习题解答精选

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第一章习题

一、解释名词

金属键----正离子和电子气之间的静电引力,使全部离子结合起来的结合力位错----晶体中原子平面错动引起、二维很小三维很大的线缺陷

疲劳强度----低于一定值的应力下试样可以无限周期循环而不破坏,该值为~

二、填空题

1.金属有三种常见的晶体结构是 _体心立方、面心立方、密排立方_;

2.晶体和非晶体结构上最根本的区别是_三维空间有规的周期性重复排列则;

3.在立方晶系中,{111}晶面族包括(111)(-111)(1-11)(11-1) 等晶面;

三、选择题

1.晶体中的位错属于:

a)体缺陷;b) 面缺陷;c) 线缺陷;d)点缺陷。

2.在体心立方晶格中,原子密度最大的晶面是:

a){100};b){110};c){111};d){120}。

四、综合分析题

1.作图表示立方晶系中的(101)晶面,[120]晶向。

3.在常温下,已知铜的原子直径d=2.55*10-10m,求铜的晶格常数。

d=2r=2*a√2/4, a=√2d=

5.什么是固溶强化?造成固溶强化的原因是什么?

固溶体溶质原子溶入晶格方式畸变,增大位错运动阻力,滑移困难,强度硬度提高。

第二章习题

一.名词解释

过冷度----理论结晶温度与实际结晶温度之差

滑移----切应力作用下,晶体一部分沿着一定的晶面(滑移面)上的一定方向(滑移方向)相对于另一部分发生滑动

加工硬化----变形度增大,强度硬度提高,塑性韧性下降

铁素体----c在α-Fe中的间隙固溶体

珠光体----铁素体与渗碳体的共析混合物

球化退火----使钢中碳化物球状化的热处理工艺

马氏体---- c在α-Fe中的过饱和固溶体

淬透性----钢接受淬火时形成马氏体的能力

淬硬性----钢淬火后硬度会大幅度提高,达到的最高硬度叫淬硬性

调质处理----淬火+高温回火

二.填空题

1.结晶过程是依靠两个密切联系的基本过程来实现的,这两个过程

是_形核_和_晶体长大_。

2.当对金属液体进行变质处理时,变质剂的作用是_增加晶核数量,

阻碍晶核长大_。

3.钢在常温下的变形加工称为_冷_加工,而铅在常温下的变形加

工是_热_加工。

4.造成加工硬化的根本原因是_位错密度增加,变形阻力长大_。

5.变形金属的最低再结晶温度与熔点的关系是T再=(0.35~0.4)T熔点_。

6.固溶体出现枝晶偏析后,可用扩散退火_加以消除。

7.共晶反应式为_L=α+β_,共晶反应的特点是_三相共存_。

8.珠光体的本质是铁素体和渗碳体的共析混合物_。

9.一块纯铁在912℃发生α-Fe→γ-Fe转变时,体积将_缩小_。

10.用显微镜观察某亚共析钢,若估算其中的珠光体的体积分数(近

似于质量分数)为80%,则此钢的碳含量为_0.6%__。

11.马氏体的显微组织形态主要有_板条_、_针状_两种,其中_

_板条_的韧性较好。

12.钢的淬透性越高,则其C曲线的位置越_右_,说明临界冷却速

度越_小__。

13.球化退火主要目的是使渗碳体球状化,它主要适应用于过共析钢。

14.亚共析钢的正常淬火温度范围是Ac3+30~50℃__,过共析钢的正

常淬火温度范围是Ac1+30~50℃_。

15.回火温度越高,钢的强度与硬度越_低_。

三.是非题

1.凡是由液体凝固成固体的过程都是结晶过程。(X)

2.室温下,金属晶粒越细,则强度越高,塑性越低。(X)

3.晶粒度级数数值越大,晶粒越细。(√)

4.再结晶过程是有晶格类型变化的结晶过程。(X)

5.一个合金的室温组织为α+βⅡ+(α+β),它由三相组成。(X)

6.铁素体的本质是碳在α-Fe中的间隙相。(X)

7.20钢比T12钢的碳含量要高。(X)

8.在铁碳合金平衡结晶过程中,只有碳含量为4.3%的铁碳合金才能

发生共晶反应。(X)

9.马氏体是碳在α-Fe中的过饱和固溶体,当奥氏体向马氏体转变时,

体积要收缩。(X)

10.高合金钢既具有良好的淬透性,也具有良好的淬硬性。(X)

11.表面淬火既能改变钢的表面组织,也能改变心部的组织和性能。(X)四.选择题

1.金属结晶时,冷却速度越快,其实际结晶温度将:

a.越高 b.越低 c.越接近理论结晶温度

3.面心立方晶格的晶体在受力变形时的滑移方向是:

a.〈100〉

b.〈111〉

c.〈110〉

5.在发生L→(α+β)共晶反应时,三相的成分:

a.相同

b.确定

c.不定

6.共析成分的合金在共析反应γ→α+β刚结束时,其组成相为:

a.γ+α+β

b. α+γ

c.α+β

7.奥氏体是:

a.碳在γ-Fe的间隙固溶体

b.碳在α-Fe的间隙固溶体

c.碳在α-Fe的有限固溶体

8.珠光体是一种:

a.单相固溶体

b.两相混合物

c.Fe和C的化合物

9.T10钢的碳含量是:

a.0.1%

b.1.0%

c.10%

10.钢经调质处理后获得的组织是:

a.回火马氏体

b.回火托氏体

c.回火索氏体

11.若合金元素能使C曲线右移,钢的淬透性将:

a.降低

b.提高

c.不改变

12.马氏体的硬度取决于:

a.冷却速度

b.转变温度

c.马氏体的碳含量

14.直径为6mm的40钢常规淬火温度大约为:

a.750℃

b.850℃

c.920℃

上述正确淬火后的显微组织为:

a.马氏体

b.铁素体+马氏体

c.马氏体+珠光体

15.钢的渗碳温度范围是:

a.600~650℃

b.800~820℃

c.900~950℃

五.综合分析题

1.在实际应用中,细晶粒金属材料往往具有较好的常温力学性能,

细化晶粒、提高金属材料使用性能的措施有哪些?

