高考立体几何题型与方法全归纳文科

2019高考立体几何题型与方法全归纳文科

配套练习

1、四棱锥P ABCD -中,PA ⊥底面ABCD ,23PA =,2BC CD ==,

3ACB ACD π

∠=∠=.

(Ⅰ)求证:BD ⊥平面PAC ；

(Ⅱ)若侧棱PC 上的点F 满足7PF FC =,求三棱锥P BDF -的体积。 【答案】

(Ⅰ)证明:因为BC=CD ，即BCD ?为等腰三角形，又ACD ACB ∠=∠,故AC BD ⊥.

因为⊥PA 底面ABCD ，所以BD PA ⊥,从而BD 与平面PAC 内两条相交直线AC PA ,都垂直， 故BD ⊥平面PAC 。 (Ⅱ)解：33

2sin 2221sin 21=??=∠??=

?π

BCD CD BC S BCD . 由⊥PA 底面ABCD 知232331

31=??=??=?-PA S V BCD BDC P .

由,7FC PF =得三棱锥BDC F -的高为PA 8

1

,

故：41

32813318131=???=??=?-PA S V BCD BDC F

4

7

412=-

=-=---BCD F BCD P BDF P V V V 2、如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，PAD ?为等腰三角形，90APD ?∠=，平面PAD ⊥ 平面ABCD ，且1,2AB AD ==，,E F 分别为PC 和BD 的中点．

（Ⅰ）证明：EF P 平面PAD ； （Ⅱ）证明：平面PDC ⊥平面PAD ； （Ⅲ）求四棱锥P ABCD -的体积．

【答案】

（Ⅰ）证明：如图，连结AC ．

∵四边形ABCD 为矩形且F 是BD 的中点．∴F 也是AC 的中点． 又E 是PC 的中点，EF AP P

∵EF ?平面PAD ，PA ?平面PAD ，所以EF P 平面PAD ；

（Ⅱ）证明：∵平面PAD ⊥ 平面ABCD ，CD AD ⊥，平面PAD I 平面ABCD AD =， 所以平面CD ⊥ 平面PAD ，又PA ?平面PAD ，所以PA CD ⊥ 又PA PD ⊥，,PD CD 是相交直线，所以PA ⊥面PCD 又PA ?平面PAD ，平面PDC ⊥平面PAD ；

（Ⅲ）取AD 中点为O ．连结PO ,PAD ?为等腰直角三角形，所以PO AD ⊥， 因为面PAD ⊥面ABCD 且面PAD I 面ABCD AD =， 所以，PO ⊥面ABCD ，

即PO 为四棱锥P ABCD -的高． 由2AD =得1PO =．又1AB =．

∴四棱锥P ABCD -的体积12

33

V PO AB AD =??=

考点：空间中线面的位置关系、空间几何体的体积.

3、如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ABCD ⊥平面，CD PA ⊥， DB ADC ∠平分，E PC 为的中点，

45DAC ∠=o ，2AC =.

（Ⅰ）证明：PA ∥BDE 平面；

（Ⅱ）若,22,2==BD PD 求四棱锥ABCD E -的体积 【答案】（Ⅰ）设F BD AC =?，连接EF ，

CD PD ABCD CD ABCD PD ⊥∴?⊥，平面，平面Θ

PAD PA PD P PA PD PA CD 平面，，，又?=?⊥Θ AD CD PAD AD PAD CD ⊥∴?⊥∴平面，平面Θ

∵,45?=∠DAC ∴,DC DA =

∵DB 平分,ADC ∠F 为AC 中点，E 为PC 中点， ∴EF 为CPA ?的中位线.

∵EF ∥,PA EF BDE ?平面，PA BDE ?平面 ∴PA ∥BDE 平面.

(Ⅱ)底面四边形ABCD 的面积记为S ;

ABC ADC S S S ??+=222

3

22122221=??+??=

． 的中点，为线段点PC E Θ

11112

2232323

E ABCD V S PD -∴=?=???=．

考点：1.线面平行的证明；2.空间几何体的体积计算.

