高考数学圆锥曲线分类汇编理
2011-2018新课标(理科)圆锥曲线分类汇编
一、选择填空
【2011新课标】7. 设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于 A,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（ B ） （A
（B
（C ）2 （D ）3
【2011新课标】14. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在 x 轴上，
离心率为
2
。过l 的直线 交于,A B 两点，且 △ABF 2的周长为16，那么C 的方程为
22
1168
x y += 。 【2012新课标】4. 设是椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的左、右焦点，P 为直线上
一点， ?是底角为的等腰三角形，则E 的离心率为（ C ）
()
A 12 ()
B 23 ()
C 3
4
()
D 4
5
【解析】 ?是底角为的等腰三角形221332()22
4
c PF F F a c c e a ?==-=?=
= 【2012新课标】8. 等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B
两点，AB =C 的实轴长为（ C ）
()
A ()B
()C 4 ()D 8
【解析】设222:(0)C x y a a -=>交x y 162=的准线:4l x =-
于(4,A
-(4,B --
得：222(4)4224a a a =--=?=?=
【2013新课标1】4. 已知双曲线C:x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为√5
2，则C 的渐近线方程
为( C
)
A 、y =±14
x （B ）y =±13
x
（C ）y =±12
x
（D ）y =±x
【解析】由题知，2c a =，即54=22c a =222a b a +，∴22b a =14，∴b a =1
2
±，∴C 的渐近线方程为
1
2
y x =±，故选C .
【2013新课标1】10、已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点。若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为 ( D ) A 、x 245＋y 2
36＝1
B 、x 236＋y 227＝11
2
C 、x 227＋y 2
18＝1
D 、x 218＋y 2
9＝1
【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，则12x x +=2，12y y +=－2，
12F F 32a x =21F PF 3021F PF 30
2211221x y a b += ① 22
22
221x y a b
+= ② ①－②得1212121222
()()()()
0x x x x y y y y a b
+-+-+=， ∴AB k =1212y y x x --=212212()()b x x a y y +-+=2
2b a
，又AB k =0131+-=12，∴22b a =12，又9=2c =22a b -，
解得2
b =9，2
a =18，∴椭圆方程为
22
1189
x y +=，故选D. 【2013新课标2】11. 设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( C )． A ．y2＝4x 或y2＝8x B ．y2＝2x 或y2＝8x C ．y2＝4x 或y2＝16x D ．y2＝2x 或y2＝16x
【解析】设点M 的坐标为(x 0，y 0)，由抛物线的定义，得|MF |＝x 0＋2p ＝5，则x 0＝5－2
p . 又点F 的坐标为,02p ??
???，所以以MF 为直径的圆的方程为(x －x 0)2p x ?
?- ??
?＋(y －y 0)y ＝0.
将x ＝0，y ＝2代入得px 0＋8－4y 0＝0，即2
02
y －4y 0＋8＝0，所以y 0＝4.
由20y ＝2px 0，得16252p p ??
=-
???
，解之得p ＝2，或p ＝8. 所以C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .故选C.
【2013新课标2】12. 已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a ＞0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( B )．
A ．(0,1) B
．1122??- ? ??
? C
．1123??- ? ?? D ．11,32?????? 【2014新课标1】4. 已知F 为双曲线C ：x 2﹣my 2=3m （m ＞0）的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（ A ）
A. √3
B. 3
C. √3m
D. 3m 【解析】双曲线C ：x 2﹣my 2=3m （m ＞0）可化为，
∴一个焦点为（
，0），一条渐近线方程为
=0，
∴点F 到C 的一条渐近线的距离为=
．故选：A ．
【2014新课标1】10. 已知抛物线C ：y 2=8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若
=4
，则|QF|=（ B ）
A. 7
2 B.
3 C. 5
2 D. 2 【解析】设Q 到l 的距离为d ，则|QF|=d ， ∵
=4
， ∴|PQ|=3d ，
∴直线PF 的斜率为﹣2， ∵F （2，0），∴直线PF 的方程为y=﹣2（x ﹣2），
与y 2=8x 联立可得x=1，∴|QF|=d=1+2=3，故选：B ．
【2014新课标2】10. 设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ D ）
A.
33 B.
938 C. 6332 D. 94
【2014新课标2】16. 设点M （0x ,1），若在圆O:221x y +=上存在点N ，使得∠OMN=45°，则
0x 的取值范围是___[-1,1]_____.
【2015新课标1】5. 已知M （x 0，y 0）是双曲线C ：2
212
x y -=上的一点，F 1、F 2是C 上的两个
焦点，若?＜0，则y 0的取值范围是（ A ）
（A ）（-
3，3） （B ）（-3，3） （C ）（223-，22
3
） （D ）（23-，23） 【解析】
【2015新课标1】14. 一个圆经过椭圆
22
1164
x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴上，则该圆的标准方程为 22325
()24
x y ±+= 。
【解析】设圆心为（a ，0），则半径为4||a -，则222(4||)||2a a -=+，解得3
2
a =±，故圆的
方程为22325
()24
x y ±+=。
【2015新课标2】7. 过三点A （1,3），B （4,2），C （1,-7）的圆交于y 轴于M 、N 两点，则=
（ C ） （A ）2
（B ）8 （C ）4
（D ）10
【2015新课标2】11. 已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，?ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ） （A ）√5 （B ）2 （C ）√3 （D ）√2
【2016新课标1】5. 已知方程22
2213x y m n m n
-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为
4，则n 的取值范围是（ A ）
（A ）(–1,3) （B ）(–1,3) （C ）(0,3) （D ）(0,3)
【解析】由题意知：2
2
34m n m n ++-=，解得2
1m =，10
30n n +>?∴?->?
，解得13n -<<，故A
选项正确.
【2016新课标1】10. 以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的标准线于D 、E 两点.已知|AB |=42|DE|=25C 的焦点到准线的距离为（ B ）
(A)2 (B)4 (C)6 (D)8 【解析】令抛物线方程为22y px =，D 点坐标为（2
p
-5），则圆的半径为2
54
p r =
+ 2
2
834
p r -=-，即A 234
p -22），所以22
(22)234p p =-4p =，
故B 选项正确.