变质处理、形变再结晶、强碳化物形成元素合金化

2.如果其他条件相同,试比较下列铸造条件下铸件晶粒的大小:

(1)金属模浇注与砂模浇注;

(2)变质处理与不变质处理;

(3)铸成薄件与铸成厚件;

(4)浇注时采用振动与不采用振动。

3.求碳含量为3.5%的质量为10kg的铁碳合金,从液态缓慢冷却到共

晶温度(但尚未发生共晶反应)时所剩下的液体的碳含量及液体

的质量。

液体碳含量:4.3%

液体质量:(3.5-2.11)/(4.3-2.11) *10=

4.手锯锯条,普通螺钉,车床主轴用何种碳钢制造?

高碳钢(T10),低碳钢(20),中碳钢(45)

5.马氏体的本质是什么?它的硬度为什么很高?是什么因素决定了

它的脆性?

c在α-Fe中的过饱和固溶体,含碳量越高,过饱和度越大,固溶强化和内应

力越大,位错密度高,亚结构从位错变为孪晶,所以变硬变脆,塑性韧性极差。

6.直径为6mm的共析钢小试样加热到相变点A1以上30℃,用图2-92

所示的各冷却曲线进行冷却,分析其所得到的组织,说明各属于什么热处理方法。

a.单介质淬火M ;

b.分级淬火M ;

c.双介质淬火T+下B;

d.等温淬火下B ;

e.正火S ;

f.退火P ;

g.等温退火P

h.中温回火T回;

图2-92

第三章习题

一.名词解释

石墨化----铸铁中碳原子析出并形成石墨的过程~

球化处理----生产球墨铸铁时,向铁水中加入一定量的球化剂和孕育剂,以获得细小分布的球状石墨,叫~

石墨化退火----将白口铁加热到高温时效并长时间保温使渗碳体中的碳转变为石墨的退火过程

固溶处理----有色金属合金加热到固相线以上,然后快速冷却形成的过饱和固溶体,叫固溶处理

时效----固溶处理后的组织不稳定,室温放置或低温加热析出第二相,使强度和硬度明显升高,叫~

二.填空题

1. 20是优质碳素结构钢,可制造冲压件_。

2. T12是碳素工具钢,可制造锉刀刮刀。

3. 9SiCr是_低合金刃具钢,可制造丝锥板牙。

4. Cr12MoV是_冷作模具钢,可制造冷挤压模_。

5. 60Si2Mn是弹簧_钢,可制造_汽车板簧_。

6. GCr15是_滚动轴承_钢,可制造_轴承_。

7. 1Cr13是马氏体不锈_钢,可制造汽轮机叶片。

8. 20CrMnTi是中淬透性渗碳钢,Cr、Mn的主要作用是提高淬透性,提高心部强韧性,Ti的主要作用是细化奥氏体晶粒,热处理工艺是渗碳后直接淬火,再低温回火_。

9.W18Cr4V是高速钢,热处理工艺是球化退火,高温淬火,回火三次,最后组织是回火马氏体+碳化物+少量残余奥氏体。10.0Cr18Ni9Ti是奥氏体不锈钢。

11.球墨铸铁中石墨的形态为球形_,可用来制造曲轴。12.HT200牌号中“HT”表示灰铸铁,数字“200”表示__抗拉强度_。

13.可锻铸铁件的生产方法是先铸造成白口铸铁,然后再进行长时间石墨化处理_。

14.TC4是α+β型的_钛_合金。

三.是非题

1.T8钢比T12钢和40钢有更好的淬透性。(√)

2.高速钢需反复锻造是因为硬度高不易成形。(×)

3. T8钢与20MnVB相比,淬硬性和淬透性都低。(×)

4. 18-4-1高速钢采用很高温度淬火,其目的是使碳化物尽可能多的融入奥氏体中,从而提高钢的红硬性。(√)

5. 可锻铸铁在高温时可以进行锻造加工。(×)

6. 可以通过球化退火使普通灰口铸铁变成球墨铸铁。(×)

四.选择题

1.40Cr是

a.调质钢

b.刃具钢

c.渗碳钢

2. 为提高灰铸铁的耐磨性,应进行

a.整体淬火处理

b.表面淬火处理

c.变质处理

d.球化处理

3.可热处理强化铝合金的热处理方法为

a.正火

b.固溶处理+时效

c.淬火+低温回火

五.问答题

1.为何高速钢在热锻或热轧后经空冷获得马氏体组织?

高碳高合金提高淬透性

2.为何调质钢在高温回火后需快速冷至室温?

消除回火脆性

3.为何高速钢需高温淬火和多次回火?

高温淬火:难熔碳化物多;多次回火:残余奥氏体多

4. 为什么合金弹簧钢以硅为重要的合金元素?为什么要进行中温回火?

硅提高屈强比,中温回火提高屈强比,提高弹性极限

5. 轴承钢为什么要用铬钢?为什么对非金属夹杂限制特别严格?

铬提高淬透性,耐磨性和疲劳强度;夹杂物是接触疲劳破坏的发源地

6. 试分析20CrMnTi钢和1Cr18Ni9Ti钢中的Ti的作用

20CrMnTi:阻止渗碳过程奥氏体晶粒长大

1Cr18Ni9Ti:优先形成碳化物,阻止晶界贫Cr,避免晶间腐蚀7. 现有20Cr钢和65Mn钢,请问这两种钢,哪种钢可用于制造弹簧?为什么?

弹簧钢要求高的屈强比,65Mn屈强比高,20Cr屈强比低9. 为什么一般机器的支架、机床的床身常用灰铸铁制造?灰铸铁=钢+石墨,石墨的存在使铸铁:切削性能好,铸造性能好,润滑耐磨,减震,对缺口不敏感,所以~

第八章习题

一.名词解释

磨粒(料)磨损---硬颗粒或表面微凸体的作用造成的表面损伤

晶间腐蚀----发生在晶界或近旁的腐蚀,使零件力学性能显著下降

疲劳断裂失效----交变应力下,低于屈服点,长时间工作产生裂纹导致失效

二. 填空题

(1)韧性断裂的宏观特征为(杯锥状断口),微观特征有(韧窝)。

(2)脆性断口的宏观特征为(断口平齐),且(光亮),微观特征是(解理花样)和(沿晶断口)。

(3)两个金属表面的(微凸体)在局部高压下产生局部(粘结),使材料(撕裂)或(剥落),这一现象称为粘着磨损。(4)配合表面之间在(相对运动)过程中,因(硬颗粒)或(表面微凸体)的作用造成表面损伤的磨损称为磨粒(料)磨损。

(5)机械零件选材的最基本原则是(使用性能)、(工艺性能)、(经济和环境友好)。

(6)机械零件的使用性能指零件在使用状态下材料应该具有的(力学性能)、(物理性能)和(化学性能)。

三.综合分析题

(1)机械零件正确选材的基本原则是什么?