4、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，其中2PA PD AD ===，60BAD ?∠=，Q 为AD 的中点．

(1) 求证：AD PQB ⊥平面；

(2) 若平面PAD ⊥平面ABCD ,且M 为PC 的中点，求四棱锥M ABCD -的体积． 【答案】

（1）PA PD =Q ，Q 为中点，AD PQ ∴⊥ 连DB ，在ADB ?中，AD AB =，60BAD ?∠=，

ABD ∴?为等边三角形，Q 为AD 的中点，

AD BQ ∴⊥,

PQ BQ Q ?=,PQ ?平面PQB ,BQ ?平面PQB , ∴AD ⊥平面PQB .

（2）连接QC ,作MH QC ⊥于H .

H A

B

C

D P

M

Q

Q PQ AD ⊥,PQ ?平面PAD ,平面PAD ?平面ABCD AD =,平面PAD ⊥平面ABCD ，

PQ ABCD ∴⊥平面 , QC ?ABCD 平面 , PQ QC ∴⊥

//PQ MH ∴. ∴MH ABCD ⊥平面,

又12PM PC =

,1122222

MH PQ ∴=

=?=. 在菱形ABCD 中，2BD =,

01

sin 602

ABD S AB AD Λ=??

?1=2222???

∴2ABD ABCD S S ?==菱形

M ABCD V -1

3

ABCD S MH =??

菱形132=?1=．

5、如图，E 是矩形ABCD 中AD 边上的点，F 为CD 边的中点，2

43

AB AE AD ==

=，现将ABE ?沿BE 边折至PBE ?位置，且平面PBE ⊥平面BCDE .

⑴ 求证：平面PBE ⊥平面PEF ； ⑵ 求四棱锥P BEFC -的体积.

P

B

C

D F

E

(1)

(2)

【答案】(1) 证明：由题可知，4545ED DF DEF DEF ED DF EF BE AE AB ABE AEB AE AB =?

??

?∠=???

⊥???⊥?=??? ?∠=? ??⊥??

中中 ABE BCDE

ABE BCDE BE EF PBE PBE PEF EF BE EF PEF ?⊥?

??

=?⊥??

?⊥??⊥??

? ??I 平面平面平面平面平面平面平面平面 (2) 11

6444221422BEFC ABCD ABE DEF S S S S =--=?-??-??=，则

111433BEFC V S h =??=??=

6、已知四棱锥P ABCD -中，,PD ABCD ABCD ⊥平面是正方形，E 是PA 的中点，

(1)若PD AD =，求 PC 与面AC 所成的角 (2) 求证：//PC 平面EBD (3) 求证：平面PBC ⊥平面PCD

【答案】(1)PD ⊥Q 平面ABCD ，DC ∴是直线PC 在平面ABCD 上的射影，PCD ∴∠是直线PC 和平

E D C

B

A

P

面ABCD 所成的角。又PD DA =Q ，四边形ABCD 是正方形，,DA DC ∴=PD DC ∴=，

045PCD ∴∠=；∴直线PC 和平面ABCD 所成的角为045

（2）连接AC 交BD 与O,连接EO, ∵E 、O 分别为PA 、AC 的中点 ∴EO ∥PC ∵PC ?平面EBD,EO ?平面EBD ∴PC ∥平面EBD （3）∵PD

平面ABCD, BC ?平面ABCD ，∴PD

BC ，

∵ABCD 为正方形 ∴ BC

CD ，

∵PD ∩CD=D, PD ，CD ?平面PCD ∴BC

平面PCD

又∵ BC ?平面PBC ∴平面PBC

平面PCD

7、在边长为4cm 的正方形ABCD 中，E F 、分别为BC CD 、的中点，M N 、分别为AB CF 、的中点，现沿AE AF EF 、、折叠，使B C D 、、三点重合，重合后的点记为B ，构成一个三棱锥．

（1）请判断MN 与平面AEF 的位置关系，并给出证明； （2）证明AB ⊥平面BEF ； （3）求四棱锥E AFNM -的体积． 【答案】（1）MN 平行平面AEF

证明：由题意可知点M N 、在折叠前后都分别是AB CF 、的中点（折叠后B C 、两点重合） 所以MN 平行AF

因为MN AEF AF AEF MN AF ???

