第5章 近似方法：习题解答
第5章 近似方法
习题5.1 一维无限深势阱)0(a x ≤≤中的粒子受到微扰
???
????≤≤-≤≤=')
2( )1(2)2
0( 2)(a x a a x a x a x
x H λλ
作用，试求基态能级的一级修正。 解：基态波函数（零级近似）为
?????><≤≤=a)
x 0,(x 0a)x (0 x a π
sin a 2)
0(1ψ ∴能量一级修正为
?'=dx H E )0(1)*0(1)1(1ψψ ??-+=
a a a xdx a
a x a xdx a a x a 2/22/02sin )1(22sin 22πλπλ
])2cos 1()2cos 1()2cos 1([22/2/2/0
2???---+-=a a a a a dx x a x dx x a a dx x a x a π
ππλ
]
)2cos 42sin 221()2sin 2 ()2sin 42sin 221[(22/22
22/3/02222a
a a a a x a a x a x a x x a a x a x a a x a x a x a ππππππππππλ----
+--= )]281(2281[222
222222ππλa a a a a a --++= )4(222
22π
λa a a +=)221(2πλ+=
习题5.2 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。
解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。据题意知
)()(?0
r V r V H
-=' 其中)(0r V 是不考虑这种效应的势能分布，即
r
Ze r V 02
04πε-=）
（ )(r V 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域， r
Ze r V 02
4)(πε-=
在0r r <区域，)(r V 可由下式得出，
?∞
-=r
Edr e r V )(
而 ???
????≥≤=??=)( 4 )( ,4344102
00300330420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε
所以
??∞
--=0
)(r r r
Edr e Edr e r V
??
∞
-
-
=00
20
2
3
002
144r r r
dr r Ze rdr r Ze πεπε
)3(84)(82
203
0020
022203002r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤
??
???≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(?00022
2030020r r r r r Ze r r r Ze r V r V H πεπε
由于0r 很小，所以)(2??022)0(r V H H +?-=<<'μ ，可视为一种微扰，由它引起的一级修正为（基态r
a Z
2/131
3)0(1
1e )a Z (-=πψ
） ?∞
'=τψψd H E )0(1
*
)0(1)1(1? ?
-+--=0
1r 0
2r a Z
2022203
023
1
3
dr r 4e ]r 4Ze )r r 3(r 8Ze [a Z ππεπεπ ∵1a r <<，故1e r a Z 21
≈-
。
∴ ?
?
+--=0
r 0
3
1
02
4r 0
4
220
3
3102
4)
1(1
rdr a e Z dr )r r r 3(r a 2e Z E
πεπε
20
31024505
03031024r a 2e Z )5r r (r a 2e Z πεπε+--= 2
31
024r a 10e Z πε= 203
1
2
s
4r a 5e Z 2= 本题亦可精确积分求出，结果为：
)a Z r Z 2a 3r 23(Ze e )r Z 2a 3Zr a 3r 23(Ze E 1
30221
02s 3022120102s )1(11a 0Z r
2---++-=-
习题5.3 转动惯量为I 、电偶极矩为D 的空间转子处在均匀电场在ε
中，如果电场较小，用微扰法求转子基态能量到二级修正。
解：取ε
的正方向为Z 轴正方向建立坐标系，则转子的哈米顿算符为
θεεcos ?212??22D L I
D I L H -=?-= 取θεcos ? ,?21?2)0(D H L I H
-='=，则 H H H
'+=???)0( 由于电场较小，视H
'?为微扰，用微扰法求解： )0(?H 的本征值为2)0()1(21
+=l l I
E 本征函数为 ),(Y m )0(?θψ =
先计算H
'?的微扰矩阵元： ?
?
-='='?θθθετψψd d Y D Y d H
H m sin )cos (?00
*)0(0
)0*(0
?-=?θθθεd d Y Y D m sin ) (cos 00* ?-=?θθπ
π
εd d Y Y D m sin 413
4 10*
110*
03
sin 3
δε?θθεD d d Y Y D -
=-
=?
)0(?H 的基态能量为000
=）（E ，为非简并情况。根据定态非简并微扰论可知 0'00)1(0==H E
I D I
D E E E
2
22
2
1
2
22'
)
0()
0(02
'
)2(0
31)1(32 H
εδε
-
=+?-=-'=∑
∑ 从而基态能量的近似值为：
I D E 222031
ε
-≈
习题5.4 设一体系未受微扰作用时有两个能级：0201E E 及，现在受到微扰H
'?的作用，微扰矩阵元为b H H a H H ='='='='22112112
，；b a 、都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值。
解：由微扰公式得
nn
n H E '=)
1( ∑-'=m
m
n
mn n
E
E
H E )0()
0(2')
2(
得 b H E b H E ='=='=22
)
1(0211)1(01
02012
0012
1'
)2(01
E E a E E H E
m
m
m
-=-'=∑
01
022
0022
1'
)2(02
E E a E E H E
m
m
m
-=-'=∑
∴ 能量的二级修正值为
02012
011E E a b E E -++=
01
022
022E E a b E E -++=
习题5.5 对于一维谐振子，取基态试探波函数形式为2
x
e λ-，λ为参数，用变分法求基态能量，并与严格解比较。
解：设基态波函数2
x Ce λψ-= ，归一化，得
122
1
2
22
2
2
2
=?
?
?
??==?
?
∞
∞
--∞
∞
--λπλλC dx e
C
dx Ce
x
x
，
取 41
2??? ??=πλC ， 2
41
2
x e λπλψ-??
? ??=∴。 ()2
22
222
12x dx d x H μω+μ-= ()?+∞
∞
-∧=dx H E ψψλ*?+∞
∞
-λ-λ-???
? ??μω+μ-?
??
??πλ=dx e x dx d e
x x 22
222222
12122 ()??
?????μω+λ-μλ??? ??πλ=??+∞∞-λ-+∞
∞-λ-dx x e dx x e x x 2222221
22
21212 λ
μω+
μλ=822
2 由 ()08222
2=λ
ω-μ=λ?λ?u E ， 得 2μω±
=λ 考虑()x ψ在∞→x 处要求有限的条件，取 2
2
12α=μω=
λ 代入式()λE 的表达式，得谐振子（一维）基态能量
ω 2
1
0=E
而2
22
12
241
x x e
e α-μω
-π
α=
??
? ??πμω=ψ 与严格解求得的结果完全一致。可见，如果尝试解选得好，能得到相当理想的结果。
*
习题5.6：计算 I 1、I 2和I 3。
解：21)(2
221)(223131])(2[)(211211ττμ
πd d e e a Z I r r a z
r r a z
+-+-?+?-=??
