数学-高一河北省南宫中学2010至2011学年高一5月月考理科

南宫中学2010——2011学年第二学期5月份月考数学（理）试题 （共2页，满分150分） 一、选择题：（每题5分，共60分）

1．方程

052422=+-++m y mx y x 表示圆的充要条件是 （ ）

A ．141<

B ．141>

C ．

41<

m D ．1>m 2..过点A(1,－1)与B(－1，1)且圆心在直线x+y －2=0上的圆的方程为

（ ）

A ．(x －3)2+(y+1)2=4

B ．(x －1)2+(y －1)2=4

C ．(x+3)2+(y －1)2=4

D ．(x+1)2+(y+1)2=4

3..直线l 的方程260x y -+= 的斜率和它在x 轴与y 轴上的截距分别为( )

A 1,6,32-

B 1,6,32

C 2,6,3-

D 1

,6,3

2--

4.若实数x 、y 满足等式 3)2(2

2

=+-y x ，那么x y

的最大值为( )

A.21 Ｂ.33 Ｃ.23

Ｄ.3

5.已知圆x2+y2=r2在曲线|x|+|y|=4的内部，则半径r 的范围是（ ） A.0

6.直线03)1()2(=--++y a x a 与02)32()1(=+++-y a x a 互相垂直，则a 为

A 、-1

B 、1

C 、1±

D 、23

-

7.棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ）

A ．33a

B ．43a

C ．63a

D ．123

a

8.一个水平放置的圆柱形贮油桶，桶内有油部分占底面一头的圆周长的41

，

则油桶直立时，油的高度与桶的高之比是（ ）

A ．41

B ．π2141-

C ．81

D ．π21

81-

9.一个几何体的三视图如图所示（单位长度： cm ）， 则此几何体的表面积是

正视图

侧视图

9题图

A ．

()80162+cm 2

B. 96 cm 2

C.

()96162+cm 2

D. 112 cm 2

10.若圆台的上、下底面半径的比为3∶5，则它的中截面分圆台上、下两部分面积之比为（ ）

A ．3∶5

B ．9∶25

C ．5∶41

D ．7∶9

11.一个斜三棱柱，底面是边长为5的正三角形，侧棱长为4，侧棱与底面三角形两边所成的角都是60°，则这个斜三棱柱的侧面积是（ ）

A ．40

B ．)31(20+

C ．)31(30+

D ．303

12.正三棱锥ABC S —的侧棱长和底面边长相等， 如果E 、F 分别为SC ，AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成角为 （ ） A ．0

90 B ．0

60 C ．0

45 D ．0

30 二填空题：（每题5分，共20分）

13求圆

221x y +=上的点到直线8x y -=的距离的最小值 ． 14.无论m 取何实数时，直线(m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒过定点，则定点的坐标为

15.正四棱台上、下底面的边长为b 、a （a ＞b ）且侧面积等于两底面面积之和，则棱台的高是______．

16、有以下四个命题：

①对于任意不为零的实数a b 、，有b a ＋a b ≥2； ②设

n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若1062a a a ++为一个确定的常数，则11S 也是一个

确定的常数；

③关于x 的不等式0>+b ax 的解集为)1,(-∞，则关于x 的不等式0

2>+-x a

bx 的解集为)1,2(--；

④对于任意实数d c b a 、、、

，bd ac d c b a >>>>则若,,0． 其中正确命题的是_______________（把正确的答案题号填在横线上）

三：解答题：（17题10分，18-22每题12分）

17.如下的三个图中，左面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在右面画出（单位：cm ）

（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； （2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；

2

2

6

2

18.已知圆x2＋y2＋x －6y ＋3=0与直线x ＋2y －3=0的两个交点为P 、Q ，求以PQ 为直径的圆的方程．

19.已知动点M 到点A （2，0）的距离是它到点B （8，0）的距离的一半，

求：（1）动点M 的轨迹方程；（2）若N 为线段AM 的中点，试求点N 的轨迹

20. (普通班做)如图6，在正方体ABCD －A1B1C1D1中，E 、F 为棱AD 、AB 的中点．

（1）求证：EF ∥平面CB1D1；

（2）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1．

20. (实验班做)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形，

AD ∥BC ，90BAD ∠=?，

PA ⊥底面ABCD ，且2PA AD AB BC ===，M 、N 分别为PC 、PB

的中点.

