2018届高考物理二轮复习 第十章 电磁感应 提能增分练(三)金属杆在导轨上运动的三类问题

提能增分练(三) 金属杆在导轨上运动的三类问题

[A级——夺高分]

1．(2017·平顶山模拟)如图所示，甲、乙、丙中除导体棒ab可动外，其余部分均固定不动。图甲中的电容器C原来不带电，设导体棒、导轨和直流电源的电阻均可忽略，导体棒和导轨间的摩擦也不计。图中装置均在水平面内，且都处于方向垂直水平面(即纸面)向下的匀强磁场中，导轨足够长，若给导体棒ab一个向右的初速度v0，ab的最终运动状态是( )

A．三种情况下，ab最终都是做匀速运动

B．图甲、丙中ab最终将以某速度做匀速运动；图乙中ab最终静止

C．图甲、丙中ab最终将以相同的速度做匀速运动

D．三种情况下，ab最终均静止

解析：选B 图甲中，当电容器C两端电压等于ab切割磁感线产生的感应电动势时，回路电流为零，ab做匀速运动；图乙中，ab在F安作用下做减速运动直至静止；图丙中，ab 先做加速运动至BLv＝E时，回路中电流为零，ab再做匀速运动，故B对，A、C、D均错。

2. (多选)(2017·日照第一中学检测)如图所示，足够长的金属导轨竖直放置，金属棒ab、cd均通过棒两端的环套在金属导轨上。虚线上方有垂直纸面向里的匀强磁场，虚线下方有竖直向下的匀强磁场，两匀强磁场的磁感应强度大小均为B。ab、cd棒与导轨间动摩擦因数均为μ，两棒总电阻为R，导轨电阻不计。开始两棒静止在图示位置，当cd棒无初速度释放时，对ab棒施加竖直向上的力F，使其沿导轨向上做匀加速运动。则( )

A．ab棒中的电流方向由b到a

B．cd棒先做加速运动后做匀速运动

C．cd棒所受摩擦力的最大值大于其重力

D．力F做的功等于两棒产生的电热与增加的机械能之和

解析：选AC ab棒向上运动的过程中，穿过闭合回路abcd的磁通量增大，根据楞次定律可得，ab棒中的感应电流方向为b→a，故A正确；cd棒中感应电流由c到d，其所在的区域磁场向下，所受的安培力向里，cd棒所受的滑动摩擦力向上。ab棒做匀加速运动，速度增大，产生的感应电流增加，cd棒所受的安培力增大，对导轨的压力增大，则滑动摩擦

力增大，摩擦力先小于重力，后大于重力，所以cd 棒先做加速运动后做减速运动，最后停止运动，故B 错误；因安培力增加，cd 棒受摩擦力的作用一直增加，会大于重力，故C 正确；根据动能定理可得W F －W f －W 安培－W G ＝12mv 2

－0，力F 所做的功应等于两棒产生的电热、

摩擦生热与增加的机械能之和，故D 错误。

3. (多选)(2017·哈尔滨检测)CD 、EF 是两条水平放置的阻值可忽略的平行金属导轨，导轨间距为L ，水平导轨的左侧存在方向垂直导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小为

B ，磁场区域的长度为d ，如图所示。导轨的右端接有一电阻R ，左端与一弧形光滑轨道平滑

连接。将一阻值也为R 的导体棒从弧形轨道上h 高处由静止释放，导体棒最终恰好停在磁场的右边界处。已知导体棒与水平导轨接触良好，且动摩擦因数为μ，下列说法中正确的是

( )

A ．电阻R 的最大电流为

Bd 2gh

R B ．通过导体棒的电荷量为

BdL 2R

C ．整个电路中产生的焦耳热为mgh

h －μd )

mgh ＝12mv 2

，导

受到水平向左的安培E ＝BLv ，最大的q ＝ΔΦ2R ＝BLd

2R

，故B 正确；mgh －W B －μmgd ＝0－0，则克服安培力做功：W B 故C 错误；电阻与导体棒电阻相等，通过它们的电流相等，则导体棒产生的焦耳热：Q R ＝12Q ＝12W B ＝1

2

(mgh －μmgd )，故D 正确。

4．(2017·大连模拟)如图所示，上下不等宽的平行导轨，EF 和GH 部分导轨间的距离为L ，PQ 和MN 部分的导轨间距为3L ，导轨平面与水平面的夹角为30°，整个装置处在垂直于导轨平面的匀强磁场中。金属杆ab 和cd 的质量均为m ，都可在导轨上无摩擦地滑动，且与导轨接触良好，现对金属杆ab 施加一个沿导轨平面向上的作用力F ，使其沿斜面匀速向上运动，同时cd 处于静止状态，则F 的大小为( )

A.23mg B ．mg C.43mg D.32

mg 解析：选A 设ab 杆向上做切割磁感线运动时，产生感应电流大小为I ，受到安培力大小为：F 安＝BIL ，对于cd ，由平衡条件有：BI ·3L ＝mg sin 30°，对于ab 杆，由平衡条件有：F ＝mg sin 30°＋BIL ，综上可得：F ＝2