优异的使用性能,良好的加工性能,便宜的价格

(2)腐蚀失效有哪些基本类型?

均匀腐蚀,点腐蚀,晶间腐蚀

第九章习题

一.填空题

(1)齿轮材料的用材主要是(低碳钢)、(低碳合金钢)和(中碳或中碳合金钢)。

(2)车床主轴常用(45)钢制造,其热处理工艺是(调质)。(3)汽车板簧常选用钢材为(65Mn,60Si2Mn)等。(4)继电器簧片要求有好的弹性、导电性和耐蚀性,可用(黄铜、锡青铜、白铜)等制造。

(5)制造刃具的材料有(碳素工具钢、低合金刃具钢、高速钢、硬质合金、陶瓷)。

(6)手锯锯条用(碳素工具钢)钢制造,其热处理工艺是(淬火+低温回火)。

二.综合分析题

(1)导弹发展早期,用高强度钢板焊接制造火箭发动机壳体,在地面做打压试验时,多次发生爆裂事故(快速脆断)。壳体工作应力σt=1300MN/m2,探伤测得壳体中最大裂纹的半长a=1mm(或全长=2mm)。已知裂纹的形状因子Y=1.4。现有两种高强度钢A、B,它们的强度和断裂韧性为:

A钢:σs=2000MPa,K IC=47MPa·m1/2;

B钢:σs=1600MPa,K IC=75MPa·m1/2。

问选用哪种钢能保证火箭发动机壳体工作安全?试用计算

证明。

K1=a

Y =57 MPa·m1/2,必须KIC> K1,σs>σt 所以选B钢:σs=1600MPa,K IC=75MPa·m1/2

计数原理与排列组合经典题型

计数原理与排列组合题型解题方法总结 计数原理 一、知识精讲 1、分类计数原理: 2、分步计数原理: 特别注意:两个原理的共同点:把一个原始事件分解成若干个分事件来完成。 不同点:如果完成一件事情共有n类办法,这n类办法彼此之间相互独立的,无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事情,求完成这件事情的方法种数,就用分类计数原理。分类时应不重不漏(即任一种方法必须属于某一类且只属于这一类) 如果完成一件事情需要分成n个步骤,各个步骤都是不可缺少的,需要依次完成所有的步骤,才能完成这件事,而完成每一个步骤各有若干种不同的方法,求完成这件事情的方法种数就用分步计数原理。各步骤有先后,相互依存,缺一不可。 3、排列 (1)排列定义,排列数 (2)排列数公式: (3)全排列列: 4.组合 (1)组合的定义,排列与组合的区别; (2)组合数公式: (3)组合数的性质 二、.典例解析 题型1:计数原理 例1.完成下列选择题与填空题 (1)有三个不同的信箱,今有四封不同的信欲投其中,则不同的投法有种。 A.81 B.64 C.24 D.4 (2)四名学生争夺三项冠军,获得冠军的可能的种数是( ) A.81 B.64 C.24 D.4 (3)有四位学生参加三项不同的竞赛, ①每位学生必须参加一项竞赛,则有不同的参赛方法有; ②每项竞赛只许有一位学生参加,则有不同的参赛方法有;

③每位学生最多参加一项竞赛,每项竞赛只许有一位学生参加,则不同的参赛方法有 。 例2(1)如图为一电路图,从A 到B 共有 条不同的线路可通电。 例3: 把一个圆分成3块扇形,现在用5种不同的颜色给3块扇形涂色,要求相邻扇形的颜色互不相同,问有多少钟不同的涂法?若分割成4块扇形呢? 例4、某城在中心广场造一个花圃,花圃分为6个部分(如图).现要栽种4种不同颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,不同的栽种方法有 ________ 种.(以数字作答) 例5、 四面体的顶点和各棱的中点共10个,在其中取4个不共面的点,问共有多少种不同的取法? 例6、(1)电视台在”欢乐今宵”节目中拿出两个信箱,其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信,甲信箱中有30封,乙信箱中有20封.现有主持人抽奖确定幸运观众,若先确定一名幸运之星,再从两信箱中各确定一名幸运伙伴,有多少种不同的结果? (2)三边均为整数,且最大边长为11的三角形的个数是 D C B A

排列组合典型例题(带详细答案)

例1 用0到9这10 个数字.可组成多少个没有重复数字的四位偶数? 例2三个女生和五个男生排成一排 (1)如果女生必须全排在一起,可有多少种不同的排法? (2)如果女生必须全分开,可有多少种不同的排法? (3)如果两端都不能排女生,可有多少种不同的排法? (4)如果两端不能都排女生,可有多少种不同的排法? 例3 排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。 (1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种? (2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种? 例4某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课,如果第一节不排体育,最后一节不排数学,那么共有多少种不同的排课程表的方法. 例5现有3辆公交车、3位司机和3位售票员,每辆车上需配1位司机和1位售票员.问车辆、司机、售票员搭配方案一共有多少种? 例6下是表是高考第一批录取的一份志愿表.如果有4所重点院校,每所院校有3个专业是你较为满意的选择.若表格填满且规定学校没有重复,同一学校的专业也没有重复的话,你将有多少种不同的填表方法? 例77名同学排队照相. (1)若分成两排照,前排3人,后排4人,有多少种不同的排法?

(2)若排成两排照,前排3人,后排4人,但其中甲必须在前排,乙必须在后排,有多少种不同的排法? (3)若排成一排照,甲、乙、丙三人必须相邻,有多少种不同的排法? (4)若排成一排照,7人中有4名男生,3名女生,女生不能相邻,有多少种不面的排法? 例8计算下列各题: (1) 215 A ; (2) 66 A ; (3) 1 1 11------?n n m n m n m n A A A ; 例9 f e d c b a ,,,,,六人排一列纵队,限定a 要排在b 的前面(a 与b 可以相邻,也可以不相邻),求共有几种排法. 例10 八个人分两排坐,每排四人,限定甲必须坐在前排,乙、丙必须坐在同一排,共有多少种安排办法? 例11 计划在某画廊展出10幅不同的画,其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画,排成一行陈列,要求同一品种的画必须连在一起,并且不彩画不放在两端,那么不同陈列方式有 例12 由数字5,4,3,2,1,0组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数的个数共有( ). 例13 用5,4,3,2,1,这五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有( ). 例14 用543210、、、、、共六个数字,组成无重复数字的自然数,(1)可以组成多少个无重 复数字的3位偶数?(2)可以组成多少个无重复数字且被3整除的三位数?