在这一项积分中，1r 与2r 的地位对称，2
1?项和22?项的积分值相等，故第一项积分
值为2
1?项的两倍。又因为120
()
Z r r a e +-与,θ?无关，故只考虑对1r 求偏导的项，如
11
11
1
1
)2()(11
111211212
1a zr a zr a zr e a Z r a Z e r r r r e
---
--=????=? 由此得到第一项的积分为：
1211
10
22220221
2313
22
1)(2
221)(223131)2()4)(()(22
])(2[2)(1
11
2
211211dr r a Z
r e
dr r e
a Z
a Z d d e e a Z I a Zr a Zr r r a z
r r a z
---=?+?-=????∞
-∞-+-+-ππμττμ
π
1
2
2
212231121311222313]
!2)2)(()2(2[!2)2)(()4(22)(a e Z a Z
Z a
a Z Z a Z a a Z a Z s
==
-=μπμπ
这里利用了定积分公式：10
!n ax
n n x e
dx a ∞
-+=? （其中a ＞0）以及Bohr 半径公式22
1s
e a μ =。
在第二项中，由于同样的原因，其积分值等于
1
1
r 项的两倍，故 21)(22
1223132])11(2[)(211ττπd d e r r e a Z I r r a z
s +-+-=?? 1
2
3
12122313
2222
21212231
3221)(21231324!2)2()2()4()(
4)4()(412)(22
111211a Ze Z a Z a a Z e dr e
r dr e r a Z e d d e r a Z e s
s r a z
r a z
s r r a z
s -=-=-=-=????--+-ππππττπ
第三项的积分：
21)(21222
31
33][)(211ττπd d e r e a Z I r r a z
s +-??=
计算方法有二： 方法一：改写积分为
22112
023*******)(21222
31
332
111
211
]4[][)(ττπεππττπd e d r e
a eZ a eZ d d e
r e a Z I r a z
r a z
r r a z
s --
+-????--==
上式中211002313|)(|1
1r e e a eZ r a z
ψπ-=--是第一个电子在1r 处的电荷密度，上式中方括号内的量
是第一个电子在2r 处所产生的势。22100231
3|)(|2
1r e e a eZ r a z
ψπ-=--是第二个电子在2r 处的电荷
密度，这些电荷密度都是径向对称的，即它们与1r ，2r 的大小有关而与1r ，2r
的方向无
关。第一个电子在2r 处所产生的势可以按1r ，2r
的相对大小分成两部分：
]44[4444211
211
11
11
2112
02021120231312
1120231311202313????∞-
-
-
-
+-=-=-r r a z r r a z r a z r a z dr r r e dr r r e a eZ dr r r e a eZ d r e a eZ πεπεπετπεπ
这个式子右边两项中第一项是以2r 为半径的球内第一个电子的电荷在2r
处所产生的势
1V ，第二项是分布在这个球以外的第一个电子的电荷在2r
处所产生的势2V .
根据电磁学的知识可知1V 等于球内所有电荷集中在球心时在2r
处所产生的势，即
2
022
0102
10220
1
21223
1030
12
112023
1
34]422[4421
2
11
2
11
r e
e r e
a eZ a r eZ dr r r e
a eZ dr r r e a eZ r a z r r a z r r a z πεπεπεπεπεπε-
++=-
=----?
?
而按径向对称地分布在球外的电荷在球内所产生的势2V 等于常量，其值可由在球心处的势得出
21
2
11
2
11
21
02
10220
1
211
23
103
1
2112023
13
]42[44r a z
r r a z r r a z e a eZ
a r eZ dr r r e
a eZ
dr r r e a eZ --
-
+-=-=-?
?
πεπεπεπε
所以 2
022010112023134)44(42
111
r e
e r e a eZ d r e a eZ r a z
r a z
πεπεπετπεπ-
+=---? 将此结果代入I 3中再对2d τ积分，最后得到
1
2222
022*******
1)(212
22
313385]4)44([][)(2121
211a Ze d e r e e r e a eZ a eZ d d e r e a Z I s r a z
r a z
r r a z
s =-+-==--+-???τπεπεπεπττπ
方法二：利用Legendre 多项式的母函数
∑∞
=-=-+0
2
/12
)(cos )
cos 21(l l l t P t t θθ
有
???????><=-+=∑∑∞
=∞=0211
212102
122
/1212
22112),(cos )(1,)(cos )(1)cos 2(11l l l l l l
r r P r r r r r P r r r r r r r r θθθ 先对1τd 积分，选z 轴沿2r 方向，则1r 与2r
的夹角即球坐标θ，再对1r 分段积分，分别利用上面的展开式，注意到1)(cos 0=θP ，对θ积分时只有l =0的项不为零，即得到
122
20
1211
20121
2
22
3132
211220112223132
1)(212
22
313385]44[)(][)(][)(21
2
11
21121211
211
211a Ze d e
dr r r e
dr r r e a Z e d e d r e d r e a Z e d d e r e a Z I s r a z r r a z r r a z
s r a z
r r a z r r a z s r r a z
s =+=+==----∞--+-?
???????τπππτττπττπ
*
习题5.7设在0=t 时，氢原子处于基态，以后受到单色光的照射而电离。设单色光的电场可以近似地表示为t sin ωε，ε及 ω均为常量；电离电子的波函数近似地以平面波表示。求这单色光的最小频率和在时刻t 跃迁到电离态的概率。 解：①当电离后的电子动能为零时，这时对应的单色光的频率最小，其值为
24
1min min 2
s e E E hv μω=-==∞
h
e v s 24
min 2 μ=34
191062.6106.16.13--???=Hz 15
103.3?= ②0=t 时，氢原子处于基态，其波函数为
1/3
11
a r k e a -=πφ
在t 时刻， r
p i m e
?=2/3)21(πφ 微扰 )(2sin )(? t i t
i e e i
r e t r e t H
ωωεωε--?=?='
)(? t i t i e e F ωω--= 其中i
r e F 2? ?=ε 在t 时刻跃迁到电离态的概率为 2
)(t a W m m k =→
?''='t
t i mk
m t d e H i t a mk 0
1)(ω ?'-='-'
+t t i t i mk t d e e i F mk mk 0
)()()(ωωωω ]1
1[)()(ω
ωωωωωωω---+--=-+mk t i mk t i mk mk mk e e F
对于吸收跃迁情况，上式起主要作用的第二项，故不考虑第一项，
ω
ωωω--=-mk t i mk m mk e F t a 1
)()(
2
)()(2
2
2
)
()
1)(1()(ωωωωωω---=
=--→mk t i t i mk m m k mk mk e e F t a W 2
22122
)()(sin 4ωωωω--=mk mk mk t
F
其中??
?-==ππτφφe a d F F r p i k m
mk
31
2/3*1)21(?
取电子电离后的动量方向为Z 方向，
取ε 、p
所在平面为xoz 面（如图），则有 z x e e αεαεεcos sin += z y x r z y x εεεε++=?
cos )(cos ()cos sin )(sin (αε?θαεr r += αε?θαεcos cos sin sin r r +=
?--+=τθαε?θαεππθd e r r e i
e a F a r r p i
mk
1
/cos 312/3)cos cos cos sin sin (21)21( ?
??
∞--+=0
20
2/cos 312/3 sin )cos cos cos sin sin ( 21)21(1ππ
θ?
θθθαε?θαεππd drd r e r r e
i
e
a F a r r p i
mk
???∞--=0020
/3cos 312/3 )sin cos cos (21)21(1ππθ
?θθθαεππd drd e r e i e a a r r p i
??-∞-=πθθθθπαεππ0cos 0/331
2/3 sin cos [22cos 1)21(
1
d e dr e r i e a r p i
a r ?∞
----++-=
222 /33
1
)]()([22cos 1
dr e e r
p e e ipr e
r a i e r p i
r p i r p i r p i a r
παε 32
221131)
1(1
1622cos p a ia p a i e +=
παε 322212
/71)(8)(cos 16 +-=p a a pe παε
∴ 2
22122
)()(sin 4ωωωω--=→mk mk mk m
k t F W
2
2
126222125712222)()(sin )(cos 128ωωωωπαε--+=mk mk t p a a e p
习题5.8 具有电荷q 的离子，在其平衡位置附近作一维简谐振动，在光的照射下发生跃迁。设入射光的能量为)(ωI ，其波长较长，求原来处于基态的离子，单位时间内跃迁到第一激发态的概率。
（提示：利用积分关系a n dx e x n ax n π
1022!)!12(2+∞--=?） 解：这是一个周期性微扰问题
)(2
cos )(?00
t i t i e e qx t qx t H ωωεωε-+-=-=' ①x q F 0
2
1?ε-= ∴)(4342
2022mk mk
m k I r q ωπεπω
?=→ )4( )(34022
22
22πεωπq q I r q s mk mk s ==令
)(342
102
2210ωπωI x q s
=→ (对于一维线性谐振子n r ～i x )
其中 ?=dx x x 0*110ψψ 一维线性谐振子的波函数为 )(!
