2019浙1

2019浙江

1．已知}11|{<<-=x x P ，}20{<<=x Q ，则=Q P Y A ．)2,1(- B ．)1,0( C ．)0,1(- D ．)2,1(

2．椭圆22

194

x y +=的离心率是 A ．

133 B ．53 C ．23 D ．59

A ．

π

2

+1 B ．

π2

+3 C ．

3π2

+1 D ．

3π2

+3

A ．[0,6]

B ．[0,4]

C ．[6，+∞]

D ．[4,+∞]

5．若函数f (x )=x 2+ ax +b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M – m A ．与a 相关，且与b 相关 B ．与a 相关，但与b 无关 C ．与a 无关，且与b 无关 D ．与a 无关，但与b 相关

6．已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件 ()y f x '=

8．已知随机变量ξ1满足P （1ξ=1）=p i ，P （1ξ=0）=1-p i ，i=1，2. 若0

，则

A ．1()E ξ<2()E ξ，1()D ξ<2()D ξ

B ．1()E ξ<2()E ξ，1()D ξ>2()D ξ

C ．1()E ξ>2()E ξ，1()

D ξ<2()D ξ D ．1()

E ξ>2()E ξ，1()D ξ>2()D ξ

如图，已知正四面体D –ABC （所有棱长均相等的三棱锥），PQR 分别为AB ，BC ，CA

上的点，AP=PB ，2BQ CR

QC RA ==，分别记二面角D –PR –Q ，D –PQ –R ，D –QR –P

的平面较为α,β,γ，则

A ．γ<α<β

B ．α<γ<β

C ．α<β<γ

D ．β<γ<α

10．如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记

，

，

，则

A ．I １

B ．I １

C ．I ３

D ．I ２

第II 卷（非选择题）

请点击修改第II 卷的文字说明

二、填空题

π，理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积6S ，

=6S .

12．已知a ，b ∈R ，2

i 34i a b +=+（）（i 是虚数单位）则22a b += ，ab = .

13．已知多项式()1x +3()2x +2=54321

12345x a x a x a x a x a +++++，则4a =________，

5a =________.

14．已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2. 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos ∠BDC =_______.

15．已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是_______.

16．从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有______中不同的选法.（用数字作答） 17．已知α∈R ，函数a a x

x x f +-+=|4

|)(在区间[1,4]上的最大值是5，则a 的取值范围是___________.

三、解答题

18．（本题满分14分）已知函数f （x ）=sin 2x –cos 2x –sin x cos x （x ∈R ）. （Ⅰ）求f （

2π

3

）的值. （Ⅱ）求f （x ）的最小正周期及单调递增区间.

19．（本题满分15分）如图，已知四棱锥P –ABCD ，△PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，BC ∥AD ，CD ⊥AD ，PC =AD =2DC =2CB ，E 为PD 的中点.

（Ⅰ）证明：CE ∥平面PAB ；

（Ⅱ）求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值.

20．20．（本题满分15分）已知函数f (x )=（x –21x -）e x -（1

2

x ≥）. （Ⅰ）求f (x )的导函数；

（Ⅱ）求f (x )在区间1[+)2

∞，上的取值范围.

21．（本题满分15分）如图，已知抛物线2

x y =，点A 11()24-，，39()24

B ，，抛物线上的点)2

3

21)(,(<<-

x y x P .过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .

（Ⅰ）求直线AP 斜率的取值范围； （Ⅱ）求||||PQ PA ?的最大值.

22．（本题满分15分）已知数列{x n }满足：x 1=1，x n =x n+1+ln(1+x n+1)（n ∈N*）.

证明：当n ∈N*时， （Ⅰ）0＜x n+1＜x n ； （Ⅱ）2x n+1? x n ≤1

2n n x x +； （Ⅲ）

1

12

n +≤x n ≤2

12n +.

参考答案

1．A

【解析】取Q P ,所有元素，得=Q P Y )2,1(-. 2．B

【解析】33

e ==，选B. 3．A 【解析】2π1211π3(21)1322

V ?=??+??=+，选A. 4．D

【解析】可行域为一开放区域，所以直线过点(2,1)时取最小值4，无最大值，选D. 5．B

【解析】因为最值在2

(0),(1)1,()24

a a f

b f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与

b 无关，选B.

