八上培优半角模型精修订

八上培优半角模型 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#

八上培优5 半角模型方法：截长补短

图形中，往往出现90°套45°的情况，或者120°套60°的情况。还有2α套α的情况。求证的结论一般是线段的和与差。解决的方法是：截长补短构造全等三角形。旋转移位造全等，翻折分割构全等。截长法，补短法。

勤学早和新观察均有专题。勤学早在第49页，新观察在第34页，新观察培优也有涉及，在第27页2两个例题，29页有习题。这些题大同小异，只是图形略有变化而已。证明过程一般要证明两次全等。

下面是新观察第34页1~4题

1.如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90゜，∠D=60゜，AB=BC，E、F，分别在AD、CD 上，且∠EBF=60゜．求证：EF=AE+CF．

2.如图2，在上题中，若E、F分别在AD、DC的延长线上，其余条件不变，求证：

AE=EF+CF．

3.如图，∠A=∠B=90°, CA=CB=4, ∠ACB=120°，∠ECF=60°，AE=3, BF=2, 求五边形ABCDE的面积.

A

C

B

F

E

A

C

B

F

E

D

4．如图1．在四边形ABCD中．AB=AD，∠B+∠D=180゜，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠BAD=2∠EAF．

（1）求证：EF=BE+DF；

（2）在（1）问中，若将△AEF绕点A逆时针旋转，当点E、F分别运动到BC、CD延长线上时，如图2所示，试探究EF、BE、DF之间的数量关

系．

3.如图3，在四边形ABDC中，∠B+∠C=180°，DB=DC，∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．

勤学早第40页试题

1.（1）如图，已知AB=AC, ∠BAC=90°，∠MAN=45°,过点C作NC?⊥AC交AN于点N，过点B作BM?垂直AB交AM于点M，当∠MAN在∠BAC内部时，求证：BM+CN?=MN;

N

N

N

证明: 延长MB到点G，使BG=CN,连接AG，证△ABG≌△ACN(SAS),∴AN=AG,∠BAG= ,∠NAC. L∵∠GAM=∠GAB + ∠ BAM=∠CAN+ ∠BAM=45°= L∠MAN,

证△AMN≌△AMG(SAS), '∴MN= MG= BM + BG= BM十NC.

证明二：(此证明方法见新观察培优第27页例3)

(2)如图,在(1)的条件下，当AM和AN在AB两侧时，(1)的结论是否成立请说明理由.

F

解:不成立，结论是:MN=CN一BM,

证明略.

基本模型二 120°套 60°

2. 如图，△ABC 中,CA=CB,∠ACB=120°,E 为AB 上一点，∠DCE=60°,∠DAE= 120°， 求证:DE=BE

C

C

F

证明:(补短法)延长EB 至点F,使BF=AD,连接CF,则△CBF ≌△CAD ， △CED ≌△CEF,.DE- AD=EF- BF= BE.

3.如图,△ABC 中,CA=CB,∠ACB=120°，点E 为AB 上一点，∠DCE=∠DAE= 60°， 求证:AD+DE= BE.

C

B

A

E

C

B

A

E F

证明:(截长法)在BE 上截取BF=AD,连接CF ，易证△CBF ≌△CAD ， △CED ≌ACEF, DE= EF, AD+DE= BF+EF=BE.

比较：新观察培优版27页

例4如 图，△ABC 是边长为1的等边三角形，△BDC 是顶角，∠BDC= 120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB 、AC 于M 、N, 连结MN, 试求△AMN 的周长.

A B

D

P

分析:由于∠MDN=60°,∠BDC=120°，所以∠BDM 十∠CDN=60°，注意到DB=DC ，考虑运用“旋转法”将∠BDM 和∠CDN 移到一起，寻找全等三角形。另一方面,△AMN 的周长AM+AN + MN= AB+ AC+MN-BM- CN. 猜想MN= BM+CN,证三角形全等解决.

