计算方法练习题与答案
练习题与答案
练习题一
练习题二
练习题三
练习题四
练习题五
练习题六
练习题七
练习题八
练习题答案
练习题一
一、是非题
1.x*–1
2.0326作为x的近似值一定具有6位有效数字，且其误差限
1 104
( )
2 。
2.对两个不同数的近似数，误差越小，有效数位越多。( )
3.一个近似数的有效数位愈多，其相对误差限愈小。( )
x2
4.
1
( ) 用2近似表示cosx产生舍入误差。
5.
3.14和
3.142作为
的近似值有效数字位数相同。
()
二、填空题
3
4 9
y12
2
3
1.
为了使计算
x1
x1 x1
的乘除法次数尽量少，应将该
表达式改写为
；
2. x *
–0.003457是x 舍入得到的近似值，它有
位有效数字，误差限
为
，相对误差限为
；
3. 误差的来源是 ；
4. 截断误差为
；
5.
设计算法应遵循的原则是
。
三、选择题
1．
x *
–0.026900作为x 的近似值，它的有效数字位数为()。
(A)7； (B)3； (C)不能确定
(D)5.
2．舍入误差是(
)产生的误差。
(A) 只取有限位数(B)模型准确值与用数值方法求得的准确值 (C) 观察与测量(D)数学模型准确值与实际值
3．用1+x 近似表示e x
所产生的误差是(
)误差。 (A).模型 (B).观测
(C).截断
(D).舍入
* 1 2
．用 2 表示自由落体运动距离与时间的关系式
(g 为重力加速度)，s t 是在 4s= gt
时间t 内的实际距离，则s t s *
是（ ）误差。 (A).舍入
(B).观测 (C).模型
(D).截断
5．1.41300作为
2
的近似值，有()位有效数字。
(A)3； (B)4；
(C)5；
(D)6。
四、计算题
22
1．3.142，3.141，7分别作为的近似值，各有几位有效数字？
2．设计算球体积允许的相对误差限为1%，问测量球直径的相对误差限最大为多少？
3．利用等价变换使下列表达式的计算结果比较精确：
1 1 x,|x| 1
11 dt|x| 1
x
(1)12x 1 x ，(2)x1t2
(3)e
x1, |x|1，(4)ln(x21x)x 1
1
4．真空中自由落体运动距离s与时间t的关系式是s=2gt2，g为重力加速度。现设g是精确的，而对t有0.1秒的测量误差，证明：当t增加时，距离的绝对误差增加，而相对误差却减少。
5*.采用迭代法计算7，取
x0 2
x k 1 1
(x k
7
)
2 x k
k=0,1, ?,
若x k是7的具有n位有效数字的近似值，求证xk1是7的具有2n位有效数字的近似值。
练习题二
一、是非题
1.单点割线法的收敛阶比双点割线法低。( )
2.牛顿法是二阶收敛的。( )
3.求方程x3x10在区间[1,2]内根的迭代法总是收敛的。( )
4.迭代法的敛散性与迭代初值的选取无关。( )
5. 求非线性方程 f(x)=0 根的方法均是单步法。 ( )
二、填空题
1. 1.用二分法求非线性方程f(x)=0在区间(a,b)内的根时，二分n 次后的误差
限为
；
1. 2. 设
f(x)
可微,求方程x
f(x)
的牛顿迭代格式是
；
2. 3. 用二分法求方程x 3
x 10在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区
间为
，要求准确到10
3
，则至少应二分
次；
3. 4. (x)x (x 2
5)，要使迭代格式xk1
(xk)局部收敛到x *
5，则
的取值范围是
；
4. 5. 求方程x 3
x4 0
根的单点割线法是 ，其收敛阶为 ；
双点割线法是
，其收敛阶为 。
三、计算题
1. 用二分法求方程x 2
x10的正根，使误差小于0.05。
2.求方程
x 3
x 2
10在x 01.5
附近的一个根，将方程改写为下列等价形 式，并建立相应迭代公式。
x
1 1 x
k1
1 1 (1) x 2
2
，迭代公式 x
k ；
1 (2) x 3 1 x 2
，迭代公式 x
k1 1 x k 23
；
x 2 1 x
k1
1
x k
1；
(3) x 1 ，迭代公式
试分析每种迭代公式的收敛性，并选取收敛最快的方法求具有4位有效数字的近似值。
3.