2)(222
1
2/1dx H e
n x n x n n απα
ψ-=
∴?∞∞
---?=dx e x xe x
x
2
22
221
2
1102)22(ααπ
ααπ
α
ψ
?
∞
∞
--=dx e
x x 222
1
2
2
2
αα
π
?
∞
-=0
22
2
2dy e y y α
π
])[(1
20
02
2
?∞
-∞
-+-=dy e ye y y α
π
α
απαπ21
12=
??= ∴ )(32)(32)(21
342
22
2222
2
2
210ωμωπωαπωα
πωI q I q I q s s s ===
→
习题5.9用分波法求慢速粒子受到势场 2
)(r a
r V =散射时的微分散射截面。 解：径向波函数)(r R l 满足方程
0)()/2)1(())((12
22
22=++-+r R r a l l k dr r dR r dr d r l l μ 其中 0/222>= E k μ，若令 2/2)1()1( a l l v μν++=+，即
2/122/1]/2)2/1[(2/1 a l μν++=+
则前式可写为
0)())1(())((12
2
22=+-+r R r k dr r dR r dr d r l l νν 其满足在原点有限的解为 kr kr kr J kr r R r l )sin()(2)(221νπνπ-??→
?=∞→+ 按分波法理论， kr kr r R l l r l )sin()(2δπ
+-??→?∞
→
比较两式可得到l 分波的相移 )}2
1
(]2)21{[(2)(22/122/1+-++-=--=l a l l l μπνπδ
从而散射振幅为 ∑∞
=+=0
sin )(cos )12(1)(l l i l l e P l k f δθθδ
微分散射截面为 20
22
|sin )(cos )12(|1|)(|)(∑∞=+==l l i l l e P l k f q δθθθδ
讨论：当势场很弱使得
81
2
<<
a
μ时， )
(21))(1)(21(])
(21)[21(]2)21[(2122
2122
/12
122/122/1+++=+++≈+++=++l a l l a l l a l a l μμμμ
有)12()}21(]2)21{[(222/122/1+-≈+-++-=l a
l a l l πμμπδ
注意到 1< 从而有 2020sin 2)(cos )(cos )12(1)(θπμθπμδθθk a P k a P l k f l l l l l -=-=+=∑∑∞=∞= 这里利用了公式 2 0sin 21 )(cos θ θ=∑∞ =l l P 于是当势场很弱势，微分散射截面为 2242 22sin 4)(θμπθk a q = 习题5.10 设入射粒子的动能都较大，用Born 近似法，求在下列势场中的微分散射截面： (1) a r a r V r V > (2) 2 0)(r e V r V α-= )0(>α； (3) r e V r V α-=0)( )0(>α ； (4) 2)(r a r V = 并与习题5.9分波法的结果进行比较。 解：（1）??==∞a dr Kr r K V dr Kr r rV K q 024220202 422|)sin(|4|)sin()(|4)( μμθ， 2 sin 2θ k K = 利用积分公式： qx q x qx q qxdx x cos sin 1sin 2-=? 可求得： K Ka a K Ka Krdr r a cos sin sin 20-=? 微分散射截面： 2 2 24202)cos sin ( 4)(K Ka a K Ka K V q -= μθ （2） ???∞-∞-∞??===024220202 4220202 422| )cos(|4|)sin(|4|)sin()(|4)(22dr e Kr K K V dr e Kr r K V dr Kr r rV K q r r ααμμμθ 而： α α αα α αα παααααα2 2 42 42 2242 22222 2)(21)(21)cos(0 )()(00 K K K ik K ik e dr e e dr e e dr e e dr e Kr z r r iKr r iKr r r -∞ --∞-+ ----∞+-+-∞ -???? ==+=+= ∴α ααπμαπμθ22 424320224 22024|2|4)(K K e V e K K V q ---=??= （3） ???∞-∞-∞??===024220202 4220202 422| )cos(|4|)sin(|4|)sin()(|4)(dr e Kr K K V dr e Kr r K V dr Kr r rV K q r r ααμμμθ 而： 2 200 ) 1 1(21)(21)cos(K iK iK dr e e dr e Kr iKr r iKr r r += ---++--=+=?? ∞--+-∞ -αα ααααα ∴ 2 22420222 2242202) (16||4)(K V K K K V q +=+??=ααμααμθ （4） 2 22 42 22422222422202 422202 422sin 444|)sin(|4|)sin()(|4)(θ μπμππμμμθk a K a K a dr r Kr K a dr Kr r rV K q =====??∞∞ 与习题5.9的弱场近似结果一致。 《计算方法》习题答案 第一章 数值计算中的误差 1．什么是计算方法？（狭义解释） 答：计算方法就是将所求的的数学问题简化为一系列的算术运算和逻辑运算，以便在计算机上编程上机，求出问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算。 2．一个实际问题利用计算机解决所采取的五个步骤是什么？ 答：一个实际问题当利用计算机来解决时，应采取以下五个步骤： 实际问题→建立数学模型→构造数值算法→编程上机→获得近似结果 4．利用秦九韶算法计算多项式4)(5 3 -+-=x x x x P 在3-=x 处的值，并编程获得解。 解：400)(2 3 4 5 -+?+-?+=x x x x x x P ，从而 所以，多项式4)(5 3 -+-=x x x x P 在3-=x 处的值223)3(-=-P 。 5．叙述误差的种类及来源。 答：误差的种类及来源有如下四个方面： （1）模型误差：数学模型是对实际问题进行抽象，忽略一些次要因素简化得到的，它是原始问题的近似，即使数学模型能求出准确解，也与实际问题的真解不同，我们把数学模型与实际问题之间存在的误差称为模型误差。 （2）观测误差：在建模和具体运算过程中所用的一些原始数据往往都是通过观测、实验得来的，由于仪器的精密性，实验手段的局限性，周围环境的变化以及人们的工作态度和能力等因素，而使数据必然带有误差，这种误差称为观测误差。 （3）截断误差：理论上的精确值往往要求用无限次的运算才能得到，而实际运算时只能用有限次运算的结果来近似，这样引起的误差称为截断误差（或方法误差）。 （4）舍入误差：在数值计算过程中还会用到一些无穷小数，而计算机受机器字长的限制，它所能表示的数据只能是一定的有限数位，需要把数据按四舍五入成一定位数的近似的有理数来代替。这样引起的误差称为舍入误差。 6．掌握绝对误差（限）和相对误差（限）的定义公式。 答：设* x 是某个量的精确值，x 是其近似值，则称差x x e -=* 为近似值x 的绝对误差（简称误差）。若存在一个正数ε使ε≤-=x x e * ，称这个数ε为近似值x 的绝对误差限（简称误差限或精度）。 把绝对误差e 与精确值* x 之比* **x x x x e e r -==称为近似值x 的相对误差，称 材料研究方法 第二章思考题与习题 一、判断题 √1．紫外—可见吸收光谱是由于分子中价电子跃迁产生的。 ×2．紫外—可见吸收光谱适合于所有有机化合物的分析。 ×3．摩尔吸收系数的值随着入射波光长的增加而减少。 ×4．