【2016新课标2】4. 圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-= 的距离为1，则a=（ A ）
（A ）43- （B ）3
4
- （C 3（D ）2
【解析】圆化为标准方程为：，
故圆心为，，解得，故选A
【2016新课标2】11. 已知1F ，2F 是双曲线E ：22
221x y a b -=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与
x 轴垂直，sin 211
3
MF F ∠=
,则E 的离心率为（ A ） （A 2（B ）
3
2
（C 3（
D ）2 22
28130x y x y +--+=()()22144x y -+-=()14，24111
a d a +-=
=+43
a =-
【解析】离心率，由正弦定理得．故选A ． 【2016新课标3】11. 已知O 为坐标原点，F 是椭圆C : x 2 a 2＋ y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)左焦点，A 、B 分别为C 的左、右顶点，P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于E ，若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ A ） (A )13
(B )12
(C )23
(D )34
【2016新课标3】16. 已知直线l :mx ＋y ＝3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A 、B 两点，过A 、B 分别作l 的垂线与x 轴并于C 、D 两点，若|AB |＝23，则|CD |＝___4____
【2017新课标1】10. 已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ A ） A ．16
B ．14
C ．12
D ．10
【2017新课标1】15. 已知双曲线C ：22
221x y a b
-=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b
为半径做圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点。若∠MAN =60°，则C 的离心率为
___
3
_____。 【2017新课标2】9. 若双曲线C:22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆
()
2
224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ A ）
A ．2 B
D
．3
【解析】双曲线C ：
﹣
=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线不妨为：bx+ay=0，
圆（x ﹣2）2+y 2=4的圆心（2，0），半径为：2，双曲线C ：
﹣
=1（a ＞0，b ＞0）的一条
渐近线被圆（x ﹣2）2+y 2=4所截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为：
=
，解得：
，可得e 2=4，即e=2．故选：A ．
【2017新课标2】16. 已知F 是抛物线C:28y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为F N 的中点，则F N = 6 ．
【解析】抛物线C ：y 2=8x 的焦点F （2，0），M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，可知M 的横坐标为：1，则M 的纵坐标为：，
|FN|=2|FM|=2
=6．
1221F F e MF MF =
-122112sin 31
sin sin 13
F F M e MF MF F F ====---
【2017新课标3】5. 已知双曲线22221x y C a b -=：（0a >，0b >）的一条渐近线方程为y =，
且与椭圆22
1123x y +
=有公共焦点．则C 的方程为（ B ） A ．22
1810
x y -=
B ．22
145
x y -=
C ．22
154
x y -=
D ．22
143
x y -=
【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为y x =
，则b a =
① 又∵椭圆22
1123x y +
=与双曲线有公共焦点，易知3c =，则2229a b c +==②
由①②解得2,a b ==C 的方程为22
145
x y -
=，故选B. 【2017新课标3】10．已知椭圆22
22:1x y C a b
+=（0a b >>）的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以
线段1A 2A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ A ）
A ．
B C ．
３
D ．13
【解析】∵以12A A 为直径为圆与直线20bx ay ab -+=相切，∴圆心到直线距离d 等于半径，
∴d a =
= , 又∵0,0a b >>，则上式可化简为223a b =
∵2
2
2
b a
c =-，可得()
2
2
2
3a a c =-，即2223c a = ∴c e a == A
【2018新课标1】8．设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过点()20-，且斜率为2
3
的直线与C 交
于M ，N 两点，则（ ） A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
【答案】D
【2018新课标1】11．已知双曲线2
213
x C y -=：，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直
线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若OMN △为直角三角形，则MN =（ ）
A ．32
B ．3
C ．
D ．4
【答案】B
【2018新课标2】5．双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>> ）
A ．y =
B ．y =
C ．y =
D ．y = 【答案】A
【2018新课标2】12．已知1F ，2F 是椭圆22
221(0)x y C a b a b
+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶
点，点P 在过A 的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=?，则C 的离心率
为（ ） A. 23
B ．
12
C ．13
D ．14
【答案】D
【2018新课标3】6．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2
222x y -+=上，则ABP ?面积的取值范围是（ ） A ．[]26， B ．[]48，
C
． D
．?? 【答案】A
【2018新课标3】11．设12F F ，是双曲线22
221x y C a b
-=：（00a b >>，）的左，右焦点，O 是坐
标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P
．若1PF =，则C 的离心率为（ ） A
B ．2
C
D
【答案】C
【2018新课标3】16．已知点()11M -，
和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB =?∠，则k =________．
【答案】2
二、解答题
【2011新课标】20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,-1)，B 点在直线y = -3上，M 点满足MB//OA ， MA?AB = MB?BA ，M 点的轨迹为曲线C 。 （1）求C 的方程；
（2）P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处得切线，求O 点到l 距离的最小值。 【解析】(1)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1). 所以=（-x,-1-y ）,
=(0,-3-y),
=(x,-2).
由题意得知（
+
）?
=0,即（-x,-4-2y ）?(x,-2)=0. 所以曲线C 的方程式为y=
14
x 2
-2. (2)设P(x 0,y 0)为曲线C ：y=14x 2-2上一点，因为y '=12x,所以l 的斜率为12x 0 因此直线l 的方程为0001()2
y y x x x -=-，即2
00220x x y y x -+-=。
则O 点到l
的距离2
d =
.又2
00124
y x =
-，
所以，2
014
12,2x d +==≥
当2
0x =0时取等号，所以O 点到l 距离的最小值为2.
【2012新课标】20. 设抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，A C ∈，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点；
（1）若090=∠BFD ，ABD ?的面积为24；求p 的值及圆F 的方程；
（2）若,,A B F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到,m n 距离的比值。
【解析】（1）由对称性知：BFD ?是等腰直角?，斜边2BD p = 点A 到准线l
的距离d FA FB ===
，1
22
ABD S BD d p ?=???=?= ∴ 圆F 的方程为22(1)8x y +-=
（2）由对称性设2
000(,)(0)2x A x x p >，则(0,)2
p F 点,A B 关于点F 对称得：222
20000(,)3222
x x p B x p p x p p p --?-=-?=
得：3,)2p
A
，直线3:022p p p m y x x -
=+?-+
=
22
2233
x x x py y y x p p p '=?=?==?=?
切点)6p P
直线:()06336
p n y x x p -
=-?-= 坐标原点到,m n
3=。
【2013新课标1】20. 已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2=1，圆N ：(x －1)2＋y 2=9，动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线 C 。 （1）求C 的方程；
（2）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|.
【解析】由已知得圆M 的圆心为M （-1，0）,半径1r =1，圆N 的圆心为N (1,0),半径2r =3. 设动圆P 的圆心为P （x ，y ），半径为R.
（1）∵圆P 与圆M 外切且与圆N 内切，∴|PM|+|PN|=12()()R r r R ++-=12r r +=4，
由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左右焦点，场半轴长为2
的椭圆(左顶
点除外)，其方程为22
1(2)43
x y x +=≠-. （2）对于曲线C 上任意一点P （x ，y ），由于|PM|-|PN|=22R -≤2，∴R≤2，当且仅当圆P 的
圆心为（2，0）时，R=2.