新观察培优68页 例5 如图， 点A 、B(2,0)在x 轴上原点两侧, C 在y 轴正半轴上, OC 平分∠ACB. (1)求A 点坐标;

(2)如图1, AQ 在∠CAB 内部，P 是AQ 上一点， 满足∠ACB=∠AQB, AP=BQ . 试判断△CPQ 的形状，并予以证明;

(3)如图2. BD ⊥BC 交y 轴负半轴于D. ∠BDO=60°, F 为线段AC 上一动点，E 在CB 延长线上，满足∠CFD+∠E=180°. 当F 在AC 上移动时，结论: ①CE+CF 值不变; ②CE- CF 值不变，其中只有一个正确结论，请选出正确结论并求其值.

x

分析:(1)由∠A0C ≌△BOC 得AO= BO=2, A(- 2,0). (2)由△ACP ≌△BCQ 得CP=CQ.

(3)由BD⊥BC,∠BDO=60°，可证得等边△ABC.由角平分线和DB_⊥BC的条件,运用对称性知DA ⊥AC, 连结DA, 加上条件∠CFD+∠E=180°，可证得△ADF?△BDE, 于是CE+CF=2AC= 2AB= 8.

∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠ BAD- ∠EAF= ∠ EAF, ∴∠ 'EAF= ∠GAF,证△AEF≌△GAF(SAS),.∴EF= FG, ∵FG=DG+ DF=BE+ DF,∴EF=BE +DF;

(2)EF=BE DF.

外地试题：

4．探究：如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连结EF，求证：EF=BE+DF．

应用：如图②，在四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，AB=AD，∠B+∠

D=90°，∠EAF=1

2

∠BAD，若EF=3，BE=2，则

DF= ．

5．通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．

原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，求证：EF=BE+DF．

（1）思路梳理

∵AB=AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．

∵∠ADG=∠B=90°，∴∠FDG=∠ADG+∠ADC=180°，则点F、D、G共线．

根据，易证△AFG≌，从而得EF=BE+DF；

（2）类比引申

如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E、F分别在边BC、CD上，∠

EAF=45°．若∠B、∠D都不是直角，但当∠B与∠D满足等量关系

时，仍有EF=BE+DF，请给出证明；

（3）联想拓展

如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°，猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．

7．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD

上的点，且AE=AF，∠EAF=1

2

∠BAD．现有三种添加辅助线的方式：①延长EB至G，

使BG=BE，连接AG；②延长FD至G，使DG=BE，连接AG；③过点A作AG⊥EF，垂足为G；选择其中一种方法添加辅助线，求证：EF=BE+FD；

（2）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，若∠B+∠D=180°，∠EAF=1

2

∠BAD，证明

（1）中结论是否还成立

（3）如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD

延长线上的点，且∠EAF=1

2

∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立若成立，请证明；

若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．

8．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD

上的点，且∠EAF=1

2

∠BAD．求证：EF=BE+FD．

（2）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上

的点，且∠EAF=1

2

∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立若成立，请证明；若不成

立，请写出线段EF、BE、FD它们之间的数量关系，并证明．

（3）如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD

延长线上的点，且∠EAF=1

2

∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立若成立，请证明；

若不成立，请写出线段EF、BE、FD它们之间的数量关系，并证明．

半角模型问题放到平面直角坐标系中是什么样子

1．如图1，在平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，A（4，4）

（1）求B点坐标；

（2）如图2，若C为x正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠ACD=90°，连接OD，求∠AOD的度数；

（

3

）如图3，过点A作y轴的垂线交y轴于E，F为x轴负半轴上一点，G在EF的延长线上，以EG为直角边作等腰Rt△EGH，过A作x轴垂线交EH于点M，连FM，等式AM=FM+OF是否成立若成立，请说明；若不成立，说明理由．