高一精选题库习题 物理10-1人教版

第四模块 第10章 第1单元 一、选择题 1.一正弦交流电的电压随时间变化的规律如图13所示.由图可知 ( ) 图13 A .该交流电的电压瞬时值的表达式为u =100sin(25t ) V B .该交流电的频率为25 Hz C .该交流电的电压的有效值为100 2 V D .若将该交流电压加在阻值为R =100 Ω的电阻两端,则电阻消耗的功率是50 W 解析:从图中可知,交流电周期T =4×10- 2 s ,峰值电压U m =100 V ,故交流电的频率 f =1T =25 Hz ,有效值U =U m 2=50 2 V .加在R =100 Ω的电阻上时的热功率P =U 2R =50 W ,瞬时值表达式u =U m sin 2π T t =100sin(50πt ) V ,故正确选项为B 、D. 答案:BD 2.如下图所示,面积均为S 的线圈均绕其对称轴或中心轴在匀强磁场B 中以角速度ω匀速转动,能产生正弦交变电动势e =BSωsin ωt 的图是 ( ) 解析:线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场方向的轴(轴在线圈所在平面内)匀速转动,产生的正弦交变电动势为e =BSωsin ωt ,由这一原则判断,A 图和C 图中感应电动势均为e =BSωsin ωt ;B 图中的转动轴不在线圈所在平面内;D 图转动轴与磁场方向平行,而不是垂直.故AC 正确. 答案:AC 3.如图14所示,三个灯泡是相同的,而且耐压足够,电源内阻忽略.当单刀双掷开关S 接A 时,三个灯亮度相同,那么S 接B 时 ( )

图14 A.三个灯亮度相同 B.甲灯最亮,丙灯不亮 C.甲灯和乙灯亮度相同,丙灯不亮 D.只有丙灯不亮,乙灯最亮 解析:开关S接A时,甲、乙、丙三个支路均有交流电通过.开关S接B时,电路处于直流工作状态,电容C“隔直、通交”;电感L“阻交、通直”;R对交、直流有相同的阻抗.可判断此时电路中I丙=0,I甲不变,I乙增大;又因为灯泡亮度与热功率(P=I2R)成正比.所以只有丙灯不亮,乙灯最亮,故选D. 答案:D 4.矩形线圈在匀强磁场中绕垂直于磁感线的转轴匀速转动,产生的交流电动势的最大值为E m.设t=0时线圈平面与磁场平行,当线圈的匝数增加一倍,转速也增大一倍,其他条件不变时,交流电的电动势为 () A.e=2E m sin2ωt B.e=4E m sin2ωt C.e=E m cos2ωt D.e=4E m cos2ωt 解析:产生电动势的最大值E m=NBSω ω=2nπ;n为转速 当N′=2N;n′=2n时,ω′=2ωE m′=4E m, 所以交流电的电动势的表达式为e=4E m cos2ωt.故选D. 答案:D 5.电阻R1、R2与交流电源按照图15所示甲方式连接,R1=10 Ω,R2=20 Ω.合上开关S后,通过电阻R2的正弦交变电流i随时间t变化的情况如图乙所示.则 () A.通过R1的电流有效值是1.2 A B.R1两端的电压有效值是6 V C.通过R2的电流最大值是1.2 2 A D.R2两端的电压最大值是6 2 V

排列组合练习题及答案精选

排列组合习题精选 一、纯排列与组合问题: 1. 从9人中选派2人参加某一活动,有多少种不同选法? 2. 从9人中选派2人参加文艺活动,1人下乡演出,1人在本地演出,有多少种不同选派方法? 3. 现从男、女8名学生干部中选出2名男同学和1名女同学分别参加全校“资源”、“生态” 和“环保”三个夏令营活动,已知共有 90种不同的方案,那么男、女同学的人数是( ) A.男同学2人,女同学6人 B. 男同学3人,女同学5人 C.男同学5人,女同学3人 D. 男同学6人,女同学2人 4. 一条铁路原有m 个车站,为了适应客运需要新增加n 个车站(n>1),则客运车票增加了58 种(从甲站到乙站与乙站到甲站需要两种不同车票),那么原有的车站有() A.12个 B.13 个 C.14 个 D.15 个 答案:1、 2 2 72 3 、选 B. 设男生n 2 1 3 2 2 9 9 n 8 n3 。、mn m C 362、A 人,则有C C A 904 A A58 选 C. 二、相邻问题: 1. A 、B 、C 、D 、E 五个人并排站成一列,若A 、B 必相邻,则有多少种不同排法? 2. 有8本不同的书,其中3本不同的科技书,2本不同的文艺书,3本不同的体育书,将这 些书竖排在书架上,则科技书连在一起,文艺书也连在一起的不同排法种数为() A.720 B.1440 C.2880 D.3600 答案:1. 2 4 3 2 5 2 4 3 2 5 AA 48(2)选BAAA1440 三、不相邻问题: 1. 要排一个有4个歌唱节目和3个舞蹈节目的演出节目单,任何两个舞蹈节目都不相邻,有多少种不同排法? 1

排列组合知识点汇总及典型例题(全)

排列组合知识点汇总及典型例题(全)

