作PD ⊥y 轴，垂足为D.若△POD 与△AOB 相似，求
符合条件的点P 的坐标.
14．（2019·湖南中考真题）如图，抛物线2
y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -，点(3,0)B ，与y 轴交于
点C ，且过点(2,3)D -．点P 、Q 是抛物线2
y ax bx c =++上的动点． (1)求抛物线的解析式；
(2)当点P 在直线OD 下方时，求POD ?面积的最大值．
(3)直线OQ 与线段BC 相交于点E ，当OBE ?与ABC ?相似时，求点Q 的坐标．
15．（2018·四川中考真题）如图，抛物线y=
12x 2+bx+c 与直线y=1
2
x+3交于A ，B 两点，交x 轴于C 、D 两点，连接AC 、BC ，已知A （0，3），C （﹣3，0）． （1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴l 上找一点M ，使|MB ﹣MD|的值最大，并求出这个最大值；
（3）点P 为y 轴右侧抛物线上一动点，连接PA ，过点P 作PQ ⊥PA 交y 轴于点Q ，问：是否存在点P 使得以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
16．（2019·湖南中考真题）如图1，△AOB 的三个顶点A 、O 、B 分别落在抛物线F 1：217
33
y x x =+的图象上，点A 的横坐标为﹣4，点B 的纵坐标为﹣2.(点A 在点B 的左侧) (1)求点A 、B 的坐标；
(2)将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°得到△A 'OB '，抛物线F 2：2
4y ax bx =++经过A '、B '两点，已知点M
为抛物线F 2的对称轴上一定点，且点A '恰好在以OM 为直径的圆上，连接OM 、A 'M ，求△OA 'M 的面积； (3)如图2，延长OB '交抛物线F 2于点C ，连接A 'C ，在坐标轴上是否存在点D ，使得以A 、O 、D 为顶点的三角形与△OA 'C 相似.若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由.
相似三角形的存在性问题
【考题研究】
相似三角形的存在性问题是近几年中考数学的热点问题．解相似三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根。难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使得列方程和解方程又好又快．
【解题攻略】
相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．
判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验。 应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等． 应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．
【解题类型及其思路】
相似三角形存在性问题需要注意的问题：
1、若题目中问题为△ABC ∽△DEF ，则对应线段已经确定。
2、若题目中为△ABC 与 △DEF 相似，则没有确定对应线段，此时有三种情况：①△ABC ∽△DEF , ②△ABC ∽△FDE 、 ③△ABC ∽△EFD 、
3、若题目中为△ABC 与 △DEF 并且有 ∠A 、 ∠D （或为90°），则确定了一条对应的线段，此时有二种情况：①、△ABC ∽△DEF ，②、△ABC ∽△DFE 需要分类讨论上述的各种情况。
【典例指引】
类型一 【确定符合相似三角形的点的坐标】
典例指引1．（2019·贵州中考真题）如图，抛物线212
y x bx c =
++与直线1
32y x =+分别相交于A ，B 两
点，且此抛物线与x 轴的一个交点为C ，连接AC ，BC ．已知(0,3)A ，(3,0)C -．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴l 上找一点M ，使MB MC -的值最大，并求出这个最大值；
（3）点P 为y 轴右侧抛物线上一动点，连接PA ，过点P 作PQ PA ⊥交y 轴于点Q ，问：是否存在点P 使得以A ，P ，Q 为顶点的三角形与ABC ?相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）215322y x x =++；（2）点M 的坐标为（5
2
-，12-）时，MB MC -2；（3）
存在点(1,6)P ． 【解析】 【分析】
（1）根据待定系数法求解即可；
（2）根据三角形的三边关系可知：当点B 、C 、M 三点共线时，可使MB MC -的值最大，据此求解即可；
（3）先求得90ACB ∠=?，再过点P 作PQ PA ⊥于点P ，过点P 作PG y ⊥轴于点G ，如图，这样就把以A ，P ，Q 为顶点的三角形与ABC ?相似问题转化为以A ，P ，G 为顶点的三角形与ABC ?相似的问题，再分当13PG BC AG AC ==时与3PG AC
AG BC
==时两种情况，分别求解即可． 【详解】
解：（1）将(0,3)A ，(3,0)C -代入2
12
y x bx c =
++得：
39
302
c b c =??
?-+=??，解得：523b c ?=???
=?， ∴抛物线的解析式是215
322
y x x =
++； （2）解方程组：215
3
22
132
y x x y x ?=++??
?
?=+??，得1103x y =??=?，2241x y =-??=?，
∵(0,3)A ，∴(4,1)B -
当点B 、C 、M 三点不共线时，根据三角形三边关系得MB MC BC -<， 当点B 、C 、M 三点共线时，MB MC BC -=，
∴当点B 、C 、M 三点共线时，MB MC -取最大值，即为BC 的长， 如图，过点B 作BE ⊥x 轴于点E ，则在Rt BEC ?中，由勾股定理得：222BC BE CE =+=，
∴MB MC -取最大值为2；
易求得直线BC 的解析式为：y =－x －3，抛物线的对称轴是直线52x =-
，当52
x =-时，1
2y =-，∴点M
的坐标为（5
2
-
，12-）；
∴点M 的坐标为（5
2
-
，12-）时，MB MC -取最大值为2；
（3）存在点P ，使得以A 、P 、Q 为顶点的三角形与ABC ?相似．
设点P 坐标为215,
3(0)22x x x x ??
++> ???
， 在Rt BEC ?中，∵1BE CE ==，∴45BCE ∠=?， 在Rt ACO ?中，∵3AO CO ==，∴45ACO ∠=?， ∴180454590ACB ∠=?-?-?=?
