高三期末联考数学试题(文科)

浙江省温州市十校联合体-第一学期高三期末联考 数学试卷（文科）

第I 卷（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合{|A x = ||x ≤1}，{|2B x =-≤x ＜1

2}，则A B =（ ）

A 、{|2x -≤x ≤1}

B 、{|1x -≤x ＜1

2}

C 、{|2x -≤x ＜1

2}

D 、{|2x -≤x ＜1-}

2、已知等差数列{}

n a 中，

288a a +=，则该数列前9项和

9

S 等于 （ ）

A 、18

B 、27

C 、36

D 、45

3、函数

)0(12

<-=x x y 的反函数为

（ ）

A 、)1(1<-=x x y

B 、)1(1≤--=x x y

C 、)1(1<--=x x y

D 、)1(1≤-=x x y

4、将

2sin()36x y π=+的图象按向量(4a π=-

，4）平移，则平移后所得图象的解析式为（ ）

A 、2sin()434x y π=++

B 、2sin()4

34x y π=--

C 、2sin()4312x y π=-+

D 、2sin()4

312x y π

=+-

5、已知函数()f x 、()g x 定义在R 上，()()()h x f x g x =?，则“()f x 、()g x 均为奇函数”是“()h x 为偶函数”的（ ）

A 、充分不必要条件

B 、必要不充分条件

C 、充要条件

D 、既不充分也不必要条件 6、已知直线m 、n 及平面α，下列命题中的真命题是（ ） A 、若m n ⊥，m α⊥，则n ∥α B 、若m ∥n ，m α⊥，则n ∥α

C 、若m ∥α，n ∥α，则m ∥n

D 、若m α⊥，n α⊥，则m ∥n

7、若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线5x y +=下方的概率是（ ）

A

、13 B 、14 C 、16 D 、112

8、在231(3)

2n

x x -

的展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值是（ ）

A 、4

B 、5

C 、6

D 、7

9、函数

|ln |

|1|x y e x =--的图象大致是（ ）

10、椭圆222

21x y a b +=（a ＞b ＞0）的离心率为1

2e =，右焦点为F （c ，0），方程20ax bx c +-=的两个

实根分别为1

x ，

2

x ，则点

12(,)

P x x （ ）

A 、必在圆

22

2x y +=内 B 、必在圆

222x y +=上 C 、必在圆

222x y +=外 D 、以上三种情形都有可能

第II 卷（非选择题100分）

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。把答案填在题目中横线上。 11、若(1a =，)x ，b =（2x ，4 ），a ∥b ，则x 的值是 。 12、社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，

并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如右图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入段应抽出 人．

13、在0

120的二面角内，放一个半径为10cm 的球切两

半平面于A 、B 两点，那么两切点在球面上的最短距离是 。

14、双曲线221x y m n -=（m ＞0，n ＞0）的离心率为2，有一个焦点与抛物线

2

4y x =的焦点重合，则mn 的值为 。

15、如图，在面积为1的正111A B C ?内作正222A B C ?，使12212A A A B =，

12212B B B C =，12212C C C A =，依此类推，在正222A B C ?内再

第15题

作正

3

33C B A ?，……。记正

i

i i C B A ?的面积为

(1,2,

,)i a i n =，则a1＋a2＋……＋an ＝

16、已知定义在R 上的函数()f x 满足

()()22f x f x ππ+=-；且当

(2x π

∈-

，2π）时，()sin f x x =，则不等式()f x ≤

()

6f π

-的解集为 。 17、古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金.”将五种不同属性的物质任意排成一列，则排列中属性相克的两种物质不相邻的排列种数是 （用数字作答）.

三、解答题：本大题共5小题，共72分，写出文字说明，证明或演算步骤。 18、（本小题满分14分） 已知：A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，向量(1m =-，3），(cos n A =，sinA ），且1m n ?=。 （1）求角A 。