一.基本原理 1.加法原理:做一件事有n 类办法,则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2.乘法原理:做一件事分n 步完成,则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注:做一件事时,元素或位置允许重复使用,求方法数时常用基本原理求解。 二.排列:从n 个不同元素中,任取m (m ≤n )个元素,按照一定的顺序排成一 .m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列,所个不同元素中取出列,叫做从 1.公式:1.()()()()! ! 121m n n m n n n n A m n -= +---=…… 2. 规定:0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =?-+?=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ?=+-?=+?-=+-; (3) 111111 (1)!(1)!(1)!(1)!!(1)! n n n n n n n n n +-+==-=- +++++ 三.组合:从n 个不同元素中任取m (m ≤n )个元素并组成一组,叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数,记作 Cn 。 1. 公式: ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m m m ==--+= -11……!!!! 10 =n C 规定: 组合数性质:.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……,, ①;②;③;④ 111 12111212211r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=+++ +=++ +=注: 若1 2 m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或 四.处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事(审题) ②有序还是无序 ③分步还是分类。 2.解排列、组合题的基本策略 (1)两种思路:①直接法; ②间接法:对有限制条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。 (2)分类处理:当问题总体不好解决时,常分成若干类,再由分类计数原理得出结论。注意:分类不重复不遗漏。即:每两类的交集为空集, 所有各类的并集为全集。 (3)分步处理:与分类处理类似,某些问题总体不好解决时,常常分成若干步,再由分步计数原理解决。在处理排列组合问题时,常常既要分 类,又要分步。其原则是先分类,后分步。 (43.排列应用题: (1)穷举法(列举法):将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来; (2)、特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑; (3).相邻问题:捆邦法: 对于某些元素要求相邻的排列问题,先将相邻接的元素“捆绑”起来,看作一“大”元素与其余元素排列,然后再对相邻元素内部进行排列。 (4)、全不相邻问题,插空法:某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法.即先安排好没有限制条件的元素,然后再将不相 邻接元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入。 (5)、顺序一定,除法处理。先排后除或先定后插 解法一:对于某几个元素按一定的顺序排列问题,可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列,然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。即先全排,再除以定序元素的全排列。 解法二:在总位置中选出定序元素的位置不参加排列,先对其他元素进行排列,剩余的几个位置放定序的元素,若定序元素要求从左到右或从右到左排列,则只有1种排法;若不要求,则有2种排法; (6)“小团体”排列问题——采用先整体后局部策略 对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时,可先将“小团体”看作一个元素与其余元素排列,最后再进行“小团体”内部的排列。 (7)分排问题用“直排法”把元素排成几排的问题,可归纳为一排考虑,再分段处理。 (8).数字问题(组成无重复数字的整数) ① 能被2整除的数的特征:末位数是偶数;不能被2整除的数的特征:末位数是奇数。②能被3整除的数的特征:各位数字之和是3的倍数; ③能被9整除的数的特征:各位数字之和是9的倍数④能被4整除的数的特征:末两位是4的倍数。 ⑤能被5整除的数的特征:末位数是0或5。 ⑥能被25整除的数的特征:末两位数是25,50,75。 ⑦能被6整除的数的特征:各位数字之和是3的倍数的偶数。 4.组合应用题:(1).“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法: (2). “含”与“不含” 用间接排除法或分类法: 3.分组问题: 均匀分组:分步取,得组合数相乘,再除以组数的阶乘。即除法处理。 非均匀分组:分步取,得组合数相乘。即组合处理。 混合分组:分步取,得组合数相乘,再除以均匀分组的组数的阶乘。 4.分配问题: 定额分配:(指定到具体位置)即固定位置固定人数,分步取,得组合数相乘。

高中数学排列组合经典题型全面总结版

高中数学排列与组合 (一)典型分类讲解 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有 34A 由分步计数原理得1 1 3 434 288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间,也不种在两端的花盆里,问有多少不同的种法? 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其它元素进行排列,同时对相邻元 素内部进行自排。由分步计数原理可得共有 522522480A A A =种不同的排法 练习题:某人射击8枪,命中4枪,4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种? 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种, 第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种 46 A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有54 56A A 种 练习题:某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中,且两个新节目不相邻,那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略 例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素 之间的全排列数,则共有不同排法种数是: 73 73/A A (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 47 A 种方法,其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法,则共有4 7A 种方法。 思考:可以先让甲乙丙就坐吗? (插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法 练习题:10人身高各不相等,排成前后排,每排5人,要求从左至右身高逐渐增加,共有多少排法? 5 10C 五.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原 理共有6 7种不同的排法 练习题: 1. 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同插 法的种数为 42 4 4 3 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象,元素不受位置的约束,可以逐一安排各个元素的位置,一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为n m 种

排列组合的21种例题

高考数学复习 解排列组合应用题的21种策略 排列组合问题是高考的必考题,它联系实际生动有趣,但题型多样,思路灵活,不易掌握,实践证明,掌握题型和解题方法,识别模式,熟练运用,是解决排列组合应用题的有效途径;下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略. 1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列. 例 1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排,如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边,那么不同的排法种数有 A 、60种 B 、48种 C 、36种 D 、24种 2.相离问题插空排:元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例2.七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是 A 、1440种 B 、3600种 C 、4820种 D 、4800种 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小倍数的方法. 例 3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排,如果B 必须站在A 的右边(,A B 可以不相邻)那么不同的排法种数是 A 、24种 B 、60种 C 、90种 D 、120种 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上,可先把某个元素按规定排入,第二步再排另一个元素,如此继续下去,依次即可完成. 例4.将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数,则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有 A 、6种 B 、9种 C 、11种 D 、23种 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组,可用逐步下量分组法. 例5.(1)有甲乙丙三项任务,甲需2人承担,乙丙各需一人承担,从10人中选出4人承担这三项任务,不同的选法种数是 A 、1260种 B 、2025种 C 、2520种 D 、5040种 (2)12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查,若每个路口4人,则不同的分配方案有 A 、44412 8 4 C C C 种 B 、44412 8 4 3C C C 种 C 、44312 8 3 C C A 种 D 、4441284 3 3 C C C A 种 6.全员分配问题分组法: 例6.(1)4名优秀学生全部保送到3所学校去,每所学校至少去一名,则不同的保送方案有多少种? (2)5本不同的书,全部分给4个学生,每个学生至少一本,不同的分法种数为 A 、480种 B 、240种 C 、120种 D 、96种 7.名额分配问题隔板法: 例7.10个三好学生名额分到7个班级,每个班级至少一个名额,有多少种不同分配方案? 8.限制条件的分配问题分类法: 例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设,其中甲同学不到银川,乙不到西宁,共有多少种不同派遣方案?