∴当圆P 的半径最长时，其方程为22(2)4x y -+=， 当l 的倾斜角为090时，则l 与y 轴重合，可得
|AB|=当l 的倾斜角不为090时，由1r ≠R 知l 不平行x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则||||QP QM =1
R
r ，可求得Q （-4，0），∴设l ：(4)y k x =+，由l 于圆M
1=
，解得4
k =±
. 当k
=4
时，将4y x =+代入221(2)43x y x +=≠-并整理得27880x x +-=，解得1,2x
，∴
12|x x -=187
. 当k =
－4时，由图形的对称性可知|AB|=187。 综上，|AB|=18
7
或
|AB|=
【2013新课标2】20. 平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：22
22=1x y a b
+(a ＞b ＞0)
右焦点的直线
0x y +=交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为1
2
.
(1)求M 的方程；
(2)C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值． 【解析】
(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则221122=1x y a b +，222222=1x y a b +，2
1
21=1y y x x ---， 由此可得2212122121
=1b x x y y
a y y x x (+)-=-(+)-. 因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，0012y x =，
所以a 2＝2b 2. 又由题意知，M 的右焦点为
，0)，故a 2－b 2＝3.
因此a 2＝6，b 2＝3. 所以M 的方程为22
=163
x y
+. (2)
由220,1,63x y x y ?+=??+=??
解得3x y ?=????=??
或0,x y =???=?
? 因此|AB |
＝3. 由题意可设直线CD 的方程为 y
＝3x n n ?+-<< ?，
设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．
由2
2,16
3y x n x y
=+???+
=??得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0. 于是x 3,4
. 因为直线CD 的斜率为1， 所以|CD |
43|x x -=.
由已知，四边形ACBD
的面积1||||2S CD AB =
?= 当n ＝0时，S
. 所以四边形ACBD
.
【2014新课标1】20. 已知点A （0，﹣2），椭圆E ：+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，F
是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为，O 为坐标原点．
（1）求E 的方程；
（2）设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程． 【解析】
（1）设F （c ，0），∵直线AF 的斜率为， ∴
，解得c=
． 又
，b 2=a 2﹣c 2，解得a=2，b=1．∴椭圆E 的方程为
；
（2）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）．由题意可设直线l 的方程为：y=kx ﹣2． 联立
，化为（1+4k 2）x 2﹣16kx+12=0， 当△=16（4k 2﹣3）＞0时，即时，
，
．
∴|PQ|=
=
=， 点O 到直线l 的距离d=．∴S △OPQ =
=，
设＞0，则4k 2=t 2+3， ∴
=
=1，当且仅当t=2，即
，解得时取等号．
满足△＞0，∴△OPQ 的面积最大时直线l 的方程为：．
【2014新课标2】20. 设1F ,2F 分别是椭圆C:()222210y x a b a b
+=>>的左,右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N.
（1）若直线MN 的斜率为34
，求C 的离心率；
（2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a,b . 【解析】 （1）根据
c=√a 2?b 2以及题设知
M （c ，b 2
a ），2
b 2=3a
c ，将b 2=a 2-c 2代入
2b 2=3ac ，
解得c a =1
2，c
a =-2（舍去），故C
的离心率为1
2
（2）由题意，原点O 的F 1F 2的中点，M F 2∥y 轴，所以直线M F 1与y 轴的交点D 是线段M F 1的中点，故b 2
a =4，即
b 2=4a ① 由|MN |=5|F 1N |得|DF 1|=|F 1N | 设N （x ，y ），由题意可知y<0,则{2(?
c ?x )=c
?2y =2
即{x =?3c
2y =?1 代入方程C ，得9c 24a 2+1
b 2=1 ② 将①以及c=√a 2?b 2代入②得到9(a 2?4a)4a 2
+1
4a =1，解得a=7， b 2=4a =28，
故a=7，b 2=2√7
【2015新课标1】20. 在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y =2
4
x 与直线y kx a =+(a ＞0)交与M ,N
两点，
（1）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；
（2）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由。 【解析】
（1）由题设可得)M a ，()N a -，或()M a -，)N a .
∵1
2y x '=，故24x y =在x =C 在,)a 处的切线方程为
y a x -=-0y a --=.
故2
4
x y =在x =-处的到数值为
C 在(,)a -处的切线方程为y a x -=+0y a ++=.
0y a --=0y a ++=. （2）存在符合题意的点，证明如下：
设P （0，b ）为复合题意得点，11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线PM ，PN 的斜率分别为12,k k . 将y kx a =+代入C 得方程整理得2440x kx a --=.
∴12124,4x x k x x a +==-. ∴121212y b y b k k x x --+=
+=1212122()()kx x a b x x x x +-+=()
k a b a
+. 当b a =-时，有12k k +=0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故∠OPM=∠OPN ，所以(0,)P a -符合题意.
【2015新课标2】20. 已知椭圆C ：2229(0)x y m m +=>，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M 。 （1）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；
（2）若l 过点(,)3
m
m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，
求此时l 的斜率；若不能，说明理由。 【解析】
（1）设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ． 将y kx b =+代入2229x y m +=得2222(9)20k x kbx b m +++-=，
故122
29M x x kb x k +=
=-+，299
M M b
y kx b k =+=+． 于是直线OM 的斜率9
M OM M y k x k
==-，即9OM k k ?=-．
所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值． （2）四边形OAPB 能为平行四边形． 因为直线l 过点(
,)3
m
m ，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，3k ≠． 由(1)得OM 的方程为9y x k =-．设点P 的横坐标为P x ．由2229,9,
y x k
x y m ?=-?
??+=?
得222
2981P
k m x k =+
，即P x =．
将点(
,)3m m 的坐标代入直线l 的方程得(3)
3
m k b -=，因此2
(3)3(9)M mk k x k -=+． 四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分， 即2P M x x =．
=2(3)
23(9)
mk k k -?
+．
解得14k =
24k =．
因为0,3i i k k >≠，1i =，2，所以当l
的斜率为4
或4OAPB 为平行四边形．
【2016新课标1】20. 设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .
（1）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程； （2）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围. 【解析】
（1）圆心为(1,0)A -，圆的半径为4AD =，
AD AC =，
ADC ACD ∴∠=∠，又 △BE //AC ，ACD EBD ADC ∴∠=∠=∠，
△BE =ED ，4EA EB AD +==.