，AC =
过点P 作PQ PA ⊥于点P ，过点P 作PG y ⊥轴于点G ，如图， ∵90PGA APQ ∠=∠=?，PAG QAP ∠=∠，∴PGA ?∽QPA ?， ∵90PGA ACB ∠=∠=?，
∴①当
13PG BC AG AC ==时，PGA ?∽BCA ?， ∴21
1533322
x x x =
++-，解得11x =，20x =，（舍去）
∴点P 的纵坐标为215
113622
?+?+=，∴点P 为(1,6)；
②当3PG AC AG BC
==时，PGA ?∽ACB ?，
∴23
153322
x
x x =++-，解得1133x =-（舍去），20x =（舍去），
∴此时无符合条件的点P ； 综上所述，存在点(1,6)P ． 【名师点睛】
本题考查的是二次函数的综合运用，主要考查待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的解法、两函数的交点和线段差的最值等问题，其中（1）题是基础题型，（2）题的求解需运用三角形的三边关系，（3）题要注意分类求解，避免遗漏，解题的关键是熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质以及一元二次方程的解法． 【举一反三】
（2019·海南模拟）抛物线y=ax 2+bx+3经过点A （1，0）和点B （5，0）． （1）求该抛物线所对应的函数解析式； （2）该抛物线与直线3
35
y x =
+ 相交于C 、D 两点，点P 是抛物线上的动点且位于x 轴下方，直线PM ∥y
轴，分别与x 轴和直线CD 交于点M 、N ．
①连结PC 、PD ，如图1，在点P 运动过程中，△PCD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；
②连结PB ，过点C 作CQ ⊥PM ，垂足为点Q ，如图2，是否存在点P ，使得△CNQ 与△PBM 相似?若存在，求出满足条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）2318355y x x =-+；（2）① 102940
；② 存在，（（2，95）或（34
9，5527-）．
【解析】 【详解】
试题分析：（1）由A 、B 两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）①可设出P 点坐标，则可表示出M 、N 的坐标，联立直线与抛物线解析式可求得C 、D 的坐标，过C 、D 作PN 的垂线，可用t 表示出△PCD 的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值； ②当△CNQ 与△PBM 相似时有
PQ PM
CQ BM
= 或NQ BM CQ PM =两种情况，利用P 点坐标，可分别表示出线段的长，可得到关于P 点坐标的方程，可求得P 点坐标．
试题解析：（1）∵抛物线2
3y ax bx =++经过点A （1，0）和点B （5，0），
∴3025530a b a b ++=??++=? ，解得35
185a b ?
=????=-??
∴该抛物线对应的函数解析式为2318
355
y x x =
-+ ； （2）①∵点P 是抛物线上的动点且位于x 轴下方，
∴可设P （t ，2
318
35
5t t -
+）（
1＜t ＜5）， ∵直线PM ∥y 轴，分别与x 轴和直线CD 交于点M 、N ， ∴M （t ，0），N （t ，335
t +），
∴2
2331837147335555220PN t t t t ????=+--+=--+ ? ???
??.
联立直线CD 与抛物线解析式可得2335
318355y x y x x ?
=+????=-+??
，解得03x y =??=? 或7365x y =???=??，
∴C （0，3），D （7，
36
5
）， 分别过C 、D 作直线PN 的直线，垂足分别为E 、F ，如图1，
则CE=t ，DF=7﹣t ， ∴11772222
PCD PCN PDN S S S PN CE PN DF PN =+=
+==V V V g g 22
371472171029
522010240t t ??????--+=--+
?? ? ?????????
， ∴当7
2t =
时，△PCD 的面积有最大值，最大值为102940
； ②存在．
∵∠CQN=∠PMB=90°， ∴当△CNQ 与△PBM 相似时，有PQ PM
CQ BM
= 或NQ BM CQ PM =两种情况， ∵CQ ⊥PM ，垂足为Q ，
∴Q （t ，3），且C （0，3），N （t ，3
35
t + ）， ∴CQ=t ，333355
Q t N t +-==
， ∴
3
5
CQ NQ = ， ∵P （t ，2
318
35
5
t t -
+），M （t ，0），B （5，0）， ∴BM=5﹣t ，2
23183180335
555PM t t t t ??
=--
+=-- ??+?
， 当
PQ PM CQ BM =时，则35PM BM =，即()2318335555t t t --=+-，解得t=2或t=5（舍去），此时P （2，9
5 ）； 当
NQ BM CQ PM =时，则35BM PM =，即2318355355t t t ??
-=+ ??-?
-，解得349t =或5t =（舍去），此时P （
349，5527
-）； 综上可知存在满足条件的点P ，其坐标为P （2，
95）或（34
9，5527
-）． 类型二 【确定符合相似三角形的动点的运动时间或路程等】
典例指引2．
（2019年广东模拟）如图，在矩形OABC 中，AO=10，AB=8，沿直线CD 折叠矩形OABC 的一边BC ，使点B 落
(完整版)初中数学竞赛相似三角形专题
初二竞赛专题：相似三角形 1.如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F ．证明： 111 AB CD EF += ． 2.如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对角线交点O 作EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长． 3.如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，396AD BC AB ===，，，4CD =，若EF BC ∥，且 梯形AEFD 与梯形EBCF 的周长相等，求EF 的长． 两个常见模型：如图，已知直线EF BC ∥，直线EF 分别与直线AB 、AC 、AD 相交于E 、F 、G 点， 则 BD EG DC FG = ． O F E D C B A F E D C B A F E D C B A G F E D C B A B D A E G F C