精选题库高一 英语课时作业38北师大版

(选修八·Unit 3) Ⅰ.单项填空 1.We ________ to paint the house at dawn but finished only the front part till dark. A.set out B.set off C.set about D.set aside 答案与解析:A set out to do sth.“开始做某事”,相当于begin to do sth.。 2.A healthy life is frequently thought to be ________ with the open countryside and home-grown food. A.tied B.related C.involved D.associated 答案与解析:D be associated with...“和……有关”。tie和relate意为“和……有关”时,常与to连用;be involved与in搭配。 3.The twins were so much alike that it was impossible to ________ one from the other. A.distinguish B.separate C.identify D.recognize 答案与解析:A根据题意应是不可能把这对双胞胎区分开,故选A项。distinguish...from...“把……和……区别开”。separate...from...“把……和……分隔开”;identify“识别”;recognize“认出”。 4.—Have you decided which house to buy? —No,not yet.I must find a house that is ________ for all kinds of transportation. A.convenient B.appropriate C.available D.content 答案与解析:A convenient“方便的;便利的”,其主语通常是物,符合题意。 5.Teachers pay more attention to the ________ skills and show students the way to catch the main ideas. A.meaningful B.careful C.practical D.acceptable 答案与解析:C practical“实用的”符合题意。meaningful“有意义的”;careful“仔细的”;acceptable“可接受的”。 6.If Newton lived today,he would be surprised by what has been ________ in science and technology. A.diagnosed B.discovered C.ignored D.determined 答案与解析:B discover“发现”。句意:如果牛顿活到现在,他将会对迄今为止在科技上的发现惊讶不已。diagnose“诊断”;ignore“忽略”;determine“决定”。 7.I call him ________;even when there is not much to say. A.now and then B.by and by C.step by step D.more or less 答案与解析:A now and then表示“不时地,偶尔”。句意:我不时给他打个电话,尽管有时候也没有太多的话要说。by and by表示“不久,马上”;step by step表示“逐步地”;more or less表示“大约”。 8.Mike seldom asks ________ questions in class,but today he raised ________ fairly good one. A./; a B.the; a C./; the D./; / 答案与解析:A此题考查冠词。question是复数形式,根据语境可知在课上,Mike很少问问题,泛指,故前面是零冠词,后面一空用不定冠词a修饰。one泛指今天他提了一个相当不错的问题。 9.I've already told you never to ________ my things.

高考排列组合典型例题

高考排列组合典型例题 Company number:【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

排列组合典型例题 例1 用0到9这10 个数字.可组成多少个没有重复数字的四位偶数 分析:这一问题的限制条件是:①没有重复数字;②数字“0”不能排在千位数上;③个位数字只能是0、2、4、6、8、,从限制条件入手,可划分如下: 如果从个位数入手,四位偶数可分为:个位数是“0”的四位偶做,个位数是 2、4、6、8的四位偶数(这是因为零不能放在千位数上).由此解法一与二. 如果从千位数入手.四位偶数可分为:千位数是1、3、5、7、9和千位数是2、4、6、8两类,由此得解法三. 如果四位数划分为四位奇数和四位偶数两类,先求出四位个数的个数,用排除法,得解法四. 解法1:当个位数上排“0”时,千位,百位,十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列,故有39A 个; 当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排,则千位上从余下的八个非零数字中任选一个,百位,十位上再从余下的八个数字中任选两个来排,按乘法原理有281814A A A ??(个). ∴ 没有重复数字的四位偶数有 2296179250428181439 =+=??+A A A A 个. 解法2:当个位数上排“0”时,同解一有39A 个;当个位数上排2、4、6、8中之一时,千位,百位,十位上可从余下9个数字中任选3个的排列数中减去千 位数是“0”排列数得:)(283914 A A A -?个 ∴ 没有重复数字的四位偶数有 22961792504)(28391439 =+=-?+A A A A 个.

精选题库高一习题4-4. 数学 数学doc

第4模块 第4节 [知能演练] 一、选择题 1.复数z =(a 2 -2a )+(a 2 -a -2)i (a ∈R )对应的点在虚轴上,则 ( ) A .a ≠2或a ≠1 B .a ≠2且a ≠1 C .a =2或a =0 D .a =0 解析:由题意知a 2-2a =0,∴a =2或a =0. 答案:C 2.设z 的共轭复数是z ,若z +z =4,z ·z =8,则 z z 等于 ( ) A .i B .-i C .±1 D .±i 解析:设z =x +yi (x ,y ∈R ),z =x -yi . 由z +z =4,z ·z =8得 ? ???? x +yi +x -yi =4(x +yi )(x -yi )=8, ∴? ???? x =2x 2+y 2=8, 解得??? ? ? x =2y =2或? ??? ? x =2y =-2, ∴z z =x -yi x +yi =x 2-y 2-2xyi x 2+y 2=±i . 答案:D 3.如果实数b 与纯虚数z 满足关系式(2-i )z =4-bi (其中i 为虚数单位),那么b 等于 ( ) A .8 B .-8 C .2 D .-2 解析:设z =ai (a ≠0), 由(2-i )z =4-bi ,得(2-i )×ai =4-bi , 即a +2ai =4-bi ,

∴????? a =42a =-b ,解得? ???? a =4 b =-8. 答案:B 4.在复平面内,向量AB →对应的复数是2+i ,向量CB →对应的复数是-1-3i ,则向量CA →对应的复数为 ( ) A .1-2i B .-1+2i C .3+4i D .-3-4i 解析:向量AB →对应的复数是2+i ,则BA →对应的复数为-2-i ,∵CA →=CB →+BA → . ∴CA → 对应的复数为(-1-3i )+(-2-i )=-3-4i . 答案:D 二、填空题 5.已知z =(2+2i )2(4+5i ) (5-4i )(1-i ),则|z |=________. 解析:|z |=|(2+2i )2 (4+5i ) (5-4i )(1-i )| =|2+2i |2|4+5i ||5-4i ||1-i | =22×4141×2 =2 2. 答案:2 2 6.若复数z =(a 2 -3)-(a +3)i ,(a ∈R )为纯虚数,则a +i 2007 3-3i =________. 解析:∵z =(a 2 -3)-(a +3)i 为纯虚数, ∴??? a 2 -3=0a +3≠0 ,解得a =3, ∴a +i 20073-3i =3-i 3-3i =3-i 3(3-i )=33. 答案: 3 3 三、解答题 7.若复数z 1与z 2在复平面上所对应的点关于y 轴对称,且z 1(3-i )=z 2(1+3i ),|z 1|=2,求z 1. 解:设z 1=a +bi ,则z 2=-a +bi ,