分光光度法中所用的参比溶液总是采用不含待测物质和显色剂的空白溶液。 ×5．人眼能感觉到的光称为可见光，其波长围是200~400nm。 ×6．分光光度法的测量误差随透射率变化而存在极大值。 √7．引起偏离朗伯—比尔定律的因素主要有化学因素和物理因素，当测量样品的浓度极大时，偏离朗伯—比尔定律的现象较明显。 √8．分光光度法既可用于单组分，也可用于多组分同时测定。 ×9．符合朗伯—比尔定律的有色溶液稀释时，其最大吸收波长的波长位置向长波方向移动。 ×10．有色物质的最大吸收波长仅与溶液本身的性质有关。 ×11．在分光光度法中，根据在测定条件下吸光度与浓度成正比的比耳定律的结论，被测定溶液浓度越大，吸光度也越大，测定的结果也越准确。（） √12．有机化合物在紫外—可见区的吸收特性，取决于分子可能发生的电子跃迁类型，以及分子结构对这种跃迁的影响。（） ×13．不同波长的电磁波，具有不同的能量，其大小顺序为：微波＞红外光＞可见光＞紫外光＞X射线。（） ×14．在紫外光谱中，生色团指的是有颜色并在近紫外和可见区域有特征吸收的基团。（） ×15．区分一化合物究竟是醛还是酮的最好方法是紫外光谱分析。（） ×16．有色化合物溶液的摩尔吸光系数随其浓度的变化而改变。（） ×17．由共轭体系π→π*跃迁产生的吸收带称为K吸收带。（） √18．红外光谱不仅包括振动能级的跃迁，也包括转动能级的跃迁，故又称为振转光谱。（） √19．由于振动能级受分子中其他振动的影响，因此红外光谱中出现振动偶合谱带。（） ×20．确定某一化合物骨架结构的合理方法是红外光谱分析法。（） ×21．对称分子结构，如H2O分子，没有红外活性。（） √22．分子中必须具有红外活性振动是分子产生红外吸收的必备条件之一。（） √23．红外光谱中，不同化合物中相同基团的特征频率总是在特定波长围出现，故可以根据红外光谱中的特征频率峰来确定化合物中该基团的存在。（） ×24．不考虑其他因素的影响，下列羰基化合物的大小顺序为：酰卤＞酰胺＞酸＞醛＞酯。（） √25．傅里叶变换型红外光谱仪与色散型红外光谱仪的主要差别在于它有干涉仪和计算机部件。（）√26．当分子受到红外光激发，其振动能级发生跃迁时，化学键越强吸收的光子数目越多。（） ×27．游离有机酸C=O伸缩振动v C=O频率一般出现在1760cm-1，但形成多聚体时，吸收频率会向高波数移动。（） 二、选择题 1．在一定波长处，用2.0 cm吸收池测得某试液的百分透光度为71%，若改用3.0 cm吸 收池时，该试液的吸光度A为（B） （A）0.10 （B）0.22 （C）0.45 2．某化合物浓度为c1，在波长λ1处，用厚度为1 cm的吸收池测量，求得摩尔吸收系数为ε1，在浓度为3 c1时，在波长λ1处，用厚度为3 cm的吸收池测量，求得摩尔吸收系数为ε2。则它们的关系是（A）（A）ε1=ε2（B）ε2=3ε1（C）ε2＞ε1 2013年秋季兰州理工大学研究生《材料研究方法》考试复习题 一、名词解释 1）短波限 各种管电压下的连续X射线谱都具有一个最短的波长值，该波长值称为短波限。P6。 2）吸收限 吸收限是指对一定的吸收体，X射线的波长越短，穿透能力越强，表现为质量吸收系数的下降，但随着波长的降低，质量吸收系数并非呈连续的变化，而是在某些波长位置上突然升高，出现了吸收限。每种物质都有它本身确定的一系列吸收限。P13。 3）特征X射线 U时，在连续谱的某些特当加于X射线管两端的电压增高到与阳极靶材相应的某一特定值 k 定的波长位置上，会出现一系列强度很高、波长范围很窄的线状光谱，它们的波长对一定材料的阳极靶有严格恒定的数值，此波长可作为阳极靶材的标志或特征，故称为特征X射线。P8。 4）相干散射 当入射线与原子内受核束缚较紧的电子相遇，光量子不足以使原子电离，但电子可在X射线交变电场作用下发生受迫振动，这样的电子就成为一个电磁波的发射源，向周围辐射电磁波，这些散射波之间符合波长相等、频率相同、位相差相同的光的干涉条件，故称相干散射。P11。 5）光电效应 光电效应是入射X射线的光量子与物质原子中电子相互碰撞时产生的物理效应。当入射光量子的能量足够大时，可以从被照射物质的原子内部（例如K壳层）击出一个电子，同时外层高能态电子要向内层的K空位跃迁，辐射出波长一定的特征X射线。这种以光子激发原子所发生的激发和辐射过程称为光电效应。P12。 6）晶带面 在晶体结构和空间点阵中平行于某一轴向的所有晶面均属于同一个晶带，这些晶面叫做晶带面。P24。 7）系统消光 我们把因原子在晶体中位置不同或原子种类不同而引起的某些方向上的衍射线消失的现象称之为系统消光。P35。 8）球差 球差即球面像差，是由于电磁透镜的中心区域和边缘区域对电子的折射能力不符合预定的规律而造成的像差。P111。 9）像散 像散是由于电磁透镜磁场的非旋转对称性而引起的像差。P112。 10）色差 是由于入射电子波长（或能量）的非单一性所造成的。P112。 11）倒易点阵 倒易点阵是在晶体点阵的基础上按照一定的对应关系建立起来的空间几何图形，是晶体点阵的另一种表达形式。 二、简答题 1、试说明电子束入射固体样品表面激发的主要信号、主要特点和用途。P183-185。 2、扫描电镜的分辨率受哪些因素影响? 给出典型信号成像的分辨率，并说明原因。P188 3、透射电镜中有哪些主要光阑？在什么位置？其作用如何？P124。 4、何为波谱仪和能谱仪？说明其工作的三种基本方式，并比较波谱仪和能谱仪的优缺点。P198。 5、决定X 射线强度的关系式是 M c e A F P V V mc e R I I 2222 2230)()(32-???? ??=θθφπλ， 试说明式中各参数的物理意义? 6、比较物相定量分析的外标法、内标法、K 值法、直接比较法和全谱拟合法的优缺点？ 7、实验中选择X 射线管以及滤波片的原则是什么？已知一个以Fe 为主要成 分的样品，试选择合适的X 射线管和合适的滤波片？ 三、计算题 1、在立方点阵中画出下面的晶面和晶向。 2、已知面心立方铝的点阵常数a=0.40491nm ，今用CuKα（λ=1.5406?）辐射在衍射仪上扫 材料研究方法作业答案 材料研究方法 第二章思考题与习题 一、判断题 √1．紫外—可见吸收光谱是由于分子中价电子跃迁产生的。 ×2．紫外—可见吸收光谱适合于所有有机化合物的分析。 ×3．摩尔吸收系数的值随着入射波光长的增加而减少。×4．分光光度法中所用的参比溶液总是采用不含待测物质和显色剂的空白溶液。 ×5．人眼能感觉到的光称为可见光，其波长范围是200~400nm。 ×6．分光光度法的测量误差随透射率变化而存在极大值。 √7．引起偏离朗伯—比尔定律的因素主要有化学因素和物理因素，当测量样品的浓度极大时，偏离朗伯—比尔定律的现象较明显。 √8．分光光度法既可用于单组分，也可用于多组分同时测定。 ×9．符合朗伯—比尔定律的有色溶液稀释时，其最大吸 收波长的波长位置向长波方向移动。 ×10．有色物质的最大吸收波长仅与溶液本身的性质有关。 ×11．在分光光度法中，根据在测定条件下吸光度与浓度成正比的比耳定律的结论，被测定溶液浓度越大，吸光度也越大，测定的结果也越准确。（） √12．有机化合物在紫外—可见区的吸收特性，取决于分子可能发生的电子跃迁类型，以及分子结构对这种跃迁的影响。（） ×13．不同波长的电磁波，具有不同的能量，其大小顺序为：微波＞红外光＞可见光＞紫外光＞X射线。（）×14．在紫外光谱中，生色团指的是有颜色并在近紫外和可见区域有特征吸收的基团。（） ×15．区分一化合物究竟是醛还是酮的最好方法是紫外光谱分析。（） ×16．有色化合物溶液的摩尔吸光系数随其浓度的变化而改变。（） ×17．由共轭体系π→π*跃迁产生的吸收带称为K吸收带。（） √18．红外光谱不仅包括振动能级的跃迁，也包括转动能级的跃迁，故又称为振转光谱。（） √19．由于振动能级受分子中其他振动的影响，因此红 1．X射线与物质相互作用时会产生那些效应？利用其中那些效应可以进行晶体结构的分析鉴定？如何利用X射线衍射分析法鉴定晶态与非晶态？ 2．画出晶体对X射线衍射的示意图，写出布拉格方程，并说明该方程中各参数的意义。3．X射线衍射方法在材料研究中有哪些应用？