所以点E 的轨迹是以点(1,0)A -和点(1,0)B 为焦点，以4为长轴长的椭圆，
即2,1a c ==3b ∴=E 的轨迹方程为：22
143
x y +=. （2）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =，3MN =，8PQ =，此时四边形MPNQ 面积为12；
当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，与椭圆22
143x y +=联立得： 2222(34)84120k x k x k +-+-=，设1122(,),(,)M x y N x y ，则
2122834k x x k +=+，2122
412
34k x x k -?=+，
22212121211()4MN k x k x x x x =+-=++-222
222
84121()43434k k k k k
-=+-++2212(1)
34k k +=+ 直线PQ 方程为1
(1)y x k
=--，即10x ky +-=
所以圆心(1,0)A -到直线PQ 的距离为2
1d k
=+22
2
342161k PQ d k
+∴=-=+
222222221112(1)341442412223434341MPNQ
k k k k S MN PQ k k k k
++++=?===++++四边形2
1
121(12,83)34k =+
+
综上可知四边形MPNQ 面积的取值范围为[12,83)
【2016新课标2】20. 已知椭圆E :22
13
x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA. （1）当4t =，AM AN =时，求△AMN 的面积； （2）当2AM AN =时，求k 的取值范围. 【解析】
（1）当时，椭圆E 的方程为，A 点坐标为， 则直线AM 的方程为．
联立并整理得， 解得或，则
因为，所以 因为，
，整理得， 无实根，所以．所以
的面积为． （2）直线AM
的方程为，
联立并整理得，解得或，
所以 ，所以
因为 所以
，整理得，． 因为椭圆E 的焦点在x 轴，所以，即，整理得，
．
【2016新课标3】20. 已知抛物线C :y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A 、B 两点，交C 的准线于P 、Q 两点，
(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；
4t =22
143
x y +
=()20-，()2y k x =+()22
1432x y y k x ?+=???=+?
()
2222
341616120k x k x k +++-=2x =-22
8634k x k -=-+222861223434k AM k k -=+=++AM AN ⊥2
1212413341AN k k
k =??
+
+?- ?
??
AM AN =0k >2
12124343k k k
=++
()()
21440k k k --+=2440k k -+=1k =AMN △2
2
1
1121442
23449
AM
?==?+?(y k x =(22
13x y t y k x ?+=???=?
()222223230tk x x t k t +++-=x =x =AM ==3AN k k
=+
2AM AN =23k k
=+23632
k k t k -=-3t >236332k k k ->-()()23120
2
k k k +-<-2k <<
(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程。 【解析】由题设F (1
2，0)，设l 1:y ＝a ，l 2:y ＝b ，则ab ≠0，且 A (a 22，a )，B (b 22，b )，P (－12，a )，Q (－12，b )，R (－12，a ＋b 2) 记过A 、B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0
(1)由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0，记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则 k 1＝
a －
b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝ab
b
＝－b ＝k 2 ∴AR ∥FQ (1)设l 与x 轴的交点为D (x 1，0)，则S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a ||x 1－1
2|， S △PQF ＝
|a －b |
2，∴x ＝0(舍去)，x 1＝1
设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )
当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝y
x －1(x ≠1)而a ＋b 2＝y ，
∴y 2＝x －1(x ≠1)
当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，∴所求轨迹方程为y 2＝x －1
【2017新课标1】20. 已知椭圆C ：22
22=1x y a b +（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1
，
2），P 4（1
，2
）中恰有三点在椭圆C 上。 （1）求C 的方程；
（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点。 【解析】
（1）由于3P ，4P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过3P ，4P 两点.又由
2222
1113
4a b a b +>+
知， C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上，因此2
221
1131
4b a
b ?=????+=??，解得2241a b ?=??=??，故C 的方程为2214x y +=.
（2）设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，
如果l 与x 轴垂直，设l ：x =t ，由题设知0t ≠，且||2t <，可得A ，B 的坐标分别为（t
，
（t
，）.
，则121k k +=
=-，得2t =，不符合题设. 从而可设l ：y kx m =+（1m ≠）.将y kx m =+代入2
214
x y +=得，222(41)8440k x kmx m +++-=
由题设可知2
2
=16(41)0k m ?-+>.，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2841
km
k -+，x 1x 2=224441m k -+.
而121212
11y y k k x x --+=
+
121211kx m kx m x x +-+-=+1212122(1)()
kx x m x x x x +-+=. 由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=.
即222448(21)(1)04141m km k m k k --+?+-?=++，解得1
2
m k +=-
. 当且仅当1m >-时，0?>，欲使l ：12m y x m +=-+，即1
1(2)2
m y x ++=--， 所以l 过定点（2，1-）
【2017新课标2】20. 设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2
212
x y +=上，过M 做x 轴的垂线，
垂足为N ，点P
满足
（1）求点P 的轨迹方程； （2）设点Q 在直线x =-3上，且。证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦
点F 。 【解析】
（1）设M （x 0，y 0），由题意可得N （x 0，0），设P （x ，y ），由点P 满足=．
可得（x ﹣x 0，y ）=（0，y 0），可得x ﹣x 0=0，y=
y 0，即有x 0=x ，y 0=
，
代入椭圆方程
+y 2=1，可得+
=1，即有点P 的轨迹方程为圆x 2+y 2=2。 （2）证明：设Q （﹣3，m ），P （cosα，
sinα），（0≤α＜2π）， ?