解：（1）如图所示，作AE⊥OB于E，

∵A（4，4），

∴OE=4，

∵△AOB为等腰直角三角形，且AE⊥

OB，

∴OE=EB=4，

∴OB=8，

∴B（8，0）；

（2）如图所示，作AE⊥OB于E，DF⊥

OB于F，

∵△ACD为等腰直角三角形，

∴AC=DC，∠ACD=90°

即∠ACF+∠DCF=90°，

∵∠FDC+∠DCF=90°，

∴∠ACF=∠FDC，

又∵∠DFC=∠AEC=90°，

∴△DFC≌△CEA（AAS），

∴EC=DF=4，FC=AE，

∵A（4，4），

∴AE=OE=4，

∴FC=OE，即OF+EF=CE+EF，

∴OF=CE，

∴OF=DF，

∴∠DOF=45°，

∵△AOB为等腰直角三角形，

∴∠AOB=45°，

∴∠AOD=∠AOB+∠DOF=90°；

（3）AM=FM+OF成立，理由：如图所

示，在AM上截取AN=OF，连EN．

∵A（4，4），

∴AE=OE=4，

又∵∠EAN=∠EOF=90°，AN=OF，

∴△EAN≌△EOF（SAS），

∴∠OEF=∠AEN，EF=EN，

又∵△EGH为等腰直角三角形，

∴∠GEH=45°，即∠OEF+∠OEM=45°，

∴∠AEN+∠OEM=45°

又∵∠AEO=90°，

∴∠NEM=45°=∠FEM，

又∵EM=EM，

∴△NEM≌△FEM（SAS），

∴MN=MF，

∴AM-MF=AM-MN=AN，

∴AM-MF=OF，即AM=FM+OF；

【点评】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定、等腰三角形的性质和坐标与图形性质的综合应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

2．如图，直线L交x轴、y轴分别于A、B两点，A（a，0）B（0，b），且（a-b）2+|b-4|=0

（1）求A、B两点坐标；

（2）C为线段AB上一点，C点的横坐标是3，P是y轴正半轴上一点，且满足∠OCP=45°，求P点坐标；

（3）在（2）的条件下，过B作BD⊥OC，交OC、OA分别于F、D两点，E为OA上一点，且∠CEA=∠BDO，试判断线段OD与AE的数量关系，并说明理由．

（1）解：∵（a-b）2+|b-4|=0，

∴a-b=0，b-4=0，

∴a=4，b=4，

∴A（4，0），B（0，4）；

（2）

3．如图，已知A（a，b），AB⊥y轴于B，且满足|a-2|+（b-2）2=0，

（1）求A点坐标；

（2）如图1，分别以AB，AO为边作等边三角形△ABC和△AOD，试判定线段AC和DC 的数量关系和位置关系，并说明理由；

（3）如图2，过A作AE⊥x轴于E，点F、G分别为线段OE、AE上两个动点，满足

∠FBG=45°，试探究OF AG

FG

的值是否发生变化如果不变，求其值；如果变化，请

说明理由．

2017-2018江汉期中如图点P为△ABC的外角∠BCD的平分线上一点，PA=PB．（1）求证：∠PAC=∠PBC；

（2）作PE⊥BC于E，若AC=5，BC=11，求S△PCE：S△PBE；

（3）若M、N分别是边AC、BC上的点，且∠MPN=1

2

∠APB，则线段AM、MN、BN之间

有何数量关系，并说明理由．

解：（1）如图1，过点P作PE⊥BC于

E，PF⊥AC于F，

∵PC平分∠DCB，

∴PE=PF，

在Rt△PAF和Rt△PEB中，

PF＝PE

PA＝PB，

∴Rt△PAF≌Rt△PEB，

∴∠PAC=∠PBC，

（2）如图2，过点P作PF⊥AC于F，

∵PE⊥BC，CP是∠BCD的平分线，

∴PE=PF，∠PCF=∠PCE，

∵PC=PC，

∴△PCF≌△PCE，

∴CF=CE，

由（1）知，Rt△PAF≌Rt△PEB，

∴AF=BE，∵AF=AC+CF，BE=BC-CE，

∴AC+CF=BC-CE，

∴5+CF=11-CE，

∴CE=CF=3，

∵△PFC≌△PEC，

∴S△PFC=S△PEC，

∵Rt△PAF≌Rt△PEB，

∴S△PAF=S△PEB，

∴S△PCE：S△PBE=S△PFC：S△PFA

=

1

2

CF×PF：

1

2

AC×PF

=CF：AC=3：（3+5）=3：8；

（3）如图3，在BC上截取BQ=AM，在△PMA和△PQB中，

PA PB

PAM PBQ

MA BQ

?

?

∠∠

?

?

?

＝

＝

＝，

∴△PMA≌△PQB，

∴PM=PQ，∠MPA=QPB，

∴∠APM+∠QPA=∠APQ+∠QPB，即：∠APB=∠MPQ，

∵∠MPN=

1

2

∠APB，

∴∠MPN=

1

2

∠MPQ ， ∴∠MPN=∠QPN ，

在△MPN 和△QPC 中， PN PN MPN QPN MP QP ??