请具体阐述。 4．请阐述电子与固体物质相互作用时产生的各种电子信号，并介绍这些电子信号在材料分析研究中的各种用途。 5．试讨论加热速度、试样颗粒度、炉内压力和气氛对差热分析结果的影响，为什么说差热分析只能进行定性或半定量分析，而示差扫描量热分析法则可以进行定量分析？ 6．通常在一张NMR谱图中可以得到哪些基本信息？并举例说明NMR在材料结构分析中的应用。 7．影响热重曲线的因素有哪些？如何保证热重分析的精确度？举例说明热重分析在材料研究中的应用 8．请介绍透射电镜分析时的块状样品表面复型种类和复型方法。为何电子显微分析可以获得较光学显微分析高得多的分辨。 9．请阐述电子探针X射线显微分析的基本原理和应用，并比较两种常用的X射线谱仪——波谱仪和能谱仪的特点。 10．如何利用差热分析、热重分析和热膨胀分析来区分无机材料中的脱水分解、氧化、多晶转变、烧结等过程？ 11．微晶玻璃是一种在玻璃基体中均匀析出所需微晶相的新材料，在微晶玻璃材料研究过程中，需要掌握玻璃转变温度Tg、析晶温度、析出晶体的晶相种类、以及析出晶体尺寸形貌等物性数据。通过哪些测试方法可以方便地获得这些数据？并请介绍在这些测试图谱中获取所需数据的具体过程。 12．有机高分子材料的TEM和SEM的试样有哪些特点。 13．试画出有机高分子材料DSC的特征曲线，并说出相应的焓变峰或转变区的物理化学含义。 14．试阐述红外光谱分析的基础以及应用。 15．什么是斯托克斯线、反斯托克斯线，试说明拉曼光谱与红外光谱是互补的。 4. 请阐述电子与固体物质相互作用时产生的各种电子信号那些信号可以用于晶体研究？ 5. DTA曲线用什么作为反应起始温度，为什么？ 6. 何谓自旋偶合? 何谓自旋分裂? 它们在NMR分析中有何重要作用? 7.下列化合物中OH的氢核，何者处于较低场? 为什么? 8.按化学位移值的大小，将下列每个化合物的核磁共振信号排列程序。 (1) CH3CH2OCH2CH3 (2) CH3CHO (3) Cl2CHCH2Cl 1．电子束轰击到固体样品表面会产生哪些主要物理信号？研究材料的表面形貌一般收集哪种物理信号？并说明其衬度原理研究材料表面元素分原布状况应收集哪些信息，并收明其衬 练习题与答案 练习题一 练习题二 练习题三 练习题四 练习题五 练习题六 练习题七 练习题八 练习题答案 练习题一 一、是非题 1.–作为x的近似值一定具有6位有效数字，且其误差限。() 2.对两个不同数的近似数，误差越小，有效数位越多。() 3.一个近似数的有效数位愈多，其相对误差限愈小。() 4.用近似表示cos x产生舍入误差。 ( ) 5.和作为的近似值有效数字位数相同。 ( ) 二、填空题 1.为了使计算的乘除法次数尽量少，应将该表达式改写 为； 2.–是x舍入得到的近似值，它有位有效数字，误差限 为，相对误差限为； 3.误差的来源是； 4.截断误差 为； 5.设计算法应遵循的原则 是。 三、选择题 1．–作为x的近似值，它的有效数字位数为( ) 。 (A) 7； (B) 3； (C) 不能确定 (D) 5. 2．舍入误差是( )产生的误差。 (A) 只取有限位数 (B) 模型准确值与用数值方法求得的准确值 (C) 观察与测量 (D) 数学模型准确值与实际值 3．用 1+x近似表示e x所产生的误差是( )误差。 (A). 模型 (B). 观测 (C). 截断 (D). 舍入 4．用s*=g t2表示自由落体运动距离与时间的关系式 (g为重力加速度)，s t是在时间t内的实际距离，则s t s*是（）误差。 (A). 舍入 (B). 观测 (C). 模型 (D). 截断 5．作为的近似值，有( )位有效数字。 (A) 3； (B) 4； (C) 5； (D) 6。 四、计算题 1．，，分别作为的近似值，各有几位有效数字？ 2．设计算球体积允许的相对误差限为1%，问测量球直径的相对误差限最大为多少？ 3．利用等价变换使下列表达式的计算结果比较精确： (1)， (2) (3) ， (4) 4．真空中自由落体运动距离s与时间t的关系式是s=g t2，g为重力加速度。现设g是精确的，而对t有秒的测量误差，证明：当t增加时，距离的绝对误差增加，而相对误差却减少。 5*. 采用迭代法计算，取 k=0,1,…, 若是的具有n位有效数字的近似值，求证是的具有2n位有效数字的近似值。 练习题二 一、是非题 1.单点割线法的收敛阶比双点割线法低。 ( ) 2.牛顿法是二阶收敛的。 ( ) 3.求方程在区间[1, 2]内根的迭代法总是收敛的。( ) 4.迭代法的敛散性与迭代初值的选取无关。 ( ) 5.求非线性方程f (x)=0根的方法均是单步法。 ( ) 二、填空题 《固体物理学》习题解答 ( 仅供参考) 参加编辑学生 柯宏伟（第一章），李琴（第二章），王雯（第三章），陈志心（第四章），朱燕（第五章），肖骁（第六章），秦丽丽（第七章） 指导教师 黄新堂 华中师范大学物理科学与技术学院2003级 2006年6月 第一章 晶体结构 1. 氯化钠与金刚石型结构是复式格子还是布拉维格子，各自的基元为何？写出 这两种结构的原胞与晶胞基矢，设晶格常数为a 。 解： 氯化钠与金刚石型结构都是复式格子。氯化钠的基元为一个Na +和一个Cl － 组成的正负离子对。金刚石的基元是一个面心立方上的Ｃ原子和一个体对角线上的Ｃ原子组成的Ｃ原子对。 由于NaCl 和金刚石都由面心立方结构套构而成，所以，其元胞基矢都为： 12 3()2()2()2a a a ? =+?? ?=+?? ?=+?? a j k a k i a i j 相应的晶胞基矢都为： ,,.a a a =?? =??=? a i b j c k 2. 六角密集结构可取四个原胞基矢 123,,a a a 与4a ,如图所示。试写出13O A A '、1331A A B B 、2255A B B A 、123456A A A A A A 这四个晶面所属晶面族的 晶面指数()h k l m 。 解： (1)．对于13O A A '面，其在四个原胞基矢 上的截矩分别为：１，１，1 2 -，１。所以， 其晶面指数为()1121。 (2)．对于1331A A B B 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，１，1 2-，∞。 所以，其晶面指数为()1120。 (3)．对于2255A B B A 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，1-，∞，∞。所以，其晶面指数为()1100。 (4)．对于123456A A A A A A 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：∞，∞，∞，１。所以，其晶面指数为()0001。 3. 如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球体可能占据的最大体积与总体积的 比为： 简立方： 6 π ；六角密集：6；金刚石： 。 证明： 由于晶格常数为a ，所以： (1)．构成简立方时，最大球半径为2 m a R = ，每个原胞中占有一个原子， 3 34326m a V a π π??∴== ??? 36 m V a π∴ = (2)．构成体心立方时，体对角线等于４倍的最大球半径，即：4m R ，每个晶胞中占有两个原子， 3 3 422348m V a π??∴=?= ? ??? 32m V a ∴ = (3)．构成面心立方时，面对角线等于４倍的最大球半径，即：4m R ，每个晶胞占有４个原子， 3 3 444346 m V a a π??∴=?= ? ??? 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中 随机地取一个球，求取到红球的概率。 第1章 1、材料是如何分类的？材料的结构层次有哪些？ 答：材料按化学组成和结构分为：金属材料、无机非金属材料、高分子材料、复合材料； 按性能特征分为：结构材料、功能材料； 按用途分为：建筑材料、航空材料、电子材料、半导体材料、生物材料、医用材料。 