用牛顿切线法求5的近似值。取x
02
,计算三次，保留三位小数。
4.用割线法求方程x3
3x1
0的在x
1.5
附近的一个根，精确到小数点
后第二位。
四*、证明题
已知方程f(x)0，试导出求根公式
x k1
2f(x k)f(x k)
x k
2 f(x k)f(x k)
2[f(x k)]
并证明：当x*是方程f(x)0的单根时，公式是3阶收敛的。
练习题四
一、是非题
3 1 1
A 2 5 3
．矩阵 1 2 5 具有严格对角优势。( )
1
3 1 1
A 1 5 3
2． 1 2 5 是弱对角优势矩阵。()
3．高斯—塞德尔迭代法一定比雅可比迭代法收敛快。()
4．||M ||1是迭代格式x (k1)
M x(k)
f收敛的必要条件。()
*
5.逐次超松弛迭代法是高斯—赛德尔迭代法的一种加速方法。( )
3x15x2 1
1.解方程组
x12x20
的雅可比迭代格式（分量形式）为，该迭代矩阵的谱半径
(B1)
；
3x15x2 1
2.解方程组x12x
2
0的高斯—赛德尔迭代格式（分量形式）
为，迭代矩阵B2 ，该迭代矩阵
的谱半径(B2)；
3.幂法的迭代公式为；
4*．QR算法是用来求矩阵的全部特征值的一种方法。
5*．雅可比方法是用来求矩阵的全部特征值及特征向量的一种变换方法。
三、选择题
1.解方程组Ax b的迭代格式x(k1)
M x(k)
f收敛的充要条件是() （A）||A||1；（B）||M||1；
（C）(A)1；（D）(M)1。
2．幂法的收敛速度与特征值的分布（）
（A）有关；（B）无关；（C）不一定。
3．幂法是用来求矩阵（）特征值及特征向量的迭代法。
（A）按模最大；（B）按模最小；
（C）任意一个；（D）所有的。
4．解代数线性方程组的松弛法收敛的必要条件是（）（A）0 1；（B）0 1；
（C）02；（D）02。
5．反幂法是用来求矩阵（）特征值及特征向量的迭代法。
（A）按模最大；（B）按模最小；
（C）任意一个；（D）所有的。
四、计算题
1．用简单迭代法（雅可比迭代法）解线性方程组
3x1 x3 5
x1 3x2 x3 1
x1x24x38
取x (0)(0,0,0)T
，列表计算三次，保留三位小数。
2．用高斯—赛德尔迭代法解线性方程组
3x1x3 5
x13x2x3 1
x1x24x38
取x(0) (0,0,0)T，列表计算三次，保留三位小数。
4 0 0
A 1 2 1
3．用幂法求矩阵0 1 2按模最大特征值及相应特征向量，列表
计算三次，取x (0)
(1,1,1)T，保留两位小数。
4*．取 1.46，用松弛法解线性方程组
2x1x2 1
x12x2x30
x22x3x4 1
x34x40
取x (0)
(0,0,0)T，列表计算三次，保留三位小数。
4 1 0
A 1 2 1
5*．用雅可比方法求实对称矩阵0 1 1 的特征值及相应特征向量（按四位小数计算，0.1）。
2 1 0
A 1 3 1
6*．用QR算法求矩阵0 1 4 的全部特征值。
练习题五
一、是非题
1.在求插值多项式时，插值多项式的次数越高，误差越小。()
(x x1)(x x2)
2.(x0x1)(x0x2)表示节点x0处的二次插值基函数。()
3.牛顿插值多项式的优点是：在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次
插值的结果。()
4. 在拉格朗日插值中，插值节点x0,x1,,x n必须按顺序排列。( )
5. 利用等距节点的牛顿插值公式计算x0附近的f(x)，用后插公式。( )
二、填空题
1. 已知n 3，则三次插值基函数l2(x)=_____________________。
n
l i(x)______
2. n+1个节点的拉格朗日插值基函数l i(x)的和i0 。
3. 已知f(x)x4，取节点x k k(k0,1,2,?），用线性插值求f(2.1)的近似
值，其计算公式f(2.1)P1(2.1)________________
。
4.______________插值不仅要求插值函数和被插值函数在节点取已知函数值而
且取已知导数值。
5.已知f(1)2,f(0)1,f(2) 3,则f[1,0] __________________，
f[0,2]___________，f[1,0,2]__________
，牛顿二次插值多项式
N2(x) 。
三、选择题
x x1
．函数
x0 x1表示线性插值( )点的基函数.
1
(A)x0；(B)y0；(C)x1 (D)y1。
2
．过点(1,1),(0,3),(2,4) 的二次插值多项式p2(x)中x2的系数为().
(A)–0.5 (B)0.5 (C)2 (D)-2
3．给定互异的节点x0,x1,,x n,p(x)是以它们为插值节点的插值多项式，则p(x)是一个().