（2）若22

123cos in sin B

B s B +=--，求tan

C 。

19、（本小题满分14分）右图是一个直三棱柱（以111

A B C 为底面）被一平面截后所得的几何体，截面为ABC 。

已知

11111

A B B C ==，∠

11190A B C =，

14AA =，

12

BB =，

13

CC =

（I ）设点O 是AB 的中点，证明：OC ∥平面111

A B C

（II ）求AB 与平面A1ACC1所成角的大小。

20、（本小题满分14分）已知二次函数

2

()32f x x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点（n ，

n

S ）（*n n ∈）均在函数()y f x =的图象上。

（1）求数列

{}

n a 的通项公式。

（2）设13n n n b a a +=

，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得n T ＜20m

对所有n ∈N*都成立的最小正整数m 。

21、（本小题满分15分）如图，P 是抛物线C ：

2

12y x

=

上一点，直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q 。

（1）若直线l 与过点p 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的 轨迹方程。

（2）若直线l 不过原点且与x 轴交于点S ，与y 轴交于点

T ，试求||||

||||ST ST SP SQ +

的取值范围。

22、（本小题满分15分）

设)(x f 是定义在R 上的奇函数，)(x g 与)(x f 的图像关于直线1x =对称，若3

)2()2()(---=x x a x g ．

⑴ 求)(x f 的解析式；

⑵ 当x=1时，)(x f 取得极值，证明：对任意)1,1(,21-∈x x ，不等式4|)()(|21<-x f x f 恒成立；

⑶ 若)(x f 是[1，+∞）上的单调函数，且当10≥x ，1

)(0≥x f 时，有00)]([x x f f =，

求证：

0)(x x f =

浙江省温州市十校联合体2007-2008学年第一学期高三期末联考 数学试卷（文科）参考答案

1．B 2．C 3．C 4．A 5．A 6．D 7．C 8．B 9．D 10．A

11. 2±12．25 13．103 cm 14．316 15．31(1)2

3n - 16. 2(ππ-k ,]

6ππ-k ()Z k ∈ 17.10 18.解：（1）∵(3)m =-，(cos ,sin )n A A =且1m n ?=， ∴cos 31A A -=…………………………（3分）

∴13

2(cos )1

2A A -+=

即

1sin()62A π-=

……………………………………（5分） ∵ (0,)A π∈

∴

3A π

=

………………………………………………（7分）

（2）由题意，得

2

(sin cos)

3 (cos sin)(sin cos)

B B

B B B B

+

=--+

∴sin cos

3 cos

sin

B B

B B

+

=-

-

即

1tan

3

1tan

B

B

+

=-

-

∴tan2

B=………………………………………………10分

∵

tan tan

tan()

1tan tan

A B

A B

A B

+

+=

-

32853

11

123

++

==-

-

∴

853

tan tan[()]tan()

C A B A B

π

+

=-+=-+=

………………………………14分19.解: （Ⅰ）证明：作1

OD AA

∥

交11

A B

于D，连1

C D

．

则11

OD BB CC

∥∥

，

因为O是AB的中点，

所以

111

1

()3

2

OD AA BB CC

=+==

．

则1

ODC C

是平行四边形，因此有1

OC C D

∥

，

1

C D?

平面111

C B A

，且OC?平面111

C B A

则OC∥面111

A B C

．……………….7分

（Ⅱ）解：如图，过B作截面22

BA C∥

面111

A B C

，分别交1

AA

，1

CC

于2

A

，2

C

，

作22

BH A C

⊥

于H，

因为平面22

A BC⊥

平面11

AAC C

，则BH⊥面11

AAC C

．

连结AH，则BAH

∠就是AB与面11

AAC C

所成的角．

因为

2

2

BH=

，

5

AB=，所以

10

sin

10

BH

BAH

AB

==

∠

．

AB与面11

AAC C

所成的角为

10

arcsin

BAH=

∠

．……………….14分

解法二：

（Ⅰ）证明：如图，以

1

B 为原点建立空间直角坐标系，则(01

4)A ，，，(002)B ，，，(103)C ，，，因为O 是AB 的中点，所以1032O ??

?

??，，， 1102OC ?

?=-

?

??，，， 易知，(001)n =，

，是平面111

A B C 的一个法向量．

由0OC n =且OC ?平面111A B C 知OC ∥平面111A B C

．

……………….7分 （Ⅱ）设AB 与面11AAC C

所成的角为θ．

求得

1(004)A A =，，，11(1

10)AC =-，，． 设()m x y z =，，是平面11AAC C 的一个法向量，则由11100A A m A C m ?=??=??得0

0z x y =??-=?， 取1x y ==得：(110)m =，，． 又因为(012)AB =--，

， 所以，cos m <，

10

10

m AB AB m AB

>=

=-

则

10sin 10θ=

．

所以AB 与面11AAC C

所成的角为

10

arcsin

10．……………….14分

20．解：（1）∵点(,)

n n S 在()y f x = 的图象上

∴

232n S n n

=-……………………2分

当n ≥2时，

165n n n a S S n -=-=-

当n ＝1 时，11321a S ==-=满足上式

∴数列

{}

n a 的通项65

n a n =-……………………7分

（2）

133111

()