=1，可得（
cosα，
sinα）?（﹣3﹣cosα，m ﹣
sinα）=1，
即为﹣3cosα﹣2cos 2α+
msinα﹣2sin 2α=1，
解得m=，即有Q （﹣3，）， 椭圆
+y 2=1的左焦点F （﹣1，0），由k OQ =﹣
，k PF =
，
由k OQ ?k PF =﹣1，可得过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F 。
【2017新课标3】20. 已知抛物线2:2C y x ，过点（2，0）的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是
以线段AB 为直径的圆。
（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；
（2）设圆M 过点P （4，2），求直线l 与圆M 的方程。
【解析】
（1）显然，当直线斜率为0时，直线与抛物线交于一点，不符合题意． 设:2l x my =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，
联立：222
y x
x my ?=?=+?得2240y my --=，2416m ?=+恒大于0，122y y m +=，124y y =-．
12(2)(2)my my =++21212(1)2()4m y y m y y =++++24(1)2(2)4m m m =-+++0=
∴，即O 在圆M 上．
（2）若圆M 过点P ，则
，1212(4)(4)(2)(2)0x x y y --+++=
1212(2)(2)(2)(2)0my my y y --+++=，21212(1)(22)()80m y y m y y +--++=
化简得2210m m --=解得1
2
m =-或1
①当
1
2m =-
时，:240l x y +-=圆心为00(,)Q x y ，120122y y y +==-，00
19224
x y =-+=，
半径||r OQ ==，则圆229185:()()4216M x y -++=
②当1m =时，:20l x y --=圆心为00(,)Q x y ，12
012
y y y +=
=，0023x y =+=，
半径||r OQ ==22:(3)(1)10M x y -+-=
【2018新课标1】19. 设椭圆2
212
x C y +=：的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，
点M 的坐标为()20，．
（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB =∠∠． 【解析】
（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为x =1．
由已知可得，点A 的坐标为或(1,．
所以AM 的方程为2y x =-
2
y x =． （2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=?．
当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠．
当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1221(,),(,)A y x y x B ，
则12x x < MA MB x x y y k k += +--． 由1122,y k k x y k x k =-=-得 121212(23()42)(2) MA MB x x x x k k x x k k k -+++= --． 将(1)y k x =-代入2 212x y +=得 2222(21)4220k x k x k +-+-=． 所以，212 21222422 ,2121 x x x k k k x k -+==++． 则31313222 44128423()4021 k k k k k k k k k x x x x --++-++==+． 从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠。 综上，OMA OMB ∠=∠。 【2018新课标2】19. 设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程； （2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程． 【解析】 （1）由题意得(1,0)F ，l 的方程为(1)(0)y k x k =->. 设1221(,),(,)A y x y x B ， 由2 (1), 4y k x y x =-?? =?得2222(24)0k x k x k -++=. 2 16160k ?=+>，故1222 24 k x k x ++=. 所以1222 44 ||||||(1)(1)x k AB AF BF k x +=+=+++=. 由题设知22 44 8k k +=，解得1k =-（舍去），1k =. 因此l 的方程为1y x =-. （2）由（1）得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即 5y x =-+. 设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则 0022 0005, (1)(1)16.2 y x y x x =-+???-++= +??解得003,2x y =??=?或0011,6.x y =??=-? 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=. 【2018新课标3】20. 已知斜率为k 的直线l 与椭圆22 143 x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的 中点为()()10M m m >，． （1）证明：1 2 k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且．证明：成等差数列， 并求该数列的公差． 【解析】 （1）设，则． 两式相减，并由得 ． 由题设知 ，于是．① 由题设得，故． （2）由题意得，设，则． 由（1）及题设得． 又点P 在C 上，所以，从而，． 同理．所以． 故 ，即 成等差数列． 设该数列的公差为d ，则 ．② 将代入①得． 所以l 的方程为，代入C 的方程，并整理得． 故，代入②解得． 所以该数列的公差为或． 1221(,),(,)A y x y x B 2222 12121,14343y x y x +=+=12 2 1 y x y k x -=-1122043y x y k x +++?=12121,22x y x y m ++==34k m =-302m <<1 2 k <-(1,0)F 33(,)P x y 331122(1,)(1,)(1,)(0,0)y x x y x y -+-+-=3321213()1,()20y y x x y x m =-+==-+=-<34m =3(1,)2 P -3 4 m = 1k =-74y x =-+2 171404 x x -+=121212,28x x x x += = ||28 d = 2828 - 高考圆锥曲线的常见题型 典型例题 题型一：定义的应用 例1、动圆M 与圆C 1:(x+1)2+y 2=36内切,与圆C 2:(x-1)2+y 2 =4外切,求圆心M 的轨迹方程。 例2、方程 表示的曲线是 题型二：圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： 1、椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 2、双曲线：由, 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐 标轴上； 3、抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 典型例题 例1、已知方程 1212 2=-+-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的 取值范围是 例2、k 为何值时,方程 1592 2=---k y k x 的曲线：(1)是椭圆;(2)是双曲线. 题型三：圆锥曲线焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题 1、椭圆焦点三角形面积2 tan 2α b S = ；双曲线焦点三角形面积 2 cot 2α b S = 2、常利用第一定义和正弦、余弦定理求解 3、22,,,n m mn n m n m +-+四者的关系在圆锥曲线中的应用； 典型例题 例1、 椭圆x a y b a b 222210+=>>()上一点P 与两个焦点F F 12，的张角∠F P F 12= α， 求证：△F 1PF 2的面积为b 22 tan α 。 例2、已知双曲线的离心率为2，F 1、F 2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且， ．求该双曲线的标准方程 题型四：圆锥曲线中离心率，渐近线的求法 1、a,b,c 三者知道任意两个或三个的相等关系式，可求离心率，渐进线的值； 2、a,b,c 三者知道任意两个或三个的不等关系式，可求离心率，渐进线的范围； 导数 1.【2017课标II ，理11】若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ） A.1- B.32e -- C.35e - D.1 【答案】A 【解析】()()2121e x f x x a x a -'??=+++-??? ， 则()()324221e 01f a a a -'-=-++-?=?=-????， 则()()211e x f x x x -=--?，()()212e x f x x x -'=+-?， 令()0f x '=，得2x =-或1x =， 当2x <-或1x >时，()0f x '>， 当21x -<<时，()0f x '<， 则()f x 极小值为()11f =-． 【考点】 函数的极值；函数的单调性 【名师点睛】(1)可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同。 (2)若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值。 2.【2017课标3，理11】已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a = A ．12- B ．13 C ．12 D ．1 【答案】C 【解析】由条件，211()2(e e )x x f x x x a --+=-++，得： 221(2)1211211(2)(2)2(2)(e e ) 4442(e e )2(e e ) x x x x x x f x x x a x x x a x x a ----+----+-=---++=-+-+++=-++ ∴(2)()f x f x -=，即1x =为()f x 的对称轴， 由题意，()f x 有唯一零点， ∴()f x 的零点只能为1x =， 即21111(1)121(e e )0f a --+=-?