????

面面平行，所以MN 平行平面AEF .

（2）证明：由题意可知AB BE ⊥的关系在折叠前后都没有改变.

因为在折叠前AD DF ⊥，由于折叠后AD AB 与重合，点D F 与重合，所以AB BF ⊥

因为=AB BE AB BF BE BEF BF BEF BE BF B ⊥??⊥??

????????面面，所以AB ⊥平面BEF .

（3）E AFNM E ABF E MBN V V V ---=- A BEF M BEN V V --=-

1133BEF BEN S AB S MB ??=?-?1111

2242123232

=????-???? 2= .

8、在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，PD ∥MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，且2AD PD MA ＝＝.

(1)求证：平面EFG ⊥平面PDC ；

(2)求三棱锥P MAB －与四棱锥P ABCD －的体积之比．

【答案】(1)证明：∵MA ⊥平面ABCD ，PD ∥MA ， ∴PD ⊥平面ABCD ，

又BC ?平面ABCD ，∴PD ⊥BC ， ∵ABCD 为正方形，∴BC ⊥DC. ∵PD DC D I ＝，∴BC ⊥平面PDC .

在PBC ?中，因为G F 、分别为PB 、PC 的中点， ∴GF ∥BC ，∴GF ⊥平面PDC .

又GF ?平面EFG ，∴平面EFG ⊥平面PDC . (2)不妨设=1MA ，∵ABCD 为正方形，∴2PD AD ＝＝， 又∵PD ⊥平面ABCD ，

所以P ABCD V －＝13ABCD S PD ?正方形＝8

3.

由于DA ⊥平面MAB ，且PD ∥MA ， 所以DA 即为点P 到平面MAB 的距离，

三棱锥P MAB V －＝13×1122??

?? ???

×2＝23.

所以1

4P MAB P ABCD V V －－:＝:. 9、如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD 中，

.2

1

,1,90=

===⊥=∠AD BC AB SA ABCD SA ABC ，面ο

(1)求四棱锥S-ABCD 的体积;(2)求证：;SBC SAB 面面⊥(3)求SC 与底面ABCD 所成角的正切值。 【答案】（1）解：

111111

()(1)11332624

v Sh AD BC AB SA ==??+??=?+??=

（2）证明：

BC

SA ABCD BC ABCD SA ⊥∴?⊥,面，面Θ又,A AB SA BC AB =⊥I Θ，SAB BC 面⊥∴

SAB BC 面?ΘSBC SAB 面面⊥∴

（3）解：连结AC,则SCA ∠就是SC 与底面ABCD 所成的角。

在三角形SCA 中，SA=1,AC=21122=+,22

2

1tan =

==

∠AC SA SCA 10、如图，DC ⊥平面ABC ，//EB DC ，22AC BC EB DC ====，120ACB ∠=o ，,P Q 分别为,AE AB 的中点．（I ）证明：//PQ 平面ACD ；（II ）求AD 与平面ABE 所成角的正

弦值．

S

C

A

D

B

【答案】（Ⅰ）证明：连接CQ DP ,， 在ABE ?中，Q P ,分别是AB AE ,的中点，所以BE PQ 21

//==，

又BE DC 21

//==，所以DC PQ ==

//，又?PQ 平面ACD ，DC ?平面ACD ， 所以//PQ 平面ACD

（Ⅱ）在ABC ?中，BQ AQ BC AC ===,2，所以AB CQ ⊥ 而DC ⊥平面ABC ，DC EB //，所以⊥EB 平面ABC

而?EB 平面ABE ， 所以平面ABE ⊥平面ABC ， 所以⊥CQ 平面ABE 由（Ⅰ）知四边形DCQP 是平行四边形，所以CQ DP //

所以⊥DP 平面ABE ， 所以直线AD 在平面ABE 内的射影是AP ， 所以直线AD 与平面ABE 所成角是DAP ∠

在APD Rt ?中，5122222=+=+=DC AC AD ，1sin 2=∠==CAQ CQ DP

所以55

5

1sin =

==

∠AD DP DAP