(65)(61)26561n n n b a a n n n n +=

==--+-+…………………………9分

∴

11111111

[(1)()(

)](1)277136561261n T n n n =-+-+

+-=--++

∵20n m

T <对所有*n N ∈都成立（*m N ∈） ∴min

10

m

=………………………………14分

21．解：（1）设

11(,)

P x y ，

22(,)

Q x y ，

00(,)

M x y ，依题意

10

x ≠，

10

y >，

20

y >，

由已知可得

212y x

=

① 'y x ?=…………………………………………2分

∴过点P 的切线的斜率

k 切1

x =，∵

10

x ≠，

∴直线l 的斜率

11

11k k x =-

=-切，

∴直线l 的方程为

2111

11

()2y x x x x -

=-- ②…………………………………………4分 [解法一] 联立①②消去y ，得2211

2

20x x x x +

--=……………………………………5分

∵M 是PQ 的中点，

∴120

12010111211()2x x x x y x x x x +?==-??

?

?=--??，消去1x ，得20002011(0)2y x x x =++≠，

∴PQ 中点M 的轨迹方程为

221

1(0)2y x x x =+

+≠……………………………………7分

[解法二]由

21112y x =

，2221

2y x =，

1202x x x +=，得

2212121212012111

()()()222y y x x x x x x x x x -=

-=+-=-…………………………5分

则

12011211y y x k x x x -=

==--， ∴101x x =-，

将上式代入②并整理，得，

20002

01

1(0)2y x x x =+

+≠

∴PQ 中点M 的轨迹方程为

221

1(0)2y x x x =+

+≠……………………………………7分

（2）设直线:l y kx b =+，依题意0,0k b ≠≠，则(0,)T b 。 分别过P 、Q 作'PP x ⊥轴，'QQ y ⊥轴，垂足分别为P ＇、Q ＇，则

=

+||||||||SQ ST SP ST |||||||||||

|||||21y b y b Q Q OT P P OT +='+'。

由212y x y kx b ?=?

?

?=+?消去x ，得2222()0y k b y b -++= ③…………………………11分 [解法一] ∴=

+|||

|||||SQ ST SP ST ||b 1

211()y y +≥2||b 211

y y =

2||

b 21

b 2=。

∵y1、y2可取一切不相等的正数，

∴

|||

|||||SQ ST SP ST +的取值范围是（2，+∞）.…………………………………………………15分 [解法二]∴||||||||SQ ST SP ST +

=||b 2121y y y y +=||b 22)(2b b k +。

当b ＞0时，||||||||SQ ST SP ST +=b 22)(2b b k +=b b k )(22+=222k b +＞2； 当b ＜0时，||||||||SQ ST SP ST +b

=-22)(2b b k +22()k b b +=

-。 又由方程③有两个相异实根，得△22222

4()44(2)0k b b k k b =+-=+>， 于是220k b +>，即2

2k b >-。

∴||||||||SQ ST SP ST +2(2)

2b b b -+>=-。 ∵当0b >时，b k 2

2可取一切正数， ∴

|||

|||||SQ ST SP ST +的取值范围是（2，+∞）. ∴|||

|||||SQ ST SP ST +

的取值范围是（2，+∞）…………………………………………15分

22．（本小题满分15分） 解：（1）()f x 与()g x 的图象关于1x =对称，

设点

(,())

M x f x 是()f x 上的任意一点．则点M 关于1x =的对称点

(2,(2))x g x --在函数()g x 的图象

上．∴()f x =(2)g x -3

ax x =-+． ……………………… (3分)

（2）'()f x =23a x -+，又1x =是函数()f x 的一个极值点， ∴'

(1)030f a =?-+=，得3a =， ……………………… (4分)

故3(x)3f x x =-+．'2()333(1)(1)f x x x x =-+=-+-，当]1,1x ?∈-?，'()0f x ≤，

∴()f x 在]1,1?-?上是减函数． ……………………… (5分) min

()(1)2

f

x f ==-，

max

(x)(1)2

f

f =-=， ……………………… (7分)

故对任意

)

(12,1,1x x ∈-，有

12()()2(2)4

f x f x -<--=． ………………… (8分)

（3）若()f x 在[1,)+∞是减函数，则'2

(x)30f a x =-+<在[1,)+∞上恒成立． 即23a x ≥在

[1,)+∞上恒成立，此时a 不存在； ……………………… (9分) 若()f x 在

[1,)+∞是增函数，即23a x ≤在[1,)+∞上恒成立．故3a ≤． … (11分)

设00()1f x x >≥则[]00()()f f x f x >，∴00()

x f x >矛盾， …………… (13分)

若00()1x f x >≥则

[]

00()()f x f f x > ∴

00

()f x x >矛盾！

故00

()f x x =． ………… (15分)