(A). n+1次多项式(B).n次多项式
(C).次数小于n的多项式(D).次数不超过n的多项式
( ) 3
x 9
95067 ,差商
f[1,2,2
2
,
100
4．fx x x ,2]()
(A)0 (B)-3 (C)50(D)-7
5．对于次数不超过n的多项式f(x),它的n次插值多项式p(x)为().
(A)任意n次多项式(B)任意不超过n次的多项式
(C)f(x)本身(D)无法确定
四、计算题
1.已知f(1) 2,f(1) 3,f(2) 4,求f(x)的牛顿插值多项式N2(x)，及
f(1.5)的近似值，取三位小数。
2.证明：若f(x)二阶连续可微，则对于f(x)的以x0,x1为节点的一次插值多项式P1(x)，插值误差
(x1x0) 2
f(x)
f(x)P(x)
max
1
8 x0xx1
3.设f(x)x 4
2x 1，利用拉格朗日插值余项求以-1，0，1，2为插值节点
的三次插值多项式。
4*
．已知函数yf(x)的数据f(1)y0,f(2)y1, f(1)m0，用基函数法求f
(x)的二次插值多项式H2(x)使H2(1)y
0,H2(2)y1,H2(1)m0.
5*．要给出f(x)ex在区间[-2,2]上的等距节点函数表，用分段三次Hermite插值求e x的近似值，要使误差不超过108，问函数表的步长h应为多少？
x i
6.已知的f(x)函数表
f(x i)
(1)求f(x)的二次插值多项式；
(2)用反插值求x，使f(x)=0。
1 1 4
2 4 5 练习题六
一、判断题
1．在等距节点的情况下，才能计算函数的差分。() 2．向前差分与向后差分不存在等量关系。() 3．已知观察值(x i,y i)(i0,1,2,?,n)，用最小二乘法求得的拟合多项式其次
数为n 次。( ) 4．利用最小二乘原理对一组数据找出合适的数学公式来拟合，首先应确定公
式的类型。( )
5．数据拟合的步骤首先是建立正规方程组。() 二、填空题
1．已知某函数的二阶向前差分2f1为0.15,则其二阶向后差分2f3为_______。
2．利用牛顿前插公式计算某点的近似值，应首先确定公式中的t，其计算公
式为t=____________。
3．已知函数y f(x)在[a,b]上的n 1个节点x i处的函数值y i，则其三次样条插值函数s(x)满足的条件为________________________。
．已知(x i,y i)i1,2,
?,30)，其线性拟合的正规方程组为_________。
(
4
y
x
(x i,y i)
b 做变换_____________后为线性
．用形如ax 的非线性拟合数据
5
拟合y=a bx。
三．选择题
1.( )是利用函数的值求自变量的值。
(A)三次样条插值(B)反插值(C)分段插值(D)爱尔米特插值
2．记i y i y
i
*,i1,2, ,n,最小二乘法原理要求下列哪个为最小()
n n n
max
2
i
(B)i
i i i
(A)1in 1 (C)i1 (D)i1
3．当线性方程组满足( )时称为超定方程组。
(A)(A)未知数的个数等于方程的个数
(B)(B)未知数的个数大于方程的个数
(C)(C)未知数的个数小于方程的个数
(D)(D)未知数的个数与方程的个数大小任意
4．x*是超定方程组A x b的最小二乘解的充分必要条件是().
(A)x *是A T A x A T b的解
(B)x
*是AA T x A T b的解
(C)x
*是A T x b T的解(D)三者都不对
P n(x)1 d n2n n
n!dx
n[(x 1)]
．勒让德多项式 2 是( )
5
(A)小于n次的多项式(B)等于n次的多项式
(C)大于n次的多项式(D)小于等于n次的多项式
四、计算题
1．已知函数y f(x)的函数表如下,解答下列问题
x i
f(x i)
(1)列出相应的差分表；
(2)分别写出四次牛顿向前插值公式和牛顿向后插值公式；
(3) 用三次插值多项式求f(0.04)和f(0.32)的近似值。
2．已知f(1.3) 14.8,f(1.6) 17.4,f(2.4) 18.5,f(3.1) 20.0，按最小二乘原理求一次多项式拟合上述数据。
3x12x2 2
4x15x2 3
3．求超定方程组2x1x211 的最小二乘解。
x i 2 1 0
1
2
4．已知观察值 y i y 0
y 1 y 2 y 3 y 4
利用
f(x)的二次拟合多项式 p 2(x),求f
(0)
的近似值。 5．用形如yalnx
b
的函数拟合下列数据
x i f(x i )
练习题七
一、填空题 1.已知 f(1) 1. 1 f(2) 1.2 ， f(3) 1.5 ，则三点式高斯求积公式为 ， 3 f(x)dx 3
( )，用抛物线求积公式求得 f(x)dx （ ）。
1 1 2. 已知f0
3，f 0.5
4，f
1
3
，则用三点式可求得
f(0) （ ），f
(0.5) （ ），
f(1) （ ），且
f(x) （ ）。
b f(x)dx
C 2
[a,b]时,
3. 复合梯形求积公式为a
（
），当
f(x)
其余项
R n (f) ( )。
4. 数值积分代数精确度的定义是（
）。
b n f(x)dx A k f(x k )
5. 求积公式a
k0 的代数精度以（ ）求积公式为最高，具
有（ ）次代数精度，其节点称为（ ）点。
二、选择题
1. 求积公式研究的误差为（ ）。
A.观测误差
B.模型误差
C.舍入误差
D.截断误差
b a
2. 已知在[a,b]上，f
(x) 2，且f(x) C 2
[a,b]，步长h
n ，则复合梯 形求积公式的误差限为（ ）。
(b a)3
(b a)3
A.