(Ⅰ) 求证：PB DM ⊥；

(Ⅱ) 求BD 与平面ADMN 所成的角

21. (普通班做) 如图，在三棱锥ABC —S 中，⊥SA 平面ABC ，1==AC AB ， 2=SA ，D

C

D

A

B1

C1

D1 E F

为BC 的中点．

（1）判断AD 与SB 能否垂直，并说明理由；

（2）若三棱锥ABC —S 的体积为63

，且BAC 为

钝角，求二面角A BC ——S 的平面角的正切值； （3）在（Ⅱ）的条件下，求点A 到平面SBC 的距离．

21．(实验班做) 如图在三棱柱ABC-'''C B A 中，已知底面ABC 是底角等于

30，底边

AC=34的等腰三角形，且22','=⊥C B AC C B ，面AC B '与面ABC 成

45，B A '与

'AB 交于点E

求证：'BA AC ⊥；

求异面直线AC 与'BA 的距离； 求三棱锥BEC B -'的体积

22. (普通班做)已知直线l :y=k (x+22)与圆O:

4y x 22=+相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，三角形ABO 的面积为S.

（1）试将S 表示成的函数S （k ），并求出它的定义域； （2）求S 的最大值，并求取得最大值时k 的值.

22.(实验班做)设圆满足(1)y 轴截圆所得弦长为2.(2)被x 轴分成两段弧，其弧长之比为3∶1，在满足(1)、(2)的所有圆中，求圆心到直线l:x －2y=0的距离最小的圆的方程．

高一数学答案

（Ⅱ）所求多面体体积

V V V =-长方体正三棱锥

1144622232??

=??-???? ???2284(cm )

3=．

18.解法1：设点P （x1，y1），Q （x2，y2），则点P 、Q 的坐标满足方程组

x2+y2+x-6y+3=0，x+2y －3=0， x1=1，x2=-3， 解方程组，得 y1=1，y2=3，

即点P （1，1），Q （－3，3）∴线段PQ 的中点坐标为（－1，2）

|PQ|=2

21221)()(y y x x -+-=25，故以PQ 为直径的圆的方程是：

（x+1）2+（y －2）2=5

解法2：设所求圆的方程为x2+y2+x －6y+3+λ（x+2y －3）=0， 整理，得：x2+y2+（1+λ）x+（2λ－6）y+3－3λ=0，

此圆的圆心坐标是：（－21λ

+，3-λ）， 由圆心在直线x+2y －3=0上，得 －21λ

++2（3－λ）－3=0 解得λ=1

故所求圆的方程为：x2+y2+2x-4y=0.

19.解：（1）设动点M （x ，y ）为轨迹上任意一点，则点M 的轨迹就是集合

P

1

{|||||}2M MA MB ==

．

由两点距离公式，点M 适合的条件可表示为 22221

(2)(8)2x y x y -+=

-+，

平方后再整理，得

22

16x y +=． 可以验证，这就是动点M 的轨迹方程． （2）设动点N 的坐标为（x ，y ），M 的坐标是（x1，y1）．

由于A （2，0），且Ｎ为线段AM 的中点，所以

122x x +=

， 1

02y y +=

．所以有122x x =-，12y y = ①

由（1）题知，M 是圆

22

16x y +=上的点， 所以M 坐标（x1，y1）满足：

221116

x y +=②

将①代入②整理，得

22(1)4x y -+=． 所以N 的轨迹是以（1，0）为圆心，以2为半径的圆

20普通班：（1）证明:连结BD. 在长方体1

AC 中，对角线

11

//BD B D .

又

E 、

F 为棱AD 、AB 的中点，

//EF BD ∴. 11

//EF B D ∴.

又B1D1?≠ 平面

11

CB D ，EF ?平面

11

CB D ，

∴ EF ∥平面CB1D1.

（2）

在长方体

1

AC 中，AA1⊥平面A1B1C1D1，而B1D1?≠ 平面A1B1C1D1，

∴ AA1⊥B1D1.