材料的结构层次有：微观结构、亚微观结构、显微结构、宏观结构。 2、材料研究的主要任务和对象是什么，有哪些相应的研究方法？ 答：任务：材料研究应着重于探索制备过程前后和使用过程中的物质变化规律，也就是在此基础上探明材料的组成(结构)、合成(工艺过程)、性能和效能及其之间的相互关系，或者说找出经一定工艺流程获得的材料的组成(结构)对于材料性能与用途的影响规律，以达到对材料优化设计的目的，从而将经验性工艺逐步纳入材料科学与工程的轨道. 研究对象和相应方法见书第三页表格。 3、材料研究方法是如何分类的？如何理解现代研究方法的重要性？ 答：按研究仪器测试的信息形式分为图像分析法和非图像分析法；按工作原理，前者为显微术，后者为衍射法和成分谱分析。 第2章 1、简述现代材料研究的主X射线实验方法在材料研究中有那些主要应用？ 答：现代材料研究的主X射线实验方法在材料研究中主要有以下几种应用： （1）X射线物相定性分析：用于确定物质中的物相组成 （2）X射线物相定量分析：用于测定某物相在物质中的含量 （3）X射线晶体结构分析：用于推断测定晶体的结构 2、试推导Bragg方程, 并对方程中的主要参数的范围确定进行讨论. 答：见书第97页。 3、X射线衍射试验主要有那些方法, 他们各有哪些应用，方法及研究对象. 答： 实验方法所用 辐射 样 品 照相法衍射仪法 粉末法劳厄法转晶法单色辐射 连续辐射 单色辐射 多晶或晶 体粉末 单晶体 单晶体 样品转动或固定 样品固定 样品转动或固定 德拜照相 机 劳厄相机 转晶-回 摆照相机 粉末衍射仪 单晶或粉末衍 射仪 单晶衍射仪 最基本的衍射实验方法有：粉末法，劳厄法和转晶法三种。由于粉末法在晶体学研究中应用最广泛，而且实验方法及样品的制备简单，所以，在科学研究和实际生产中的应用不可缺少；而劳厄法和转晶法主要应用于单晶体的研究，特别是在晶体结构的分析中必不可少，在某种场合下是无法替代的。 第3章 1、如何提高显微镜分辨本领，电子透镜的分辨本领受哪些条件的限制？ 答：分辨本领：指显微镜能分辨的样品上两点间的最小距离；以物镜的分辨本领来定义显微镜的分辨本领。光学透镜：d0 =0.061λ/n·sinα= 0.061λ/N·A，式中：λ是照明束波长；α是透镜孔径半角； n是物方介 质折射率；n·sinα或N·A称为数值孔径。 在物方介质为空气的情况下，N·A值小于1。即使采用油浸透镜(n=1.5；α一般为70°～75°)， N·A值也不会超过1.35。所以 d0≈1/2λ。因此，要显著地提高显微镜的分辨本领，必须使用波长比可见光短得多的 照明源。 引论试题（11页） 4 试证：对任给初值x 0, 0)a >的牛顿迭代公式 112(),0,1 ,2,......k a k k x x x k +=+= 恒成立下列关系式： 2112(1)(,0,1,2,.... (2)1,2,...... k k k x k x x k x k +-=≥= 证明： （1 ）(2 2 11222k k k k k k k k x a x a x x x x x +-??-+=+= =? ?? （2） 取初值00>x ，显然有0>k x ，对任意0≥k ， a a x a x x a x x k k k k k ≥+??? ? ??-=???? ??+=+2 12121 6 证明： 若k x 有n 位有效数字，则n k x -?≤ -1102 1 8， 而() k k k k k x x x x x 28882182 1-=-???? ??+=-+ n n k k x x 21221102 1 5.22104185 .28--+?=??<-∴>≥ 1k x +∴必有2n 位有效数字。 8 解： 此题的相对误差限通常有两种解法. ①根据本章中所给出的定理： （设x 的近似数* x 可表示为m n a a a x 10......021*?±=，如果* x 具有l 位有效数字，则其相对误差限为 ()11 * *1021 --?≤ -l a x x x ，其中1a 为*x 中第一个非零数） 则7.21=x ，有两位有效数字，相对误差限为 025.0102 21 111=??≤--x x e 71.22=x ，有两位有效数字，相对误差限为 025.0102 21 122=??≤--x x e 3 2.718x =，有两位有效数字，其相对误差限为： 00025.0102 21 333=??≤--x e x ②第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解 对于7.21=x ，0183.01<-e x ∴其相对误差限为 00678.07 .20183 .011≈<-x e x 同理对于71.22=x ，有 003063 .071 .20083 .022≈<-x e x 对于718.23=x ，有 00012.0718 .20003 .033≈<-x e x 备注：（1）两种方法均可得出相对误差限，但第一种是对于所有具有n 位有效数字的近似数都成立的正确结论，故他对误差限的估计偏大，但计算略简单些；而第二种方法给出较好的误差限估计，但计算稍复杂。 （2）采用第二种方法时，分子为绝对误差限，不是单纯的对真实值与近似值差值的四舍五入，绝对误差限大于或等于真实值与近似值的差。 11. 解: ......142857.3722≈，.......1415929.3113 255≈ 21021 722-?≤-∴ π，具有3位有效数字 6102 1 113255-?≤-π，具有7位有效数字 数学物理方法习题解答 一、复变函数部分习题解答 第一章习题解答 1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。 证明：令Re z u iv =+。Re z x =，,0u x v ∴==。 1u x ?=?，0v y ?=?， u v x y ??≠??。 于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。 2、试证()2 f z z = 仅在原点有导数。 证明：令()f z u iv =+。()2 2222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。 2,2u u x y x y ??= =??。v v x y ?? ==0 ??。 所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。而 ,,u u v v x y x y ???? , ????在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。 ()00 00x x y y u v v u f i i x x y y ====???????? '=+=-= ? ?????????。 或：()()()2 * 00 0lim lim lim 0z z x y z f z x i y z ?→?→?=?=?'==?=?-?=?。 2 2 ***0* 00lim lim lim()0z z z z z z z zz z z z z z z z z =?→?→?→+?+?+??==+??→???。 【当0,i z z re θ≠?=，*2i z e z θ-?=?与趋向有关，则上式中**1z z z z ??==??】 3、设333322 ()z 0 ()z=0 0x y i x y f z x y ?+++≠? =+??? ，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。 证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则 ()332222 22 ,=0 0x y x y u x y x y x y ?-+≠? =+?+??， 332222 22 (,)=0 0x y x y v x y x y x y ?++≠? =+?+?? 。 