6
B. 6 b a h 2 h 3
C. 6
D.6
3. 梯形公式、抛物线公式及n 阶NC 求积公式的代数精度分别至少为（）。
A.1,2,n
B.2,3,n
C.1,3,n
D.1,4,n+1
4. 数值微分的二点公式中，其误差限为（
），其中
hx 1x 0
x 0
x1。
A ．O(h 2
)
h
f(
)
B. 2
h f () D. h
max
f(x)
C.2 2x 0xx
1
(4)(x)
2 f(x)dx
有两位整数，用复
5.
已知
f(x) C 4
[0,2]，在[0，2]内f
1
，0
合抛物线求积公式计算要保证有
5位有效数字，步长最多应为（ ）。 A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4
三、判断题
b n f(x)dx A k f(x k )
1、高斯求积公式 a 2n+1。 ( ) k 1 的代数精度为
2、梯形求积公式和抛物线求积公式都是高精度方法。 ( )
3、在使用插值型求积公式时，勿须进行误差分析。
(
) 4、n 越大，N C 求积公式的代数精确度就越高，相应地求积公式的稳定性
也越好。
(
)
5、具有n+1各节点的插值型求积公式至少具有
n+1次代数精度。 ( )
四、计算题
1 dx
1
、分别用梯形公式和抛物线公式计算积分
04 x ，[0 ，1]八等分，并估计
1
误差。
2
2、
n=4，用复合梯形公式求
0 (x 3
2)dx
的近似值，取四位小数，并估计误
差。
1.
5 1 4
x 10
3、用复合抛物线公式计算 0 edx
，要使截断误差不超过2 ，应至少 将区间[0，1.5]多少等份？
2
f(x)dx A 0f(0) 2A 1f(1)
3A 2
f(2)
，求
A 0,A 1,A 2
4、设有求积公式0
使代数 精度尽量高。
5、利用二次插值推导出数值微分的三点公式，并由此计算 f(x) (1 x)2
在
x
1.0,1.1
和1.2处的导数值。
练习题八
一、填空题
y
y x 1
1.用Euler 方法解常微分方程初值问题
y(0) 1
，步长h
0.1，计
y n1
=（），y
=（）。1
算格式为
yf(x,y)
2. 求解常微分方程初值问题y(x0)y0改进的欧拉公式为
（）
3. 常微分方程初值问题的数值解法一般分为（）法和（）法。
4.求解常微分方程初值问题的Adams公式是（）步法。
5.求解常微分方程初值问题的四阶R-K方法的局部截断误差为
（）。
二、选择题
1、已知一个求解常微分方程的差分公式的局部截断误差为O(h2)，则该方法的
阶是（）。
A．1 B．2 C．0 D．3
2、求解一阶常微分方程初值问题的梯形公式为（）步法。
A．多B．2 C．3 D．1
3、梯形公式是求解常微分方程的（）阶方法。
A．2 B．4 C．3 D．5
4、四阶R-K 方法每步要计算（）次f的值。
A．4 B．5 C．2 D．3
5、改进的Euler公式的局部截断误差为（）。
A. O(h2)
B.