排列组合专题复习与经典例题详解

排列组合专题复习及经典例题详解 1. 学习目标 掌握排列、组合问题的解题策略 2.重点 (1)特殊元素优先安排的策略: (2)合理分类与准确分步的策略; (3)排列、组合混合问题先选后排的策略; (4)正难则反、等价转化的策略; (5)相邻问题捆绑处理的策略; (6)不相邻问题插空处理的策略. 3.难点 综合运用解题策略解决问题. 4.学习过程: (1)知识梳理 1.分类计数原理(加法原理):完成一件事,有几类办法,在第一类办法中有1m 种不同的方法,在第2类办法中有2m 种不同的方法……在第n 类型办法中有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有n m m m N +++=...21种不同的方法. 2.分步计数原理(乘法原理):完成一件事,需要分成n 个步骤,做第1步有1m 种不同的方法,做第2步有2m 种不同的方法……,做第n 步有n m 种不同的方法;那么完成这件事共有n m m m N ???=...21种不同的方法. 特别提醒: 分类计数原理与“分类”有关,要注意“类”与“类”之间所具有的独立性和并列性; 分步计数原理与“分步”有关,要注意“步”与“步”之间具有的相依性和连续性,应用这两个原理进行正确地分类、分步,做到不重复、不遗漏. 3.排列:从n 个不同元素中,任取m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列,n m <时叫做选排列,n m =时叫做全排列. 4.排列数:从n 个不同元素中,取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数,用符号m n P 表示. 5.排列数公式:)、(+∈≤-= +---=N m n n m m n n m n n n n P m n ,)! (!)1)...(2)(1( 排列数具有的性质:11-++=m n m n m n mP P P 特别提醒: 规定0!=1

排列组合典型例题

排列组合典型例题

典型例题一 例1 用0到9这10 个数字.可组成多少个没有重复数字的四位偶数? 分析:这一问题的限制条件是:①没有重复数字;②数字“0”不能排在千位数上;③个位数字只能是0、2、4、6、8、,从限制条件入手,可划分如下: 如果从个位数入手,四位偶数可分为:个位数是“0”的四位偶做,个位数是 2、4、6、8的四位偶数(这是因为零不能放在千位数上).由此解法一与二. 如果从千位数入手.四位偶数可分为:千位数是1、3、5、7、9和千位数是2、4、6、8两类,由此得解法三. 如果四位数划分为四位奇数和四位偶数两类,先求出四位个数的个数,用排除法,得解法四. 解法1:当个位数上排“0”时,千位,百位,十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列,故有3 A个; 9 当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排,

则千位上从余下的八个非零数字中任选一个,百位,十位上再从余下的八个数字中任选两个来排,按乘法原理有2 8181 4 A A A ??(个). ∴ 没有重复数字的四位偶数有 2296 179250428181439=+=??+A A A A 个. 解法2:当个位数上排“0”时,同解一有3 9 A 个;当个位数上排2、4、6、8中之一时,千位,百位,十位上可从余下9个数字中任选3个的排列数中减去千位数是“0”排列数得:) (28391 4 A A A -?个 ∴ 没有重复数字的四位偶数有 2296 1792504)(28391439=+=-?+A A A A 个. 解法3:千位数上从1、3、5、7、9中任选一个,个位数上从0、2、4、6、8中任选一个,百位,十位上从余下的八个数字中任选两个作排列有 2 81 515A A A ??个 干位上从2、4、6、8中任选一个,个位数上从余下的四个偶数中任意选一个(包括0在内),百位,十位从余下的八个数字中任意选两个作排列,有 2 81414A A A ??个 ∴ 没有重复数字的四位偶数有

高中排列组合知识点汇总及典型例题(全)

一.基本原理 1.加法原理:做一件事有n 类办法,则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2.乘法原理:做一件事分n 步完成,则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注:做一件事时,元素或位置允许重复使用,求方法数时常用基本原理求解。 二.排列:从n 个不同元素中,任取m (m ≤n )个元素,按照一定的顺序排成一 .m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列,所个不同元素中取出列,叫做从 1.公式:1.()()()()! ! 121m n n m n n n n A m n -= +---=…… 2. 规定:0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =?-+?=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ?=+-?=+?-=+-; ' (3)111111 (1)!(1)!(1)!(1)!!(1)! n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三.组合:从n 个不同元素中任取m (m ≤n )个元素并组成一组,叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数,记作 Cn 。 1. 公式: ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m m m ==--+= -11……!! !! 10=n C 规定: 组合数性质:.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……,, ① ;②;③;④ 11112111212211r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=+++ +=++ +=注: 若1 2 m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或 四.处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事(审题) ②有序还是无序 ③分步还是分类。 " 2.解排列、组合题的基本策略 (1)两种思路:①直接法; ②间接法:对有限制条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决 排列组合应用题时一种常用的解题方法。 (2)分类处理:当问题总体不好解决时,常分成若干类,再由分类计数原理得出结论。注意: 分类不重复不遗漏。即:每两类的交集为空集,所有各类的并集为全集。 (3数原理解决。在处理排列组合问题时,常常既要分类,又要分步。其原则是先分类,后分步。 (4 3.排列应用题: (1)穷举法(列举法):将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来; (2)、特殊元 素优先考虑、特殊位置优先考虑; ) (3).相邻问题:捆邦法: 对于某些元素要求相邻的排列问题,先将相邻接的元素“捆绑”起来,看作一“大”元素与其余元素排列,然后再对相邻元素内部进行排列。 (4)、全不相邻问题,插空法:某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空

高一精选题库习题 数学7-3

第7模块第3节 [知能演练] 一、选择题 1.已知a,b是异面直线,直线c∥直线a,则c与b () A.一定是异面直线B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线 解析:a,b是异面直线,直线c∥直线a.因而cb, 否则,若c∥b,则a∥b与已知矛盾,因而cb. 答案:C 2.四面体每相对两棱中点连一直线,则此三条直线 () A.互不相交B.至多有两条直线相交 C.三线相交于一点D.两两相交有三个交点 解析:利用三角形的中位线定理可知三线交于一点. 答案:C 3.若P是两条异面直线l、m外的任意一点,则 () A.过点P有且仅有一条直线与l、m都平行 B.过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直 C.过点P有且仅有一条直线与l、m都相交 D.过点P有且仅有一条直线与l、m都异面 解析:对于选项A,若过点P有直线n与l,m都平行,则l∥m,这与l,m异面矛盾; 对于选项B,过点P与l、m都垂直的直线,即过P且与l、m的公垂线段平行的那一条直线; 对于选项C,过点P与l、m都相交的直线有一条或零条; 对于选项D,过点P与l、m都异面的直线可能有无数条. 答案:B 4.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为 () A.1 5 B. 2 5