又

在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1， ∴ B1D1⊥平面CAA1C1. 又 B1D1?≠ 平面CB1D1，∴平面CAA1C1⊥平面CB1D1． 实验班：解：（Ⅰ）因为N 是PB 的中点，PA=AB, 所以AN ⊥PB. 因为AD ⊥面PAB, 所以AD ⊥PB. 从而PB ⊥平面ADMN. DM ADMN ?因为平面

所以PB ⊥DM. ……6分 （Ⅱ）连结DN ，

因为PB ⊥平面ADMN ，

所以∠BDN 是BD 与平面ADMN 所成的角. 在Rt BDN ?中,

1

sin ,2BN BDN BD ∠=

=

故BD 与平面ADMN 所成的角是30. ……12分

21普通班：解：（1）因为SB 在底面ABC 上的射影AB 与AD 不垂直，否则与AB=AC 且D 为BC 的中点矛盾，所以AD 与SB 不垂直；

（2）设θ=∠BAC ，则

632121312=θ????=

sin V

解得

23

=

θsin ，所以060=θ（舍），0120=θ．

⊥SA 平面ABC ，AB=AC ，D 为BC 的中点

BC SD BC AD ⊥⊥,，

则SDA ∠是二面角S —BC —A 的平面角．

在SDA Rt ?中，4

==

∠AD SA

SDA tan , 故二面角的正切值为４；（9分）

（3）由（2）知，⊥BC 平面SDA ，所以平面SBC ⊥平面SDA ，过点A 作AE ⊥SD ，则AE ⊥平面SBC ，于是点A 到平面SBC 的距离为AE,

从而

17172=

∠=SDA AD AE sin 即A 到平面SBC 的距离为17172．

实验班：①证：取AC 中点D ，连ED ，

ED AB E ∴的中点，是' //2

'21

=C B AC DE AC C B ⊥∴⊥,'

又ABC ? 是底角等于

30的等腰?，D DE BN AC BD =⊥∴ ,

',,BA AC BE AC BDE AC ⊥⊥∴⊥∴即面

②解：由①知的一个平面角，是二面角B AC B EDB --∠'

233

3230tan ,245=?

===∠∴ AD BD ED EDB ，＝

在

22

2

224245cos 2222=?

?-+=?-+=?α BD ED BD ED EB DBE 中：ED BE ED Rt BDE EB ,,,2⊥??∴=∴是等腰是异面直线AC 与'BA 的距离，为2

③连

，面又BED AC BD D A ED EA ED D A ⊥⊥∴===,',2','

2'',','=⊥∴⊥∴?D A ABC D A AC D A BED D A 且面面

3

38

')(2131'31'=???=?=?-D A AC BD D A S V ABC ABC B

3

34

2121''''''====----ABC B ABB C BEB C BEC B V V V V 22.. 普通班：【解】：:如图,

(1)直线l 议程 ),0(022≠=+-k k y kx

原点O 到l 的距离为

2122k k oc +=

弦长2

2

2

2

18422K K OC OA AB +-=-=

ABO 面积2221)1(2421

K K K OC AB S +-==),0(11,0≠<<-∴>K K AB )

011(1)

1(24)(2

22≠<<-+-=

∴K k k

k k k S 且

(2) 令

.

81

)43(224132241)

1(24)(222

22+--=-+-=+-=

∴t t t k k k k S

∴当t=43

时, 33,31,431122

±===+k k k

时, 2max =S

又解:△ABO 面积S=AOB

OB OA ∠sin 21

AOB ∠=sin 2

290可取最大值

时当S AOB =∠∴ 此时

222

==

OA OC

即3

3

21222

±

=∴=+k K

K

,12

1

,112

<<=+t t k

22.

实验班：解:设圆的圆心为P(a,b),半径为r ，则P 到x 轴，y 轴的距离分别为｜b ｜、｜a ｜，由题设知圆P 截x 轴所得劣弧所对圆心角为90°,故圆P 截x 轴所得弦长为2r=2b.

∴r2=2b2

①又由y 轴截圆得弦长为2，∴r2=a2+1

②

由①、②知2b2－a2=1.又圆心到l:x －2y=0的距离d=

5|

2|b a -,∴5d2=(a －2b)2=a2+4b2－4ab ≥a2+4b2－2(a2+b2)=2b2－a2=1.当且仅当a=b 时“=”号成立，

∴当a=b 时，d 最小为55，由???=-=122

2a b b a 得???==11b a 或?

??-=-=11b a 由①得r=2.

∴(x －1) 2+(y －1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2为所求．