O(h3) C.O(h4) D.O(h5)
三、判断题
1、R-K 法是一类低精度的方法。( )
2、求解微分方程初值问题的二阶R-K方法是多步法。( )
3、梯形方法是一种隐式的多步法。( )
4、求解微分方程初值问题的向后Euler法是隐式方法。( )
5、求解常微分方程初值问题的预估—校正公式的局部截断误差为O(h2)。
( )
四、计算题
1、用Euler法求解
y 2x y
y(0)1（0 x 1）
h0.2，保留两位小数。
2、用Euler法求
y(x) x
dt e t
2
在x0.5,1.0,1.5,2.0处的近似值，保留5位小数。
3、用改进的Euler法（梯形公式）解初值问题
y8 3y
y(1) 2 （1 x 2）
取步长h 0.2，至少保留5位小数。
4、用预估—校正公式求初值问题
y xy2
y(0) 1 （0x1）
的数值解，取步长h 0.2，以四位有效数字计算。
五*、证明题
对常微分方程初值问题
y y0y(
0)1
2 h
n
y n
证明梯形公式求得的近似解为 2 h ，并进一步证明当步长
h 0时，y n ex。
计算方法练习册答案
习题一
一、1．；2．；3．；4．；5．．
y12(3(49t)t)t,t 1 4, 1 106, 1 103二、1．x1；2． 2 6 ；3．略；
4．略；5．略．
三、1．C；2．A；3．C；4．C；5．A．
2x2
四、1．4位，3位，3位；2．0.333%；3．（1）13x 2x2，（2）
arctan 1
1 2 1 3
1)
，（3） x 2!x
3!x
，（4） ln(x 2
1x)
；4．略；
1 x(x
5．略． 习题二
一、1．；2．；3．；4．．
b a
xn1
x n x n f(x n ) [1
,1], 10
二、1．2n
；2．
1f(x n )
；3．2
；
5 x
n1 x n x n 3 x n 4
( ,0) 3 3 (x n x 0),1, 5
x n x 0 x 0 ． ；5． x n 4
x
n1x
n
x n 3 x n 4
(x n x n1),
1.618 x n 3
x n
x n13
x
n1
．
三、1．1.59375；2．（1）收敛，（
2）收敛，（3）发散，（2）收敛速度 快，x *
1.467；3．
2.236；4．1.88．
四、略．
习题三
一、1．；2．；3．；4．；5．．
二、1．2,
4,
6；2．8, 7, 56；
1 0
0 2
1 0
ALU 1
1 0 0 3
1,L 2 2 2 4 0 1 0 0 3 3 3．
0 1 0 1 2 , 2 2 0 0 1 4．7；5．3
3 ． 三、1．B ；2．B ；3．B ；4．B ；5．D ．四、1．x=
（2,-2,1）T ；2．x=（1,1,1）T ；-1）T
．
2
1 3 0
2 2
0 2 2 3 3；
3．x=（1,1,1,1）T ；4．x=（2,1, 习题四
一、1．
；2．
；3．
；4．
；5．
．
x 1 (
k 1) 5
x 2
1 (k )
3 3, 5
二、1． x 2 (k1) 1x1(k)
6
2
；
(
k 1) 5 (k) 1
5
x 1 3 x 2
3, 0
5 3,
x2(k1) 1x1(k1)
5 6 0
2．
2
6
； y k Ax k1
m k max(y k )
x k 1 y k
3．
m k
；4．任意实的非奇异；5．实对称． 三、1．D ；2．A ；3．A ；4．C ；5．B ．
四、1．x=（2.444,0.333, -2.531）T
；
2．x=（2.399,0.401,-2.499）T
；
3．1
4, v 1
(1, 0.47,0.14)
4．略；5．略；6．略．
习题五
一、1．；2．；3．；4．；5．．
(xx 0)(xx 1)(xx 3)
二、1．
(x 2
x 0)(x 2
x 1)(x 2
x 3)
；2．1；3．22.5；
．
Hermite
；5． 1,1,
2
,2(x1) 2
(x1)x ．
3
3 4
三、1．A ；2．A ；3．D ；4．A ；5．C ．
四、1． N 2 (x) 2 1
(x 1) 5
(x 1)(x 1)
5x
2
1x 5, 0.125
；2．略；
2 2 2
2
3．2x 3
x 2
1 4．
H 2(x)
y 0( x 2
2x)y 1(x 2
2x 1) m 0(x 2
3x2)；
8x 2 3x 23 (2) 71
5．0.03；6．(1)15
15, 21．
习题六 一、1．；2．；3．；4．；5．．
x x 0
二、1． 0.15
． h ；．略；
；2 3
30
30
30 x i
a 0
y i
i1
i 1 30 30
a 1 30
1
1
x i 2 x i y i y x i ,x
x ． ．i1
i1 i1 ；5． y
4
三、1．B ；2．C ；3．C ；4．A ；5．B ．
0.6612）T
四、1．略；
2 ． 12.36
2.53x ； 3．x=（1.6530,
1( 2y y y 2y )
0.53084lnx 2.93748．
．10
0 1 3 4 ；5．y 4 习题七
5
f(2 5)
8
f(2)
5
f(2
5
), 2.467
；2．
4,0,
4,
8；
一、1．9
5 9 9 5
h
(f(x 0)
n1 (ba) 3 f(x n )2 f(x i )),
f() 3．2
i1
12n 2
； 4．略；5．高斯（Gauss ），2n 1，高斯（Gauss ）．
二、1．D ；2．C ；3．C ；4．D ；5．D ． 三、1．；2．；3．；4．；5．．
四、1．T
8
0.22316, R 0.40691 104
,
S40.18595,R0.3179
107
；
2．
T 48.25, R0.5 A 1, ；3．8；4．0
3 5．
0.247,
0.217,
0.187．
习题八
一、1．0.9y n 0.1x n 0.1, 1；2．yn1
yn
3．单步，多步； 4．多；5．0(h5)