4.一条直线与三角形ABC的三边BC，CA，AB(或其延长线)分别交于D，E，F(如图2-68所示)．求证： 5.如图所示．P为△ABC内一点，过P点作线段DE，FG，HI分别平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425．求d． 6.如图，边长为1的等边ABC △，BC边上有一点D，1 3 BD=，AC上有一点E ，60 ADE ∠=o，求EC的长．7.已知，B是AC中点，D、E在AC的同侧，且ADB EBC ∠=∠，DAB BCE ∠=∠，证明：BDE ADB ∠=∠． E D C B A D E B C A
8.如图，在ABC △中，60BAC ∠=o ，点P 是ABC △内一点，且APB BPC CPA ∠=∠=∠，若8PA =，6PC =，求PB 的长． 9.如图，在锐角ABC △中，AD 、CE 分别为BC 、AB 边上的高，ABC △和BDE △的面积分别等于18和2， 22DE =，求点B 到AC 的距离． 10.如图所示，已知3个边长相等的正方形相邻并排，求EBF EBG ∠+∠． 11.如图，在ABC △中，AD 平分BAC ∠，AD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 的延长线于F ，求证： 2FD FB FC =?． E D C A B P C B A H G B A
2019秋人教版七年级数学上册教材全解读
2019秋人教版七年级数学上册教材全解读 教材分析 第一章有理数教材分析 本章内容的地位和作用 本章是数从自然数扩展到有理数，初步形成有理数的概念后，进一步学习有理数的运算，是小学算术的延续和发展。 数从自然数、分数扩展到有理数后，数的运算从内涵到法则都发生了变化，必须在原有的基础上重新建立。这种数的运算法则的变化，主要原因是增加了负数的概念。而到学了第三章实数，数系扩展到实数后，数的运算的内涵和法则(包括运算律)并没有多大变化，从这个意义上来说，有理数的运算是实数运算的基础和依据，也是代数式四则运算的重要基础。因此，本章内容的地位是至关重要的。准确数和近似数、计算器的使用也是本章的教学内容，它是应用有理数解决实际问题所必需的。 本章的知识结构如图
本章内容及课时安排 1.1 正数和负数2课时 1.2 有理数4课时 有理数数轴相反数绝对值 1.3 有理数的加减法 4课时 加法减法 1.4 有理数的乘除法4课时 乘法除法 1.5 有理数的乘方3课时 乘方科学记数法近似数和有效数字 数学活动 小结2课时 部分小节内容分析 1.1 正数和负数 学生在小学已经学过算术数(整数、分数、小数)和负数，知道正数与负数是具有相反意义的量，认识数轴，了解数轴的三要素；因此平时教学既不能起点太低，与小学重复，也不能过高的估计了学生的认知水平，一笔带过。其实学生对于0既不是正数，也不是负数的概念不够清晰明确是我们重点学要强调的，同时我们还可以适当补充非负数、非正数的概念，起到一些承前启后的作用。 将下列各数填在相应的集合中： -8.5， 6，， 0， -200， 0.1， -20%， -2.35， 0.01， +86，.
相似三角形的存在性(讲义及答案).
相似三角形的存在性（讲义） 知识点睛 1.存在性问题的处理思路 ①分析不变特征 分析背景图形中的定点，定线，定角等不变特征． ②分类、画图 结合图形形成因素（判定，定义等）考虑分类，画出符合题意的图形． 通常先尝试画出其中一种情形，分析解决后，再类比解决其他情形． ③求解、验证 围绕不变特征、画图依据来设计方案进行求解；验证时，要回归点的运动范围，画图或推理，判断是否符合题意． 注：复杂背景下的存在性问题往往需要研究背景图形，几何背景往往研究点，线，角；函数背景研究点坐标，表达式等．2.相似三角形的存在性不变特征及特征下操作要点举例： 一般先从角（不变特征）入手，分析对应关系后，作出符合题意图形，再借助不变特征和对应边成比例列方程求 解．常见特征如一组角对应相等，这一组相等角顶点为确定对应点，结合对应关系分类后，作出符合题意图形，一般利用对应边成比例列方程求解．
精讲精练 1.如图，将长为8cm，宽为5cm的矩形纸片ABCD折叠，使 点B落在CD边的点E处，压平后得到折痕MN，点A的对称点为点F，CE=4cm．若点G是矩形边上任意一点，则当△ABG与△CEN相似时，线段AG的长为． 2.如图，抛物线y=-1x2+10x-8经过A，B，C三点，BC⊥OB， 33 AB=BC，过点C作CD⊥x轴于点D．点M是直线AB上方的抛物线上一动点，作MN⊥x轴于点N，若△AMN与△ACD 相似，则点M的坐标为．
3.如图，已知抛物线y=3x2+bx+c与坐标轴交于A，B，C三 4 点，点A的坐标为(-1，0)，过点C的直线y=3 4t x-3与x轴 交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB 于点H．若PB=5t，且0＜t＜1． （1）点C的坐标是，b=，c=．（2）求线段QH的长（用含t的代数式表示）． （3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P，H，Q为顶点的三角形与△COQ相似？若存在，求出所有符合条件的t 值；若不存在，说明理由．
上海市初三数学相似三角形经典题型
相似三角形的判定练习 例题分析： 例1：已知如图，在△ABC 中，D 是AB 上的一点，连结CD ，∠ACD=∠B,求证：2 AE AD AC = 例2：如图，在Rt ΔABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，垂足为D ， (1)求证：△ACD ∽△ABC ∽△CBD (2)求证：222(1) (2) (3)AC AD AB CD AD DB BC BD AB === 例3：已知如图，点D 是AB 上的一点，CA ⊥AB,EB ⊥AB,CD ⊥DE,求证：△ACD ∽△BDE 例4：在△ABC 中，AB=6，AC=9，D 为AC 上的一点，AD=3，在AB 上找一点E ，使得△ADE 与△ABC 相似？并求出AE 的长。
两个三角形相似的六种图形： 1. 如图在△ABC中，D是BC边的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，交AB于点E，EC交AD于点F． 求证：△ABC∽△FCD； A E F B D C 2、已知：如图，△ABC中，∠ACB=900，AB的垂直平分线交AB于D，交BC延长线于F。 求证：CD2=DE·DF 3. 如图3，△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线FE交BC的延长线于E．求证：DE2＝BE·CE． 4.如图，已知△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，CF∥BA，BF交AD于P点，交AC于E点。求证：BP2=PE·PF。