3 300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x u x u x u x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x u y u y u y y →→--===-； 3300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x v x v x v x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x v y v y v y y →→-===。 (0,0)(0,0),(0,0)(0,0)x y y x u v u v ∴ = =- ()f z ∴ 在原点上满足C －R 条件。 但33332200()(0)() lim lim ()()z z f z f x y i x y z x y x iy →→--++=++。 令y 沿y kx =趋于0，则 333333434322222 0()1(1)1(1) lim ()()(1)(1)(1)z x y i x y k i k k k k i k k k x y x iy k ik k →-++-++-++++-+==+++++ 依赖于k ，()f z ∴在原点不可导。 4、若复变函数()z f 在区域D 上解析并满足下列条件之一，证明其在区域D 上 第一章 由于透镜的中心区域和边缘区域对光的折射能力不符合预定规律而造成的图像模糊现象称为（） 答案：球差 光学透镜的像差主要有（） 答案：像场弯曲#球差#色差 光学显微镜具有（）放大功能。 答案：二级 光学透镜要能区分开两个成像物点，则此两物点形成的埃利斑之间的最小距离应 答案：大于埃利斑半径 光学显微镜的极限分辨能力为（） 答案：200nm 光学透镜成像的基础是光可以（） 答案：折射 光学透镜的像差主要有（） 答案：像场弯曲#球差#色差 由于照明光源波长不统一形成的图像模糊称为（） 答案：色差 成像物体上能分辨出来的两物点间的最小距离称为（） 答案：分辨率 要提高显微镜的分辨率，关键是要（） 答案：减小光源波长 干镜的有效放大倍数一般为（）倍 答案：500~1000 为获得大景深，可以考虑（） 答案：减小数值孔径#降低放大倍数 金相砂纸后标号越大，说明砂纸上的磨削颗粒越（） 答案：小 抛光平面样品时，可以选择（） 答案：机械抛光#化学抛光#电解抛光#复合抛光 砂纸背面的防水标志是（） 答案：WATERPROOF 透镜的像差是由于本身几何光学条件的限制造成的，和光源波长无关（）答案：错 逆光拍照时，明暗对比强烈的地方出现的彩色边缘就是色差（） 答案：对 最小散焦斑是点光源成像质量最好的情况（） 答案：对 衬度是指图像上相邻部分间的黑白对比度或颜色差（） 答案：对 油镜的最大数值孔径小于干镜的最大数值孔径（） 答案：错 明场照明时光线损失很少（） 答案：错 只要聚焦准确，点光源的像可以是一个清晰的亮点（） 答案：错 从衍射效应来看，透镜分辨的最小距离和数值孔径成反比（）答案：对 有效放大倍数和人眼的分辨能力无关（） 答案：错 只要是导电材料，都可以用电火花线切割切取样品（） 答案：错 第二章 发现X射线的是 答案：伦琴 进行第一次晶体衍射实验的是 答案：劳厄 X射线衍射时，首先出现的衍射峰必定是（）的晶面。 答案：低指数 对衍射强度影响最大的是 答案：结构因数 能影响短波限位置的因素是 答案：管电压 X射线是物理学家伦琴发现的（） 答案：对 X射线管的效率极低，一般仅有百分之几（） 答案：对 2009 1.在晶体光学鉴定中，哪些晶系的晶体表现为光性非均质体？它们又分属于哪类型的光率体？请阐述光在这些光率体中的传播特点。 2.简述特征X射线的产生及其应用；简述X射线衍射产生的充要条件，写出布拉格方程通用式，并说明公式中各符号的物理意义。 3.简述粉末衍射物相定性分析过程，写出3种以上X射线粉末衍射方法的实际应用，并给出影响表征结果的主要因素。 4.简述如何利用X射线衍射方法来区分金属材料脱溶分解和Spinodal分解的不同？ 5.简述高能电子书与物质作用后所产生的主要信号（至少列出4中信号）及其应用；写出SEM的成像基本原理，分辨率以及影响分辨率的主要因素。 6.请分析SEM中二次电子像，背散射电子像，X射线面扫面像的差异，并叙述这三种方法在无机材料中的应用。 7.简述TEM在金属材料研究方面的应用。 8.请阐述差热分析中影响差热曲线的式样方面的因素，为何在差热分析中采用外延起始温度（外延始点）作为吸、放热反应的起始温度？ 9.在功率补偿型DSC量热法中，是如何实现式样吸、放热定量分析的？请举例说明DSC在材料物性分析中的应用。 10.如何利用DTA、TG与热膨胀分析技术区分材料热分解、玻璃化转变、氧化（老化）玻璃析晶、陶瓷烧结等过程？举例说明热分析技术在材料研究领域的应用。 11.试写出有机化合物ETIR谱图的主要基团特征频率，并说出FTIR在材料分析中有哪些应用。 12.试写出胡克定律的数学表达式，并根据该表达式举例解释IR集团频率的变化规律。 13.请画出一张乙醇的质子NMR示意谱图，并说明该谱图主要给出哪些信息；再请阐述核磁共振分析中影响化学位移的主要因素。 14.简述核磁共振试验中弛豫过程的类型，并解释通常进行的核磁共振实验分析中为何应先将固体式样配成溶液，然后再测式样溶液样品的核磁共振。 15.请利用所学到得或掌握的微观分析和测试方法及手段，结合你的专业，选择某种材料进行微观结构的表征。请你简要写出微观结构表征的过程。（所用表征方法不得少于2种）。 2010 一、简答题(必答题，每题15分) 1 光在高级晶族、中级晶族、低级晶族中的传播特点，如何用光学显微分析方法区分晶体和非光晶体。 2 特征X射线的产生、性质和应用。 3 高能电子与固体物质碰撞产生哪些物理信号？说明他们在形貌表征中的应用。（至少三种） 4 试推导布拉格方程，说明各参数的物理意义，限定范围。 5 电子显微分析方法有哪些？SEM和TEM的衬度原理，并说明他们在材料中的应用。 二、叙述题（选做题，任选5道，每题15分） 1 XRD在多晶粉末试样物性分析中的应用，影响表征结果的因素。 2 二次电子、背散射电子、特征X射线表征形貌时的不同，说明他们在材料分析中的应用。 3 影响红外吸收的因素，为什么说红外光谱和拉曼光谱互补，拉曼光谱和红外光谱相比有什么特点。 4 试画出一种典型的热分析曲线，并解释各个吸收峰和转变处的意义。 5 叙述透射电镜的制样方法，并分析其特点。 6 如何用差热分析、热重分析、热膨胀分析区别碳酸盐分解、金属氧化、玻璃析晶、晶型 习 题 一、长为l 的杆，上端固定在电梯天花板，杆身竖直，下端自由。电梯下降，当速度为v 0 时突然停止，求解杆的振动。 解答：定解问题为 泛定方程：02=-xx tt u a u 边界条件：000==),(,),(t l u t u x 初始条件：)(),(,),(l x v x u x u t <<==00000 分离变量求解u (x,t ): 令： )()(),(t T x X t x u = 有： 02=+''T a T λ 0=+''X X λ 0)(, 0)0(='=l X X 得到： ),2,1,0(21222 =?? ? ? ? +=n l n π λ x l n A x X n n π21 + =sin )( 同时，有：l at n D l at n C x T n n n ππ)/(sin )/(cos )(2121+++= ),(t x u 的通解：∑∞ =++++= 2 12121n n n x l n l at n D l at n C t x u πππ/sin ))/(sin )/(cos (),( 用初始条件求叠加系数： ()??? ????=++==+=∑∑∞ =∞ =0 00 212100210v x l n D l a n x u x l n C x u n n t n n πππ/sin /),(/sin ),( ()()?? ? ? ?