． 二、1．A ；2．D ；3．A ；4．A ；5．B ． 三、1． ；2．
；3．
；4．
；5．
四、1．
A 2, A 1
1 3 3 9；
h
(f(x n ,y n ) f(x n1,y n1))
2
；
．
n 0 1 2 3 4 5 xn
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 yn
1
1.2
1.52
1.98
2.62
3.46
2．
n 0 1 2 3 4 xn
0 0.5 1.0
1.5
2.0 yn
0.5
0.88940 1.07334
1.12604
3．
n 0 1 2 3 4 5
《数值计算方法》试题集及答案(1-6) 2
《计算方法》期中复习试题 一、填空题： 1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：2.367，0.25 2、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ， 拉格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 5、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 7、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精 度为( 5 )； 12、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式 19992001-改写为 199920012 + 。
《数值计算方法》试题集及答案
《数值计算方法》复习试题 一、填空题： 1、????? ?????----=410141014A ，则A 的LU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。 答案： ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：， 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ， 拉格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； （ 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为
( )] ,(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f h y y )； 10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( )； 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精 度为( 5 )； 12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均 不为零)。 13、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式 19992001-改写为 199920012 + 。 14、 用二分法求方程01)(3 =-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间 为 ，1 ,进行两步后根的所在区间为 ， 。 15、 、 16、 计算积分?1 5 .0d x x ,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 ，用辛卜 生公式计算求得的近似值为 ，梯形公式的代数精度为 1 ，辛卜生公式的代数精度为 3 。 17、 求解方程组?? ?=+=+042.01532121x x x x 的高斯—塞德尔迭代格式为 ?????-=-=+++20/3/)51()1(1)1(2)(2)1(1 k k k k x x x x ，该迭 代格式的迭代矩阵的谱半径)(M ρ= 121 。 18、 设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l )2()(1--=x x x l ，)(x f 的二次牛顿 插值多项式为 )1(716)(2-+=x x x x N 。 19、 求积公式 ?∑=≈b a k n k k x f A x x f )(d )(0 的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高，具 有( 12+n )次代数精度。
(完整word版)西工大计算方法试题参考(完整版).docx
2002-2003 第一学期 一．计算及推导（ 5*8） 1．已知 x* 3.141, x ，试确定 x * 近似 x 的有效数字位数。 * * * 0.100 * * * 2．有效数 x 1 3.105, x 2 0.001, x 3 1 x 2 3 ，试确定 x x 的相对误差限。 3．已知 f ( x) 0.5 x 3 0.1x 2 ，试计算差商 f 0,1,2,3 4．给出拟合三点 A (0,1), B (1,0) 和 C (1,1) 的直线方程。 5．推导中矩形求积公式 b (b a) f ( a b ) 1 f '' ( )(b a)3 f (x)dx a 2 24 b n f (x)dx A i f ( x i ) a 6．试证明插值型求积公式 i 0 的代数精确度至少是 n 次。 7．已知非线性方程 x f (x) 在区间 a, b 内有一实根，试写出该实根的牛顿迭代 公式。 8．用三角分解法求解线性方程组 1 2 1 x 1 0 2 2 3 x 2 3 1 3 0 x 3 2 二．给出下列函数值表 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 x i 0.38942 0.47943 0.56464 0.64422 0.71736 f ( x i ) 要用二次插值多项式计算 f (0.63891) 的近似值，试选择合适的插值节点进行计 算，并说明所选用节点依据。 （保留 5 位有效数字）（12 分） 三． 已知方程 x ln x 0 在 (0,1) 内有一实根 （ 1）给出求该实根的一个迭代公式，试之对任意的初始近似 x 0 (0,1) 迭代法都收 敛，并证明其收敛性。 （ 2） x 0 0.5 试用构造的迭代公式计算 的近似值 x n ，要求 x n x n 1 10 3 。 四． 设有方程组