5.如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB 6.如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于点F． 求证：AB DF AC AF ． 7.已知如图，在平行四边形ABCD中，,求证：△AOB∽△ABC 8. 已知:如图,ΔABC中,CE⊥AB,BF⊥AC.求证:(1)△AEC∽△AFB (2) △AEF∽△ACB
【免费下载】中学教材全解 七年级数学上北师大版期末检测题含答案
图2图图 期末检测题 【本检测题满分：120分，时间：120分钟】 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.(2013?湖南张家界中考)-2 013的绝对值是（ ） A.-2 013 B.2 013 C. D.12013 12013 -2.已知两数在数轴上的位置如图所示，则化简代数式,a b 的结果是（ ） 12a b a b +--++A.1 B. C. D.-1 23b +23a -3.某商店把一件商品按标价的九折出售（即优惠10％），仍可获利20％，若该商品的标价为每件28元，则该商品的进价为（ ） A.21元 B.19.8元 C.22.4元 D.25.2元 4.(2013?湖南株洲中考)一元一次方程的解是（ ） 24x =A. B. C. D.1x =2x =3x =4 x =5.如图，，则与之比为（ ）11,,34 AC AB BD AB AE CD ===CE AB A.1∶6 B.1:8 C.1:12 D.1:16 6.如果∠1与∠2互补，∠2与∠3互余，则∠1与∠3的关系是（ ） A.∠1=∠3 B.∠1=180°-∠3 C.∠1=90°+∠3 D.以上都不对 7.如图是某班学生参加课外兴趣小组的人数占总人数比 例的统计图，则参加人数最多的课外兴趣小组是（ ） A.棋类组 B.演唱组 C.书法组 D.美术组 8.某中学开展“阳光体育活动”，九年级一班全体同学分别参加了巴 山舞、乒乓球、篮球三个项目的活动，陈老师统计了该班参加这三项活动的人数，并绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图．根据这两个统计图，可以知道该班参加乒乓A B C D E 第5题图 习题到位。在管设备进行调整使度内来确保机组
相似三角形存在性探究精品
文档收集于互联网，已重新整理排版.word 版本可编辑,有帮助欢迎下载支持. 1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 【关键字】条件、速度、方向 相似三角形存在性探究 如图，点D 在△ABC 的边上. (1)要判断△ADB 与△ (2)要判断△ADB 与△(3)通过(1)(2)例1如图,在△ABC 的边AB 上有一点E ,AB =4cm AE =1cm AC =3cm 。在AC 边上是否存 在点F ,使得△AEF 和△ABC 相似？若存在，求出AF 的长。 变式 如图, 点E 在AB 边上从点A 向点B 运动，速度为2cm/s ， 点F 同时从点C 向点A 运动，速度为1cm/s,设运动时间为t 秒，问是否存在t 的值，使得 △AEF 和△ABC 相似？若存在，试求出t 的值，若不存在，请说明理由。 例2如图，在平面点直角坐标系xoy 中，A (1,0)、B (3,0)、C (0,-3)、P (2,1)请问在x 轴上是 否存在点Q,使以P ,B,Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出点Q 的坐标，若不存 在，请说明理由。 变式 如图，在平面点直角坐标系xoy 中，A (1,0)、B (3,0)、C (0,-3)、P (2,1) (1)求过A 、B 、C 三点的抛物线解析式 (2)请问在x 轴下方的抛物线上是否存在点M ,过M 作M N ⊥x 轴于点N,使以A,M,N 为顶点的 三角形与△BCP 相似？若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由。 做一做 如图，抛物线 与x 轴交于A ，B 两点（A 点在B 点左侧）与y 轴交于点C ，动直线EF (EF //x 轴）从点C 出发，以每秒1个单位长度的速度沿y 轴负 方向平移，且分别交y 轴、线段BC 于E 、F 两点，动点P 同时从点B 出发，在线段OB 上 以每秒2个单位长度的速度向原点O 运动，是否存在t 的值，使△BPF 与△ABC 相似？若 存在试求出t 的值，若不存在，请说明理由。 B 42 3812+-=x x y O
初三数学《相似三角形》知识点归纳
初三数学《相似三角形》知识提纲 (何老师归纳) 一：比例的性质及平行线分线段成比例定理 （一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段 的比是，或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离 3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：c d a b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。 ③ 比例中项:若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质:b c a d d c b a =?= 2. 合比：若 ，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比：若 ……（若……）a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0 4、黄金分割： 把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=2 1 5-AB ≈0.618AB ， (三)平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到 = . = ， = ， 语言描述如下： = ， = ， = . （4）上述结论也适合下列情况的图形： n m b a =
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初中最好的辅导书 语文就教材全解(王侯雄的那个)词很全的,知识点也很详细 数学就龙门,数学不要买典中点,题太杂.也不要买点拨,感觉有偏题和难题太多.. 物理点拨最好了化学也点拨. 其实无论哪一种，只要坚持看完，都足以取得好成绩。 语文：经典学法频道（我们老师备课和给我们复习天天用）数学：点拨，倍速学习法（题题经典！）英语：剖析，典中点（讲解很细致，建议一字一句都要看！）政治：轻巧夺冠（考得很切合命题趋势）历史：中学生教材全解（很经典的一本辅导书）物理：中华题王，成功学习计划（75中等题+25难题）化学：成功学习计划，典中点（非常实用，能巩固基础，加强记忆）地理：海淀单元卷（难易适中，题目很地道）生物：中华题王（吃透它，95分以上真的不成问题！） 《点拨》好一些，或者是《教材全解》（薛金星）。知识都比较全面。初中什么参考书好?