3

mg ，故A 正确。

5．(2017·天津第一中学模拟)如图甲所示，光滑倾斜导体轨道(足够长)与光滑水平导体轨道平滑连接。轨道宽度均为L ＝1 m ，电阻忽略不计。水平向右的匀强磁场仅分布在水平轨道平面所在区域；垂直于倾斜轨道平面向下，大小相同的匀强磁场仅分布在倾斜轨道平面所在区域。现将两质量均为m ＝0.2 kg ，电阻均为R ＝0.5 Ω的相同导体棒ab 和cd ，垂直于轨道分别置于水平轨道上和倾斜轨道的顶端，并同时由静止释放，导体棒cd 下滑过程中的加速度a 与速度v 的关系如图乙所示。(g ＝10 m/s 2

)求：

(1)倾斜轨道平面与水平面间的夹角θ； (2)磁场的磁感应强度B ；

(3)导体棒ab 对水平轨道的最大压力F N 的大小；

(4)若已知从开始运动到导体棒cd 达到最大速度的过程中，导体棒ab 上产生的焦耳热

Q ＝0.45 J ，求该过程中通过导体棒cd 横截面的电荷量q 。

解析：(1)由a -v 图像可知，导体棒cd 刚释放时，加速度

a ＝5 m/s 2

对导体棒cd 受力分析，由牛顿第二定律得：mg sin θ＝ma 得a ＝g sin θ＝5 m/s 2

故：θ＝30°。

(2)当导体棒cd 匀速下滑时，由图像知a ＝0，v ＝1 m/s

mg sin θ＝F 安 F 安＝BIL I ＝BLv

2R

联立解得：B ＝1 T ，I ＝1 A 。

(3)当电路中的电流I 最大时，导体棒ab 所受竖直向下的安培力最大，则压力最大

F N ＝mg ＋F 安

由牛顿第三定律：F N ′＝F N 解得：F N ′＝3 N 。

(4)导体棒ab 产生的焦耳热Q ab ＝Q ＝I 2

Rt ＝0.45 J ，导体棒cd 产生的热量与导体棒ab 相同

对导体棒cd ，由能量守恒定律：mgx sin θ＝12mv 2

＋2Q

解得：x ＝1 m

q ＝I ·t

I ＝E 2R E ＝

ΔΦ

t

则：q ＝ΔΦ2R ＝BLx

2R

＝1 C 。

答案：(1)30° (2)1 T (3)3 N (4)1 C

[B 级——冲满分]

6. (多选)(2017·雅安诊断考试)如图所示，电阻不计、相距为L 的两条足够长的平行金属轨道倾斜放置，与水平面的夹角为θ，整个空间存在垂直于轨道平面的匀强磁场，磁感应强度为B ，轨道上固定有质量为m ，电阻为R 的两根相同的导体棒，导体棒MN 上方轨道粗糙下方轨道光滑，将两根导体棒同时释放后，观察到MN 下滑而EF 始终保持静止，当MN 下滑的距离为s 时，速度恰好达到最大值v m ，则下列叙述正确的是( )

A ．MN 的最大速度v m ＝2mgR sin θ

B 2L

2

B ．此时EF 与轨道之间的静摩擦力为mg sin θ

C ．当MN 从静止开始下滑s 的过程中，通过其横截面的电荷量为

BLs

2R

D ．当MN 从静止开始下滑s 的过程中，MN 中产生的热量为mgs sin θ－12

mv 2

m

解析：选AC 当MN 下滑达到最大速度时满足：mg sin θ＝B 2L 2v m 2R ，解得v m ＝2mgR sin θ

B 2L 2

，

选项A 正确；此时EF 满足mg sin θ＋F 安＝f 静，故此时EF 与轨道之间的静摩擦力大于

mg sin θ，选项B 错误；当MN 从静止开始下滑s 的过程中，通过其横截面的电荷量为q ＝

ΔΦ

R 总

＝

BLs

2R

，选项C 正确；当MN 从静止开始下滑s 的过程中，两个导体棒中产生的总热量为 mgs sin θ－ 12

mv 2m ，则MN 中产生的热量是12

mgs sin θ－12

mv 2

m ，选项D 错误。

7．(2017·济宁模拟)如图甲所示，MN 、PQ 是相距d ＝1 m 的足够长平行光滑金属导轨，导轨平面倾角为α，导轨电阻不计；长也为1 m 的金属棒ab 垂直于MN 、PQ 放置在导轨上，且始终与导轨接触良好，ab 的质量m ＝0.1 kg 、电阻R ＝1 Ω； MN 、PQ 的上端连接右侧电路，电路中R 2为一电阻箱；已知灯泡电阻R L ＝3 Ω，定值电阻R 1＝7 Ω，调节电阻箱使R 2＝6 Ω，重力加速度g ＝10 m/s 2

。现断开开关S ，在t ＝0时刻由静止释放ab ，在t ＝0.5 s 时刻闭合S ，同时加上分布于整个导轨所在区域的匀强磁场，磁场方向垂直于导轨平面斜向上；图乙所示为ab 的速度随时间变化的图像。

