2020年衡水中学高中三年级一调数学试卷(文科)

2020年衡水中学高中三年级一调数学试卷(文科)

2019-2020学年普通高等学校招生全国统一考试高三一调考试

文科数学

考试时间120分钟，试卷总分150分.

命题人：集备组 审核人：教研组

请将答案填写（涂）在答题卡上。在本卷上作答无效！

一、选择题 1．给出下列命题：

（1）存在实数α使5sin cos 3

αα+= . （2）直线20192

x π

=

是函数cos y x =图象的一条对称轴. （3）()()cos sin y x x R =∈的值域是[]cos1,1.

（4）若,αβ都是第一象限角，且sin sin αβ>，则tan tan αβ>. 其中正确命题的题号为（ ） A ．（1）（2）

B ．（2）（3）

C ．（3）（4）

D ．（1）（4）

2．已知四个命题：

①如果向量a v 与b v

共线，则a b =v v 或a b =-v v ；

②3x ≤是

3

x ≤的必要不充分条件；

③命题p ： ()00,2x ?∈， 200230x x --<的否定p ?： ()0,2x ?∈，

2230x x --≥；

④“指数函数x y a =是增函数，而12x y ??= ???是指数函数，所以

12x

y ??

= ???是增函数”

此三段论大前提错误，但推理形式是正确的. 以上命题正确的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．α是虚数单位，复数

α

（ ）

A ．i -

B ．i

C ．21202929

i -

- D ．4102121i -+

4．已知直线m 、n 与平面α、β，下列命题正确的是（ ） A ．m α⊥，//n β且αβ⊥，则m n ⊥

B ．m α⊥，n β⊥且αβ⊥，则

m n ⊥

C ．m αβ?=，n m ⊥且αβ⊥，则n α⊥

D ．//m α，//n β且//αβ，则

//m n

5．已知

()201720162018201721

f x x x x =++++L ，下列程序框图设计的是求

()

0f x 的值，在“ ”中应填的执行语句是（ ）

A ．2018n i =-

B ．2017n i =-

C ．2018n i =+

D ．2017n i =+ 6．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

7．已知平面内的两个单位向量，OB uuu r ，它们的夹角是60°，OC u u u r 与、OB uuu r

向

量的夹角都为30°，且||3OC =u u u r OC OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r

，则λμ+值为（ ） A ．23B ．3C ．2

D ．4

8．函数的图象大致是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

9．已知函数()2sin()(06,)2f x x πω?ω?=+<<<的图象经过点(,2)6

π

和

2(

,2)3

π-.若函数()()g x f x m =-在区间[,0]2π

-上有唯一零点，则实数m 的取值

范围是（ ） A ．(1,1]- B ．11

{1}(,]22

--U C ．1(,1]2

-

D ．{2}(1,1]--U

10．设函数||

||

()x x x e f x e

+=的最大值为M ，最小值为N ，则下列结论中：①2M N e -=，②4M N +=，③211MN e =-，④1

1

M e N e +=-，其中一定成立的

有（ ） A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

11．已知椭圆C ： 22

143x y +=的右焦点为F ，过点F 的两条互相垂直的直线1

l ， 2l ， 1l 与椭圆C 相交于点A ， B ， 2l

与椭圆C 相交于点C ， D ，则下列

叙述不正确的是（ ） A ．存在直线1l ， 2l

使得

AB CD

+值为7

B ．存在直线1l ， 2l

使得AB CD +值为487

C ．弦长AB 存在最大值，且最大值为4

D ．弦长

AB

不存在最小值

12．已知函数的定义域为，当时，，对任意的，成立，若数列满足，且，则的值为（ ） A ． B ．

C ．

D ．

二、填空题

13．22cos821sin8++-的化简结果是_________.