语文就买倍速吧，我用了3年，觉得好比较实用的 数学就买黄东坡写的探究新思维，那本书比较难，题型也不错 想要基础一点的就买点拨 英语买尖子生，我用过，比较好 化学就买解题方法 物理有好多都不错啊剖析，点拨，考进实验班，这些我都用过 我不知道你的基础怎样。如果基础比较好，我劝你买一些奥赛的资料做 基础比较薄弱的话就买基础一点的，比如倍数，中学教材全解 复课老师会统一买的，你就不用担心了，多背是关键 语文的话买《教材全解》比较好因为这本书对教材分析得很好从各个层面进行分析让你轻松的理解老师上课讲的不明白的课文的含义
和重点 数学和英语最好是有练习题的《典中点》（题有点深度）《三点一测》《黄冈题库》等 当然如果你要理解性的辅导书数学和英语的《教材全解》也不错很全面 我也是初三这些书你可以去书店看一看再决定 我用的参考书老师也都认为好，你可以试试看 参考书：数学完全解读 英语互动英语 语文经典学法频道 物理点拨 化学完全解读
相似三角形的存在性问题解题策略
中考数学压轴题解题策略（2） 相似三角形的存在性问题解题策略 《挑战压轴题·中考数学》的作者 上海 马学斌 专题攻略 相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等． 判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验，如例题1、2、3、4． 应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等，如例题6． 应用判定定理3解题不多见，如例题5，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）． 例题解析 例? 如图1-1，抛物线213482 y x x =-+与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点左侧），与y 轴交于点C ．动直线EF （EF //x 轴）从点C 开始，以每秒1个单位的速度沿y 轴负方向平移，且分别交y 轴、线段BC 于E 、F 两点，动点P 同时从点B 出发，在线段OB 上以每秒2个单位的速度向原点O 运动．是否存在t ，使得△BPF 与△ABC 相似．若存在，试求出t 的值；若不存在，请说明理由． 图1-1 【解析】△BPF 与△ABC 有公共角∠B ，那么我们梳理两个三角形中夹∠B 的两条边． △ABC 是确定的．由213482 y x x = -+，可得A (4, 0)、B (8, 0)、C (0, 4)． 于是得到BA ＝4，BC ＝12CE CO EF OB ==． △BPF 中，BP ＝2t ，那么BF 的长用含t 的式子表示出来，问题就解决了． 在Rt △EFC 中，CE ＝t ，EF ＝2t ，所以CF ． 因此)BF t ==-． 于是根据两边对应成比例，分两种情况列方程： ①当BA BP BC BF ==．解得43t =（如图1-2）．
初中数学《相似三角形》优秀教案
相似三角形 一、知识概述 (一)相似三角形 1、对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形． 温馨提示： ①当且仅当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可； ②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等； ③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例，其应用广泛． 2、相似三角形对应边的比叫做相似比． 温馨提示： ①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例． ②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当且仅当它们全等时，才有k=k′=1． ③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出． 3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形． 4、相似三角形的预备定理：如果一条直线平行于三角形的一条边，且这条直线与原三角形的两条边(或其延长线)分别相交，那么所构成的三角形与原三角形相似．
①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言： ∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE； ②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明下节相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”； ③有了预备定理后，在解题时不但要想到上一节“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”． (二)相似三角形的判定 1、相似三角形的判定： 判定定理(1)：两角对应相等，两三角形相似． 判定定理(2)：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 判定定理(3)：三边对应成比例，两三角形相似． 温馨提示： ①有平行线时，用上节学习的预备定理； ②已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角)时，可考虑利用判定定理（1）或判定定理（2）； ③已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理2或判定定理3．但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等． 2、直角三角形相似的判定：斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．
九年级数学教材全解
九年级数学教材全解 我研说的教材是青岛版数学九年级上册，我主要从课标基本要求；编写意图、编写体例；教材的内在结构和逻辑关系；教材内容分析；教材处理等方面对教材进行简单的分析。 一、课标基本要求 新课标中对数学课程提出这样的教育理念：“人人学有价值的数学；人人都获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展”。本册教材正是依据这种教育理念编写的。 新课标对本学段的学习提出了四个方面的目标：1、知识与技能：经历将一些实际问题抽象为数学问题的过程，掌握数学基础知识和基本技能，并能解决简单的问题。2、数学思考：经历运用数学符号和图形描述现实世界的过程，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维能力、合情推理能力、逻辑推理能力，并能有条理地、清晰地阐述观点。3、解决问题：初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识。4、情感与态度：能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心与求知欲。在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，增强自信心。