计算方法试题
计算方法考试题（一） 满分70分 一、选择题：（共3道小题，第1小题4分，第2、3小题3分，共10分） 1、将A 分解为U L D A --=，其中),,(2211nn a a a diag D =，若对角阵D 非奇异（即),1,0n i a ii =≠，则b Ax =化为b D x U L D x 1 1)(--++=（1） 若记b D f U L D B 111 1),(--=+= （2） 则方程组（1）的迭代形式可写作 ) 2,1,0(1 )(1)1( =+=+k f x B x k k （3） 则（2）、（3）称 【 】 (A)、雅可比迭代。(B)、高斯—塞德尔迭代 (C)、LU 分解 (D)、Cholesky 分解。 2、记*x x e k k -=，若0lim 1≠=+∞→c e e p k k k （其中p 为一正数）称序列}{k x 是 【 】 (A)、p 阶收敛； (B)、1阶收敛； (C)、矩阵的算子范数； (D)、p 阶条件数。 3、牛顿切线法的迭代公式为 【 】 (A)、 ) () (1k x f x f x x k k k '- =+ (B)、 )()())((111--+--- =k k k k k k k x f x f x x x f x x 1 )() ()1()()()(x x f x f x f k i k i k i ??+=+ (D)、 )() ()()1(k k k x f x x -=+ 二、填空题：（共2道小题，每个空格2分，共10分） 1、设0)0(f =，16)1(f =，46)2(f =，则一阶差商 ，二阶差商=]1,2,0[f ，)x (f 的二次牛顿 插值多项式为 2、 用二分法求方程 01x x )x (f 3 =-+=在区间]1,0[内的根，进行第一步后根所在的区间为 ，进行第二步后根所在的区间 为 。 三、计算题：（共7道小题，第1小题8分，其余每小题7分，共50分） 1、表中各*x 都是对准确值x 进行四舍五入得到的近似值。试分别指出试用抛物插值计算115的近似值，并估计截断误差。 3、确定系数101,,A A A -，使求积公式 ) ()0()()(101h f A f A h f A dx x f h h ++-≈? -- （1） 具有尽可能高的代数精度，并指出所得求积公式的代数精度。
地方时计算方法及试题精选(DOC)
关于地方时的计算 一．地方时计算的一般步骤： 1．找两地的经度差： (1)如果已知地和要求地同在东经或同在西经，则： 经度差=经度大的度数—经度小的度数 (2)如果已知地和要求地不同是东经或西经，则： 经度差=两经度和（和小于180°时） 或经度差=（180°—两经度和）。（在两经度和大于180°时） 2．把经度差转化为地方时差，即： 地方时差=经度差÷15°/H 3．根据要求地在已知地的东西位置关系，加减地方时差，即：要求点在已知点的东方，加地方时差；如要求点在已知点西方，则减地方时差。 二．东西位置关系的判断： （1）同是东经，度数越大越靠东。即：度数大的在东。 （2）是西经，度数越大越靠西。即：度数大的在西。 （3）一个东经一个西经，如果和小180°，东经在东西经在西；如果和大于180°，则经度差=（360°—和），东经在西，西经在东；如果和等于180，则亦东亦西。 三．应用举例： 1、固定点计算 【例1】两地同在东经或西经 已知：A点120°E,地方时为10：00，求B点60°E的地方时。 分析：因为A、B两点同是东经，所以，A、B两点的经度差=120°－60°=60° 地方时差=60°÷15°/H=4小时 因为A、B两点同是东经，度数越大越靠东，要求B点60°E比A点120°E小，所以，B点在A点的西方，应减地方时差。 所以，B点地方时为10：00—4小时=6：00 【例2】两地分属东西经 A、已知:A点110°E的地方时为10:00,求B点30°W的地方时. 分析:Ａ在东经，Ｂ在西经，110°+30°=140°＜180°，所以经度差=140°，且A点东经在东，B 点西经在西，A、B两点的地方时差=140°÷15°/H=9小时20分，B点在西方， 所以，B点的地方时为10：00—9小时20分=00：40。 B、已知A点100°E的地方时为8：00，求B点90°W的地方时。 分析：A点为东经，B点为西经，100°+90°=190°＞180°， 则A、，B两点的经度差=360°—190°=170°，且A点东经在西，B点西经在东。 所以，A、B两点的地方时差=170°÷15°/H=11小时20分，B点在A点的东方， 所以B点的地方时为8：00+11小时20分=19：20。 C、已知A点100°E的地方8：00，求B点80°W的地方时。 分析：A点为100°E，B点为80°W，则100°+80°=180°，亦东亦西，即：可以说B点在A 点的东方，也可以说B点在A点的西方，A，B两点的地方时差为180÷15/H=12小时。 所以B点的地方时为8：00+12小时=20：00或8：00—12小时，不够减，在日期中借一天24小时来，即24小时+8：00—12小时=20：00。 2、变化点计算 【例1】一架飞机于10月1日17时从我国上海（东八区）飞往美国旧金山（西八区），需飞行14小时。到达目的地时，当地时间是（） A. 10月2日15时 B. 10月2日3时 C. 10月1日15时 D. 10月1日3时
《计算方法》期末考试试题