++=， 解得12 a =． 【考点】 函数的零点；导函数研究函数的单调性，分类讨论的数学思想 【名师点睛】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的 圆锥曲线与方程 题型一 定义运用 1.．（2017·湖南高考模拟（理））已知抛物线2 2x y = 上一点P 到焦点F 的距离为1，,M N 是直线2y =上 的两点，且2MN =，MNP ?的周长是6，则sin MPN ∠=（ ） A ． 4 5 B ． 25 C ． 23 D ． 13 【答案】A 【解析】由题意，22p = ，则 122p = ，故抛物线22x y = 的焦点坐标是10,2?? ??? ，由抛物线的定义得，点P 到准线1 2y =- 的距离等于PF ，即为1 ，故点P 到直线2y =的距离为132122d ??=---= ??? . 设 点P 在直线MN 上的射影为P' ，则3 '2 PP = . 当点,M N 在P'的同一侧（不与点P'重合）时，35 2=622 PM PN MN ++> ++ ，不符合题意；当点,M N 在P'的异侧（不与点P'重合）时，不妨设()'02P M x x =<<，则'2P N x =- ，故由 2=6PM PN MN ++= ，解得0x = 或2 ，不符合题意，舍去， 综上,M N 在两点中一定有一点与点P'重合，所以 24552 sin MPN <= = ，故选A. 2．（2017·河南高考模拟（文））已知直线()()20y k x k =+>与抛物线2 :8C y x =相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若2FA FB =，则点A 到抛物线的准线的距离为（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 【答案】A 【解析】由题意得，设抛物线2 8y x =的准线方程为:2l x =-，直线()2y k x =+恒过定点()2,0-， 如图过,A B 分别作AM l ⊥于M ，BN l ⊥于N ，连接OB ， 由2FA FB =，则2AM BN =，点B 为AP 的中点， 因为点O 是PF 的中点，则1 2 OB AF = ， 高考二轮复习专项：圆锥曲线 1. 如图，直线l1与l2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l1 上(B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|. 2. (Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程． (Ⅱ)过点D 且不与l1、l2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足： ○1(R);AG AD λλ=∈u u u r u u u r ○22;GE GF GH +=u u u r u u u r u u u r ○30.GH EF ?=u u u r u u u r 求点G 的横坐标的取值范围． 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率 23=e ，已知点)3,0(P 到这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是, 425=x 其左、右顶点分别 是A 、B ；双曲线1 :22 222=-b y a x C 的一条渐近线方程为3x －5y=0. （Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率； （Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P ，连结AP 交椭圆C1于点M ，连结PB 并延长交椭圆C1于点N ，若=. 求证：.0=? B A D M B N l2 l1 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F （c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A ，B 两点.设AB 中点为M ，直线AB 与OM 的夹角为αa. （1）用半焦距c 表示椭圆的方程及tg α; （2）若2 圆锥曲线大题归类 一．定点问题 例1.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a >1)的上顶点为A ，右焦点为F ，直线AF 与圆M ： (x －3)2＋(y －1)2＝3相切． (1)求椭圆C 的方程； (2)若不过点A 的动直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，且AP →·AQ → ＝0，求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标． [解析](1)圆M 的圆心为(3,1)，半径r ＝ 3. 由题意知A (0,1)，F (c,0)， 直线AF 的方程为x c ＋y ＝1，即x ＋cy －c ＝0， 由直线AF 与圆M 相切，得|3＋c －c |c 2＋1 ＝3， 解得c 2＝2，a 2＝c 2＋1＝3， 故椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1. (2)方法一：由·＝0知AP ⊥AQ ，从而直线AP 与坐标轴不垂直， 故可设直线AP 的方程为y ＝kx ＋1，直线AQ 的方程为y ＝－1k x ＋1. 联立??? y ＝kx ＋1， x 23＋y 2＝1，整理得(1＋3k 2)x 2＋6kx ＝0， 解得x ＝0或x ＝－6k 1＋3k 2 ， 故点P 的坐标为(－6k 1＋3k 2，1－3k 2 1＋3k 2 )， 同理，点Q 的坐标为(6k k 2＋3，k 2－3k 2＋3 ) ∴直线l 的斜率为k 2－3k 2＋3－1－3k 2 1＋3k 26k k 2＋3－－6k 1＋3k 2 ＝k 2－14k ， ∴直线l 的方程为y ＝k 2－14k (x －6k k 2＋3)＋k 2－3k 2＋3 ， 即y ＝k 2－14k x －12. ∴直线l 过定点(0，－12)． 方法二：由·＝0知AP ⊥AQ ，从而直线PQ 与x 轴不垂直，故可设直线l 的方程为y ＝kx ＋t (t ≠1)， 联立????? y ＝kx ＋t ，x 23＋y 2＝1， 整理得(1＋3k 2)x 2＋6ktx ＋3(t 2－1)＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)则????? x 1＋x 2＝－6kt 1＋3k 2， x 1x 2＝3(t 2－1)1＋3k 2， (*) 由Δ＝(6kt )2－4(1＋3k 2)×3(t 2－1)>0，得 3k 2>t 2－1.由·＝0， 精品文档 2018 年高考数学真题分类汇编 学大教育宝鸡清姜校区高数组2018 年7 月 1.（2018 全国卷 1 理科）设Z = 1- i + 2i 则 Z 1+ i 复数 = （ ） A.0 B. 1 C.1 D. 2 2（2018 全国卷 2 理科） 1 + 2i = ( ) 1 - 2i A. - 4 - 3 i B. - 4 + 3 i C. - 3 - 4 i D. - 3 + 4 i 5 5 5 5 5 5 5 5 3（2018 全国卷 3 理科） (1 + i )(2 - i ) = （ ） A. -3 - i B. -3 + i C. 3 - i D. 3 + i 4（2018 北京卷理科）在复平面内，复数 1 1 - i 的共轭复数对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5（2018 天津卷理科） i 是虚数单位，复数 6 + 7i = . 1+ 2i 6（2018 江苏卷）若复数 z 满足i ? z = 1 + 2i ，其中 i 是虚数单位，则 z 的实部为 ． 7（2018 上海卷）已知复数 z 满足（1+ i )z = 1- 7i （i 是虚数单位），则∣z ∣= ． 2 集合 1.（2018 全国卷1 理科）已知集合A ={x | x2 -x - 2 > 0 }则C R A =（） A. {x | -1 全国名校高考专题训练——圆锥曲线选择填空100题 一、选择题(本大题共60小题) 1.(江苏省启东中学高三综合测试二)在抛物线y2＝2px上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为( ) C. 2 D. 4 2.(江苏省启东中学高三综合测试三)已知椭圆E的短轴长为6，焦点F到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E的离心率等于( ) 3.(江苏省启东中学高三综合测试四)设F1，F2是椭圆4x2 49 ＋ y2 6 ＝1的两个焦 点，P是椭圆上的点，且|PF1|：|PF2|＝4：3，则△PF1F2的面积为( ) 4.(安徽省皖南八校高三第一次联考)已知倾斜角α≠0的直线l过椭圆x2 a2＋ y2 b2 ＝1(a＞b＞0)的右焦点F交椭圆于A，B两点，P为右准线上任意一点，则∠APB为( ) A.钝角 B.直角 C.锐角 D.都有可能 5.(江西省五校高三开学联考)从一块短轴长为2b的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是[3b2，4b2]，则这一椭圆离心率e的取值范围是( ) A.[ 5 3 ， 3 2 ] B.[ 3 3 ， 2 2 ] C.[ 5 3 ， 2 2 ] D. [ 3 3 ， 3 2 ] 6.(安徽省淮南市高三第一次模拟考试)已知点A ，F 分别是椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点和左焦点，点B 为椭圆短轴的一个端点，若BF →·BA →＝0=0，则椭圆的离心率e 为( ) 7.(安徽省巢湖市高三第二次教学质量检测)以椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的 右焦点为圆心的圆经过原点，且被椭圆的右准线分成弧长为2:1的两段弧，那么该椭圆的离心率等于( ) 8.(北京市朝阳区高三数学一模)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的 左，右焦点分别为F 1，F 2，抛物线C 2的顶点在原点，它的准线与双曲线C 1的左准线重合，若双曲线C 1与抛物线C 2的交点P 满足PF 2⊥F 1F 2，则双曲线 C 1的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.233 2 9.(北京市崇文区高三统一练习一)椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的中心，右焦 点，右顶点，右准线与x 轴的交点依次为O ，F ，A ，H ，则|FA | |OH |的最大值为 ( ) A.12 B.13 C.14 10.