这四方面的目标是一个密切联系的整体，其中数学思考、解决问题、情感与态度的发展离不开知识与技能的学习，同时知识与技能的学习必须以有利于其他目标的实现为前提。 二、编写特意图、体例安排 我认为本套教材主要体现了编者以下几个方面的的意图：1、全面落实《课程标准》的基本理念，以内容的基础性、普及性、发展性为根本出发点；2、以内容呈现方式的变革促进学生数学学习方式的根本变革；3、以“容易些，有趣些、鲜活些”作为指导思想。4、结合适当的素材体现数学的文化价值，重视隐形课程的作用。 关于教材的体例安排，教材是通过章、节、习题将知识有机的编排在一起的，我认为有以下几个方面的特点：（1）每一章的开始，设有一幅表现该章主要内容章头图（包括内容提要与情境导航），以期激发学生的学习兴趣与求知欲望。（2）各章的章末都安排了回顾与总结，帮助学生系统梳理本章的学习内容，从知识与技能、数学思考、解决问题、情感与态度等方面加以总结与升华。（3）检测站在每一章的最后，便于学生对本章所学内容进行自我检查与评价。（4）教材的正文中，根据教学内容的实际需要，适当设置了一些相应的栏目。如，“观察与思考”、“交流与发现”、“实验与探究”，通过真实的情境、鲜活的实例或数学自身的素材，用问题串的形式，帮助学生进入学习情境，使学生在观察、实验、思考、猜想、验证、推理与交流等数学活动中经历数学的探究与发现过程，成为数学学习的主人。在部分课节之后设置了挑战自我，向学有余力的学生提出了一两个深刻的、需要进一步思索的问题。（5）这套书中设计了“小亮”、“小莹”、“小博士”三个形象，其中小亮和小莹提出问题、发表感想，小博士对部分疑难问题给予点拨、提示与总结，更好的实现了人书对话，促进了学生与学生、学生与教师之间的交流。（6）结合教材各块内容，安排一些有关的背景资料和阅读材料，有加油站、小资料、广角镜、智趣园和史海漫游等栏目，内容涉及数学应用素材、数学趣闻、名题、趣题、数学史料、数学家介绍等等。这些栏目有利于提高学生的学习兴趣、培养阅读能力与查阅资料的习惯、增强文化素养。（7）本书的练习系统分为练习、习题与综合练习三个梯度。“习题”和“综合练习”均分为A、B两组，A组为基础题，供全体学生使用，B组供学有余力的学生选用，以满足不同层次的学生的需要。 三、教材的内在结构与逻辑关系 本册教材共安排了四章和一个课题学习，涉及三个领域。其中“一元二次方程”属于“数与代数”领域；“特殊四边形”、“图形与变换”和“对圆的进一步认识”属于“图形与几何”领域；“综合与实践”的内容在本册中以“图形变换与图案设计”这样一个课题学习的形式编排在四章内容
相似三角形存在性问题
因动点产生得相似三角形问题 例1 ２015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第2４题 如图1,在平面直角坐标系中,双曲线(k≠０)与直线y=x+２都经过点A(2, m). (1)求ｋ与ｍ得值; (2)此双曲线又经过点B(ｎ, ２),过点B得直线BＣ与直线y=x＋2平行交ｙ轴于点C,联结AB、AＣ,求△ＡBC得面积; (３)在(2)得条件下,设直线y=ｘ+２与y轴交于点D,在射线CB上有一点E,如果以点Ａ、C、Ｅ所组成得三角形与△AＣＤ相似,且相似比不为1,求点E得坐标、 图１ 动感体验 请打开几何画板文件名“１5宝山嘉定２4”,拖动点E在射线CB上运动,可以体验到, △ACE与△ACD相似,存在两种情况。 思路点拨 １、直线AD/／BＣ,与坐标轴得夹角为45°. 2.求△AＢC得面积,一般用割补法. ３。讨论△ACＥ与△ＡCD相似,先寻找一组等角,再根据对应边成比例分两种情况列方程. 满分解答 (1)将点Ａ(２, m)代入ｙ＝ｘ＋２,得m=４.所以点Ａ得坐标为(２,4). 将点A(2, 4)代入,得k＝8。 (２)将点B(n, 2),代入,得n=４。 所以点Ｂ得坐标为(4, 2)、 设直线ＢＣ为y=x＋ｂ,代入点B(4, 2),得b=—2. 所以点C得坐标为(0,—2). 由A(2, ４) 、Ｂ(4, 2) 、Ｃ(0,-2),可知A、B两点间得水平距离 与竖直距离都就是２,B、C两点间得水平距离与竖直距离都就是4. 所以AＢ＝,BC＝,∠ＡBＣ＝９0°.
图２ 所以S△ＡBC＝＝=8、 (3)由Ａ(2, 4)、Ｄ(0, 2) 、C(0,—2),得AD＝,AC＝、 由于∠ＤAＣ+∠ACＤ=4５°,∠ＡCE＋∠ACＤ＝4５°,所以∠DAC＝∠ACE。 所以△ACE与△ＡCD相似,分两种情况: ①如图3,当时,CE＝AＤ=. 此时△ACD≌△CAE,相似比为1. ②如图４,当时,、解得CＥ＝.此时Ｃ、E两点间得水平距离与竖直距离都就是10,所以E(10, ８)、 图3 图4 考点伸展 第(2)题我们在计算△ＡBC得面积时,恰好△ＡBC就是直角三角形、 一般情况下,在坐标平面内计算图形得面积,用割补法、 如图5,作△AＢＣ得外接矩形ＨＣNＭ,MN/／y轴. 由S矩形HCNM=2４,S△AHC=6,S△ＡMB=2,S△BCN＝8,得S△ABC＝8. 图5 例２201４年武汉市中考第24题 如图1,Rt△ABC中,∠ＡCB＝９0°,ＡC=6 cm,BC＝８cm,动点Ｐ从点Ｂ出发,在BA边上以每秒５cｍ得速度向点Ａ匀速运动,同时动点Q从点C出发,在CB边上以每秒4 ｃm得速度向点B匀速运动,运动时间为t秒(0 2013初中相似三角形难题易错题 一．填空题（共2小题） 1．如图所示，已知AB∥EF∥CD，若AB=6厘米，CD=9厘米．求EF． 2．如图，?ABCD的对角线相交于点O，在AB的延长线上任取一点E，连接OE交BC于点F．若AB=a，AD=c，BE=b，则BF=_________． 二．解答题（共17小题） 3．如图所示．在△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC交BC于D．求证：． 4．如图所示，?ABCD中，AC与BD交于O点，E为AD延长线上一点，OE交CD于F，EO延长线交AB于G．求 证：． 5．一条直线截△ABC的边BC、CA、AB（或它们的延长线）于点D、E、F．求证：． 6．如图所示．P为△ABC内一点，过P点作线段DE，FG，HI分别平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425．求d． 7．如图所示．梯形ABCD中，AD∥BC，BD，AC交于O点，过O的直线分别交AB，CD于E，F，且EF∥BC．AD=12厘米，BC=20厘米．求EF． 8．已知：P为?ABCD边BC上任意一点，DP交AB的延长线于Q点，求证：． 9．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，MN∥BC，且MN与对角线BD交于O．若AD=DO=a，BC=BO=b，求MN． 10．P为△ABC内一点，过P点作DE，FG，IH分别平行于AB，BC，CA（如图所示）． 求证：． 11．如图所示．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＜CD．一条直线交BA延长线于E，交DC延长线于J，交AD于F，交BD于G，交AC于H，交BC于I．已知EF=FG=GH=HI=IJ，求DC：AB． 12．已知P为△ABC内任意一点，连AP，BP，CP并延长分别交对边于D，E，F． 求证：（1）（2）三者中，至少有一个不大于2，也至少有一个不少于2． 13．如图所示．在△ABC中，AM是BC边上的中线，AE平分∠BAC，BD⊥AE的延长线于D，且交AM延长线于F．求证：EF∥AB． 