14．若曲线C 与直线l 满足：①l 与C 在某点P 处相切；②曲线C 在P 附近位于直线l 的异侧，则称曲线C 与直线l “切过”．下列曲线和直线中，“切过”的有________．（填写相应的编号）

①3y x =与0y = ②2(2)y x =+与2x =- ③x y e =与1y x =+ ④sin y x =与y x = ⑤tan y x =与y x =

15．已知函数()sin 3f x x x =-+，则不等式(1)(27)6f x f x ++->的解集为________．

16．已知直线与椭圆相切于第一象限的点，且直线与轴、轴分别交于点、，当(为坐标原点)的面积最小时，(、是椭圆的两个焦点)，若此时在中，的平分线的长度为，则实数的值是__________．

三、解答题

17．在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，R 表示的外接圆半径.

（Ⅰ）如图，在以O 圆心、半径为2的O 中，BC 和BA 是O 的弦，其中，求弦AB 的长;

(Ⅱ)在中，若是钝角，求证：;

(Ⅲ)给定三个正实数a 、b 、R ，其中，问：a 、b 、R 满足怎样的关系时，以a 、b 为边长，R 为外接圆半径的不存在、存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在存在的情况下，用a 、b 、R 表示c.

18．为利于分层教学，某学校根据学生的情况分成了A ，B,C 三类，经过一段时间的学

习后在三类学生中分别随机抽取了1个学生的5次考试成缎，其统计表如下： A 类

()51

10i

i x x =-=∑180≈；

B 类

()51

10i

i x x =-=∑60≈；

C 类

()51

10i

i x x =-=∑63≈；

（1）经计算己知A ，B 的相关系数分别为1045r .

=-，2025r .=．，请计算出C 学生的()()112345i i x ,y ,,,,=的相关系数，并通过数据的分析回答抽到的哪类学生学习成绩最稳定；（结果保留两位有效数字，r 越大认为成绩越稳定）

（2）利用（1）中成绩最稳定的学生的样本数据，已知线性回归直线方程为

62??y .x a

=+，利用线性回归直线方程预测该生第十次的成绩． 附相关系数

()()

n

i

i

x x y y r --=

∑，线性回归直线方程???y bx a =+，

(

)()

(

)

()

1

2

2

1

1

n

i

i

i n

n

i

i

i i x x y y ?b

x x y y ===--=-?

-∑∑∑，??

a y bx =-．

19．（本题满分12分） 如图，的外接圆的半径为，所在的平面，，，，且，．

（1）求证：平面ADC 平面BCDE ．

（2）试问线段DE 上是否存在点M ，使得直线AM 与平面ACD 所成角的正弦值为？若存在，确定点M 的位置，若不存在，请说明理由．

20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22

221x y a b

+=(a ＞b ＞0)的左、

右顶点分别为A 1(﹣2，0)，A 2(2，0)，右准线方程为x ＝4．过点A 1的直线交椭圆C 于x 轴上方的点P ，交椭圆C 的右准线于点D ．直线A 2D 与椭圆C 的另一交点为G ，直线OG 与直线A 1D 交于点H ．

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）若HG⊥A 1D ，试求直线A 1D 的方程；

（3）如果11A H A P λ=u u u u r u u u u r

，试求λ的取值范围．

21．设函数()

()e 1e 1x x

f x x a =+-+，a ∈R .

（I ）求函数()f x 的单调区间；

（Ⅱ）若方程()0f x =在(0,)+∞上有解，证明：>2a .

考生注意：请从第22、23题中选择一题作答。两题都做者以第一题计分。22．选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，以原点0为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.若

曲线C的极坐标方程为

24

pcos sin

θθ

=, P点的极坐标为

3,

2

π

??

?

??，在平面直角坐

标系中，直线l经过点P

(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程;

(2)设直线l与曲线C相交于,A B两点，求

11

PA PB

+

的值.

23．选修4-5：不等式选讲

⑴求证：对于任意实数x、y、z

都有) 222

23

x y z xy yz zx

++≥++.

⑵是否存在实数k>x、y、z有

()

222

23

x y z k xy yz zx

++≥++恒成立？试证明你的结论。

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