(北京市海淀区高三统一练习一)直线l 过抛物线y 2＝x 的焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，且点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角θ≥ π 4 ，则|FA | 2013年全国高考理科数学试题分类汇编2：函数 一、选择题 1 ．（2013年高考江西卷（理））函数 的定义域为 A.(0,1) B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1] 【答案】D 2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））若 a b c <<,则函数 ()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间( ) A.(),a b 和(),b c 内 B.(),a -∞和(),a b 内 C.(),b c 和(),c +∞内 D.(),a -∞和(),c +∞内 【答案】A 3 ．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）函数 1 2 ()f x x - =的大致图像是( ) 【答案】A 4 ．（2013年高考四川卷（理）） 设函数 ()f x =(a R ∈,e 为自然对数的底数).若曲线sin y x =上存在00(,)x y 使得00(())f f y y =,则a 的取值范围是( ) (A)[1,]e (B)1 [,-11]e -， (C)[1,1]e + (D)1 [-1,1]e e -+ 【答案】A 5 ．（2013年高考新课标1（理））已知函数()f x =22,0ln(1),0x x x x x ?-+≤?+>? ,若|()f x |≥ax ,则a 的取值范围是 A.(,0]-∞ B.(,1]-∞ C.[2,1]- D.[2,0]- 【答案】D 6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））函数 ()()21=log 10f x x x ?? +> ??? 的反函数()1=f x - 高考数学圆锥曲线重要结论 一、定义：第一定义:平面内到两定点F1（-c，0），F2（c，0）的距离和为定值（大于两定点间的距离|F1F2|）2a的点的轨迹叫椭圆，两定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫焦距，与坐标轴的交点叫顶点。 第二定义：平面内到一个定点F的距离与到定直线1的距离比为常数e（0 20XX 年高考理科数学试题分类汇编：三角函数（附答案） 一、选择题 1 ．（20XX 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））已知 2 10 cos 2sin ,= +∈αααR ,则=α2tan A. 34 B. 43 C.43- D.3 4- 2 ．（20XX 年高考陕西卷（理））设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为 (A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定 3 ．（20XX 年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））在△ABC 中 , ,3,4 AB BC ABC π ∠== =则sin BAC ∠ = 4 ．（20XX 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））将函数 sin(2)y x ?=+的图象沿x 轴向左平移 8 π 个单位后,得到一个偶函数的图象,则?的一个可 能取值为 (A) 34π (B) 4π (C)0 (D) 4π - 5 ．（20XX 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））在ABC ?,内角 ,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1 sin cos sin cos ,2 a B C c B A b +=且a b >,则B ∠= A.6π B.3π C.23π D.56 π 6 ．（20XX 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知函数()=cos sin 2f x x x ,下列结论中错误的是 (A)()y f x =的图像关于(),0π中心对称 (B)()y f x =的图像关于直线2 x π =对称 (C)()f x ()f x 既奇函数,又是周期函数 7 ．（20XX 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））函数 cos sin y x x x =+的图象大致为 椭圆经典例题分类汇总 1. 椭圆第一定义的应用 例1 椭圆的一个顶点为()02， A ,其长轴长是短轴长的２倍,求椭圆的标准方程. 例2 已知椭圆19822=++y k x 的离心率2 1=e ，求k 的值． 例3 已知方程1352 2-=-+-k y k x 表示椭圆,求k 的取值范围. 例4 已知1cos sin 2 2=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范 围． 例5 已知动圆P 过定点()03，-A ，且在定圆()64322 =+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程． 2.焦半径及焦三角的应用 例1 已知椭圆13422=+y x ,1F 、2F 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项？若存在,则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 例2 已知椭圆方程()0122 22>>=+b a b y a x ,长轴端点为1A ，2A ，焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点,θ=∠21PA A ,α=∠21PF F ．求:21PF F ?的面积(用a 、b 、α表示)． ３.第二定义应用 例1 椭圆112162 2=+y x 的右焦点为F ,过点() 31，A ,点M 在椭圆上，当MF AM 2+为最小值时,求点M 的坐标． 例2 已知椭圆1422=+b b 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ，求P 到左准线的距离． 例３ 已知椭圆15 92 2=+y x 内有一点)1,1(A ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点． (１) 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标; (２) 求22 3PF PA + 的最小值及对应的点P 的坐标. 4.参数方程应用 例1 求椭圆13 22 =+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值． 2019年全国各地高考文科数学试题分类汇编2：函数 一、选择题 1 ．（2019年高考重庆卷（文））函数21 log (2) y x = -的定义域为 （ ） A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(2,3) (3,)+∞ D ．(2,4)(4,)+∞ 【答案】C 2 ．（2019年高考重庆卷（文））已知函数3 ()sin 4(,)f x ax b x a b R =++∈,2(lg(log 10))5f =,则 (lg(lg 2))f = （ ） A ．5- B ．1- C ．3 D ．4 【答案】C 3 ．（2019年高考大纲卷（文））函数()()()-1 21log 10=f x x f x x ? ?=+ > ??? 的反函数 （ ） A ． ()1021x x >- B ．()1 021 x x ≠- C ．()21x x R -∈ D ．()210x x -> 【答案】A 4 ．（2019年高考辽宁卷（文））已知函数()) ()21ln 1931,.lg 2lg 2f x x x f f ?? =+++= ??? 则 （ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 【答案】D 5 ．（2019年高考天津卷（文））设函数22,()ln )3(x x g x x x x f e +-=+-=. 若实数a , b 满足()0,()0f a g b ==, 则 （ ） A ．()0()g a f b << B ．()0()f b g a << C ．0()()g a f b << D ．()()0f b g a << 【答案】A 6 ．（2019年高考陕西卷（文））设全集为R , 函数()1f x x =-M , 则C M R 为 （ ） A ．(-∞,1) B ．(1, + ∞) C ．(,1]-∞ D ．[1,)+∞ 【答案】B 7 ．（2019年上海高考数学试题（文科））函数 ()()211f x x x =-≥的反函数为()1f x -,则()12f -的值是 高考数学圆锥曲线性质总结 椭圆与双曲线的对偶性质 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为 122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线 于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ， 则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则2 2OM AB b k k a ?=-， 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的角. 高考数学试题分类详解——圆锥曲线 一、选择题 1.设双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( C ) （A （B ）2 （C （D 2.已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3F A F B =,则||AF = (A). (B). 2 (D). 3 3.过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线 的交点分别为,B C ．若1 2 AB BC =，则双曲线的离心率是 ( ) A B C D 4.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴， 直 线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是（ ） A B ．2 C ．13 D ．12 5.