+=++==? a n lv d l n v a n D C l n n 2200 02122 12120πξπξπ//sin / 2 最后：()∑∞ =+++= 2 2 2 121212n x l n at l n a n lv t x u πππ /sin /sin /),( 二、半径为a 的无限长空心圆柱体，分成两半互相绝缘，一半电势为V 0，另一半为－V 0， 求柱体中的电势分布（20分） 解答：定解问题为 泛定方程：0112 22=??+??? ??????? u r r u r r r 边界条件：? ?????? ?<≤-<≤=有 界),(),(?π?ππ ??0200 0u V V a u 分离变量求解u (x,t ): 令： )()(),(?ρ?ρΦR u = 有： ?? ?=+=+'') ()(?π?λΦΦΦΦk 20 02=-'+''R R R λρρ 得到： ? ??λm B m A m m m m sin cos )() ,,,(+===Φ 2102 ???≠+=+=-0 000m D C m D C R m m m m m ρ ρρ ρln )( ()()()() ∑∑∞ =-∞ =-+++++=???+++=+=1 100000m m m m m m m m m m m m m m m m D m C m B m A D C u m D m C m B m A u D C u ??ρ??ρ ρ?ρ??ρ??ρ?ρρ?ρsin cos sin cos ln ),(sin cos sin cos ),(ln ),( 000===?∞→=-D D C m m m ρρ处， 通解为：() ∑∞ =++=1 0m m m m m B m A C u ??ρ?ρsin cos ),( 代入边界条件求叠加系数： ()?? ?<≤-<≤=++=∑∞ =π ?ππ ????200 10V V m B m A a C a u m m m m sin cos ),( 同济大学材料学院材料学专业——2007年真题及解析 科目一：代码：821 科目名称：材料研究方法 北京万学教育科技有限公司 考试年份：2007 招生专业：材料学 研究方向： 01高性能水泥基材料 02智能材料 03新型建筑材料 04生态环境材料 05无机功能材料 06高分子功能材料 07高分子材料改性 08生物医用材料 09金属功能材料 10纳米材料 11材料体系分析与建模方法 一、真题 1．电子束轰击到固体样品表面会产生哪些主要物理信号？研究材料的表面形貌一般收集哪种物理信号？并说明其衬度原理研究材料表面元素分原布状况应收集哪些信息，并收明其衬度理。 2．简述DSC的种类和定量热分析原理，举例说明其在材料研究领域的应用。 3．请详述电子衍射和X射线衍射的异同点。 4．请说述电子探针中波谱的原理和应用，并简述波谱与能谱在应用方面的异同。 5．写出布拉格方程，分析物质产生X衍射的充要条件，简述X射线粉末衍射物相鉴定过程。请说明样品制备对物相鉴定的影响。 6．简述特征X射线的产生，性质和应用。 7．简述红外光谱用于分子结构分析的基础，说明其应用。 8．采用何种手段可以研究高分子材料的结晶。 9．聚合物的填充改性及共混是高分子材料改的常用手段，如何研究无机填充材料在高聚物基体中的分布情况？如何研究共混物中各相的形态？ 第 1 页共10 页 10．核磁共振谱中不同质子产生不同化学位移的根本原因是什么？化学位移的主要影响因素有哪些？核磁共振谱中的信号强度可以提供何种信息？ 11．请详细描述金相试样的制备过程，并画出碳马氏体和高碳马氏体的组织示意图，解释其区别。 12．举例说明透射电镜在金属材料研究方面的应用，说明其原理。 13．制备金属材料透射电子显微镜试样时一般采用双喷法制样，请详述其原理。 14．请详述多晶，非晶，纳米晶体材料在透射电子显微镜选区稍微图像中的区别。 15．拟定方案，解决玻璃体内夹杂物的鉴定。 16．采用合适的现代技术表征法分析硅酸盐水泥水化进程，请简要评述你给出的方法。 17．叙述X射线粉末衍射分析无机材料的方法有哪几种，并加以评述。 18．请简要叙述布拉格方程在材料微观结构分析和表征领域中的应用。 二、解析 1．电子束轰击到固体样品表面会产生哪些主要物理信号？研究材料的表面形貌一般收集哪种物理信号？并说明其衬度原理研究材料表面元素分原布状况应收集哪些信息，并收明其衬度理。 1.参考答案： 主要物理信号：1.背散射电子 2. 二次电子 3. 吸收电子 4. 透射电子 5. 特征X射线 6.俄歇电子 研究表面形貌的信号： 1.背散射电子 2. 二次电子6.俄歇电子 研究表面元素分布应选择背散射电子，应为其对元素的变化比较敏感。 试题解析： 2.知识点：电子与物体的相互作用 3.答题思路：简述个知识点 历年考频：此考点在近五年中共出现3分别为：04，06，07年。 2．简述DSC的种类和定量热分析原理，举例说明其在材料研究领域的应用。 1.参考答案： DSC分为两种。分别为功率补偿型和热流型 原理：：DSC技术是在程序控制温度下，测量输入到试样和参比物的能量差随温度或时间变化的一种技术。 差示扫描量热分析法就是为克服差热分析在定量测定上存在的这些不足而发展起来的一种新的热分析技术。该法通过对试样因发生热效应而发生的能量变化进行及时的应有的补偿，保持试样与参比物之间温度始终保持相同，无温差、无热传递，使热损失小，检测信号大。因此在灵敏度和精度方面都大有提高。 DSC技术的特点：由于试样用量少，试样内的温度梯度较小且气体的扩散阻力下降，对于功率补偿型DSC有热阻影响小的特点。 应用：1.纯度分析 2.定量分析 3.纯度分析 4.比热容测定 第 2 页共10 页 数值计算方法习题答案(第二版)(绪论) 数值分析 （p11页） 4 试证：对任给初值x 0, (0) a a >的牛顿 迭代公式 112(),0,1 ,2,......k a k k x x x k +=+= 恒成立下列关系式： 21 12(1)(,0,1,2,.... (2),1,2,...... k k k x k x a x a k x a k +-= -=≥= 证明： （1） ( 2 2 112222k k k k k k k k x a a x ax a x a x a x x x +-??-+-=+-== ? ?? （2） 取初值0 >x ，显然有0 >k x ，对任意0≥k ， a a x a x x a x x k k k k k ≥+??? ? ??-=???? ??+=+2 12121 6 证明： 若k x 有n 位有效数字，则n k x -?≤ -1102 1 8， 而 ( )k k k k k x x x x x 28882182 1-=-??? ? ??+=-+ n n k k x x 21221102 1 5.221041 85 .28--+?=??<-∴>≥ 1 k x +∴必有2n 位有效数字。 8 解： 此题的相对误差限通常有两种解法. ①根据本章中所给出的定理： （设x 的近似数* x 可表示为m n a a a x 10......021* ?±=，如果* x 具有l 位有效数字，则其相对误差限为 ()11 * *1021 --?≤ -l a x x x ，其中1 a 为* x 中第一个非零数） 则7 .21 =x ，有两位有效数字，相对误差限为 025.0102 21 111=??≤--x x e 71 .22=x ，有两位有效数字，相对误差限为 025.0102 21 122=??≤--x x e 3 2.718 x =，有两位有效数字，其相对误差限为： 00025.0102 21 333=??≤--x e x ②第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解 对于7 .21 =x ，0183.01 <-e x ∴ 其相对误差限为00678.07 .20183.01 1≈<-x e x 同理对于71 .22 =x ，有 003063.071 .20083 .022≈<-x e x计算方法的课后答案
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