《计算方法》期末考试试题 一 选 择（每题3分，合计42分） 1. x* ＝ 1.732050808，取x ＝1.7320，则x 具有 位有效数字。 A 、3 B 、4 C 、5 D 、6 2. 取7 3.13≈（三位有效数字），则 ≤-73.13 。 A 、30.510-? B 、20.510-? C 、10.510-? D 、0.5 3. 下面_ _不是数值计算应注意的问题。 A 、注意简化计算步骤，减少运算次数 B 、要避免相近两数相减 C 、要防止大数吃掉小数 D 、要尽量消灭误差 4. 对任意初始向量)0(x ?及常向量g ?，迭代过程g x B x k k ? ??+=+)() 1(收敛的充分必要条件是_ _。 A 、11< B B 、1<∞ B C 、1)(计算方法2006-2007试卷
计算方法2006-2007第一学期 1 填空 1）. 近似数253.1*=x 关于真值249.1=x 有几位有效数字 ； 2）. 设有插值公式)()(1 1 1 k n k k x f A dx x f ?∑-=≈，则∑=n k k A 1 =______ 3） 设近似数0235.0*1=x ，5160.2*2 =x 都是有效数，则相对误差≤)(*2 *1 x x e r ____ 4） 求方程x x cos =的根的牛顿迭代格式为 5） 矛盾方程组?????-=+=-=+1211212121x x x x x x 与??? ??-=+=-=+1 2122221 2121x x x x x x 得最小二乘解是否相同。 2 用迭代法（方法不限）求方程1=x xe 在区间（0，1）内根的近似值，要求先论证收敛性，误差小于210-时迭代结束。 3 用最小二乘法x be ax y +=2中的常数a 和b ，使该函数曲线拟合与下面四个点 （1，-0.72）(1.5, 0.02),(2.0, 0.61),(2.5, 0.32) （结果保留到小数点后第四位） 4．（10分）用矩阵的直接三角分解法求解线性方程组 ???? ? ? ? ??=??????? ????????? ??717353010342110100201 4321x x x x 5．（10分）设要给出()x x f cos =的如下函数表 用二次插值多项式求)(x f 得近似值，问 步长不超过多少时，误差小于3 10- 6. 设有微分方程初值问题 ?? ?=≤<-='2 )0(2 .00,42y x x y y － )
《数值计算方法》试题集及答案
《数值计算方法》复习试题 一、填空题: 1、????? ?????----=410141014A ,则A 的LU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。 答案: ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ,则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ,拉 格朗日插值多项式为 。 答案:-1, )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字; 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式就是( ); 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 ); 7、计算方法主要研究( 截断 )误差与( 舍入 )误差; 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时,二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b ); 10、已知f (1)＝2,f (2)＝3,f (4)＝5、9,则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0、15 ); 11、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均 不为零)。 12、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少,应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ,为了减少舍入误差,应将表达式
计算方法模拟试题及答案
计算方法模拟试题 一、 单项选择题（每小题3分，共15分） 1．近似值210450.0?的误差限为（ ）。 A ． 0.5 B. 0.05 C ． 0.005 D. 0.0005. 2. 求积公式)2(3 1 )1(34)0(31)(2 0f f f dx x f ++≈ ?的代数精确度为（ ）。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 若实方阵A 满足（ ）时，则存在唯一单位下三角阵L 和上三角阵R ，使LR A =。 A. 0det ≠A B. 某个0 det ≠k A C. )1,1(0det -=≠n k A k D. ),,1(0det n k A k =≠ 4.已知?? ?? ? ?????=531221112A ，则=∞A （ ）。 A. 4 B. 5 C. 6 D 9 5.当实方阵A 满足)2(,221>>-=i i λλλλ，则乘幂法计算公式1e =（ ）。 A. 1+k x B. k k x x 11λ++ C. k x D. k k x x 11λ-+ 二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 14159.3=π，具有4位有效数字的近似值为 。 2. 已知近似值21,x x ，则=-?)(21x x 。 3．已知1)(2-=x x f ，则差商=]3,2,1[f 。 4．雅可比法是求实对称阵 的一种变换方法。