1、3/5千米的（ -—）是200米。 本题主要错误原因是前后单位不同、审题不细致而导致大部分学生填写1000/3。 2、一根10米长的绳子，第一次用去1/5，第二次用去1/5米。还剩下（）米。 本题主要错误原因，1/5和1/5米，一个表示关系，一个表示具体的量，学生在做这一题时，没 有关注这两个数据的不同意义。 3、一批水果重3/5吨，5天卖完，平均每天卖（）吨，平均每天卖这批水果的（—）。 本题学生大部分把两个概号的答案交换位置填写，想来主要是没有理解这两个问题的真正意义。 还有学生对于具体量用分数来表示并不能完全理解，总会有一个习惯性的思维左右其解题。教学 时应该多加练习。 4、4/9的倒数是（），（）个这样的倒数是最大的一位数。 本题的第一空学生没问题，第二空则问题较大，学生多数没有理解“这样的倒数”， 还有就是没有关注到“最大的一位数”这一的条件。 计算题： 1、15÷5/+1/6×8 本题计算过程大部分学生都没问题，但这一题的计算结果却出现许多学生写成27又4/3，表达上 有误，需及时纠正。 2、2/3×1/4÷（3/4－1/3） 本题出现的最大错误是学生误认为可以用简便方法计算，使得改变了计算顺序从而出现计算错误。选择题： 1、王芳和李明是同班同学，他们都面向南而坐，王芳的位置（3，6），李明的位置（4，3），王 芳在李明的（）。 A、左前方 B、左后方 C、右后方 本题的主要错误原因有学生把平面图上的方位和现实生活中的方位搞混淆。还有是学习位置这一 知识点时，没有结合到相关题型进行教学，应加强这方面的教学。 2、聪聪吃了一包糖的3/4，剩下的是吃了的（）。 A、1/2 B、1/3 C、1/4 本题的前后两句话并不以同一单位“1”出现，而学生大部分选择了C 也是因为单位“1”没有分析清楚，平时这类不同单位“1”的题型学生接触的也比较少。 动手操作： 主要的错误原因有描点时没有把字母标在图上，及梯形的计算面积公式的遗忘。 相似三角形的存在性问题 【考题研究】 相似三角形的存在性问题是近几年中考数学的热点问题．解相似三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根。难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使得列方程和解方程又好又快． 【解题攻略】 相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等． 判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验。 应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等． 应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）． 【解题类型及其思路】 相似三角形存在性问题需要注意的问题： 1、若题目中问题为△ABC ∽△DEF ，则对应线段已经确定。 2、若题目中为△ABC 与 △DEF 相似，则没有确定对应线段，此时有三种情况：①△ABC ∽△DEF , ②△ABC ∽△FDE 、 ③△ABC ∽△EFD 、 3、若题目中为△ABC 与 △DEF 并且有 ∠A 、 ∠D （或为90°），则确定了一条对应的线段，此时有二种情况：①、△ABC ∽△DEF ，②、△ABC ∽△DFE 需要分类讨论上述的各种情况。 【典例指引】 类型一 【确定符合相似三角形的点的坐标】 典例指引1．（2019·贵州中考真题）如图，抛物线212 y x bx c = ++与直线1 32y x =+分别相交于A ，B 两 点，且此抛物线与x 轴的一个交点为C ，连接AC ，BC ．已知(0,3)A ，(3,0)C -． 相似三角形常见模型一【知识清单】 【典例剖析】 知识点一：A字型的相似三角形 A字型、反A字型（斜A字型） B（平行） B （不平行） （1）如图，若BC DE ∥，则ABC ADE ∽△△ （2）如图，如果B AED ∠=∠，或C ADE ∠=∠，则 ACB ADE ∽△△ 1、如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证： 111c a b =+. 2、已知在ABC △中，D 是AB 上的点，E 是AC 上的点，连接DE ，可得?=∠+∠180C BDE ，线段BC DE 21=，AE AD 3 2=， 求AC AB 的值。 变式练习： 1、如图，111EE FF MM ∥∥，若AE EF FM MB ===，则 111111:::_________AEE EE F F FF M M MM CB S S S S ?=四边形四边形四边形 2、如图，AD EF MN BC ∥∥∥，若9AD =，18BC =， F E D C B A B M 1F 1E 1M E F A B C M N A B C D E F ::2:3:4AE EM MB =,则_____EF =，_____MN = 3、（2014?乌鲁木齐）如图，AD ∥BC ，∠D=90°，AD=2，BC=5，DC=8．若在边DC 上有点P ，使△PAD 与△PBC 相似，则这样的点P 有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 知识点二：8字型相似三角形 J O A D B C A B C D （蝴蝶型） （平行） （不平行） （1）如图，若CD AB ∥，则DOC AOB ∽△△ （2）如图，若C A ∠=∠，则CDJ ABJ ∽△△ 1、已知，P 为平行四边形ABCD 对角线，AC 上一点，过点 P 的直线与AD ，BC ，CD 的延长线，AB 的延长线分别相 交于点E ，F ，G ，H 求证：PE PH PF PG = P H G F E D C B A 专题三 相似三角形的存在性问题 【考题研究】 相似三角形的存在性问题是近几年中考数学的热点问题．解相似三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根。难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使得列方程和解方程又好又快． 【解题攻略】 相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等． 判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验。 应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等． 应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）． 【解题类型及其思路】 相似三角形存在性问题需要注意的问题： 1、若题目中问题为△ABC ∽△DEF ，则对应线段已经确定。 2、若题目中为△ABC 与 △DEF 相似，则没有确定对应线段，此时有三种情况：①△ABC ∽△DEF , ②△ABC ∽△FDE 、 ③△ABC ∽△EFD 、 3、若题目中为△ABC 与 △DEF 并且有 ∠A 、 ∠D （或为90°），则确定了一条对应的线段，此时有二种情况：①、△ABC ∽△DEF ，②、△ABC ∽△DFE 需要分类讨论上述的各种情况。 【典例指引】 类型一 【确定符合相似三角形的点的坐标】 典例指引1．