C.35 D.45 解析:连接D 1C ,AC ,易证A 1B ∥D 1C ,∴∠AD 1C 即为异面直线A 1B 与AD 1所成的角.设AB =1,则AA 1=2,AD 1=D 1C =5,AC =2, ∴cos ∠AD 1C =5+5-22×5×5=45 . ∴异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为4 5. 答案:D 二、填空题 5.如图所示,在三棱锥C -ABD 中,E 、F 分别是AC 和BD 的中点,若CD =2AB =4,EF ⊥AB ,则EF 与CD 所成的角是________. 解析:取CB 中点G ,连接EG 、FG , ∴EG ∥AB ,FG ∥CD . ∴EF 与CD 所成的角为∠EFG . 又∵EF ⊥AB ,∴EF ⊥EG . 在Rt △EFG 中,EG =1 2 AB =1, FG =1 2CD =2, ∴sin ∠EFG =1 2 ,

精选题库高一习题 数学8-7

第8模块 第7节 [知能演练] 一、选择题 1.已知M (-2,0)、N (2,0),|PM |-|PN |=3,则动点P 的轨迹是 ( ) A .双曲线 B .双曲线左边一支 C .双曲线右边一支 D .一条射线 解析:∵|PM |-|PN |=3<4,由双曲线定义知,其轨迹为双曲线的一支,又∵|PM |>|PN |, ∴动点P 的轨迹为双曲线的右支. 答案:C 2.已知双曲线的两个焦点为F 1(-10,0)、F 2(10,0),M 是此双曲线上的一点,且满足MF 1→·MF 2→=0,|MF 1→|·|MF 2→|=2,则该双曲线的方程是 ( ) A.x 29-y 2 =1 B .x 2 -y 2 9 =1 C.x 23-y 2 7 =1 D.x 27-y 2 3 =1 解析:由MF 1→·MF 2→=0,可知MF 1→⊥MF 2→.可设|MF 1→|=t 1,|MF 2→ |=t 2,则t 1t 2=2. 在△MF 1F 2中,t 21+t 22=40, ∴|t 1-t 2|=t 21+t 22-2t 1t 2=40-4=6=2a . ∴a =3.∴所求双曲线方程为x 29-y 2 =1. 答案:A 3.已知双曲线x 2m -y 2 n =1(mn ≠0)的离心率为2,有一个焦点恰好是抛物线y 2=4x 的焦点, 则此双曲线的渐近线方程是 ( ) A.3x ±y =0 B .x ±3y =0

C .3x ±y =0 D .x ±3y =0 解析:抛物线y 2=4x 的焦点为(1,0). ∴m +n =1. 又双曲线的离心率为2,∴1 m =2. ∴m =14,n =34 . ∴双曲线的方程为4x 2 -4y 2 3 =1. ∴其渐近线方程为3x ±y =0.故选A. 答案:A 4.双曲线x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0)的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点,且|PF 1|=2|PF 2|, 则双曲线的离心率的取值范围为 ( ) A .(1,3) B .(1,3] C .(3,+∞) D .[3,+∞) 解析:如右图,设|PF 2|=m ,∠F 1PF 2=θ(0<θ≤π), 当P 在右顶点处,θ=π, e =2c 2a = m 2+(2m )2-4m 2cos θ m =5-4cos θ. ∵-1

高一精选题库习题 数学8-5

第8模块 第5节 [知能演练] 一、选择题 1.已知定点A (1,1)和直线l :x +y -2=0,那么到定点A 的距离和到定直线l 距离相等的点的轨迹为 ( ) A .椭圆 B .双曲线 C .抛物线 D .直线 解析:由于点A 在直线x +y -2=0上.因此选D. 答案:D 2.已知两定点A (-2,0),B (1,0),如果动点P 满足|P A |= 2|PB |,则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于 ( ) A .π B .4π C .8π D .9π 解析:设P (x ,y ),由|PA |=2|PB | 得(x +2)2+y 2=2(x -1)2+y 2. 整理得x 2-4x +y 2=0. 即(x -2)2+y 2=4, 故点P 的轨迹是以(2,0)为圆心,2为半径的圆,故S =4π. 答案:B 3.已知椭圆的焦点是F 1、F 2,P 是椭圆上的一个动点,如果M 是线段F 1P 的中点,则动点M 的轨迹是 ( ) A .圆 B .椭圆 C .双曲线的一支 D .抛物线 解析:如右图,由题知|PF 1|+ |PF 2|=2a ,(设椭圆方程为x 2a 2+y 2 b =1,其中a >b >0).连结MO ,由三角形的中位线可得 |F 1M |+|MO |=a (a >|F 1O |),则M 轨迹为以F 1、O 为焦点的椭圆,故选B.

答案:B 4.平面直角坐标系中,已知两点A (3,1),B (-1,3),若点C 满足OC →=λ1OA →+λ2OB → (O 为原点),其中λ1,λ2∈R ,且λ1+λ2=1,则点C 的轨迹是 ( ) A .直线 B .椭圆 C .圆 D .双曲线 解析:设C (x ,y ),由已知得(x ,y )=λ1(3,1)+λ2(-1,3), ∴? ?? ?? x =3λ1-λ2y =λ1+3λ2,又λ1+λ2=1.消去λ1,λ2得,x +2y =5. 答案:A 二、填空题 5.平面上有三个点A (-2,y ),B (0,y 2),C (x ,y ),若AB →⊥BC → ,则动点C 的轨迹方程 是__________. 解析:AB → =(0,y 2)-(-2,y )=(2,-y 2, BC → =(x ,y )-(0,y 2)=(x ,y 2), ∵AB →⊥BC →,∴AB →·BC → =0, ∴(2,-y 2)·(x ,y 2)=0, 即y 2 =8x . ∴动点C 的轨迹方程为y 2=8x . 答案:y 2=8x 6.△ABC 中,A 为动点,B 、C 为定点,B (-a 2,0),C (a 2,0),且满足条件sin C -sin B =1 2 sin A ,则动点A 的轨迹方程是__________. 解析:由正弦定理:|AB |2R -|AC |2R =12×|BC | 2R ∴|AB |-|AC |=1 2|BC |,且为双曲线右支. 答案:16x 2a 2-16y 2 3a 2=1(x >0且y ≠0) 三、解答题 7.已知直角坐标平面上一点Q (2,0)和圆C :x 2+y 2=1,动点M 到圆C 的切线长等于圆C 的半径与|MQ |的和,求动点M 的轨迹方程. 解:设MN 切圆C 于N ,又圆的半径为|CN |=1,

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