6．C

【解析】4652S S S d +-=，所以为充要条件，选C. 7．D

【解析】原函数先减再增，再减再增，所以选D. 8.8．A

【解析】112212(),(),()()E p E p E E ξξξξ==∴

111222121212()(1),()(1),()()()(1)0D p p D p p D D p p p p ξξξξ=-=-∴-=---

A. 9．B

【解析】设O 为三角形ABC 中心，则O 到PQ 距离最小，O 到PR 距离最大，O 到RQ 距离居中，而高相等，所以αγβ<<所以选B. 10．C 【

解

析

】

因

为

90AOB COD ∠=∠>o

，所以

0(,)OB OC OA OB OC OD OA OC OB OD ?>>?>?<

Q ，选C.

11 【解析】将正六边形分割为6个等边三角形，则2

3

3)60sin 112

1(66=

????=ο

S

12．5，2

【解析】由题意可得2

2234a b abi i -+=+，则223

2

a b ab ?-=?=?，解得

22

4

1

a b ?=?=?，则225,2a b ab +==

13．16，4

【解析】由二项式展开式可得通项公式为：32r r m m

C x C x ，分别取0,1r m ==和1,0r m ==可得441216a =+=，令0x =可得32

5124a =?=

14．

,24

【解析】取BC 中点E ，DC 中点F ，由题意：,AE BC BF CD ⊥⊥，

△ABE 中，1

cos 4

BE ABC AB ∠=

=，1cos ,sin 4DBC DBC ∴∠=-∠==，

BC 1sin 2D S BD BC DBC ∴=???∠=△

又2

1cos 12sin ,sin 4DBC DBF DBF ∴∠=-∠=-

∴∠=，

cos sin 4

BDC DBF ∴∠=∠=

，

综上可得，△BCD 面积为2

，cos 4BDC ∠=.

15．4，【解析】设向量,a b r r

的夹角为θ，由余弦定理有：

a b -==r r

，

a b +==r r

，则：

a b a b ++-=r r r r

令y =

[]21016,20y =+，

据此可得：()

()

max

min

2025,164a b a b

a b a b

++-==++-==r r r r

r r r r

，

即a b a b ++-r r r r

的最小值是4，最大值是25.

16．660

【解析】由题意可得：总的选择方法为411

843C C C ??种方法，其中不满足题意的选法有411

643C C C ??种方法，则满足题意的选法有：411411843643660C C C C C C ??-??=种.

17．9

(,]2

-∞

【解析】[][]4

1,4,4,5x x x

∈+

∈，分类讨论： ①.当5a ≥时，()44

2f x a x a a x x x =--+=--，

函数的最大值9

245,2a a -=∴=，舍去；

②.当4a ≤时，()44

5f x x a a x x x

=+-+=+≤，此时命题成立；

③.当45a <<时，(){}

max max 4,5f x a a a a =-+-+????，则：

4545a a a a a a ?-+≥-+??-+=??或：4555a a a a a a ?-+<-+??

-+=??

， 解得：92a =

或9

2

a < 综上可得，实数a 的取值范围是9,2

??-∞ ??

?

.

18．（Ⅰ）2；（Ⅱ）最小正周期为

单调递增区间为2+，+63ππ

ππ??∈?

???

k k k Z

【解析】本题主要考查三角函数的性质及其变换等基础知识，同时考查运算求解水平。满分

14分。 （Ⅰ）由2321

sin

,cos 332

ππ==-， 2

22313123322f π??????

=---??- ? ? ?????????

得223f π??= ??? （II ）由

22cos 2cos sin =-x x x

与

sin 22sin cos =x x x

得

()2cos 23sin 2sin 26f π??

=--+

??

?

x x x =-x

所以()f x 的最小正周期是π

由正弦函数的性质得 3+22+2,2

6

2

π

π

π

ππ≤+

≤

∈k x k k Z 解得

2++,6

3

π

π

ππ≤≤

∈k x k k Z 所以()f x 的单调递增区间是2+，+63ππ

ππ??∈????

k k k Z

19．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）

8

2

. 【解析】本题主要考查空间点、线、面位置关系，直线与平面学科&网所成的角等基础知识，同时考查空间想象水平和运算求解水平。满分15分。 （Ⅰ）如图，设PA 中点为F ，连结EF ，FB .