(1)求斜面倾角α及磁感应强度B 的大小；

(2)ab 由静止下滑x ＝50 m(此前已达到最大速度)的过程中，求整个电路产生的电热； (3)若只改变电阻箱R 2的值，当R 2为何值时，ab 匀速下滑过程中R 2消耗的功率最大？消耗的最大功率为多少？

解析：(1)S 断开时，ab 做匀加速直线运动，从题图乙得

a ＝

Δv Δt

＝6 m/s 2

由牛顿第二定律有mg sin α＝ma 解得α＝37°

t ＝0.5 s 时，S 闭合且加了磁场，分析可知，此后ab 将先做加速度减小的加速运动，

当速度达到最大(v m ＝6 m/s) 后接着做匀速运动。做匀速运动时，由平衡条件知

mg sin α＝F 安

又F 安＝BId

I ＝Bdv m R 总

R 总＝R ab ＋R 1＋R L R 2

R L ＋R 2

＝10 Ω

联立以上四式，代入数据解得B ＝1 T 。 (2)由能量转化关系有mg sin α·x ＝12mv 2

m ＋Q

代入数据解得Q ＝mg sin α·x －12mv 2

m ＝28.2 J 。

(3)改变电阻箱R 2的值后，ab 匀速下滑时有

mg sin α＝BdI ′

所以I ′＝

mg sin α

Bd

＝0.6 A 通过R 2的电流为I 2＝

R L

R L ＋R 2

I ′ R 2的功率为P ＝I 22R 2

联立以上三式可得

P ＝I ′

2

R 2L

R L ＋R 2

2R 2

＝I ′

2

R 2L

? ??

??R L R 2＋R 22

当

R L

R 2

＝R 2时，即R 2＝R L ＝3 Ω，功率最大，解得 P m ＝0.27 W 。

答案：(1)37° 1 T (2)28.2 J (3)3 Ω 0.27 W

L 60°，左右导轨上端用导线连接。

B 磁感应强度大小也为B 的匀强磁已知两导体杆与两R ，若同时无初速度释放两导体杆，发现(认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力)求：

(1)ab 刚要开始运动时cd 的速度v ； (2)以上过程中，回路中共产生多少焦耳热； (3)cd 的最终速度为多少。 解析：(1)ab 刚运动时，有

F N ＝mg cos 30°－F 安，μF N ＝mg sin 30°

解得F 安＝

36

mg 由安培力公式F 安＝BIL ，得I ＝

3mg 6BL 由闭合电路欧姆定律I ＝E R

得，E ＝

3mgR

6BL

对cd ，由法拉第电磁感应定律E ＝BLv ，v ＝3mgR 6B 2L

2。 (2)由动能定理有：

mgs sin 60°－μmgs cos 60°－W 克安＝1

2

mv 2 而W 克安＝Q ，故：Q ＝mg 4?

?

???

3s －m 2gR 26B 4L 4。

(3)根据牛顿第二定律得

mg sin 60°＝μmg cos 60°＋B 2L 2v m

R

解得v m ＝

3mgR 4B 2L

2。 答案：(1)3mgR 6B 2L 2 (2)mg 4? ????3s －m 2

gR 2

6B 4L 4 (3)3mgR

4B 2L

2

9. (2017·山东枣庄八中调研)如图所示，电阻不计的“∠”型足够长且平行的导轨，间距L ＝1 m ，导轨倾斜部分的倾角θ＝53°，并与定值电阻R 相连，整个空间存在着B ＝5 T 、方向垂直倾斜导轨平面向上的匀强磁场。金属棒ab 、cd 的阻值R ab ＝R cd ＝R ，cd 棒质量m ＝1 kg ，ab 棒不受摩擦力，cd 棒与导轨间的动摩擦因数μ＝0.3，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力， g ＝10 m/s 2

，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，求：

(1)ab 棒由静止释放，当滑至某一位置时，cd 棒恰好开始滑动，这一时刻ab 棒中的电流大小；

(2)若ab 棒无论从多高的位置释放，cd 棒都不动，分析ab 棒的质量应满足的条件； (3)若cd 棒与导轨间的动摩擦因数μ≠0.3，ab 棒无论质量多大、从多高位置释放，cd 棒始终不动，cd 棒与导轨间的动摩擦因数μ应满足的条件。

解析：(1)cd 棒刚要开始滑动时，其受力分析如图所示。 由平衡条件得：BI cd L cos θ－f ＝0

N －mg －BI cd L sin θ＝0

又因为：f ＝μN

联立以上三式，得I cd ≈1.67 A，

由闭合电路欧姆定律得：I ab ＝2I cd ＝3.34 A 。 (2)ab 棒在足够长的倾斜导轨下滑时，最大安培力

F A ＝m ab g sin θ

cd 棒所受最大安培力为1

2

F A ，要使cd 棒不能滑动，需：

12F A cos θ≤μ? ????mg ＋12F A sin θ 由以上两式联立解得：m ab ≤2.08 kg。 (3)ab 棒下滑时，cd 棒始终静止，有：

F A ′cos θ≤μ

()mg ＋F A ′sin θ

F A ′趋于无穷≥cos θ

sin θ

＝0.75。

≥0.75