（2019·贵州中考真题）如图，抛物线212 y x bx c = ++与直线1 32y x =+分别相交于A ，B 两 点，且此抛物线与x 轴的一个交点为C ，连接AC ，BC ．已知(0,3)A ，(3,0)C -． 相似三角形6大证明技巧 相似三角形证明方法 相似三角形的判定方法总结： 1. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 2. 三边成比例的两个三角形相似.（SSS） 3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. (SAS) 4. 两角分别相等的两个三角形相似.(AA) 5.斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL) 相似三角形的模型方法总结： “反A”型与“反X”型. “旋转相似”与“一线三等角” 反A 型与反X 型 已知△ABC 中，∠AEF=∠ACB ，求证：（1）AE AB AF AC ?=?（2）∠BEO=∠CFO ， ∠EBO=∠FCO （3）∠OEF=∠OBC ，∠OFE=∠OCB O F E C B A 类射影 如图，已知2AB AC AD =?，求证： BD AB BC AC = A B C D 射影定理 已知△ABC ，∠ACB =90°，CH ⊥AB 于H ，求证：2AC AH AB =?，2BC BH BA =?，2HC HA HB =? 通过前面的学习，我们知道，比例线段的证明，离不开“平行线模型”（A 型，X 型，线束型），也离不开上述的6种“相似模型”. 但是，王老师认为，“模型”只是工具，怎样选择工具，怎样使用工具，怎样用好工具，取决于我们如何思考问题. 合理的思维方法，能让模型成为解题的利刃，让复杂的问题变简单。 在本模块中，我们将学比例式的证明中，会经常用到的思维技巧. 技巧一：三点定型法 技巧二：等线段代换 技巧三：等比代换 技巧四：等积代换 技巧五：证等量先证等比 技巧六：几何计算 【例1】 如图，平行四边形ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于F ，求证： DC CF AE AD =． A B C F D E 【例2】 如图，ABC △中，90BAC ∠=?，M 为BC 的中点，DM BC ⊥交CA 的延长线于 D ，交AB 于 E ．求证：2AM MD ME =? C B A E D M 【例3】 如图，在Rt ABC △中，AD 是斜边BC 上的高，ABC ∠的平分线BE 交AC 于E ， 交AD 于F ．求证： BF AB BE BC =． D B A C F E 技巧一：三点定型 比例式的证明方法 第一章 有理数检测题 （本检测题满分：100分，时间：90分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.如果表示增加，那么表示（ ） A.增加 B.增加 C.减少 D.减少 2.有理数在数轴上表示的点如图所示，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 3.下列说法正确的个数是( ) ①一个有理数不是整数就是分数； ②一个有理数不是正数就是负数； ③一个整数不是正的，就是负的； ④一个分数不是正的，就是负的. A.1 B. 2 C. 3 D. 4 4.在2 11-，2.1，2-，0 ，()2--中，负数的个数有（ ） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 5.有理数、在数轴上对应的位置如图所示，则（ ） A.＜0 B.＞0 C.－0 D.－＞0 6.在－5，－10 1，－3.5，－0.01，－2，－212各数中， 最大的数是（ ） A.－212 B.－101 C .－0.01 D.－5 7.（2012?武汉中考）某市年在校初中生的人数约为万.数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 8.用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是（ ） A.0.1（精确到0.1） B.0.05（精确到百分位） C.0.05（精确到千分位） D.0.050 2（精确到0.0001） 9.小明近期几次数学测试成绩如下：第一次85分，第二次比第一次高8分，第三次比第二 次低12分，第四次又比第三次高10分.那么小明第四次测验的成绩是（ ） A.90分 B.75分 C.91分 D.81分 10.若规定“!”是一种数学运算符号，且1!=1，2!=2×1=2，3!=3×2×1=6，4!=4×3×2×1=24，?，则 !98!100的值为（ ） A.49 50 B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 11.31-的倒数是____；3 21的相反数是____. 12.在数轴上，点所表示的数为2，那么到点的距离等于3个单位长度的点所表示的数是 . 13.若0＜＜1，则a ，2a ，1a 的大小关系是 . 第5题图 相似三角形存在性探究 如图，点D 在△ABC 的边上. (1)要判断△ADB 与△ABC 相似， 添加一个条件是 (2)要判断△ADB 与△ABC 相似，AB =4、AD =2. 则AC = (3)通过(1)(2)的解答，你能说出相似三角形哪些知识？ 例1如图,在△ABC 的边AB 上有一点E ,AB =4cm AE =1cm AC =3cm 。在AC 边上是否存在点F ,使得△AEF 和△ABC 相似？若存在，求出AF 的长。 变式 如图, 点E 在AB 边上从点A 向点B 运动，速度为2cm/s ， 点F 同时从点C 向点A 运动，速度为1cm/s,设运动时间为t 秒，问是否存在t 的值，使得△AEF 和△ABC 相似？若存在，试求出t 的值，若不存在，请说明理由。 C A D B C E F B E F 例2如图，在平面点直角坐标系xoy中，A(1,0)、B(3,0)、C(0,-3)、P(2,1)请问在x轴上是 否存在点Q,使以P,B,Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由。 变式如图，在平面点直角坐标系xoy中，A(1,0)、B(3,0)、C(0,-3)、P(2,1) (1)求过A、B、C三点的抛物线解析式 (2)请问在x轴下方的抛物线上是否存在点M,过M作 M N⊥x轴于点N,使以A,M,N为顶点的 三角形与△BCP相似？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由。 做一做 如图，抛物线 与x 轴交于A ，B 两点（A 点在B 点左侧）与y 轴交于点C ，动直线EF (EF //x 轴）从点C 出发，以每秒1个单位长度的速度沿y 轴负方向平移，且分别交y 轴、线段BC 于E 、F 两点，动点P 同时从点B 出发，在线段OB 上以每秒2个单位长度的速度向原点O 运动，是否存在t 的值，使△BPF 与△ABC 相似？若存在试求出t 的值，若不存在，请说明理由。 42 3812+-=x x y最新初中数学相似三角形-难题-易错题(附详解)
八下数学教材全解
初中数学相似三角形的存在性问题(word版+详解答案)
初三数学的相似三角形的常见模型
初中数学专题03相似三角形的存在性问题(原卷版)
初中数学相似三角形六大证明技巧(推荐)
(中学教材全解)七年级数学上册 第一章 有理数检测题 新人教版
相似三角形存在性探究