因为E ，F 分别为PD ，PA 中点，所以EF ∥AD 且，

又因为BC ∥AD ，

，所以

EF ∥BC 且EF =BC ，

即四边形BCEF 为平行四边形，所以CE ∥BF ， 所以CE ∥平面PAB .

（Ⅱ）分别取BC ，AD 的中点为M ，N .连结PN 交EF 于点Q ，连结MQ . 因为E ，F ，N 分别是PD ，PA ，AD 的中点，所以Q 为EF 中点， 在平行四边形BCEF 中，MQ ∥CE . 由△PAD 为等腰直角三角形得 PN ⊥AD .

由DC ⊥AD ，N 是AD 的中点得 BN ⊥AD .

所以 AD ⊥平面PBN ，

由BC ∥AD 得 BC ⊥平面PBN ， 那么，平面PBC ⊥平面PBN .

过点Q 作PB 的垂线，垂足为H ，连结MH .

MH 是MQ 在平面PBC 上的射影，所以∠QMH 是直线CE 与平面PBC 所成的角. 设CD =1.

在△PCD 中，由PC =2，CD =1，PD =

得CE =

，

在△PBN中，由PN=BN=1，PB =得QH =，在Rt△MQH中，QH =，MQ =，

所以sin∠QMH =，

所以，直线CE与平面PBC 所成角的正弦值是.

20．（Ⅰ）f＇（x）=（1-x）（1-

2

21

x-

）x

e-；（Ⅱ）[0,

1

2

1

2

e-].

【解析】本题主要考察函数的最大（小）值，导数的运算及其应用，同时考查分析问题和解决问题的水平。满分15分。

（Ⅰ）因为

所以

=.

（Ⅱ）由

解得或.

x（） 1 （）（）

- 0 + 0 -

f（x）↓0 ↑↓

又，

所以f（x）在区间[）上的取值范围是.

21．（Ⅰ）（-1,1）；（Ⅱ）27 16

【解析】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解水平。满分15分。

（Ⅰ）设直线AP的斜率为k,

k=

21-

1

4

12

2

x

x

x

=-

+

，

因为13

22

x -

<<，所以直线AP 斜率的取值范围是（-1，1）

。 （Ⅱ）联立直线AP 与BQ 的方程

110,24

930,

42

kx y k x ky k ?-++=???

?+--=?? 解得点Q 的横坐标是

2

2

432(1)

Q

k k x

k -++=

+

因为|PA

1

)2

x +

1)kx +

|PQ

|=

)Q x x -

=2

(1)k -，

所以|PA ||PQ |= -（k -1）(k +1)3 令f (k )= -（k -1）(k +1)3， 因为'

()f k =2

(42)(1)k k --+，

所以 f (k )在区间（-1，

12）上单调递增，（12

，1）上单调递减， 所以当k =12时，|PA |g |PQ | 取得最大值27

16

.

22．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析.

【解析】本题主要考查数列的概念、递推关系与单调性等基础知识，不等式及其应用，同时考查推理论证水平、分析问题和解决问题的水平。满分15分。 （Ⅰ）用数学归纳法证明：n

x

>0

当n=1时，x 1=1>0 假设n=k 时，x k >0，

那么n=k+1时，若x k+1≤0,则1

10ln(1)0k

k k x x

x ++<

=++≤，矛盾，故1k x +>0。

所以0(N )n x n *

>∈

所以111ln(1)n n n n x x x x +++=++?

所以10()n n x x n N *

+??∈

（Ⅱ）由111ln(1)n n n n x x x x +++=++?得

2

111111422(2)ln(1)n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-+=-+++

记函数2

()2(2)ln(1)(0)f x x x x x x =-+++≥

函数f(x)在[0,+∞）上单调递增，所以()(0)f x f ≥=0,

所以 2

111112(2)ln(1)()0n n n n n x x x x f x +++++-+++=≥

1

12(N )2

n n n n x x x x n *++-≤

∈ （Ⅲ）因为

1111ln(1)n n n n n x x x x x ++++=++≤+

所以112

n n x -≥

得 1

122

n n n n x x x x ++≥- 111112()022

n n x x +-≥-? 12111111112()2()2222

n n n n x x x ----≥-≥???-= 故2

12n n x -≤,

12

11

(N )22

n n n x n *--≤≤∈

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