点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2 y x =于,A B 两点，且 |||PA AB =，则称点P 为“ 点”，那么下列结论中正确的是 （ ） A ．直线l 上的所有点都是“点” B ．直线l 上仅有有限个点是“点” C ．直线l 上的所有点都不是“ 点” D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“ 点” 6.设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2 +1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为 ( ). A. 4 5 B. 5 C. 25 D.5 7.设斜率为2的直线l 过抛物线2 (0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点) 2．函数及其性质（含解析） 一、选择题 【2017，5】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是（ ） A ．[2,2]- B ． [1,1]- C ． [0,4] D ． [1,3] 【2017，11】设,,x y z 为正数，且235x y z ==，则（ ） A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2x D ．3y <2x <5z 【2016，7】函数x e x y -=22在]2,2[-的图像大致为（ ） A ． B ． C ． D ． 【2016，8】若1>>b a ，10< 高考数学试题圆锥曲线 一． 选择题： 1.又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点， 且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到 抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （ 41 ，－1） B. （4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④ 11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32 a 的点到右焦点的距离大于它 到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 5.已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C A ．(0,1) B ．1 (0,]2 C ． D ． 6.已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ） 椭圆经典例题分类汇总 1.椭圆第一定义的应用 例1 椭圆的一个顶点为()02，A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11 42 2=+y x ； （2）当()02，A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为： 116 42 2=+y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况． 例2 已知椭圆 19 82 2=++y k x 的离心率21=e ，求k 的值． 分析：分两种情况进行讨论． 解：当椭圆的焦点在x 轴上时，82 +=k a ，92 =b ，得12 -=k c ．由2 1 =e ，得4=k ． 当椭圆的焦点在y 轴上时，92 =a ，82 +=k b ，得k c -=12 ． 由21= e ，得 4191=-k ，即4 5 -=k ． ∴满足条件的4=k 或4 5 -=k ． 说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8+k 与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上．故必须进行讨论． 例3 已知方程 1352 2-=-+-k y k x 表示椭圆，求k 的取值范围． 解：由?? ? ??-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53< 圆锥曲线 1．已知圆M ：x 2＋(y －2)2＝1，直线l ：y ＝－1，动圆P 与圆M 相外切，且与直线l 相切．设动圆圆心P 的轨迹为E . (1)求E 的方程； (2)若点A ，B 是E 上的两个动点，O 为坐标原点，且O A →·O B → ＝－16，求证：直线AB 恒过定点． (1)解 设P (x ，y )，则x 2＋(y －2)2＝(y ＋1)＋1，∴x 2＝8y .∴E 的方程为x 2＝8y . (2)证明 设直线AB ：y ＝kx ＋b ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 将直线AB 的方程代入x 2＝8y 中得x 2－8kx －8b ＝0，所以x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－8b . O A →·O B → ＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋x 21x 2264＝－8b ＋b 2＝－16，∴b ＝4，所以直线AB 恒过定点(0,4)． 2．如图，已知点A (1，2)是离心率为22的椭圆C ：y 2a 2＋x 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，斜率为2的直线BD 交椭圆C 于B 、D 两点，且A 、B 、D 三点互不重合． (1)求椭圆C 的方程； (2)求证：直线AB 、AD 的斜率之和为定值． (1)解 由题意，可得e ＝c a ＝22，将(1，2)代入y 2a 2＋x 2b 2＝1，得2a 2＋1b 2＝1，又 a 2＝ b 2＋ c 2， 解得a ＝2，b ＝2，c ＝2， 所以椭圆C 的方程为y 24＋x 2 2＝1. (2)证明 设直线BD 的方程为y ＝2x ＋m ，又A 、B 、D 三点不重合，所以m ≠0. 4．三角函数、解三角形 一、选择题 【2017，9】已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x + 2π 3 )，则下面结正确的是（ ） A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π 6 个单位长度，得到曲线C 2 B ．把 C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π 12 个单位长度，得到曲线C 2 C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π 6 个单位长度，得到曲线C 2 D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12 个单位长度，得到曲线C 2 【2016，12】已知函数)2 ,0)(sin()(π ?ω?ω≤ >+=x x f ，4 π - =x 为)(x f 的零点，4 π = x 为 )(x f y =图像的对称轴，且)(x f 在)36 5,18(π π单调，则ω的最大值为（ ） A ．11 B ．9 C ．7 D ．5 【2015，8】函数()f x =cos()x ω?+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ） A ．13(,),44k k k ππ- +∈Z B ．13 (2,2),44k k k ππ-+∈Z C ．13(,),44k k k -+∈Z D ．13 (2,2),44 k k k -+∈Z 【2015，2】sin 20cos10cos160sin10-=o o o o （ ） A ．3- B ．3 C ．12- D ．12 【2014，6】如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则 y =()f x 在[0,π]上的图像大致为（ ） 椭圆与双曲线的性质 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径 的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点 弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF .。。、、1212 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF . 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-，即0202y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=，则被Po 所平分的中点弦的方程是 22 00002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 1. 椭圆第一定义的应用 例1椭圆的一个顶点为 A 2,0，其长轴长是短轴长的 2倍，求椭圆的标准方程. 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置. 解：（1 ）当A 2,0为长轴端点时，a 2 , b 1 , 椭圆的标准方程为: （2）当A 2,0为短轴端点时, 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖 的，因而要考虑两种情况. 2 2 例2已知椭圆— 匚 1的离心率e k 8 9 分析：分两种情况进行讨论. 由e 1，得」1，即 2 9 4 k 5 0, 得3 k 5，故k 的取值范围是3 k 5. 3 k 0, 椭圆经典例题分类汇总 2 2 例3 已知方程 x y 1表示椭圆，求k 的取值范围 k 5 3 k k 5 0, 解: 由3 k 0, 得3 k 5，且 k 4. k 5 3 k, ?满足条件的k 的取值范围是3 椭圆的标准方程为: 2 2 x y 4 16 ，求k 的值. 解：当椭圆的焦点在x 轴上时, a 2 b 2 9，得 c 2 k 1 .由 e 当椭圆的焦点在y 轴上时, b 2 得c 2 ???满足条件的k 4或k 4 说明：本题易出现漏解?排除错误的办法是： 可能在x 轴上，也可能在 y 轴上.故必须进行讨论. 因为 k 8与9的大小关系不定, 所以椭圆的焦点 k 5,且 k 4. 出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中 a b 0这个条件，当a b 时，并不表示椭圆. 2 2 例4 已知 x sin y cos 1 (0 ）表示焦点在y 轴上的椭圆，求 的取值范围. 说明：本题易出现如下错解：由圆锥曲线题型归类大全 17
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