∠∠???

＝＝＝， ∴△MPN ≌△QPC ， ∴MN=QN ，

∴BN=AM+MN ．

【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线定理和角平分线的定义，解（1）的关键是判断出PE=PF ，解（2）的关键是求出CE=CF=3，解（3）的关键是构造全等三角形判断出∠APB=∠MPQ ，是一道中等难度的中考常考题．

2015-2016江岸八上期末 已知在△ABC 中，AB=AC ，射线BM 、BN 在∠ABC 内部，分别交线段AC 于点G 、H ．

（1）如图1，若∠ABC=60°、∠MBN=30°，作AE ⊥BN 于点D ，分别交BC 、BM 于点E 、F ．

①求证：CE=AG ；

②若BF=2AF ，连接CF ，求∠CFE 的度数；

（2）如图2，点E 为BC 上一点，AE 交BM 于点F ，连接CF ，若∠BFE=∠BAC=2∠

CFE ，直接写出

ABF ACF

S S

= ．

【分析】（1）①由AB=AC ，∠ABC=60°得到△ABC 为等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠BAC=∠ACB=60°，AB=CA ，求得∠BFD=∠AFG=60°，推出∠EAC=∠GBA 证得△GBA ≌△EAC ，根据全等三角形的性质即可得到结论；②如图1，取BF 的中点K 连接AK ，由BF=2AF ，推出△FAK 是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到∠

FAK=∠FKA ，求得∠AKF ＝1

2∠BFD ＝30°，根据全等三角形的性质得到AG=CE ，

BG=AE ，∠AGB=∠AEC ，推出△GAK ≌△EFC ，根据全等三角形的性质得到∠CFE=∠AKF 即可得到结论；

（2）如图2，在BF 上取BK=AF ，连接AK ，推出∠EAC=∠FBA ，根据全等三角形的性质得到S △ABK

=S △ACF

，∠AKB=∠AFC ，证得△FAK 是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到AF=FK ，即可得到结论．

【解答】解：（1）①∵AB=AC ，∠ABC=60° ∴△ABC 为等边三角形， 则∠BAC=∠ACB=60°，AB=CA ， ∵AD ⊥BN ，∠MBN=30°， ∴∠BFD=∠AFG=60°， ∵∠ABF+∠BAF=60°， ∠BAF+∠EAC=60°

∴∠EAC=∠GBA

在△GBA与△EAC中，

∠GBA＝∠EAC

AB＝CA

∠GAB＝∠ECA，

∴△GBA≌△EAC，

∴CE=AG；

②如图1，取BF的中点K连接AK，∵BF=2AF，

∴AF=BK=FK=1

2 BF，

∴△FAK是等腰三角形，

∴∠FAK=∠FKA，

∵∠BFD=∠FAK+∠FKA=2∠AKF，∵∠BFD=60°，

∴∠AKF＝1

2∠BFD＝30°，

∵△GBA≌△EAC，

∴AG=CE，BG=AE，∠AGB=∠AEC，

∴KG=BG-BK=AE-AF=FE，

在△GAK与△EFC中，

AG＝CE

∠AGB＝∠AEC

KG＝FE，

∴△GAK≌△EFC，

∴∠CFE=∠AKF，

∴∠CFE=∠AKF=30°；

方法二：只要证明△ADB≌△BFC即可解决问题；（2）如图2，在BF 上取BK=AF，连接AK，

∵∠BFE=∠BAF+∠ABF，

∵∠BFE=∠BAC，

∴∠BAF+∠EAC=∠BAF+ABF，

∴∠EAC=∠FBA，

在△ABK与△ACF中，

AB＝AC

∠ABK＝∠FAC

BK＝AF，

∴△ABK≌△AFC，

∴S△ABK=S△ACF，∠AKB=∠AFC，

∵∠BFE=2∠CFE，

∴∠BFE=2∠AKF，

∵∠BFE=2∠AKF=∠AKF+KAF，

∴∠AKF=∠KAF，

∴△FAK是等腰三角形，

∴AF=FK，

∴BK=AF=FK，

∴S△ABK=S△AFK，

∵S△ABF=S△ABK+S△AFK=2S△ABK=2S△ACF，

∴ABF

ACF

S

S

=2

故答案为：2．